《数字信号处理》第9章 信号的抽取与插值—多抽样率数字信号处理基础

8.2 信号的抽取
• 抽取对信号频谱的影响 • 先滤波再抽取
NCEPUBD
8.2.1 抽取对信号频谱的影响
设x(n) x(t) |tnTs ，将x(n)中每M个点中抽取一个，
依次组成一个新的序列y(n)，即
y(n) x(Mn) n=-+
x(n)
↓M
y(n)
NCEPUBD
8.2.1 抽取对信号频谱的影响
l 0
类 型
II
多
式中

Rl (z) EM 1l (z) h(Mn M 1 l)z n
相 表
n0
示
NCEPUBD
8.5 信号的多相表示
用-l代替类型I中的l，则有
显然

Ql (z) h(Mn l)z n
n0
M 1
H (z) zlQl (z M )
成数据的冗余；
NCEPUBD
8.1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ引 言
8.1.3 研究内容
核心内容:信号抽样率的转换及滤波器组。
信号的“抽取(decimatiom) ” ：减少抽样率以 去掉过多数据
信号的“插值(interpolation) ” :增加抽样率以 增加数据
滤波器组:分析滤波器组和综合滤波器组
NCEPUBD
k
k
NCEPUBD
8.2.2 先滤波再抽取
NCEPUBD
➢频域 8.2.2 先滤波再抽取
Y (e j )
1
M 1
j( 2k )
j( 2k )
X (e
M )H (e
M)
M k0
在(-π/M～π/M)内, 抽取后信号的频谱与原信号频 谱只是幅度相差M倍。
NCEPUBD
Mn Lk 0
k (M L)n
记
k [Mn L] m
取整
Mn [Mn L]L Mnmod L Mn L
Mn对模L求余
则

y(n) x([Mn
L] m)h(mL
Mn
)
L
m0
NCEPUBD
8.4.1 时域上x(n)和y(n)的关系
y(n)可以看作是将x(n)通过一个时变滤波器所 得到的输出。记该时变系统的单位抽样响应为
n0
E0 (z) h0 h3 z 1 h6 z 2 E1 ( z) h1 h4 z 1 h7 z 2 E2 (z) h2 h5 z 1 h8 z 2
抽取多 相滤波
器
NCEPUBD
8.7.1 抽取的滤波器实现
抽取的多相结构实现
NCEPUBD
8.7.2 插值的滤波器实现
8.6 几个重要的恒等关系
在M倍抽取器的前后，滤波器z的幂相差M 倍
NCEPUBD
8.6 几个重要的恒等关系
NCEPUBD
8.7 抽取和插值的滤波器实现
• 抽取的滤波器实现 • 插值的滤波器实现 • 抽取和插值相结合的滤波器实现
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8.7.1 抽取的滤波器实现
一般框图
先卷积后抽取
➢时域 8.2.2 先滤波再抽取
h(n)为一理想低通滤波器:
H
(e
j
)

1 0
滤波后的输出为
| | M
else

(n) h(k)x(n k)
k
对v(n)抽取后的序列为y(n) :


y(n) (Mn) h(k)x(Mn k) x(k)h(Mn k)
y(n) (n)*h(n) (k)h(n k)
k
x(k L)h(n k) k
即 y(n) x(k)h(n kL)
k
插值时补进来的零，不再是零。
NCEPUBD
8.4 抽取与插值相结合的抽样率转 换
合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取
H
(e
j
)
y(n) 1 Y (e j )e jnd
2
c

L X (e jL )e jnd
c

X
(e
j
)e
j n
Ld

c x( n )
2 L
2 L
LL
所以应取c=L以保证y(n)=x(n/L) NCEPUBD
➢时域 8.3.3 先插值再滤波
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8.7.3 抽取和插值相结合的滤 波器实现
一般框图
直接多相实现
高效多相实现
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8.8 抽取与插值的编程实现
定义
N M 1
Ei (z) h(Mn i)z n
n0
抽取多相滤波器
N M 1
Rl (z) h(Mn M 1 l)z n
n0
插值多相滤波器
n0
M 1
则 H (z) z l El (z M )
l 0
若再记 el (n) h(Mn l)
则

El (z) el (n)z n
n0
类 型 -I 多 相 表 示
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8.5 信号的多相表示
用M-1-l代替类型I中的l，则有
M 1
H ( z) z (M 1l) Rl ( z M )
y(n)和x(n)的DTFT有如下关系：
Y (e j )
1
M 1
X (e j( 2k ) / M )
M k0
含意：将信号x(n)作M倍的抽取后，所得信号y(n)
的频谱等于原信号x(n)的频谱先作M倍的扩展，
再在ω轴上每隔 2 作移位后再迭加 。
M
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P412 图9.1.2
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8.3.2 插零后的信号及其频谱



V (e j ) (n)e jn x(n L)e jn x(k )e jkL
n
n
k
即
V (e j ) X (e jL )
插零后信号的频谱V(ejω)在(-π/L~π/L)内等于X(ejω),相 当于将X(ejω)作了周期压缩。换句话说，就是V(ejω)在 (-π~π)内包含了L个X(ejω)的压缩样本。
8.5 信号的多相表示
给定序列h(n)，令 n 0 ~ ，假定M=4

H (z) h(n)zn h0 h4 z4 h8z8 h12 z12 L n0 h1z 1 h5 z 5 h9 z 9 h13z 13
h2 z 2 h6 z 6 h10 z 10 h14 z 14
l 0
Ql (z) z 1EM l (z)
类 型 III 多 相 表 示
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8.6 几个重要的恒等关系
两个信号分别定标以后再相加后的抽取 等于它们各自抽取后再定标和相加。
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8.6 几个重要的恒等关系
信号延迟M个样本后作M倍抽取和先抽 取再延迟一个样本是等效的
NCEPUBD
NCEPUBD
8.1
• 研究背景
引言
• 研究目的
• 研究内容
NCEPUBD
8.1 引 言
8.1.1 研究背景
至今，我们讨论的数字系统中只有一个 抽样率。
但是，在实际应用中，各系统之间的采 样率往往是不同的
NCEPUBD
8.1 引 言
8.1.2 研究目的
要求一个数字系统能工作在“多抽样率 （multirate）”状态，以适应不同抽样 信号的需要。
g(n, m) h(nL Mm L )
n,m
因为
g(n, m kL) h(nL Mm kML L ) h(nL Mm L )
所以g(n,m)是变量m的周期函数，周期为L。
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8.4.2 频域上x(n)和y(n)的关系
Y (e j )
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8.2.1 抽取对信号频谱的影响
抽样
x(t)
x(n) 保证 f s 2 fc 不会发生频谱的混迭
M倍抽取
x(n)
y(n) 保证 fs 2Mfc 不会发生频谱的混迭
若M是可变的，为防止抽取后在Y (e j )出现混迭，应对 x(n)抽取前先作低通滤波，压缩其频带。
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h3 z 3 h7 z 7 h11z 11 h15 z 15
z0[h0 h4 z4 h8 z8 h12 z12 L ]
z1[h1 h5 z4 h9 z8 h13z12 L ]
z2[h2 h6 z4 h10 z8 h14 z12 L ]
g(m,n) h(mL Mn ) L
时变滤 波器
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8.8 抽取与插值的编程实现
g(m,n) h(mL Mn ) L
g(m,n kL) h(mL Mn kML ) L h(mL Mn ) g(m,n kL) L 所以g(n,m)是变量n的周期函数，周期为L。
对一个数字信号，能在一个系统中以不 同的抽样频率出现。
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8.1 引 言
8.1.2 研究目的
应用举例：
既可传输一般的语音信号，也可传输播视频信 号的数字传输系统；
在音频世界，存在着多种抽样频率； 当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字
系统之间传递时； 对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时； 对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造
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8.8 抽取与插值的编程实现
重写抽取和插值相结合的多抽样率转换系统的输
入输出关系:
y(n)

K 1 m0
x(

Mn L


m)h(Mn

z3[h3 h7 z4 h11z8 h15 z12 L ] NCEPUBD
8.5 信号的多相表示
给定序列h(n)，令 n 0 ~ ，有
M 1

H (z) z l h(Mn l)z Mn
l 0
n0

记 El (z) h(Mn l)z n
1 M
M 1
U (e j(2 k )
k 0
L
M
)


M

M 1
X (e j(L2 k )
k 0
0
M)
|
|
min(
M 其它
, )
L
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8.5 信号的多相表示
意义：
使用多相表示可在抽样率转换的过 程中去掉许多不必要的计算，因而大大 提高运算速度。
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L 0
0 | | min( , )
LM 其它
该滤波器既去除了 插值后的映像又防 止了抽取后的混迭
使用2个低通滤波器
使用1个低通滤波器
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8.4.1 时域上x(n)和y(n)的关系

y(n) x(k)h(Mn Lk )
k
y(n)正是单独抽取和单独插值时时域关系的结合 因为h(n)是因果滤波器，所以
8.3 信号的插值
• 插值的概念 • 插零后的信号及其频谱 • 先插值再滤波
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8.3.1 插值的概念
设x(n) x(t) |tnTs ，将x(n)中每两个点之中补
L-1个0，组成一个新的序列v(n)，即

(n)

x(n

0
L)
n 0,L,2L, 其它
x(n) ↑L v(n)
一般框图
M 1
H (z)
z R (M 1l ) l
(zM
)

z2R0 (z3 )

z1R1(z3 )

R2 (z3 )
l0
N M 1
Rl (z) h(Mn M 1 l)z n
n0
插值多 相滤波
器
NCEPUBD
8.7.2 插值的滤波器实现
直接多相实现
高效多相实现
NCEPUBD
8.3.2 插零后的信号及其频谱
NCEPUBD
➢频域 8.3.3 先插值再滤波
实际实现插值的方法是用v(n)和一低通滤波器
作卷积 。
H
(e
j
)

c 0
| | L
其它
Y (e j ) H (e j )V (e j ) cV (e j ) cX (e jL ) | | L
第八章 多采样率信号处理
——信号的抽取与插值
NCEPUBD
主要内容
• 引言 • 信号的抽取 • 信号的插值 • 抽取与插值相结合的抽样率转换 • 信号的多相表示 • 几个重要的恒等关系 • 抽取和插值的滤波器实现 • 抽取与插值的编程实现
学习要求：掌握数字域升、降采样的基本原理， 升、降采样过程中滤波器的设计、特性和作用， 以及插值和抽取前后信号频谱变化。
先抽取后卷积 NCEPUBD
将 8.7.1 抽取的滤波器实现
滤
波
器
系
数
分
组
来
实
现
信
号
的
抽
取
NCEPUBD
8.7.1 抽取的滤波器实现
可以用多相结构来实现信号的抽取:
H (z) E0 (z 3 ) z 1E1 (z 3 ) z 2 E2 (z 3 )
N M 1
Ei (z) h(Mn i)z n