插值与数据拟合

S ( x i 0) S ( x i 0 ) S ' ( x i 0) S ' ( x i 0) S ' ' ( x i 0) S ' ' ( x i 0)
2．三次样条插值函数 给定区间 [a, b] 的一个划分：a = x0 < x1 < … < xn = b，设函数 y = f(x) 在节点 xi 上的值 为 yi = f(xi)，i = 0, 1, …, n。如果 S(x) 于 [a, b] 有 二阶连续导数，且在每个小区间 [xi , xi+1] 上是 三次多项式，则称 S(x) 是节点 x0，x1，…，xn 上的三次样条函数。如果 S(x) 在节点 xi上还满 足插值条件 S(xi) = yi，i = 0, 1, …, n， 则称 S(x) 为三次样条插值函数。 (7.2.11)
P3(x) = 0(x)y0 1(x)y1 0(x)m0 1(x)m1 (7.2.9)
1 ( x x0 )(x x2 ) 1 1 ( x ) 1 ( x x1 ) 2 ( x1` x0 ) ( x1 x2 ) x1 x0 x1 x2 2 ( x x0 )(x x1 ) 3 ( x) ( x2 x0 )(x2 x1 ) 2 ( x x0 )(x x1 )(x x2 ) 1 ( x) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x x1 ) 2 ( x x2 ) 0 ( x) ( x0 x1 ) 2 ( x0 x2 )
i 1
i 1 x x j yk k i 1 j i 1 xk x j j k
(7.2.2)
其中 x[xi -1 , xi +1]
3．三次 Hermite 插值 三次 Hermite 插值问题的基本提法一：已 知一维数据
§7.2 一维数据的基本插值方法简介
插值函数类的取法很多，可以是代数多项 式，也可以是三角多项式或有理函数；可以是 [a, b] 上任意光滑函数，也可以是分段光滑函数。 在此介绍最基本、最常用的两种插值方法：分 段多项式插值与三次样条插值，及其 Matlab 实 现。
§ 7.2.1 一维数据的分段多项式插值
引例 7.1.2 在某化学反应中，已知生成物的浓度 与时间有关。今测得一组数据如下：
表7.1.2
时间t（分）
浓度y103
1
4.00
2
6.40
3
8.00
4
8.80
5
9.22
6
9.50
7
9.70
8
9.86
时间t（分）
浓度y103
9
10
11
12
13
14
15
16
10.00 10.20 10.32 10.32 10.50 10.55 10.58 10.60
根据这些数据，我们希望寻找一个 y = f(t) 的近似表达 式（如建立浓度y与时间 t 之间的经验公式等）。从几 何上看，就是希望根据给定的一组点（1, 4.00），…, （16, 10.60），求函数 y = f(t) 的图象的一条拟合曲线。
数据拟合问题的基本提法：对于给定的函数表
x
y = f(x)
对于给定的一维数据
x y = f(x) x0 y0 x1 y1 … … xn yn
分段多项式插值就是求一个分段（共 n 段）多 项式 P(x)，使其满足 P(xi) = yi（i = 0, 1, …, n） 或更高的要求。一般地，分段多项式插值中的 多项式都是低次多项式（不超过三次）。
1．分段线性插值
分段线性插值函数 P1(x) 是一个分段一次多 项式（分段线性函数）。在几何上就是用折线 代替曲线，如图 7.2.1，故分段线性插值亦称为 折线插值。其插值公式为
x xi x xi 1 P yi 1 yi 1 ( x) xi 1 xi xi xi 1
其中 x[xi, xi +1]
§ 7.1.1 插值 引例 7.1.1 已经测得在北纬 32.3 海洋不同深度处 的温度如下表：
表7.1.1 深度x (m) 466 714 950 1422 1634
水温y (C)
7.04
4.28
3.40
2.54
2.13
根据这些数据，我们希望能合理地估计出其它深度 （如 500米、600米、1000米…）处的水温。 解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相 适应的函数来解决，这是一个被称为插值的问题。
2．如果给定的数据是大量的测试或统计的 结果，并不是必须严格遵守的，而是起定性地 控制作用的，那么宜选用数据拟合的方法。这 是因为，一方面测试或统计数据本身往往带有 测量误差，如果要求所得的函数与所给数据完 全吻合，就会使所求函数保留着原有的测量误 差；另一方面，测试或统计数据通常很多，如 果采用插值方法，不仅计算麻烦，而且逼近效 果往往较差。
(7.2.1)
图 7.2.1 分段线性插值示意图
2．分段二次插值
分段二次插值函数 P2(x) 是一个分段二次多项 式。在几何上就是分段抛物线代替曲线 y = f(x)， 故分段二次插值又称为分段抛物插值。其插值公式
P2 ( x) ( x xi )(x xi 1 ) ( x xi 1 )(x xi 1 ) ( x xi 1 )(x xi ) yi 1 yi yi 1 ( xi 1 xi )(xi 1 xi 1 ) ( xi xi 1 )(xi xi 1 ) ( xi 1 xi 1 )(xi 1 xi )
x0
y0
x1
y1
…
…
xn
yn
其中 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，x0，x1，…，xn为 [a, b] 上 n1个互不相同的点，要求找一个简单合理的函数 近似表达式 (x)，使 (x) 与 f(x) 在某种准则下最为接 近，这就是最基本的数据拟合问题（见图7.1.2）。 通常，我们称 (x) 为给定数据点的拟合函数。
插值与数据拟合
第七讲
插值与数据拟合
§7.1 引言
在工程和科学实验中，常常需要从一组实 验观测数据 (xi , yi ) (i = 1, 2, …, n) 揭示自变量 x 与因变量 y 之间的关系，一般可以用一个近 似的函数关系式 y = f(x) 来表示。函数 f(x) 的产 生办法因观测数据与要求的不同而异，通常可 采用两种方法：插值与数据拟合。
9 8 7 6 5 4 3 2 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
图 7.1.1 插值问题示意图
为便于叙述，通常称区间 [a, b] 为插值区 间，称点 x0，x1，…，xn为插值节点，称函数类 {P(x)} 为插值函数类，称式 (7.1.1) 为插值条件， 称函数 P(x) 为插值函数，称 f(x) 为被插函数。 求插值函数 P(x) 的方法称为插值法。
1．三次样条插值问题的基本提法 对于给定的一维数据 x y = f(x) x0 y0 x1 y1 … … xn yn
求一个三次多项式 S(x) 满足条件 （1）S(xi) = yi，i = 0, 1, …, n； （2）S(x) 具有二阶连续导数，特别在节点 xi 上应 满足连续性要求，即对 i = 0, 1, …, n 有
(7.2.6)
三次 Hermite 插值问题的基本提法二：已 知一维数据
x y = f (x) y = f (x) x0 y0 x1 y1 m1 x2 y2
求一个三次多项式 P3(x)，使之满足 P3(xi) = yi，i = 0, 1, 2，P3(x1) = mi
(7.2.3)
下 面 的 (7.2.9) 、 (7.2.10) 两 式 构 成 里 三 次 Hermite 插值基本提法二的插值公式
对应于划分 的三次样条插值函数的表达式为
S3 ( x) 0 1 x
2 x
2!
2

3 x3
3!

j 1
百度文库
n 1
j ( x x j )3
3!
(7.2.12)
其中
m x , x0 m x 0, x 0
3．边界条件 在式 (7.2.12) 给出的三次多项式中，共含 有 n3 个待定系数。而由插值条件 (7.2.11) 式， 可列出 n1 个方程，方程组中未知数的个数比 方程个数多 2，还需附加 2 个条件才能进行求 解。通常可在区间端点 x0 = a 和 xn = b 处各附 加一个条件（称为边界条件或边值条件）去确 定 S (x )。
x[ a ,b ]
即：有界区间上的连续函数被多项式一致逼近。
§ 7.1.4 实际应用中两种方法的选择
在实际应用中，究竟选择哪种方法比较恰 当？总的原则是根据实际问题的特点来决定采 用哪一种方法。具体说来，可从以下两方面来 考虑：
1．如果给定的数据是少量的且被认为是严 格精确的，那么宜选择插值方法。采用插值方 法可以保证插值函数与被插函数在插值节点处 完全相等。
解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相 适应的函数来解决，这是一个被称为插值的问题。 插值问题的基本提法：对于给定的函数表
x
y = f(x)
x0
y0
x1
y1
…
…
xn
yn
其中 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，x0，x1，…，xn为 [a, b] 上 n1个互不相同的点，要求在一个性质优良、便于 计算的函数类 {P(x)} 中，选出一个使 P(xi ) = yi，i = 0, 1, …, n (7.1.1) 成立的函数 P(x) 作为 f(x) 的近似，这就是最基本的插 值问题（见图7.1.1）。
P3(x) = 0(x)y0 1(x)y1 0(x)m0 1(x)m1 (7.2.5)
2 x x0 x x1 0 ( x) 1 2 x x x x 1 0 0 1 2 x x1 x x0 1 ( x) 1 2 x x x x 0 1 1 0 2 x x1 0 ( x) ( x x0 ) x x 0 1 2 x x0 1 ( x) ( x x1 ) x x 1 0
11 10 9 8 7 6 5 4 3 0 2 4 6 8 10 12 14 16
图7.1.2 数据拟合问题示意图
§ 7.1.3 插值与数据拟合的基本理论依据
插值方法与数据拟合的基本理论依据，就 是数学分析中的 Weierstrass 定理：设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，则对 > 0，存在多项式 P(x)，使得 max f ( x) P( x)
x y = f (x) y = f (x) x0 y0 m0 x1 y1 m1
求一个三次多项式 P3(x)，使之满足 P3(xi) = yi，P3(xi) = mi，i = 0, 1
(7.2.3)
下面的 (7.2.5)、 (7.2.6) 两式构成里三次 Hermite 插值基本提法一的插值公式
(7.2.10)
§ 7.2.2 一维数据的三次样条插值 上述介绍的分段多项式插值，其优点为计算简单、稳 定性好、收敛性有保证，且易于在计算机上实现。但它也 明显存在着缺陷。它只能保证在每个小区间段 [xi, xi+1] 内 光滑，在各小区间连接点 xi 处连续，却不能保证整条曲线 的光滑、光顺性，难以满足某些工程的要求。对于象高速 飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑 度，即有二阶连续导数。而由 60 年代开始，首先起源与 航空、造船业等工程设计的实际需要而发展起来的样条插 值，既保留了分段多项式插值的各种优点，又提高了插值 函数的光滑度。 在此，仅介绍应用最广且具有二阶连续导数的三次样 条插值方法。