《博弈论》期中考试试卷及参考答案

20XX 级经济学专业（1-2班）《博弈论》期中考试试卷（开卷）班级 学号 姓名 成绩1、不能用铅笔答题，违反者按缺考处理；2、开卷考试，给足够时间答题，请认真完成考试；卷面务必保持清楚整洁，每涂改一处扣10分；3、每一道题的解务必写出完整的解题过程，没有过程，只有答案不给分；4、如果发现雷同卷，一律按零分处理。

一、下面的支付矩阵表示一个两人的静态博弈。

问当a 、b 、c 、d 、f 、g 、h 之间满足什么条件时，该博弈存在严格优势策略均衡（20分）参考答案：1、严格优势策略均衡是由各博弈方的严格优势策略组成的策略组合。

（2分）2、对于博弈方1，如果a ＞e 且c ＞g ，则U 是相对于D 的严格优势策略；如果a ＜e 且c ＜g ，则D 是相对于U 的严格优势策略；（3分）3、对于博弈方2，如果b ＞d 且f ＞h 则L 是相对于R 的严格优势策略；如果b ＜d 且f ＜h ，则R 是相对于L 的严格优势策略。

（3分）4、上述两个博弈方各自有两种严格优势策略的相对支付情况的组合，总共可能构成四种严格优势策略均衡：（12分）1）如果a ＞e 且c ＞g ，b ＞d 且f ＞h ，严格优势策略均衡是（U ，L ） 2）如果a ＞e 且c ＞g ，b ＜d 且f ＜h ，严格优势策略均衡是（U ，R ） 3）如果a ＜e 且c ＜g ，b ＞d 且f ＞h ，严格优势策略均衡是（D ，L ） 4）如果a ＜e 且c ＜g ，b ＜d 且f ＜h ，严格优势策略均衡是（D ，R ）（在求解本题时，如果前面三点没有写，但这四条都能写出来，可以按每条5分计算，共20分）二、一个工人给一个老板干活，工资标准是100元。

工人可以选择是否偷懒，老板则选择是否克扣工资。

假设工人不偷懒有相当于50元的负效用，老板想克扣工资总有借口扣掉60元工资，工人不偷懒老板有150元产出，而工人偷懒时老板只有80元产出，但老板在支付工资之前无法知道实际产出，这些情况是双方都知道的。

请问：（1）如果老板完全能够看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？请用支付矩阵或博弈树表示该博弈（要求按教材给出的格式来表示，并求出博弈的所有Nash 均衡及博弈的结果（2）如果老板无法看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？请用支付矩阵或博弈树表示该博弈（要求按教材给出的格式来表示，并求出博弈的均衡解。

（共30分） 参考答案g ，h e ，f c ，da ，b L RU D 博弈方2博弈方1（1）①动态博弈、完全信息的动态博弈、完全且完美信息的动态博弈（2分） ②该博弈的博弈树是：（2分）③用以下两种方法可求出该博弈的所有Nash 均衡（16分）方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash 均衡（偷懒，{克扣，克扣})40，40）100，-20）-10，110）50，50）40，40）100，-20）-10，110）50，50）40，40）100，-20）-10，110）50，50）（不偷懒，{克扣，不克扣})对局（不偷懒，{克扣，克扣})对局40，40）100，-20）-10，110）50，50）40，40）100，-20）-10，110）50，50）40，40）100，-20）-10，110）50，50）40，40）100，-20）-10，110）50，50）（偷懒，{克扣，克扣})对局（偷懒，{克扣，不克扣})对局（偷懒，{不克扣，不克扣})对局（偷懒，{不克扣，克扣})对局方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash 均衡。

该博弈的Nash 均衡是（偷懒，{克扣，克扣})④博弈的结果：用倒推法（剪枝法）求得该博弈的结果是（偷懒，克扣）（4分）（2）①静态博弈、完全信息静态博弈 （2分） ②该博弈的支付矩阵是：（2分）③用划线法可求出该博弈的Nash 均衡是（偷懒，克扣） （2分） （本题也可以用反应函数法来做）50，50-10，110100，-2040，40克扣不克扣偷懒P不偷懒1-P老板工人q 1-q解：设工人、老板选择纯策略的概率如上图所示 1）求期望支付函数老板工人{克扣，克扣}偷懒不偷懒{不克扣，克扣}{不克扣，不克扣}{克扣，不克扣}-10，110100，-2050，5050，50-10，110100，-2040，4040，4040，40）100，-20）-10，110）50，50）偷懒老板工人40，40）100，-20）-10，110）50，50）40，40）100，-20）-10，110）50，50）（不偷懒，{不克扣，克扣})对局（不偷懒，{不克扣，不克扣})对局U 工人=40pq ＋100p （1－q ）－10（1－p ）q ＋50（1－p ）（1－q ）=40pq ＋100p －100pq －10q ＋10pq ＋50－50p －50q ＋50pq =50p －60q ＋50U 老板=40pq －20p （1－q ）＋110（1－p ）q ＋50（1－p ）（1－q ）=40pq －20p ＋20pq ＋110q －110pq ＋50－50p －50q ＋50pq =60q －70p ＋502）根据期望支付函数写出反应函数 p=1 q=[0,1] q=1 p=[0,1] 3）作图4）图中交点（1,1）即该博弈的混合Nash 均衡→（偷懒，克扣）三、在一条狭窄的巷子里，两个年轻人骑着自行车相向而行。

每人都有两个策略，即或者选择“冲过去”或者选择“避让”。

如果选择“避让”，不管对方采取什么策略，他得到的收益都是0。

如果其中一人采取“冲过去”的策略，如果对方采取“避让”，那么他得到的支付是9；如果对方不避让，那么他得到的支付是－36。

请用反应函数法求出该博弈的全部纳什均衡。

（10分） 参考答案1、由所给条件可求得支付矩阵（如下图）；用划线法可求得这个博弈有两个纯策略Nash 均衡（避让，冲过去）、（冲过去，避让）（2分）2、根据支付矩阵求期望支付函数；设甲、乙选择纯策略的概率如下图所示（2分）u 甲=9（1－p ）q －36（1－p ）（1－q ） =9q －9pq －36＋36p ＋36q －36pq =－45pq ＋36p ＋45q －36避让乙甲-36，-369，00，90，0避让冲过去避让P 冲过去1-P乙甲q 1-q，1）=－9p （5q －4）＋45q －36 u 乙=9p （1－q ）－36（1－p ）（1－q ） =9p －9pq －36＋36p ＋36q －36pq =－45pq ＋36q ＋45p －36 =－9q （5p －4）＋45p －363、根据期望支付函数写出反应函数（2分） 甲的反应函数p=0 当q ＜0.8 p=[0，1] 当q ＝0.8 p=1 当q ＞0.8 乙的反应函数q=0 当p ＜0.8 q=[0，1] 当p ＝0.8 q=1 当p ＞0.84、根据反应函数画反应函数曲线（2分）5、反应曲线的交点（0，0）、（1,1）、（0.8，0.8）→该博弈的混合策略Nash 均衡（2分） 四、假定甲、乙两寡头垄断的市场需求函数是Q=12－P ，生产成本为零。

如果两厂商都只能要么生产垄断产量的一半，要么生产古诺产量，证明这是一个囚犯困境型的博弈。

（20分） 参考答案1）垄断产量和垄断利润的计算（5分）由于假定生产成本为零，所以利润π=T R －TC= T Rπ=T R=PQ =（a －Q ）Q=aQ －Q 2令π′=0；即a －2Q=0 → Q=a/2 →所以q 甲=a/4，q 乙=a/4 ∵Q=12－P ∴P=a －Q=a －a/2=a/2π甲= Pq 甲=a/2×a/4=a 2/8π乙= Pq 乙=a/2×a/4=a 2/82）古诺产量和利润的计算（5分） 根据已知条件P=a －Q=a －q 1－q 2；c=0 所以π甲=Pq 1=（a －q 1－q 2）q 1π乙=Pq 2=（a －q 1－q 2）q 2 令π甲′= a －2q 1－q 2=0 π乙′=a －q 1－2q 2=0可求得q 1=a/3 q 2=a/3 →Q=q 1＋q 2=2a 3 →P=a －Q=a3π甲=Pq 1=a 3 ×a 3 =a29qp10.81qp010.810.8qp10.810.8π乙=Pq 2=a 3 ×a 3 =a293）如果一厂商生产垄断产量的一半a 4 ，另一方生产古诺产量a 3 →P=a －Q=a －（a 4 ＋a 3 ）=5a12前者利润=5a 12 ×a 4 =5a248后者利润=5a 12 ×a 3 =5a236（5分）4）上述博弈用支付矩阵来表示就是：∵18 =0.125，536 ≈0.139；19 ≈0.111， 548 ≈0.104→a 28 ＜5a 236 ,5a 248 ＜a 29∴两厂商垄断产量的一半a 4 都是相对于古诺产量a3 的严格劣势策略；所以该博弈唯一的Nash均衡，也是严格优势策略均衡，是（a 3 ，a 3 ），这个Nash 均衡的双方的支付a29 ，显然不如双方都采用a 4 的支付a28，因此这个博弈是一个囚徒困境型的博弈（5分）五、考虑下述两个人玩的称为“力争上游”的卡片游戏：桌子上，面朝下放着3张卡片，分别写着1、2和3，甲先拿一张卡片，然后乙拿一张卡片，他们相互看不到对方写着的数字（但每人都清楚自己手上拿着的卡片上的数字）。

现在，甲先动，他可以选择是否和乙交换卡片，如果甲选择交换，乙必须和他交换；然后乙行动，他可以选择是否和桌面上剩余的那张卡片交换。

这一切做完之后，手上卡片数字小的人，输给手上卡片数字大的人1根火柴。

试把这个游戏表达为序贯博弈，并求出Nash 均衡和博弈的结果。

（20分）参考答案：该博弈可分为6种情况（1、2各给4分，3、4、5、6各给3分）1、甲取到3，乙取到1 ⑴该博弈的博弈树是：⑵求该博弈的Nash 均衡方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash 均衡1，2）1，3）3，2）3，1）a a 5a 5a 5a a a 2/9，2/92/36，5a 2/482/48，2/362/8，2/8a/4a/3a/4a/3乙甲垄断产量一半为a/4；古诺产量为a/38张图中没有箭号的只有两张，所以Nash 均衡是（不换，{换，换})和（不换，{不换，换})；博弈的结果是（不换，换）方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash 均衡。