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江苏省苏北四市2025届高三第五次模拟考试数学试卷含解析

江苏省苏北四市2025届高三第五次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（）A ．3log 4B ．3log 41+C ．43D ．3log 41-2．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（）A ．当8n =时，该命题不成立B ．当8n =时，该命题成立C ．当6n =时，该命题不成立D ．当6n =时，该命题成立3．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()UB A =( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}64．数列{}n a 满足()*212n n n a a a n +++=∈N ，且1239a a a ++=，48a =，则5a =（）A ．212B ．9C ．172D ．75．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( ) A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>6．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( )A ．B ．C ．D ．±7．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点作倾斜角为30的直线l ，若l 与y 轴的交点坐标为()0,b ，则该双曲线的标准方程可能为（）A ．2212x y -=B ．2213x y -=C ．2214x y -=D ．22132x y -=8．已知全集，，则（）A ．B ．C ．D ．9．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（）A ．32y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．3y x =±10．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，若()//2c a b +，则λ=（） A ．2-B ．1-C ．12-D ．1211．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论：（）①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调递增函数；③()f x 在R 上的最大值为2； ④()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点. 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②④B ．①③C ．①④D ．②④12．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（）A ．2B ．5C ．1D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年江苏省泰州、南通、扬州、苏北四市高三(上)一调数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年江苏省泰州、南通、扬州、苏北四市高三（上）一调数学试卷1.若非空且互不相等的集合M，N，P满足：，，则( )A. B. M C. N D. P2.已知，则的值为( )A. B. 0 C. 1 D. 23.设p：；q：，若p是q的充分不必要条件，则( )A. B. C. D.4.已知点Q在圆C：上，点P在直线上，则PQ的最小值为( )A. B. 1 C. D. 25.某次足球赛共8支球队参加，分三个阶段进行.小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组4队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主、客场交叉淘汰赛每两队主、客场各赛一场决出胜者；决赛：两个胜队参加，比赛一场，决出胜负.则全部赛程共需比赛3位( )A. 15B. 16C. 17D. 186.若函数在区间上是单调递增函数，则实数t的取值范围为( )A. B. C. D.7.足球是由12个正五边形和20个正六边形组成的.如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的正五边形展开放平，若正多边形边长为a，A，B，C分别为正多边形的顶点，则( )A. B.C. D.8.在某次数学节上，甲、乙、丙、丁四位同学分别写下了一个命题：甲：；乙：；丙：；丁：所写为真命题的是( )A. 甲和乙B. 甲和丙C. 丙和丁D. 甲和丁9.连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记事件A表示“2次结果中有正面向上的点数之和为奇数”，事件B 表示“2次结果中至少1次正面向上的点数为偶数”，则( )A. 事件B与事件A不互斥B. 事件A与事件B独立C. D.10.长方体，中，底面ABCD是边长为2的正方形，底面为的中心为M，则( )A. 平面ABMB. 向量在向量上的投影向量为C. 棱锥的内切球的半径为D. 直线AM与BC所成角的余弦值为11.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数，简称黄金数.离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线的左右顶点分别为，，虚轴的上端点为B，左焦点为F，离心率为e，则( )A. B.C. 顶点到渐近线的距离为eD. 的外接圆的面积为12.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则( )A. B.C. 为偶函数D. 的图像关于对称13.若…，则______ .14.某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”.测试后统计分析如下：学生的平均成绩为，方差为学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰.假设学生的测试成绩X近似服从正态分布其中近似为平均数，近似为方差，则估计获表彰的学生人数为______ 四舍五入，保留整数参考数据：随机变量X服从正态分布，则，，15.已知抛物线与过点的直线相交于A，B两点，且为坐标原点，则三角形OAB 的面积为______ .16.已知函数则函数的零点个数为______ .17.在锐角中，角A，B，C的边分别为a，b，c，且求角C；若，求周长的取值范围.18.已知等比数列的前n项和为，，求数列的通项公式；当时，，求数列的通项公式.19.在四棱锥中，侧面底面ABCD，，且四边形ABCD为平行四边形，，，，求二面角的大小；点P在线段SD上且满足，试确定的值，使得直线BP与面PCD所成角最大.20.设椭圆E：的左、右焦点分别为，，离心率为，若椭圆E 上的点到直线l：的最小距离为求椭圆E的方程；过作直线交椭圆E于A，B两点，设直线，与直线l分别交于C，D两点，线段AB，CD 的中点分别为M，N，O为坐标原点，若M，O，N三点共线，求直线AB的方程.21.第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办.在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球.不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，①试证明：为等比数列；②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小.22.已知函数，其中a为实数，e是自然对数的底数.当时，求曲线在点处的切线方程；若为的导函数，在上有两个极值点，求a的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】解：非空且互不相等的集合M，N，P满足：，，作出韦恩图如下：结合韦恩图得：故选：作出韦恩图，结合韦恩图得：本题考查集合的运算，考查交集、并集定义、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：因为，所以，所以故选：根据复数的运算法则和复数相等，列方程组求出a、b的值．本题考查了复数的运算与复数相等的应用问题，是基础题．3.【答案】A【解析】解：：，，：，，是q的充分不必要条件，，，，故选：先解不等式得到命题p和q，再利用充分不必要条件的定义求解即可．本题考查了不等式的解法，充要条件的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，圆心C到直线的距离，则直线和圆相离，则PQ的最小值为故选：求出圆的标准方程，求出圆心到直线的距离，根据直线和圆的位置关系可求解．本题主要考查直线和圆的位置关系，求出圆心到直线的距离，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键，属基础题．5.【答案】C【解析】解：小组赛中每组4队进行单循环比赛，就是4支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从4个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛场．半决赛中甲组第一名与乙组第二名或乙组第一名与甲组第二名主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛场．决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛场．故选：先计算出小组赛，半决赛，决赛的场数，根据分类计数原理即可得到总场数．本题考查了分类计数原理，关键是求出每种比赛需要的场次，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，又因为在区间上是单调递增函数，则是，的一个子区间，当是，即，若是的子集，则故选：根据题意，结合正弦型函数的单调区间列出不等式，然后结合条件代入计算，即可得到结果．本题主要考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：由题意可得：，，，则故选：由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．8.【答案】B【解析】解：设函数，，则，则时，，时，，即函数的增区间为，减区间为，因为，所以，所以，，即，故甲正确；因为，所以，即，即，即，故乙错误；因为，所以，即，所以，所以，故丙正确；因为，所以，即，即，，即，即丁错误．故选：构造函数，，可得函数的增区间为，减区间为，由可判断甲；由可判断乙；由可判断丙；由可判断丁．本题考查了构造函数比较大小，考查导数的应用，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：事件B与事件A可同时发生，不互斥，故A正确，，，，故BC错误，，故D正确．故选：根据已知条件，结合互斥事件和独立事件的定义，以及条件概率公式，即可求解．本题主要考查互斥事件和独立事件的定义，以及条件概率公式，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：如图，因为，平面ABM，所以平面ABM，所以A正确；向量平面，平面平面，向量在向量上的投影向量为，所以B正确；棱锥的内切球的半径为R，可得：，解得，所以C不正确；直线AM与BC所成角的余弦值为所以D正确；故选：画出几何体的直观图，判断直线与平面是否平行判断A；求解向量的投影判断B；利用等体积法求解内切球的半径判断C；求解异面直线所成角的余弦值判断本题考查空间几何体的理解与应用，外接球的表面积的求法，直线与平面的位置关系的应用，是中档题．11.【答案】ABD【解析】解：由题意可是，解得，，，故A正确；，，，，，，故B正确；顶点到渐近线的距离，故C错误；为直角三角形，且，，的外接圆的面积，故D正确．故选：由题意可求得a，c，再逐项计算可判断每个选项的正确性．本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属中档题．12.【答案】AC【解析】解：根据题意，函数的定义域为R，为奇函数，则且，变形可得，又由为偶函数，则，变形可得，综合可得：，则有，是周期为4的周期函数，则，，则有，则，，故在区间上，，由此分析选项：对于A，，A正确；对于B，是周期为4的周期函数，，B错误；对于C，是周期为4的周期函数且，则有，是偶函数，C正确；对于D，，，则一定不关于对称，D错误；故选：根据题意，先利用函数的对称性分析函数的周期，由此可得，，由此求出a、b的值，即可得区间上，的解析式，由此分析选项，即可得答案．本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的周期性和对称性，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由二项式展开式的通项公式为可得：，故答案为：结合二项式展开式的通项公式求解即可．本题考查了二项式展开式的通项公式，重点考查了二项式展开式项系数的求法，属基础题．14.【答案】27【解析】解：由题意得：，，，故，所以故答案为：根据题意得到，，，结合原则和正态分布的对称性求出，求出获得表彰的学生人数．本题考查了原则和正态分布的对称性，属于基础题．15.【答案】【解析】解：已知抛物线与过点的直线相交于A，B两点，且为坐标原点，不妨设点B在第一象限，且，，则，即，即，即，则直线AB的斜率为，即直线AB的方程为，联立，消x可得，则，，则三角形OAB的面积为，故答案为：由抛物线的性质，结合直线的斜率公式及三角形的面积公式求解即可．本题考查了抛物线的性质，重点考查了直线的斜率公式及三角形的面积公式，属基础题．16.【答案】5【解析】解：令，则函数可化为，作出函数图中曲线对应的图象部分与的图象，可见与图象有两个交点，它们的横坐标分别在区间和上，不妨设，，再令，易知，与的图象与的图象分别有2个和3个交点，所以原函数共有5个零点．故答案为：令，先利用图象判断零点设为，的个数与范围，然后再借助于和分别与图象交点的个数判断即可．本题考查函数的零点与函数图象之间的关系，同时考查了函数图象的画法及应用，属于中档题．17.【答案】解：在中，由正弦定理，可得，所以，所以，又是锐角三角形，所以，故由正弦定理可得，于是因为锐角中，，可得，即，，可得所以周长的取值范围为：【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合求得，即可求C的值；由正弦定理，三角函数恒等变换可得，结合A的范围解的周长的取值范围．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：设等比数列的公比为q，由题意可知，且，，，，，两式相除可得，，解得，，解得，；，则①，①可得，②，③，②-③可得，，故【解析】根据已知条件，结合等比数列的前n项和公式，即可求解；结合的结论，推得，再结合该递推式，即可求解．本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题．19.【答案】解：连接AC在，，，，由余弦定理得，，解得，所以，即，因为侧面底面ABCD，平面底面，，所以面ABCD，AB，面ABCD，所以，以A为原点，建立空间直角坐标系，如图所示则，，，，，，设平面SCD的法向量为，由，令，所以，由面ABCD，得为平面的法向量，即为平面ABCD的法向量．设二面角为，所以，因为二面角为锐角，所以，所以二面角的大小为由知，，，，设，，得，所以，所以，由知平面PCD的法向量为，设直线BP与面PCD所成角为，则，所以当时，值最大，即当时，BP与平面PCD所成角最大．【解析】根据已知条件及余弦定理，利用线面垂直的性质定理及面面垂直的性质定理，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，分别求出平面SCD和平面ABCD的法向量，再利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与二面角的关系即可求解．根据的结论及向量的关系的得出坐标的关系，利用向量的夹角公式求线面角，结合二次函数的性质即可求解．本题主要考查二面角的平面角，属于中档题．20.【答案】解：由题意可得：，，，解得，，，椭圆E的方程为设，，设直线AB的方程为，联立，化为，，，，，，即直线l的方程为：直线的方程为：，，直线的方程为：，，线段CD的中点为，，，O，N三点共线，，化为：，解得，直线AB的方程为，或【解析】由题意可得：，，，解得a，c，，即可得出椭圆E的方程．设，，设直线AB的方程为，与椭圆方程联立化为，利用根与系数的关系及中点坐标公式可得M坐标．直线l的方程为：分别得出直线的方程，直线的方程，可得C，D点坐标，即可得出线段CD的中点N的坐标，根据M，O，N三点共线，即可得出m的值．本题考查了椭圆的标准方程与性质、一元二次方程的求根公式及其根与系数的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：的所有可能取值为0，1，2，3，在一次扑球中，扑到点球的概率，所以，，，，所以X的分布列如下：X0123P证明：①第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，即，又，所以是以为首项，公比为的等比数列．②由①可知，所以，所以，故【解析】先计算门将每次可以扑出点球的概率，再列出其分布列，进而求得数学期望；①记第n次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，由条件确定，的关系，结合等比数列定义完成证明；②由①求出，，比较其大小即可．本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．22.【答案】解：当时，，则，则，切点坐标为，切线方程为，即；解：，则，令，则，由在上有两个极值点知在上有两个变号零点，①当时，时，，则函数在上单调递增，不可能有两个零点，舍去；②当时，，令，则，由于，则，令，即，可得，即，当时，，则，所以，在上单调递增，当时，，则，则，所以，在上单调递减，所以，，又因为，要使在上有两个变号零点，则，解得【解析】当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；分析可知在上有两个变号零点，分、两种情况讨论，在时，由在上单调递增可知结论不成立；在时，可得出，利用导数分析函数的单调性，根据函数在上有两个异号零点可得出关于实数a的不等式组，解之即可．本题考查了导数的综合运用，属于中档题．。

2022-2023学年江苏省苏北七市高三第一次联考数学试题(一模)+答案解析(附后)

2022-2023学年江苏省苏北七市高三第一次联考数学试题（一模）1. 已知集合，，则A. B. C. D.2. 已知向量满足，⟨⟩，则( )A. B. C. 0 D. 23.在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则A. B. 2 C. D. 44. 2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点长轴端点中离地面最远的点距地面，近地点长轴端点中离地面最近的点距地面，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为( )A. B.C. D.5. 已知，则( )A. B. C. D.6. 已知随机变量X服从正态分布，有下列四个命题：甲：；乙：；丙：；丁：如果只有一个假命题，则该命题为A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7. 函数的定义域为R，且为偶函数，，若，则( )A. 1B. 2C.D.8. 若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，，则的取值范围是( )A. B.C. D.9. 在棱长为2的正方体中，AC与BD交于点O，则A. 平面B. 平面C. 与平面ABCD所成的角为D. 三棱锥的体积为10. 函数的部分图象如图所示，则A. B.C. 的图象关于点对称D. 在区间上单调递增11. 一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝.从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，则( )A. B. 为互斥事件 C. D.相互独立12. 已知抛物线的焦点为F，以该抛物线上三点为切点的切线分别是，直线相交于点D，与分别相交于点记的横坐标分别为，则A. B.C. D.13. 已知函数则__________.14. 写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式__________.①；②15. 已知圆，设直线与两坐标轴的交点分别为，若圆O上有且只有一个点P满足，则r的值为__________.16. 已知正四棱锥的所有棱长都为1，点E在侧棱SC上，过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为__________，的面积的最大值为__________.17. 在①成等比数列，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并完成解答.已知数列是公差不为0的等差数列，其前n项和为，且满足__________，__________.求的通项公式；求注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.18. 第二十二届卡塔尔世界杯足球赛决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如下表所示.喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计根据所给数据完成上表，并判断是否有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关？社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.附：k19.在中，的对边分别为，若，求的值；若，的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围.20.如图，在中，AD是BC边上的高，以AD为折痕，将折至的位置，使得证明：平面ABD；若，求二面角的正弦值.21. 已知双曲线的左顶点为A，过左焦点F的直线与C交于两点.当轴时，，的面积为求C的方程；证明：以PQ为直径的圆经过定点.22. 已知函数和有相同的最大值.求实数a；设直线与两条曲线和共有四个不同的交点，其横坐标分别为，证明：答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题。

江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2022届高三上学期第二次考试数学扫描版含答案

绝密★启用前宿迁市高三班级第一次模拟考试数学I参考答案及评分标准一、填空题1. 2；2. 2i ； 3．75； 4．9； 5．3π； 6.13； 7．35； 8. 245； 9．26； 10. 4； 11．； 12．()-∞+；13．4； 14.12．二、解答题15．（1）在锐角三角形ABC 中，由3sin 5A =，得4cos 5A ==， …………2分所以sin 3tan cos 4A A A ==.……………………………………………………………4分由tan tan 1tan()1tan tan 2A B A B A B --==-+⋅，得tan 2B =. ………………7分（2）在锐角三角形ABC 中，由tan 2B =，得sin 5B =，cos 5B =，……9分所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=11分由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 11sin 2b Cc B ==. ………………14分 16．(1) 连接BD 与AC 相交于点O ，连结OE ．………2分由于四边形ABCD 为矩形，所以O 为BD 中点．由于E 为棱PD 中点，所以PB ∥OE ．………4分由于PB ⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ，所以直线PB ∥平面EAC ．……………………6分 (2) 由于P A ⊥平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以 P A ⊥CD ． …………………8分由于四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD ．…………………………………10分由于 P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ，所以 CD ⊥平面P AD ．…………12分由于CD ⊂平面ABCD ，所以平面P AD ⊥平面ABCD ． …………………14分 17． (1)在如图所示的直角坐标系中，由于曲线C的方程为)=19y x x ≤≤，PM x = 所以点P坐标为,x x ⎛+ ⎝⎭，直线OB 的方程为0x y -=， ……………………………………………………2分则点P 到直线0x y -=24x =，………………4分又PM 的造价为5万元／百米，PN 的造价为40万元／百米．则两条道路总造价为()22432()540519f x x x x x x ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭≤≤． …………8分 (2) 由于22432()5405f x x x x x ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭，所以 333645(64)()=51x f x x x -⎛⎫'-= ⎪⎝⎭， ………………………10分令()0f x '=，得4x =，列表如下：所以当4x =时，函数()f x 有最小值，最小值为()232454304f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．……13分答：（1）两条道路PM ,PN 总造价()f x 为232()5f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()19x ≤≤；（2）当4x =时，总造价最低，最低造价为30万元． ……………………14分（注：利用三次均值不等式223232()5553022x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当23222x x x ==，即4x =时等号成立，照样给分．） 18.（1）令1n =，得221a λ=+．令2n =，得23322323a S a S a a a a λ--=+，所以()()324121a λλλ=+++．…………2分由2213a a a =，得()()22241121λλλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭++++，由于0λ≠，所以1λ=．………4分（2）当12λ=时，111112n n n n n n n n a S a S a a a a ++++--=+，所以11111112n n n n n n S S a a a a ++++--=+，即111112n n n n S S a a ++-=++，………………………6分O P A BC D E所以数列1n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+是以2为首项，公差为12的等差数列，所以()11212n n S n a =-⋅++， ……………………………………………………8分即3122n n n S a ⎛⎫= ⎪⎝⎭++，①当2n ≥时，113122n n n S a --⎛⎫= ⎪⎝⎭++，②①-②得，13222n n n n n a a a -=-++，……………………………………………10分即()()112n n n a n a -=++，所以()1221n n a a n n n -=++≥， ………………………12分所以2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+是首项为13是常数列，所以()123n a n =+. ……………………14分代入①得2351226n n n n nS a +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭+. ……………………16分19. （1）由于左顶点为(40)A -，，所以4a =，又12e =，所以2c =.…………………2分又由于22212b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=. ………………………………………4分（2）直线l 的方程为(4)y k x =+，由2211612(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元得，22[(4)]11612x k x ++=.化简得，22(4)[(43)1612)]0x k x k +++-=，所以14x =-，222161243k x k -+=+. ……………………………………………………6分当22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k ky k k k -+=+=++，所以222161224,4343()D k kk k -+++.由于点P 为AD 的中点，所以P 的坐标为2221612,4343()k kk k -++，则3(0)4OP k k k -=≠.…………………………………………………………………………8分直线l 的方程为(4)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,4)k ，假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠，使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k =-，即3414n kk m --⋅=-恒成立，所以(412)30m k n +-=恒成立，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，，即30m n =-⎧⎨=⎩，，因此定点Q 的坐标为(3,0)-. …………………………………………10分（3）由于OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，由2211612x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M点的横坐标为x =12分由OM l ，得2D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+==22216128k -+=+= …………………………………………………14分=≥=即k =所以当2k =±时，AD AE OM +的最小值为 …………………………16分 20. (1) 由题意，321()e 3x f x x x ax a ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭， …………………………………………2分由于()f x 的图象在0x =处的切线与直线0x y +=垂直，所以(0)=1f '，解得1a =-. ……………………………4分 (2) 法一：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦，即326(312)680x x a x a -++--<对任意(2)x ∈-∞，恒成立，……………………………6分即()32636128x a x x x ->-=-对任意(2)x ∈-∞，恒成立，由于2x <，所以()()322612812323x x x a x x -++>=----， ……………………………8分记()21()23g x x =--，由于()g x 在(2)-∞，上单调递增，且(2)0g =，所以0a ≥，即a 的取值范围是[0)+∞，． ………………………………………10分法二：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦，即326(312)680x x a x a -++--<在(2)-∞，上恒成立，……………………………6分由于326(312)680x x a x a -++--<等价于2(2)(434)0x x x a --++<， ①当0a ≥时，22434(2)30x x a x a -++=-+≥恒成立，所以原不等式的解集为(2)-∞，，满足题意． …………………………………………8分②当0a <时，记2()434g x x x a =-++，有(2)30g a =<，所以方程24340x x a -++=必有两个根12,x x ，且122x x <<，原不等式等价于12(2)()()0x x x x x ---<，解集为12()(2)x x -∞，，，与题设冲突，所以0a <不符合题意．综合①②可知，所求a 的取值范围是[0)+∞，．…………………………………………10分(3) 由于由题意，可得321()e 3x f'x x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，所以()f x 只有一个极值点或有三个极值点. …………………………………………………11分令321()3g x x x ax a =-+-，①若()f x 有且只有一个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且只穿过一次，即()g x 为单调递增函数或者()g x 极值同号．ⅰ）当()g x 为单调递增函数时，2()20g'x x x a =-+≥在R 上恒成立，得1a ≥．………12分 ⅱ）当()g x 极值同号时，设12,x x 为极值点，则12()()0g x g x ⋅≥，由2()20g'x x x a =-+=有解，得1a <，且21120,x x a -+=22220x x a -+=，所以12122,x x x x a +==，所以3211111()3g x x x ax a =-+-211111(2)3x x a x ax a =--+-11111(2)33x a ax ax a =---+-[]12(1)3a x a =--，同理，[]222()(1)3g x a x a =--，所以()()[][]121222(1)(1)033g x g x a x a a x a =--⋅--≥，化简得221212(1)(1)()0a x x a a x x a ---++≥，所以22(1)2(1)0a a a a a ---+≥，即0a ≥，所以01a <≤．所以，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点； ……………………………14分 ②若()f x 有三个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得0a <；综上，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点，当0a <时，()f x 有三个极值点． ……………………………16分宿迁市高三班级第一次模拟考试数学Ⅱ（附加题）参考答案及评分标准21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21A ．连结OT ．由于AT 是切线，所以OT AP ⊥．………………………2分又由于PAQ ∠是直角，即AQ AP ⊥，所以AB OT ，所以TBA BTO ∠=∠． ………………………………… 5分又OT OB =，所以OTB OBT ∠=， …………………8分所以OBT TBA ∠=∠，即BT 平分OBA ∠． …………………………………10分 21B ．矩阵A 的特征多项式为()2125614f λλλλλ--==--+， ……………2分由()0f λ=，解得12λ=，23λ=．. …………………………………………4分当12λ=时，特征方程组为20,20,x y x y -=⎧⎨-=⎩ 故属于特征值12λ=的一个特征向量121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；………………………………7分当23λ=时，特征方程组为220,0,x y x y -=⎧⎨-=⎩ 故属于特征值23λ=的一个特征向量211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………………………10分 21C ．圆C 的直角坐标方程为22434130x y x y ++-+=，即22(23)(2)3x y ++-=． ………………………………………………4分又(0,1),(0,3)A B --,所以2AB =．……………………………………………6分 P 到直线AB 距离的最小值为2333-=，………………………………8分所以PAB ∆面积的最小值为123=32⨯⨯．…………………………………10分 21D ．由于x ＞0，y ＞0，x －y ＞0， 22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-，…………………………………4分 =21()()()x y x y x y -+-+-23213()3()x y x y -=-≥， ……………………8分所以2212232x y x xy y ++-+≥． ……………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.以A 为坐标原点O ，分别以AB ，AC ，1AA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -．由于=1AB AC =，12AA =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，1(0,0,2)A ，1(1,0,2)B ，(1,0,2)P λ．……………………………………………1分（1）由13λ=得，2(1,1,)3CP =-，1(1,02)A B =，-，1(0,1,2)A C =-，设平面1A BC 的法向量为1111(,,)x y z =n ，由11110,0A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 得111120,20.x z y z -=⎧⎨-=⎩ 不妨取11z =，则112x y ==，从而平面1A BC 的一个法向量为1(2,2,1)=n ．……………………………………3分设直线PC 与平面1A BC所成的角为θ，则111sin |cos ,|33||||CP CP CP θ⋅=<>==⋅n n n ，所以直线PC 与平面1A BC 所成的角的正弦值为33．…………………………5分（2）设平面1PAC 的法向量为2222(,,)x y z =n ， 1(1,022)A P λ=，-，由21210,0A C A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 得222220,(22)0.y z x z λ-=⎧⎨+-=⎩ 不妨取21z =，则22222x y λ=-=，，所以平面1PAC 的法向量为2(22,2,1)λ=-n ．……………………………………7分则12cos,<>=n n ，又由于二面角1P AC B --的正弦值为23，，………………………………………………………9分化简得2+890λλ-=，解得1λ=或9λ=-（舍去），故λ的值为1． …………………………10分23．（1）由题意知，32n a n =-,2121111()n n n n g n a a a a ++=++++， …………1分当2n =时，234111111691(2)47101403g a a a =++=++=>． ……………2分（2）用数学归纳法加以证明： ①当3n =时，34591111(3)g a a a a =++++ 11111117101316192225=++++++1111111()()7101316192225=++++++ 1111111()()8161616323232>++++++133131181632816163=++>++>，所以当3n =时，结论成立．………………………………………………4分②假设当n k =时，结论成立，即1()3g k >，则1n k =+时，(1)g k +()g k =22212(1)1111()k k k k a a a a +++++++- …………6分 22212(1)11111()3k k k k a a a a +++>++++-21(21)133(1)232k k k +>+-+-- 221(21)(32)[3(1)2]3[3(1)2][32]k k k k k +--+-=++--2213733[3(1)2][32]k k k k --=++--，由3k ≥可知，23730k k -->，即1(1)3g k +>．所以当1n k =+时，结论也成立．综合①②可得，当3n ≥时，1()3g n >． …………………10分。

江苏省苏州市(新版)2024高考数学苏教版考试(综合卷)完整试卷

江苏省苏州市（新版）2024高考数学苏教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，则（）.A．B．C．2D．1第(2)题已知等差数列中，，，则等于（）A．15B．30C．31D．64第(3)题已知为虚数单位，复数满足，则（）A．B．C．D．第(4)题已知向量，，，若，则（）A．B．C．D．第(5)题有一笔资金，如果存银行，那么收益预计为2万．该笔资金也可以做房产投资或商业投资，投资和市场密切相关，根据调研，发现市场的向上、平稳、下跌的概率分别为0.2、0.7、0.1．据此判断房产投资的收益和商业投资的收益的分布分别为，，则从数学的角度来看，该笔资金如何处理较好（）A．存银行B．房产投资C．商业投资D．房产投资和商业投资均可第(6)题已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果一定为U的是（）A．B．C．D．第(7)题已知等差数列中，，前5项的和满足，则公差取值范围为（）A．B．C．D．第(8)题在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题关于直线与圆，下列说法正确的是（）A．若直线l与圆C相切，则为定值B．若，则直线l被圆C截得的弦长为定值C．若，则直线l与圆C相离D．是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件第(2)题已知函数，则下列结论正确的是（）A．是周期函数B．是奇函数C．的图象关于直线对称D．在处取得最大值第(3)题已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（）A．ac（a-c）>0B．c（b-a）<0C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是__________．第(2)题已知函数，函数有三个零点，则实数的取值范围为__________．第(3)题已知实数，函数在上单调递增，则实数的取值范围是_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题今年5月11日，国新办举行新闻发布会，介绍第七次全国人口普查主要数据结果，会上通报，全国人口共141178万人，与2010年的133972万人相比，增加了7206万人，增长5.38%，年平均增长率为0.53%.如图是我国历次人口普查全国人口（单位：亿人）及年均增长率.(1)由图中数据，计算从2000年到2010年十年间全国人口的年平均增长率（精确到0.01%）；并根据历次人口普查数据指出全国人口数量的变化趋势；(2)假设从2020年起，每十年的年平均增长率是一个等差数列，公差为，试根据图中数据计算从2040年到2050年这十年间全国人口的增加量.（精确到万人）第(2)题已知椭圆的标准方程为，椭圆上的点到其两焦点的距离之和为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的上顶点，、为椭圆上不同于点的两点，且满足直线、的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求定点的坐标．第(3)题坐位体前屈是中小学体质健康测试项目，主要测试学生躯干､腰､髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性､弹性及身体柔韧性，在对某高中1500名高三年级学生的坐位体前屈成绩的调查中，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取100人，已知这1500名高三年级学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为13.2cm和13.36，女生的平均数和方差分别为15.2cm 和17.56.(1)求抽取的总样本的平均数；(2)试估计高三年级全体学生的坐位体前屈成绩的方差.参考公式：总体分为2层，分层随机抽样，各层抽取的样本量､样本平均数和样本方差分别为：，，，，，.记总样本的平均数为，样本方差为，第(4)题已知函数，.(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的最小正周期和值域．第(5)题等差数列的首项，且满足，数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和是，求.。

2020年江苏省苏北四市(徐州市、宿迁市、淮安市、连云港市)高考数学一模试卷

2020 年江苏省苏北四市（徐州市、宿迁市、淮安市、连云港市）高考数学一模试卷题号得分一二总分一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分） 1. 已知集合 A={x|0＜x＜2}，B={x|-1＜x＜1}，则 A∪B=______． 2. 已知复数 z 满足 z2=-4，且 z 的虚部小于 0，则 z=______． 3. 若一组数据 7，x，6，8，8 的平均数为 7，则该组数据的方差是______． 4. 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为______．5. 函数 f（x）=的定义域______．6. 某学校高三年级有 A，B 两个自习教室，甲、乙、丙 3 名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为______．7. 若关于 x 的不等式 x2-mx+3＜0 的解集是（1，3），则实数 m 的值为______．8. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线y2=2px 上，则实数 p 的值为______．9. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a2+a9=8，S5=-5，则 S15 的值为______．10. 已知函数的图象与函数 y=cos2x 的图象相邻的三个交点分别是 A，B，C，则△ABC 的面积为______．11. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M：x2+y2-4x-8y+12=0，圆 N 与圆 M 外切于点（0，m），且过点（0，-2），则圆 N 的标准方程为______．12. 已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，其图象关于直线 x=1 对称，当 x∈（0，1]时，f（x）=-eax（其中 e 是自然对数的底数），若 f（2020-ln2）=8，则实数 a 的值为______．13. 如图，在△ABC 中，D，E 是 BC 上的两个三等分点，，则 cos∠ADE 的最小值为______．14. 设函数 f（x）=|x3-ax-b|，x∈[-1，1]，其中 a，b∈R．若 f（x）≤M 恒成立，则当 M 取得最小值时，a+b 的值为______．二、解答题（本大题共 11 小题，共 142.0 分）第 1 页，共 18 页15. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，AP=AB，M，N 分别为棱 PB，PC 的中点，平面 PAB⊥平面 PBC．（1）求证：BC∥平面 AMN；（2）求证：平面 AMN⊥平面 PBC．16. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且．（1）若 a=5，，求 b 的值；（2）若，求 tan2C 的值．17. 如图，在圆锥 SO 中，底面半径 R 为 3，母线长 l 为 5．用一个平行于底面的平面去截圆锥，截面圆的圆心为 O1，半径为 r．现要以截面圆为底面，圆锥底面圆心 O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥，记小圆锥的体积为 V．（1）将 V 表示成 r 的函数；（2）求小圆锥的体积 V 的最大值．第 2 页，共 18 页18. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆的右顶点为 A，过点A 作直线 l 与圆 O：x2+y2=b2 相切，与椭圆 C 交于另一点 P，与右准线交于点 Q．设直线 l 的斜率为 k．（1）用 k 表示椭圆 C 的离心率；（2）若，求椭圆 C 的离心率．19. 已知函数（a∈R）．（1）若曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 x+y-1=0，求 a 的值；（2）若 f（x）的导函数 f'（x）存在两个不相等的零点，求实数 a 的取值范围；（3）当 a=2 时，是否存在整数 λ，使得关于 x 的不等式 f（x）≥λ 恒成立？若存在，求出 λ 的最大值；若不存在，说明理由．20. 已知数列{an}的首项 a1=3，对任意的 n∈N*，都有 an+1=kan-1（k≠0），数列{an-1}是公比不为 1 的等比数列．（1）求实数 k 的值；（2）设数列{bn}的前 n 项和为 Sn，求所有正整数 m 的值，使得恰好为数列{bn}中的项．第 3 页，共 18 页21. 已知矩阵的一个特征値为 4，求矩阵 M 的逆矩阵 M-1．22. 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρ（cosθ+sinθ）=12，曲线 C 的参数方程为（θ为参数，θ∈R），在曲线 C 上求点 M，使点 M 到 l 的距离最小，并求出最小值．23. 已知正数 x，y，z 满足 x+y+z=1，求 + + 的最小值．24. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1B1B 为正方形，BB1C1C 为菱形，∠BB1C1=60°，平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C．（1）求直线 AC1 与平面 AA1B1B 所成角的正弦值；（2）求二面角 B-AC1-C 的余弦值．第 4 页，共 18 页25 已知 n 为给定的正整数，设（1）若 n=4，求 a0，a1 的值；（2）若，求的值．，x∈R．2020 年江苏省苏北四市（徐州市、宿迁市、淮安市、连云港市）高考数学一模试卷【答案】1. （-1，2） 2. -2i 3.4. 20 5. [4，+∞）． 6.7. 4 8.9. 135答案和解析第 5 页，共 18 页10. 11. （x+2）2+y2=8 12. 313.14.15. 证明：如图所示：（1）M，N 分别为棱 PB，PC 的中点，∴MN∥BC， MN⊂AMN，BC⊄AMN，所以 BC∥面 AMN；（2）PA=AB，点 M 为棱 PB 的中点， ∴AM⊥PB，又平面 PAB⊥平面 PBC，平面 PAB∩平面 PBC=PB，AM⊂PAB，AM⊥面 PBC，又 AM⊂AMN， ∴平面 AMN⊥平面 PBC．16. 解：（1）在△ABC 中，由余弦定理 b2+c2-2bccosA=a2，得，即 b2-4b-5=0，解得 b=5 或 b=-1（舍），所以 b=5．（2）由及 0＜A＜π 得，，所以，又因为 0＜C＜π，所以，从而，所以．17. 解：（1）在△SAO 中，，由△SNO1∽△SAO 可知，，所以，所以，所以．（2）由（1）得，所以，令 V'（r）=0，得 r=2，当 r∈（0，2）时，V'（r）＞0，所以 V（r）在（0，2）上单调递增；当 r∈（2，3）时，V'（r）＜0，第 6 页，共 18 页所以 V（r）在（2，3）上单调递减．所以当 r=2 时，V（r）取得最大值．答：小圆锥的体积 V 的最大值为．18. 解：（1）直线 l 的方程为 y=k（x-a），即 kx-y-ak=0，∵直线 l 与圆 O：x2+y2=b2 相切，∴，故．∴椭圆 C 的离心率；（2）设椭圆 C 的焦距为 2c，则右准线方程为，由，得，∴，由，得（b2+a2k2）x2-2a3k2x+a4k2-a2b2=0，解得，则，∴，∵，∴，即 a（a2k2-b2）=2b2k2（a-c），由（1）知，，∴，整理得 a=2a-2c，即 a=2c，∴ ，故椭圆 C 的离心率为．19. 解：（1），因为曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 x+y-1=0，所以 f'（1）=a-1=-1，得 a=0；（2）因为存在两个不相等的零点，所以 g（x）=ax-1+lnx 存在两个不相等的零点，则，①当 a≥0 时，g'（x）＞0，所以 g（x）单调递增，至多有一个零点，②当 a＜0 时，因为当时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，第 7 页，共 18 页当时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以时，，因为 g（x）存在两个零点，所以，解得-e-2＜a＜0，因为-e-2＜a＜0，所以，因为 g（1）=a-1＜0，所以 g（x）在上存在一个零点，因为-e-2＜a＜0，所以，因为，设，则 y=2lnt-t-1（t＞e2），因为，所以 y=2lnt-t-1（t＞e2）单调递减，所以 y＜2ln（e2）-e2-1=3-e2＜0，所以，所以 g（x）在上存在一个零点，综上可知，实数 a 的取值范围为（-e-2，0）；（3）当 a=2 时，，，设 g（x）=2x-1+lnx，则．所以 g（x）单调递增，且，g（1）=1＞0，所以存在使得 g（x0）=0，因为当 x∈（0，x0）时，g（x）＜0，即 f'（x）＜0，所以 f（x）单调递减；当 x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，即 f'（x）＞0，所以 f（x）单调递增，所以 x=x0 时，f（x）取得极小值，也是最小值，此时，因为，所以 f（x0）∈（-1，0），因为 f（x）≥λ，且 λ 为整数，所以 λ≤-1，即 λ 的最大值为-1．20. 解：（1）由 an+1=kan-1，a1=3，可知 a2=3k-1，，∵{an-1}为等比数列，∴，即（3k-2）2=2×（3k2-k-2），整理，得 3k2-10k+8=0，解得 k=2 或．①当时，，此时 an=3，则 an-1=2，∴数列{an-1}的公比为 1，不符合题意；②当 k=2 时，an+1-1=2（an-1），所以数列{an-1}的公比，第 8 页，共 18 页综上所述，实数 k 的值为 2．（2）由（1）知，，∴．则=（4-1）+（4-3）+…+[4-（2m-1）]+4+42+…+4m=，．∵，∴，∵b2+b3=5＞0，b1=3＞0， ∴S2m-1＞0，S2m＞0．设，则 t=1，3 或 t 为偶数，因为 S2m≠S2m-1，所以 t=3（即 b3=1）不可能，所以 t=1 或 t 为偶数，①当时，，化简得 6m2-24m+8=-4m≤-4，即 m2-4m+2≤0，所以m 可取值为 1，2，3，验证得，当 m=2 时，成立．②当 t 为偶数时，，设，则，由①知 m＞3，当 m=4 时，；当 m＞4 时，cm+1-cm＞0，所以 c4＞c5＜c6＜…，所以 cm 的最小值为，所以，令，则，即-3m2+12m-4=0，而此方程无整数解．综上，正整数 m 的值为 2．21. 解：矩阵 M 的特征多项式为 f（λ）==（λ-2）（λ-1）-3t；因为矩阵 M 的一个特征值为 4，所以方程 f（λ）=0 有一根为 4；即 f（4）=2×3-3t=0，解得 t=2；所以 M=，第 9 页，共 18 页设 M-1=，则 MM-1==，由，解得；由，解得；所以 M-1=．22. 解：直线 l 的极坐标方程为 ρ（cosθ+sinθ）=12，转换为直角坐标方程 x+y-12=0．曲线 C 的参数方程为（θ 为参数，θ∈R），设点 P（），所以点 P（）到直线 x+y-12=0 的距离 d==，当时，即 M（3，1）到直线的距离的最小值为 4 ．23. 解：根据题意，x+y+z=1，则（x+2y）+（y+2x）+（z+2x）=3（x+y）=3；则有（[ x+2y）+（y+2x）+（z+2x）（] + + ）≥（[× ）+（×）+（× ）]2=9；当且仅当 x=y=z= 时等号成立；变形可得： + + ≥3，即 + +24. 解：（1）在正方形 ABB1A1 中，AB⊥BB1，因为平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C，平面 AA1B1B∩平面 BB1C1C=BB1，AB⊂平面 ABB1A1，所以 AB⊥平面 BB1C1C，在平面 BB1C1C 内过点 B 作 Bz⊥BB1，以点 B 为坐标原点，分别以 BA， BB1 所在的直线为 x，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B-xyz，设 A（2，0，0），则 B1（0，2，0）．在菱形 BB1C1C 中，∠BB1C1=60°，C（0，-1，）， C1（0，1，），，平面 AA1B1B 的一个法向的最小值为 3．量为，则由 cos== =，故线 AC1 与平面 AA1B1B 所成角的正弦值为；第 10 页，共 18 页（2）设平面 BAC1 的一个法向量为由，得，故，，设平面 ACC1 的一个法向量由，得，，故，，由 cos=，故二面角 B-AC1-C 的余弦值为．25. 解：（1）因为 n=4，所以 a0= • = ，a1= • = ；（2）当 x= 时，akxk= ••，又因为 k =k•=n•=n ，当 n=1 时，（n-k）akxk= • = ；当 n≥2 时，（n-k）•ak•xk=（n-k）• ••=n-k=n-n=n- n=n- n= n，当 n=1 时，也符合．所以（n-k）akxk 的值为 n．【解析】1. 解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|-1＜x＜1}，∴A∪B={x|-1＜x＜2}=（-1，2）．故答案为：（-1，2）．进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及并集的运算．2. 解：设 z=a+bi，（a，b∈R）．复数 z 满足 z2=-4，∴a2-b2+2abi=-4，第 11 页，共 18 页，，∴a2-b2=-4，2ab=0，且 z 的虚部小于 0， ∴a=0，b=-2．则 z=-2i．故答案为：-2i．利用复数的运算法则、复数相等即可得出 a，b．本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 解：由题意知， ×（7+x+6+8+8）=7，解得 x=6，计算该组数据的方差为S2= ×[（7-7）2+（6-7）2+（6-7）2+（8-7）2+（8-7）2]= ．故答案为：．由平均数的定义列方程求出 n 的值，再计算这组数据的方差．本题考查了平均数和方差的计算问题，属于基础题．4. 解：模拟程序的运行，可得S=0，I=1 满足条件 I＜6，执行循环体，I=2，S=2 满足条件 I＜6，执行循环体，I=3，S=5 满足条件 I＜6，执行循环体，I=4，S=9 满足条件 I＜6，执行循环体，I=5，S=14 满足条件 I＜6，执行循环体，I=6，S=20 此时，不满足条件 I＜6，退出循环，输出 S 的值为 20．故答案为：20．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是伪代码（算法语句）的应用，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5. 解：函数 f（x）=有意义，只需 log2x-2≥0，且 x＞0，解得 x≥4．则定义域为[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．函数 f（x）=有意义，只需 log2x-2≥0，且 x＞0，解不等式即可得到所求定义域．本题考查函数的定义域的求法，注意运用偶次根式被开方数非负，对数的真数大于 0，考查运算能力，属于基础题．6. 解：某学校高三年级有 A，B 两个自习教室，甲、乙、丙 3 名学生各自随机选择其中一个教室自习，基本事件总数 n=23=8，甲、乙两人不在同一教室上自习包含的基本事件个数 m==4，∴甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为 p= = = ．第 12 页，共 18 页故答案为：．基本事件总数 n=23=8，甲、乙两人不在同一教室上自习包含的基本事件个数m==4，由此能求出甲、乙两人不在同一教室上自习的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7. 解：不等式 x2-mx+3＜0 的解集是（1，3），所以方程 x2-mx+3=0 的解 1 和 3，由根与系数的关系知， m=1+3=4．．故答案为：4．利用不等式与对应方程的关系，和根与系数的关系，即可求得 m 的值．本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．8. 解：双曲线的右准线 x= ，渐近线 y= x，双曲线的右准线与渐近线的交点（，交点在抛物线 y2=2px 上，可得： =3p，），解得 p= ．故答案为：．求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可．本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．9. 解：由于 a2+a9=8，S5=-5，所以．则．所以 S15=15×（-5）+ ×15×14×2=135．故答案是：135．根据等差数列的通项公式和求和公式解答．本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项和，是基础题．10. 解：由=cos2x 得 tan2x= ，则2x=kπ+ ，得 x= + ，k∈Z，取相邻的三个 k， k=-1 时，x=- ，2x=- ，此时 y=cos2x=- ，即 A（- ，- ），第 13 页，共 18 页k=0 时，x= ，2x= ，此时 y=cos2x= ，即 B（，），k=1 时，x= ，2x= ，此时 y=cos2x=- ，即 C（，- ），则|AC|= -（- ）=π，B 到线段 AC 的距离 h= -（- ）= ，则△ABC 的面积 S= π× = π，故答案为： π根据函数相等，建立方程关系求出 x 的值，求出点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可．本题主要考查三角形的面积的计算，结合三角函数的关系求出交点坐标是解决本题的关键，难度中等．11. 解：已知圆 M：x2+y2-4x-8y+12=0，整理得：（x-2）2+（y-4）2=8，令 y=0，圆的方程转换为：y2-8y+12=0，解得 y=2 或 6．由于圆 N 与圆 M 相切于（0，m）且过点（0，-2）．所以 m=2．即圆 N 经过点 A（0，2），B（0，-2）．所以圆心在这两点连线的中垂线 x 轴上， x 轴与 MA 的交点为圆心 N．所以 MA：y=x+2．令 y=0，则 x=-2．即 N（-2，0）， R=|NA=2 ．所以圆 N 的标准方程为：（x+2）2+y2=8．故答案为：（x+2）2+y2=8 直接利用圆与圆的位置关系式的应用和相关的运算的应用求出圆的方程．本题考查的知识要点：圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．12. 解：根据题意，f（x）的图象关于 x=1 对称，所以 f（1+x）=f（1-x）又由 f（x）是 R 上的奇函数，所以 f（x+1）=-f（x-1），则有 f（x+2）=-f（x），f（x+4） =-f（x+2）=f（x）．则 f（x）是周期为 4 的函数，故 f（2020-ln2）=f（-ln2）=-f（ln2）=-（-ex•ln2）=8，变形可得：2x=8，解可得 x=3；故答案为：3 根据题意，分析可得 f（x）是周期为 4 的周期函数，进而结合函数的奇偶性与周期性可得 f（2020-ln2）=f（-ln2）=-f（ln2）=-（-ex•ln2）=8，计算可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期性，13. 解：由 D，E 是 BC上的两个三等分点可得，由图形可得 ==-，==2 - ，又因为即（-）=2（2），第 14 页，共 18 页整理可得：7=，即 7| |•cos∠ADE=| |2+4| |2，由基本不等式可得 cos∠ADE=≥=，故 cos∠ADE 的最小值为：．故答案为：．由 D，E 为三等分点可得相等的向量，，分别写出，，，用与∠ADE 的边有关系的向量表示，再由均值不等式求出最小值．考查平面向量的数量积的运算及其性质，属于中档题．14. 解：构造函数 g（x）=x3-ax-b，则 f（x）=|g（x）|，由于 g（x）+g（-x）=（x3-ax-b）+（-x3+ax-b）=-2b， ∴，函数 y=g（x）的图象关于点（0，-b）对称，且 g'（x）=3x2-a． ①当 a≤0 时，g'（x）≥0，函数 y=g（x）在区间[-1，1]上单调递增，则，∴，此时，当 a=0，-1≤b≤1 时，M 取最小值 1； ②当 a≥3 时，对任意的 x∈[-1，1]，g'（x）≤0，函数 y=g（x）在区间[-1，1]上单调递减，则，∴ 此时，当 a=3，-2≤b≤2 时，M 取最小值 2；③当 0＜a＜3 时，令 g'（x）=0，得，令x g'（x） g（x）[-1，-t） + ↗-t 0 极大值（-t，t） ↘，，列表如下：t 0 极小值（t，1] + ↗不妨设 g（0）=-b≥0，则 b≤0，则，∴M≥max{f（1），f（t），f（-t），f（-1）}， ∵g（-t）+g（t）=2g（0）≥0，且 g（t）＜g（-t），∴g（-t）≥|g（t）|=f（t）， ∵g（-1）+g（1）=2g（0）≥0，若 g（-1）≥g（1），则 g（-1）≥|g（1）|=f（1），若 g（-1）＜g（1），则 g（1）＞0，但 g（-t）＞g（-1）， ∵g（-t）-g（1）=（2t3-b）-（1-a-b）=2t3+a-1=2t3+3t2-1=（2t-1）（t+1）2，∴．当时，，第 15 页，共 18 页当且仅当 b=0，时，即当，b=0 时，M 取得最小值；当时，M≥g（-t）=2t3-b≥2t3＞2．综上所述，当，b=0 时，M 取得最小值，此时．故答案为：．构造函数 g（x）=x3-ax-b，可知该函数关于点（0，-b）对称，然后分 a≤0、a≥3、0＜a ＜3 三种情况讨论，分析函数 y=g（x）在区间[-1，1]上的单调性，得出函数 f（x）=|g （x）|在区间[-1，1]上最值的可能取值，利用绝对值三角不等式可求出当 M 取得最小值时 a+b 的值．本题考查利用绝对值三次函数的最值求参数，解题的关键就是充分利用三次函数的单调性，找出绝对值三次函数最大值的可能值，并结合绝对值三角不等式的性质来求解，考查分类讨论思想，转化思想和函数思想，属难题．15. （1）线面平行的定理的应用，注意一定要有面内，面外的说明；（2）面面垂直定理的性质定理及判定定理的应用．考查线面平行定理的应用及面面垂直的判定定理及性质定理的应用，属于基础题．16. （1）结合已知，可利用余弦定理求出 b；（2）由已知结合同角平方关系可求 sinA，然后结合诱导公式及和差角公式可求 cosC， sinC，再利用同角基本关系及二倍角正切公式可求．本题综合考查了余弦定理，同角基本关系，和差角公式及二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．17. （1）在△SAO 中，，由△SNO1∽△SAO 可知，，从而，，由此能将 V 表示成 r 的函数．（2）由，得，令 V'（r）=0，得 r=2，由此能求出小圆锥的体积 V 的最大值．本题考查圆锥体积最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18. （1）写出直线 l 的方程，由圆心到直线的距离等于半径可得．由此求得椭圆的离心率；（2）设椭圆 C 的焦距为 2c，则右准线方程为，分别联立直线方程、直线与椭圆方程求得 Q 与 P 的坐标，结合，得 a（a2k2-b2）=2b2k2（a-c），由（1）知，，由此列等式求解椭圆 C 的离心率．本题是圆与椭圆的综合题，考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．19. （1）求导，利用导数的几何意义即可求解；（2）因为存在两个不相等的零点，所以 g（x）=ax-1+lnx 存在两个不相等的零点，则，再对 a 分情况讨论求出 a 的取值范围；第 16 页，共 18 页（3）当 a=2 时，，，设 g（x）=2x-1+lnx，则．所以 g（x）单调递增，且，g（1）=1＞0，所以存在使得 g（x0）=0，所以 x=x0 时，f（x）取得极小值，也是最小值，此时，因为，所以 f（x0）∈（-1，0），因为 f（x）≥λ，且 λ 为整数，所以 λ≤-1，即 λ的最大值为-1．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，以及利用导数研究函数的最值，是中档题．20. （1）利用递推关系 an+1=kan-1，取特殊值 n=1，2，3，从而得到 a1=3，a2=3k-1，．因为数列{an-1}是等比数列，利用等比中项公式，可得，进而算出 k=2 或，然后检验即可得解；（2）由（1）可得，结合分组求和法算得 S2m，S2m-1，并得知 S2m-1＞0，S2m＞0．于是假设，则 t=1，3 或 t 为偶数，然后分类讨论每种情形是否符合题意即可得解．本题考查数列的综合运用，涉及递推关系、等比中项公式、分组求和法和分类讨论等知识和方法，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题．21. 写出矩阵 M 的特征多项式 f（λ），根据题意知 f（4）=0 求出 t 的值，写出矩阵 M，再求它的逆矩阵．本题考查了矩阵的特征多项式以及逆矩阵的计算问题，是基础题．22. 首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23. 根据题意，分析可得（x+2y）+（y+2x）+（z+2x）=3（x+y）=3，结合柯西不等式分析可得答案．本题考查柯西不等式的应用，注意柯西不等式的形式，属于基础题．24. （1）在平面 BB1C1C 内过点 B 作 Bz⊥BB1，以点 B 为坐标原点，分别以 BA，BB1 所在的直线为 x，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B-xyz，用向量法求出即可；（2）求出平面 BAC1 的一个法向量和平面 ACC1 的一个法向量，利用向量的夹角公式求出即可．考查了空间面面垂直性质，向量法求线面角、面面角，属于中档题．25. （1）利用二项式展开式公式计算 n=4 时 a0 和 a1 的值；（2）由 x= 写出 akxk，利用 k =n ，讨论 n=1 和 n≥2 时，计算（n-k）•ak•xk 的值即可．本题考查了组合数公式与二项式定理的应用问题，也考查了推理与计算能力，是中档题．第 17 页，共 18 页第 18 页，共 18 页。

(江苏专用)高考数学总复习 (基础达标演练+综合创新备选)第四篇三角函数、解三角形《第20讲函数

2023高考总复习江苏专用（理科）：第四篇三角函数、解三角形《第20讲函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与性质》（根底达标演练+综合创新备选，含解析）A 级根底达标演练(时间：45分钟总分值：80分)一、填空题(每题5分，共35分)1．(2023·苏州调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))的图象如下图，那么φ＝________.解析 T ＝2×(7－3)＝8，所以2πω＝8，ω＝π4，f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.又由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝0，φ∈[0,2π)，得φ＝π4.答案π42．(2023·盐城调研)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4－22·sin 2x 的最小正周期为________．解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4－2(1－cos 2x )＝cos 2x cos 3π4＋sin 2x sin 3π4＋2cos 2x－2＝22 sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案 π3．(2023·苏北四市调研)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最大值为________．解析法一由题意可知y ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x cos π3＋sin 2x sin π3＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以最大值为2.法二 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－π2＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以最大值为2.答案 24．(2023·泰州学情调查)要使sin α－3cos α＝4m －64－m 有意义，那么应有________．解析4m －64－m ＝sin α－3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3∈[－2,2]，所以－2≤4m －64－m ≤2，解得－1≤m ≤73.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，73 5．(2023·镇江调研)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是________．解析 f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π4＋cos x sin π4＋2sin x cos x ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x .设t ＝sin x ＋cos x ，那么t 2＝1＋2sin x cos x ，∴2sin x cos x ＝t 2－1，且由π4≤x ≤π2，得t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[1，2]，所以y ＝t ＋t 2－1＝t 2＋t －1，当t ＝2时，y max ＝2＋1.答案2＋16．(2023·江苏)设定义在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，那么线段P 1P 2的长为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6cos x ，y ＝5tan x 消去y 得6cos x ＝5tan x .整理得6cos 2x ＝5sin x,6sin 2x ＋5sin x －6＝0，(3sin x －2)·(2sin x ＋3)＝0，所以sin x ＝23或sin x ＝－32(舍去)．所以P 1P 2＝sin x ＝23.答案 237．给出以下命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③假设α，β是第一象限角且α＜β，那么tan α＜tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形．其中正确命题的序号为________．(填所有正确命题的序号) 解析 ①y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋π2⇒y ＝－sin 23x 是奇函数； ②由sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的最大值为2，2＜32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32.③α＝60°，β＝390°，显然有α＜β，且α，β都是第一象限角，但tan α＝3，tanβ＝tan 390°＝33，tan α＞tan β，所以③不成立． ④∵2×π8＋54π＝π4＋54π＝32π，而sin 32π＝－1，∴④成立．⑤∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝1≠0，∴⑤不成立．答案 ①④二、解答题(每题15分，共45分) 8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0的图象的一局部如下图． (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，所以1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12，因为|φ|＜π2，所以φ＝π6.又因为1112π是函数的一个零点，且是图象上升穿过x 轴形成的零点，所以11π12ω＋π6＝2π，所以ω＝2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)设2x ＋π6＝B ，那么函数y ＝2sin B 的对称轴方程为B ＝π2＋k π，k ∈Z ，即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解上式得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．9．(2023·华东师大附中模拟)已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A 、B 、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2.(1)求f (x )的解析式；(2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π，又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(k ∈Z )．故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.(2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z )，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.10．(★)(2023·深圳一调)已知函数f (x )＝23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)假设将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1. 【点评】解决三角函数的单调性及最值值域问题主要步骤有：,第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin ωx ＋φ＋h 或y ＝A cos ωx ＋φ＋h 的形式.,第二步：根据sin x 、cos x 的单调性解决问题，将“ωx ＋φ”看作一个整体，转化为不等式问题.,第三步：根据已知x 的范围，确定“ωx ＋φ”的范围.,第四步：确定最大值或最小值.,第五步：明确标准表述结论B 级综合创新备选(时间：30分钟总分值：60分)一、填空题(每题5分，共30分)1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A ＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如下图，那么ω＝________.解析由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知．T 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝π3，所以T ＝23π.因为T ＝2πω＝23π，所以ω＝3.答案 32．(2023·连云港模拟)设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，假设x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，那么x 0＝________.解析因为函数图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3＝0，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，解得x 0＝－π6. 答案－π63．(2023·四川改编)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________．解析将函数y ＝sin x 的图象上所有点向右平移π10个单位得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10，再把所得各点横坐标伸长到原来的2倍得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 4．(2023·福建)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．假设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么f (x )的取值范围是________．解析由f (x )与g (x )的图象对称轴完全相同知两函数的周期相同，∴ω＝2. 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 5．(2023·南通调研)函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，那么正数ω的值为________．解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，由题意得f (x )的最小正周期T ＝4×π2＝2π，所以2πω＝2π，即ω＝1. 答案 16．(2023·菏泽模拟)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，以下结论：①图象C 关于直线x ＝π6对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；③f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π12，5π12上是增函数；④函数g (x )＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到f (x )的图象，其中正确的命题序号是________．解析 ①当x ＝π6时，2x －π3＝2×π6－π3＝0，所以C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，所以①不正确．②当x ＝－π6时，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3≠0，所以②不正确．③当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调增，所以③正确．④g ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3≠f (x )，所以④不正确，故正确的题号是③.答案 ③二、解答题(每题15分，共30分)7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象如下图．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解 (1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12.由22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12＝6，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12＝32.因为0＜x ＜π，所以－π12＜2x －π12＜2π－π12.所以2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3，所以x ＝524π或x ＝38π，故所求交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5π24，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，6.8．(2023·南通调研)已知函数f (x )＝2cos x 2⎝⎛⎭⎪⎫3cos x 2－sin x 2.(1)设θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且f (θ)＝3＋1，求θ的值；(2)在△ABC 中，AB ＝1，f (C )＝3＋1，且△ABC 的面积为32，求sin A ＋sin B 的值．解 (1)f (x )＝23cos 2 x 2－2sin x 2cos x 2＝3(1＋cos x )－sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋ 3.由2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋3＝3＋1，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝12.于是θ＋π6＝2kπ±π3(k ∈Z )．因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以θ＝－π2或π6.(2)因为C ∈(0，π)，由(1)知C ＝π6.因为△ABC 的面积为32，所以32＝12ab sin π6.于是ab ＝2 3.① 在△ABC 中，设内角A ，B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理，得1＝a 2＋b 2－2ab cos π6＝a 2＋b 2－6.所以a 2＋b 2＝7.② 由①②，可得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2.于是a ＋b ＝2＋ 3.由正弦定理，得sin A a ＝sin B b ＝sin C 1＝12.所以sin A ＋sin B ＝12(a ＋b )＝1＋32.。

2021年江苏省南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁七市联考高考数学三调试卷(解析版)

2021年江苏省苏北七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）高考数学三调试卷一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|log2（x﹣1）≤1}，B＝{x|21﹣x≥}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．（1，2]D．（1，3]2．已知复数z＝+3i，则|z|＝（）A．5B．C．D．3+3．设a＝3，b＝log43，c＝4，则（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．a＞b＞c4．已知点A（1，1），B（7，5），将向量绕点A逆时针旋转得到，则点C的坐标为（）A．（5，﹣5）B．（3，﹣7）C．（﹣5，5）D．（﹣3，7）5．“角谷猜想”最早流传于美国，不久传到欧洲，后来日本数学家角谷把它带到亚洲．该猜想是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，经过有限步演算，最终都能得到1．若正整数n经过5步演算得到1，则n的取值不可能是（）A．32B．16C．5D．46．已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，AF2＝2AF1，则双曲线E的离心率为（）A．B．C．D．77．在数1和3之间插入n个实数，使得这n+2个数构成等差数列，将这n+2个数的和记为b n，则数列{log3}的前78项的和为（）A．3B．log378C．5D．log388．已知函数f（x）＝2lnx﹣x2e x+1．若存在x0＞0，使f（x0）≥ax0，则a的最大值为（）A．0B．﹣1C．1﹣e D．1﹣e2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．在△ABC中，M是BC的中点．若＝，＝，则||＝（）A．|﹣|B．|+|C．D．10．在（2x2﹣）6的展开式中，下列说法正确的是（）A．各项系数和为1B．第2项的二项式系数为15C．含x3的项的系数为﹣160D．不存在常数项11．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新log o．设计师的灵感来源于曲线C：|x|n+|y|n＝1．则下列说法正确的是（）A．曲线C关于原点成中心对称B．当n＝﹣2时，曲线C上的点到原点的距离的最小值为2C．当n＞0时，曲线C所围成图形的面积的最小值为πD．当n＞0时，曲线C所围成图形的面积小于412．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝，将△DAC沿着对角线AC折起至△D′AC，连结BD′．设二面角D′﹣AC﹣B的大小为θ，则下列说法正确的是（）A．若四面体D′ABC为正四面体，则θ＝B．四面体D'ABC的体积最大值为1C．四面体D′ABC的表面积最大值为2（+2）D．当时，四面体D′ABC的外接球的半径为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【数学】江苏省苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2020届高三第一次调研考试(期末考试)数学(扫描版)

①当
S2m S2m-1
=b1 时，
m(4 - m) + 4m+1 - 4 3
m(4 - m) + 4m - 4
=
3
，化简得 6m2
- 24m + 8
=
-4m
≤ -4 ，
3
即 m2 - 4m + 2 ≤ 0 ，所以 m 可取值为 1，2，3，
5
验证
S2 S1
=
7 , S4 3 S3
= 3, S6 S5
当
k
=
4 3
时， an+1
-3
=
4 3 (an
-
3)
，所以
an
=
3
，则
an
-1=
2，
所以数列{an -1}的公比为 1，不符合题意；
当
k
=
2
时，
an+1
-1=
2(an
-1)
，所以数列{an
- 1} 的公比
q
=
an+1 - 1 an -1
=
2
，
所以实数 k 的值为 2 ． …………………………………………………………4 分
= 87 得，当 m = 2 时， S4
23
S3
= b1 成立．…………………12
分
②当 t
为偶数时，
S2m S2m-1
=
m(4 - m) + 4m+1 - 4 3
m(4 - m) + 4m - 4 3
=1+
-3m2
3
+ 12m - 4 4m
， +1

2024学年江苏省苏州等四市高考模拟冲刺卷(提优卷)(二)数学试题文试题

2024学年江苏省苏州等四市高考模拟冲刺卷（提优卷）（二）数学试题文试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（） A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞-2．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>3．已知13ω>，函数()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（） A ．②④B ．①③C ．②③D ．①②④4．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．正确的是（）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．天津的往返机票平均价格变化最大C ．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D ．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 5．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（） A ．1B ．-1C ．0D ．26．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =（） A ．12B ．12-C ．2D ．2-7．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（） A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π8．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C ．53D ．749．设，则"是""的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．给出下列四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ﹑q 均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题0:p x R ∃∈，200x ≥，则命题:p x R ⌝∀∈，20x <；④设集合{}1A x x =>，{}2B x x =>，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件；其中正确命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．411．将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为（）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭C ．(),0πD ．4,03π⎛⎫⎪⎝⎭12．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

C03-江苏省苏北四市(徐州、宿迁、淮安、连云港)高三年级第一次质量检测数学试卷(WORD版含解析)

苏北四市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测（徐州市、淮安市、连云港、宿迁市）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则AB =___________．2．已知复数z 满足24z =-，且z 的虚部小于0，则z =___________． 3．若一组数据7,,6,8,8x 的平均数为7，则该组数据的方差是___________． 4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为___________．5．函数()f x =___________．6．某学校高三年级有,A B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为___________．7．若关于x 的不等式230x mx -+<的解集是(1,3)，则实数m 的值___________．8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为___________．9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，298a a +=，55S =-，则15S 的值为___________．10．已知函数2y x =的图象与函数cos2y x =的图象相邻的三个交点分别是,,A B C ，则ABC ∆的面积为___________．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:48120M x y x y +--+=，圆N 与圆M 外切与点(0,)m ，且过点(0,2)-，则圆N 的标准方程为___________．12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称，当(0,1]x ∈时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若(2020ln 2)8f -=，则实数a 的值为___________．13．如图，在ABC ∆中，,D E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ⋅=⋅，则cos ADE ∠的最小值为___________．14．设函数3()||f x x ax b =--，[1,1]x ∈-，其中,a b R ∈.若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时，a b +的值为___________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，AP AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC ．（1）求证：BC ∥平面AMN ；（2）求证：平面AMN ⊥平面PBC .16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos A =．（1）若5a =，c =b 的值；（2）若4B π=，求tan2C 的值.17．（本小题满分14分）如图，在圆锥SO 中，底面半径R 为3，母线长l 为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为1O ，半径为r ，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥1OO ，记圆锥1OO 的体积为V ．（1）将V 表示成r 的函数；（2）求V 得最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右顶点为A ,过点A 作直线l 与圆222:O x y b +=相切，与椭圆C 交于另一点P ，与右准线交于点Q .设直线l 的斜率为k ．（1）用k 表示椭圆C 的离心率；（2）若0OP OQ ⋅=,求椭圆C 的离心率．19．（本小题满分16分）已知函数1()()ln f x a x x=-()a R ∈.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，求a 的值；（2）若()f x 的导函数'()f x 存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围；（3）当2a =时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()f x λ≥恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n N ∈,都有11n n a ka +=-(0)k ≠，数列{1}n a -是公比不为1的等比数列．（1）求实数k 的值；（2）设4,1,n n n n b a n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使得221m m S S -恰好为数列{}n b 中的项．徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包含A 、B 、C 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知矩阵2M t ⎡=⎢⎣ 31⎤⎥⎦的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵1M -.B ．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(cos sin )12ρθθ+=，曲线C 的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，R θ∈）.在曲线C 上点M ,使点M 到l 的距离最小，并求出最小值.C ．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，求111+222x y y z z x++++的最小值.第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，侧面11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ．（1）求直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值；（2）求二面角1B AC C --的余弦值．23.（本小题满分10分）已知n 为给定的正整数，设20122()3n n n x a a x a x a x +=++++，x R ∈.（1）若4n =，求0a ，1a 的值；（2）若13x =，求0()nkk k n k a x =-∑的值.苏北四市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测参考答案数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．答案：{12}x x -<<解析：由题意直接求解即可得A B ={12}x x -<<2．答案：2i -解析：24z =-,则2z i =±，又因为z 的虚部小于0，则2z i =- 3．答案：45解析：7++6+8+875x = 解得6x =，222222(77)(67)(67)(87)(87)455S -+-+-+-+-==4．答案：20 5．答案：[4,+)∞解析：由题意得：2log 2x x >⎧⎨≥⎩，解得4x ≥，所以函数的定义域为[4,+)∞6．答案：12解析：22222222212..A P A A A ==7．答案：4解析：由题意得：221303330m m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得4m =8．答案：14解析：由题意得：双曲线右准线与渐近线的交点为3(,2，代入22y px =得：14p =9．答案：135解析：298a a +=，55S =-，则388a a +=，355a =-，解得：31a =-，89a = 因为158********S a ==⨯=10．答案：211．答案：22(2)8x y ++=解析：圆M 中，令x ＝0，y ＝m ＝2或612．答案：3解析：由题意得：T ＝4，ln 2(2020ln 2)(ln 2)(ln 2)28a a f f f e -=-=-===，解得：3a =13．答案：47解析：323(2)2(2)AB AD AC AE AB AB AC AC AB AC ⋅=⋅⇒⋅+=⋅+ 22222424c AB AC b AB AC c b =⋅+⇒⋅=- 2222()(2)2cos |||2|442AB AC AB AC c b AB ACADE AB AC AB AC AB AC b c AB AC-⋅+--⋅∠==-⋅+⋅⋅+-⋅247=≥14．答案：34解析：（解法1）(1)|1|111()||282111()||282M f a b M f a b M f a b ⎧⎪≥=--⎪⎪≥=--⎨⎪⎪≥-=-+-⎪⎩所以111111362(1)()3()2|1|||3||2282822M f f f a b a b a b≥+-+≥--+-+-+--≥当且仅当0b =，34a =时，上述等号成立，所以M 取最小值时，34a b +=.（解法2）由对称性可知，M 最小时，0b =，且3min ()1x ax a -=-(,(0,1))a x ∈所以3+1(1)x a x ≥+，即2min 3(1)4a x x =-+=，则34a b += 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）解：（1）在PBC △中，因为M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，所以MN // BC ． ………………………………3分又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，所以BC //平面AMN ．…………………………6分（2）在PAB △中，因为AP AB =，M 为棱PB 的中点，所以AM PB ⊥．………………………………8分又因为平面P AB ⊥平面PBC ，平面P AB 平面PBC PB =，AM ⊂平面P AB ，所以AM ⊥平面PBC ．…………………………………………………………12分又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC ． …………………………14分16．（本小题满分14分）解：（1）在中，由余弦定理2222cos b c bc A a +-=得，2202255b +-⨯=，即2450b b --=， …………………………4分解得5b =或1b =-（舍），所以5b =． ………………………………………6分（2）由cos A =及0A <<π得，sin A ===，…8分所以cos cos(())cos()sin )42C A B A A A π=π-+=-+=-- 又因为0C <<π，所以sin C =从而sin tan 3cos C C C ===，………………………………………………12分所以222tan 233tan 21tan 134C C C ⨯===---．………………………………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）在SAO △中，4SO ==， …………………………2分ABC △由1SNO △∽SAO △可知，1SO r SO R =，所以143SO r =，……………………4分所以1443OO r =-，所以223144()π(4)π(3),03339V r r r r r r =-=-<<．…7分（2）由（1）得234()π(3),039V r r r r =-<<，所以24()π(63)9V r r r '=-，令()0V r '=，得2r =，………………………9分当(0,2)r ∈时，()0V r '>，所以()V r 在(0,2)上单调递增；当(2,3)r ∈时，()0V r '<，所以()V r 在(2,3)上单调递减．所以当2r =时，()V r 取得最大值16π(2)9V =．答：小圆锥的体积V 的最大值为16π9．………………………………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）直线l 的方程为)(a x k y -=，即0=--ak y kx ，因为直线l 与圆222b y x O =+：相切，所以b k ak =+-12，故2222b a b k -=．所以椭圆C的离心率e =………………………………4分（2）设椭圆C 的焦距为2c ，则右准线方程为2ax c=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=c a x a x k y 2)(得c ac a k a c a k y -=-=22)(，所以))(,(22c ac a k c a Q -，…6分由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)(12222a x k y b y a x 得02)(2224232222=-+-+b a k a x k a x k a b ，解得222223k a b ab k a x p +-=，则22222222232)(k a b kab a k a b ab k a k y p +-=-+-=，所以)2-2222222223k a b kab k a b ab k a P ++-，（，……………………………………………10分因为0=⋅，所以02)(222222222232=+-⋅-++-⋅ka b k ab c ac a k k a b ab k a c a ，即)(2)(22222c a k b b k a a -=-，………………………………………………12分由（1）知，2222b a b k -=，所以22422222)(2)(b a c a b b b a b a a --=--，所以c a a 22-=，即c a 2=，所以21=a c ，故椭圆C 的离心率为21．……16分19．（本小题满分16分）解：（1）()2111()ln f x x a x x x'=+-，因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，所以(1)11f a '=-=-，得0a =．……………………………………………2分（2）因为21ln ()ax xf x x -+'=存在两个不相等的零点．所以()1ln g x ax x =-+存在两个不相等的零点，则1()g x ax'=+． ①当0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，至多有一个零点．……4分②当0a <时，因为当1(0)x a∈-，时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(+)x a ∈-∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以1x a =-时，max 11()()ln()2g x g a a=-=--． …………………………6分因为()g x 存在两个零点，所以1ln()20a-->，解得2e 0a --<<．………7分因为2e 0a --<<，所以21e 1a->>．因为(1)10g a =-<，所以()g x 在1(0)a-，上存在一个零点． …………8分因为2e 0a --<<，所以211()a a->-．因为22111[()]ln()1g a a a -=-+-，设1t a =-，则22ln 1(e )y t t t =-->，因为20t y t-'=<，所以22ln 1(e )y t t t =-->单调递减，所以()2222ln e e 13e 0y <--=-<，所以22111[()]ln()10g a a a-=-+-<，所以()g x 在1()a-+∞，上存在一个零点．综上可知，实数a 的取值范围为2(e ,0)--．…………………………………10分（3）当2a =时，1()(2)ln f x x x =-，()2211121ln ()ln 2x x f x x x x x x -+'=+-=，设()21ln g x x x =-+，则1()20g x x'=+>．所以()g x 单调递增，且11()ln 022g =<，(1)10g =>，所以存在01(1)2x ∈，使得0()0g x =，……12分因为当0(0)x x ∈，时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 单调递减；当0(+)x x ∈∞，时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 单调递增，所以0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，此时()0000000111()(2)ln (2)12(4)4f x x x x x x x =-=--=-++，……………14分因为01(1)2x ∈，，所以0()(10)f x ∈-，，因为()f x λ≥，且λ为整数，所以1λ-≤，即λ的最大值为1-．………16分20．（本小题满分16分）解：（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--，因为{1}n a -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，即22(32)2(32)k k k -=⨯--，即231080k k -+=，解得2k =或43k =，…2分当43k =时，143(3)3n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=，所以数列{1}n a -的公比为1，不符合题意；当2k =时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}n a -的公比1121n n a q a +-==-，所以实数k 的值为2． …………………………………………………………4分（2）由（1）知12nn a -=，所以4n nn n b n - , ⎧⎪=⎨2, ⎪⎩为奇数,为偶数, 则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =-++-+++--+2(41)(43)[4(21)]444m m =-+-++--++++144(4)3m m m +-=-+，……………………………………………………6分则212244(4)3m m m m S S b m m --=-=-+，因为22+1324mm m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=⨯->，且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >，设2210,mt m S b t S -=>∈*N ，…………………………………………………………8分则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=mm S b S -时，144(4)3344(4)3m mm m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤，即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3，验证624135787,3,323S S S S S S ===得，当2m =时，413S b S =成立．…………………12分②当t 为偶数时，1222144(4)331443124(4)134m m m m mm m S S m m m m +---+==+--+--++，设231244m m m m c -+-=，则211942214m m m m m c c ++-+-=，由①知3m >，当4m =时，545304c c --=<；当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<，所以m c 的最小值为5191024c -=，所以22130151911024m m S S -<<+<-+，令22214m m S b S -==，则2314312414mm m +=-+-+，即231240m m -+-=，无整数解．综上，正整数m 的值2．………………………………………………………16分徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包含A 、B 、C 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）解：矩阵M 的特征多项式为23()(2)(1)31f t t λλλλλ--==-----．…………2分因为矩阵M 的一个特征值为4，所以(4)630f t =-=，所以2t =．…………5分所以2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，所以11313213221324422112132213222--⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⨯-⨯⨯-⨯==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⨯-⨯⨯-⨯⎣⎦⎣⎦M ．……10分 B ．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）解：由:cos sin 120l ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以l 的直角坐标方程为120x y +-=． ………………………………………2分在曲线C上取点()2sin M ϕϕ，，则点M 到l 的距离124sin 3d ϕπ-+===，…………6分当6ϕπ=时，d 取最小值…………………………………………………8分此时点M 的坐标为()3,1．………………………………………………………10分C ．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）解：因为x y z ，，都为正数，且1x y z ++=，所以由柯西不等式得，1113(222x y y z z x +++++111([(2)(2)(2)]222x y y z z x x y y z z x=++⋅++++++++………………5分29=≥，当且仅当13x y z ===时等号成立，所以111222x y y z z x +++++的最小值为3．…………………………………10分第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（1）因为四边形11AA B B 为正方形，所以1AB BB ⊥，因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B 平面111BB C C BB =，AB ⊂平面11AA B B ，所以AB ⊥平面11BB C C 以点B 为坐标原点，分别以BA ,1BB 所在的直线为x ,y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -. 不妨设正方形11AA B B 的边长为2，则()2 0 0A ，，，()10 2 0B ，，．在菱形11BB C C 中，因为1160BB C ∠=︒，所以1(0 1C ，，所以1( 2 1 AC =-，．因为平面11AA B B 的法向量为()0 0 1=，，n ，设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为α，则1sin |cos ,|AC α=<>==n ，即直线1AC 与平面11AA B B．………………………6分（2）由（1）可知，(0 1 C -，，所以()10 2 0CC =，，．设平面1ACC 的一个法向量为()1111 x y z =，，n ，因为11110,0,AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即()(()()111111 2 1 0 0 2 00x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，取1x =，10y =，11z =，即1 0 1⎫=⎪⎭，，n ．设平面1ABC 的一个法向量为()2222 x y z =，，n ，因为()2 0 0BA =，，，(10 1 BC =，，所以()()()(222222 2 0 00 0 1 0x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，取()20 1=-，n ．…………8分设二面角1B AC C --的平面角为θ，则121212 cos cos θ⋅=-<>=-==⋅，n n n n n n 所以二面角1B AC C --．…………………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）因为4n =，所以0404216C ()=381a =，1314232C ()=327a =．……………………2分（2）当13x =时，21C ()()33k k n k k k n a x -=，又因为11!(1)!C C !()!(1)!()!k k n n n n k k n n k n k k n k ---===---，………………………4分当1n =时，011022()C ()33nk k k n k a x =-==∑； …………………………………5分当2n ≥时，0021()()C ()()33n nk k n k kk n k k n k a x n k -==-=-∑∑012121C ()()C ()()3333n nk n k k k n k k n n k k n k --===-∑∑1112121()C ()()3333n n k n k kn k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑1121()333n n n -=-+23n =，当1n =时，也符合．所以0()nkk k n k a x =-∑的值为23n ．………………………………………………10分。

江苏高考苏北四市联考数学

2016～2017学年第一学期高三期中调研试卷(二)数学(满分160分，考试时间120分钟)2016．11 参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知全集U ＝{－1，0，1，2}，集合A ＝{－1，2}，则∁U A ＝__________．2. 已知复数z 满足z(1－i)＝2，其中i 为虚数单位，则z 的实部为__________．(第4题)3. 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的最小正周期为__________．4. 右图是一个算法的流程图，则输出x 的值为__________．5. 某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取__________人．6. 若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为__________．7. 设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，则3x ＋2y 的最大值为__________．8. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2＝3，S 4＝16，则S 9的值为________．9. 将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是__________．(第10题)10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 1，B 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若B 2F ⊥AB 1，则椭圆C 的离心率是__________．11. 若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin (α－β)的值为__________．12. 已知正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，则ab 的最小值为________．13. 已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB→的取值范围是__________．14. 已知函数f(x)＝|x2－4|＋a|x－2|，x∈[－3，3]．若f(x)的最大值是0，则实数a的取值范围是______________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB＝2，tanC＝3.(1) 求角A的大小；(2) 若c＝3，求b的长．16.(本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF⊥C1D.求证：(1) 直线A1E∥平面ADC1；(2) 直线EF⊥平面ADC1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．(1) 若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，且MN＝AB，求直线l的方程；(2) 在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝2 km，BC ＝1 km.现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．(1) 如图1，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；(2) 如图2，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．在数列{a n }中，已知a 1＝13，a n ＋1＝13a n －23n ＋1，n ∈N *.设S n 为{a n }的前n 项和．(1) 求证：数列{3n a n }是等差数列； (2) 求S n ；(3) 是否存在正整数p ，q ，r(p ＜q ＜r)，使S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．设函数f(x)＝lnx －ax 2＋ax ，a 为正实数．(1) 当a ＝2时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2) 求证：f ⎝⎛⎭⎫1a ≤0；(3) 若函数f(x)有且只有1个零点，求a 的值.2016～2017学年第一学期高三期中调研试卷(二) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F.求证：AB 2＝BE·BD －AE·AC.B. (选修42：矩阵与变换) 求椭圆C ：x 29＋y 24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1300 12对应的变换作用下所得的曲线的方程．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)设c＞0，|x－1|＜c3，|y－1|＜c3，求证：|2x＋y－3|＜c.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP ＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．(1) 求异面直线AP，BM所成角的余弦值；(2) 点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为45，求λ的值．23.设n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2.(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 求证：对任意正整数n，f(n)是8的倍数．2016～2017学年第一学期高三期中调研试卷(二)(苏北四市)数学参考答案及评分标准1. {0，1}2. 13. 4π4. 235. 86. 357. 38. 819. 16π3 10. 5－12 11. －1312. 36 13. [－9，0] 14. (－∞，－5]15. 解：(1) 因为tanB ＝2，tanC ＝3，A ＋B ＋C ＝π，所以tanA ＝tan [π－(B ＋C)]＝－tan(B ＋C)(2分)＝－tanB ＋tanC 1－tanBtanC ＝－2＋31－2×3＝1.(4分)又A ∈(0，π)，所以A ＝π4.(6分)(2) 因为tanB ＝sinB cosB ＝2，且sin 2B ＋cos 2B ＝1，又B ∈(0，π)，所以sinB ＝255.(8分)同理可得，sinC ＝31010.(10分)由正弦定理，得b ＝csinBsinC ＝3×25531010＝2 2.(14分)16. 证明：(1) 连结ED ，因为D ，E 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以B 1E ∥BD 且B 1E ＝BD ，所以四边形B 1BDE 是平行四边形，(2分) 所以BB 1∥DE 且BB 1＝DE. 又BB 1∥AA 1且BB 1＝AA 1，所以AA 1∥DE 且AA 1＝DE ，所以四边形AA 1ED 是平行四边形，(4分) 所以A 1E ∥AD.因为A 1E 平面ADC 1，AD 平面ADC 1，所以直线A 1E ∥平面ADC 1.(7分)(2) 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，又AD 平面ABC ，所以AD ⊥BB 1.又△ABC 是正三角形，且D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC.(9分) 又BB 1，BC平面B 1BCC 1，BB 1∩BC ＝B ，所以AD ⊥平面B 1BCC 1.又EF 平面B 1BCC 1，所以AD ⊥EF.(11分)又EF ⊥C 1D ，C 1D ，AD 平面ADC 1，C 1D ∩AD ＝D ，所以直线EF ⊥平面ADC 1.(14分)17. 解：(1) 圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C(2，0)，半径为2.因为l ∥AB ，A(－1，0)，B(1，2)，所以直线l 的斜率为2－01－（－1）＝1.设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，(2分)则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m|2＝|2＋m|2.(4分)因为MN ＝AB ＝22＋22＝22，而CM 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫MN 22，所以4＝（2＋m ）22＋2，(6分)解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(8分)(2) 假设圆C 上存在点P ，设P(x ，y)，则(x －2)2＋y 2＝4， PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4.(10分)因为|2－2|＜（2－0）2＋（0－1）2＜2＋2，(12分) 所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以点P 的个数为2.(14分)18. 解：(1) 因为AD ＝DC ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，所以AB ＝ 3.(2分)图1取AB 中点G ，则四边形BCEF 的面积为12S 梯形ABCD ＝S 梯形BCEG ＋S △EFG ，即12×12×3(1＋2)＝12×32⎝⎛⎭⎫1＋32＋12GF ×32，解得GF ＝36，(6分)所以EF ＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫362＝213(km)．故灌溉水管EF 的长度为213km.(8分)图2(2) 设DE ＝a ，DF ＝b ，在△ABC 中，CA ＝12＋（3）2＝2，所以在△ADC 中，AD ＝DC ＝CA ＝2，所以∠ADC ＝60°，所以△DEF 的面积为S △DEF ＝12absin60°＝34ab.又S 梯形ABCD ＝332，所以34ab ＝334，即ab ＝3.(12分)在△ADC 中，由余弦定理，得EF ＝a 2＋b 2－ab ≥ab ＝3，当且仅当a ＝b ＝3时，取“＝”．故灌溉水管EF 的最短长度为 3 km.(16分)19. (1) 证明：因为a n ＋1＝13a n －23n ＋1，所以3n ＋1a n ＋1－3n a n ＝－2.(2分)因为a 1＝13，所以31·a 1＝1，所以{3n a n }是首项为1，公差为－2的等差数列．(4分)(2) 解：由(1)知，3n a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝3－2n ，所以a n ＝(3－2n)⎝⎛⎭⎫13n ，(6分)所以S n ＝1·⎝⎛⎭⎫131＋(－1)·⎝⎛⎭⎫132＋(－3)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(3－2n)·⎝⎛⎭⎫13n ，所以13S n ＝1·⎝⎛⎭⎫132＋(－1)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(5－2n)·⎝⎛⎭⎫13n ＋(3－2n)·⎝⎛⎭⎫13n ＋1，两式相减得，23S n ＝13－2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －(3－2n)·⎝⎛⎭⎫13n ＋1 ＝13－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤19×1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝2n·⎝⎛⎭⎫13n ＋1，所以S n ＝n 3n .(10分) (3) 解：假设存在正整数p ，q ，r(p ＜q ＜r)，使S p ，S q ，S r 成等差数列，则2S q ＝S p ＋S r ，即2q 3q ＝p 3p ＋r 3r . 由于当n ≥2时，a n ＝(3－2n)⎝⎛⎭⎫13n ＜0，所以数列{S n }单调递减．又p ＜q ，所以p ≤q －1且q 至少为2，所以p 3p ≥q －13q －1，(12分) q －13q －1－2q 3q ＝q －33q . ① 当q ≥3时，p 3p ≥q －13q －1≥2q 3q ，又r 3r ＞0，所以p 3p ＋r 3r ＞2q 3q ，等式不成立．(14分) ② 当q ＝2时，p ＝1，所以49＝13＋r 3r ，所以r 3r ＝19，所以r ＝3({S n }单调递减，解唯一确定)．综上可知，p ，q ，r 的值分别为1，2，3.(16分)20. (1) 解：当a ＝2时，f(x)＝lnx －2x 2＋2x ，则f′(x)＝1x－4x ＋2，(2分) 所以f′(1)＝－1.又f(1)＝0，所以曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x ＋y －1＝0.(4分)(2) 证明：因为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －1a＋1，设函数g(x)＝lnx －x ＋1，则g′(x)＝1x －1＝1－x x.(6分) 令g′(x)＝0，得x ＝1，列表如下：所以g(x)的极大值为g(1)＝0.所以f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a －1a＋1≤0.(8分) (3) 解：f′(x)＝1x －2ax ＋a ＝－2ax 2－ax －1x，x ＞0. 令f′(x)＞0，得a －a 2＋8a 4a ＜x ＜a ＋a 2＋8a 4a. 因为a －a 2＋8a 4a ＜0，所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ＋a 2＋8a 4a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2＋8a 4a ，＋∞上单调递减．所以f(x)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2＋8a 4a .(10分) 设x 0＝a ＋a 2＋8a 4a，因为函数f(x)只有1个零点，而f(1)＝0，所以1是函数f(x)的唯一零点．当x 0＝1时，f(x)≤f(1)＝0，f(x)有且只有1个零点，此时a ＋a 2＋8a 4a＝1，解得a ＝1.(12分) 下证，当x 0≠1时，f(x)的零点不唯一．若x 0＞1，则f(x 0)＞f(1)＝0，此时a ＋a 2＋8a 4a ＞1，即0＜a ＜1，则1a ＞1. 由(2)知，f ⎝⎛⎭⎫1a ＜0，又函数f(x)在以x 0和1a为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x 0和1a之间存在f(x)的零点，则f(x)共有2个零点，不符合题意；若x 0＜1，则f(x 0)＞f(1)＝0，此时a ＋a 2＋8a 4a ＜1，即a ＞1，则0＜1a＜1. 同理可得，在1a和x 0之间存在f(x)的零点，则f(x)共有2个零点，不符合题意．因此x 0＝1，所以a 的值为1.(16分)高三数学附加题试卷(二)参考答案第页(共2页)(这是边文，请据需要手工删加)2016～2017学年第一学期高三期中调研试卷(二)(苏北四市)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明：连结AD ，因为AB 为圆O 的直径，所以∠ADB ＝90°.又EF ⊥AB ，∠AFE ＝90°，则A ，D ，E ，F 四点共圆，所以BD·BE ＝BA·BF.(5分)又△ABC ∽△AEF ，即AB·AF ＝AE·AC ，所以BE·BD －AE·AC ＝BA·BF －AB·AF＝AB·(BF －AF)＝AB 2.(10分)B. 解：设椭圆C 上的点(x 1，y 1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点(x ，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 112y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，(5分) 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝2y ，代入椭圆方程x 29＋y 24＝1，得x 2＋y 2＝1，所以所求曲线的方程为x 2＋y 2＝1.(10分)C. 解：由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3得12ρsin θ＋32ρcos θ＝3，(5分) 又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以曲线C 的直角坐标方程为3x ＋y －6＝0.(10分)D. 证明：因为|x －1|＜c 3，所以|2x －2|＜2c 3，故|2x ＋y －3|＝|2x －2＋y －1|(5分)≤|2x －2|＋|y －1| ＜2c 3＋c 3＝c ，故|2x ＋y －3|＜c.(10分)22. 解：(1) 因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ，AD平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD.因为∠BAD ＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立空间直角坐标系，则由AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．因为M 为PC 的中点，所以M(1，1，2)．所以BM →＝(－1，1，2)，AP →＝(0，0，4)，(2分)所以cos 〈AP →，BM →〉＝AP →·BM →|AP →||BM →|＝0×（－1）＋0×1＋4×24×6＝63，所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为63.(5分) (2) 因为AN ＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN →＝(－1，λ－1，－2)，BC →＝(0，2，0)，PB →＝(2，0，－4)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －4z ＝0.令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1，所以m ＝(2，0，1)是平面PBC 的一个法向量．(7分)因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以|cos 〈MN →，m 〉|＝|MN →·m ||MN →||m |＝|－2－2|5＋（λ－1）2·5＝45，解得λ＝1∈[0，4]，所以λ的值为1.(10分)25. (1) 解：代入求出f(1)＝8，f(2)＝56，f(3)＝368.(3分)(2) 证明：① 当n ＝1时，f(1)＝8是8的倍数，命题成立．(4分)② 假设当n ＝k 时命题成立，即f(k)＝3k ＋7k －2是8的倍数，那么当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝3k ＋1＋7k ＋1－2＝3(3k ＋7k －2)＋4(7k ＋1)．因为7k ＋1是偶数，所以4(7k ＋1)是8的倍数．又由归纳假设知3(3k ＋7k －2)是8的倍数，所以f(k ＋1)是8的倍数，所以当n ＝k ＋1时，命题也成立．根据①②知命题对任意n ∈N *成立．(10分)。

精选江苏省苏北四市高三数学上学期期末联考试题(含答案)

江苏省苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）上学期期末联考试题高三数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1、已知集合{}{}2,0,2,3A B =-=-，则AB = ．2、已知复数z 满足(1)2i z i -=，其中i 为虚数单位，则z 的模为．3、某次比赛甲得分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分，去掉一个最低分，则剩下4个分数的方差为．4、根据如图所示的伪代码，则输出S 的值为．5、从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为．6、若抛物线28y x =的焦点恰好是双曲线2221(0)3x y a a -=>的右焦点，则实数a 的值为．7、已知圆锥的底面直径与高都是2，则该圆锥的侧面积为． 8、若函数()sin()(0)6f x x πωπω=->的最小正周期为15，则1()3f 的值为．9、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若223323,23S a S a =+=+，则公比q 的值为．10、已知函数()f x 是定义R 在上的奇函数，当0x >时，()23xf x =-，则不等式()5f x -≤ 的解集为．11、若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为． 12、已知非零向量,a b 满足a b a b ==+，则a 与2a b -夹角的余弦值为．13、已知,A B 是圆221:1C x y +=上的动点，AB =P 是圆222:(3)(4)1C x y -+-=上的动点，则PA PB +的取值范围为． 14、已知函数32sin ,1()925,1x x f x x x x a x <⎧=⎨-++⎩≥，若函数()f x 的图象与直线y x =有三个不同的公共点，则实数a 的取值集合为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤）15、在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知2cos (cos cos )A b C c B a +=．（1）求角A 的值；（2）若3cos 5B =，求sin()BC -的值．16、如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，EA EB ⊥，点,M N 分别是,AE CD 的中点．求证：（1）直线MN ∥平面EBC ；（2）直线EA ⊥平面EBC ．17、如图，已知,A B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的B 处，点C 在A 的正西方向1km 处，3tan ,44BAN BCN π∠=∠=．现计划铺设一条电缆联通,A B 两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元∕km、4万元∕km．（1）求,A B两镇间的距离；（2）应该如何铺设，使总铺设费用最低？18、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为2，且右焦点F到左准线的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，P为椭圆C上位于x轴上方的点，直线PA交y轴于点M，过点F作MF的垂线，交y轴于点N．（ⅰ）当直线的PA斜率为12时，求FMN∆的外接圆的方程；（ⅱ）设直线AN交椭圆C于另一点Q，求APQ∆的面积的最大值．19、已知函数2(),()ln ,2R x f x ax g x x ax a e=-=-∈．（1）解关于()R x x ∈的不等式()0f x ≤；（2）证明：()()f x g x ≥；（3）是否存在常数,a b ，使得()()f x ax b g x +≥≥对任意的0x >恒成立？若存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由．20、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,(1)(1)6()n n n a a a a S n +=++=+，*∈N n ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对于N n *∀∈ ，都有(31)n S n n +≤成立，求实数a 取值范围；（3）当2a =时，将数列{}n a 中的部分项按原来的顺序构成数列{}n b ，且12b a =，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{}n b ．苏北四市2019-2020学年度高三年级联考试题数学II(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.【选修4-1:几何证明选讲】（本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径，D 为弧BC 的中点，E 为BC 的中点，求证：AB ·BC=2AD ·BD ．B ．【选修4-2:矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵A=的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为a =，求实数a ，b 的值.C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l ρsin （θ一4）=m （m ∈R ），圆C 的参数方程为（t 为参数）．当圆心C 到直线l 时，求m 的值。

江苏省苏北四市(徐州、淮安、宿迁、连云港)2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题变式题

江苏省苏北四市(徐州、淮安、宿迁、连云港)2022届高三年级第一学期期末调研考试数学试题变式题1 知识点交并补混合运算【正确答案】D1-1（基础）已知集合{}5A x x =<，{}17B x x =<<，则() RA B ⋂=（）．A.[]5,7B.[)5,7C.(]5,7D.()5,7【正确答案】 B1-2（基础）已知集合{}310A x x =≤<，{}13516B x x =<-<，则()A B =R （）A.{}23x x <<B.{}23x x <≤C.{}710x x <<D.{}210x x <<【正确答案】 A1-3（巩固）已知集合{}{260,1A xx x B x x =--≤=≤-∣∣或}4x >，则RA B =（）A.{}21xx -≤≤-∣ B.{3xx ≤∣或}4x > C.{}24xx -≤≤∣ D.{}13xx -<≤∣ 【正确答案】 D1-4（巩固）设全集U =R ,集合{}{}21,40M x x N x x =≤=-<,集合()U M N 等于（）A.[)1,2B.()1,2C.()2,1-D.[)2,1-【正确答案】 B1-5（提升）设全集U =R ，集合{}21A x x =-<，{}240xB x =-≥，则集合()UA B =（）A.()1,2B.(]1,2C.[)1,2D.[]1,2【正确答案】 A已知全集为R ，集合{}2311,4302x A xB x x x x -⎧⎫=≥=-+≤⎨⎬-⎩⎭∣∣，则()R A B ⋂（） A.3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[]2,3D.(]2,3【正确答案】 C2 知识点求复数的模,复数的除法运算3i+A.5C.3【正确答案】 B2-2（基础）复平面内表示复数62i2iz +=-，则z =（）A. B. C.4D.【正确答案】 A2-3（巩固）已知i 是虚数单位，复数z 满足()2i 12i z +⋅=-+，则=z （） A.iB.1C.35D.53【正确答案】 B2-4（巩固）若()()1i 12z +-=，则=z （）A.1B.2【正确答案】 D已知复数2i1iz -=+（其中i 为虚数单位），则||z z -=（） A.0B.1C.32D.3【正确答案】 D设i 为虚数单位，若复数z 满足()1i 2z +=，则i z -=（）A.1D.2【正确答案】 C3 知识点分式不等式,充分条件的判定及性质【正确答案】C3-1（基础）若x ∈R ，则使“22x x <”成立的一个必要不充分条件为（） A.01x << B.224x x >C.21x> D.0x >【正确答案】 D3-2（基础）若p ：23x -≤，则p 成立的一个充分不必要条件是（） A.16x -≤≤ B.25x -≤≤ C.15x -<≤ D.06x ≤≤【正确答案】 C3-3（巩固） “a b >”的一个充分条件是（） A.11a b < B.2ab b >C.110b a-<-<D.2a ab >【正确答案】 C3-4（巩固）对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如][1.22,1.51⎡⎤-=-=⎣⎦，那么不等式[]24[]1670x x -+<成立的充分不必要条件是（）A.1722x << B.13x ≤≤ C.14x ≤<D.14x ≤≤不等式20x x m -+>在R 上恒成立的一个必要不充分条件是（） A.14m >B.01m <<C.0m >D.1m >【正确答案】 C“ a b >”的一个充分条件是（） A.e 0a b -> B.ln0ab> C.a b a b >D.110a b<< 【正确答案】 D4 知识点不相邻排列问题【正确答案】A4-1（基础）高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（） A.72B.144C.48D.36【正确答案】 A4-2（基础）现有10本书，其中有4本不同的英文读物，6本不同的中文读物，某学生计划一年看完这10本书，为了缓解疲劳，要求英文读物不能相邻阅读，则可以排出的阅读顺序总数为（） A.7476A A B.1646A AC.4467A AD.6467A A【正确答案】 D4-3（巩固）某学校组织6×100接力跑比赛，某班级决定派出A ，B ，C ，D ，E ，F 等6位同学参加比赛．在安排这6人的比赛顺序时要保证A 要在B 之前，D 和F 的顺序不能相邻，则符合要求的安排共有（） A.240种 B.180种C.120种D.150种【正确答案】 A4-4（巩固）自2020年“新冠”出现后，全国人民“众志成城，齐心抗疫”.许多志愿者挺身而出，现安排4名男性志愿者，3名女性志愿者站成一排将逐一进行核酸检测，要求男女相间且女性甲要在女性乙之前检测，则不同的安排方法的种数是（） A.36种B.72种C.108种D.144种某人根据自己爱好，希望从{},,,W X Y Z 中选2个不同字母，从{}0,2,6,8中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母Z 和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（） A.198个 B.180个 C.216个 D.234个【正确答案】 A援鄂医护人员A ，B ，C ，D ，E ，F 共6人（其中A 是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和当地的一位领导共7人站成一排拍照，则领导和队长A 相邻且不站两端，B 与C 相邻，B 与D 不相邻的排法种数为（）． A.120B.240C.288D.360【正确答案】 B5 知识点平面向量线性运算的坐标表示,由向量共线（平行）求参数,坐标计算向量的模,利用向量垂直求参数【正确答案】B5-1（基础）已知向量()32a =-，，()1b x =，（0x >），若()()2a b a b +⊥-，则b =（）【正确答案】 B5-2（基础）已知()3,4a =，(),1b t =，()a b a -⊥，则b =（）A.2B. C.1D.【正确答案】 B5-3（巩固）已知平面向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且|2||2|a b a b -=+，则||a b +=（） A.1B.2C.3D.4已知向量,a b 满足||1,||2,(3,2)a b a b ==-=，则|2|a b -等于（）A.D.【正确答案】 A已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90，AD ＝4，BC ＝2，P 是腰DC 上的动点，则|2|PA PB +的最小值为（）A.8B.7C.6D.4【正确答案】 A（提升）已知e 为单位向量，向量a 满足：()()50a e e a --⋅=，则a e +的最大值为（） A.4B.5C.6D.7【正确答案】 C6 题】知识点椭圆定义及辨析,求椭圆的离心率或离心率的取值范围,根据抛物线方程求焦点或准线,抛物线的对称性的应用22【正确答案】 B6-2（基础）已知椭圆C ：22221x y a b +=与抛物线E ：()220y px p =>有公共焦点F ，椭圆C 与抛物线E 交于A ，B 两点，且A ，B ，F 三点共线，则椭圆C 的离心率为（）1 【正确答案】 A已知12F F 、是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左､右焦点，点P 为抛物线28(0)y ax a =->准线上一点，若12F PF △是底角为15︒的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）1 1【正确答案】 A已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F 与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点重合，P 为椭圆1C 与抛物线2C 的公共点，且PF x ⊥轴，那么椭圆1C 的离心率为（）1 C.21【正确答案】 A已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点2(,0)F c ，此椭圆在第一象限交抛物线24y cx =于点P ，且232cPF =，则椭圆的离心率为( )【正确答案】 A已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为2c ，左焦点为F ，右顶点为A ，若抛物线()2158y a c x =+与椭圆交于B ，C 两点，且四边形ABFC 是菱形，则椭圆E 的离心率是（）A.815B.415C.23D.12【正确答案】 D7 题】知识点柱体体积的有关计算,椭圆的其他应用【正确答案】 C7-1（基础）中国古代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，1AA ⊥底面，底面扇环所对的圆心角为2π，AD 长度为BC 长度的3倍，且线段2AB CD ==，则该“曲池”的体积为（）A.92π B.5π C.112πD.6π【正确答案】 D7-2（基础）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中,B C 分别是上、下底面圆的圆心，且3AC AB =，则该陀螺下半部分的圆柱与上半部分的圆锥的体积的比值是（）A.2B.3C.4D.6【正确答案】 D7-3（巩固）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”（如图3），莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，若曲侧面三棱柱的高为4，底面任意两顶点之间的距离为A.(2002π-B.(400πC. D.(4002π【正确答案】B7-4（巩固）2022年6月5日，我国三名航天员乘坐神舟十四号载入飞船成功升空．预计三名航天员在太空工作6个月，在轨期间将进行多个科学实验，任务完成后，乘返回舱返回地面．某自然科学博物馆为了青少年参观学习的需要，仿制了一个返回舱，如图所示，若仿制的返回舱的内腔轴截面曲线C近似由半椭圆：221(0)1612y xy+=>和弧：22(2)16(0)x y y+-=≤组成，曲线C内接一各边与坐标轴分别平行的矩形，满足水平方向矩形的边长为6，若由这个矩形绕y轴旋转，形成圆柱作为返回时载物及航天员座椅的空间，则这个空间的体积为（）A. B. C.36π D.【正确答案】B7-5（提升）《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中的一个寓言故事，通过讲述一只乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解的道理.如图所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，已知该锥形瓶上面的部分是圆柱体，下面的部分是圆台，瓶口的直径为3cm，瓶底的直径为9cm，瓶口距瓶颈.现将1颗石子投入瓶中，发现水位，时，乌鸦就能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（石子体积均视为一致）（）A.2颗B.3颗C.4颗D.5颗【正确答案】 B7-6（提升）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120︒，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A.23B.24C.26D.27【正确答案】 D【原卷 8 题】知识点分组（并项）法求和【正确答案】B8-1（基础）已知数列{}n a 的通项公式为cos 1),(n n a n n S π=-为数列的前n 项和，2021S =（） A.1008 B.1009C.1010D.1011【正确答案】 D数列()(){}121nn --的前2022项和等于（） A.1010- B.2022 C.2018- D.2019【正确答案】 B设数列{}n a 的通项公式为()()121cos12nn n a n π=--⋅-，其前n 项和为n S ，则2022S =（） A.4041 B.5- C.2021- D.4045-【正确答案】 D已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111012a =，1221012n n n n a a a +++++=，则2023S =（） A.138B.674C.675D.2023【正确答案】 C高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数.已知数列{}n a 满足21a =，且121(1)2n n n n a na +++-=，若[]lg n n b a =数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2021T =（） A.3950 B.3953 C.3840 D.3845【正确答案】 D设数列{}n a 的通项公式为()()()*121cos1N 2nn n a n n π=--⋅+∈，其前n 项和为n S ，则120S =（） A.60-B.120-C.180D.240【正确答案】 D9 知识点二项式的系数和,求有理项或其系数,二项展开式各项的系数和【正确答案】 A C D9-1（基础）已知()22nx n⎛∈ ⎝N 的展开式中各项的二项式系数之和为64，则（）．A.6n =B.展开式中各项的系数和为1C.展开式中第3项或第4项的二项式系数最大D.展开式中有理项只有4项【正确答案】 ABD在nx⎛⎝的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，下列结论正确的是（）A.6n =B.各项二项式系数之和为128C.各项系数之和为0D.有理项共4项【正确答案】 ACD在72x⎛⎝的展开式中，下列说法正确的有（）A.所有项的二项式系数和为128B.所有项的系数和为1C.二项式系数最大的项为第4项D.有理项共3项【正确答案】 AB已知二项式12nx ⎫⎪⎭的展开式中各项系数之和是1128，则下列说法正确的有（）A.展开式共有7项B.二项式系数最大的项是第4项C.所有二项式系数和为128D.展开式的有理项共有4项【正确答案】 CD已知6112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（）A.1a =B.展开式中常数项为160C.展开式系数的绝对值的和1458D.展开式中含2x 项的系数为240【正确答案】 ACD下列结论正确的是（）A.*023()nk k n n k C n N ==∈∑B.多项式621x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为52 C.若1021001210(21),x a a x a x a x x R -=++++∈，则10012103a a a a ++++=D.012321221*22222222232()n n n n n n n n n C C C C C C n N --++++++=⋅∈ 【正确答案】 ACD10 知识点由图象确定正（余）弦型函数解析式,求sinx 型三角函数的单调性,求正弦（型）函数的奇偶性π的是（）A.为了得到()sin 2g x x =的图象，只要将()f x 的图象向右平移6π个单位长度 B.函数()f x 的图象的一条对称轴为712x π=C.函数()f x 在区间0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.方程()0f x =在区间[]0,2020上有1285个实数解【正确答案】 AB已知()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，相邻两条对称轴的距离为2π，则下列说法正确的是（） A.2ω=，6πϕ=B.将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称C.函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.为了得到()f x 的图象，可以将函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位【正确答案】 BC已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ (A ＞0，ω＞0，2πϕ<)的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数f (x )的图象关于点(,0)6π-对称 B.函数f (x )的图象关于直线512x π=-对称 C.函数f (x )在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增 D.该图象向右平移3π个单位可得y =2sin2x 的图象【正确答案】 AB10-4（巩固）已知函数()()πsin 20,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B.()f x 的图象向右平移π12个单位后得到sin2y x =的图象C.()f x 在区间π,2π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D.π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数【正确答案】 BD10-5（提升）已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）．A.π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C.()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭上有且仅有2个零点D.将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象【正确答案】 BC10-6（提升）已知函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的周期为π2B.函数()y f x =的图象关于直线19π12x =对称 C.函数()y f x =在区间2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()1y f x =-在区间[]0,2π上有4个零点【正确答案】 BD【原卷 11 题】知识点画出具体函数图象,垂直关系的向量表示,函数新定义【正确答案】 B D11-1（基础）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳尔（L.E.J.Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x 存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（）A.()23f x x x =++B.()21xf x x =+-C.()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D.()1f x x =-【正确答案】 BC11-2（基础）已知函数=()y f x 的定义域为D ，若存在区间[,]a b D ⊆，使得{=(),[,]}=[,]yy f x x a b a b ∈∣，则称区间[,]a b 为函数=()y f x 的“和谐区间”.下列说法正确的是（） A.[1,0]-是函数2()2f x x x =-的一个“和谐区间” B.[1,3]-是函数2()2f x x x =-的一个“和谐区间” C.[0,2]是函数3()=12f x x -的一个“和谐区间” D.2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数3()=12f x x -的一个“和谐区间”【正确答案】 BC对于定义在I 上的函数()y f x =，如果存在区间[,]m n I ⊆，同时满足下列两个条件：①()f x 在区间[],m n 上为增函数；②当[,]x m n ∈时，函数()f x 值域也为[,]m n ，则称[,]m n 是函数()y f x =的一个“递增黄金区间”．下列函数中存在“递增黄金区间”的是（） A.1y x =+ B.222y x x -=+ C.22x y =- D.lg y x =【正确答案】 BC定义一：关于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得在x D ∈时，()12kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()f x 在D 内有一个宽度为d 的通道.定义二：若一个函数()f x ，关于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数()f x 在[)0,x ∞+内有一个宽度为ε的通道，则称()f x 在正无穷处有永恒通道.则下列在正无穷处有永恒通道的函数为（）A.()ln f x x =B.()sin xf x x=C.()f x =D.()e xf x -=【正确答案】 BCD对于定义域为D 的函数()y f x =，若同时满足：①()f x 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，则把()()y f x x D =∈称为闭函数.下列结论正确的是（） A.函数21y x =+是闭函数 B.函数3y x =-是闭函数 C.函数1xy x =+是闭函数D.若函数y k =是闭函数，则9,24k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦【正确答案】 BD设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数．如[1.2]1=，[2]2=，[ 1.2]2-=-．令()[]f x x x =-，以下结论正确的有（）A.( 1.1)0.9f -=B.1133f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.(1)()1f x f x +=+D.函数()f x 的值域为[0,1)【正确答案】 AD12 知识点柱体体积的有关计算,证明面面垂直【正确答案】 B C D12-1（基础）四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，AB 是球O 的一条直径，且2AC =，4BC =，现有下面四个结论，其中所有正确结论的编号是（） A.球O 的表面积为20πB.若3AD =，则4BD =C.AC 上存在一点M ，使得//AD BMD.四面体ABCD 【正确答案】 AD12-2（基础）如图，在多面体EFG ABCD -中，四边形ABCD ，CFGD ，ADGE 均是边长为1的正方形，点H 在棱EF 上，则（）A.该几何体的体积为23B.点D 在平面BEF 内的射影为BEF △的垂心C.GH BH +D.存在点H ，使得DH BF ⊥【正确答案】 BD12-3（巩固）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（）A.1ACB.1AC BD ⊥C.四边形11BDD BD.平行六面体1111ABCD A B C D -【正确答案】 ABD12-4（巩固）如图，直三棱柱111ABCA B C 中，12AA =，1AB BC ==，90ABC ︒∠=，侧面11AA C C 中心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，有下列判断，正确的是（）A.直三棱柱侧面积是4+ B.直三棱柱体积是13C.三棱锥1E AAO -的体积为定值D.1AE EC +的最小值为【正确答案】 ACD12-5（提升）如图，已知三棱柱111ABCA B C 的侧棱垂直于底面，且底面ABC ∆为等腰直角三角形，2ACB π∠=，1AA =，M N ，分别是1BC BB ，的中点，P 是线段11A C 上的动点，则下列结论正确的是（）A.1A P MN ⊥B.直线MN 与直线11A BC.直线MN ⊥平面1A PND.若P 是线段11A C 的中点，则三棱锥1A PMN -的体积1V 与三棱柱111ABC A B C 的体积2V 之比为18【正确答案】 ACD12-6（提升）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点．则（）A.正方体1111ABCD A B C D -体积是三棱锥D EFC -体积的24倍B.正方体1111ABCD A B C D -外接球的体积为C.平面DEF 截正方体所得的截面面积为32D.三棱锥C DEF -与三棱锥G DEF -的体积相等【正确答案】 ABC【原卷 13 题】知识点直线与圆相交的性质——韦达定理及应用【正确答案】13-1（基础）已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，3OA OB OA OB +=-，则实数a 的值为___________.【正确答案】13-2（基础）在直角坐标系xoy 中，直线122y x =-+与圆22:240C x y x y a +--+=（a R ∈）相交于A ，B 两点，且2AOB π∠=，则=a __________.1.613-3（巩固）已知直线():0l y kx k =>与圆()22:14C x y ++=交于不同的两点A ，B ，点()2,1P ，则22PA PB +的最大值为______．【正确答案】 22或22+已知动点A 到()1,3P 的距离是到()4,0Q 的距离的2倍，记动点A 的轨迹为C ，直线l ：40x ty --=与C 交于E ，F 两点，若13OQF OQE S S =△△（点O 为坐标原点，S 表示面积），则t =___________．【正确答案】 1-已知直线:l y kx =与圆222210x y x y +--+=相交于A ，B 两点，存在点()0,M b ，()0b >，使得MA MB ⊥，则实数k 的取值范围是______. 【正确答案】 [1，+∞)（提升）已知圆22(1)9x y ++=与直线3y tx =+交于A ，B 两点，点(,)P a b 在直线2y x =上，且PA PB =，则a 的取值范围为_____【正确答案】 ()()1,00,2-⋃14 题】知识点求函数值【正确答案】-214-1（基础）设函数()f x 满足(3)2()3f x f x x -+=+，则(3)f =______. 【正确答案】 314-2（基础）已知函数()y f x =，对任意x N ∈，满足(1)()2f x f x +=+，若(l)3f =，则(3)f =___________．【正确答案】 714-3（巩固）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()13f =，且()()()+1=2,-1,0f x f x x x ≠≠，则()3f -=___________. 【正确答案】 12-14-4（巩固）定义在()1,+∞上的函数()f x 满足下列两个条件（1）对任意的()1,x ∈+∞恒有()()22f x f x =成立；（2）当(]1,2x ∈时，()2f x x =-．则()6f 的值是__________．【正确答案】 2定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，()()22f x f x -=+，且()2,0x ∈-时，()212f x x =+，则()2017f =________________.14-6（提升）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()ln f x x =，则21e f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭___. 【正确答案】 ln 2-或1ln 215 题】知识点三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系,用和、差角的正切公式化简、求值sin cos 1αα⋅1【正确答案】 -115-2（基础）已知()310,sin ,tan 253παααβ<<=-=-，则tan β=___________.15-3（巩固）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 2cos αα+=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.【正确答案】 2-15-4（巩固）设1tan 2α=，()4cos 5πβ+=-，()0,βπ∈，则()tan 2αβ-的值为____.,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 13β=，若()3sin 2sin αβα+=，则()tan αβ+=______．已知sin 2θ＝35，0＜2θ＜2π，则22cos sin 12)4θθπθ--+＝________．0.516 题】知识点棱柱的结构特征和分类,圆锥的结构特征辨析,多面体与球体内切外接问题,柱、锥、台体的轴截面【正确答案】16-1（基础）已知圆锥的底面半径为若圆锥内某正方体的底面在圆锥的底面上，则该正方体的最大体积为______. 【正确答案】 116-2（基础）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥S ABCD -的体积取值范围为83⎤⎥⎣⎦，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是______.【正确答案】 28,203ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16-3（巩固）已知四面体ABCD 的各棱长都为4，点E 是线段BD 的中点，若球O 是四面体ABCD 的外接球，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积取值范围是______. 【正确答案】 []4,6ππ16-4（巩固）已知正三棱柱111ABCA B C 的各棱长均为2，D 为棱AB 的中点，则过点D 的平面截该三棱柱外接球所得截面面积的取值范围为___________. 【正确答案】 7,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且23l ≤≤，则该正四棱锥体积的取值范围是______．【正确答案】 12827,814⎡⎤⎢⎥⎣⎦已知球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，3BC =，AB =点E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是___________. 【正确答案】 5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦17 知识点正弦定理边角互化的应用,三角形面积公式及其应用,求三角形中的边长或周长的最值或范围【正确答案】（1）答案见解析（2）（2，8）17-1（基础）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos 0b a C c B -+=请在①2b =，②c =a c =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，然后解答问题 1、已知______，计算ABC 的面积； 2、当5c =时，求ABC 的周长的最大值.注：如选择多种搭配方式分别解答，按第一个解答计分. 【正确答案】 1、答案见解析 2、1517-2（基础）在①cos cos 2B bC a c =-+，②sin sin sin A b c B C a c+=-+，③2S BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，ABC 的面积为S ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且选条件：_____________．1、求B ∠；2、作AB AD ⊥，使得四边形ABCD 满足,4ACD AD π∠==BC 的取值范围．【正确答案】 1、条件选择见解析，23B π=；2、⎛ ⎝⎭.17-3（巩固）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．在①cos cos 2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABC S BC =⋅△；③tan tan tan A C A C +=这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答． 1、求角B 的大小；2、若角B 的内角平分线交AC 于D ，且1BD =，求4a c +的最小值．【正确答案】 1、23B π= 2、917-4（巩固）在①222)S a b c +-，②cos cos 2cos a B b A c C +=，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为ABC 的面积，满足______________(填写序号即可)．1、求角C 的大小；2、若3c =，求ABC 周长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【正确答案】 1、3C π=2、9在①sinsin 2A B b c B +=，②cos cos cos c a bC A B +=+，)cos sin c A b a C -=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足__________. 1、求角C 的大小；2、若c ，角A 与角B 的内角平分线相交于点D ，求ABD △面积的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【正确答案】 1、3π2、⎝⎦在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，记ABC 的面积为S .已知_________.从①2sin tan a C c A =，②2cos 2a B c b =-，③)2224S b c a =+-三个条件中选择一个填在上面的横线上，并解答下列问题.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分） 1、求角A 的大小；2、若边长2a =，求ABC 的周长的取值范围. 【正确答案】 1、无论选择①②③，3A π=； 2、(]4,618 题】知识点累加法求数列通项,含绝对值的等差数列前n 项和,由递推关系证明等比数列【正确答案】18-1（基础）已知在前n 项和为n S 的等差数列{}n a 中，42222a a -=，3102S =． 1、求数列{}n a 的通项公式； 2、求数列{}n a 的前20项和20T ．【正确答案】 1、403n a n =-； 2、324.18-2（基础）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4228S S =+，21219n n a a +=+，*n ∈N ．1、求{}n a 的通项公式;2、设n n b a =，求数列{}n b 的前20项之和20T ．【正确答案】 1、217n a n =- 2、208已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且214n S n n =-.1、求{}n a 的通项公式；2、若123n n T a a a a =++++，求n T .【正确答案】 1、152n a n =-2、2214,171498,7n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩已知等差数列{}n a 的公差为d ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2510,20a S ==. 1、求数列{}n a 的通项公式； 2、求数列2{2}n a n a +的前n 项和n T ； 3、请直接写出n A =123||||||||n a a a a ++++的结果.【正确答案】 1、226n a n =-2、11212(1)81937n n T n n -=-+3、22193,3=31960,>3n n n n A n n n -≤-⎧⎨+⎩在等比数列{}n a 中，()0,n a n +>∈N ，公比()0,1q ∈，且3546392100a a a a a a ++=，又有4是3a 和7a 的等比中项．1、求数列{}n a 的通项公式；2、设2log n n b a =，求数列{}n b 的前21项和21S ．【正确答案】 1、72nn a -=2、126在数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足212n n n a a a +++=. 1、求数列{}n a 的通项公式;2、设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求n S . 【正确答案】 1、210n a n =-+；2、229,5940,6n n n n S n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩.19 知识点证明线面垂直,线面垂直证明线线垂直,已知面面角求其他量【正确答案】19-1（基础）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面,,1,2,ABCD AD BC PA AB BC AD CD PA AD =====⊥∥，点E 在棱PC 上，设CE CP λ=.1、证明：CD AE ⊥.2、设二面角C AE D --的平面角为θ，且cos θ=，求λ的值. 【正确答案】 1、证明见解析； 2、34λ=.19-2（基础）如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，且//AB CD ，AD DC ⊥，24CD AB ==，AD a =，正三角形SAD 所在平面与平面ABCD 相互垂直，E 、O 分别为SD 、AD 的中点.1、求证：SO BC ⊥；2、若二面角E AC D --，求a 的值. 【正确答案】 1、证明见解析； 2、6.19-3（巩固）如图，在四面体ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，,ABD CBD AB BD ∠=∠=．1、求证：AC BD ⊥；2、已知点E 在棱BD 上，且2AB =，设DE mDB =，若二面角D AC E --，求m ．【正确答案】 1、证明见解析； 2、13.如图，在三棱锥D ABC -中，二面角D AB C --是直二面角，AB BD ⊥，且,AB BD AC BC ==，P 为CD 上一点，且BP ⊥平面ACD ．,E F 分别为棱,DA DC 上的动点，且DE DFDA DCλ==．1、证明：AC BC ⊥；2、若平面EFB 与平面ABC λ的值．【正确答案】 1、证明见解析 2、12λ=19-5（提升）三棱锥-P ABC 中，PAB PAC ≅△△，2BC AB ，PA AB ⊥，直线PC 与平面ABC 所成的角为3π，点D 在线段PA 上.1、求证：BD AC ⊥；2、若点E 在PC 上，满足34PE PC =，点D 满足(01)AD AP λλ=<<，求实数λ使得二面角A BE D --的余弦值为25. 【正确答案】 1、证明见解析； 2、12λ=. 19-6（提升）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90AB DC BAD ∠=︒∥，，222PD DC BC PA AB =====，PD DC ⊥.1、求证：PA ⊥平面ABCD ；2、设(01)BM BD λλ=<<，当平面P AM 与平面PBD λ的值. 【正确答案】 1、证明见解析 2、12λ=【原卷 20 题】知识点由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量,由频率分布直方图估计平均数,指定区间的概率【正确答案】20-1（基础）为了提高生产效率，某企业引进一条新的生产线，现要定期对产品进行检测.每次抽取100件产品作为样本，检测新产品中的某项质量指标数，根据测量结果得到如下频率分布直方图.1、指标数不在175.和22.5之间的产品为次等品，试估计产品为次等品的概率； 2、技术评估可以认为，这种产品的质量指标数X 服从正态分布()2,1.22N μ，其中μ近似为样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），计算μ值，并计算产品指标数落在()17.56,22.44内的概率. 参考数据：()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.【正确答案】 1、0.04 2、20μ=，0.954420-2（基础） 2021年是“十四五”规划开局之年，也是建党100周年．为了传承红色基因，某学校开展了“学党史，担使命”的知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图．（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分x （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在[]85,95内的概率；（3）假设竞赛成绩服从正态分布()2,N μσ，已知样本数据的方差为121，用平均分x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值，求该校本次竞赛的及格率（60分及以上为及格）．参考数据：()0.6827P μσξμσ-<+≈≤，()220.9545P μσξμσ-<+≈≤，()330.9973P μσξμσ-<≤+≈．【正确答案】（1）0.035a =；平均分为71分；（2）57；（3）0.84135．2022年北京冬季奥运会将在北京市和河北省张家口市联合举行，北京市延庆区张山营镇的2022北京冬奥森林公园于2020年4月22日正式启动了冬奥赛区的树木移植工作．本次移植的树木来自2022北京冬奥赛区树木假植区，包含暴马丁香、核桃楸、大叶白蜡等多个品种．现从冬奥赛区树木假植区中抽取300棵暴马丁香，并对树木高度H （单位：m ）进行测量，将测量结果绘制为如图所示的频率分布直方图．（1）估计抽取的300棵暴马丁香树木高度的平均值（同一组中的数据可用该区间的中点值为代表）；（2）北京冬奥赛区树木假植区内的暴马丁香的高度H （m ）服从正态分布()2,0.122N μ，其中μ近似为样本平均数x ．记X 为假植区内10000棵暴马丁香中高度位于区间()2.122,2.244的数量，求()E X ；（3）在树木移植完成后，采取施用生根粉、加挂营养液等方式确保了移植树木的成活率，经验收，单棵移植成活率达到了90%．假设各棵树木成活与否相互不影响，求移植五棵暴马丁香成活四棵及以上的概率．（保留三位小数）附：若()2~,H N μσ，则()0.6827-<<+=P H μσμσ，()220.9545-<<+=P H μσμσ．【正确答案】（1）()2m ；（2）()1359E X =；（3）0.919．20-4（巩固）某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验．某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图：。

2022年江苏省南通市、苏北部分学校高考数学四调试卷+答案解析(附后)

2022年江苏省南通市、苏北部分学校高考数学四调试卷1. 在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是，，0，则第4个顶点对应的复数为( )A. B. C. 3iD.2. 已知M ，N 均为R 的子集，且，则( )A. B. MC. ND. R3. 若函数满足，则( )A.B.C.D.4. 已知向量，满足，，则的最小值为( )A. 1B.C.D. 25. 已知函数的导函数，，，，则( )A.B. C. D.6. 如图，在底面半径为1，高为5的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为( )A.B.C.D.7. 设数列，均为公比不等于1的等比数列，前n 项和分别为，，若，则( )A.B. 1C.D. 28. 设抛物线C ：的焦点为F ，过F 的直线C 相交于A ，B 两点，则的最小值为( )A. 26B. 25C. 25D. 189. 某物理量的测量结果X 服从正态分布，则( )A. 该正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称B. 越大，该正态分布对应的正态密度曲线越尖陡C. 越小，在一次测量中，X的取值落在内的概率越大D. 在一次测量中，X的取值落在与落在的概率相等10. 若函数同时具有性质：①对于任意的x，，，②为偶函数，则函数可能为( )A. B.C. D.11. 已知函数在区间上可能( )A. 单调递增B. 有零点C. 有最小值D. 有极大值12. 已知三棱锥的外接球的表面积为，直角三角形ABC的斜边，，，则( )A. 平面ACDB. 点D的轨迹的长度为C. 线段CD长的取值范围为D. 三棱锥体积的最大值为13. 若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为______.14. 在的展开式中，所有项系数之和为______；展开式中系数最大项的系数为______.15. 若，则______.16. 若关于x的不等式有且只有2个正整数解，则实数a的取值范围______.17. 已知数列的前n项和为，，求的通项公式；求数列的前n项和18. 在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，求；若，，的面积为，求19. 如图，在矩形ABCD中，，M，N分别是AB和CD的中点，P是BM 的中点．将矩形AMND沿MN折起，形成多面体证明：平面ANP；若二面角大小为，求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值．20. 某次知识竞赛共有两道不定项选择题，每小题有4个选项，并有多个选项符合题目要求．评分标准如下：全部选对得10分，部分选对得4分，有选错得0分．由于准备不充分，小明在竞赛中只能随机选择，且每种选法是等可能的．已知两题都设置了3个正确选项，求小明这两题合计得分为14分的概率；已知其中一题设置了2个正确选项，另一题设置了3个正确选项．小明准备从以下两个方案中选择一种进行答题．为使得分的期望最大，小明应选择哪一种方案？并说明理由．方案一：每道题都随机选1个选项；方案二：每道题都随机选2个选项．21. 已知函数，讨论的单调性；若函数，讨论的零点个数．22. 已知，为双曲线C的焦点，点在C上．求C的方程；点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若，，证明：存在定点T，使得为定值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，0所对应的点，，，，正方形以OA，OB为邻边，设另一点为，则，解得，故选：根据已知条件，结合复数的几何意义，以及向量的数量积公式，即可求解．本题主要考查复数的几何意义，以及向量的数量积公式，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：用Venn图表示M，N如下：由Venn图看出，，故选：根据可画出Venn图，根据Venn图即可得出本题考查了交集和补集的定义及运算，子集的定义，借助Venn图解决集合问题的方法，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：令，故选：运用对数与指数的相互转化，从而求值．考查对数和指数的转化，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由，则，则，即，则的最小值为2，故选：由平面向量数量积运算，结合平面向量模的运算求解即可．本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．5.【答案】A【解析】解：，则，故为偶函数，又在恒成立，故在恒增，，，即，，，，故选：首先根据导函数得到解析式可知为偶函数，再利用导函数判断单调性比较大小即可．本题主要考查利用导函数研究函数单调性及函数奇偶性，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：如图所示，，，，则，，即，而，即，所以，所以离心率，故选：由题意如图所示，由球的半径可得，的值，进而可得的正弦值，求出的值，即求出a的值，由圆柱的底面半径可得2b的值，即求出b的值，进而求出c的值，再求出离心率的值．本题考查椭圆与圆柱的综合应用，椭圆的方程的求法及椭圆性质的应用，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：时，，即，设的公比为，设的公比为，，时，，时，，化为：，，，化为：，解得，，，故选：利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出结论．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：由A，F，B三点共线，根据抛物线的性质有，当且仅当时取等号．故选：由抛物线的性质有，可求得的最小值．本题考查抛物线的几何性质，属中档题．9.【答案】AC【解析】解：测量结果X服从正态分布，，正态分布对应的正态密度曲线关于直线对称，故A正确，越大，曲线越平，故B错误，越小，曲线越陡，在一次测量中，X的取值落在内的概率越大，故C正确，，，故D错误．故选：根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及正态分布的性质，即可求解．本题主要考查正态分布的对称性，以及正态分布的性质，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：函数同时具有性质：①对于任意的x，，，②为偶函数．对于A，，A对，对于B，函数为奇函数，排除B，对于C，，C 对，对于D，，时，，D错，故选：利用函数的凹凸性，结合函数的奇偶性判断选项的正误即可．本题考查函数的简单性质的应用，是中档题．11.【答案】AD【解析】解：，则，，，函数在区间上满足在不可能有零点，B错，在可能有极大值不可能有最小值，C错，D对可能在是增函数，A对．故选：通过x的范围求解相位的范围，结合正弦函数的性质判断选项的正误即可．本题考查三角函数的简单性质的应用，正弦函数的图象与性质，是中档题．12.【答案】ACD【解析】解：对于A，以AB为斜边的直角三角形，，又，，面ACD，故A正确；对于BC，设的外接圆圆心N，半径为r，外接球半径为，，，，，，D在优弧上，D轨迹长度，D在劣弧上，D轨迹长度，得到点D的轨迹的长度为，故B错误，C正确；对于D，，，故D对．故选：对于A，以AB为斜边的直角三角形，由，，得面ACD；对于BC，设的外接圆圆心N，半径为r，外接球半径为，，列方程组能求出结果；对于D，求出，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查线面垂直的判定与性质、三角形外接圆、三棱锥外接球等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】【解析】解：设圆锥底面半径为r，则，解得圆锥的高，该圆锥的体积为故答案为：设圆锥底面半径为r，则，求出圆锥的高，由此能求出该圆锥的体积．本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥底面半径、圆锥的侧面展开图、圆锥的结构特征、圆锥的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14.【答案】1024 120【解析】解：令，则所有项系数和，展开式各项系数都为正数，系数最大的项为二项式系数最大的项，同理，展开式系数最大的项为，系数最大项的系数为故答案为：1024；利用赋值法求展开式的系数和即可；利用二项展开式系数为正数求解即可．本题主要考查二项式系数的性质，考查利用赋值法求展开式的系数和，属于中档题．15.【答案】【解析】解：因为，可得故答案为：利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可得的值，进而利用二倍角的正弦公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．本题考查了二倍角的正弦公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：，又因为直线l：过定点，令，故在递增，递减，，则，，不等式有且只有2个正整数解等价于直线l与有两个交点分别在和，故故答案为：由题意，不等式变形为，用导数法研究的单调性，则不等式有且只有2个正整数解等价于直线l：与有两个交点分别在和，即可求出a的取值范围．本题考查了利用导数确定函数的单调性，也考查了转化思想、数形结合，作出图象是解答本题的关键，属于中档题．17.【答案】解：，①时，，②①-②，，在①式中令，即，，，为递增数列，，，为等差数列且首项为2，公差为2，；，，③，④③-④【解析】利用即可求解；利用错位相减法求数列前n项和本题考查数列的递推关系式以及错位相减求和，属于中档题．18.【答案】解：因为，所以由正弦定理可得：，因为，所以，所以，又因为，所以因为，所以的面积为，所以在中，由余弦定理可得：，所以，所以，即，所以a，c可看作一元二次方程的两个不等的实根，又因为，所以【解析】由正弦定理可得：，再利用即可得出所求的答案；利用的面积公式求出，由余弦定理可得：，进而可解出a，本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．19.【答案】证明：连接MD交AN于E，连接PE，由题意可知MNDA是矩形，是MD的中点，是BM的中点，，平在PAN，平面PAN，平面ANP；解：，，又，平面ABM，又，平面ABM，又平面ABCD，平面平面ABM，又平面AMB，为直线AP与平面ABCD所成的角，又，，为二面角的平面角，，，由余弦定理得，，由余弦定理得，，在中，直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值为【解析】连接MD 交AN 于E ，连接PE ，可证线线平行，进而可证线面平行；可证为直线AP 与平面ABCD 所成的角，进而利用余弦定理可求直线AP 与平面ABCD所成角的余弦值，可求正弦值．本题考查线面平行的证明，线面角的正弦值的求法，属中档题．20.【答案】解：合计得分的情形为一题全部选对，一题部分选对，若选方案一，小明得分X 的所有可能取值为，8，小明对有2个正确选项那题部分选对的概率，选错的概率，小明对有3个正确选项那题部分选对的概率，选错的概率，，，，得分X 的数学期望为：，若选方案二，小明得分的所有可能取值为0，4，10，14，小明对有2个正确选项那题选错的概率为：，全部选对的概率为，小明对有3个正确选项那题选错的概率为：，部分选对的概率为，，，，得分的期望为，，应选择方案一作答．【解析】合计得分的情形为一题全部选对，一题部分选对，即可求解．分别求出两种方案的期望，通过比较大小，即可求解．本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．21.【答案】解：，定义域是，，令，解得，时，，递增，时，，递减，综上，在递增，在递减；，，①时，，令，解得，时，，递增，时，，递减，，函数无零点；②时，，令，解得或，，时，，递增，时，，递减，而时，，，，在上有唯一零点；③时，，在递增，而，，在上有唯一零点；④时，令，解得或，，时，，递增，时，，递减，时，，时，，，在上有唯一零点；综上，时，无零点，时，有唯一零点．【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性判断函数的零点个数即可．本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是难题．22.【答案】解：设双曲线方程为，由题意，为双曲线C的焦点，点在C上，可知，的方程为点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，设直线AB的方程为，、，，，，，，直线PA方程为，令，直线PB方程为，可得，，，，，，，，，，，，当时，，此时直线AB方程为，恒过定点，显然不可能，，直线AB方程为恒过定点，，，取PE中点T，，为定值，存在使为定值【解析】本题考查双曲线方程的求法，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．设双曲线方程为，利用已知条件推出a，b，得到双曲线方程．设直线AB的方程为，、，，，求解M、N的坐标，通过，结合韦达定理，推出，推出AB的直线系方程，推出结果．。

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