递归算法详解完整版

递归算法详解标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]

递归

冯文科一、递归的基本概念。

一个函数、概念或数学结构，如果在其定义或说明内部直接或间接地出现对其本身的引用，或者是为了描述问题的某一状态，必须要用至它的上一状态，而描述上一状态，又必须用到它的上一状态……这种用自己来定义自己的方法，称之为递归或递归定义。在程序设计中，函数直接或间接调用自己，就被称为递归调用。

二、递归的最简单应用：通过各项关系及初值求数列的某一项。

在数学中，有这样一种数列，很难求出它的通项公式，但数列中各项间关系却很简

a与前面临近几项之间的关单，于是人们想出另一种办法来描述这种数列：通过初值及

n

系。

要使用这样的描述方式，至少要提供两个信息：一是最前面几项的数值，一是数列间各项的关系。

比如阶乘数列

1、2、6、24、120、720……

如果用上面的方式来描述它，应该是：

a的值，那么可以很容易地写成这样：

如果需要写一个函数来求

n

这就是递归函数的最简单形式，从中可以明显看出递归函数都有的一个特点：先处理一些特殊情况——这也是递归函数的第一个出口，再处理递归关系——这形成递归函数的第二个出口。

递归函数的执行过程总是先通过递归关系不断地缩小问题的规模，直到简单到可以作为特殊情况处理而得出直接的结果，再通过递归关系逐层返回到原来的数据规模，最终得出问题的解。

以上面求阶乘数列的函数)

f为例。如在求)3(f时，由于3不是特殊值，因此需

(n

要计算)2(

3f，但)2(f是对它自己的调用，于是再计算)2(f，2也不是特殊值，需要计

*

算)1(

f，返回

)1(= 2f，需要知道)1(f的值，再计算)1(f，1是特殊值，于是直接得出1

*

上一步，得2

3

*

)2(

)3(=

=

f，从而得最终

=f

)1(

3

2

*

*

)2(=

=f

2

f，再返回上一步，得6

解。

用图解来说明，就是

下面再看一个稍复杂点的例子。

【例1】数列}{n a 的前几项为

1、111+、11111

++、111

1111+++

、……

输入n ，编程求n a 的精确分数解。

分析：

这个题目较易，发现11=a ，其它情况下有1

11-+=n n a a 。如要求实数解的话，这基本已经可以写出递归函数了。但由于题目要求精确的分数解，还需做一些调整。设p q a n =-1，则由递归关系，有q

p p p q

a a n n +=+=+=-11111，再约分化简，即得n a 。但发现

一个问题：求出1-n a 时，需要返回两个整数：分子q 与分母p ，而通常的函数只能返回一个整数。

这个问题一般有两类解决办法，一种是让求值函数返回一个结构体变量，这样就可以返回两个变量了（其实还可以不只两个呢）；另一种是在求值函数的参数表中加入两个指针变量或引用变量，通过参数给带回数值。但由于后一种做法会使程序结构不清晰——返回值是由参数表得到的，因此我们使用前一种方法。

另外，在通过p q a n =-1得出q

p p a n +=后，n a 就已经是最简分数了，无须化简。证明如下： 若p

q 是最简分数，即说明q p ,的最大公约数为1，即对任何q r ≤<1，都有r q mod 与r p mod 不全为0，不防记a r q =mod 、b r p =mod ，则有

只要a 与b 不全为0，且r b r a <<,，就有a 与r b a mod )(+不全为0。因此对任何的q r ≤<1，有r p mod 与r q p mod )(+不全为0。

而对于p r q ≤<的情况而言，记a r p =mod ，则有

由于r q r a <<<≤0,0，因此同样有r p mod 与r q p mod )(+不全为0。

所以对任意p r ≤<1，都有r p mod 与r q p mod )(+不全为0，因此它们的最大公约数为1，即q

p p +是最简分数。虽然这是个要求1-n a （即p q ）是最简分数的结论，但由于数

列第二项为21，是最简分数，因此可以证明第三项也是最简分数，同时也证明对所有的n a ，求出的q

p p +就是最简分数，无须化简。 具体代码如下：

)90(≤≤N N N -0i 1+i 2+i N N N i N i 12+i )1(2+i , MAX*sizeof(char)); t[n]='\0';

for(i=0;i

{

t[q[i]]='Q';

cout<

t[q[i]]='.';

}

cout<

}

bool test(int i, int k)

{

int j;

j=0;

while(j

if(j==k && mark[i]==false)

return true;

else

return false;

}

void search(int k)

{

if(k==n)

{