PID数值计算方法与算法

0.5
1
三次样条插值
给定平面上n+1个插值点(xi,yi), 构造分段 三次多项式φ(x), 满足φ(xi)=yi, φ’(x)可微， φ”(x)连续。
第2章 数值微分和数值积分
数值微分
• 差商法 f(x)f(x2)f(x1)
向前差商
x2x1
f (xh) f (x) h
向后差商
f (x) f (xh) h
真实值 近似值
输入 计算 输出
x
f
y f(x)
~ xxx ~f f f ~ y~ f(~ x)y
• 一些例子： 计算地球的体积 V 4 π R3
3
计算 π1111
4 357
计算 f( x ,y ) ( x y ) 3 x 3 3 x 2 y 3 x2 y y 3 • 如何减小计算误差？
1 N1(xn) Nn(xn)cn yn
(x)((cn(xxn1)cn1)(xxn1))(xx0)c0
k阶差商
f[x 0 , ,x k] f[x 1 , ,x k 1 ,x x k k ] x f0 [x 0 ,x 1 ,x k 1 ]
差商表
0 1 2 … n
0
1
x0
x1
y0
y1
y1 y0 x1 x0
g ( t) f( t) K ( x )t ( x 0 ) 2 ( t x n ) 2
有2n+3个零点。根据中值定理，存在
g(2n2)()0 ， ab
于是 K(x) f ( (2n2) ) 。
(2n2)!
Runge现象：并非插值点取得越多越好。
2 1.5
1 0.5
-1
-0.5
解决办法：分段插值
g ( t) f( t) K ( x )t ( x 0 ) ( t x n )
有n+2个零点。根据中值定理，存在
g(n 1)()0， ab
于是 K(x) f (n1)() 。
(n1)!
Hermite插值
给定平面上n+1个插值点(xi,yi,mi), 构造 2n+1次多项式φ(x), 满足φ(xi)=yi, φ’(xi)=mi, i=0,1,…,n.
yn
(x) (((anx an1)x )x a1)x a0
Lagrange (x)b 0L 0(x)b 1L 1(x) b nL n(x),
插值
L i(x)(xx0)x (x1) (xxn)(xxi)
L0 ( x0 )
b0 y0
L1 ( x1 )
b1
y1
Ln ( xn ) bn yn
多项式插值
给定平面上n+1个插值点(xi,yi), 构造n次多 项式φ(x), 满足φ(xi)=yi, i=0,1,…,n.
单项式 插值
(x)a0a1xanxn，或
(x)a0
a1
x
h
an(xh)n
1 x0 x0n a0 y0
1 1
x1
xn
x1n
xnn
a1
an
y1
数值计算方法与算法
第0章 绪论
• 什么是数值计算方法？
数学建模
数值计算
实际问题
数学问题
近似解
• 什么是“好的”数值计算方法？ ✓ 误差小 ─ 误差分析 ✓ 耗时少 ─ 复杂度分析 ✓ 抗干扰 ─ 稳定性分析
• 误差的类型
绝对误差＝真实值－近似值
相对误差＝绝对误差／真实值
• 误差的来源
原始误差、截断误差、舍入误差
ijf[xji, ,xj]
2
x2
y2
y2 y1 x2 x1 1,2 1,1 x2 x0
…
n
…
xn
…
yn
… …
y n y n1 x n x n1
1,n 1,n1 xn xn2
...
...
n1,n n1,n1 xn x0
差商的性质
• 以x0,…,xn为节点的n次插值多项式φ(x)的 首项系数等于f[x0,…,xn]。 证明：分别以x0,…,xn-1和x1,…,xn为节点 构造n-1次插值多项式φ1(x)和 φ2(x)，则有
bi
( xi
x0 ) (xi
yi xi1 )( xi
xi1 ) ( xi
xn )
(x)
(x
x0 ) (x
xn )
x
b0 x0
x
bn xn
Newton 插值
(x)c0c1N1(x) cnNn(x),
Ni(x)(xx0)x(x1) (xxi1)
1
c0 y0
1 N1(x1)
c1
y1
选择好的算法、提高计算精度
• 范数的定义 满足非负性,齐次性,三角不等式的实函数
• 常用的向量范数
1
xpx1p xnpp， 1p
• 常用的矩阵范数
Ax
A sup p，1 p
p
x
p
• 矩阵的谱半径
(A ) m 1 a , x ,n
•
例：计算矩阵
A
1 3
2 4
的范数和谱半径。
• 例：范数在误差估计中的应用
单项式 基函数
Lagrange 基函数
(x) a0 a1x an1x2n1
1
1
0
0
x0
xn 1
1
x0 2 xn 2 2 x0
2xn
x 2n1 0
x 2n1 n
(2n 1)x0
(2n 1)xn
2 2
n n
a0 a1 a2
a2n1
(x)x x0 x xn n1(x)x xn x x0 02(x)
对n用归纳法。
• f[x0,…,xn]与x0,…,xn的顺序无关。
误差估计：
R (x )f(x )(x )f(( n n 1 )1 ())! (x x 0 ) (x x n)
证明：设 R (x ) K (x )x ( x 0 ) (x x n )，则
y0
yn m0
mn
n
(x) bi(xxi)ci Li2(x) i0
bi
miLi (xi )2yi Li3(xi )
,
ci
yi Li2(xi )
误差估计：
R (x )f(x )(x )f(2 (2 n n 2 )2 ())( !x x 0 )2 (x x n )2
证明：设 R (x ) K (x )x ( x 0 )2 (x x n )2 ，则
第1章 插值
函数逼近 用未知函数f(x)的值构造近似函数φ(x)。 要求误差小、形式简单、容易计算。
常用的函数逼近方法 • 插值：φ(xi)=yi, i=0,1,…,n. • 拟合：||φ(x)-f(x)||尽可能小 通常取 φ(x) = a0φ0(x) + … + anφn(x)，其中 {φi(x)}为一组基函数。
中心差商
Leabharlann Baidu
f(xh)f(xh) 2h
• 插值法
在 x 附近取点(xi,f(xi))构造插值多项式φ。