第18讲特殊的平行四边形复习课

它们的周长和面积怎样？你能说说吗？
三、几种特殊四边形的常用判定方法：
四边形
条件
1、定义：两组对边分别平行 3、一组对边平行且相等 5、两组对角分别相等 2、两组对边分别相等 4、对角线互相平分
平行 四边形
矩形
1、定义：有一角是直角的平行四边形 2、三个角是直角的四边形 3、对角线相等的平行四边形 1、定义：一组邻边相等的平行四边形 2、四条边都相等的四边形 3、对角线互相垂直的平行四边形 1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 2、有一组邻边相等的矩形 3、有一个角是直角的菱形
B
E
O
G C
F
AC⊥BD且AC=BD （3）添加条件_______________，则四边 形EFGH为正方形。
我发现：
顺次连接任意的四边形各边中点得 平行四边形；
顺次连接对角线相等的四边形各边中点得 菱形；
顺次连接对角线互相垂直四边形各边中点得 矩形；
顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边 中点得 正方形.
相信自己，学好数 学并不难！
李大爷有一个边长为a的正方形鱼塘，鱼塘四 个角的顶点A、B、C、D上各有一棵大树，现在李 大爷想把鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼 塘周围的面积足够大）.又不想把树挖掉（四棵大 树要在新建鱼塘的边沿上）. (1)若按圆形设计,请画出你设计的示意图,并求出圆 形鱼塘的面积;(2)若按正方形设计,请画出你设计的 示意图.
B
抢 答3：
要使
要使
我说我所想
ABCD成为矩形，需增加的条件是______
ABCD成为菱形，需增加的条件是______
要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是____ 要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是____ 要使四边形ABCD成为正方形，需增加的条件是 ______
4、在正方形ABCD中，E在BC上， BE=2，CE=1，P在BD上，则PE和 PC的长度之和最小可达到 _____________
C
D
E
O
B
∟
合作探究
A
Βιβλιοθήκη Baidu
D
B
C
A
(1)若按圆形设计, 请画出你设计的 示意图,并求出圆 形鱼塘的面积;
D
O
B
C
(2)若按正 方形设计, 请画出你 设计的示 意图.
A
D
B
C
(3)你在(2)所设计的正方形鱼塘中, 有无最大面积？为什么？
你知道吗？
当直角三角 形的斜边一定 A 时,两直角边 满足什么条件 时直角三角形 的面积最大？
变式：如上图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪 下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的 角的度数为： A、60° B、30° C、45° D、90°
小试牛刀
1.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作 DP∥OC，且 DP=OC，连结CP，试判断四边形CODP的形 状.
解:四边形CODP是菱形 ∵ DP∥OC, DP=OC
当菱形有一个内角为60°时，以等边三角形为突破口.
注：如果四边形的两条对角线互相垂直，则该四 边形的面积等于两对角线乘积的一半。
中点四边形考点
1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是
边AB、BC、CD、DA的中点，请判断四边形EFGH A 的形状，并说明理由。 H
D
AC=BD （1）添加条件_______，则 四边形EFGH为菱形； AC⊥BD （2）添加条件_______，则 四边形EFGH为矩形；
A O F B E M C M F B C E A D O D
A P Q M C
已知：△ABC中 AB=AC=a，M为底边BC 上任意一点，过点M分别 作AB、AC的平行线交 AC于P，交AB于Q.
（1）线段QM、PM、AB 之间有什么关系？ （2）图中的三角形之间有 什么关系？
B
A Q P
已知：△ABC中 AB=AC=a，M为底边BC 上任意一点，过点M分别 作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q. 探究:当M位于BC的什么 位置时, 四边形AQMP是 菱形？并说明你的理由.
思考1
折叠问题
1、在矩形ABCD中，AB=16，BC=8.
将矩形 沿AC折叠，点D落在点E处，且 CE交AB于点F，求AF的长.
点拨：对于折叠
问题，可以从折叠 前后的两个图形是 全等图形入手进行 分析.
D A F E
C
B
2、现将一张矩形的纸对折后再对折，然后沿着图中的虚 线剪下，打开，得到的是（ ） A、平行四边形 B、菱形 C、矩形 D、正方形
对角线
对称性
互相平分
中心对称图形 中心对称图形
平行且相等
平行 且四边相等 平行 且四边相等
都是直角 对角相等
互相平分且相等
互相垂直平分，且每一 条对角线平分一组对角
轴对称图形 中心对称图形
轴对称图形 邻角互补 四个角 互相垂直平分且相等，每 中心对称图形 都是直角 一条对角线平分一组对角 轴对称图形
1、理解矩形、菱 形、正方形与平行 四边形的关系。
2、掌握特殊平行 四边形的有关性质 及判定方法，并能 应用所学知识解决 相关问题。
四边形知识结构（定义）图
矩形
两组对边平行
四边形
平行四边形
一角为直角且一组邻边相等
正方形
菱形
关 系
图
菱形
矩形
峰 高 攀
勇
二、几种特殊四边形的性质：
边
平行且相等
角
对角相等 邻角互补 四个角
解:（3) AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形。
AB=AC且∠BAC=150°时，平行四边形ADFE是正方形。
D F
60° B
A
60°
E C
如图1:正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E 是AC上的一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足M， AM交BD于点F （1）求证OE=OF
（2）如图2所示，若点E在AC的延长线上，AM⊥EB 的延长线于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都 不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给 出证明；如果不成立，请说明理由
A
O
B
C P
∴ 四边形CODP是平行四边形 ∵四边形ABCD是矩形
∴CO=DO
D
∴四边形CODP是菱形
2.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交 A 于点O，过点D作DP∥OC，且 DP=OC， 连结CP，试判断四边形CODP的形状. D P
B O C
如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论 应变为什么？ 如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又 应变为什么？ A B
A
P
D
G
B E
F C
5.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=2∠BOC， 若 对角线 AC=6cm，则你能求什么？角？ 边？周长？面积？
D O A
C
A
O
D
B
B
C
6.如图，菱形ABCD的边长为8㎝，∠BAD=120°，你可以求什么？
我想到：菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半. 我发现：当矩形对角线夹角为60°时，以等边三角形为突破口；
菱形
正方形
试一试
一、选择： 1、正方形具有而菱形不一定具有的性质（
A、四边都相等 B、对角线互相垂直且平分C、 对角线相等 D、对角线平分一组对角 2、下列命题中（ B ）是假命题.
C）
A、对角线互相平分的四边形是平行四边形.
B、两条对角线相等的四边形是矩形. C、两条对角线互相垂直的矩形是正方形. D、两条对角线相等的菱形是正方形.
当△ABC满足什么条件菱 形AQMP是正方形？
B
M
C
如何设计花坛？
在一块正方形花坛上，欲修建两条直的小 路，使得两条直的小路将花坛分成全等的四 部分（不考虑道路宽度），你有几种方法？ （至少说出三种）
课堂小结 通过本 节课的学习，你 有哪些收获 ？
课 堂 小 结
1、请理解并熟记特殊平行四边形的性质和 判定. 2、在解题时，首先，应有战胜困难的决心 和信心；其次，抓住图形中的位置关系 与条件中的数量关系；再次，注意每一 个判断都应有充分的理由 和依据. 送给同学们一句话：
A
B
O D C
O
P
D P
C
图一
图二
3.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE，四 边形ADFE是平行四边形.
（1）当∠BAC等于 60° 时，平行四边形ADFE不存在；
（2）当∠BAC等于 150° 时，四边形ADFE是矩形；
（3）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形.
考考你
3、检查一个门框是矩形的方法是（ B ）
A、测量两条对角线是否相等. B、测量有三个角是直角.
测量两条对角线是否互相平分. 测量两条对角线是否互相垂直. A、矩形 B、菱形 C、梯形 D、正方形
C、 D、
4、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（
B）
二、填空：
你准行
1、菱形的对角线长为6和8，则菱形的边 长＿＿＿，面积是＿＿＿. 5 24 2、矩形的对角线长为8，两对角线的夹角 为60º，则矩形的两邻边分别长＿＿＿和 4 ＿＿＿. 4 3 A O B 1题 D C A O 2题 D C