从光子气体微观模型计算光子平均波长-黄鹏辉
2020-2021学年高中创新设计物理粤教版选修3-5学案：2-5 德布罗意波
第五节德布罗意波[目的定位]一、德布罗意波假说1．任何一个实物粒子都和一个波相对应，这种波后来被称为物质波，也称为德布罗意波．2．物质波的波长、频率关系式：λ＝h p二、电子衍射1．美国工程师戴维孙做了电子束在晶体外表上散射的实验，观察到了和X射线衍射类似的电子衍射现象，首次证实了电子的波动性．2．汤姆生做电子束穿过多晶薄膜的衍射实验，也证实了电子的波动性．三、电子云1．定义：用点的多少表示电子出现的概率分布图．2．电子的分布：某一空间范围内电子出现概率大的地方点多，电子出现概率小的地方点少．电子云反映了原子核外电子位置的不确定性，说明电子对应的波也是一种概率波．四、不确定性关系1．定义：在经典物理学中，一个质点的位置和动量是可以同时测定的，在微观物理学中，要同时测出微观粒子的位置和动量是不太可能的，这种关系叫不确定性关系．2．表达式：ΔxΔp≥h4π.其中以Δx表示粒子位置的不确定性，以Δp表示粒子在x方向上的动量的不确定性，h是普朗克常量．预习完成后，请把你疑惑的问题记录在下面的表格中1．任何物体，小到电子、质子，大到行星、太阳都存在波动性，我们之所以观察不到宏观物体的波动性，是因为宏观物体对应的波长太小的缘故．2．物质波波长的计算公式为λ＝hp，频率公式为ν＝εh.3．德布罗意假说是光子的波粒二象性的一种推广，包括了所有的物质粒子，即光子与实物粒子都具有粒子性，又都具有波动性，与光子对应的波是电磁波，与实物粒子对应的波是物质波．4．德布罗意波是一种概率波，粒子在空间各处出现的概率是符合波动规律的，不要以宏观概念中的波来理解德布罗意波．【例1】(多项选择)以下关于德布罗意波的认识，正确的解释是()A．任何一个实物粒子都和一个波相对应B．X光的衍射证实了物质波的假设是正确的C．电子的衍射证实了物质波的假设是正确的D．宏观物体运动时，看不到它的衍射或干预现象，所以宏观物体不具有波动性答案AC解析宏观物体由于动量太大，德布罗意波长太小，所以看不到它的干预、衍射现象，但仍具有波动性，D项错；X光是波长极短的电磁波，是光子，它的衍射不能证实物质波的存在，B项错；只有A、C项正确．【例2】光速为c，普朗克常量为h，那么频率为ν的光子的动量为____________．用该频率的光垂直照射平面镜，光被镜面全部垂直反射回去，那么光子在反射前后动量改变量的大小为____________．答案hνc2hνc解析因为光速c＝λν，那么λ＝cν，所以光子的动量p＝hλ＝hνc，由于动量是矢量，因此假设以射向平面镜光阴子的动量方向为正方向，即p1＝hνc，反射后p 2＝－hνc ，动量的变化量Δp ＝p 2－p 1＝－hνc －hνc ＝－2hνc ， 那么光子在反射前后动量改变量的大小为2hνc . 二、对不确定性关系的理解1．单缝衍射现象中，粒子在挡板左侧的位置是完全不确定的，即通过挡板前粒子的位置具有不确定性．2．单缝衍射现象中，粒子通过狭缝后，在垂直原来运动方向的动量是不确定的，即通过挡板后粒子的动量具有不确定性．3．微观粒子运动的位置不确定量Δx 和动量的不确定量Δp 的关系式为Δx Δp ≥h4π，其中h 是普朗克常量，这个关系式叫不确定性关系．4．不确定性关系告诉我们，假如要更准确地确定粒子的位置(即Δx 更小)，那么动量的测量一定会更不准确(即Δp 更大)，也就是说，不可能同时准确地知道粒子的位置和动量，也不可能用“轨迹〞来描绘粒子的运动．【例3】 在单缝衍射实验中，假设单缝宽度是1.0×10－9 m ，那么光子经过单缝发生衍射，动量不确定量是多少？ 答案 Δp ≥5.3×10－26 kg·m/s解析 由题意可知光子位置的不确定量 Δx ＝1.0×10－9 m ，解答此题需利用不确定性关系．单缝宽度是光子经过狭缝的位置不确定量， 即Δx ＝1.0×10－9 m ，由Δx Δp ≥h 4π 有：1.0×10－9 m·Δp ≥6.63×10－34 J·s4π.得Δp ≥5.3×10－26 kg·m/s.针对训练 一颗质量为10 g 的子弹，具有200 m/s 的速率，假设其动量的不确定范围为其动量的0.01%(这在宏观范围是非常准确的)，那么该子弹位置的不确定量范围为多大？答案Δx≥2.6×10－31 m解析子弹的动量p＝m v＝0.01×200 kg·m/s＝2 kg·m/s，动量的不确定范围Δp x＝0.01 %×p＝2×10－4 kg·m/s；由不确定关系ΔxΔp x≥h4π，得子弹位置的不确定范围Δx≥h4πΔp x＝6.63×10－344×3.14×2×10－4m≈2.6×10－31 m.对物质波的理解1．一颗质量为10 g的子弹，以200 m/s的速度运动着，那么由德布罗意理论计算，要使这颗子弹发生明显的衍射现象，那么障碍物的尺寸为()A．3.0×10－10 m B．1.8×10－11 mC．3.0×10－34 m D．无法确定答案 C解析λ＝hp＝hm v＝6.63×10－3410×10－3×200m≈3.32×10－34 m，故能发生明显衍射的障碍物尺寸应为选项C.2．以下说法中正确的选项是()A．物质波属于机械波B．只有像电子、质子、中子这样的微观粒子才具有波动性C．德布罗意认为任何一个运动的物体，小到电子、质子、中子，大到行星、太阳都有一种波与之相对应，这种波叫物质波D．宏观物体运动时，看不到它的衍射和干预现象，所以宏观物体运动时不具有波动性答案 C解析任何一个运动的物体都具有波动性，但因为宏观物体的德布罗意波波长很短，所以很难看到它的衍射和干预现象，所以C项对，B、D项错；物质波不同于宏观意义上的波，故A项错．3．钙和钾的截止频率分别为7.73×1014Hz和5.44×1014Hz，在某种单色光的照射下两种金属均发生光电效应，比拟它们外表逸出的具有最大初动能的光电子，钙逸出的光电子具有较大的()A．波长B．频率C．能量D．动量答案 A解析两种金属的截止频率不同，那么它们的逸出功也不同，由W0＝hν0可知截止频率大的，逸出功也大．由E k＝hν－W可知，用同样的单色光照射，钙逸出的光电子的最大初动能较小，由p＝2mE k知，其动量也较小，根据物质波p＝hλ知，其波长较长．对不确定性关系的理解4．(多项选择)根据不确定性关系ΔxΔp≥h4π，判断以下说法正确的选项是()A．采取方法进步测量Δx精度时，Δp的精度下降B．采取方法进步测量Δx精度时，Δp的精度上升C．Δx与Δp测量精度与测量仪器及测量方法是否完备有关D．Δx与Δp测量精度与测量仪器及测量方法是否完备无关答案AD解析不确定关系说明，无论采用什么方法试图确定坐标和相应动量中的一个，必然引起另一个较大的不确定性，这样的结果与测量仪器及测量方法是否完备无关，无论怎样改善测量仪器和测量方法，都不可能逾越不确定关系所给出的限度．故A、D正确．(时间：60分钟)题组一对物质波的理解1．(多项选择)关于物质波，以下说法正确的选项是()A．任何运动物体都具有波动性B．湖面上形成的水波就是物质波C．通常情况下，质子比电子的波长长D．核外电子绕核运动时，并没有确定的轨道答案AD解析任何运动物体都具有波动性，选项A正确；湖面上形成的水波是机械波知，而不是物质波，选项B错误；电子的动量比质子的动量往往要小一些，由λ＝hp电子的德布罗意波波长要长，选项C错误；由于电子的波动性，核外电子绕核运动不可能有确定的轨道，选项D正确．2．在历史上，最早证明了德布罗意波存在的实验是()A．弱光衍射实验B．电子束在晶体上的衍射实验C．弱光干预实验D．以上都不正确答案 B3．以下关于物质波的说法中正确的选项是()A．实物粒子具有粒子性，在任何条件下都不可能表现出波动性B．宏观物体不存在对应波的波长C．电子在任何条件下都能表现出波动性D．微观粒子在一定条件下能表现出波动性答案 D4．以下说法中正确的选项是()A．质量大的物体，其德布罗意波长短B．速度大的物体，其德布罗意波长短C．动量大的物体，其德布罗意波长短D．动能大的物体，其德布罗意波长短答案 C解析由物质波的波长λ＝hp，得其只与物体的动量有关，动量越大其波长越短．5．一个电子被加速后，以极高的速度在空间运动，关于它的运动，以下说法中正确的选项是()A．电子在空间做匀速直线运动B．电子上下左右颤抖着前进C．电子运动轨迹是正弦曲线D．无法预言它的途径答案 D解析根据概率波的知识可知，某个电子在空间中运动的途径我们无法确定，只能根据统计规律确定大量电子的运动区域．应选项D正确．6．关于物质的波粒二象性，以下说法中不正确的选项是()A．不仅光子具有波粒二象性，一切运动的微粒也具有波粒二象性B．运动的微观粒子与光子一样，当它们通过一个小孔时，都没有特定的运动轨道C．波粒二象性中的波动性，是大量光子和高速运动的微观粒子的行为，这种波动性与机械波在本质上是一样的D．波动性和粒子性，在宏观现象中是矛盾的、对立的，但在微观高速运动的现象中是统一的答案 C解析不能将微观粒子的波动性和粒子性看成宏观概念中的波和粒子，它们在本质上是不一样的．7．(多项选择)利用金属晶格(大小约10－10m)作为障碍物观察电子的衍射图样，方法是使电子通过电场加速后，让电子束照射到金属晶格上，从而得到电子的衍射图样．电子质量为m，电荷量为e，初速度为0，加速电压为U，普朗克常量为h，那么以下说法中正确的选项是() A．该实验说明了电子具有波动性B．实验中电子束的德布罗意波长为λ＝h2meUC．加速电压U越大，电子的衍射现象越明显D．假设用一样动能的质子替代电子，衍射现象将更加明显答案AB解析得到电子的衍射图样，说明电子具有波动性，A正确；由德布罗意波长公式λ＝hp而动量p＝2mE k＝2meU两式联立得λ＝h2meU，B正确；由公式λ＝h2meU可知，加速电压越大，电子的波长越小，衍射现象越不明显；用一样动能的质子替代电子，质子的波长小，其衍射现象不如电子的衍射现象明显．故C、D错误．题组二对不确定性关系的理解8．(多项选择)由不确定性关系可以得出的结论是()A．假如动量的不确定范围越小，那么与它对应位置坐标的不确定范围也越小B．假如位置坐标的不确定范围越小，那么动量的不确定范围就越大C．动量和位置坐标的不确定范围之间的关系不是反比例函数D．动量和位置坐标的不确定范围之间有唯一确实定关系答案BC9．(多项选择)关于不确定性关系ΔxΔp≥h4π有以下几种理解，其中正确的选项是()A．微观粒子的动量不可确定B．微观粒子的位置坐标不可确定C．微观粒子的动量和位置不可能同时确定D ．不确定性关系不仅适用于电子和光子等微观粒子，也适用于其他宏观粒子 答案 CD解析 此题主要考察对不确定性关系Δx Δp ≥h4π的理解，不确定性关系表示确定位置、动量的精度互相制约，此长彼消，当粒子的位置不确定性小时，粒子动量的不确定性大，反之亦然，故不能同时准确确定粒子的位置和动量．不确定性关系是自然界中的普遍规律，对微观世界的影响显著，对宏观世界的影响可忽略．故C 、D 正确．10．经150 V 电压加速的电子束，沿同一方向射出，穿过铝箔后射到其后的屏上，那么( )A ．所有电子的运动轨迹均一样B ．所有电子到达屏上的位置坐标均一样C ．电子到达屏上的位置坐标可用牛顿运动定律确定D ．电子到达屏上的位置受波动规律支配，无法用确定的坐标来描绘它的位置 答案 D解析 电子被加速后其德布罗意波长 λ＝hp ＝1×10－10 m ，穿过铝箔时发生衍射．11．h 4π＝5.3×10－35 J·s ，试求以下情况中速度测定的不确定量，并根据计算结果，讨论在宏观和微观世界中进展测量的不同情况．(1)一个球的质量m ＝1.0 kg ，测定其位置的不确定量为10－6 m ； (2)电子的质量m e ＝9.1×10－31 kg ，测定其位置的不确定量为10－10 m. 答案 见解析解析 (1)球的速度测定的不确定量Δv 1≥h4πm Δx 1＝5.3×10－351.0×10－6 m/s ＝5.3×10－29 m/s 这个速度不确定量在宏观世界中微缺乏道，可认为球的速度是确定的，其运动遵从经典物理学理论．(2)原子中电子的速度测定的不确定量Δv2≥h4πm eΔx2＝5.3×10－359.1×10－31×10－10m/s≈5.8×105 m/s这个速度不确定量不可忽略，不能认为原子中的电子具有确定的速度，其运动不遵从经典物理学理论．。
高中物理 第二章 波粒二象性 第二节 光子课件 粤教版
判断正误
(1)微观粒子的能量只能是能量子的整数倍．(√) (2)光子的能量不是任意的，其大小与电磁波的频率 成正比．(√)
小试身手
1．以下宏观概念中，哪些是“量子化”的( )
A．人的身高
B．物体的质量
C．汽车的速度 D．大象的头数
解析：明确量子化的定义：所谓量子化就是指数据是
分立的不连续的，即一份一份的．只要能一份份的选取，
(2)遏止电压与光电子的最大初动能的关系：
_e_U__0＝__12_m__v_2m_a_x ___．
判断正误
(1)光电子的最大初动能与入射光的频率成正比．(×) (2)入射光若能使某金属发生光电效应，则入射光的 强度越大，照射出的光电子越多．(√)
小试身手
2．关于光电效应，下列说法正确的是( ) A．极限频率越大的金属材料逸出功越大 B．只要光照射的时间足够长，任何金属都能产生光 电效应 C．从金属表面逸出的光电子的最大初动能越大，这 种金属的逸出功越小
D．入射光的光强一定时，频率越高，单位时间内逸 出的光电子数就越多
解析：根据极限频率越大的金属材料逸出功越大，选 项 A 正确；能否发生光电效应与入射光的频率有关，与 照射的强度和时间无关，选项 B 错误；金属的逸出功与 金属本身的性质有关，
而与从金属表面逸出的光电子的最大初动能无关，选 项 C 错误；光子频率决定光电效应能否发生，在发生光 电效应的前提下光强的大小决定光电子的多少，选项 D 错误．故选 A.
1．逸出功． 光电效应中，金属中的电子在飞出金属表面时要克 服原子核对它的吸引而做功．某种金属中的不同电子， 脱离这种金属所需的功不一样，使电子脱离某种金属所 做的功的最小值，叫作这种金属的逸出功，用符号 W0 表 示．其中 W0＝hν0，式中 ν0 为金属的极限频率．
克莱因-戈登方程和狄拉克方程-黄鹏辉
(2.7)
算符代换就得到克莱因-戈登方程
2 2 m0 c 1 ∂2 2 ψ = (∇ − 2 )ψ 2 2 c ∂t
(2.8)
五、狄拉克方程
ˆ = (ca i p ˆ + m0c 2 β ) ，就得到相对论自由粒子狄拉克 薛定谔方程中的哈密顿算符换成 H
(2.5)
2 p2 ˆ= ， + V ，对应的哈密顿算符为 H （− ∇ 2 + V） 2m 2m 因此，力场中的一般薛定谔方程（含时薛定谔方程）为： 2 ∂ ±i ψ = (− ∇ 2 + V )ψ ∂t 2m
(2.6)
四Байду номын сангаас克莱因-戈登方程
2
由相对论的质能公式 E = mc 2 = m0 c 2 / 1 − v 2 /c 2 和动量公式 p = mv = m0 v/ 1 − v 2 /c 2 ， 可 以得到自由粒子的相对论能量动量关系
(1 + x ) m = 1 + mx +
m(m − 1) 2 x + 2! + m(m − 1)(m − 2) n!
(2.10)
(m − n + 1)
xn +
(2.11)
当 m = −1/ 2 且 x ∈ (0, 1) 时，由(2.11)式可以得到，
1 1 1⋅ 3 2 1⋅ 3 ⋅ 5 3 = 1+ x + x + x + 2 2⋅4 2⋅4⋅6 1− x
= 1+
1 3 5 x + x 2 + x3 + 2 8 16
(2.12)
对于相对论质能公式 E = mc 2 = m0 c 2 / 1 − v 2 /c 2 ， 显然有 v 2 /c 2 ∈ (0, 1) 。 因此质能公式符 合(2.12)式的展开条件，可以展开为 m0 c 2 1 3 m0 v 4 5 m0 v 6 2 2 E= = m0 c + m0 v + + + 2 8 c2 16 c 4 1 − v 2 /c 2 (2.13)
生物光子学光子学与光谱学基础课件PPT
掺铒钇铝石榴石激光器（Er:YAG）
12
2.5 分子能级结构与光谱
另外一些描述吸收衰减的参量：
• 振动能级光谱
– 拉曼光谱的缺点： • 拉曼散射的效率很低：一般来说，在105个光子中，只有一个 光子可以产生散射。（因此使用激光作为光源） • 拉曼光谱比IR光谱的灵敏度低，因而在固态、液态或者不含 水的有机分子研究中，经常使用IR光谱来获得关于结构的详 细信息； • 如果被测样品中具有自体荧光，则荧光信号强度要比Raman 散射信号大许多数量级，因而背景荧光会淹没Raman谱带。
• 振动能级光谱
– 拉曼散射：入射和散射光子的能量差为分子振动 能级差； • Stokes拉曼散射：散射光子的频率低于入射 光子（v>v） ，分子从低振动能级跃迁到高振 动能级； • 反Stokes拉曼散射：散射光子的频率高于入 射光子（v<v），分子从较高振动能级跃迁到 较低振动能级；
28
2.5 分子能级结构与光谱
吸收率：
透射率： 光学密度：
T和OD考虑了光通过介质时由于吸收和散射而造成的总的强度 损失；如果吸收占主导地位，则OD=A。
13
2.5 分子能级结构与光谱
• 电子能级吸收光谱
– 典型的吸收光谱表示为T相对于v或的曲线，或A相对
于v的曲线; – v定义为吸收谱带最大吸收值一半处的宽带。
吸收光谱的两种表示
• 荧光激发光谱（吸收光谱）
– 激发光谱给出关于激发分子到一个产生最大荧光的能 态的信息；
统计物理的方法研究平衡辐射场的基本问题-太原师范.
统计物理的方法研究平衡辐射场的基本问题学生张佳瑢指导教师范建忠摘要平衡辐射场问题作为近代物理的热点问题一直受到人们的关注。
本文旨在系统论述平衡辐射场基本问题的统计物理研究这一课题，特别是着眼于有逻辑的理论推导，使用玻色统计法推导出普朗克公式，并讨论它与维恩公式、瑞利—琼斯公式的关系，使读者更容易建立起本课题的基本框架。
关键词玻色统计法平衡辐射场能量密度巨配分函数普朗克辐射公式0引言19世纪中后期开始，在麦克斯韦、玻耳兹曼、吉布斯等几代杰出物理学家的努力下，建立在概率原理基础上的统计物理方法日趋成熟。
特别是进入20世纪以后，伴随着量子力学的产生，一种新的统计物理方法——量子统计法也迅速建立并发展起来。
这种新的统计法，以间断性的量子态代替经典物理中连续态的概念。
并且由于相同粒子的全同性，相同粒子交换并不产生新的量子态，以及是否遵守泡利不相容原理，而产生了与经典统计法完全不同的两种量子法，即玻色统计法和费米统计法[1]。
其中玻色统计法用来研究由大量玻色子组成的系统，例如：光子系统等；费米统计法则用来研究由大量费米子组成的系统，例如：电子系统等。
同时，在19世纪后半叶，人们对热辐射的规律性，尤其是对黑体辐射能量波长的分布函数产生了浓厚的兴趣。
至此之后，空腔辐射场、平衡辐射场相继成为人们的研究重点。
在研究空腔辐射中的平衡辐射场时，现在一般有两种思考方式，一种是波动的观点，即把辐射场分解成一系列单色平面波的叠加；另一种是粒子的观点，即把空腔内的辐射场看作是光子的集合。
统计物理方法在研究由大量微观物质粒子组成的宏观系统方面显示了它强大的生命力，它架起了系统宏观性质与其微观机理之间的大桥。
而平衡辐射场问题作为近代物理的热点问题一直受到人们的关注。
过去，对这一问题的研究人们往往从热力学的角度出发进行简单的推导。
后来，当人们发现可以将空腔辐射场看作一团光子气体处理[2]时，用统计物理的方法来研究平衡辐射场就自然成为可能。
(人教版)高中物理选修3-4课件：13.4实验：用双缝干涉测量光的波长-
解析： 由 Δx＝Ldλ得 Δx 越大则 λ 越大，B 对；光的 偏振与波长无关，A 错；由 E＝hλc知，λ 越大，E 越小，C 错；由光的折射率随波长增大而减小和 v＝c/n 知，D 对．
答案： BD
7．在“用双缝干涉测光的波长”实验中(实验装置如下图)：
(1)下列说法错误的是________．(填选项前的字母) A．调节光源高度使光束沿遮光筒轴线照在屏中心时，应放 上单缝和双缝 B．测量某条干涉亮纹位置时，应使测微目镜分划板中心刻 线与该亮纹的中心对齐 C．为了减小测量误差，可用测微目镜测出 n 条亮纹间的距 离 a，求出相邻两条亮纹间距 Δx＝n－a 1
(2)图④是测第 4 号明条纹的位置，此时观测装置上千分尺的 读数为______mm.
(3)根据上面测出的数据可知，被测光的波长为______nm.
解析： (1)螺旋测微器的读数为：0.5 mm＋0.01 mm×0.8 ＝0.508 mm；
(2)读数为：1.5 mm＋0.01 mm×0.9＝1.509 mm； (3)两相邻明条纹之间的间距为 Δx＝1.509－3 0.508 mm＝0.334 mm 由 Δx＝Ldλ 有 λ＝ΔLxd＝0.334×10－03.×2 0.4×10－3 m ＝0.667×10－6 m＝667 nm
(2)利用上述测量结果，经计算可得两个相邻亮纹(或暗纹)间 的距离 Δx＝________mm; 这种色光的波长 λ＝________nm.
解析： (1)15.04 mm. (2)Δx＝15.04－ 6 1.14 mm≈2.32 mm λ＝LdΔx＝700.20×2.32 mm＝6.63×10－4 mm＝663 nm 答案： (1)15.04 mm (2)2.32 663
答案： AC
最新人教版高中物理选修3-5知识点总结
最新人教版高中物理选修3-5知识点总结光电效应是指当光子与金属表面相互作用时，会使得金属表面的电子被激发并从金属表面射出的现象。
这表明光子具有能量。
2、光子说：爱因斯坦提出了光子说，即光子是一种具有能量和动量的微观粒子，它们在光波中传播。
3、光电效应方程：光电效应的实验结果可以用光电效应方程来描述，即E=hf-φ，其中E为光电子的最大动能，h为普朗克常数，f为光子的频率，φ为金属的逸出功。
这个方程表明，只有当光子的能量大于金属的逸出功时，光电子才能被激发并射出。
四、波粒二象性德布罗意波长1、波粒二象性：波粒二象性是指微观粒子既可以表现出波动性，也可以表现出粒子性。
这一概念最早由德布罗意提出。
2、德布罗意波长：德布罗意提出了一个公式λ=h/p，其中λ为德布罗意波长，h为普朗克常数，p为粒子的动量。
这个公式表明，微观粒子也具有波动性，其波长与动量成反比。
五、原子核的结构与稳定性1、原子核的结构：原子核由质子和中子组成，质子带正电荷，中子不带电荷。
原子核的直径约为10^-15米，而整个原子的直径约为10^-10米，因此原子核是原子中最小的部分。
2、原子核的稳定性：原子核的稳定性取决于质子数和中子数的比例。
当质子数和中子数相等时，原子核最稳定。
当质子数或中子数过多或过少时，原子核就不稳定，容易发生衰变。
以上是最新人教版高中物理选修3-5的知识点总结。
动量守恒定律是物理学中非常重要的一个定律，它可以用来解释许多物理现象。
量子理论的建立和黑体辐射是现代物理学的重要里程碑。
光电效应和波粒二象性则是揭示微观粒子本质的重要概念。
原子核的结构和稳定性则是核物理学的基础。
这些知识点的掌握对于理解物理学的基本原理和应用具有重要意义。
光的电磁说是光的波动理论的一种完美发展，但是它无法解释光电效应的现象。
光电效应是指在光的照射下，物体会发射出电子，这些发射出来的电子被称为光电子。
（实验图请见课本）研究结果表明光电效应存在饱和电流，这意味着入射光越强，单位时间内发射的光电子数越多；同时存在遏止电压和截止频率。
第26章波动性概率幅和不确定关系
3
• 电子通过金多晶薄膜的衍射实验。 （汤姆逊1928）
• 电子的单缝、双缝、三
缝和四缝衍射实验。 （约恩逊1961)
• 30年代以后，实验发现， 中子、质子、原子、分子都具有衍射现象。
• 自然界中的一切微观粒子，不论它们的静止质量 是否为零，都具有波粒二象性。
4
三. 电子显微镜
d | |2dV = * dV
·概率波给出的结果服从统计规律性，它不能预言粒 子必然在哪里出现，只能预言粒子出现的概率.
11
波函数的标准条件：
1. 归一化条件 (粒子在整个空间出现的概率为1)
|
Ψ
(r ,
t
)
|2dxdydz
1
2. 波函数必须满足单值、有限、连续（标准条件）
• 有确定的概率:时间和空间的单值函数; • 概率密度分布:连续、有限的函数; • 在全空间出现的概率为1:归一化函数.
★Max Born 荣获 1954年 Nobel Prize.
13
三、用电子双缝衍射实验说明概率波的含义
单个粒子在哪一处出现是偶然事件； 大量粒子的分布有确定的统计规律。
若使一个电子反复多 次通过双缝，会出现 相同的衍射图样吗？
物质波并不是经典波！
电 子 双 缝 干 涉 图 样
出现概率小 电子数 N=71320000
一、历史上对波粒二象性的两种典型解释
1.“粒子是由波包组成的” 但波包在媒质中要扩散、消失。电子在原子散射过
程中保持稳定。 2.“波动性是大量粒子相互作用而形成的”
但这和单个粒子就具有波动性相矛盾。
9
1926年，玻恩假定——德布罗意波是概率波.
1. 概率波 ·对光辐射(电磁波)，爱因斯坦1917年引入统计性概念；
高中物理第十三章光4实验：用双缝干涉测量光的波长课件新人教版选修3
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
【解析】 (1)双缝干涉仪各组成部分在光具座上的正确排序为 光源、滤光片、单缝、双缝、屏，因此应填：E、D、B.
(2)单缝与双缝的间距为 5～10 cm 使单缝与双缝相互平行． 【答案】 (1)EDB (2)单缝与双缝的间距为 5～10 cm 使单 缝与双缝相互平行
(1)若测定红光的波长，应选用___红_____色的滤光片．
(2)若测得双缝与屏之间的距离为 0.70 m，通过测量头(与螺旋 测微器原理相似，手轮转动一周，分划板前进或后退 0.500 mm)观 察第 1 条亮纹的位置如图甲所示，观察第 5 条亮纹的位置如图乙所 示，则可求出红光的波长 λ＝_7_×__1_0_－_7_m．(保留一位有效数字)
比用红色光做实验时___小_____(选填“大”或“小”)．
解析：(1)根据 Δx＝dl λ 知，d 越小，Δx 越大；(2)l 越大，Δx 越 大；(3)红色光的波长长，蓝色光的波长短，根据 Δx＝dl λ 知，用蓝 色光照射条纹间距比用红色光小．
答案：(1)越大 (2)越大 (3)小
3．在“用双缝干涉测光的波长”的实验中，装置如图所示．双 缝间的距离 d＝3 mm.
＝
9.6－0.3×0.2 4×750
mm＝6.2×10－4 mm.
【答案】 0.3 9.6 6.2×10－4
类型三 实验操作与误差分析 【例 3】 现有毛玻璃屏 A、双缝 B、白光光源 C、单缝 D 和 透红光的滤光片 E 等光学元件，要把它们放在如图所示的光具座上 组装成双缝干涉装置，用以测量红光的波长．
实验器材 双缝干涉仪，即光具座、光源、滤光片、单缝、双缝、遮光筒、 毛玻璃屏、测量头．另外，还有学生电源、导线、刻度尺等．
光子能量和波长的公式
光子能量和波长的公式
光子是光的基本单位，它既具有粒子性又具有波动性。
光的波长和能量之间有着密切的关系，可以用一条简单的公式来描述。
根据物理学的基本原理，光的波长和能量之间的关系可以用普朗克常数来表示。
普朗克常数是一个非常重要的物理常数，它的数值约为6.62607015 × 10^-34 J·s。
光的波长与能量之间的关系可以用以下公式表示：
E = h * c / λ
其中，E表示光子的能量，h表示普朗克常数，c表示光速，λ表示光的波长。
根据这个公式，我们可以看出，当光的波长变短时，光子的能量就会变大。
也就是说，波长越短的光子具有更高的能量。
反之，波长越长的光子具有更低的能量。
这个公式的具体应用非常广泛。
在光谱学中，科学家们利用这个公式来测量光的波长和能量，从而研究物质的性质和组成。
除了光谱学之外，这个公式在量子力学中也有着重要的应用。
它帮助科学家们理解了光子的性质和行为，进而推动了量子力学的发展。
在日常生活中，我们也可以利用这个公式来解释一些现象。
比如，
为什么天空是蓝色的？这是因为空气中的分子会散射短波长的光，而蓝色的光具有较短的波长，因此更容易散射。
而夕阳的颜色则是因为在太阳落山时，光经过较长的路径，散射了大部分的蓝光，只剩下了较长波长的红光。
总结一下，光的波长和能量之间的关系可以用公式E = h * c / λ来表示。
这个公式在物理学、光谱学和量子力学中都有着重要的应用。
通过理解这个公式，我们可以更好地认识光子的性质和行为，从而深入探索自然界的奥秘。
高中物理 人教版选修3-5 第3课 粒子的波动性
第3课粒子的波动性备课堂教学目标：（一）知识与技能1.知道光的本性认识史.2.知道光的波粒二象性，理解其对立统一的关系.3.会用光的波粒二象性分析有关现象.4.理解德布罗意波，会解释相关现象.（二）过程与方法通过本节课的教学使学生了解对知识理论的推广和假设并不是一味的凭空猜想，而是有一定的理论或事实基础。
（三）情感态度与价值观让学生知道受实际条件的限制而使很多理论在开始都处于假设阶段，不易被人们接受。
对学生进行开放教育，培养学生的科学态度和科学精神，激发学生的探索精神。
重点：1.用光的波粒二象性分析有关现象.2.对德布罗意波的理解.难点：对德布罗意波的理解.教学方法：讲授+练习教学用具：多媒体讲法速递（一）引入新课：温故：光电效应规律及解释板书：第3节粒子的波动性（二）进行新课：1、光的波粒二象性教师：讲述光的波粒二象性。
在学生的辨析说明下进行归纳整理。
（1）我们所学的大量事实说明：光是一种波，同时也是一种粒子，光具有波粒二象性。
光的分立性和连续性是相对的，是不同条件下的表现，大量光子的行为服从统计规律。
（2）光子在空间各点出现的概率遵从波动规律，物理学中把光波叫做概率波。
点评：通过学生归纳总结形成结论，教师再进行讲解，学生容易接受。
充分注重知识的学生自主形成过程。
2、光子的能量与频率以及动量与波长的关系。
hv ε= /p h λ=让学生找到更多的关系公式：/=//p h hv v c λλε==提问：受此启发，人们想到：同样作为物质的实物粒子(如电子、原子、分子等)是否也具有波动性呢？ 学生阅读课本“粒子的波动性”。
点评：让学生带着问题阅读，提高阅读的效率，培养学生从课文材料中提取有关信息的能力。
3、粒子的波动性提问：谁大胆地将光的波粒二象性推广到实物粒子？只是因为他大胆吗？学生回答：法国科学家德布罗意考虑到普朗克能量子和爱因斯坦光子理论的成功，大胆地把光的波粒二象性推广到实物粒子。
展示演示文稿资料：有关德布罗意。
光子气体
Fourier变换
ei
r (k
rr
t
)
k
空腔内的辐射场可以分解为无穷多个单 色平面波的叠加。具有一定的波矢k和 圆频率ω的单色平面波与具有一定的动 量p和能量ε的光子相应。
由于光子的自旋量子数为1，所以光子 是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。
2、分析
内能密度
内能
频率
u( )d
8 h 3
c3
1 eh /kT
推测答案 理论预言
提出命题
实验检验
修改理论
6、用配分函数求光子气体的热力学函数
（1）巨配分函数
(1 e l )l
l
ln l ln(1 e l )
l
l
V 2c3
2d
0,
引入变量 x h ，上式可以表示为
ln
V 2c3
0
2 ln(1 eh )d
ln V
1
x2 ln(1 ex )dx
上式指出，使辐射场能量取极大的 值 是一定的。ωm与温度T成正 比。这结论称为维恩位移定律。
小结
本节课从粒子的观点，把空腔内的辐射场看作 光子气体，利用玻色分布推导出了与实验非常符合 的普朗克公式，并对其进行了讨论，然后再由普朗 克公式推导出了斯特藩-玻尔兹曼定律、维恩位移定 律。
五、启示
物理学是 一门理论和实 验高度结合的 精确科学。物 理学中有一套 获得知识和运 用知识的有效 步骤和方法， 其要点可概括 为：
与瑞利-金斯公式符合
2、高频范围
h kT 1
将(*)分母中-1这一项忽略而有
U (,T )d
V
3e kT d
2c3
u d C1 3eC2 /T d
上海兰生复旦高中物理选修三第四章《原子结构和波粒二象性》知识点(课后培优)
一、选择题1．如图为氢原子的能级示意图，已知光子能量在1.63eV~3.10eV 的光为可见光。
要使大量处于基态的氢原子被激发后可辐射出2种可见光光子，原子应吸收的能量为（ ）A ．10.2eVB ．12.09eVC ．12.75eVD ．13.06eV 2．如图1所示为氢原子能级图，用大量处于4n =激发态的氢原子辐射出的光照射如图2光电管阴极，阴极K 的逸出功为1.05eV 。
电路中有光电流产生，以下说法正确的是（ ）A ．若将滑片右移，电路中光电流增大B ．若将电源反接，电路中没有光电流产生C ．逸出的光电子最大初动能为192.410J -⨯D ．氢原子向低能级跃迁时辐射的光中只有5种光子能使阴极K 发生光电效应 3．如图，是氢原子的能级图，各能级能量关系为12nE E n=，其中E 1为基态能量，n 为量子数。
当原子从5n =能级跃迁到3n =能级时，释放出的一个光子能量为E ，下列说法正确的是（ ）A ．一个处于5n =的氢原子向低能级跃迁时，最多能辐射出10种不同频率的光子B ．从5n =能级向低能级跃迁，跃迁到4n =能级辐射的光波长最短C ．处于3n =的氢原子跃迁到基态吸收光子能量为12.5ED ．某金属的逸出功为E ，用4n =跃迁到2n =辐射的光子照射该金属，逸出光电子的最大初动能为419256E 4．用如图甲所示的装置研究光电效应现象。
用频率为ν的光照射光电管时发生了光电效应。
图乙是该光电管发生光电效应时光电子的最大初动能E k 与入射光频率ν的关系图像，图线与横轴的交点坐标为（a ，0），与纵轴的交点坐标为（0，-b ），下列说法中正确的是（ ）A ．普朗克常量为b h a= B ．仅增加照射光的强度，光电子的最大初动能将增大C ．仅提高照射光频率，金属的逸出功增大D ．保持照射光强度不变，仅提高照射光频率，电流表G 的示数增大5．用不同频率的光照射某种金属时，逸出光电子的最大初动能随入射光频率变化的图线如图所示，图线的反向延长线与纵轴交点纵坐标为-a （a ＞0），与横轴交点横坐标为b ，电子的电荷量大小为e ，则由图获取的信息，错误的是（ ）A ．该金属的截止频率为bB ．该金属的逸出功为aC．普朗克常量为b aD．入射光的频率为2b时，遏止电压为a e6．如图所示为氢原子的能级示意图，对于处于n=4激发态的一群氢原子来说，则（）A．由n=2跃迁到n=1时发出光子的能量最大B．由较高能级跃迁到较低能级，电子轨道半径减小，动能增大C．当氢原子自发向低能级跃迁时，可发出3种光谱线D．由n=4跃迁到n=1发出光子频率是n=4跃迁到n=2发出的光子频率的6倍7．如图所示，某种单色光射到光电管的阴极上时，电流表有示数，则不正确的是（）A．入射的单色光的频率必须大于阴极材料的截止频率B．增大单色光的强度，电流表的示数将增大C．滑片P向左移，电流表示数将增大D．滑片P向左移，电流表示数将减小，甚至为零8．图为氢原子能级图。
物理选修35鲁科版全套一体资料课件：第五章 波与粒子 52
3．康普顿效应的意义 康普顿效应表明光子除了具有能量之外，还具有 动量 ， 深入揭示了光具有 粒子 性．
二、光的波粒二象性 1．光具有波粒二象性：光子既有 粒子的特征 ，又有
波的特征 ． 2．发生光电效应或康普顿效应取决于 入射光的波长 ． 3．光波是一种 概率波 ． 4．光的波动性和粒子性不是均衡表现的，波长较长时，光
而荣获了1927年的诺贝尔物理学奖．假设一个运动的光 子和一个静止的自由电子碰撞以后，电子向某一个方向
运动，光子沿另一方向散射出去，则这个散射光子跟原
来的光子相比
A．频率变大 C．光子能量变大 答案 D
B．速度变小 D．波长变长
()
解析 光子与自由电子碰撞时，遵守动量守恒和能量守恒，自由 电子碰撞前静止，碰撞后动量、能量均增加，所以光子的动量、 能量减小，由 λ＝hp，E＝hν 可知光子频率变小，波长变长，故 D 正确．由于光子速度是不变的，故 B 错误．
解析 光的波粒二象性指光有时候表现出的粒子性较明显， 有时候表现出的波动性较明显，D正确；大量光子的行为往 往表现出波动性，个别光子的行为往往表现出粒子性，A正 确；光在传播时波动性显著，光与物质相互作用时粒子性显 著，B错误；频率高的光粒子性显著，频率低的光波动性显 著，C错误．
针对训练2 下列有关光的波粒二象性的说法中，正确的是 ()
A．有的光是波，有的光是粒子 B．光子与电子是同样的一种粒子 C．光的波长越长，其波动性越显著；波长越短，其粒子 性越显著 D．大量光子的行为往往显示出粒子性 答案 C
解析 一切光都具有波粒二象性，光的有些行为(如干涉、衍射) 表现出波动性，光的有些行为(如光电效应)表现出粒子性，所以， 不能说有的光是波，有的光是粒子． 虽然光子与电子都是微观粒子，都具有波粒二象性，但电子是实 物粒子，有静止质量，光子不是实物粒子，没有静止质量；电子 是以实物形式存在的物质，光子是以场形式存在的物质，所以， 不能说光子与电子是同样的一种粒子．光的波粒二象性的理论和 实验表明，大量光子的行为表现出波动性，个别光子的行为表现 出粒子性．光的波长越长，衍射性越好，即波动性越显著，光的 波长越短，其光子能量越大，个别或少数光子的作用就足以引起 光接收装置的反应，所以其粒子性就很显著． 综上所述，本题正确答案为选项C.
深圳沙井上南学校人教版高中物理选修3-第5章解答题专项经典题(培优专题)
一、解答题1．在粒子物理的科研过程中，发现波长很短的电磁辐射在通过吸收器时会“衰变”形成实物粒子。
计算γ射线在“衰变”形成一对正、负电子时，γ射线的最大波长是多少?（每个电子或正电子的质量为319.110kg -⨯）解析：121.210m -⨯γ射线在“衰变”形成一对正、负电子的过程中放出的最大能量为22E mc =根据22h mc ν=得，γ射线的频率为22mc hν= 则波长为34123186.6710m 1.210m 229.110310ch mc λν---⨯====⨯⨯⨯⨯⨯ 2．α粒子以初速度v 0轰击静止的氮14原子核打出一种新的粒子，同时产生原子核氧17，新的粒子速度为3v 0，且方向与α粒子初速度相同，反应过程中释放的能量完全转化为系统的动能。
已知中子质量为m ，质子质量和中子质量相等，质量数为A 的原子核的质量为m 的A 倍，光速为c ，求： (1)写出该反应的核反应方程式； (2)计算此反应过程中的质量亏损。
解析：(1)4141712781He N O H +→+；(2)224317mv m c ∆=【分析】本题考察核反应方程的书写和动量守恒定律的应用。
(1)4141712781He N O H +→+(2)反应过程遵循动量守恒4mv 0 = 3mv 0 + 17mv反应过程能量守恒222200111(3)174222m v mv mc mv +=∆+ 解得224317mv m c ∆=3．一个氢原子的质量为1.6736×10-27kg ，一个锂（73Li ）原子的质量为11.6505×10-27kg ，一个氦原子的质量为6.6467×10-27kg 。
一个锂核受到一个质子轰击变为2个α粒子，已知阿伏加德罗常数231A 6.010mol N -=⨯。
（1）写出核反应方程，并计算该反应释放的核能是多少；（2）1mg 锂原子发生这样的反应共释放多少核能。
浙江专版2024年高中物理第十七章波粒二象性第12节能量量子化光的粒子性讲义含解析新人教版选修3_5
能量量子化光的粒子性黑体与黑体辐射、能量子1．黑体辐射(1)热辐射：一切物体都在辐射电磁波，这种辐射与物体的温度有关。
(2)黑体：能够完全汲取入射的各种波长的电磁波而不发生反射的物体。
(3)一般材料物体的辐射规律：辐射电磁波的状况除与温度有关外，还与材料的种类及表面状况有关。
(4)黑体辐射的试验规律：黑体辐射电磁波的强度按波长的分布只与黑体的温度有关，如图所示。
①随着温度的上升，各种波长的辐射强度都增加；②随着温度的上升，辐射强度的极大值向波长较短的方向移动。
2．能量子(1)定义：普朗克认为，振动着的带电微粒的能量只能是某一最小能量值ε的整数倍，当带电微粒辐射或汲取能量时，也是以这个最小能量值为单位一份一份地辐射或汲取的，这个不行再分的最小能量值ε叫做能量子。
(2)能量子大小：ε＝hν，其中ν是电磁波的频率，h称为普朗克常量。
h＝6.626×10－34J·s(一般取h＝6.63×10－34J·s)。
(3)能量的量子化：在微观世界中能量是量子化的，或者说微观粒子的能量是分立的。
[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)1．在自然界中能量都是量子化的。
(×)2．黑体是一种志向模型，自然界不存在。
(√)[释疑难·对点练]1．对黑体的理解(1)黑体事实上是不存在的，只是一种志向状况，但假如做一个闭合的空腔，在空腔表面开一个小孔，小孔就可以模拟一个黑体，如图所示。
这是因为从外面射来的电磁波，经小孔射入空腔，要在腔壁上经过多次反射，在多次反射过程中，外面射来的电磁波几乎全部被腔壁汲取，最终不能从空腔射出。
(2)黑体不肯定是黑的，只有当自身辐射的可见光特别微弱时看上去才是黑的；有些可看做黑体的物体由于有较强的辐射，看起来还会很光明，如炼钢炉口上的小孔。
一些发光的物体(如太阳、白炽灯灯丝)也被当做黑体来处理。
(3)黑体同其他物体一样也在辐射电磁波，黑体的辐射规律最为简洁，黑体辐射强度只与温度有关。
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目 录从光子气体微观模型计算光子平均波长[1] (1)1 摘要 (1)2 光子气体是一种理想气体 (1)3 光子气体压强的微观解释 (1)4 光子气体温度的微观解释 (4)5 光子平均波长λ与温度的关系 (4)6 讨 论 (4)从光子气体微观模型计算光子平均波长[1]黄鹏辉中国北京QQ及邮箱644537151@， QQ群696570101 摘要根据经典理想气体的定义，本文把宇宙背景辐射看成一种理想的光子气体模型并推导其平均波长，得到的结果与从普朗克黑体辐射公式所推导的结果非常接近，然而却有一个不容忽视的系数差别。
这一方面表明光子气体模型有其合理性，另一方面也表明现有经典理想气体计算模型仍有较大误差，可能需要从数学上进行修改和完善。
2 光子气体是一种理想气体类比于经典理想气体理论，宇宙背景辐射可以看成一种光子气体，而且根据经典理想气体的定义，光子气体也是一种理想气体。
基于光子气体模型，我们做如下假设[1, 2, 3]：1) 光子气体单位体积中的光子数目巨大，这是统计规律发生作用的条件。
2) 单个光子遵守狭义相对论，即光速不变。
3) 在整体上，巨大数量的光子都是做无规则的随机运动。
4) 光子之间的距离要比光子本身的尺寸大得多。
即光子本身的尺寸可以忽略不计。
5) 光子之间、以及光子与容器壁之间都是完全弹性碰撞。
在平衡态时，假设光子与容器壁发生碰撞后能量不发生改变。
6) 光子只在弹性碰撞瞬间才产生接触相互作用力。
无碰撞则无相互作用力。
7) 光子气体被看成是一种纯净物质，也就是说，所有的光子都是相同的。
3 光子气体压强的微观解释对于光子气体理论的第一个应用，我们根据微观模型来推导在一个边长为d 、体积为V=d3的立方体容器中包含N个光子所产生的光子气体压强公式。
如图.1所示。
假设我们考察其中的第i个光子，这个光子的质量为m = hf/c2，光子的速度始终为c（假设2），那么如图1所示，这个光子沿X轴方向的速度分量为c xi 。
这个光子碰到容器壁后，将做弹性碰撞而被反射（假设5），如图2所示。
因为容器壁的质量远大于光子质量，光子被反射后，沿X轴方向的速度分量变成 -c xi 。
反射前，光子沿X 轴方向的动量为P xi = mc xi = hfc xi /c 2 ，反射后，光子动量变成 -P xi = -mc xi = -hfc xi /c 2 。
这样，光子沿X 轴方向的动量变化就是ΔP xi = -hfc xi /c 2 - (hfc xi /c 2) = -2hfc xi /c 2(1)图.1 立方体容器和第i 个光子图.2 第i 个光子与立方体容器壁做弹性碰撞 对这个光子应用冲量定理，可以给出 [1]xi, 光子t Δ碰撞=ΔP xi = -2hfc xi /c 2 (2) 其中xi, F 光子是作用在光子上的、沿X 轴方向的、垂直于容器壁的平均力的分量，是碰撞持续的时间间隔。
t Δ碰撞我们也可以定义两次碰撞之间的时间间隔：这个光子要与同一个容器壁做下一次碰撞，它就必须要在X 轴方向走过2d 距离（穿过容器然后返回），两次与同一个容器壁碰撞之间的时间间隔为Δt ，因此Δt = 2d / c xi (3)与容器壁碰撞引起动量改变的作用力其实只发生在碰撞瞬间（假设6）。
然而，我们可以用光子两次碰撞之间的时间间隔Δt （穿过立方体容器并返回）来计算平均力的大小。
在这个时间间隔内的某个时候，发生了碰撞，碰撞持续的时间间隔为t Δ碰撞，显然，Δt >。
但在较长时间间隔Δt 内的动量改变，与发生碰撞瞬间t Δ碰撞t Δ碰撞内的动量改变却是相同的。
因此，我们可以把冲量定理写成xi F Δt = -2hfc xi /c 2 (4) 注意，这里F xi 是光子穿过立方体容器然后返回这段时间间隔Δt 内的平均力的分量，与(2)式中的xi, F 光子有所区别：F xi 对应着时间间隔Δt ，而xi, F 光子对应着时间间隔。
因为在每一个时间间隔Δt 中正好只发生一次碰撞，所以我们可以做这种平均处理。
t Δ碰撞由(3)式和(4)式就能够得到容器壁作用在第i 个光子上的平均力的分量xi = t c / 2hfc -2xi Δ = 2xi xi-2hfc / c 2d/c = 22xi dc hfc - (5) 根据牛顿第三定律，第i 个光子作用在容器壁上的力与xi F 应该大小相等、方向相反xi, F 壁 = -xi F = 22xi dchfc (6) 这是单个光子对容器壁的平均力，要得到光子气体作用在容器壁上总的平均力F x ，可以对所有光子作用在容器壁上的平均力求和，也就是把(6)式对所有的光子求和F x = ∑=N 1i 22xi dc hfc = ∑=N 1i 2xi 2cdc f h (7)我们把其中的普朗克常数、光子的平均频率、立方体容器的边长以及光速作为公因数提出来了，因为前面的假设7已经说明了所有的光子都是相同的。
注意，提出来的光子频率必须是平均频率，因为对每个光子而言，其频率并不相同。
现在我们来考虑假设1，即单位体积中的光子数目巨大。
对于小数目的光子，实际作用在容器壁上的力可能是会随着时间而改变的：当有光子碰撞容器壁时，实际作用力就不是0；当没有光子碰撞容器壁时，实际作用力就是0。
然而，对于很大数目的光子，因为光子都做无规则的随机运动（假设3），碰撞容器壁的光子数目就大致是恒定的。
这时作用力的变化就很平缓，平均作用力在任何时间间隔都是相同的，从宏观看，实际上就表现为持续而恒定的作用力。
所以，由于光子碰撞容器壁而产生的作用力就是F x =∑=N 1i 2xi 2cdc f h (8)注意此处的力已经是恒定的力了，所以去掉了平均符号。
为了进一步处理，我们来看看N 个光子、沿X 轴方向的速度分量平方的平均值怎么表示：其实就是求所有速度分量平方的总和，然后除以光子数N2x c = Nc N 1i 2xi∑= (9) 注意(9)式等号右边的分子正好包含在(8)式中。
这样，对墙的总的作用力就可以写成 F x =2x 2c N dcf h (10) 现在我们再来考虑一个具有速度分量c xi 、c yi 和c zi 的光子。
根据矢量规则，有 Zi Yi 2222xi c =c c c ++ (11)如果我们对(11)式两边都取平均值（对所有光子求和然后除以光子数N ），那么容器中所有光子速度平方的平均值2c 仍然是、 和的平均值相加（注意c 是常数）2x c 2Y c 2Z c 2c ==2c 2x c +2Y c +2Z c (12)因为已经假设光子的运动是完全随机的（假设2），这意味着没有任何一个方向是优先的或特殊的。
求速度平方的平均值时，X 、Y 和Z 三个方向都是等价的，于是2X c =2Y c =2Zc (13) 这样(12)式就可以写成2c = 32Xc (14) 所以，作用在容器壁上总的压强就是 P =x 2Fd =223X c N c d f h =)3c N(cd f h 223=f h d N 313=)f (h V N 31 (15) 这个结果显示出压强正比于单位体积内的光子数N/V （即光子数密度）和光子的平均能量E =f h 。
这样，对于光子气体模型来说，我们就得到了一个重要的结果：把可测量的宏观量压强和微观量光子的平均能量联系起来了。
4 光子气体温度的微观解释得到宏观量压强和微观量光子的平均能量之间的关系后，我们还可以继续得到宏观量温度和光子微观量之间的关系。
首先我们可以把(15)式写成如下形式 PV = )f N(h 31 (16) 因为光子气体也是一种理想气体，我们可以写出理想气体的状态方程[3]PV = N k B T (17)其中k B 是玻尔兹曼常数。
比较(16)式和(17)式，可以得到 T =Bhf 3k (18) (18)式说明光子气体的温度（可测量的宏观量）是对光子平均能量的直接测量。
因此，当温度升高时，光子具有更高的平均能量或更高的平均频率。
5 光子平均波长λ与温度的关系 把公式f =λc/代入(18)式，即可得到光子的平均波长与温度的关系λ=T 3hc B k =B hc 0.333Tk (19) (19)式中λ和T 都是可实验测量的宏观量，这就为实验验证提供了理论基础。
注意，从普朗克公式计算得到的光子平均波长公式为[4]λ =T hc π36.060B 4k = T hc 370.0B k (20) 比较(19)式和(20)式发现，两者相当接近，这说明宇宙背景辐射的光子气体模型是成功的。
但是两个公式的系数一个为0.333，一个为0.370，两者为何会有一个不容忽视的差别，这是一个需要深入探讨的问题。
6 讨 论通过本文的计算，有如下一些启发性的观点值得探讨：1、本文的创新点在于：把光子气体看作是理想气体，然后把理想气体的微观粒子模型应用于光子气体。
这是一种类比研究方法，也是一个全新的尝试。
2、注意理解物理思想和数学模型的概念和方法。
在本文中，把宇宙背景辐射看成理想的光子气体就是一种物理思想；而把经典理想气体的立方体模型用于光子气体的计算可以看成是一种数学模型。
两者的关系是：物理思想是数学模型的基础，数学模型是对物理思想的定量计算和验证。
3、本文用到的物理原理主要有：力学原理（如冲量定理、牛顿第三定律等）和统计力学原理（如统计平均概念和方法、统计求和方法等）。
4、本文采用的研究方法类似于公理法思路，即先根据理想气体的要求提出几条假设条件，然后在后面的推导过程中逐渐应用这些假设条件。
5、注意，本文中数学计算的前提条件是光子气体处于平衡态。
6、本文的重要发现在于：从光子气体微观模型和普朗克公式得到的宇宙背景辐射光子平均波长，虽然很接近，但是却有一个显著的差别。
这个差别可能具有重要的物理价值。
普朗克公式可以用多种方法推导出来，并且也与实验结果非常符合，因此，从普朗克公式得到的结果应该是更加可靠的。
如果我们确信这一点，那么问题很可能出在本文所采用的立方体模型上，可能立方体模型的误差较大，也许我们需要一种更精确的微观模型来描述宇宙背景辐射光子气体。
当然我们也要关注前面提出的假设条件是否完善和合理，或者数学推导过程是否有纰漏，误差也可能来自于这些方面。
7、这个发现深入一层的意义还在于：如果立方体模型的误差较大，那么用它来描述经典理想气体也一定会带来较大误差。
这样，原来经典理想气体中的立方体微观模型也得进行修改。
8、更深入一层的类比是：既然光子气体存在一个普朗克公式，那么经典理想气体中应该也存在一个与普朗克公式对应的公式，这个公式如何得到？9、再类比于光子气体，在量子力学中通常也用电子气体的模型来研究问题，那么电子气体是否可以看成理想气体？电子气体中是否也存在一个与普朗克公式对应的公式？不过要注意的是，在量子力学中，光子气体服从玻色-爱因斯坦统计规律，电子气体服从狄拉克-费米统计规律，这是两种气体的差别。