人教版高一数学必修一各章知识点总结+测试题组全套(含答案)
完整版)人教版高一数学必修一集合知识点以及习题
完整版)人教版高一数学必修一集合知识点以及习题高一数学必修第一章集合1.集合的概念集合是指一定范围内、确定的、可区别的事物，将其作为一个整体来看待，就叫做集合，简称集。
其中的各事物叫作集合的元素或简称元。
集合的元素具有三个特性：确定性、互异性和无序性。
确定性指元素是明确的，如世界上最高的山。
互异性指元素是不同的，如由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}。
无序性指元素的排列顺序不影响集合的本质，如{a,b,c}和{a,c,b}是同一个集合。
集合可以用大括号{…}表示，如{我校的篮球队员}、{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}。
集合也可以用拉丁字母表示，如A={我校的篮球队员}，B={1,2,3,4,5}。
集合的表示方法有列举法和描述法。
常用的数集及其记法有：非负整数集（即自然数集）记作N，正整数集记作N*或N+，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。
2.集合间的关系集合间有包含关系和相等关系。
包含关系又称为“子集”，表示一个集合的所有元素都属于另一个集合。
如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B。
如果A和B是同一集合，则称A是B的子集，记作A⊆B。
反之，如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含于集合A，则记作A⊈B或B⊈A。
相等关系表示两个集合的元素完全相同，记作A=B。
真子集是指如果A⊆B，且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A⊂B（或B⊃A）。
如果XXX且B⊆C，则A⊆C。
如果XXX且B⊆A，则A=B。
空集是不含任何元素的集合，记为Φ。
规定空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
3.集合的运算集合的运算包括交集、并集和补集。
交集是由所有属于A 且属于B的元素所组成的集合，记作A∩B。
并集是由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B。
补集是由S中所有不属于A的元素所组成的集合，记作A的补集。
如果S是一个集合，A是S的一个子集，则A的补集为由S中所有不属于A的元素组成的集合。
高中数学必修1(人教A版)第二章基本初等函数2-1知识点总结 含同步练习题及答案
(2 x )2 + 2 x − 6 = 0,
令 t = 2 x ，则 t > 0 ，所以
t 2 + t − 6 = 0.
解得 t = 2 或 t = −3．因为 t > 0 ，所以 t = 2 ，即 2 x = 2 ，所以 x = 1． 若 a−5x > ax+7 (a > 0 且 a ≠ 1)，求 x 的取值范围．
< 1 的解为
(
)
B．−2 < t < 1 C．−2 < t < 2 D．−3 < t < 2
A．1 < t < 2
答案： A 解析： 若不等式
x2 − 2ax + a > 0，对 x ∈ R 恒成立，则 Δ = 4a2 − 4a < 0 ∴ 0 < a < 1 又 2 a2t+1 < at +2t−3 < 1 ，则 2t + 1 > t 2 + 2t − 3 > 0 t + 1 > t 2 + 2t − 3 ∴ 1 < t < 2 ． 即 { 22 t + 2t − 3 > 0
2
3 3 ] 上是增函数，在 [ , +∞) 上是减函数，所以 2 2 3 3 −x2 +3x+2 在 f (x) = 2 (−∞, ] 上是增函数，在 [ , +∞) 上是减函数． 2 2 x （2）函数的定义域为 R，令 t = 2 (t > 0)，则 y = (2 x )2 − 2 × 2 x + 5 = t 2 − 2t + 5 = (t − 1)2 + 4，根据该函数的图象可得，y ∈ [4, +∞)． 当 t ≥ 1 时，y = (t − 1)2 + 4 在 [1, +∞) 上为增函数，又 2 x ≥ 1 ，即 x ≥ 0，且 t = 2 x 在 [0, +∞) 上为增函数，由复合函数的单调性的判断方法知，原函数在 [0, +∞) 上是增函数．同 理，原函数在 (−∞, 0] 上为增函数．
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_《函数》全章复习与巩固_ 基础
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案《函数》全章复习与巩固编稿：审稿：【学习目标】1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质.【知识网络】【要点梳理】要点一：关于函数的概念1．两个函数相等的条件用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．2．函数的常用表示方法函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3．映射设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原f x（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集象），在集合B中都有唯一确定的元素()合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．4．函数的定义域函数的定义域是自变量x 的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：（1）已知()f x 得函数表达式，求定义域； （2）已知()f x 的定义域，求[]()f x ϕ的定义域，其实质是由()x ϕ的取值范围，求出x 的取值范围；（3）已知[]()fx ϕ的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()x ϕ的取值范围．5．函数的值域由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域． 函数值域的求法：（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如y ax b =+t =，转化成二次函数再求值域（注意0t ≥）；（3）形如(0)ax by c cx d+=≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （4）形如22ax bx cy mx nx p++=++（,a m 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域． 6．函数的解析式函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数[]()f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出()f x ．要点二：函数的单调性（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数． 与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．要点三：函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．要点四：图象的作法与平移（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线； （2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换； （3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象． 要点五：一次函数和二次函数 1．一次函数(0)y kx b k =+≠，其中y k x∆=∆． 2．二次函数二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可以得到2(),y a x h k a =-+决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为(),h k ，对称轴方程为x h =．对于二次函数2224()()24b ac b f x ax bx c a x a a-=++=++． 当0a >时，()f x 的图象开口向上；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递减的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增的；当2b x a =-时，函数取得最小值244ac b a-． 当0a <时，()f x 的图象开口向下；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递增的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递减的；当2b x a =-时，函数取得最大值244ac b a-． 要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型； （3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义． 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：要点七：函数与方程（1）对于函数()()y f x x D =∈，我们把使()0f x =得实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点． （2）确定函数()y f x =的零点，就是求方程()0f x =的实数根．（3）一般地，如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在()0,x a b ∈，使得0()0f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根．（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．判断函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程()0f x =与函数()y f x =联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0．（5）在实数范围内，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的零点与二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根之间有密切关系．①0∆>，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实根，其对应二次函数有两个零点； ②0∆=，方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点； ③0∆<，方程20(0)ax bx c a ++=≠无根，其对应二次函数无零点． 【典型例题】类型一：映射例1．设集合{(,)|,}A B x y x y ==∈∈R R ，f 是A 到B 的映射，并满足:(,)(,)f x y xy x y →--． （1）求B 中元素（3，－4）在A 中的原象； （2）试探索B 中有哪些元素在A 中存在原象；（3）求B 中元素（a ，b ）在A 中有且只有一个原象时，a ，b 所满足的关系式．【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识． 【解析】（1）设（x ，y ）是（3，－4）在A 中的原象， 于是34xy x y -=⎧⎨-=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =-⎧⎨=⎩，∴（―3，4）在A 中的原象是（―1，3）或（―3，1）． （2）设任意（a ，b ）∈B 在A 中有原象（x ，y ）， 应满足 xy a x y b -=⎧⎨-=⎩①②由②可得y=x ―b ，代入①得x 2―bx+a=0． ③ 当且仅当Δ=b 2―4a ≥0时，方程③有实根．∴只有当B 中元素满足b 2－4a ≥0时，才在A 中有原象．（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B 中元素满足b 2=4a 时，它在A 中有且只有一个原象． 【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．举一反三：【变式1】 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合2{4,1}M a a =--，2{41,2}N b b =-+-，:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 D【解析】 由已知可得M=N ，故222242420411420a a a a b b b b ⎧⎧-=--+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=--+=⎪⎪⎩⎩，a 、b 是方程x 2－4x+2=0的两根，故a+b=4．类型二：函数的概念及性质【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例2．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )A ．12(||)(||)f x f x <B ．21()()f x f x ->-C ．12()()f x f x <-D ．12()()f x f x -> 【答案】D【解析】因为120x x <<，且120x x +>，所以21||||x x >，画出y = f （x ）的图象，数形结合知，只有选项D 正确．【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．举一反三：【变式1】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+ B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =【答案】D【解析】奇函数有1y x=和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确． 【变式2】 定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】A【解析】由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．例3．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（ ） A ．{x|x ＜－2或x ＞4} B ．{x|x ＜0或x ＞4} C ．{x|x ＜0或x ＞6} D ．{x|x ＜－2或x ＞2} 【答案】 B【解析】 当x ＜0时，－x ＞0，∴33()()88f x x x -=--=--， 又()f x 是偶函数，∴3()()8f x f x x =-=--，∴338, 0()8, 0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，∴33(2)8, 0(2)(2)8, 0x x f x x x ⎧--≥⎪-=⎨---<⎪⎩，30(2)80x x ≥⎧⎨-->⎩或30(2)80x x <⎧⎨--->⎩． 解得x ＞4或x ＜0，故选B ．例4．设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())s f t (,)s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定 【答案】 B【解析】 依题意，设关于x 的不等式ax 2+bx+c ≥0（a ＜0）的解集是[x 1，x 2]（x 1＜x 2），且12()()0f x f x ==，22140)x x b ac a-=->-，()f x =的最大值是=s ∈[x 1，x 2]的取值一定时，()f t 取遍⎡⎢⎢⎣中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s 取遍[x 1，x 2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有0a =>-，a -=a ＜0，因此a=－4，选B 项．举一反三：【变式1】若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4] D ．（0，1） 【答案】 B【解析】 要使()g x 有意义，则02210x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得0≤x ＜1，故定义域为[0，1），选B ．例5．已知函数y =M ，最小值为m ，则mM的值为（ ）A ．14 B ．12C ．22D ．32【答案】 C【解析】 函数的定义域为[－3，1]．又22242(1)(3)4223424(1)y x x x x x =+-+=+--+=+-+． 而204(1)2x ≤-+≤，∴4≤y 2≤8．又y ＞0，∴222y ≤≤．∴22M =，m=2．∴22m M =．故选C 项． 举一反三：【变式1】函数221x y x =+（x ∈R ）的值域是________．【答案】[0，1） 【解析】（1）注意到x 2≥0，故可以先解出x 2，再利用函数的有界性求出函数值域．由221x y x =+，得21y x y=-，∴01y y ≥-，解之得0≤y ＜1．故填[0，1）．例6．设函数()|24|1f x x =-+． （1）画出函数()y f x =的图象；（2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围．【解析】 （1）由于25, 2()23, 3x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则函数()y f x =的图象如图所示．（2）由函数()y f x =与函数y=ax 的图象可知，当且仅当12a ≥或a ＜―2时，函数()y f x =与函数y=ax 的图象有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为1(,2)[,)2-∞-+∞．举一反三：【变式1】 直线y=1与曲线y=x 2－|x|+a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 【答案】 514a <<【解析】 如图，作出y=x 2－|x|+a 的图象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足114a a -<<，解得514a <<．类型三：函数的零点问题例7．若函数()y f x =在区间（－2，2）上的图象是连续的，且方程()0f x =在（－2，2）上仅有一个实根0，则(1)(1)f f -⋅的值（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定 【答案】D【解析】根据连续函数零点的性质，若(1)(1)0f f -⋅<，则()f x 在（－1，1）内必有零点，即方程()0f x =在（－1，1）内有根；反之，若方程()0f x =在（－2，2）内有实根，不一定有(1)(1)0f f -⋅<，也有可能(1)(1)0f f -⋅>．【总结升华】若(1)(1)0f f -⋅<，则()f x 在（－1，1）内必有零点，但当()f x 在（－1，1）内有零点时，却不一定总有(1)(1)0f f -⋅<．举一反三：【变式1】若函数2()f x x ax b =++的零点是2和4-，则a = ，b = ． 【答案】2,8a b ==-【变式2】若函数()0f x ax b =+=有一个零点是2，那么函数2()g x bx ax =-的零点是 ． 【答案】10,2-类型四：函数性质的综合应用 例8. 已知函数2()af x x x=+（x ≠0，常数a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）对a 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取2≤x 1＜x 2，则有12()()0f x f x -<恒成立，即可得a 的取值范围．【解析】 （1）当a=0时，2()f x x =，对任意x ∈（－∞，0）∪（0，+∞），22()()()f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数．当a ≠0时，2()af x x x=+（a ≠0，x ≠0）， 取x=±1，得(1)(1)20f f -+=≠， ∴(1)(1)f f -≠-，(1)(1)f f -≠，∴函数(1)(1)f f -≠既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设2≤x 1＜x 2，2212121212121212()()[()]x x a a f x f x x x x x x x a x x x x --=+--=⋅+-，要使函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，必须12()()0f x f x -<恒成立．∵x 1－x 2＜0，x 1 x 2＞4，即a ＜x 1 x 2 (x 1+ x 2)恒成立．又∵x 1+ x 2＞4，∴x 1x2(x 1+ x 2)＞16． ∴a 的取值范围是（－∞，16]．解法二：当a=0时，2()f x x =，显然在[2，+∞）上为增函数． 当a ＜0时，反比例函数ax在[2，+∞）上为增函数， ∴2()af x x x=+在[2，+∞）上为增函数． 当a ＞0时，同解法一．【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．举一反三：【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】 【变式1】已知函数1()f x kx x=-，且f （1）=1． （1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明． 【解析】（1）(1)1,11,2f k k =∴-=∴=，1()2f x x x∴=-，定义域为：()(),00,-∞+∞．（2）在（0，+∞）上任取1212,,x x x x <且，则12121211()()22f x f x x x x x -=--+=12121()(2)x x x x -+1212121,0,20x x x x x x <∴-<+> 12()()f x f x ∴<所以函数1(2)2f x x=-在()0,+∞上单调递增． 类型五：函数的实际应用例9．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定资本为200元，每桶水的进价是5元．销售单价与日均销售量的关系如下表：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价能获得最大利润? 【答案】11.5 1490【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：(1)已知固定成本200元／天，水进价5元／桶；(2)用表格体现出了售价与日销售量的关系；(3)解决利润最大问题．解决本题可先分析表格，从中找到单价每增加1元，则日销售量就减少40桶，然后设出有关未知量，建立函数模型，进而解决问题． 【解析】 设每桶水在原来的基础上上涨x 元，利润为y 元，由表格中的数据可以得到：价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x 元后，日销售的桶数为：480-40(x -1)＝520-40x ＞0，所以0＜x ＜13，则利润：213(52040)2004014902y x x x ⎛⎫=--=--+ ⎪⎝⎭．(0＜x ＜13)故当x ＝6.5时，利润最大，即当水的价格为11.5元时，利润最大值为1490元．【总结升华】列表法是给出函数关系的一个重要形式，通过“利润＝收入－支出”这一实际意义建立变量之间的关系．运用二次函数模型，常解决一些最大（小）值问题，对生产生活等问题进行优化．举一反三：【变式1】某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n 次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值． 【答案】4【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入，设为c 元，则 8000150022y n c n =+⨯⨯+ 800016500500()n c n c n n=++=++ 24000c =++，=，即n=4时，y取得最小值且y min=4000+c．所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数16y xx=+在（0，+∞）上的单调性求最值．。
人教版高一数学必修一各章知识点总结测试题组全套(含答案)
9、函数的解析表达式
（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
6.已知函数 ，求函数 ， 的解析式
7.已知函数 满足 ，则 =。
8.设 是R上的奇函数，且当 时, ,则当 时 =
在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间：
⑴ ⑵
10.判断函数 的单调性并证明你的结论．
第二章基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ∈ *．
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)
2．值域:先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3.函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法：
人教版高中数学必修一《基本初等函数》全章小结复习及同步练习(含答案)
.
（ 2）培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力
.
二 .重点、难点
重点：指数函数与对数函数的性质。 难点：灵活运用函数性质解决有关问题。
三、学法与教具
1、学法：讲授法、讨论法。
2、教具：投影仪。 四、教学设想
1、回顾本章的知识结构
整数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂
定义 图象与性质
指数 指数函数
11. 光线每通过一块玻璃板其强度要损失 10%,设光线原来的强度为
的性质 .
作业： P90
A组
37
P91B组34必修 1 第二章《基本初等函数（Ⅰ） 》同步练习
（时间： 60 分钟，满分： 100 分）
班别
座号
姓名
成绩
一、选择题 （本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分） 1. 下列计算中正确的是
A． x3 x3 x6
B． (3a 2b 3) 2
9a4b 9
小结：底数相同的指数函数与对数函数关于
y x 对称，它们之间还有一个关系式子：
a log a N N (a 1,a 0, N 0)
1x
例 3：已知 f ( x)
log a 1
(a x
0且 a
1)
（ 1）求 f (x) 的定义域
（ 2）求使 f ( x) 0 的 x 的取值范围
1x
分析：（ 1）要求 f (x)
7. 若 a、 b 是任意实数，且 a b ，则
2
2
A． a b
ab
B． 2
0
C． lg( a b) 0
（）
a
b
1
1
D．
2
2
8. 函数 f ( x) log a x ( 2 ≤ x≤)的最大值比最小值大 1，则 a 的值
新教材人教版高一数学上册单元测试题含答案全套
新教材人教版高一数学上册单元测试题含答案全套人教版高中数学必修第一册第一章测试题集合与常用逻辑用语注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合，，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】集合，，．2．是的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要 【答案】B【解析】由不能推得，反之由可推得， 所以是的必要不充分条件． 3．已知集合，，若，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵集合，，且，∴，因此． 4．下列命题中正确的是（ ）{}1,2,3,4,5A ={}21,B y y x x A ==-∈A B {2,4}{1,3,5}{2,4,7,9}{1,2,3,4,5,7,9}{}1,2,3,4,5A ={}{}21,1,3,5,7,9B y y x x A ==-∈={}1,3,5A B =1x >4x >1x >4x >4x >1x >1x >4x >{1,3}A =-2{2,}B a ={1,2,3,9}A B =-a 1±3±1-3{1,3}A =-2{2,}B a ={1,2,3,9}A B =-29a =3a =±A ．任何一个集合必有两个以上的子集B ．空集是任何集合的子集C ．空集没有子集D ．空集是任何集合的真子集 【答案】B【解析】空集只有一个子集，故A 错；B 正确； 空集是本身的子集，故C 错；空集不能是空集的真子集，故D 错． 5．已知集合，则中元素的个数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为集合，所以满足且，的点有，，，，，，，，共个．6．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】，故A 错，B 对，显然，所以C 不对，而，所以D 也不对，故本题选B ．7．命题“存在实数，使”的否定是（ ） A ．对任意实数，都有 B ．对任意实数，都有 C ．不存在实数，使 D ．存在实数， 【答案】B【解析】命题“存在实数，使”的否定是“对任意实数，都有”． 8．集合中的不能取的值的个数是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意可知，且且， 故集合中的不能取的值的个数是个． 9．下列集合中，是空集的是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B(){}22,3,,A x y xy x y =+≤∈∈Z Z A 9854(){}22,3,,A x y xy x y =+≤∈∈Z Z 223x y +≤x ∈Z y ∈Z (1,1)--(1,0)-(1,1)-(0,1)-(0,0)(0,1)(1,1)-(1,0)(1,1)9a ={A x x =≥a A ∉a A ∈{}a A ={}a a ∉>a A ∈{}a A ≠{}a a ∈x 1x >x 1x >x 1x ≤x 1x ≤x 1x ≤x 1x >x 1x ≤{}22,4,0x x --x 2345222040224x x x x x -≠-≠⇒≠-≠⎧⎪⎨⎪⎩-2x ≠-1x ≠-{}22,4,0x x --x 3{}0|2x x +={}210,x x x +=∈R {}1|x x <(){}22,,,x y yx x y =-∈R【解析】对于A 选项，，不是空集， 对于B 选项，没有实数根，故为空集， 对于C 选项，显然不是空集，对于D 选项，集合为，故不是空集． 10．下列各组集合中表示同一集合的是（ ） A ．， B ．， C ．， D ．，【答案】B【解析】对于A ，，表示点集，，表示数集，故不是同一集合； 对于B ，，，根据集合的无序性，集合表示同一集合； 对于C ，集合的元素是数，集合的元素是等式；对于D ，，集合的元素是点，， 集合的元素是点，集合不表示同一集合．11．学校先举办了一次田径运动会，某班共有名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有名同学参赛，两次运动会都参赛的有人．两次运动会中，这个班总共的参赛人数为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B【解析】因为参加田径运动会的有名同学，参加球类运动会的有名同学，两次运动会都参加的有人，所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为．12．已知集合，．若， 则实数的取值范围为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】， 当为空集时，；当不为空集时，，综上所述得．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．集合，则集合的子集的个数为 个．2x =-210x +={(0,0)}{(3,2)}M ={3,2}N ={2,3}M ={3,2}N ={2,3}M ={2,3}N x y ==={(2,3)}M ={(5,4)}N ={(3,2)}M =M {3,2}N =N {2,3}M ={3,2}N =,M N M N {(2,3)}M =M (2,3){(5,4)}N =N (5,4),M N 8123201714238123812317+-={}|25A x x =-≤≤{}|121B x m x m =+≤≤-B A ⊆m 3m ≥23m ≤≤2m ≥3m ≤{}|121B x m x m =+≤≤-B 2112m m m -<+⇒<B 22152312m m m m ≥⎧⎪-≤⇒≤≤⎨⎪+≥-⎩3m ≤2{}1,A =A【答案】【解析】由已知，集合的子集个数为．14．命题“”是命题“”的 （“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”）条件． 【答案】必要不充分【解析】的解为或，所以当“”成立时，则“”未必成立； 若“”，则“”成立，故命题“”是命题“”的必要不充分条件．15．命题“，”的否定是 ．【答案】，【解析】由全称量词命题的否定是存在量词命题可知，命题“，”的否定是“，”．16．设全集是实数集，，， 则图中阴影部分所表示的集合是 ．【答案】【解析】由图可知，阴影部分为，∵，∴，∴．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知集合，且，求的取值集合． 【答案】．【解析】∵，∴或，即或．4A 224=220x x --=1x =-220x x --=1x =-2x =220x x --=1x =-1x =-220x x --=220x x --=1x =-x ∀∈R 23210x x -+>0x ∃∈R 2003210x x -+≤x ∀∈R 23210x x -+>0x ∃∈R 2003210x x -+≤U R {}22M x x x =<->或{}13N x x =<<{}12x x <≤Venn ()UN M {}22M x x x =<->或{}22UM x x -=≤≤(){}12UNM x x =<≤{}21,2,4M m m =++5M ∈m {}1,3{}251,2,4m m ∈++25m +=245m +=3m =1m =±当时，；当时，； 当时，不满足互异性， ∴的取值集合为{}1,3．18．（12分）已知集合，，若，求实数，的值．【答案】或．【解析】由已知，得①，解得或， 当时，集合不满足互异性， 当时，集合，集合，符合题意； ②，解得（舍）或，当时，集合，集合符合题意，综上所述，可得或．19．（12分）设集合，． （1）若，试判定集合与的关系； （2）若，求实数的取值集合．【答案】（1）是的真子集；（2）．3m ={}1,5,13M =1m ={}1,3,5M =1m =-{}1,1,5M =m {,,2}A a b =2{2,,2}B b a =A B =a b 01a b =⎧⎨=⎩1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩A B =22a a b b =⎧⎨=⎩00a b =⎧⎨=⎩01a b =⎧⎨=⎩00a b =⎧⎨=⎩{0,0,2}A =01a b =⎧⎨=⎩{0,1,2}A ={2,1,0}B =22a b b a ⎧=⎨=⎩00a b =⎧⎨=⎩1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩11{,,2}42A =11{2,,}42B =01a b =⎧⎨=⎩1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩{}28150A x x x =-+={}10B x ax =-=15a =A B B A ⊆a B A 110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】（1），，∴是的真子集． （2）当时，满足，此时；当时，，集合，又，得或，解得或． 综上，实数的取值集合为．20．（12分）已知全集，集合，．求： （1），，；（2），；（3）设集合且，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【解析】（1），∵，，．（2），∴．（3）由（2）可知，∵，∴，解得．21．（12分）已知集合为全体实数集，，． （1）若，求；（2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，所以，所以．（2）①，即时，，此时满足．②当，即时，，由得，或， 所以．{3,5}A ={5}B =B A B =∅B A ⊆0a =B ≠∅0a ≠1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭B A ⊆13a =15a=13a =15a 110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}6U x x =∈<N {}1,2,3A ={}2,4B =A B UA UB AB ()UA B {|21}C x a x a =-<≤-()UA CB ⊆a 3a ≥2A B ={0,1,2,3,4,5}U ={0,4,5}UA ={0,1,3,5}UB ={1,2,3,4}AB =(){0,5}UA B =(){0,5}UA B =()U A C B ⊆021521a a a a -<⎧⎪-≥⎨⎪->-⎩3a ≥U {}25M x x x =≤-≥或{}121N x a x a =+≤≤-3a =UMN N M ⊆a {}45Ux x x MN =<≥或{}24a a a <≥或3a ={}45|N x x =≤≤{}45UN x x x =<>或{}45Ux x x MN =<≥或211a a -<+2a <N =∅N M ⊆211a a -≥+2a ≥N ≠∅N M ⊆15a +≥212a -≤-4a ≥综上，实数的取值范围为．22．（12分）已知二次函数，非空集合．（1）当时，二次函数的最小值为，求实数的取值范围；（2）是否存在整数的值，使得“”是“二次函数的大值为”的充分条件， 如果存在，求出一个整数的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1），当且仅当时，二次函数有最小值为，由已知时，二次函数的最小值为，则，所以． （2）二次函数，开口向上，对称轴为，作出二次函数图象如图所示，由“”是“二次函数的大值为”的充分条件， 即时，二次函数的最大值为，，即为，令，解得或，由图像可知，当或时，二次函数的最大值不等于，不符合充分条件， 则，即可取的整数值为，，，，任意一个．第一册第二章测试题一元二次函数、方程和不等式注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
高一数学必修一知识点和检测题(含答案)
高中高一数学必修1各章知识点总结第一章 集合与函数概念123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。
、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。
集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
人教版版高中数学必修1全册课后习题及答案整理汇总
人教版高中数学必修1课后习题答案第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A2{|}{0,1}A x x x ===． （3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}； （3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <， 所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集；（5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以AB ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，B A ； （3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B == ，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B == ．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-， 即{1},{1,1,5}A B A B =-=- ．3．解：{|}A B x x = 是等腰直角三角形，{|}A B x x = 是等腰三角形或直角三角形．4．解：显然{2,4,6}U B =ð，{1,3,6,7}U A =ð，则(){2,4}U A B = ð，()(){6}U U A B = ðð．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉π是个无理数，不是有理数； （4R 是实数；（5Z3=是个整数； （6）2N ∈ 25=是个自然数．2．（1）5A ∈；（2）7A ∉； （3）10A -∈． 当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠；（3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ； 2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形； 菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，则{|2}A B x x =≥ ，{|34}A B x x =≤< ．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}A B = ，{3,4,5,6}A C = ，而{1,2,3,4,5,6}B C = ，{3}B C = ，则(){1,2,3,4,5,6}A B C = ，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C = ．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()A B C =∅ ．（1）{|}A B x x = 是参加一百米跑或参加二百米跑的同学； （2）{|}A C x x = 是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x = 是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形ð， {|}S A x x =是梯形ð．10．解：{|210}A B x x =<< ，{|37}A B x x =≤< ，{|3,7}R A x x x =<≥或ð，{|2,10}R B x x x =≤≥或ð，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥ 或ð，(){|3,7}R A B x x x =<≥ 或ð，(){|23,710}R A B x x x =<<≤< 或ð， (){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥ 或或ð．B 组1．4 集合B 满足A B A = ，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合， 即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅ ；当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}A B A B == ；当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B == ； 当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅ ．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U A B = ，得U B A ⊆ð，即()U U A B B = ðð，而(){1,3,5,7}U A B = ð，得{1,3,5,7}U B =ð，而()U U B B =ðð，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-， 得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤， 得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+， 同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页）1，y ==，且050x <<，即(050)y x =<<．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零； 图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．4．解：因为sin 60= ，所以与A 中元素60 相对应的B；因为sin 45=B 相对应的A 中元素是45 ．1．2函数及其表示习题1．2（第23页）1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，()f x =都有意义， 即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠， 得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()g x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（32x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞；-∞+∞，值域是(,)（2）定义域是(,0)(0,)；-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞（3）定义域是(,)-∞+∞；-∞+∞，值域是(,)（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(3(5(28f =⨯-⨯+=+即(8f =+同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+， 即2()(3)3516f a f a a +=-+．5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-，即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--，即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．图象如下：8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x =>，10(0)x y y=>，由对角线为d ，即d =，得(0)d x =>，由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x =+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得(0)l d ===>，即(0)l d =>．9．解：依题意，有2(2d x vt π=，即24v x t d π=， 显然0x h ≤≤，即240v t h d π≤≤，得204h d t vπ≤≤， 得函数的定义域为2[0,]4h d v π和值域为[0,]h ．10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)- ；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞； （3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．解：（1，步行的路程为12x -，得125x t -=+，(012)x ≤≤，即125x t -=，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，12483()55t h -=+=≈．第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >， 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1．解：（1）函数在5(,2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->， 即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<， 即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数.3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数； 当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <，而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元），即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-， 所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数， 函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数；（2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数， 所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032x m -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-，当5x =时，2max 37.5S m =， 即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下：设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线； （2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线，集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线， 得{|}{|}P PA PB P PA PC == 的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =； 当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=，得1a =-，或1a =， 综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭ ，即{(0,0)}A B = ； 集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅ ； 集合3039(,)|{(,2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭ ； 则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =- .6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠， 得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞ ．7．解：（1）因为1()1x f x x-=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a-+=+=++， 即2()11f a a+=+； （2）因为1()1x f x x-=+， 所以1(1)(1)112a a f a a a -++==-+++，即(1)2a f a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-， 所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，即()()f x f x -=； （2）因为221()1x f x x +=-， 所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8k x =， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k ≤，得160k ≥，或40k ≤，即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称；（3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人）， 即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3．解：由(){1,3}U A B = ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B = ，集合A B 里除去()U A B ð，得集合B ， 所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=；当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=； (1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212(()222x x x x a f a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++， 所以1212()()(22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)(242x x x x g x x x x a b ++=++++，22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()(22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+，所以1212()()(22x x g x g x g ++≤.6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数； （2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >，所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩ 由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤，25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =，所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章 基本初等函数（I ）2．1指数函数练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32,(2)43)(b a +=(a +b )43,(3)32n)-(m =(m -n )32,(4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121+=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a 814121-+=a 85;(4)2x 31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-.练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623ba ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1.(2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m ∙∙∙=4165413121mm m m m ∙∙=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行.3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0;对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0;对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a 127=a1274331++=a 35;(2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b 31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462r ts -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts =6393652----rt s =36964125s r r ;(6)(-2x 41y 31-)(3x 21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y21-;(8)4x 41 (-3x 41y 31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643-++-⨯-y x =2xy 31.点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R .（2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R .(3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R .(4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ).点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值；因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值；因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5.(4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值；因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n .(2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1,所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n .(3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1,所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n .(4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1,所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n .点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002.答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰,因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的.B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3.综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用.解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35.点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口.3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ),2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2,3期后的本利和为y 3=a (1+r )3,…x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1000×1.02255≈1118.答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元.4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-.(2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x .所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-.当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数练习（P64）1.（1）2log 83=； （2）2log 325=； （3）21log 12=-； （4）2711log 33=-2.（1）239=；（2）35125=；（3）2124-=； （4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =；（2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-；（3）设lg1000x =，则310100010x ==，所以3x =；（4）设lg 0.001x =，则3100.00110x -==，所以3x =-；4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）5.练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z =-=++=++；（3）3311lg()lg lg lg lg 3lg lg 22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）2211lg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z =-=-+=--.2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；（2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e ==3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg 5lg 2lg101+==;(3)555511log 3log log (3log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-.4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0)不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞ ;（3）1(,3-∞； （4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74）1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =； （4）2log 0.5x= (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x =(4)173x =(5) 100.3x = (6) x e =3. (1)0;(2) 2;(3) 2-;(4)2;(5) 14-; (6) 2.4. (1)lg 6lg 2lg 3a b =+=+;(2) 3lg 42lg 22log 4lg 3lg 3ab===;(3) 2lg122lg 2lg 3lg 3log 1222lg 2lg 2lg 2ba+===+=+; (4)3lg lg 3lg 22b a=-=-5. (1)x ab =; (2) mx n=;(3) 3n x m=;(4)x =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x += 解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4.8. (1)m n <;(2) m n <;(3) m n >;(4)m n >.9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(161402MM M M e m m m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s.10. (1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方.所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =.(2)略. (3)与原函数关于x 轴对称.11. (1)235lg 25lg 4lg 92lg 52lg 22lg 3log 25log 4log 98lg 2lg 3lg 5lg 2lg 3lg 5⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c⋅⋅=⨯⨯=12. (1)令2700O =，则312700log 2100v =，解得 1.5v =. 答：鲑鱼的游速为1.5米/秒.(2)令0v =，则31log 02100O=，解得100O =. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.B 组1. 由3log 41x =得：143,43x x -==，于是11044333x x -+=+=2. ①当1a >时，3log 14a <恒成立；②当01a <<时，由3log 1log 4a a a <=，得34a <，所以304a <<.综上所述：实数a 的取值范围是3{04a a <<或1}a >3. (1)当1I = W/m 2时，112110lg 12010L -==；(2)当1210I -= W/m 2时，121121010lg 010L --==答：常人听觉的声强级范围为0120dB .4. (1)由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- (2)根据(1)知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-∴ 函数()()f x g x +的定义域关于原点对称又∵ ()()log (1)log (1)()()a a f x g x x x f x g x -+-=-++=+∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数.5. (1)2log y x =，0.3log y x =； (2)3x y =，0.1x y =.习题2.3 A 组（P79）1.函数y =21x是幂函数.2.解析:设幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为点（2,2）在图象上,所以2=2α.所以α=21,即幂函数的解析式为f （x ）=x 21,x ≥0.3.（1）因为流量速率v 与管道半径r 的四次方成正比,所以v =k ·r 4；（2）把r =3,v =400代入v =k ·r 4中,得k =43400＝81400,即v =81400r 4；（3）把r =5代入v =81400r 4,得v =81400×54≈3 086（cm 3/s ）,即r =5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm 3/s .第二章 复习参考题A 组（P82）1.（1）11； （2）87； （3）10001； （4）259.2.（1）原式=))(()()(212121212212122121b a b a b a b a -+++-=ba b b a a b b a a -++++-2121212122=b a b a -+)(2;（2）原式=))(()(1121----+-a a a a a a =aa a a 11+-=1122+-a a .3.（1）因为lg 2=a ,lg 3=b ,log 125=12lg 5lg =32lg 210lg2∙=3lg 2lg 22lg 1+-,所以log 125=b a a +-21.（2）因为2log 3a =，3log 7b=37147log 27log 56log 27⨯=⨯=2log 112log 377++=7log 2log 11)7log 2(log 33333÷++÷=b ab a ÷++÷111)1(3=13++ab ab .4.（1）（-∞,21）∪（21,+∞）;（2）［0,+∞）.5.（32,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.6.（1）因为log 67>log 66=1,所以log 67>1.又因为log 76<log 77=1,所以log 76<1.所以log 67>log 76.（2）因为log 3π>log 33=1,所以log 3π>1.又因为log 20.8<0,所以log 3π>log 20.8.7.证明：（1）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）·f （y ）=3x ×3y =3x +y .又因为f （x +y ）=3x +y ,所以f （x ）·f （y ）=f （x +y ）.（2）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）÷f （y ）=3x ÷3y =3x -y .又因为f （x -y ）=3x -y ,所以f （x ）÷f （y ）=f （x -y ）.8.证明:因为f （x ）=lgxx+-11,a 、b ∈（-1,1）,所以f （a ）+f （b ）=lgb b a a +-++-11lg 11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--,f （ab b a ++1）=lg （ab b a ab ba +++++-1111）=lg b a ab b a ab +++--+11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--.所以f （a ）+f （b ）=f （abba ++1）.9.（1）设保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式为y =k ·a x （a >0,且a ≠1）.因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,所以022192,42,k a k a ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≈==.93.0327,19222a k 所以y =192×0.93x ,即所求函数解析式为y =192×0.93x .（2）当x =30 ℃时,y ≈22（小时）；当x =16 ℃时,y ≈60（小时）,即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时.（3）图象如图：图2-210.解析：设所求幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为f （x ）的图象过点（2,22）,所以22=2α,即221-=2α.所以α=21-.所以f （x ）=x 21-（x >0）.图略,f (x )为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.B 组1.A2.因为2a =5b =10,所以a =log 210,b =log 510,所以a 1+b 1=10log 12+10log 15=lg 2+lg 5=lg 10=1.3.（1）f （x ）=a 122+-x 在x ∈（-∞,+∞）上是增函数.证明：任取x 1,x 2∈（-∞,+∞）,且x 1<x 2.f （x 1）-f （x 2）=a 122+-x -a +1222+x =1222+x -1221+x =)12)(12()22(21221++-x x x x .因为x 1,x 2∈（-∞,+∞）,所以.012.01212>+>+x x 又因为x 1<x 2,所以2122x x <即2122x x <<0.所以f （x 1）-f （x 2）<0,即f （x 1）<f （x 2）.所以函数f （x ）=a 122+-x 在（-∞,+∞）上是增函数.（2）假设存在实数a 使f （x ）为奇函数,则f （-x ）+f （x ）=0,即a 121+--x +a 122+-x =0⇒a =121+-x +121+x =122+x +121+x =1,即存在实数a =1使f （x ）=121+--x 为奇函数.4.证明:（1）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以［g （x ）］2-［f （x ）］2=［g （x ）+f （x ）］［g （x ）-f （x ）］=22)(22(xx x x x x x x e e e e e e e e -----++++=e x ·e -x =e x -x =e 0=1,即原式得证.（2）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以f （2x ）=222x x e e -+,2f （x ）·g （x ）=2·2x x e e --·2x x e e -+=222xx e e --.所以f （2x ）=2f （x ）·g （x ）.（3）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2x x e e -+,所以g （2x ）=222xx e e -+,［g （x ）］2+［f （x ）］2=（2xx e e -+）2+（2xx e e --）2=4222222x x x x e e e e --+-+++=222xx e e -+.所以g （2x ）=［f （x ）］2+［g （x ）］2.5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t =1时,θ=52,于是52=15+(62-15)e -k ,解得k ≈0.24,那么θ=15+47e -0.24t . 所以,当θ=42时,t ≈2.3;当θ=32时,t ≈4.2.答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃.6.(1)由P=P 0e -k t 可知,当t =0时,P=P 0;当t =5时,P=(1-10%）P 0.于是有(1-10%)P 0=P 0e -5k ,解得k =51-ln 0.9,那么P=P 0e t )9.0ln 51(.所以,当t =10时,P=P 0e 9.01051n I ⨯⨯=P 0e ln 0.81=81%P 0.答:10小时后还剩81%的污染物.(2)当P=50%P 0时,有50%P 0=P 0e t )9.0ln 51(,解得t =9.0ln 515.0ln ≈33.答:污染减少50%需要花大约33h .(3)其图象大致如下:图2-3新课程标准数学必修1第三章课后习题解答第三章 函数的应用3．1函数与方程练习（P88）1.(1)令f (x )=-x 2+3x +5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(1))，它与x 轴有两个交点，所以方程-x 2+3x +5=0有两个不相等的实数根.(2)2x (x -2)=-3可化为2x 2-4x +3=0，令f (x )=2x 2-4x +3,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(2))，它与x 轴没有交点，所以方程2x (x -2)=-3无实数根.(3)x2=4x-4可化为x2-4x+4=0,令f(x)=x2-4x+4,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(3))，它与x轴只有一个交点(相切)，所以方程x2=4x-4有两个相等的实数根.(4)5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x-5=0,令f(x)=2x2+2x-5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(4))，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根.图3-1-2-72.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.(3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=e x-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.又因为f(x)=e x-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图3-1-2-8练习（P91）1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)，x0∈(0.656 25,0.687 5).由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.656 25.2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375).由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,所以原方程的近似解可取为2.593 75.习题3.1 A组（P92）1.A,C 点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.取区间(-1，0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈1.58.因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).同理,可得x0∈(-1,-0.875)，x0∈(-0.937 5,-0.875).由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为-0.937 5.4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义，用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.于是f(0.5)·f(1)<0,所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间(0，1)内的近似解.取区间(0.5，1)的中点x1=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.因为f(0.75)·f(1)<0,所以x0∈(0.75,1).再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.因为f(0.875)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.75,0.875).同理,可得x0∈(0.812 5,0.875)，x0∈(0.812 5,0.843 75).由于|0.812 5-0.843 75|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.843 75.5.由题设有f(2)≈-0.31<0,f(3)≈0.43>0,于是f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)在区间(2，3)内有一个零点.。
高中数学必修1全册章节测试题集含答案
人教A版高中数学必修1全册章节测试题目录必修一第1章第1节集合试题必修一第1章第2节函数及其表示试题必修一第1章第3节函数的基本性质试题必修一第2章基本初等函数综合试题必修一第2章第1节指数函数试题必修一第2章第2节对数函数试题必修一第2章第3节幂函数试题必修一第3章第1节方程的根与函数的零点试题必修一第3章第2节函数的应用试题必修一综合试题1必修一综合试题2集合试题一、选择题（每小题5分，计5×12=60分）1．下列集合中，结果是空集的为（ D ）（A）（B）（C）（D）2．设集合，，则（A ）（A）（B）（C）（D）3．下列表示①②③④中,正确的个数为(A )（A）1 （B）2 （C）3 （D）44．满足的集合的个数为（ A ）（A）6 （B） 7 （C） 8 （D）95．若集合、、，满足，，则与之间的关系（ C ）（A）（B）（C）（D）6．下列集合中，表示方程组的解集的是（ C）（A）（B）（C）（D）7．设，，若，则实数的取值范围是（ A ）（A）（B）（C）（D）8．已知全集合，，，那么是（ D ）（A）（B）（C）（D）9．已知集合，则等于（ D ）（A）（B）（C）（D）10．已知集合，，那么（ C ）（A）（B）（C）（D）11．如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ C ）（A）（B）（C）（D）12．设全集，若，，，则下列结论正确的是（ B ）（A）且（B）且（C）且（D）且二、填空题（每小题4分，计4×4=16分）13．已知集合，，则集合_.14．用描述法表示平面内不在第一与第三象限的点的集合为_.15．设全集，，，则的值为2或8.16．若集合只有一个元素，则实数的值为三、解答题（共计74分）17．（本小题满分12分）若，求实数的值。
解：或或当时，，，，适合条件；当时，，，，适合条件从而，或18．（本小题满分12分）设全集合，，，求，，，解：，19．（本小题满分12分）设全集，集合与集合，且，求，解：，且，，，，20（本小题满分12分）已知集合，，且，求实数的取值范围。
人教版高一数学必修一各章知识点总结+测试题组全套(含答案)
第一章会合与函数观点一、会合有关观点1.会合的含2.会合的中元素的三个特征：(1)元素确实定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由 HAPPY的字母成的会合 {H,A,P,Y}(3) 元素的无序性 :如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个会合3.会合的表示： { ⋯ } 如：{ 我校的球 } ，{ 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 }(1)用拉丁字母表示会合： A={我校的球 },B={1,2,3,4,5}(2)会合的表示方法：列法与描绘法。
注意：常用数集及其法：非整数集（即自然数集）作： N正整数集N* 或 N+整数集Z有理数集Q数集R1）列法： {a,b,c⋯⋯}2）描绘法：将会合中的元素的公共属性描绘出来，写在大括号内表示会合的方法。
{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）言描绘法：例：{ 不是直角三角形的三角形}4） Venn:4、会合的分：(1) 有限集含有有限个元素的会合(2) 无穷集含有无穷个元素的会合(3) 空集不含任何元素的会合例： {x|x 2=－ 5｝二、会合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意： A B 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一会合。
反之 : 会合 A 不包含于会合 B, 或会合 B 不包含会合 A, 作 AB或 BA 2．“相等”关系： A=B (5 ≥ 5，且 5≤5， 5=5)例：A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素同样两会合相等”即：①任何一个会合是它自己的子集。
A A②真子集 : 假如 A B, 且 A B 那就说会合 A 是会合 B 的真子集，记作 AB(或 BA)③假如 A B,B C,那么 A C④假如A B同时B A那么A=B3.不含任何元素的会合叫做空集，记为Φ规定 :空集是任何会合的子集，空集是任何非空会合的真子集。
有 n 个元素的会合，含有2n个子集， 2n-1个真子集三、会合的运算运算交集并集补集种类定由全部属于 A 且属由全部属于会合 A 或义于 B 的元素所构成属于会合 B 的元素所的会合 , 叫做 A,B 的构成的会合，叫做 A,B交集．记作 A B（读的并集．记作： A B作‘ A 交 B’），即（读作‘ A 并 B’），即设 S 是一个会合， A 是S 的一个子集，由S 中全部不属于A的元素组成的会合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）A B=｛ x|x A，且AB ={x|x A，或记作C S A，即x B｝．x B}) ．C S A=S, 且xA}{ x| x韦SA恩图示性A A=A A A=A(C u A)(C u B)A Φ=Φ A Φ=A= C u (A B)A B=B A A B=B A(C u A)(C u B)A B A A B Ａ= C u(A B)A B B A B B A(C u A)=U质A(C u A)= Φ．例题：1.以下四组对象，能构成会合的是（）A 某班全部高个子的学生B 有名的艺术家C 全部很大的书D 倒数等于它自己的实数2.会合 {a ，b，c } 的真子集共有个3.若会合 M={y|y=x 2 -2x+1,x R},N={x|x≥ 0} ，则 M与 N的关系是.4.设会合A=x 1 x 2，B=x x a，若 A B，则a的取值范围是名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40 人，化学实验做得正确得有31 人，两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有人。
人教版高中数学必修一专题复习及参考答案
人教版高中数学必修一专题复习及参考答案知识架构第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；①两个集合的交集:= ;A B {}x x A x B ∈∈且②两个集合的并集: =;A B {}x x A x B ∈∈或③设全集是U,集合,则A U ⊆U C A ={}x x U x A ∈∉且{|B x x ={|B x x =★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。
重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如、、等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：{})(x f y x ={})(x f y y ={})(),(x f y y x =问题：已知集合（ ） 221,1,9432x y x y M x N y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N= A. ；B.；C. ；D. Φ{})2,0(),0,3([]3,3-{}3,2[错解]误以为集合表示椭圆，集合表示直线，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B M 14922=+y x N 123=+y x [正解] C ； 显然，，故{}33≤≤-=x x M R N =]3,3[-=N M(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。
3．集合间的关系的几个重要结论（1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ（2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆（3）子集、真子集都有传递性，即若，，则B A ⊆C B ⊆C A ⊆4．集合的运算性质（1）交集：①；②；③；④，⑤；A B B A =A A A = φφ= A A B A ⊆ B B A ⊆ B A A B A ⊆⇔=（2）并集：①；②；③；④，⑤；A B B A =A A A = A A =φ A B A ⊇ B B A ⊇ A B A B A ⊆⇔=（3）交、并、补集的关系①；φ=A C A U U A C A U =②；)()()(B C A C B A C U U U =)()()(B C A C B A C U U U =★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征[例1]（2008年江西理）定义集合运算：．设{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈{}{}1,2,0,2A B ==，则集合的所有元素之和为（）A B *A ．0；B ．2；C ．3；D ．6[解题思路]根据的定义，让在中逐一取值，让在中逐一取值，在值就是的元素A B *x A y B xy A B *[解析]：正确解答本题,必需清楚集合中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=，故应选择D A B *A B *{}4,2,0【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。
【期末复习必备】人教版高中数学必修一知识点与典型习题(含全部四个部分)(知识点+典例+答案))
中山一中2015-2016高一上学期期末复习人教数学必修一第一部分 集合1．集合与元素的关系1．已知集合{}23,,02+-=m m m A 且A ∈2，则实数m 的值为（ ）A ．3B ．2C ．0或3D ．0,2,3均可2．已知实数{}21,3,a a ∈，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1或3C ．0或3D ．0或12．集合与集合的关系1．满足条件{}{},,a A a b c ⊆⊆的所有集合A 的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．【教材12】已知集合{}1,2A =，集合B 满足{}1,2A B = ，则集合B 有_______个． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 4．设集合{}|35A x x =<<，{}|12B x a x a =-≤≤+，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．34a <≤B ．34a ≤<C ．34a ≤≤D ．∅3．集合的交并补运算基本策略：有限集——列举法；无限集——画数轴 1．设集合}7,5,3,1{=U ，}5,1{=M ，则=M C U _________ 2．设全集U ＝{1，2，3，4}，集合S ＝{1，3}，T ＝{4}，则等于( )A ．{2，4}B ．{4}C ．ΦD ．{1，3，4}3．已知集合{}|lg(2)A x y x ==-，集合{}|22B x x =-≤≤，则A B = （ ）A ．{}|2x x ≥-B ．{}|22x x -<<C ．{}|22x x -≤<D ．{}|2x x <4．设集合}421{，，＝A ，集合},,|{A b A a b a x xB ∈∈+=＝，则集合B 中有( )个元素 A ．4 B ．5C ．6D ．75．设a ，b 都是非零实数，y ＝a a ＋b b ＋ab ab可能取的值组成的集合是________． 4．不等式的解集 （1）一元二次不等式1．不等式21x >的解集为_________________2．不等式22320x x -->的解集为_________________ （2）分数不等式(除化为乘，注意分母不为0）1．不等式101xx +>-解集为__________________ 2．不等式121xx+>-解集为__________________ （3）指数不等式（利用单调性） 1．不等式3121x +>解集为__________________2．不等式2339x x-+>解集为__________________3．若213211()(),22a a +-<则实数a 的取值范围是____________ （4）对数不等式（利用单调性，注意真数>0)1．已知集合{}|lg(2)A x y x ==-，集合{}|22B x x =-≤≤，则A B = ________2．已知集合{}|10xM x e =-≥，{}3|log (1)1N x x =-≥，则M N = _____________3．已知集合1{2},{lg 0}2x A x B x x =>=>，则()R A B = ð____________ 5．含参数集合问题1．已知集合}012|{2=+-=x ax x A 有且只有一个元素，则a 的值的是 . 2．含有三个实数的集合既可表示成a {，ab ，}1，又可表示成2{a ，b a +，}0，则20162015b a += .3．已知集合}121{+≤≤+=a x a x P ，集合}52{≤≤-=x x Q（1）若3a =，求集合()R C P Q ；（2）若P Q ⊆，求实数a 的取值范围第二部分 函数1．定义域 值域（最值） 1．函数()()3log 32f x x x =++-的定义域为____________________ 2．函数22()log (23)f x x x =+-的定义域是（ ）(A) [3,1]- (B) (3,1)- (C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞ 3．2()23,(1,3]f x x x x =-+∈-的值域为____________________ 4．若函数21()2f x x x a =-+的定义域和值域均为[1,](1)b b >，求a 、b 的值．2．函数相等步骤：1、看定义域是否相等； 2、看对应关系（解析式）能否化简到相同1．下列哪组是相同函数？2(1)(),()x f x x g x x==(2)()()f x x g x ==,2(3)()2lg ,()lg f x x g x x ==(4)(),(f x x g x x==3．分段函数基本思路：分段讨论 （1）求值问题1．24(),(5)(1)4xx f x f f x x ⎧<==⎨-≥⎩已知函数则_______________2．设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则=))3((f f ______________（2）解方程 1．2log ,11(),()1,12x x f x f x x x >⎧==⎨-≤⎩已知函数则的解为_________________2．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =，则x = .（3）解不等式1．21,0(),()1,0x f x f x x x x ⎧>⎪=>⎨⎪≤⎩已知函数则的解集为__________________2．2log ,0(),()023,0x x f x f x x x >⎧=>⎨+≤⎩已知函数则的解集为__________________（4）作图、求取值范围（最值）1．24-x ,0()2,012,0x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩已知函数．（1）作()f x 的图象；（2）求2(1)f a +，((3))f f 的值；（3）当43x -≤＜，求()f x 的取值集合（5）应用题（列式、求最值）1．为方便旅客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)，（1）求函数f(x)的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？4．函数的单调性（1）根据图像判断函数的单调性——单调递增：图像上升 单调递减：图像下降 1．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．ln(2)y x =+ B．y = C ．1()2x y = D ．1y x x=+2．下列函数中，在其定义域内为减函数的是（ ）A ．3y x =- B ．12y x = C ．2y x = D ．2log y x =（2）证明函数的单调性步骤——取值、作差12()()f x f x -、变形、定号、下结论 1．已知函数11()(0,0)f x a x a x=->>． (1)求证：()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数；(2)若()f x 在1[,2]2上的值域是1[,2]2，求a 的值．（3）利用函数的单调性求参数的范围1．2()2(1)2(2]f x x a x =+-+-∞在，上是减函数，则a 的范围是________ 2．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞C ．)2,0(D ．)2,813[3．讨论函数223f(x)x ax =-+在(2,2)-内的单调性（4）利用函数的单调性解不等式1．()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，且满足(32)(1)f x f -<，则实数x 的取值范围是（ ） A ． (,1)-∞ B ． 2(,1)3 C ．2(,)3+∞ D ． (1,)+∞ 2．2()[1,1](1)(1)f x f m f m m --<-若是定义在上的增函数，且，求的范围（5）奇偶性、单调性的综合1．奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值7，则它在[-3,-1]上是____函数，有最___值___. 2．212()(11)()125ax b f x f x +=-=+函数是，上的奇函数，且． （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义法证明()f x 在(1,1)-上递增；（3）解不等式(1)()0f t f t -+>．3．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且()()()xf f x f y y=-（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．5．函数的奇偶性（1）根据图像判断函数的奇偶性奇函数：关于原点对称；偶函数：关于y 轴对称 例：判断下列函数的奇偶性① y=x ³ ② y=|x|（2）根据定义判断函数的奇偶性一看定义域是否关于原点对称；二看()f x -与()f x 的关系1．设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A ．)()(x g x f +是偶函数B ．)()(x g x f -是奇函数C ．)()(x g x f +是偶函数D ．)()(x g x f -是奇函数 2．已知函数()log (1)log (1)(01)a a f x x x a a =+-->≠且 （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明。
（新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总（附答案）
（新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总（附答案）（新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总（附答案）目录第一章集合与常用逻辑用语.1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3集合的基本运算1.4 充分条件与必要条件1.5全称量词与存在量小结复习参考题1第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1)与定点A，B等距离的点;【答案解析】：是集合，因为这些点有确定性.(2)高中学生中的游泳能手.【答案解析】：不是，因为是否能手没有客观性，不好确定.2.用符号“∈”或“?”填空:0___ N; -3___ N; 0.5__Z; √2__z; ?__Q; π__R.【答案解析】：根据自然数,整数,有理数,实数的定义即可判断.0是自然数,则0∈N ;-3不是自然数,则-3?N ; 0.5,√2 不是整数，则0.5?Z，√2?Z;?是有理数,则?∈Q ;π 是无理数，则π∈R 故答案为:(1)∈;(2)? ;(3)? ;(4)? ;(5)∈ ;(6)∈3.用适当的方法表示下列集合:(1)由方程x2-9=0的所有实数根组成的集合;【答案解析】：{-3, 3}.(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合;【答案解析】： {(1, 4)}.(3)不等式4x- 5<3的解集.【答案解析】：{x | x<2}.习题1.1一、复习巩固1.用符号“∈”或“?”填空:(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国____ A,美国____A，印度____A,英国____ A;【答案解析】：设A为所有亚洲国家组成的集合，则:中国∈A，美国?A,印度∈A，英国?A.(2)若A={x|x2=x},则-1____A;【答案解析】：A={x|x2=x}={0, 1},则-1?A.(3)若B={x|x2+x-6=0}，则3____B;【答案解析】：若B={x|x2+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)=0}={-3，2}，则3?B; (4)若C={x∈N|1≤x≤10},则8____C, 9.1____C.【答案解析】：若C={x∈N|1≤x≤10}={1, 2, 3,4，5, 6，7, 8，9，10}，则8∈C, 9.1?C.2.用列举法表示下列集合:(1)大于1且小于6的整数;【答案解析】：大于1且小于6的整数有4个:2,3,4,5,所以集合为{2,3,4,5}.(2) A={x|(x-1)(x +2)=0};【答案解析】：(x- 1)(x+2)=0的解为x=1或x=-2,所以集合为{1, -2}.(3) B={x∈Z|-3<2x-1<3}.【答案解析】：由-3<2x-1<3,得-1<x< p="">二、综合运用3.把下列集合用另一种方法表示出来: (1) {2，4，6，8, 10};</x<>。
数学必修一知识点大全带习题带答案
高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A ②真子集:如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C④如果A⊆B 同时B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算性质A A=AA Φ=ΦA B=B AA B⊆AA B⊆BA A=AA Φ=AA B=B AA B⊇ＡA B⊇B(C u A) (C u B)= C u (A B)(C u A) (C u B)= C u(A B)A (C u A)=UA (C u A)= Φ．例题：1.下列四组对象，能构成集合的是（A ）A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2.集合{a，b，c }的真子集共有7 个3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x∈R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是M=N .4.设集合A=}{12x x<<，B=}{x x a<，若A⊆B，则a的取值范围是a>=2 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。
高中数学必修1(人教B版)第一章集合1.1知识点总结含同步练习题及答案
描述：例题：描述：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 集合 1.1 集合与集合的表示一、学习任务1. 了解集合的含义，会使用符号“ ” 或 “ ” 表示元素与集合之间的关系．2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．3. 理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常数集、解集和一些基本图形的集合等．二、知识清单集合的概念集合中元素的性质 元素和集合的关系空集的概念常见的数集及其记法 集合的分类集合的表示法三、知识讲解1.集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（set）（或集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（element）．集合通常用英语大写字母 ，，， 来表示，它们的元素通常用英语小写字母 ， ，， 来表示．2.集合中元素的性质集合中元素的性质包括：集合中元素的确定性给定集合中的元素必须是确定的，也就是任何一个对象或者在给定集合中，或者不在给定集合中，二者必居其一．集合中元素的互异性给定集合中的元素是互不相同的，也就是说集合中的元素是不可能重复出现的．集合中元素的无序性∈∉A B C ⋯a b c ⋯判断下面的语句能否确定一个集合，能构成集合的，写出其中的元素．（1）小于 的所有正偶数；（2）方程 的实数解．解：（1）能构成集合，其中的元素有 ，，，；（2）能构成集合，其中的元素有 ，．10−1=0x 22468−11高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
答案：B答案：解析：2. 下列四个集合中，是空集的是 A ．B ．C ．D ．D对于 ， ，所以 是空集．(){x |x +3=3}{(x ,y )|=−,x ,y ∈R }y 2x 2{x |<x }x 2{x |−x +1=0}x 2−x +1=0x 2Δ<0{x |−x +1=0}x 2答案：3. 若集合 ，则 中元素的个数是 A ．B ．C ．D ．B P ={0,1,2},Q ={(x ,y ){,x ,y ∈P }∣∣∣x −y +1>0x −y −2<0Q ()3579答案：解析：4. 定义集合运算：，设集合 ，，则集合 的所有元素之和为 A ．B ．C ．D ．D设 为一对数组，则 可为 ，，，，此时 ．即中有三个元素 ，，，其和为 ．A ⊙B ={z |z =xy (x +y ),x ∈A ,y ∈B }A ={0,1}B ={2,3}A ⊙B ()061218(x ,y )(x ,y )(0,2)(0,3)(1,2)(1,3)z =0,6,12A ⊙B 061218。
(新教材)部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总(附答案)
（新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总（附答案）目录第一章集合与常用逻辑用语.1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3集合的基本运算1.4 充分条件与必要条件1.5全称量词与存在量小结复习参考题1第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1)与定点A，B等距离的点;【答案解析】：是集合，因为这些点有确定性.(2)高中学生中的游泳能手.【答案解析】：不是，因为是否能手没有客观性，不好确定.2.用符号“∈”或“∉”填空:0___ N; -3___ N; 0.5__Z; √2__z; ⅓__Q; π__R.【答案解析】：根据自然数,整数,有理数,实数的定义即可判断.0是自然数,则0∈N ;-3不是自然数,则-3∉N ; 0.5,√2 不是整数，则0.5∉Z，√2∉Z;⅓是有理数,则⅓∈Q ;π 是无理数，则π∈R故答案为:(1)∈;(2)∉ ;(3)∉ ;(4)∉ ;(5)∈ ;(6)∈3.用适当的方法表示下列集合:(1)由方程x²-9=0的所有实数根组成的集合;【答案解析】：{-3, 3}.(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合;【答案解析】： {(1, 4)}.(3)不等式4x- 5<3的解集.【答案解析】：{x | x<2}.习题1.1一、复习巩固1.用符号“∈”或“∉”填空:(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国____ A,美国____A，印度____A,英国____ A;【答案解析】：设A为所有亚洲国家组成的集合，则:中国∈A，美国∉A,印度∈A，英国∉A.(2)若A={x|x²=x},则-1____A;【答案解析】：A={x|x²=x}={0, 1},则-1∉A.(3)若B={x|x²+x-6=0}，则3____B;【答案解析】：若B={x|x²+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)=0}={-3，2}，则3∉B; (4)若C={x∈N|1≤x≤10},则8____C, 9.1____C.【答案解析】：若C={x∈N|1≤x≤10}={1, 2, 3,4，5, 6，7, 8，9，10}，则8∈C, 9.1∉C.2.用列举法表示下列集合:(1)大于1且小于6的整数;【答案解析】：大于1且小于6的整数有4个:2,3,4,5,所以集合为{2,3,4,5}.(2) A={x|(x-1)(x +2)=0};【答案解析】：(x- 1)(x+2)=0的解为x=1或x=-2,所以集合为{1, -2}.(3) B={x∈Z|-3<2x-1<3}.【答案解析】：由-3<2x-1<3,得-1<x<2.又因为x∈Z,所以x=0.或x=1,所以集合为{0,1}.二、综合运用3.把下列集合用另一种方法表示出来:(1) {2，4，6，8, 10};【答案解析】：{x |x=2k, k=1, 2, 3, 4, 5}.(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数;【答案解析】：{1, 2, 3, 12, 21, 13, 31, 23, 32, 123, 132, 213, 231, 312, 321}.(3) {x∈N|3<x<7};【答案解析】：{4, 5, 6}.(4)中国古代四大发明.【答案解析】：{指南针，活字印刷，造纸术，火药}.4.用适当的方法表示下列集合:(1)二次函数y=x²-4的函数值组成的集合;【答案解析】： {y | y≥-4}.(2)反比例函数y=2/x的自变量组成的集合;【答案解析】：{x | x≠0}.(3)不等式3x≥4- 2x的解集.【答案解析】：{x |x≥4/5}.三、拓广探索5.集合论是德国数学家康托尔于19 世纪末创立的.当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念.关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识.【答案解析】：略.1.2 集合间的基本关系练习1.写出集合{a, b，c}的所有子集.【答案解析】由0个元素构成的子集: ∅;由1个元素构成的子集: {a}, {b}, {c};由2个元素构成的子集: {a, b}, {a,c}, {b, c};由3个元素构成的子集: {a, b, c};综上，可得集合{a，b, c}的所有子集有: 0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a,c}, {b, c}, {a, b, c}.2.用适当的符号填空:(1) a__ {a，b，c}; (2) 0__ {x|x²=0};(3) B___ {x∈R|x²+1=0}; (4) {0，1}___N(5) {0}___ {x|x²=x}; (6) {2, 1}___{x|x²-3x+2=0}.【答案解析】：（1）∈；（2）=；（3）=；（4）⊆；（5）⊆；（6）=.3.判断下列两个集合之间的关系:(1) A={x|x<0}， B={x|x<l};(2) A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N};(3) A={x∈N₋|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m, m∈N₊}.【答案解析】：⫋A B B A A=B习题1.2一、复习巩固1.选用适当的符号填空:(1)若集合A={x|2x-3<3x}, B={x|x≥2},则-4___B，-3___ A， {2}___B，B___ A；【答案解析】：∵集合A= {x|2x-3< 3x}= {x|x>-3},B = {x|x≥2}，则∴-4∉B,-3∉A,{2}B，B A.故答案为:∉，∉,，。
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_《函数》全章复习与巩固_ 提高
高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案《函数》全章复习与巩固编稿：审稿：【学习目标】1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用；2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质．【知识网络】【要点梳理】要点一：关于函数的概念1．两个函数相等的条件用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．2．函数的常用表示方法函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3．映射设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原f x（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集象），在集合B中都有唯一确定的元素()合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．4．函数的定义域函数的定义域是自变量x 的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：（1）已知()f x 得函数表达式，求定义域； （2）已知()f x 的定义域，求[]()f x ϕ的定义域，其实质是由()x ϕ的取值范围，求出x 的取值范围；（3）已知[]()fx ϕ的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()x ϕ的取值范围．5．函数的值域由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域． 函数值域的求法：（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如y ax b =+t =，转化成二次函数再求值域（注意0t ≥）；（3）形如(0)ax by c cx d+=≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （4）形如22ax bx cy mx nx p++=++（,a m 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域． 6．函数的解析式函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数[]()f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出()f x ．要点二：函数的单调性（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数． 与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．要点三：函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．要点四：图象的作法与平移（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线； （2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换； （3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象． 要点五：一次函数和二次函数 1．一次函数(0)y kx b k =+≠，其中y k x∆=∆． 2．二次函数二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可以得到2(),y a x h k a =-+决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为(),h k ，对称轴方程为x h =．对于二次函数2224()()24b ac b f x ax bx c a x a a-=++=++． 当0a >时，()f x 的图象开口向上；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递减的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增的；当2b x a =-时，函数取得最小值244ac b a-． 当0a <时，()f x 的图象开口向下；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递增的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递减的；当2b x a =-时，函数取得最大值244ac b a-． 要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型； （3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义． 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：要点七：函数与方程（1）对于函数()()y f x x D =∈，我们把使()0f x =得实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点． （2）确定函数()y f x =的零点，就是求方程()0f x =的实数根．（3）一般地，如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在()0,x a b ∈，使得0()0f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根．（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．判断函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程()0f x =与函数()y f x =联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0．（5）在实数范围内，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的零点与二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根之间有密切关系．①0∆>，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实根，其对应二次函数有两个零点； ②0∆=，方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点； ③0∆<，方程20(0)ax bx c a ++=≠无根，其对应二次函数无零点． 【典型例题】类型一：映射例1．设集合{(,)|,}A B x y x y ==∈∈R R ，f 是A 到B 的映射，并满足:(,)(,)f x y xy x y →--． （1）求B 中元素（3，－4）在A 中的原象； （2）试探索B 中有哪些元素在A 中存在原象；（3）求B 中元素（a ，b ）在A 中有且只有一个原象时，a ，b 所满足的关系式．【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识． 【答案】（1）（―1，3）或（―3，1）；（2）b 2－4a ≥0；（3）b 2=4a 【解析】（1）设（x ，y ）是（3，－4）在A 中的原象，于是34xy x y -=⎧⎨-=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =-⎧⎨=⎩，∴（―3，4）在A 中的原象是（―1，3）或（―3，1）． （2）设任意（a ，b ）∈B 在A 中有原象（x ，y ）， 应满足 xy a x y b -=⎧⎨-=⎩①②由②可得y=x ―b ，代入①得x 2―bx+a=0． ③ 当且仅当Δ=b 2―4a ≥0时，方程③有实根．∴只有当B 中元素满足b 2－4a ≥0时，才在A 中有原象．（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B 中元素满足b 2=4a 时，它在A 中有且只有一个原象． 【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．举一反三：【变式1】 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合2{4,1}M a a =--，2{41,2}N b b =-+-，:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 D【解析】 由已知可得M=N ，故222242420411420a a a a b b b b ⎧⎧-=--+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=--+=⎪⎪⎩⎩，a 、b 是方程x 2－4x+2=0的两根，故a+b=4．类型二：函数的概念及性质【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例2．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )A ．12(||)(||)f x f x <B ．21()()f x f x ->-C ．12()()f x f x <-D ．12()()f x f x -> 【答案】D【解析】因为120x x <<，且120x x +>，所以21||||x x >，画出y = f （x ）的图象，数形结合知，只有选项D 正确．【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．举一反三：【变式1】（1）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(80)(11)f f f -<< （2）定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】（1）D （2）A【解析】（1）由函数()f x 是奇函数且()f x 在[0，2]上是增函数可以推知()f x 在[－2，2]上递增，又(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x -=-⇒-=--=，故函数()f x 以8为周期，(25)(1)f f -=-，(11)(3)(34)(1)f f f f ==--=，(80)(0)f f =，故(25)(80)(11)f f f -<<．故选D ．（2）由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．例3．设函数2()(0)f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点(,())s f t (,)s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定 【答案】 B【解析】 依题意，设关于x 的不等式ax 2+bx+c ≥0（a ＜0）的解集是[x 1，x 2]（x 1＜x 2），且12()()0f x f x ==，22214(40)b ac x x b ac --=->，2()f x x bx c =++的最大值是224444ac b b aca a --=-．依题意，当s ∈[x 1，x 2]的取值一定时，()f t 取遍240,4b ac a ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s 取遍[x 1，x 2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有224404b ac b aca--=>-，4a a -=-．又a ＜0，因此a=－4，选B 项．举一反三：【变式1】若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4] D ．（0，1） 【答案】 B【解析】 要使()g x 有意义，则2210x x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得0≤x ＜1，故定义域为[0，1），选B ．例4．设函数()|24|1f x x =-+． （1）画出函数()y f x =的图象；（2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围． 【答案】（1）右图；（2）1(,2)[,)2-∞-+∞． 【解析】 （1）由于25, 2()23, 3x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则函数()y f x =的图象如图所示．（2）由函数()y f x =与函数y=ax 的图象可知，当且仅当12a ≥或a ＜―2时，函数()y f x =与函数y=ax 的图象有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为1(,2)[,)2-∞-+∞．举一反三：【变式1】对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:22,*,a ab a b b ab ⎧-⎪=⎨⎪-⎩a ba b≤>,设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________.【答案】1316-（,0） 【解析】由定义运算“*”可知 2222112()0(21)(21)(1),21148()=11(1)(21)(1),211()024x x x x x x x f x x x x x x x x ⎧--≤⎪⎧-----≤-⎪⎪=⎨⎨------⎪⎩⎪--+⎪⎩，＞＞,画出该函数图象可知满足条件的取值范围是13-（,0）. 【变式2】设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 （ ） A ．当0a <时,12120,0x x y y +<+> B ．当0a <时,12120,0x x y y +>+< C ．当0a >时,12120,0x x y y +<+< D ．当0a >时,12120,0x x y y +>+> 【答案】B【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当0<a 时,要想满足条件,则有如图,做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --,由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ,同理当0>a 时,则有0,02121>+<+y y x x ,故答案选B. 例5． 已知函数2()af x x x=+（x ≠0，常数a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）对a 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取2≤x 1＜x 2，则有12()()0f x f x -<恒成立，即可得a 的取值范围．【答案】（1）当a=0时，为偶函数；当a ≠0时，既不是奇函数，也不是偶函数．（2）（－∞，16]．【解析】 （1）当a=0时，2()f x x =，对任意x ∈（－∞，0）∪（0，+∞），22()()()f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数．当a ≠0时，2()af x x x=+（a ≠0，x ≠0）， 取x=±1，得(1)(1)20f f -+=≠， ∴(1)(1)f f -≠-，(1)(1)f f -≠，∴函数(1)(1)f f -≠既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设2≤x 1＜x 2，2212121212121212()()[()]x x a a f x f x x x x x x x a x x x x --=+--=⋅+-，要使函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，必须12()()0f x f x -<恒成立．∵x 1－x 2＜0，x 1 x 2＞4，即a ＜x 1 x 2 (x 1+ x 2)恒成立．又∵x 1+ x 2＞4，∴x 1x2(x 1+ x 2)＞16． ∴a 的取值范围是（－∞，16]．解法二：当a=0时，2()f x x =，显然在[2，+∞）上为增函数． 当a ＜0时，反比例函数ax在[2，+∞）上为增函数， ∴2()af x x x=+在[2，+∞）上为增函数． 当a ＞0时，同解法一．【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．举一反三：【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】 【变式1】已知函数1()f x kx x=-，且f （1）=1． （1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明． 【答案】（1）2 ()(),00,-∞+∞；（2）单调递增 【解析】（1）(1)1,11,2f k k =∴-=∴=，1()2f x x x∴=-，定义域为：()(),00,-∞+∞．（2）在（0，+∞）上任取1212,,x x x x <且，则12121211()()22f x f x x x x x -=--+ =12121()(2)x x x x -+1212121,0,20x x x x x x <∴-<+> 12()()f x f x ∴<所以函数1(2)2f x x=-在()0,+∞上单调递增． 【变式2】函数()f x 在[,]a b 上有定义,若对任意12,[,]x x a b ∈,有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+,则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题: ①()f x 在[1,3]上的图像时连续不断的; ②()f x在上具有性质P ; ③若()f x 在2x =处取得最大值1,则()1,[1,3]f x x =∈; ④对任意1234,,,[1,3]x x x x ∈,有123412341()[()()()()]44x x x x f f x f x f x f x +++≤+++其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】D【解析】正确理解和推断可知①②错误,③④错误例6．请先阅读下列材料，然后回答问题． 对于问题“已知函数21()32f x x x=+-，问函数()f x 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”一个同学给出了如下解答：解：令u=3+2x ―x 2，则u=―(x ―1)2+4，当x=1时，u 有最大值，u max =4，显然u 没有最小值．∴当x=1时，()f x 有最小值14，没有最大值． （1）你认为上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答； （2）对于函数21()(0)f x a ax bx c=>++，试研究其最值情况． 【答案】（1）不正确；（2）当Δ≥0时，()f x 既无最大值，也无最小值；当Δ＜0时，()f x 有最大值244a ac b -，此时2bx a=-，没有最小值．【解析】（1）不正确．没有考虑到u 还可以小于0．正确解答如下：令u=3+2x ―x 2，则u=―(x ―1)2+4≤4，当0＜u ≤4时，114u ≥，即1()4f x ≥；当u ＜0时，10u<，即()0f x <． ∴()0f x <或1()4f x ≥，即()f x 既无最大值，也无最小值．（2）对于函数21()(0)f x a ax bx c=>++，令u=ax2+bx+c （a ＞0）． ①当Δ＞0时，u 有最小值，2min404ac b u a-=<，当2404ac b u a -≤<时，2144a u ac b ≤-，即24()4af x ac b≤-；当u ＞0时，即()0f x >． ∴()0f x >或24()4af x ac b ≤-，即()f x 既无最大值，也无最小值．②当Δ=0时，u 有最小值，2min 404ac b u a-==，此时，u ≥0，∴＜10u>，即()0f x >，()f x 既无最大值，也无最小值． ③当Δ＜0时，u 有最小值，2min404ac b u a-=>，即2404ac b u a-≥>． ∴21404a u ac b <≤-，即240()4af x ac b <≤-． ∴当2b x a =-时，()f x 有最大值244aac b-，没有最小值． 综上，当Δ≥0时，()f x 既无最大值，也无最小值． 当Δ＜0时，()f x 有最大值244a ac b -，此时2bx a=-，没有最小值． 【总结升华】研究性学习是新课标所倡导的教学理念，是培养创新能力的重要途径，因而也是新课标高考的重点考查对象．解决像本例这样的研究性问题，关键是透彻理解题目中所提供的材料，准确地把握题意，灵活地运用所学的基本知识和基本方法分析解决问题．举一反三：【变式1】（1）已知函数y =M ，最小值为m ，则mM的值为（ ）A ．14 B ．12C D 【答案】 C【解析】 函数的定义域为[－3，1]．又22242(1)(3)4223424(1)y x x x x x =+-+=+--+=+-+． 而204(1)2x ≤-+≤，∴4≤y 2≤8．又y ＞0，∴222y ≤≤．∴22M =，m=2．∴2m M =．故选C 项． （2）设2, ||1(), ||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是[0，+∞），则()g x 的值域是（ ）A ．（－∞，－1]∪[1，+∞）B ．（－∞，－1]∪[0，+∞）C ．[0，+∞）D ．[1，+∞） 【答案】C【解析】要使[()]f g x 的值域是[0，+∞），则()g x 可取（－∞，－1]∪[0，+∞）．又()g x 是二次函数，定义域连续，故()g x 不可能同时取（－∞，－1]和[0，+∞）．结合选项只能选C 项． 【总结升华】 函数的值域问题每年高考必考，而且既有常规题型[如本例（1）]，也有创新题[如本例（2）]．解答这类问题，既要熟练掌握求函数值域的基本方法，更要根据具体问题情景，灵活地处理．如本例（2）中，其背景函数属常规函数（分段函数、二次函数、复合函数），但给出[()]f g x 的值域，要求()g x 的值域，就在常规题型基础上有所创新，解答这类问题，应利用基本方法、基本知识来分析解决问题．类型三：函数的零点问题例7．若函数2()4f x x kx =-+在区间（1，6）内有零点，求k 的取值范围． 【答案】204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】 二次函数在区间（1x ，2x ）上有零点，分以下四种情况：【解析】（1）(1)(6)0f f ⋅<，解得2053k <<，如图1 （2）0(1)0(6)0162f f k ∆>⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩，解得45k <<，如图2（3）0162k∆=⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得4k =，如图3 （4）(1)07122f k =⎧⎪⎨<<⎪⎩或(6)07622f k=⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得5k =，如图4或5 综上所述k 的取值范围是204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【总结升华】二次函数2()f x ax bx c =++（不妨设0a >）在有限的开区间12(,)x x 内有零点的条件是：（1）12()()0f x f x ⋅<（2）12120()0()02f x f x b x x a ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩（3）1202b x x a ∆=⎧⎪⎨<-<⎪⎩（4）1121()022f x x x b x a =⎧⎪⎨+<-<⎪⎩或2122()022f x x x b x a =⎧⎪⎨+<-<⎪⎩ 举一反三：【变式1】试讨论函数2()2||1()f x x x a a R =---∈的零点个数． 【解析】由2()2||10f x x x a =---=得22||1x x a -=+，令222,0,()()12,0,x x x g x h x a x x x ⎧-≥⎪==+⎨+<⎪⎩ (),()g x h x 的图象如图所示，(2)(0)(2)0,(1)(1)1g g g g g -===-==-．当11,a +<-即2a <-时，()g x 与()h x 无公共点．当11a +=-或10a +>，即2a =-或1a >-时，()g x 与()h x 有两个交点． 当110,a -<+<即21a -<<-时，()g x 与()h x 有四个交点． 当10a +=，即1a =-时，()g x 与()h x 有三个交点． 所以，当2a <-时，函数()f x 无零点． 当2a =-或1a >-时，函数()f x 有两个零点． 当21a -<<-时，函数()f x 有四个零点． 当1a =-时，函数()f x 有三个零点．【总结升华】体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．类型四：函数的综合问题例8．（1）已知函数2()21f x ax ax =++在区间[－1，2]上最大值为4，求实数a 的值； （2）已知函数2()22f x x ax =-+，x ∈[－1，1]，求函数()f x 的最小值．【思路点拨】第（1）小题中应对二次项系数进行全面讨论，即按a=0，a ＞0，a ＜0三种情况分析； 第（2）小题中的抛物线开口方向确定，对称轴不稳定． 【答案】（1）－3或38；（2）略 【解析】（1）2()(1)1f x a x a =++-．①当a=0时，函数()f x 在区间[－1，2]上的值为常数1，不合题意；②当a＞0时，函数()f x在区间[－1，2]上是增函数，最大值为(2)814f a=+=，38a=；③当a＜0时，函数()f x在区间[―1，2]上是减函数，最大值为(1)14f a-=-=，a=―3．综上，a的值为－3或38．（2）222()22()2f x x ax x a a=-+=-+-，对称轴为直线x=a，且抛物线的开口向上，如下图所示：当a≥1时，函数()f x在区间[―1，1]上是减函数，最小值为(1)32f a=-；当―1＜a＜1时，函数()f x在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为2()2f a a=-；当a≤―1时，函数()f x在区间[―1，1]上是增函数，最小值为(1)32f a-=+．【总结升华】求二次函数在闭区间上的最值的方法是：一看抛物线的开口方向；二看对称轴与已知闭区间的相对位置，作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合方法就可得到问题的解．对于“定区间、动对称轴”这一类型，依对称轴在定区间左侧、右侧和在区间内三种情况，运用函数的单调性进行讨论，即可得到函数的最值．举一反三：【变式1】设函数2()22f x x x=-+，x∈[t，t+1]，t∈R，求函数()f x的最小值．【答案】2222,1()1,011,0t t tf x tt t⎧-+>⎪=≤≤⎨⎪+<⎩【解析】二次函数是确定的，但定义域是变化的，依t的大小情况作出对应的图象（抛物线的一段），从中发现规律．22()22(1)1f x x x x=-+=-+，x∈[t，t+1]，t∈R，对称轴为x=1，作出其图象如下图所示：当t+1＜1，即t＜0时，如上图①，函数()f x在区间[t，t+1]上为减函数，所以最小值为2(1)1f t t +=+；当1≤t+1≤2，即0≤t ≤1时，如上图②，最小值为(1)1f =；当t ＞1时，如上图③，函数()f x 在区间[t ，t+1]上为增函数，所以最小值为2()22f t t t =-+．综上有2222,1()1,011,0t t t f x t t t ⎧-+>⎪=≤≤⎨⎪+<⎩【总结升华】这里区间是变化的，但整个区间长度为1个单位长度，用运动观点来看，让区间从左向右沿x 轴正方向移动，看移动到不同位置时对最值有什么影响．借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰．例9．设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--． （1）若(0)1f ≥，求a 的取值范围； （2）求()f x 的最小值；（3）设函数()()h x f x =，x ∈（a ，+∞），直接写出（不需要给出演算步骤）不等式()1h x ≥的解集．【答案】（1）（―∞，－1]；（2）222, 0()2, 03a a g a a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩；（3）略．【解析】（1）因为(0)||1f a a =--≥，所以－a ＞0，即a ＜0． 由a 2≥1知a ≤―1．因此a 的取值范围为（―∞，－1]． （2）记()f x 的最小值为()g a ，我们有2222223(), ()2()||33()2, a a x x a f x x x a x a x a a x a ⎧-+>⎪=+--=⎨⎪+-≤⎩①② （i ）当a ≥0时，2()2f a a -=-，由①②知2()2f x a ≥-，此时2()2g a a =-．（ii ）当a ＜0时，22()33af a =．若x ＞a ，则由①知22()3f x a ≥；若x ≤a ，则x+a ≤2a ＜0，由②知222()23f x a a ≥>．此时22()3g a a =．综上得222, 0()2, 03a a g a a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩．（3）（i）当2(,[,)22a ∈-∞-+∞时，解集为（a ，+∞）； （ii ）当22a ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭时，解集为3a ⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭； （iii ）当2a⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，解集为3,33a a a ⎛⎡⎫+-+∞ ⎪⎢⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． 类型五：函数的实际应用【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例3】例10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x xv x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度x 与车流速度v 之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。