最新数列前n项和的求和公式
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数列求和的基本方法和技巧 1
一、利用常用求和公式求和 2
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 3
1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=
4 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 5
3、 )1(211+==∑=n n k S n k n
4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 6
5、 213)]1(21[+==∑=n n k S n k n 7 [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 8
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10 11 12 13 14 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n n S n S n f 的最大值. 15
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22 23 二、错位相减法求和 24
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前
25 n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列.
26 [例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①
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[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 34
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45 三、倒序相加法求和
46 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原47 数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
48 [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
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55 四、分组法求和
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常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
58 [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,
1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ， (59)
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65 [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
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70 五、裂项法求和
71 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后72 重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
73 （1）)()1(n f n f a n -+= （2） n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ 74 （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 75
（5）])
2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n 76 (6) n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=
-则 77 [例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11
,,321
,211
n n 的前n 项和.
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86 [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 87
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93 [例11] 求证：
1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 94
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00 六、合并法求和
01 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这02 些项放在一起先求和，然后再求S n .
03 [例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
04 [例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002
05 [例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值. 06
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14 七、利用数列的通项求和
15 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来16 求数列的前n 项和，是一个重要的方法. 17
[例15]
求 11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和 18 [例16]
已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 19
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