复数经典例题百度文库
复数经典试题(含答案)百度文库
所以共轭复数 在复平面内的对应点位于第四象限，
故选：D
13．B
【分析】
可得，即得.
【详解】
由，得a＝1.
故选：B．
解析：B
【分析】
可得 ，即得 .
【详解】
由 ，得a＝1.
故选：B．
14．D
【分析】
设，根据复数对应的向量与共线，得到，再结合求解.
【详解】
设，
则复数对应的向量，
因为向量与共线，
所以，
复数的共扼复数是，
故选：A
解析：A
【分析】
根据 ，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
复数 的共扼复数是 ，
故选：A
8．D
【分析】
先求出，再求出，直接得复数在复平面内对应的点
【详解】
因为，所以，在复平面内对应点，位于第四象限.
故选：D
解析：D
【分析】
先求出 ，再求出 ，直接得复数 在复平面内对应的点
A． B．
C．复数 的实部为 D．复数 对应复平面上的点在第二象限
27．下面四个命题，其中错误的命题是（）
A． 比 大B．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数
C． 的充要条件为 D．任何纯虚数的平方都是负实数
28．给出下列命题，其中是真命题的是（）
A．纯虚数 的共轭复数是 B．若 ，则
C．若 ，则 与 互为共轭复数D．若 ，则 与 互为共轭复数
根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
A选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A正确；
B选项，设复数，则，
因为，所，若，则；故B错；
高中数学第七章复数经典大题例题(带答案)
高中数学第七章复数经典大题例题单选题1、已知z =2+i ，则z−i 1+i =（ ）A ．1−2iB ．2+2iC ．2iD ．−2i答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.由z =2+i ，得z =2−i ，所以z−i 1+i =2−i−i 1+i =2(1−i )×(1−i )(1+i )×(1−i )=2×(1−2i+i 2)2=−2i .故选：D.2、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可. 因为(−1+2i )x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1，解得{x =−3y =4， 所以|x −yi |=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5.故选：B.3、已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z =z .则其中正确命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z 1和z 2的模相等,例如z 1=1+i ,z 2=√2i ,则z 1和z 2是共轭复数是错误的;对于②z 1和z 2都是复数,若z 1+z 2是虚数,则其实部互为相反数,则z 1不是z 2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z =a ,则z =a 所以z =z ,反之当z =z 时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z =z 是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4、在复平面内，复数z =1+i 1−i +1−i 2对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：由复数的运算求出z ，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．z =(1+i)2(1−i)(1+i)+1−i 2=2i 2+1−i 2=12+12i ， 则z 在复平面内对应的点为(12，12)，在第一象限，故选：A .5、z 1、z 2是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若z 12+z 22>0，则z 12>−z 22B ．|z 1−z 2|=√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2C ．z 12+z 22=0⇔z 1=z 2=0D ．|z 12|=|z 1|2答案：D解析：举反例z 1=2+i ，z 2=2−i 可判断选项A 、B ，举反例，z 2=i 可判断选项C ，设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，分别计算|z 12|、|z 1|2即可判断选项D ，进而可得正确选项.对于选项A ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，z 12=(2+i )2=3+2i ，z 22=(2−i )2=3−2i ，满足z 12+z 22=6>0，但z 12与z 22是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确；对于选项B ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，|z 1−z 2|=|2i |=2，而√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2=√42−4(2+i )(2−i )=√16−20无意义，故选项B 不正确；对于选项C ：取，z 2=i ，则z 12+z 22=0，但是z 1≠0，z 2≠0，故选项C 不正确；对于选项D ：设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，则z 12=(a +bi )2=a 2−b 2+2abi11z =11z =|z 12|=√(a 2−b 2)2+4a 2b 2=√(a 2+b 2)2=a 2+b 2，z 1=a −bi ，|z 1|=√a 2+b 2，所以|z 1|2=a 2+b 2，所以|z 12|=|z 1|2，故选项D 正确.故选：D.6、已知i 为虚数单位，则i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=（ ）A ．iB ．−iC ．1D ．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0，得到i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=i 2021，即可求解.根据虚数的性质知i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=1+i −1−i =0，所以i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=505×0+i 2021=i .故选：A.7、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D8、已知关于x 的方程（x 2＋mx ）＋2x i ＝－2－2i （m ∈R ）有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于（ ）A ．3＋iB ．3－iC．－3－iD．－3＋i答案：B分析：根据复数相等得出m,n的值，进而得出复数z. 由题意知（n2＋mn）＋2n i＝－2－2i，即{n 2+mn+2=02n+2=0，解得{m=3,n=−1，∴z=3−i故选：B多选题9、已知复数z=21+i，则正确的是（）A．z的实部为﹣1B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的虚部为﹣iD．z的共轭复数为1+i答案：BD分析：根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可.因为z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，所以z的实部为1，虚部为-1，在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，共轭复数为z=1+i，故AC错误，BD正确.故选：BD10、复数z=1−i，则（）A．z在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)B．z在复平面内对应的点的坐标为(1,1)C．|z|=2D．|z|=√2答案：AD分析：利用复数的几何意义，求出复数对应的点坐标为(1,−1)，即可得答案；z=1−i在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)，|z|=√2．故选：AD.11、已知复数z满足(1+i3)z=2，则下列说法中正确的有（）A．z的虚部是iB．|z|=√2C．z⋅z=2D．z2=2答案：BC分析：根据复数的除法运算求出z，结合相关概念以及复数乘法运算即可得结果.z=21+i3=21−i=1+i，其虚部为1，|z|=√2，z⋅z=(1+i)(1−i)=2，z2=(1+i)2=2i≠2．故选：BC.12、已知复数z1=−2+i（i为虚数单位），复数z2满足|z2−1+2i|=2，z2在复平面内对应的点为，则（）A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限B．1z1=−25−15iC．(x+1)2+(y−2)2=4D．|z2−z1|的最大值为3√2+2答案：ABD分析：利用复数的几何意义可判断A选项；利用复数的除法运算可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用复数模长的三角不等式可判断D选项.对于A选项，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(−2,1)，该点位于第二象限，A对；对于B选项，1z1=1−2+i=−2−i(−2+i)(−2−i)=−25−15i，B对；对于C选项，由题意可得z2−1+2i=(x−1)+(y+2)i，因为|z2−1+2i|=2，则(x−1)2+(y+2)2=4，C错；对于D选项，z1−1+2i=−3+3i，则|z1−1+2i|=√(−3)2+32=3√2，所以，|z2−z1|=|(z2−1+2i)−(z1−1+2i)|≤|z2−1+2i|+|z1−1+2i|=2+3√2，D对.(), M x y故选：ABD.13、若复数z 满足：z (z +2i )=8+6i ，则（ ）A ．z 的实部为3B ．z 的虚部为1C ．zz =√10D ．z 在复平面上对应的点位于第一象限答案：ABD分析：根据待定系数法，将z =a +bi (a,b ∈R )代入条件即可求解a =3，b =1，进而即可根据选项逐一求解. 设z =a +bi (a,b ∈R )，因为z (z +2i )=8+6i ，所以zz +2iz =8+6i ，所以(a 2+b 2−2b )+2ai =8+6i ，所以a 2+b 2−2b =8，2a =6，所以a =3，b =1，所以z =3+i ，所以z 的实部为3，虚部为1，故A ，B 正确；zz =|z |2=10，故C 不正确；z 在复平面上对应的点(3,1)位于第一象限，故D 正确．故选:ABD ．填空题14、i 2 021＝________.答案：i分析：利用周期性求得所求表达式的值.i 2021=i 505×4+1=i 1=i所以答案是：i15、设复数z ，满足|z 1|=1，|z 2|=2，z 1+z 2=√3−i ，则|z 1−z 2|=____________．答案：√6解析：根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出|z 1−z 2|的值.设z 1,z 2在复平面中对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，z 1+z 2对应的向量为OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如下图所示：因为z 1+z 2=√3−i ，所以|z 1+z 2|=√3+1=2，所以cos∠OZ 1Z 3=12+22−221×2×2=14， 又因为∠OZ 1Z 3+∠Z 1OZ 2=180°，所以cos∠Z 1OZ 2=−cos∠OZ 1Z 3=−14，所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OZ 12+OZ 22−2OZ 1⋅OZ 2⋅cos∠Z 1OZ 2=1+4+1=6， 所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，又|z 1−z 2|=|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，所以答案是：√6.小提示：名师点评复数的几何意义：（1）复数z =a +bi (a,b ∈R )一一对应↔复平面内的点Z (a,b )(a,b ∈R )； （2）复数z =a +bi (a,b ∈R ) 一一对应↔平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 16、在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5).则(1−i)z =___________.答案：−2−8i ##−8i −2分析：根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5)，则z =3−5i ，所以(1−i)z =(1−i)(3−5i)=−2−8i .所以答案是：−2−8i解答题17、已知复数z 1＝4－m 2＋（m －2）i ，z 2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i （其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R ）.(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围.答案：(1)-2；(2)[2，6]分析：（1）z 1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；（2）由z 1＝z 2，实部、虚部分别相等，求得λ关于θ的函数表达式，根据sinθ的范围求得参数取值范围.(1)由z 1为纯虚数，则{4−m 2=0,m −2≠0,解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得{4−m 2=λ+2sinθ,m −2=cosθ−2,∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3=(sinθ−1)2+2. ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2，当sin θ＝－1时，λmax ＝6，∴实数λ的取值范围是[2，6].18、已知m ∈R ，α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．（1）若|α−β|=2√2，求m 的值；（2）用m 表示|α|+|β|．答案：（1）−1或3；（2）|α|+|β|={2√m,m >12,0≤m ≤12√1−m,m <0.分析：（1）由α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．可得α+β=−2，αβ=m ，对α，β分为实数，与一对共轭虚根即可得出．（2）不妨设α⩽β，对m 及其判别式分类讨论，利用根与系数的关系即可得出．解：（1）∵α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．∴α+β=−2，αβ=m ，若α，β为实数，即Δ=4−4m ≥0，解得m ≤1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m ，解得m =−1．若α，β为一对共轭复数，即Δ=4−4m <0，解得m >1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m −4i|，解得m =3．综上可得：m =−1或3．（2）因为x2+2x+m=0，不妨设α⩽β．Δ=4−4m⩾0，即m⩽1时，方程有两个实数根．α+β=−2，αβ=m，0⩽m⩽1时，|α|+|β|=|α+β|=2．m<0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m．Δ=4−4m<0，即m>1时，方程有一对共轭虚根．|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m综上可得：|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽12√1−m,m<0．。
(完整版)复数经典例题
经典例题透析类型一：复数的有关概念例1．已知复数22276(56)()1a az a a i a Ra-+=+--∈-，试求实数a分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.思路点拨：根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.解析：（1）当z为实数时，有2256010a aa⎧--=⎪⎨-≠⎪⎩1661a aaa=-=⎧⇒⇒=⎨≠±⎩或，∴当6a=时，z为实数. （2）当z为虚数时，有2256010a aa⎧--≠⎪⎨-≠⎪⎩16161a aa aa≠-≠⎧⇒⇒≠±≠⎨≠±⎩且且，∴当a∈（－∞，－1）∪（－1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z为虚数. （3）当z为纯虚数时，有222560761a aa aa⎧--≠⎪⎨-+=⎪-⎩166a aaa≠-≠⎧⇒⇒∈∅⎨=⎩且∴不存在实数a使z为纯虚数.总结升华：由于a∈R，所以复数z的实部与虚部分为22761a aa-+-与256a a--.①求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；②求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；③求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为0），还需虚部不为0，两者缺一不可.举一反三：【变式1】设复数z=a+bi （a 、b ∈R ），则z 为纯虚数的必要不充分条件是（ ）A ．a=0B ．a=0且b ≠0C ．a ≠0且b=0D ．a ≠0且b ≠0【答案】A ；由纯虚数概念可知：a=0且b ≠0是复数z=a+bi （a 、b ∈R ）为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择A.【变式2】若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A.1B.2C.1或2D.-1【答案】B ；∵2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，∴2320a a -+=且10a -≠，即2a =.【变式3】如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m=（ ）A ．1B ．－1 CD．【答案】B ；【变式4】求当实数m 取何值时，复数22(2)(32)z m m m m i =--+-+分别是：（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数.【答案】（1）当2320m m -+=即1m =或2m =时，复数z 为实数；（2）当2320m m -+≠即1m ≠且2m ≠时，复数z 为虚数；（3）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--0230222m m m m 即1m =-时，复数z 为纯虚数. 类型二：复数的代数形式的四则运算例2. 计算：（1）()n i n N +∈； (2)8(1)i +(3)(12)(12)i i +÷-; (4)ii i i 4342)1)(41(++++- 解析：(1)∵21i =-，∴32i i i i =⋅=-，4221i i i =⋅=，同理可得：当41()n k k N +=+∈时，4144()k k k i i i i i i +=⋅=⋅=当42()n k k N +=+∈时，42421k k i i i +=⋅=-，当43()n k k N +=+∈时，4343k k ii i i +=⋅=- 当44()n k k N +=+∈时，4444()1k k k i i i i =⋅==，∴4114243144n i n k k N n k k N i i n k k N n k k N =+∈⎧⎪-=+∈⎪=⎨-=+∈⎪⎪=+∈⎩（，）（，）（，）（，）()n N +∈ (2)8(1)i +24444[(1)](2)216i i i =+=== (3)(12)(12)i i +÷-1212i i+=-2222(12)(12)1(2)43434(12)(12)1(2)555i i i i i i i i i ++++-+====-+-+- (4)i i i i 4342)1)(41(++++-1432434i i i +-++=+227(7)(34)3434i i i i ++-==++ 21432825251.2525i i i i ++--===- 总结升华：熟练运用常见结论： 1）ni 的“周期性”（n N +∈）2）2(1)2i i ±=±3）22()()a bi a bi a b +-=+ 举一反三：【变式1】计算：（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)（2）(12)(34)(2)i i i +--（3）23100i i i i ⋅⋅⋅⋅L（4）3322(1)(1)(1)(1)i i i i +--+-- ； 【答案】（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)=[(5―2)+(―6―1)i]―(3+4i)=(3―7i)―(3+4i)=(3―3)+(―7―4)i=―11i.（2）(12)(34)(2)(112)(2)247i i i i i i +--=+-=-（3）231001210050504126222()1i i i i i i i i i +++⋅⋅⋅⋅===⋅==-L L（4）332222(1)(1)(1)(1)(1)(1)2(1)2(1)(1)(1)2(2)4i i i i i i i i i i i i i i i +--+⋅+---++-==+----2214i i⋅== 【变式2】复数()221i i +=( )A.4-B.4C.4i -D.4i【答案】A ；()()222121212244i i i i i i i +=+-=⨯==-【变式3等于( )i +i 【答案】A1-i i ===，故选A 【变式4】复数31()i i -等于( )A.8B.－8C.8iD.－8i【答案】D ；333311()()(2)88i i i i i i i--=+===-. 类型三：复数相等的充要条件例3、已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x ―1)+(3―y)i=y ―i ，求x 、y.思路点拨：因x ∈R ，y 是纯虚数，所以可设y=bi （b ∈R 且b ≠0），代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果.解析：∵y 是纯虚数，可设y=bi （b ∈R ，且b ≠0），则(2x ―1)+(3―y)i ＝(2x ―1)+(3―bi )i ＝（2x －1+b ）+3i ，y ―i =bi －i=（b －1）i由(2x ―1)+(3―y)i=y ―i 得（2x ―1+b ）+3i=（b ―1）i ， 由复数相等的充要条件得42103132b x b b x =⎧-+=⎧⎪⇒⎨⎨-==-⎩⎪⎩， ∴32x =-，4y i =. 总结升华：1. 复数定义：“形如z a bi =+（,a b R ∈）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这一形式，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实，把复数问题转化为实数问题来研究.这是解决复数问题的常用方法.2．复数相等是复数问题实数化的有效途径之一，由两复数a+bi 与c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）相等的充要条件是a=c 且b=d ，可得到两个实数等式.3.注意左式中的3―y 并非是(2x ―1)+(3―y)i 的虚部，同样，在右边的y ―i 中y 也并非是实部.举一反三：【变式1】设x 、y 为实数，且5______1-1-21-3x y x y i i i+=+=，则 【答案】由51-1-21-3x y i i i +=得5(1)(12)(13)2510x y i i i +++=+ 即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i)，即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0，故52-50-154-1505x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩,解得 ∴4x y +=【变式2】若z ∈C 且(3+z)i=1(i 为虚数单位)，则z=____.【答案】设z=a+bi(a,b ∈R)，则(3+z)i=-b+(3+a)i=1由复数相等的充要条件得 b=-1且a=-3，即z=-3-i.【变式3】设复数z 满足12i i z+=，则z =（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i - D ．2i + 【答案】12(12)2211i i i i z i i ++-====---，故选C. 类型四：共轭复数例4：求证：复数z 为实数的充要条件是z z =思路点拨：需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念解析：设z a bi =+（a ，b ∈R ），则z a bi =- 充分性：--0;z z a bi a bi b b b z R =⇒+=⇒=⇒=⇒∈Q 必要性：,0-z R b a bi a bi z z ∈=⇒+=⇒=Q综上，复数z 为实数的充要条件为z z =举一反三：【变式1】,x y R ∈，复数(32)5x y xi ++与复数(2)18y i -+的共轭复数相等，求x ，y. 【答案】(2)1818(2)y i y i -+=+-3218-218-(-2)(32)52-512x y x y i x y xi y x y +==⎧⎧∴=++⇒⇒⎨⎨==⎩⎩ 【变式2】若复数z 同时满足2z z i -=，z iz =（i 为虚数单位），则z=________.【答案】―1+i【变式3】已知复数z=1+i ，求实数a 、b 使22(2)az bz a z +=+.【答案】∵z=1+i ，∴2(2)(2)az bz a b a b i +=++-，22(2)(2)44(2)a z a a i +=+-++2(4)4(2)a a a i =+++∵a 、b 都是实数，∴由22(2)az bz a z +=+得224,24(2).a b a a a b a ⎧+=+⎨-=+⎩ 两式相加，整理得a 2+6a+8=0解得a 1=―2，a 2=―4，对应得b 1=－1，b 2=2.∴所求实数为a=―2，b=―1或a=－4，b=2.类型五：复数的模的概念例5、已知数z 满足z+|z|=2+8i ，求复数z.法一：设z=a+bi （a ，b ∈R），则||z =代入方程得28a bi i +=+.∴28a b ⎧⎪=⎨=⎪⎩，解得158a b =-⎧⎨=⎩∴z=－15+8i法二：原式可化为：z=2－|z|+8i ，∵|z|∈R ，∴2－|z|是z 的实部.于是||z =|z|2=68－4|z|+|z|2，∴|z|=17，代入z=2-|z|+8i得z=－15+8i.举一反三：【变式】已知z=1+i ，a ，b 为实数.（1）若234z z ω=+-，求||ω； （2）若2211z az b i z z ++=--+，求a ，b 的值. 【答案】（1）2(1)3(1)4i i ω=++--2341i i i =+--=-∴||ω=（2）∵2222(1)(1)1(1)(1)1z az b i i a b z z i i ++++++=-++-++(2)(2)()a i b a a b a i i+++==+-+ ∴(2)()1a a b i i +-+=-∴21112a a ab b +==-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 类型六：复数的几何意义例6、已知复数22(23)(43)z m m m m i =--+-+（m ∈R ）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z （1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.思路点拨：根据点Z 的位置确定复数z 实部与虚部取值情况.解析：（1）点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2-43031m m m m +=⇒==或∴当31m m ==或时，点Z 在实轴上.（2）点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，故2230m m --=-13m m ⇒==或∴当-13m m ==或时，点Z 在虚轴上.3）点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0由22230430m m m m ⎧-->⎪⎨-+>⎪⎩ ，解得m ＜―1或m ＞3∴当m ＜―1或m ＞3时，点Z 在第一象限.终结升华：复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征.举一反三：【变式1】在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】∵22ππ<<，∴sin 20>，cos20<，故相应的点在第四象限，选D.【变式2】已知复数2(352)(1)z m m m i =-++-(m R ∈)，若z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围.【答案】∵2(352)(1)z m m m i =-+-- ∴⎩⎨⎧<-->+-0)1(02532m m m ，解得1m >.∴m 的取值范围为(1,)m ∈+∞.【变式3】已知z 是复数，2z i +和i-z z 均为实数，且复数2()z ai +对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.【答案】设z x yi =+(,x y R ∈)，∴2(2)z i z x y i +==++，由题意得2y =-， 2111(2)(2)(22)(4)22555z x i x i i x x i i i -==--=++---， 由题意得4x =，∴42z i =-∵22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-， 根据已知条件有212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，解得26a <<， ∴实数a 的取值范围是(2,6)a ∈.【变式4】已知复数z 对应的点在第一象限的角平分线上，求复数1z zω=+在复平面上对应的点的轨迹方程.【答案】设z=a+ai（a＞0）则1111()()22 z a ai a a i z a ai a a ω=+=++=++-+令1212x aay aa⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消a得x2－y2=2（x≥.。
高中复数经典练习题及讲解
高中复数经典练习题及讲解1. 题目：判断下列各句中的名词是否为复数形式，并解释原因。
- 我有几个朋友。
- 她有两只猫。
- 他喜欢读小说。
- 我们有三本书。
答案：- 几个朋友：是复数形式，因为“几个”表示多于一个。
- 两只猫：是复数形式，因为“两只”明确表示两个。
- 他喜欢读小说：不是复数形式，因为“小说”是单数名词。
- 我们有三本书：是复数形式，因为“三本”表示三个。
2. 题目：将下列句子中的名词变为复数形式。
- 我有一个苹果。
- 她有一只狗。
- 他有一本书。
- 我们有一张桌子。
答案：- 我有两个苹果。
- 她有两只狗。
- 他有几本书。
- 我们有几张桌子。
3. 题目：根据上下文，将下列句子中的名词变为复数形式。
- 每个学生（student）都有自己的学习计划。
- 我昨天买了一些（some）橘子。
- 他们（they）正在讨论几个（a few）问题。
- 我们（we）通常在晚上看电视。
答案：- 每个学生都有自己的学习计划。
- 我昨天买了一些橘子。
- 他们正在讨论几个问题。
- 我们通常在晚上看电视。
4. 题目：判断下列句子中的名词是否正确使用了复数形式，并给出正确形式。
- 我昨天买了一个橘子。
- 她有很多钱。
- 他们正在讨论一个问题。
- 我们有两张桌子。
答案：- 我昨天买了一些橘子。
- 她有很多钱。
- 他们正在讨论一些问题。
- 我们有两张桌子。
5. 题目：将下列句子中的名词变为复数形式，并解释变化的原因。
- 我有一个梦想。
- 她有一只猫。
- 他有一本书。
- 我们有一张纸。
答案：- 我有多个梦想。
- 她有几只猫。
- 他有几本书。
- 我们有几张纸。
原因解释：- “梦想”通常用来表示多个愿望或目标。
- “猫”在这种情况下可能表示不只一只。
- “书”在讨论时通常不只一本。
- “纸”在这种情况下可能表示多张纸。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=1+i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1-i$。
答案：C2.若复数 $z=1-i$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$z$ 的共轭复数为 $\bar{z}=1+i$。
答案：D3.在复平面内，复数 $z=3+4i$ 对应的点的坐标为（）解析：$z$ 对应的点的坐标为 $(3,4)$。
答案：A4.已知复数 $z=\frac{1}{1+i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）解析：$\bar{z}=\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}$。
答案：B5.已知复数 $z=\frac{3-2i}{5}$，则 $z$ 的虚部是（）解析：$z$ 的虚部为$\operatorname{Im}(z)=\frac{-2}{5}$。
答案：C6.已知复数 $z$ 满足 $z(1+i)=1-i$，则复数 $z$ 对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。
解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}i$，对应的点在直线 $y=-\frac{1}{2}x$ 上。
答案：A7.已知复数 $z$ 满足 $z^2=2i$，则 $z\cdot\bar{z}$ 的值为$4$。
解析：$z\cdot\bar{z}=|z|^2=2$，$z^2\cdot\bar{z}^2=(2i)(-2i)=-4$，因此 $z\cdot\bar{z}=\sqrt{-4}=2i$，$|z\cdot\bar{z}|=2$，所以 $z\cdot\bar{z}=4$。
答案：B8.已知复数 $z$ 满足 $z(1-i)=2i$，则在复平面内 $z$ 对应的点位于第二象限。
解析：将 $z$ 的实部和虚部表示出来，得到 $z=-\frac{2}{2i}-i=-1-i$，对应的点在第二象限。
答案：B9.满足 $i^3\cdot z=1-3i$ 的复数 $z$ 的共轭复数是 $3+i$。
复数经典例题百度文库(1)
一、复数选择题1．若()211z i =-，21z i =+，则12z z 等于（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．1i -D ．1i --2．已知复数1=-iz i，其中i 为虚数单位，则||z =（ ） A ．12B．2CD ．23．复数3(23)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．9i B ．46i -C ．9D ．46-4．复数312iz i=-的虚部是（ ） A ．65i -B ．35iC ．35D ．65-5．已知i 为虚数单位，复数12i1iz +=-，则复数z 在复平面上的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．若复数1z i =-，则1zz=-（ ） AB ．2C．D ．47．若复数z 满足()322iz i i -+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．35B ．35i -C ．35D ．35i8．复数12iz i=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．43π 10．复数2ii -的实部与虚部之和为（ ） A ．35 B ．15- C ．15D ．3511．复数112z i =+，21z i =+（i 为虚数单位），则12z z ⋅虚部等于（ ）．A ．1-B ．3C ．3iD ．i -12．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ） A ．17i -B ．16i -C ．16i --D ．17i --13．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ） A ．43i +B ．34i -C ．34i +D ．43i -14．已知i 是虚数单位，设11iz i，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．设复数z 满足(1)2i z -=，则z ＝（ ）A ．1BC D ．2二、多选题16．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ） A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅=17．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）. A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1-18．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z =19．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 21．已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限22．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ） A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122-C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为223．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限24．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z = B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限 25．下面四个命题，其中错误的命题是（ ）A ．0比i -大B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数26．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( ) A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y == B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于127．给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数 28．已知复数z ，下列结论正确的是（ ） A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件 B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件 C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件 D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件29．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( )A ．z 不可能为纯虚数B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．D 【分析】由复数的运算法则计算即可. 【详解】 解：， . 故选：D. 解析：D 【分析】由复数的运算法则计算即可. 【详解】 解：()2211122z i i i i =-=-+=-，()()212222(1)2222111112z i i i i i i i z i i i i --⨯--+--∴=====--++--. 故选：D.2．B 【分析】先利用复数的除法运算将化简，再利用模长公式即可求解. 【详解】 由于， 则. 故选：B解析：B 【分析】先利用复数的除法运算将1=-iz i化简，再利用模长公式即可求解. 【详解】由于()(1i)(1i)111(1i)222i i i i z i i ++====-+--+，则||z ===故选：B3．C 【分析】应用复数相乘的运算法则计算即可. 【详解】 解：所以的虚部为9. 故选：C.解析：C 【分析】应用复数相乘的运算法则计算即可. 【详解】解：()()()32351223469i i i i +=-++=-+ 所以()323i +的虚部为9. 故选：C.4．C 【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部． 【详解】 因为，所以复数z 的虚部是． 故选：C ．解析：C 【分析】由复数除法法则计算出z 后可得其虚部． 【详解】 因为33(12)366312(12)(12)555i i i i i i i i +-===-+--+， 所以复数z 的虚部是35． 故选：C ．5．C利用复数的除法法则化简，再求的共轭复数，即可得出结果. 【详解】 因为 ， 所以，所以复数在复平面上的对应点位于第三象限， 故选：C.解析：C 【分析】利用复数的除法法则化简z ，再求z 的共轭复数，即可得出结果. 【详解】 因为212(12)(1)11i i i z i i +++==-- 1322i =-+，所以1322z i =--， 所以复数z 在复平面上的对应点13(,)22--位于第三象限， 故选：C.6．A 【分析】将代入，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】 由，得， 则， 故选：A.解析：A 【分析】 将1z i =-代入1zz-，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】由1z i =-，得2111z i i ii z i i---===---，则11zi z=--==-，7．A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得， 其虚部为， 故选：A.解析：A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z i i i i i ----====-++-+，其虚部为35， 故选：A.8．A 【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】 由，知在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题解析：A 【分析】对复数z 进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】 由()()()122112121255i i i z i i i i -===+++-， 知在复平面内对应的点21,55⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题.9．C 【分析】写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解. 【详解】 ,,所以复数在第二象限，设幅角为， 故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三解析：C 【分析】写出复数11z =的三角形式1cos 0sin 0z i =+，绕原点O 逆时针方向旋转3π得到复数2z 的三角形式，从而求得212z z -的三角形式得解. 【详解】11z =,1cos 0sin 0z i ∴=+,121(cos sin )3322Z i O OZ ππ=+=+2111()222z z --∴=+所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ=23πθ∴=故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.10．C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】，的实部与虚部之和为. 故选：C易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .11．B 【分析】化简，利用定义可得的虚部． 【详解】则的虚部等于 故选：B解析：B 【分析】化简12z z ⋅，利用定义可得12z z ⋅的虚部． 【详解】()()1212113z z i i i ⋅=+⋅+=-+则12z z ⋅的虚部等于3 故选：B12．A 【分析】根据复数的几何意义得出坐标，由平行四边形得点坐标，即得点对应复数，从而到共轭复数． 【详解】 由题意，设，∵是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同， ∴，即，∴点对应是，共轭复数为．解析：A 【分析】根据复数的几何意义得出,A C 坐标，由平行四边形得B 点坐标，即得B 点对应复数，从而到共轭复数．由题意(2,5),(3,2)A C -，设(,)B x y ，∵OABC 是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴023052x y +=-+⎧⎨+=+⎩，即17x y =⎧⎨=⎩，∴B 点对应是17i +，共轭复数为17i -．故选：A ． 13．D 【分析】由复数的四则运算求出，即可写出其共轭复数. 【详解】 ∴， 故选：D解析：D 【分析】由复数的四则运算求出z ，即可写出其共轭复数z . 【详解】2(2)(12)24243z i i i i i i =-+=-+-=+∴43z i =-， 故选：D14．A 【分析】由复数的除法求出，然后得出，由复数的几何意义得结果. 【详解】 由已知，，对应点为，在第一象限， 故选：A.解析：A 【分析】由复数的除法求出z i =-，然后得出2z +，由复数的几何意义得结果. 【详解】 由已知(1)(1)(1)(1)i i z i i i --==-+-，222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限，故选：A.15．B由复数除法求得，再由模的运算求得模．【详解】由题意，∴．故选：B ．解析：B【分析】由复数除法求得z ，再由模的运算求得模．【详解】由题意22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴z == 故选：B ．二、多选题16．AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD17．AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．18．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】 先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.19．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩， 因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.20．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.21．AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，3z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.22．ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确 选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误 选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围23．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】 求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；2211312242422ω⎛⎫=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；2211112222122222ω---====--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,2⎛- ⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误. 故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.24．BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题.25．ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误； 对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.26．AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确； 对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 27．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D.根据，得到，再用共轭复数的定义判断.A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 28．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件； 若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.29．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z不可以等于1,D错误.2故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)1.复数选择题1.若复数 $z=\frac{1}{1-i}$，则 $z$ 的共轭复数为（）。
A。
$\frac{1+i}{2}$ B。
$\frac{1-i}{2}$ C。
$\frac{-1+i}{2}$ D。
$\frac{-1-i}{2}$2.已知复数 $z=\frac{11+22i}{1-i(m-m^2i)}$ 为纯虚数，则实数 $m=$（）。
A。
$1$ B。
$-1$ C。
$i$ D。
$-i$3.若复数 $z=(2+i)i$（其中 $i$ 为虚数单位），则复数$z$ 的模为（）。
A。
$5$4.复数 $z=\frac{3i}{5-2i}$ 的虚部是（）。
A。
$\frac{15}{29}$ B。
$\frac{3}{29}$ C。
$-\frac{3}{29}$ D。
$-\frac{15}{29}$5.已知 $2i+1=z\cdot5\left(5-\frac{1}{z}\right)$，则$z=$（）。
A。
$1$ B。
$3$ C。
$2$ D。
$-2$6.复数 $z$ 满足 $i\cdot z=1-2i$，$z$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z\cdot z=$（）。
A。
$5$ B。
$-5$ C。
$5i$ D。
$-5i$7.已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{4i}{1+i}$ 在复平面内对应的点在（）。
A。
第一象限 B。
第二象限 C。
第三象限 D。
第四象限8.已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z=5+3i$，则$\frac{z}{i}=$（）。
A。
$-3+5i$ B。
$5-3i$ C。
$-5+3i$ D。
$3+5i$9.若复数 $z=\frac{a+i}{1-i}$，$a\in R$，为纯虚数，则$z+a=$（）。
A。
$1+2i$ B。
$2i-1$ C。
$2+2i$ D。
$-2i+1$10.已知复数 $z$ 满足 $\frac{z}{2+i}=2-i$，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在（）。
(完整版)复数练习题含答案
(完整版)复数练习题含答案一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( )A ．15-B ．15C ．1i 5-D ．1i 52．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四3．复数z满足()12i z =，i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A．BC．D4．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i +6．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知复数z 满足(1i)32i +=+z ，则z 的虚部为（ ） A ．12 B ．1i 2-C ．12-D ．1i 28．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝（ ） A ．75B ．－115C ．－185D ．59．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ） A ．32-B ．32C ．6-D ．610．下列命题正确的是（ ） ①若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数； ③若复数1z ，2z 满足12=z z ，则12=±z z ；④若复数1z ，2z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③11．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．3 C．D ．9 12．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 13．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ）A ．5B C ．10D 14．若复数z 满足1i 1i 2z +=+，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +16．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．2-D ．i17．若5i2iz =+，则||z =（ ） A．2B C ．D ．318．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15- B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-19．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12- B ．1i 2C ．32- D ．3i 2-二、填空题21．已知复数()()211i z a a =-+-()a R ∈是纯虚数，则=a ___________.22．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.23．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________.24．已知复数2z =+i ，其中i 为虚数单位，那么复数()2z ·z 所对应的复平面内的点在第________象限25．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i+-z 为实数，则=a ________． 26．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______． 27．已知复数3i (2i)z =⋅-，则z 的虚部为__________．28．若复数()2(2)9i()z m m m R =++-∈是正实数，则实数m 的值为________．29．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）. 30．写出一个在复平面内对应的点在第二象限的复数z =__________．31．设i 为虚数单位，则复数2(1i)1i+-=____．32．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______. 33．已知复数z =(,a b ∈R 且0,0a b ≠≠)的模等于1，则12b a b++的最小值为______.34．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________.35．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．36．若2z =，arg 3z π=，则复数z =________．37．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．38．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. 39．若复数z 满足|z －i|＝3，则复数z 对应的点Z 的轨迹所围成的图形的面积为________.40．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 三、解答题41．已知复数z 和它的共轭复数z 满足232i z z +=+． (1)求z ；(2)若z 是关于x 的方程()20,x px q p q R ++=∈的一个根，求复数()4i zp q +-的模．42．（1）在复数范围内，求方程22340x x ++=的解；（2）若复数1z ，2z 满足12122i 2i 10z z z z ⋅+-+=，且212i z z =-，求出1z ，2z ． 43．已知复数z 是纯虚数，212iz -+为实数.(1)求复数z ；(2)若m ∈R ，复数()22m z z --在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围.44．在复平面内，复数()2(1)2i z m m m =-+--表示的点Z ，求出满足下列条件的复数z .(1)若点Z 在虚轴上，求复数z 的共轭复数z ； (2)若点Z 在直线2y x =上，求复数z 的模z .45．已知向量OZ 与实轴正向的夹角为45，向量OZ 对应的复数z 的模为1，求z .【参考答案】一、单选题 1．A 2．B 3．D 4．B 5．B 6．B 7．A 8．B 9．A 10．B 11．C 12．B 13．D 14．D 15．B 16．B 17．B 18．B 19．C 20．C二、填空题 21．1- 2223．1 24．四 25．3- 26．1i -##i+1- 27．-2 28．329．13i +##3i+130．1i -+（答案不唯一） 31．1i -+ 32．1 33．734．1##1+35．8336．11+ 3738．12 39．9π40三、解答题41．(1)12z i =+； (2)1. 【解析】 【分析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，根据复数的运算以及复数相等，即可求得结果； （2）将（1）中所求z 代入方程，根据复数相等求得,p q ，结合复数的运算，即可求得()4i zp q ++及其模长. (1)设()i ,z a b a b R =+∈，则i z a b =-，()()22i i 3i 32i z z a b a b a b +=++-=+=+，所以332a b =⎧⎨=⎩，即12a b =⎧⎨=⎩，所以i 12z =+.(2)将i 12z =+代入已知方程可得()()212i 12i 0p q ++++=，整理可得()()24i 30p p q +++-=，所以24030p p q +=⎧⎨+-=⎩，解得25p q =-⎧⎨=⎩， 所以()()()()()12i 2i 12i 5ii 4i 2i 2i 2i 5z p q +--+-====-+--+-+--，又i 1-=， 所以复数()4i zp q +-的模为1.42．（1）34x =-；（2）13i z =，25i z =-或1i z =-，2i z =-. 【解析】 【分析】（1）利用配方法和2i 1=-进行求解；（2）先利用212i z z =-进行消元，再设出1i z a b =+，利用模长公式、复数的相等进行求解. 【详解】（1）因为22340x x ++=，所以2322x x +=-，所以23923()241616x +=-+=-，所以34x +=，即34x =-±； （2）将212i z z =-代入12122i 2i 10z z z z ⋅+-+=， 得1111(2i)2i 2i(2i)10z z z z ⋅-+--+=， 即211|2i 3|0z z --=，设1i z a b =+，所以22232i=0a b b a +---，所以2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩，所以13i z =，25i z =-或1i z =-，2i z =-.43．(1)4i z =- (2)14-<<m 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义设出复数z 的表示形式，再根据复数除法运算法则，结合复数的分类进行求解即可；（2）根据完全平方公式，结合复数在复平面内对应点的特点进行求解即可. (1)因为复数z 为纯虚数， 所以设()i ,0z b b R b =∈≠，则i (5122i 12i 12i (12)(122i)(2i)22(4)i i)b z b b b --+---+===+++++-，又212iz -+为实数 ∴404b b +=⇒=-，即4i z =-； (2)因为m R ∈，4i z =-所以有()222222228i 168i 16(88)i m z z m mz z z m m m m --=-+-=+-+=-++， 又复数()22m z z --在复平面内对应的点位于第二象限， 所以有：2160m -<且880m +>，即14-<<m . 44．(1)2i ；【解析】 【分析】（1）求出m 的值即得解；（2）根据点Z 在直线2y x =上，求出m 的值即得解. (1)解：因为点Z 在虚轴上，所以10,1m m -=∴=. 所以2i z =-，所以复数z 的共轭复数2i z =. (2)解：因为点Z 在直线2y x =上，所以222(1)m m m --=-， 解之得0m =或3m =. 所以12i z =--或24z i =+，所以复数z 的模z45．z =或z = 【解析】【分析】由题，OZ 与实轴正向的夹角为45，故OZ 可能在第一象限或第四象限，设出Z 的坐标，结合OZ 对应的复数z 的模为1列式，即可求解. 【详解】由题，向量OZ 与实轴正向的夹角为45，故OZ 在第一象限或第四象限，设点Z 的坐标为(,)a b ，则0a >，b a =，又1z =，故可解得22a b ==或2b =-，所以z =+或z =.。
复数经典例题 百度文库
一、复数选择题1．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1iz+=（ ） A ．3155i + B ．1355i + C ．113i +D ．13i + 2．若()211z i =-，21z i =+，则12z z 等于（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．1i -D ．1i --3．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-4．i=（ ） A．i -B．iCi -Di5．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ） A ．z 的实部是1 B ．z 的虚部是1C．z =D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限6．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：e cos isin i θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，i e π＝（ ） A ．1B ．0C ．－1D ．1＋i7．已知复数21iz i=-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知i 是虚数单位，则复数41ii+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．若1m ii+-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）． A ．1-B ．0C ．1D10．已知复数202111i z i-=+，则z 的虚部是（ ）A ．1-B ．i -C ．1D ．i11．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（ ）A ．22z +=B ．22z i +=C ．24z +=D ．24z i +=12．复数2ii -的实部与虚部之和为（ ） A ．35 B ．15- C ．15D ．3513．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ） A ．68i + B ．68i - C ．68i -- D ．68i -+ 14．若复数z 满足213z z i -=+，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --15．复数22(1)1i i-+=-（ ） A ．1+iB ．-1+iC ．1-iD ．-1-i二、多选题16．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）. A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1-17．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 18．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z =19．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限20．已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i - B ．z 的虚部为75i C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限21．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ） A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b = B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称 22．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限23．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ） A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω>24．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =- D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数25．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根26．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z =B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限27．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( ) A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y == B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z == D ．i -的平方等于128．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数是z -B ．若120z z -=，则21z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数 29．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方30．已知复数z ，下列结论正确的是（ ） A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件 B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件 C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件 D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．B 【分析】利用复数的除法法则可化简，即可得解. 【详解】 ，. 故选：B. 解析：B 【分析】利用复数的除法法则可化简1iz+，即可得解. 【详解】2z i =-，()()()()12111313222555i i i i i i z i i i +++++∴====+--+. 故选：B.2．D 【分析】由复数的运算法则计算即可. 【详解】 解：，. 故选：D.解析：D 【分析】由复数的运算法则计算即可. 【详解】 解：()2211122z i i i i =-=-+=-，()()212222(1)2222111112z i i i i i i i z i i i i --⨯--+--∴=====--++--. 故选：D.3．D 【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解． 【详解】 ，它为纯虚数， 则，解得． 故选：D ．解析：D 【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解． 【详解】2(1)()1(1)i a i a i ai i a a i -+=+--=++-，它为纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-． 故选：D ．4．B 【分析】由复数除法运算直接计算即可. 【详解】 . 故选：B.解析：B 【分析】由复数除法运算直接计算即可. 【详解】()211iii i++==--.故选：B.5．C【分析】利用复数的除法运算求出，即可判断各选项. 【详解】，，则的实部为2，故A错误；的虚部是，故B错误；，故C正；对应的点为在第一象限，故D错误.故选：C.解析：C【分析】利用复数的除法运算求出z，即可判断各选项.【详解】()13i z i+=+，()()()()3132111i iiz ii i i+-+∴===-++-，则z的实部为2，故A错误；z的虚部是1-，故B错误；z==，故C正；2z i=+对应的点为()2,1在第一象限，故D错误.故选：C.6．C【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可【详解】由题意可知＝，故选C解析：C【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可【详解】由题意可知i eπ＝cos sin101iππ+=-+=-，故选C【分析】对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限. 【详解】，在复平面内对应点为，在第二象限. 故选：B.解析：B 【分析】对复数z 进行化简，再得到z 在复平面内对应点所在的象限. 【详解】21i z i =-()()()2111i i i i +=+-()1+1+i i i ==-，z 在复平面内对应点为()1,1-，在第二象限. 故选：B.8．A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限， 故选：A解析：A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限， 故选：A 9．C 【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题是纯虚数， 为纯虚数， 所以m=1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟解析：C对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题1m ii+-是纯虚数， ()()()()()()21111111222m i i m m i i m m i m i i i i +++++++-===+--+为纯虚数， 所以m =1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.10．C 【分析】求出，即可得出，求出虚部. 【详解】 ，，其虚部是1. 故选：C.解析：C 【分析】求出z ，即可得出z ，求出虚部. 【详解】()()()220211i 1i i 1i 1i 1i z --===-++-，i z ∴=，其虚部是1.故选：C.11．B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论． 【详解】因为复数对应的点为，所以 ，满足则 故选：B解析：B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论． 【详解】因为复数z 对应的点为(,)x y ，所以z x yi =+x ，y 满足22(2)4x y ++=则22z i +=12．C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】，的实部与虚部之和为. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .13．D 【分析】设，根据复数对应的向量与共线，得到，再结合求解. 【详解】 设，则复数对应的向量， 因为向量与共线， 所以， 又， 所以， 解得或，因为复数对应的点在第三象限， 所以， 所以，，解析：D 【分析】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，根据复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，得到43a b =，再结合10z =求解.设(,)z a bi a R b R =+∈∈， 则复数z 对应的向量(),OZ a b =， 因为向量OZ 与(3,4)a =共线， 所以43a b =， 又10z =， 所以22100+=a b ， 解得68a b =-⎧⎨=-⎩或68a b =⎧⎨=⎩， 因为复数z 对应的点在第三象限，所以68a b =-⎧⎨=-⎩，所以68z i =--，68z i =-+， 故选：D14．A 【分析】采用待定系数法，设，由复数运算和复数相等可求得，从而得到结果. 【详解】 设，则， ，，解得：， . 故选：A.解析：A 【分析】采用待定系数法，设(),z a bi a b R =+∈，由复数运算和复数相等可求得,a b ，从而得到结果. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，()()22313z z a bi a bi a bi i ∴-=+--=+=+，133a b =⎧∴⎨=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩，1z i ∴=+. 故选：A. 15．C 【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得；【详解】解：故选：C解析：C【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得；【详解】 解：22(1)1i i-+- ()()()()2211211i i i i i +=-++-+ 12i i =+-1i =-故选：C二、多选题16．AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．17．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为11131222244z z i ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为22112222z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，12z =，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z i ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.18．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】 先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】 由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误； 在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.19．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩， 因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.20．AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】，故，故A 正确.的虚部为，故B 错，，故C 错，在复平面内对应的点为，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考解析：AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项.【详解】()()32232474725555i i i i i z i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，355z ==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数.21．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误； 对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．22．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.23．AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以12ω=--，∴2131442ωω=--=--=，故A 正确，3211131222244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，21111022ωω++=--++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．24．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 332z i ππ=+=+，则122z =-，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.25．ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确； 所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题. 26．BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确；复数z 的实部为15- ，故C 错误；复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题. 27．AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确； 对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 28．AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若，则，与关系分实数和虚数判断.C.若，分可能均为实数和与的虚部互为相反数分析判断.D.根据，得到，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭解析：AD【分析】A ．根据共轭复数的定义判断.B.若120z z -=，则12z z =，1z 与2z 关系分实数和虚数判断.C.若12z z +∈R ，分12,z z 可能均为实数和1z 与2z 的虚部互为相反数分析判断.D. 根据120z z -=，得到12z z =，再用共轭复数的定义判断.【详解】A ．根据共轭复数的定义，显然是真命题；B ．若120z z -=，则12z z =，当12,z z 均为实数时，则有21z z =，当1z ，2z 是虚数时，21≠z z ，所以B 是假命题；C ．若12z z +∈R ，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，所以C 是假命题；D. 若120z z -=，则12z z =，所以1z 与2z 互为共轭复数，故D 是真命题.故选：AD【点睛】本题主要考查了复数及共轭复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 29．CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.30．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件； 若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.。
(完整版)复数练习题含答案
(完整版)复数练习题含答案一、单选题1．复数z 满足(2)i z z =+，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --2．已知复数z 满足()2i 32i +=+z 则||z =（ ）AB C D 3．设集合A 实数 ，{}B =纯虚数，{}C =复数，若全集SC ，则下列结论正确的是（ ） A ．AB C =B ．A B =C ．()S A B ⋂=∅D ．SSABC4．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i +B ．24i -C ．33i +D ．24i +5．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 6．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．若复数i (2i)z m m =++在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．(1,)-+∞8．若复数()()2i ,z a b a b =+-∈R ，在复平面内对应的点在直线20x y --=上，则a b -=（ ）A ．4-B ．0C ．2D ．49．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ） A ．32-B ．32C ．6-D ．610．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．iD ．1-11．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件12．2021i 1i-=（ ）A ．11i 22+ B ．11i 22-- C ．11i 22-+ D ．11i 22-13．设复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则a b -=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 14．已知i 为虚数单位，则复数1i -+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．()3,1- B ．()1,3- C ．()1,+∞D ．(),3-∞16．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．i18．下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ） A ．若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数B ．已知复数1z ，2z ，3z ，若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==C ．若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，则52a =-D ．12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中,p q 为实数，则5q = 19．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ） A ．12 B ．3C ．D ．920．已知m 为实数，则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题21．已知复数z 满足294i z z +=+，则z =___________.22．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.23．若i(,)i+∈a b a b R 与3+4i 互为共轭复数，则a b -=___________. 24．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________25．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限．26．若复数()2(2)9i()z m m m R =++-∈是正实数，则实数m 的值为________．27．若()1i 1i z +=-，则z =_______ 28．设12z i =-，则z =___________ .29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 30．计算：3i1i+=-___________. 31．设i 为虚数单位，则复数2(1i)1i+-=____．32．若复数()2i m m m -+为纯虚数，则实数m 的值为________.33．若复数1z ，2z 满足112i z =-，234i z =+（i 是虚数单位），则12z z ⋅的虚部为___________．34．已知复数z 为纯虚数且满足1-3z =|z |+3i ，则z =________ 35．已知复数z 满足1z =，则22z i +-的最大值为______. 36．复数121i,22i z z =+=-，则12_________.z z -=37．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________ 38．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.39．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =___________. 40．设i是虚数单位，且12w =-，则21w w ++=______． 三、解答题41．已知复数z满足||z =z 2的虚部为2.(1)求复数z ；(2)设22,,z z z z -在复平面上的对应点分别为A ､B ､C ，求△ABC 的面积. 42．将下列复数表示成三角形式 (1)πtan i,(0,)2θθ+∈； (2)[)1cos isin ,0,2πααα++∈．43．已知复数()2i z a =+，i 43w =-其中a 是实数，(1)若在复平面内表示复数z 的点位于第一象限，求a 的范围； (2)若zw是纯虚数，a 是正实数， ①求a ，②求232023z z z z w w w w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭44．（1）已知设方程α，β是方程220x x a ++=的两根，其中a R ∈，则||||αβ+的值；（2）关于x 的方程243i 0x ax +++=有实根，其中a C ∈，求||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根．45．下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1)1ππcos isin 244⎛⎫- ⎪⎝⎭； (2)1ππcos isin 233⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； (3)13π3πsin isin244⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (4)7π7πcos isin 55+．【参考答案】一、单选题 1．C 2．A 3．D 4．A 5．B7．A 8．B 9．A 10．D 11．B 12．C 13．A 14．B 15．A 16．A 17．B 18．D 19．C 20．C 二、填空题 21．5 22．2- 23．124．12或12##12-或12 25．四 26．3 27．i 2829．12i -##2i+1-3031．1i -+ 32．1 33．-2 34．i 35．13637．239．2i -+ 40．0 三、解答题41．(1)1i z =+或1i z =-- (2)1 【解析】 【分析】（1）设()i ,R z x y x y =+∈，根据已知条件列方程求得,x y ，由此求得z . （2）求得,,A B C 的坐标，从而求得三角形ABC 的面积. (1)设()i ,R z x y x y =+∈，222x y +=①，2222i z x y xy =-+的虚部为2，所以22,1xy xy ==②，由①②解得11x y =⎧⎨=⎩或11y x =-⎧⎨=-⎩. 所以1i z =+或1i z =--. (2)当1i z =+时，22i z =，21i z z -=-， 所以()()()1,1,0,2,1,1A B C -，2AC =，所以三角形ABC 的面积为11212⨯⨯=. 当1i z =--时，22i z =，213i z z -=--， 所以()()()1,1,0,2,1,3A B C ----，2AC =，所以三角形ABC 的面积为12112⨯⨯=.42．(1)1ππsin icos cos 22θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦； (2)当0πα≤<时,2cos cos isin 222ααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 当π2πα≤<时，2cos cos πisin π222ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【解析】（1）根据同角三角函数的商数关系及诱导公式，再结合复数表示的三角形式 即可求解；（2）根据三角函数的二倍角公式及诱导公式，再结合复数表示的三角形式即可求解； (1)()sin 1tan i i sin icos cos cos θθθθθθ+=+=+， π(0,),cos 02θθ∈∴>，1ππtan i sin icos cos 22θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (2)21cos isin 2cos isincos222ααααα++=+2coscos isin 222ααα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ∵当0πα≤<时，π022α≤<，cos 02α>， ∴1cos isin 2cos cos isin 222ααααα⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭， 当π2πα≤<时，π<π22α≤，cos02α≤，∴1cos isin 2coscos isin 222ααααα⎛⎫++=--- ⎪⎝⎭2coscos πisin π222ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 43．(1)1a > (2)①2； ②1-. 【解析】 【分析】（1）化简复数212i z a a =-+，根据复数z 在第一象限，列出不等式组，即可求解；（2）化简复数()()22464383i25aa a a zω--++-=，由zw是纯虚数，求得2a =，化简得到i zω=，结合虚数单位的性质，即可求解.(1)解：由题意，复数()22i 12i z a a a =+=-+，因为复数z 在第一象限，可得21020a a ⎧->⎨>⎩，解得1a >．(2)解：由题意，复数()()()()()()()()2222222i i 43i i i 43i 43i43i 43i 43i a a a a zω++++++===--+- ()()()2222223464383i 48i 4i 3i 6i 3i 16925a a a a a a a a --++-+++++==--，因为zw 是纯虚数，则2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩，解得2a =或12a =-，又因为a 是正实数，则2a =，当2a =时，复数224648i 3i 3i 16i 12i 3ii 2525za a a a ω--++-+-===， 因为41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，n N ∈，所2320232334202i i i i i zz z z ωωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()4678202122352023022i i i i i i i i i i i =++++++++⋅⋅⋅+++()00i i 11=+++--=-．44．（1）()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩；（2）min ||a =3i)+或3i)+．【解析】 【分析】（1）求出判别式4(1)a ∆=-，对a 分类讨论：当01a 时，当0a <时，当1a >时三种情况，分别求出||||αβ+；（2）设0x 为方程的实根，代入原方程，表示出a ，利用基本不等式求出||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根． 【详解】（1）判别式444(1)a a ∆=-=-， ①若0∆，即1a ，则α，β是实根，则2αβ+=-，a αβ=，则2222(||||)2||()22||422||a a αβαβαβαβαβαβ+=++=+-+=-+，故||||αβ+，当01a 时，||||2αβ+=， 当0a <时，||||αβ+=②若∆<0，即1a >，则α，β是虚根，1α=-，1β=-，故||||αβ+==综上：()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩.（2）设0x 为方程的实根，则20043i 0x ax +++=， 所以00043i a x x x =---， 则20020004325||2()2()2818a x x xx x =++=++， 当202025x x =即0x =||min a =当0x =3i)+，当0x =3i)+． 45．(1)不是三角形式，化为三角形式为17π7πcos isin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)不是三角形式，化为三角形式为14π4πcos isin 233⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(3)不是三角形式，化为三角形式为1ππcos isin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (4)是三角形式. 【解析】 【分析】直接利用复数的三角形式求解即可. (1)1ππcos isin 244⎛⎫- ⎪⎝⎭不是三角形式， 1ππcos isin 244⎛⎫- ⎪⎝⎭12⎫=⎪⎪⎝⎭=，其中12r ==，故三角形式为1222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭17π7πcos isin 244⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； (2)1ππcos isin 233⎛⎫-+ ⎪⎝⎭不是三角形式， 1ππcos isin 233⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1122⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭14=-，其中12r ==，故三角形式为1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭14π4πcos isin 233⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； (3)13π3πsinisin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭不是三角形式，13π3πsin isin 244⎛⎫+ ⎪⎝⎭12⎫=⎪⎪⎝⎭，12r ==，故三角形式为12⎫⎪⎪⎝⎭1ππcos isin 244⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； (4)7π7πcosisin 55+是三角形式.。
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一、复数选择题1．复数21i=+（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ） A ．5BC．D ．5i3．已知复数5i5i 2iz =+-，则z =（ ） AB．C．D．4．设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ） A ．[]1,1-B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[]22-,D ．11,00,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦5．若复数z 满足()322iz i i-+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．35 B ．35i - C ．35D ．35i6．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．复数12iz i=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ） AB ．2C ．10D9．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（ ） A ．22z +=B ．22z i +=C ．24z +=D ．24z i +=11．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ．-1B ．1C ．i -D ．i12．已知i 为虚数单位，则43ii=-（ ）A ．2655i + B ．2655i - C ．2655i -+ D ．2655i -- 13．复数22(1)1i i-+=-（ ） A ．1+iB ．-1+iC ．1-iD ．-1-i14．已知i 是虚数单位，设11iz i，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．设复数202011i z i+=-（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限二、多选题16．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =17．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ18．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 19．下列四个命题中，真命题为（ ） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =20．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ） A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =21．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为222．设复数z 满足1z i z+=，则下列说法错误的是（ ） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．z =23．若复数z 满足()1z i i +=，则（ ）A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =24．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z=，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 25．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =- D ．对任意的复数z ，都有20z26．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）．A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 27．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数28．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=29．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z =30．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数D ．纯虚数z 的共轭复数是z -【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．C 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】 . 故选：C 解析：C 【分析】根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】21i =+2(1)(1)(1)i i i -=+-2(1)12i i -=-.故选：C2．B 【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】 ，所以， 故选：B解析：B 【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】(2)21z i i i =+=-，所以|z |=故选：B3．B 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】 由题，得，所以. 故选：B.解析：B 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】由题，得()()()5i 2+i 5i5i 5i 1+7i 2i 2i 2+i z =+=+=---，所以z == 故选：B.4．B 【分析】设，由是实数可得，即得，由此可求出. 【详解】 设，， 则，是实数，，则， ，则，解得， 故的实部取值范围是. 故选：B.解析：B 【分析】设1z a bi =+，由2111z z z =+是实数可得221a b +=，即得22z a =，由此可求出1122a -≤≤. 【详解】设1z a bi =+，0b ≠， 则21222222111a bi a b z z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b -⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 2z 是实数，220bb a b∴-=+，则221a b +=， 22z a ∴=，则121a -≤≤，解得1122a -≤≤，故1z 的实部取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B.5．A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得， 其虚部为， 故选：A.解析：A 【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论． 【详解】 由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z ii i i i ----====-++-+， 其虚部为35， 故选：A.6．B 【分析】先求解出复数，然后根据复数的几何意义判断. 【详解】 因为，所以，故对应的点位于复平面内第二象限.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计解析：B 【分析】先求解出复数z ，然后根据复数的几何意义判断. 【详解】因为(1)2z i i -=，所以()212112i i i z i i +===-+-， 故z 对应的点位于复平面内第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.7．A 【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】 由，知在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题解析：A 【分析】对复数z 进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】 由()()()122112121255i i i z i i i i -===+++-， 知在复平面内对应的点21,55⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限，故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题.8．D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案.因为， 所以，， 所以， 故选:D.解析：D 【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案. 【详解】 因为1z i =+，所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-== 故选:D.9．B 【分析】先设复数，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】 设复数， 由得， 所以，解得，因为时，不能满足，舍去； 故，所以，其对应的解析：B 【分析】先设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出,x y ，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果. 【详解】设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，由22z z i +=得222x yi i +=，所以2022x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，不能满足20x =，舍去；故1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩3z i =-+，其对应的点3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭位于第二象限， 故选：B.10．B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论． 【详解】因为复数对应的点为，所以 ，满足则 故选：B解析：B 【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论． 【详解】因为复数z 对应的点为(,)x y ，所以z x yi =+x ，y 满足22(2)4x y ++=则22z i +=故选：B11．B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得，则答案可求． 【详解】 由， 得， ，则的虚部是1． 故选：．解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z ，则答案可求． 【详解】由(12)43i z i +=+， 得43(43)(12)105212(12)(12)5i i i iz i i i i ++--====-++-， ∴2z i =+，则z 的虚部是1． 故选：B ．12．C 【分析】对的分子分母同乘以，再化简整理即可求解. 【详解】 ， 故选：C解析：C 【分析】对43ii -的分子分母同乘以3i +，再化简整理即可求解. 【详解】()()()434412263331055i i i i i i i i +-+===-+--+， 故选：C13．C 【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得； 【详解】 解： 故选：C解析：C 【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得； 【详解】 解：22(1)1i i-+- ()()()()2211211i i i i i +=-++-+12i i =+-1i =-故选：C14．A 【分析】由复数的除法求出，然后得出，由复数的几何意义得结果.由已知，，对应点为，在第一象限，故选：A.解析：A【分析】由复数的除法求出z i =-，然后得出2z +，由复数的几何意义得结果.【详解】 由已知(1)(1)(1)(1)i i z i i i --==-+-， 222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限，故选：A.15．A【分析】根据复数的运算，先将化简，求出，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】因为，所以，其在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：A.解析：A【分析】根据复数的运算，先将z 化简，求出z ，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】 因为()()()()4202050550512111121111111i i i z i i i i i i i ++++======+-----+， 所以1z i =-，其在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限.故选：A.二、多选题16．AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.解析：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】 因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC17．BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC. 18．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.19．AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确；对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z =，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.20．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 21．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 22．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】 先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---， 所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.23．BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭 解析：BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-， 所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题24．ABC【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解.【详解】对选项由题得.所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-221=422w -+∴===-+.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 的虚部为2,所以选项D 错误. 故选：ABC【点睛】 本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 26．AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误； 令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.27．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确； 对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 3322z i ππ=+=+，则122z =-，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.28．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题． 29．AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C: 解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．30．AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确；当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．。
复数练习题(有答案)
复数练习题(有答案)一、单选题1．设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．22．已知复数z 满足()2i 32i +=+z 则||z =（ ） A ．655B ．13C ．3D ．153．已知复数113i z =+的实部与复数21i z a =--的虚部相等，则实数a 等于（ ） A ．-3 B ．3 C ．-1D ．14．若0a <，则a 的三角形式为（ ） A ．()cos0isin0a + B ．()cos isin a ππ+ C ．()cos isin a ππ-+D ．()cos isin a ππ-- 5．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数i=z ⋅（ ）A ．2i -B ．12i -C ．1+2i -D ．2i --7．已知复数12i1iz -=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．筹四象限 8．设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（ ）A 17B ．4C 7D 59．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ）A ．32-B ．32C ．6-D ．610．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件12．已知复数23i z =-，则()1i z +=（ ） A ．3i - B ．3+3i - C ．3i + D ．3i -+13．若复数z 满足()12i 10z -=，则（ ）A ．24i z =+B ．2z +是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α=14．已知复数z 满足()1i 2i z -=（其中i 为虚数单位），则z =（ ）AB C ．12D ．215．复数z 满足：23i 3=+-z z ，则z =（ ）A ．5B C ．10D 16．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ）A ．1B C ．15D ．517．已知复数1i z a =+（a R ∈），则1a =是z = ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18．已知复数z 满足()21i 24i z -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．i19．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件20．设i为虚数单位，则)10i 的展开式中含2x 的项为（ ）A ．6210C x - B ．6210C x C ．8210C x -D ．8210C x 二、填空题21．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R，若z =，则t 的值为___________. 22．若i 为虚数单位，复数3i z =+，则表示复数1iz+的点在第_______象限. 23．若复数z 满足i 2022i z ⋅=-（i 是虚数单位），则z 的虚部是___________. 24．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 25．若复数2iiz -=-，则z =_______． 26．若()1i 1i z +=-，则z =_______ 27．设i是虚数单位，且12w =-，则21w w ++=______． 28．设z C ∈，且1i 0z z +--=，则i z +的最小值为________. 29．已知复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，则||z =________.30．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________. 31．若a ∈R ，且i2ia ++是纯虚数，则a =____． 32．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．33．已知23iz-＝－i ，则复数z ＝________． 34．复数1515cos77isin ππ+的辐角主值是________． 35．已知复数12,z z ，满足121z z ==，且12z z +=，则12z z =________．36．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________ 37．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________. 38．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.39．若复数22(9)(23)i z m m m =-++-是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.40．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________. 三、解答题 41．定义运算ab ad bc c d=-，如果()()32i 3i 1x y x y x y++++=-，求实数x ，y 的值．42．设复数z满足：()2i z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，且1z -是z 和2z -的等比中项，求z .43．（1）若复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示实数，求实数m 的值 ；（2）若复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示纯虚数，求实数m 的值. 44．已知复数()()211i z m m =-++，m R ∈．(1)若z 对应复平面上的点在第四象限，求m 的范围； (2)若z 是纯虚数，求m 的值．45．已知复数()21i z a =+，243i z =-，其中a 是实数． (1)若12i z z =，求实数a 的值；(2)若12z z 是纯虚数，a 是正实数，求23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【参考答案】一、单选题 1．A 2．A 3．C 4．C 5．C 6．D 7．C 8．A 9．A 10．B 11．B 12．B 13．D14．A 15．D 16．A 17．A 18．B 19．A 20．A 二、填空题21．2或2- 22．四 23．2022- 2425．12i - 26．i 27．028．2. 29．2 30．2 31．12-##0.5- 32．8333．3＋2i 34．7π35．12- 36．2 37．1 38．2 39．12 40．13i + 三、解答题41．1x =-，2y = 【解析】 【分析】根据题意得到()()()3i 32i x y x x y y +++=++，列出方程组求解即可. 【详解】 由定义运算ab ad bc c d=-，得32i 32i 1x y x y y y+=++-，所以()()()3i 32i x y x x y y +++=++因为x ，y 为实数，所以有323x y x yx y +=+⎧⎨+=⎩，解得1x =-，2y =.42．1z 【解析】 【分析】设()i ,z x y x y R =+∈，化简()2i z ，根据该复数对应的点在第二、四象限的角平分线上，得到x ，y 的关系，然后由2|1||||2|z z z -=⋅-，2||z z z =求解. 【详解】解：设()i ,z x y x y R =+∈，则()((2i 22i z x y y x ⎡⎤=-++⎣⎦， 因为该复数对应的点在第二、四象限的角平分线上，所以((220x y y x ⎡⎤-++=⎣⎦即y =则()i ,z x x R =∈， ∵2|1||||2|z z z -=⋅-，2||z z z =∴()()11z z --=()1z z z -++=()22212z x =-228441x x x =-+x =∴1z ，43．（1）0m =或3；（2）2m = 【解析】【分析】（1）由虚部为0直接求解即可；（2）由实部为0，虚部不为0直接求解即可. 【详解】（1）由复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示实数，可得230m m -=，解得0m =或3；（2）由复数22(56)(3)i z m m m m =-++-表示纯虚数，可得2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得2m =. 44．(1)(),1m ∈-∞- (2)1m = 【解析】 【分析】（1）由题知21010m m ⎧->⎨+<⎩，再解不等式组即可；（2）由题知21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，再解方程即可.(1)解：∵z 对应复平面上的点在第四象限，∴21010m m ⎧->⎨+<⎩，解得1m <-.∴(),1m ∈-∞- (2)解：∵z 是纯虚数，∴21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，∴1m =45．(1)2 (2)1i -+ 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算及复数相等的概念求解（2）利用12z z 为纯虚数求a ，从而得12i zz =，然后通过复数的周期性进行求解即可 (1)∵()21i z a =+，243i z =-，12i z z = ∴()22i 12i 34i a a a +=-+=+从而21324a a ⎧-=⎨=⎩，解得a =2所以实数a 的值为2． (2)依题意得：()()()()()2212i i 43i 43i 43i 43i a a z z +++==--+ ()()()()2222222222i i 43i 48i 4i 3i 6i 3i 16943i a a a a a a ++++++++==---()()22464383i25a a a a --++-=因为12z z 是纯虚数，所以：2246403830a a a a ⎧--=⎨+-≠⎩，从而a =2或12a =-；又因为a 是正实数，所以a =2．当a =2时，22124648i 3i 3i 25z a a a a z --++-=16i 12i 3ii 25+-==， 因为1i i =，2i 1=-，3i i =-，41i =，……，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，4i 1n =，（n N ∈）所以23202211112222z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2342022i i i i i =++++⋅⋅⋅+()()()23456789102019202020212022i i i i i i i i i i i i i i =++++++++++⋅⋅⋅++++2i i 000=++++⋅⋅⋅+1i =-+所以232022111122221i z z z z z z z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
(完整版)复数经典例题
经典例题透析类型一：复数的有关概念例1．已知复数22276(56)()1a az a a i a Ra-+=+--∈-，试求实数a分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.思路点拨：根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.解析：（1）当z为实数时，有2256010a aa⎧--=⎪⎨-≠⎪⎩1661a aaa=-=⎧⇒⇒=⎨≠±⎩或，∴当6a=时，z为实数. （2）当z为虚数时，有2256010a aa⎧--≠⎪⎨-≠⎪⎩16161a aa aa≠-≠⎧⇒⇒≠±≠⎨≠±⎩且且，∴当a∈（－∞，－1）∪（－1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z为虚数. （3）当z为纯虚数时，有222560761a aa aa⎧--≠⎪⎨-+=⎪-⎩166a aaa≠-≠⎧⇒⇒∈∅⎨=⎩且∴不存在实数a使z为纯虚数.总结升华：由于a∈R，所以复数z的实部与虚部分为22761a aa-+-与256a a--.①求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；②求解第（2）小题时，同样要注意实部有意义的问题；③求解第（3）小题时，既要考虑实数为0（当然也要考虑分母不为0），还需虚部不为0，两者缺一不可.举一反三：【变式1】设复数z=a+bi （a 、b ∈R ），则z 为纯虚数的必要不充分条件是（ ）A ．a=0B ．a=0且b ≠0C ．a ≠0且b=0D ．a ≠0且b ≠0【答案】A ；由纯虚数概念可知：a=0且b ≠0是复数z=a+bi （a 、b ∈R ）为纯虚数的充要条件.而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择支的情况，应选择A.【变式2】若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A.1B.2C.1或2D.-1【答案】B ；∵2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，∴2320a a -+=且10a -≠，即2a =.【变式3】如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m=（ ）A ．1B ．－1 CD．【答案】B ；【变式4】求当实数m 取何值时，复数22(2)(32)z m m m m i =--+-+分别是：（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数.【答案】（1）当2320m m -+=即1m =或2m =时，复数z 为实数；（2）当2320m m -+≠即1m ≠且2m ≠时，复数z 为虚数；（3）当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--0230222m m m m 即1m =-时，复数z 为纯虚数. 类型二：复数的代数形式的四则运算例2. 计算：（1）()n i n N +∈； (2)8(1)i +(3)(12)(12)i i +÷-; (4)ii i i 4342)1)(41(++++- 解析：(1)∵21i =-，∴32i i i i =⋅=-，4221i i i =⋅=，同理可得：当41()n k k N +=+∈时，4144()k k k i i i i i i +=⋅=⋅=当42()n k k N +=+∈时，42421k k i i i +=⋅=-，当43()n k k N +=+∈时，4343k k ii i i +=⋅=- 当44()n k k N +=+∈时，4444()1k k k i i i i =⋅==，∴4114243144n i n k k N n k k N i i n k k N n k k N =+∈⎧⎪-=+∈⎪=⎨-=+∈⎪⎪=+∈⎩（，）（，）（，）（，）()n N +∈ (2)8(1)i +24444[(1)](2)216i i i =+=== (3)(12)(12)i i +÷-1212i i+=-2222(12)(12)1(2)43434(12)(12)1(2)555i i i i i i i i i ++++-+====-+-+- (4)i i i i 4342)1)(41(++++-1432434i i i +-++=+227(7)(34)3434i i i i ++-==++ 21432825251.2525i i i i ++--===- 总结升华：熟练运用常见结论： 1）ni 的“周期性”（n N +∈）2）2(1)2i i ±=±3）22()()a bi a bi a b +-=+ 举一反三：【变式1】计算：（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)（2）(12)(34)(2)i i i +--（3）23100i i i i ⋅⋅⋅⋅L（4）3322(1)(1)(1)(1)i i i i +--+-- ； 【答案】（1）(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)=[(5―2)+(―6―1)i]―(3+4i)=(3―7i)―(3+4i)=(3―3)+(―7―4)i=―11i.（2）(12)(34)(2)(112)(2)247i i i i i i +--=+-=-（3）231001210050504126222()1i i i i i i i i i +++⋅⋅⋅⋅===⋅==-L L（4）332222(1)(1)(1)(1)(1)(1)2(1)2(1)(1)(1)2(2)4i i i i i i i i i i i i i i i +--+⋅+---++-==+----2214i i⋅== 【变式2】复数()221i i +=( )A.4-B.4C.4i -D.4i【答案】A ；()()222121212244i i i i i i i +=+-=⨯==-【变式3等于( )i +i 【答案】A1-i i ===，故选A 【变式4】复数31()i i -等于( )A.8B.－8C.8iD.－8i【答案】D ；333311()()(2)88i i i i i i i--=+===-. 类型三：复数相等的充要条件例3、已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(2x ―1)+(3―y)i=y ―i ，求x 、y.思路点拨：因x ∈R ，y 是纯虚数，所以可设y=bi （b ∈R 且b ≠0），代入原式，由复数相等的充要条件可得方程组，解之即得所求结果.解析：∵y 是纯虚数，可设y=bi （b ∈R ，且b ≠0），则(2x ―1)+(3―y)i ＝(2x ―1)+(3―bi )i ＝（2x －1+b ）+3i ，y ―i =bi －i=（b －1）i由(2x ―1)+(3―y)i=y ―i 得（2x ―1+b ）+3i=（b ―1）i ， 由复数相等的充要条件得42103132b x b b x =⎧-+=⎧⎪⇒⎨⎨-==-⎩⎪⎩， ∴32x =-，4y i =. 总结升华：1. 复数定义：“形如z a bi =+（,a b R ∈）的数叫复数”就意味凡是复数都能写成这一形式，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实，把复数问题转化为实数问题来研究.这是解决复数问题的常用方法.2．复数相等是复数问题实数化的有效途径之一，由两复数a+bi 与c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）相等的充要条件是a=c 且b=d ，可得到两个实数等式.3.注意左式中的3―y 并非是(2x ―1)+(3―y)i 的虚部，同样，在右边的y ―i 中y 也并非是实部.举一反三：【变式1】设x 、y 为实数，且5______1-1-21-3x y x y i i i+=+=，则 【答案】由51-1-21-3x y i i i +=得5(1)(12)(13)2510x y i i i +++=+ 即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i)，即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0，故52-50-154-1505x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩,解得 ∴4x y +=【变式2】若z ∈C 且(3+z)i=1(i 为虚数单位)，则z=____.【答案】设z=a+bi(a,b ∈R)，则(3+z)i=-b+(3+a)i=1由复数相等的充要条件得 b=-1且a=-3，即z=-3-i.【变式3】设复数z 满足12i i z+=，则z =（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i - D ．2i + 【答案】12(12)2211i i i i z i i ++-====---，故选C. 类型四：共轭复数例4：求证：复数z 为实数的充要条件是z z =思路点拨：需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念解析：设z a bi =+（a ，b ∈R ），则z a bi =- 充分性：--0;z z a bi a bi b b b z R =⇒+=⇒=⇒=⇒∈Q 必要性：,0-z R b a bi a bi z z ∈=⇒+=⇒=Q综上，复数z 为实数的充要条件为z z =举一反三：【变式1】,x y R ∈，复数(32)5x y xi ++与复数(2)18y i -+的共轭复数相等，求x ，y. 【答案】(2)1818(2)y i y i -+=+-3218-218-(-2)(32)52-512x y x y i x y xi y x y +==⎧⎧∴=++⇒⇒⎨⎨==⎩⎩ 【变式2】若复数z 同时满足2z z i -=，z iz =（i 为虚数单位），则z=________.【答案】―1+i【变式3】已知复数z=1+i ，求实数a 、b 使22(2)az bz a z +=+.【答案】∵z=1+i ，∴2(2)(2)az bz a b a b i +=++-，22(2)(2)44(2)a z a a i +=+-++2(4)4(2)a a a i =+++∵a 、b 都是实数，∴由22(2)az bz a z +=+得224,24(2).a b a a a b a ⎧+=+⎨-=+⎩ 两式相加，整理得a 2+6a+8=0解得a 1=―2，a 2=―4，对应得b 1=－1，b 2=2.∴所求实数为a=―2，b=―1或a=－4，b=2.类型五：复数的模的概念例5、已知数z 满足z+|z|=2+8i ，求复数z.法一：设z=a+bi （a ，b ∈R），则||z =代入方程得28a bi i +=+.∴28a b ⎧⎪=⎨=⎪⎩，解得158a b =-⎧⎨=⎩∴z=－15+8i法二：原式可化为：z=2－|z|+8i ，∵|z|∈R ，∴2－|z|是z 的实部.于是||z =|z|2=68－4|z|+|z|2，∴|z|=17，代入z=2-|z|+8i得z=－15+8i.举一反三：【变式】已知z=1+i ，a ，b 为实数.（1）若234z z ω=+-，求||ω； （2）若2211z az b i z z ++=--+，求a ，b 的值. 【答案】（1）2(1)3(1)4i i ω=++--2341i i i =+--=-∴||ω=（2）∵2222(1)(1)1(1)(1)1z az b i i a b z z i i ++++++=-++-++(2)(2)()a i b a a b a i i+++==+-+ ∴(2)()1a a b i i +-+=-∴21112a a ab b +==-⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 类型六：复数的几何意义例6、已知复数22(23)(43)z m m m m i =--+-+（m ∈R ）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z （1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.思路点拨：根据点Z 的位置确定复数z 实部与虚部取值情况.解析：（1）点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2-43031m m m m +=⇒==或∴当31m m ==或时，点Z 在实轴上.（2）点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，故2230m m --=-13m m ⇒==或∴当-13m m ==或时，点Z 在虚轴上.3）点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0由22230430m m m m ⎧-->⎪⎨-+>⎪⎩ ，解得m ＜―1或m ＞3∴当m ＜―1或m ＞3时，点Z 在第一象限.终结升华：复平面上的点与复数是一一对应的，点的坐标的特点即为复数实部、虚部的特征.举一反三：【变式1】在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】∵22ππ<<，∴sin 20>，cos20<，故相应的点在第四象限，选D.【变式2】已知复数2(352)(1)z m m m i =-++-(m R ∈)，若z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围.【答案】∵2(352)(1)z m m m i =-+-- ∴⎩⎨⎧<-->+-0)1(02532m m m ，解得1m >.∴m 的取值范围为(1,)m ∈+∞.【变式3】已知z 是复数，2z i +和i-z z 均为实数，且复数2()z ai +对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.【答案】设z x yi =+(,x y R ∈)，∴2(2)z i z x y i +==++，由题意得2y =-， 2111(2)(2)(22)(4)22555z x i x i i x x i i i -==--=++---， 由题意得4x =，∴42z i =-∵22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-， 根据已知条件有212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，解得26a <<， ∴实数a 的取值范围是(2,6)a ∈.【变式4】已知复数z 对应的点在第一象限的角平分线上，求复数1z zω=+在复平面上对应的点的轨迹方程.【答案】设z=a+ai（a＞0）则1111()()22 z a ai a a i z a ai a a ω=+=++=++-+令1212x aay aa⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消a得x2－y2=2（x≥.。
高中复数经典练习题(含答案)
高中复数经典练习题(含答案)一、单选题1．已知m 为实数，则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．设集合A 实数 ，{}B =纯虚数，{}C =复数，若全集SC ，则下列结论正确的是（ ） A ．AB C =B ．A B =C ．()S A B ⋂=∅D ．SSABC3．复数 21(1)i 1z a a =+--是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1或-1 B ．1 C ．-1D ．0或-14．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i +B ．24i -C ．33i +D ．24i +5．已知 i 是虚数单位，复数412⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．在复平面内，复数z 满足()1i 3i z -=-+，则复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．复数3i(43i )-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4- 9．已知复数12z i =-，则z 在复平面内对应的点关于虚轴对称的点是（ ）A ．(1,2)-B ．(1,2)C ．(2,1)-D ．(1,2)--10．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．在复平面内O 为坐标原点，复数()1i 43i z =-+，27i z =+对应的点分别为12,Z Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ）A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π12．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ） AB ．5C D ．213．已知复数23i z =-，则()1i z +=（ ） A ．3i - B ．3+3i - C ．3i + D ．3i -+ 14．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．iD ．1-15．若复数z 满足()12i 10z -=，则（ ）A ．24i z =+B ．2z +是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α=16．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i + B ．1917i + C ．1117i - D ．1923i +17．已知z1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于（ ） A ．1 B ．12 C ．2 D ．18．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i19．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -20．设i 为虚数单位，则)10i 的展开式中含2x 的项为（ ）A ．6210C x - B ．6210C x C ．8210C x -D ．8210C x 二、填空题21．若i 为虚数单位，复数z 满足42ii 12iz --=+，则z =___________.22．若复数z 满足i 2022i z ⋅=-（i 是虚数单位），则z 的虚部是___________. 23．已知复数ππsin i cos 33z =+，则z =________． 24．复数2ii 1+-的共轭复数是_______． 25．若复数2iiz -=-，则z =_______． 26．设m ∈R ，复数z ＝（2＋i ）m 2－3（1＋i ）m －2（1－i ），若z 为非零实数，则m ＝________．27．若复数(1i)+(2+3i)z =-（i 为虚数单位），则z =__________.28．已知复数1i z =+，则2z z+=____________29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12z z =_______. 30．若()i 1)（，x y x x y R +=-∈，则2x y +的值为__________. 31．设i 为虚数单位，则复数2(1i)1i+-=____．32．若复数1z ，2z 满足112i z =-，234i z =+（i 是虚数单位），则12z z ⋅的虚部为___________．33．已知复数z 满足()1i 42i -=+z ，则z =_________.34．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______． 35．复数1515cos77isin ππ+的辐角主值是________． 36．已知m R ∈，复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____________37．i 是虚数单位，则1i1i+-的值为__________.38．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.39．设i是虚数单位，复数z =，则z =___________. 40．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 三、解答题41．设复数z满足：()2i z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，且1z -是z 和2z -的等比中项，求z .42．已知复数2(2)()i z m m m =-+-，其中i 是虚数单位，m 为实数． (1)当复数z 为纯虚数时，求m 的值；(2)当复数z 在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围．43．已知O 为坐标原点，向量12,OZ OZ 分别对应复数12z z ，，且12i z +和12iz-均为实数，211iz z =+，（z 为z 的共轭复数）. (1)求复数1z 和2z ；(2)求以12,OZ OZ 为邻边的平行四边形的面积.44．已知复数()()2224i z m m m =--+-（其中，m R ∈，i 为虚数单位）在①0z >；②z 为纯虚数；③z 的实部与虚部相等．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题． (1)若______，求实数m 的值；(2)若复数2(1i)1z m -++的模为5，求实数m 的值．45．已知ABC 中，AB ，AC 对应的复数分别为12i -+，23i --，通过几何作图求出这两个复数和与差对应的向量．【参考答案】一、单选题 1．C 2．D 3．C 4．A 5．C 6．C 7．B 8．C 9．D 10．B 11．C 12．A 13．B14．D15．D16．B17．D18．D19．B20．A二、填空题21．1 22．2022-23．124．13i-+22 25．12i-26．12728．29．12i--##2i+1 30．131．1i-+ 32．-233．13i+4,6 34．[]π35．70,3 36．() 37．138．239．40．三、解答题41．1z【解析】 【分析】设()i ,z x y x y R =+∈，化简()2i z ，根据该复数对应的点在第二、四象限的角平分线上，得到x ，y 的关系，然后由2|1||||2|z z z -=⋅-，2||z z z =求解. 【详解】解：设()i ,z x y x y R =+∈，则()((2i 22i z x y y x ⎡⎤=-++⎣⎦， 因为该复数对应的点在第二、四象限的角平分线上，所以((220x y y x ⎡⎤-++=⎣⎦即y =则()i ,z x x R =∈， ∵2|1||||2|z z z -=⋅-，2||z z z =∴()()11z z --=()1z z z -++=()22212z x =-228441x x x =-+12x -=∴1z ， 42．(1)2 (2)()0,1 【解析】 【分析】（1）由复数z 为纯虚数，得到220m m m -=⎧⎨-≠⎩，即可求解； （2）由复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，得出不等式组2200m m m -<⎧⎨-<⎩，即可求解. (1)解：由题意，复数2(2)()i z m m m =-+-， 因为复数z 为纯虚数，则满足2200m m m -=⎧⎨-≠⎩，解得2m =. (2)解：由复数2(2)()i z m m m =-+-，因为复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，可得2200m m m -<⎧⎨-<⎩，解得01m <<， 所以m 的取值范围为()0,1.43．(1)142i z =-，2z =(2)12 【解析】 【分析】（1）设()1i ,z a b a b =+∈R ，根据复数代数形式的加法、除法运算法则化简12i z + 、12iz -，再根据复数的类型求出参数a 、b ，即可求出1z ，再化简2z ，从而求出其模；（2）首先根据复数的几何意义求出1Z 、2Z 的坐标，即可求出12OZ Z S ，从而求出平行四边形的面积； (1)解：设()1i ,z a b a b =+∈R ，则由()12i 2i z a b +=++为实数，20b ∴+=b 20∴+=，2b ∴=-．则由()()()()1i 2i i 22i 2i 2i 2i 2i 55a b z a b a b a b +++-+===+---+为实数，可得205a b+=， 4a ∴=，所以142i z =-，211142i 42i i 4i i iz z =+=++=+-=+，所以2z =(2)解：因为142i z =- ，24i z =+，所以()14,2Z -、()24,1Z ，所以1214362OZ Z S =⨯⨯=， 所以以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形的面积12212OZ Z S S ==．44．(1)选①, 2m =-; 选②, 1m =-; 选③, 2m =; (2)2m =或4m =-. 【解析】 【分析】（1）选①根据题意知复数为正实数，由实部大于0，虚部等于0列出式子求解，选②根据纯虚数知实部为0，虚部不为0求解，选③由实部虚部相等列方程求解；（2）化简复数，根据复数的模列出方程求解. (1)若选①，因为0z >，则222040m m m ⎧-->⎨-=⎩，解得2m =-；若选②，因为z 为纯虚数，则222040m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得1m =-；若选③，因为z 的实部与虚部相等，则2224m m m --=-，解得2m =. (2)因为()()22222(1i)124i i+1=(1)4i z m m m m m m m -++=--+------，所以22(1)(4)5m --+-=， 解得2m =或4m =-. 45．见解析 【解析】 【分析】分别表示出复数对应的向量，结合向量的运算求解. 【详解】以A 为复平面的坐标原点，以,AB AC 为邻边作平行四边形，如图，所以12i -+，23i --的和对应的向量为AD .()()12i 23i -+---对应的向量为CB ，如图，()()23i 12i ----+对应的向量为BC ，如图，。
(完整版)复数练习题
(完整版)复数练习题一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为()1,2-、()1,1-，则复数21z z 的共轭复数的虚部为( )A ．15- B ．15 C ．1i 5- D ．1i 52．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ）A ．32- B ．32 C ．6- D ．63．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若0a <，则a 的三角形式为（ ）A ．()cos0isin0a +B ．()cos isin a ππ+C ．()cos isin a ππ-+D ．()cos isin a ππ-- 5．向量1OZ ，2OZ ，分别对应非零复数z 1，z 2，若1OZ ⊥2OZ ，则12Z Z 是（ ）A ．负实数B ．纯虚数C ．正实数D ．虚数a ＋b i(a ，b ∈R ，a ≠0) 6．已知x ，R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 2y y x ++=-，则x y +的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 7．已知复数12i 1i z -=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．筹四象限 8．已知i 是虚数单位，复数12i i z -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i --B ．2i -+C ．2i -D ．2i + 9．已知复数2i i +=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．复数1i i+（其中i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 11．复数1i 1i +-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i - 12．已知复数()()31i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ）.A ．()3,1-B ．()1,3-C ．()1,+∞D ．(),3-∞13． 设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 14．已知复数z 满足()43i 5i z +=，则z =（ ）A ．1BC ．15 D ．515．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 16．设向量OP ，PQ ，OQ 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么（ ） A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0 17．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ） A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i 18．设O 为原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA 对应的复数为（ ） A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i 19．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件20．已知复数z 满足(1i)32i +=+z ，则z 的虚部为（ ）A ．12B ．1i 2- C ．12-D ．1i 2 二、填空题21．若复数2(1i)34i z +=+，则z =__________．22．已知复数z i =，i 为虚数单位，则z =______ 23．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________24．复数2i z a =+，a ∈R ，若13i i +-z 为实数，则=a ________．25．若复数z 满足i 3i=i z -+，则z =________. 26．已知复数ππsin i cos 33z =+，则z =________．27．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______．28．设i 是虚数单位，且12w =-，则21w w ++=______． 29．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）. 30．已知复数z 满足294i z z +=+，则z =___________.31．已知i 是虚数单位，复数z 满足322i z =+，则z =___________.32．已知复数z 满足()()1i 2i z t t +=∈R ，若z =，则t 的值为___________. 33．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2z z-＝________． 34．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．35．已知i 是虚数单位，则202220211()1+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭i i i ___________．36．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________37．已知z =22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 38．设复数20211i 1iz -=-（i 为虚数单位），则z 的虚部是_______． 39．设i 是虚数单位，复数z =，则z =___________.40．已知复数()3i R i b z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 三、解答题 41．在复平面内，复数()22234i z a a a a =--+--（其中i 为虚数单位，R a ∈）．(1)若复数z 为纯虚数，求a 的值；(2)若复数z >0，求a 的值．42．（1）设复数z 满足24(1i)(12i)z --=-，求复数z ；（2）若复数z 满足(2i)(1i)1z z ⋅+=⋅-+，求复数z ；（3）已知复数()2256215i m m m m +++--z=，当实数m 为何值时，复数z 对应的点Z 在第四象限.43．如图，向量OZ 与复数1i -+对应，把OZ 按逆时针方向旋转120°，得到OZ ．求向量OZ '对应的复数（用代数形式表示）．44．已知复平面内正方形的三个顶点所对应的复数分别是12i +，2i -+，12i --，求第四个顶点所对应的复数．45．根据复数的几何意义证明：121212z z z z z z -≤+≤+．【参考答案】一、单选题1．A2．A3．A4．C5．B6．B8．B9．D10．D11．B12．A13．D14．A15．A16．D17．D18．D19．B20．A二、填空题21．825i 625- 22．123．12或12##12-或12 24．3-2526．127．1i -##i+1-28．029．13i +##3i+130．53132．2或2-33．－1＋2i##2i －1343536．237．039．40．三、解答题41．(1)2a =(2)4a =【解析】【分析】（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得a 的值.（2）根据复数能比较大小列式，从而求得a 的值.(1)由于z 为纯虚数，所以2220340a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，可得2a =． (2)由于z 与0可以比较大小，所以z 为实数，且0z >，所以2220340a a a a ⎧-->⎨--=⎩，可得4a =． 42．（1）2；（2）21i 3z =-；（3）25m -<<.【解析】【分析】（1）根据复数的四则运算及复数的摸公式即可求解；（2）利用复数的四则运算、两个复数相等及共轭复数即可求解；（3）复数的几何意义得出点Z 的坐标，再根据点在第四象限的特点即可求解.【详解】（1）()()()()242i 42i 12i 4(1i)10i 2i 12i 12i 12i 12i 5z +++--=====---+，∴2z =（2）设i z a b =+()R a ∈、b ，则()()()i 2i i (1i)1a b a b +⋅+=-⋅-+，化简得(2)(2)i (1)()i a b a b a b a b -++=-+-+，根据对应相等得：212a b a b a b a b-=-+⎧⎨+=--⎩，解得1a =，23b =-，所以21i 3z =-.（3）由()2256215i m m m m +++--z=，得 ()2256,215m m m m ++--Z ， 因为Z 对应的点在第四象限，所以225602150m m m m ⎧++>⎨--<⎩，解得：25m -<<， 故而当25m -<<时，复数Z 对应的点在第四象限.43．1313i 22-+- 【解析】【分析】复数的旋转用相应的三角函数公式即可.【详解】如上图，将Z 逆时针旋转到'Z ，即是向量'OZ 对应的复数：()()()1313131i cos120isin1201i 2︒︒⎛⎫-+-++=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 1313-+. 44．2i -【解析】【分析】 根据复数的几何意义以及正方形的性质进行求解即可．【详解】设复数12i +，2i -+，12i --对应的点分别为,,A B C则(1,2)A ，(2,1)B -，(1,2)C --，所以()()3,1,1,3AB BC =--=-，所以033·AB BC =-+=，所以90ABC ∠=︒ 设第四个点为(,)D x y ，则按照,,,A B C D 的顺序才能构成正方形，所以AB DC =，即(3-，1)(1x -=--，2)y --即1321x y --=-⎧⎨--=-⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩， 则(2,1)D -，对应的复数为2i -，故答案为：2i -45．证明详见解析【解析】【分析】结合三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边来证得不等式成立.【详解】当12,z z 方向相同时，121212z z z z z z -<+=+；当12,z z 方向相反时，121212z z z z z z -=+<+；当12,z z 不共线时，1212,,z z z z +满足三角形的三边，根据三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边可知： 121212z z z z z z -<+<+. 综上所述，不等式121212z z z z z z -≤+≤+成立.。
(完整版)复数练习题含答案
(完整版)复数练习题含答案一、单选题1．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12- B ．1i 2C ．32-D ．3i 2-2．复数(2i 的虚部为（ ）A ．2B ．C ．2-D ．03．复数 21(1)i 1z a a =+--是实数，则实数a 的值为（ ） A ．1或-1 B ．1 C ．-1D ．0或-14．复数(sin 10°＋icos 10°)(sin 10°＋icos 10°)的三角形式是（ ） A ．sin 30°＋icos 30° B ．cos 160°＋isin 160° C ．cos 30°＋isin 30° D ．sin 160°＋icos 160°5．已知x ，R y ∈，i 为虚数单位，且()2i 2y y x ++=-，则x y +的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．下列命题正确的是（ ）①若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数；③若复数12,z z 满足12=z z ，则12=±z z ； ④若复数12,z z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．①③ 7．2243i 4i a a a a --=+，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4-8．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．设复数21iz =-+，则z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（1，-1）D ．（-1，-1）10．已知m 为实数，则“1m =”是“复数()211i z m m =-++为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知复数324i 1iz +=-，则z =（ ）A B C ．D ．12．下列命题正确的是（ ） ①若复数z 满足2R z ∈，则R z ∈； ②若复数z 满足i R z∈，则z 是纯虚数； ③若复数1z ，2z 满足12=z z ，则12=±z z ；④若复数1z ，2z 满足2121z z z =且10z ≠，则12=z z ．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 13．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2 B ．1 C ．i D ．1- 14．已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（ ）A ．4BC ．2D ．1015．设复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则a b -=（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．216．已知复数z 满足()21i 68i z -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．10B ．5C D ．17．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-18．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ） A ．12 B ．3C ．D ．919．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |z ＝（ ）A ．1＋2iB ．－1－2iC ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i20．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+ C ．2i - D ．2i +二、填空题21．若i 为虚数单位，复数z 满足42ii 12iz --=+，则z =___________.22．已知i是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.23．已知复数zi =，i 为虚数单位，则z =______ 24．已知复数z 满足211iz -=+，则z 的最小值为___________； 25．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______． 26．设i 是虚数单位，若复数z ＝1＋2i ，则复数z 的模为__________. 27．设12z i =-，则z =___________ .28．化简：i 是虚数单位，复数()2021i 34i z =+=_________.29．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.30．设z C ∈，且1i 0z z +--=，则i z +的最小值为________. 31．若i 是虚数单位，则复数310i3i=-________．（写成最简结果） 32．若复数1z ，2z 满足112i z =-，234i z =+（i 是虚数单位），则12z z ⋅的虚部为___________．33．已知复数z 为纯虚数且满足1-3z =|z |+3i ，则z =________34．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______．35．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为________．36．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 37．复数1077(cosisin )66ππ+表示成代数形式为________． 38．设复数()21(1)i m m -++为纯虚数，则实数m 的值为________．39．若复数z 满足|z －i|＝3，则复数z 对应的点Z 的轨迹所围成的图形的面积为________.40．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.三、解答题41．已知z 是虚数，求证：4z z+是实数的充要条件是2z =．42．已知()122i z x =+-，()()2234i z y x =++-，其中,x y 均为实数，且12z z =，求43．已知复数64i1im z -=+（,i m ∈R 是虚数单位）． (1)若z 是实数，求实数m 的值；(2)设z 是z 的共轭复数，复数4z z -在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m 的取值范围．44．若复数()()2222i z a a a a =-+--对应的点在虚轴上，求实数a 应满足的条件．45．如图，向量OZ 与复数1i -+对应，把OZ 按逆时针方向旋转120°，得到OZ ．求向量OZ '对应的复数（用代数形式表示）．【参考答案】一、单选题 1．C 2．C 3．C 4．B 5．B 6．B 7．C 8．A 9．D 10．C 11．B13．D14．B15．A16．B17．B18．C19．D20．B二、填空题21．12223．1241##1-25．1i-##i+1-262728．－4＋3i##3i-4 29．2-.30．231．13i+##3i1+ 32．-233．i4,634．[]35．8336．－1＋2i##2i－15i##－5i－37．－38．139．9π40．35三、解答题41．证明见解析 【解析】 【分析】设()i ,,0z x y x y R y =+∈≠，由复数运算化简得2222444i xyz x y z x y x y⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭；当2z =时，可得42z x R z +=∈，证得充分性；当4z z+是实数时，可得224x y +=，必要性得证；由此可得结论.【详解】设()i ,,0z x y x y R y =+∈≠， 则2222224444i 44i i i i x y x y z x y x y x y zx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 当2z =时，224x y +=，则2240y y x y -=+，2242xx x R x y +=∈+， 42z x R z ∴+=∈，即4z z +是实数，充分性成立； 当4z z+是实数时，2240yy x y-=+，又0y ≠，224x y ∴+=，即2z =，必要性成立；4z z∴+是实数的充要条件是2z =. 42．21x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】 【分析】根据复数相等条件可构造方程组求得结果. 【详解】12z z =，23242y x x +=⎧∴⎨-=-⎩，解得：21x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩. 43．(1)32m =- (2)32m > 【解析】 【分析】（1）根据除法运算化简，再由复数为实数建立方程求解即可；（2）根据共轭复数的概念化简复数，再由复数对应的点在第一象限建立不等式求解即可.(1)(64i)(1i)32(32)i (1i)(1i)m z m m --==--++-，因为z 为实数，所以320m +=，解得32m =-. (2)因为z 是z 的共轭复数，所以32(32)i z m m =-++， 所以469(1015)i z z m m -=-++因为复数4z z -在复平面上对应的点位于第一象限， 所以690m ->，同时10150m +>解得32m >. 44．a ＝0或2 【解析】 【分析】y 轴为虚轴，虚轴上的数，实部为零，据此即可求解. 【详解】∵复数()()2222i z a a a a =-+--对应的点在虚轴上，∴220a a -=，解得2a =或0a =. 45．1313i 22-+- 【解析】 【分析】复数的旋转用相应的三角函数公式即可. 【详解】如上图，将Z 逆时针旋转到'Z ，即是向量'OZ 对应的复数：()()()1313131i cos120isin1201i 2︒︒⎛⎫-+-++=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，.。
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一、复数选择题1．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则()12z i ⋅+的模长为（ ）A ．6 BC ．5D 2．已知,a b ∈R ，若2()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ）A ．2a >或1a <-B ．1a >或2a <-C ．12a -<<D ．21a -<<3．若复数()()24z i i =--，则z =（ ）A ．76i --B ．76-+iC ．76i -D ．76i + 4．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ）A B ．C ．D ．5．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ）A B ．3 C ．5 D ．6．若复数1211i z i +=--，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．满足313i z i ⋅=-的复数z 的共扼复数是（ ）A ．3i -B ．3i --C ．3i +D ．3i -+ 8．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ⋅④z z ，其结果一定是实数的是（ ）A ．①②B ．②④C ．②③D ．①③ 9．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ）A B C ．3 D ．510．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ）A B ．2 C ．10 D 11．若()()324z ii =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ）A ．17i -B ．16i -C ．16i --D ．17i --13．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ）A ．43i +B ．34i -C ．34i +D ．43i -14．复数21i i +的虚部为（ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i -15．若复数11i z i ，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．0 B ．12 C ．1 D ．2二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限17．下面是关于复数21i z =-+的四个命题，其中真命题是（ ）A ．||z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 的虚部为1-18．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．2020122z =-+ 19．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限20．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限 21．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ） A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z22．已知复数122,2z i z i =-=则（ ）A ．2z 是纯虚数B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =23．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ）A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122- C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为2 24．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根25．以下为真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数等于z -B ．若120z z +=，则12z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数26．下面四个命题，其中错误的命题是（ ）A ．0比i -大B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数 27．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '= 28．已知复数z ，下列结论正确的是（ ）A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件29．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( )A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数30．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限-+D．复数z在复平面内对应的点在直线C．z的共轭复数为12iy x=-上2【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案．【详解】，，所以，，故选：C.解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案．【详解】z i=-，2∴⋅+=-+=+，(12)(2)(12)43z i i i iz=，所以，5故选：C.2．A【分析】根据虚数不能比较大小可得，再解一元二次不等式可得结果.【详解】因为，，所以，，所以或.故选：A【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得是解题关键，属于基础题.解析：A【分析】=，再解一元二次不等式可得结果.根据虚数不能比较大小可得a b【详解】因为,a b ∈R ，2()2a b a b i -+->，所以a b =，220a a -->，所以2a >或1a <-.故选：A【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得a b =是解题关键，属于基础题.3．D【分析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】，.故选：.解析：D【分析】由复数乘法运算求得z ，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】()()2248676z i i i i i =--=-+=-，76z i ∴=+.故选：D .4．B【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项.【详解】由题，得，所以.故选：B.解析：B【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项.【详解】由题，得()()()5i 2+i 5i 5i 5i 1+7i 2i 2i 2+i z =+=+=---，所以z == 故选：B. 5．A【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义即可求得【详解】由复数为纯虚数，则，解得则 ，所以，所以故选：A解析：A【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a +【详解】()()()()()()2221222121122111i a i a a i a i i a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++ 由复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a a a a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =- 则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a +=故选：A6．B【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解】，所以，在复平面内的对应点为，则对应点位于第二象限故选：B解析：B【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解】()()12i 1i 12i 33i 33i 111i 2222z +++-+=-=-==-+-， 所以，z 在复平面内的对应点为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭，则对应点位于第二象限 故选：B 7．A【分析】根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解.【详解】因为，所以，复数的共扼复数是，故选：A解析：A【分析】根据313i z i ⋅=-，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解.【详解】因为313i z i ⋅=-， 所以()13133i z i i i i-==-=+-， 复数z 的共扼复数是3z i =-，故选：A8．D【分析】设，则，利用复数的运算判断.【详解】设，则，故，，，.故选：D.解析：D【分析】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，利用复数的运算判断.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故2z z a R +=∈，2z z bi -=，22222z a bi a b abi z a bi a b+-+==-+，22z z a b ⋅=+∈R . 故选：D.9．B【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模.【详解】由复数（）为纯虚数，则 ，则所以故选：B解析：B【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模.【详解】 由()()()()()()21i 2221112a i a a i a i i i i ----+-==++- 复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则202202a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩ ，则2a =所以112ai i -=-=故选：B10．D【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案.【详解】因为，所以，，所以，故选:D.解析：D【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案.【详解】因为1z i =+， 所以1z i =-，12z i +=+， 所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-==故选:D.11．D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】，则复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D ．解析：D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】()()324(2)(4)76z i i i i i =+-=--=-，则复数z 对应的点的坐标为()7,6-，位于第四象限．故选：D ． 12．A【分析】根据复数的几何意义得出坐标，由平行四边形得点坐标，即得点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意，设，∵是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴，即，∴点对应是，共轭复数为．解析：A【分析】根据复数的几何意义得出,A C 坐标，由平行四边形得B 点坐标，即得B 点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意(2,5),(3,2)A C -，设(,)B x y ，∵OABC 是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴023052x y +=-+⎧⎨+=+⎩，即17x y =⎧⎨=⎩，∴B 点对应是17i +，共轭复数为17i -． 故选：A ．13．D【分析】由复数的四则运算求出，即可写出其共轭复数.【详解】∴，故选：D解析：D【分析】由复数的四则运算求出z ，即可写出其共轭复数z .【详解】2(2)(12)24243z i i i i i i =-+=-+-=+ ∴43z i =-，故选：D14．B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成的代数形式即得结果.【详解】，故虚部为1.故选：B.解析：B【分析】将分母乘以其共轭复数进行分母实数化，化成(),a bi a b R +∈的代数形式即得结果.【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i i i -==+++-，故虚部为1. 故选：B.15．C【分析】由复数除法求出，再由模计算．【详解】由已知，所以．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法求出z ，再由模计算．【详解】 由已知21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-， 所以1z i =-=．故选：C ．二、多选题【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出，再依次判断各选项.【详解】，，故A 正确；，故B 正确；的共轭复数为，故C 正确；的虚部为，故D 正确； 故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法解析：ABCD【分析】先根据复数的除法运算计算出z ，再依次判断各选项.()()()2121111i z i i i i --===---+-+--，z ∴==，故A 正确；()2212z i i =--=，故B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故C 正确；z 的虚部为1-，故D 正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的除法运算，以及对复数概念的理解，属于基础题.18．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确； 因为，所以，所以D 正确解析：ACD 【分析】 分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为22112222z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，12z =，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z i ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222zz z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易. 19．BD【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数，则，所以，则，解得或，因此或，所以对应的点为或，因此复解析：BD【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限.【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，则2222724z a abi b i =+-=--，所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩， 因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-，因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限.故选：BD.【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.20．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.21．AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题． 22．AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确. 故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.23．ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确 选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确 选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围24．ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确； 所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题. 25．AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A 正确；对于B解析：AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若z 为纯虚数，可设()0z bi b =≠，则z bi z =-=-，即纯虚数z 的共轭复数等于z -，故A 正确；对于B ，由120z z +=，得出12z z =-，可设11z i =+，则21z i =--， 则21z i =-+，此时12z z ≠，故B 错误；对于C ，设12,z a bi z c di =+=+，则()()12a c b d i R z z =++++∈，则0b d +=， 但,a c 不一定相等，所以1z 与2z 不一定互为共轭复数，故C 错误；对于D ，120z z -=，则12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题. 26．ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误； 对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.27．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 28．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件； 若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.29．BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.30．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。