7-3(马鞍面)

x2 y2 2 pz 旋转抛物面
9/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
z
轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
双叶旋转双曲面
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
单叶旋转双曲面
8/21
y2 （2）椭圆 a 2
z2 c2
1绕 y
轴和 z 轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转 椭
绕 z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
（3）抛物线 y2 2 pz 绕 z 轴； x 0
圆锥面方程 z x2 y2 cot .
o
y
x
即 z2 cot 2 ( x2 y2 ).
7/21
问：x2 k( y2 z2 ) (其中k 0）表示什么曲面？
例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的 旋转曲面的方程．
（1）xOz
面上的双曲线 x2 a2
z2 c2
1分别绕
x
轴和
根据题意,有 M在球面上 | MM 0 | R，即
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R,
所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2 ,
特殊地：球心在原点时方程为 x 2 y 2 z 2 R2 .
3/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
y x
11/21
二元方程F(x,y)=0 在空间表示的曲面S是什么？
M(x, y, z) S
z
M( x, y,0) xOy面上的 曲线C : F( x, y) 0
1
——（椭圆）柱面
x 2 y 2 1 ——（双曲）柱面 a2 b2
y 2 2 px ——（抛物）柱面
*10、方程 ax 2 by 2 0 —— 一对（相交）平面
*11、方程 x 2 a 2 0 —— 一对（平行）平面
二次曲面只有这十一种形状。
20/21
五 、小结
1、图形的方程与方程的图形。 2、旋转曲面求法. 3、 二元方程的图形
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
过考察其交线（即截痕）的形状来了解曲面的形状 ——截痕法。
几种特殊的二次方程的曲面：
14/21
1、方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
——椭球面
曲面与坐标面的交线：
x2
a2
y2 b2
1,
z 0
x2 a2
z2 c2
y
0
1 ,
y2 b2
z2 c2
x 0
1.
（黑板上作图）
椭圆
曲面与平面 z z1
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
的交线
x2
y2
a 2
c
2
(c2
z12
)
b2 c2
(c2
z12
)
1
z z1 （作图）
15/21
2、方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ——单叶双曲面
曲面与坐标面的交线：
x2 a2
z 0
y2 b2
1,
x2 a2
y 0
z2 c2
1 ,
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
z2 c2
1 ,
（黑板上作图）
双曲线
椭圆
曲面与平面x x1 (| x1 | a )的交线
b2
a
2
y2 ( x12 a2 )
c2 a2
z2 ( x12 a2 )
1
x x1
（作图）
17/21
4、方程 z x 2 y 2 ——抛物面 2 p 2q
曲面与坐标面的交线：
y2
z
2q ,
x 0
y 0
抛物线
双曲线 与平面 z z1 的交线
与 x x1
z
x12
y2
2 p 2q
的交线
x
x1
x2
2
pz1
y2 2qz1
1
z z1 （作图）
19/21
*6、方程 *7、方程 *8、方程 *9、方程
x 2 y 2 z 2 0 ——（椭圆）锥面 a2 b2 c2
x2 a2
y2 b2
第三节 曲面及其方程
1. 图形方程的概念 2. 旋转曲面 3. 柱面 4. 二次曲面 5. 小结、作业
1/21
一、图形方程的概念
如果空间图形与三元方程（组）有下述关系： 点在图形上 点的坐标满足方程（组）。
则称这个方程（组）为这个图形的方程，而这个图形 为这个方程的图形．
空间解析几何中研究的两个基本问题： （1）已知图形上点的轨迹特征，求图形的方程；
4/21
建立旋转曲面S的方程：
由图，M( x, y, z) S
M1(0,y1,z1)曲线C :
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
f ( y,z) 0,
o
y
(1) z z1
x
（2）点 M 到 z 轴的距离等于 M1 到 z 轴的距离
d x 2 y 2 | y1 | , 即 y1 x2 y2 或 x2 y2 ,
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
f ( x2 y2 ,z) 0 或 f ( x2 y2 , z) 0.
5/21
yOz 上曲线 f ( y, z) 0绕 z 轴旋转的旋转曲面方程
f x2 y2 , z 0.
同理：绕 y 轴旋转的旋转曲面方程
f y, x2 z2 0.
问：曲线C : f ( x, y) 0 xOy绕x轴的旋转曲面
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
——柱面 (母线、准线). 4、熟知特殊二次曲面的形状（椭球面、抛物 面、双曲面、锥面、…）。 5、掌握画曲面的截痕法。
21/21
作业
• 习题7-3 78
11-(3)
x2
z
2p,
（黑板上作图）
y 0
抛物线
椭圆
曲面与平面z z1 ( z1 0 )的交线
x2
2
pz1
y2 2qz1
1
z z1
（作图）
18/21
5、方程 z x 2 y 2 ——双曲抛物面（马鞍面） 2 p 2q
曲面与坐标面的交线：
y2
z
2q
,
x 0
x2
z
2 p , （黑板上作图）
——将几何特征转化为代数特征（本节中建立球面、 旋转曲面的方程） （2）已知方程，研究图形的形状． ——将代数特征转化为几何特征（本节中讨论二元方 程的图形）
2/21
例 1 建立球心在M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面
方程. 解 设 M ( x, y, z)是空间中的任一点，
12/21
所以，二元方程在空间直角坐标系中表示柱面。
例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面
// x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面 // z轴
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴
z 1 平面 // x轴 、//y 轴
13/21
四、二次曲面
三元二次方程的图形曲面称为二次曲面．
了解(画)曲面的形状的一种方法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，通
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
（黑板上作图）
椭圆
曲面与平面 的交线
双曲线
x2
y2
z z1
a 2
c
2
(c2
z12
)
b2 c2
(c2
z12
)
1
z z1
（作图）
16/21
3、方程 x 2 y 2 z 2 1 ——双叶双曲面 a2 b2 c2
曲面与坐标面的交线：
x2
a
2
y2 b2
1,
z 0
x2 a2
y 0
• M( x, y,z ) S
M ( x, y, z)在 与z轴 平 行 、 O
过xOy面 上 的 曲 线C : F ( x, y) 0的 直 线 上 x
y
• M ( x, y,0 ) C
S : F ( x, y) 0 表示母线//z 轴（即 xOy面）、
准线为xOy面上的曲线C : F ( x, y) 0的柱面。
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为Leabharlann Baidu面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
10/21
三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
为？绕y轴生成的旋转曲面为？
6/21
例 2 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转所得旋转曲
面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线
的夹角
0
2
叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在
原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为的圆锥面方程．
解 此锥面可看成 yOz 面上直线
z
z y cot
绕z轴生成的旋转曲面