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性质1 设A,B,C为三个任意集合，则 （1）交换律 A B B A, A B B A; （2）结合律
(A B) C A (B C),(A B) C A (B C); （3）分配律
(A B) C (A C) (B C),
(A B) C (A C) (B C),
逻辑命题
如果命题A成立，可推出命题B正确， 则称A为B的充分条件，或称B为A的必 要条件，记为 A B.
若 A B且 B A，则称A(B)是B(A)
的充分必要条件，或称A与B等价，记作
A B。
与某命题A相反的命题，称为A的否定，记
作 A 。 假定对于一切的 x M（表示x属于M）有某
性质 (x) 成立，简记为 x M : (x) 。
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
规定 空集为任何集合的子集.
设A,B是两个集，由属于A或者B的所有元素构 成的集称为A与B的并集，记作A B, 即
A B {x | x A或x B}.
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
ห้องสมุดไป่ตู้
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
则称 (或 ) 是Ａ的上确界 (或下确界).
记 sup A (或 inf A).
上确界就是最小的上界；下确界就是最大的下界．
确界是惟一的吗？
确界存在定理：任意有上（下）界的非空
实数集Ａ必有上确界．
例：A＝{1,2,4,6}, supA=6, infA=1.
A {1, 1 , 1 , , 1 , }, 有
由同时属于A与B的元素构成的集称为A与B的交 集，记作A B, 即
A B {x | x A且x B}.
由属于A但不属于B的元素构成的集称为A与B的 差集，记作 A B, 即
A B {x | x A但x B}
设X是基本集，若A是X中任意集，则差集 X A
称为A的补集或余集，记作 A.
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集.
记作 A B. 即A B x A,有x B.
数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集
数集间的关系: N Z, Z Q, Q R. 若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B) 例如 A {1,2},
集合与函数
第1章 函数与图形
第一节 集合与函数
一、逻辑符号与逻辑命题 二、集合与实数集 三、映射 四、函数概念 五、函数的特性 六、反函数
一、逻辑符号与逻辑命题
逻辑符号
全称量词 ：对于任何的、对于一切的，等等。
存在量词 ：存在、可找到、有，等等。
逻辑推理符号 ：可推出。 等价符号 ：等价于、当且仅当。
(A B) C (A C) (B C);
（4）幂等律 A A A, A A A; （5）吸收律 A A, A .
性质2 设 Ai (i 1,2, ) 为一列集，则
(1) 若Ai C(i 1,2, ),则 Ai C; i 1
(2) 若Ai C(i 1,2, ),则 Ai C. i 1
性质3 设X为基本集，Ai (i 1,2, )为一列集，则
( Ai ) Ai ,
i 1
i 1
( Ai ) Ai .
i 1
i 1
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
这个命题的否定是：至少可以找到一个元素 x* M ，使 (x* )不成立。 因此，有
(x M : (x)) x* M : (x* ).
二、集合与实数集
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM,
A {a1 , a2 , , an }
有限集
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0. 数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 . U(a, ) {x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的邻域, 记作U (a, ).
U (a, ) {x 0 x a }.
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
6.确界存在定理
• A的上、下界是惟一 的吗？
• 设A为非空实数集,若LR,使得xA,都有 x≤L,则称L为A的一个上界.
• 若lR,使得xA,都有x≥l,则称l为A的一个 下界.
• 若A既有上界又有下界,则称 A有界.否则称A 无界.
• A有界 MR, M>0, xA,都有|x|≤M.
设A R, A ,若 R (或 R), 满足条件：
（1） xA，都有 x （或x ）;
（2） 0, x0 A, 使x0 (或x0 ).
23
n
supA=1, infA=0.
注意：0不在A 中噢！
▲ A的确界不一定是A中的元素．
三、映射
定义：设A, B是两非空集, 若存在对应规 则f, 使xA, 按照对应规则 f, 都有唯 一确定的yB与之对应, 则称f是从A到 B的一个映射. 记作 f : AB, xy.
(A B) C A (B C),(A B) C A (B C); （3）分配律
(A B) C (A C) (B C),
(A B) C (A C) (B C),
逻辑命题
如果命题A成立，可推出命题B正确， 则称A为B的充分条件，或称B为A的必 要条件，记为 A B.
若 A B且 B A，则称A(B)是B(A)
的充分必要条件，或称A与B等价，记作
A B。
与某命题A相反的命题，称为A的否定，记
作 A 。 假定对于一切的 x M（表示x属于M）有某
性质 (x) 成立，简记为 x M : (x) 。
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C. 不含任何元素的集合称为空集. (记作 ) 例如, { x x R, x2 1 0}
规定 空集为任何集合的子集.
设A,B是两个集，由属于A或者B的所有元素构 成的集称为A与B的并集，记作A B, 即
A B {x | x A或x B}.
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
oa
b
x
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
ห้องสมุดไป่ตู้
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
则称 (或 ) 是Ａ的上确界 (或下确界).
记 sup A (或 inf A).
上确界就是最小的上界；下确界就是最大的下界．
确界是惟一的吗？
确界存在定理：任意有上（下）界的非空
实数集Ａ必有上确界．
例：A＝{1,2,4,6}, supA=6, infA=1.
A {1, 1 , 1 , , 1 , }, 有
由同时属于A与B的元素构成的集称为A与B的交 集，记作A B, 即
A B {x | x A且x B}.
由属于A但不属于B的元素构成的集称为A与B的 差集，记作 A B, 即
A B {x | x A但x B}
设X是基本集，若A是X中任意集，则差集 X A
称为A的补集或余集，记作 A.
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集.
记作 A B. 即A B x A,有x B.
数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集
数集间的关系: N Z, Z Q, Q R. 若A B,且B A,就称集合A与B相等. ( A B) 例如 A {1,2},
集合与函数
第1章 函数与图形
第一节 集合与函数
一、逻辑符号与逻辑命题 二、集合与实数集 三、映射 四、函数概念 五、函数的特性 六、反函数
一、逻辑符号与逻辑命题
逻辑符号
全称量词 ：对于任何的、对于一切的，等等。
存在量词 ：存在、可找到、有，等等。
逻辑推理符号 ：可推出。 等价符号 ：等价于、当且仅当。
(A B) C (A C) (B C);
（4）幂等律 A A A, A A A; （5）吸收律 A A, A .
性质2 设 Ai (i 1,2, ) 为一列集，则
(1) 若Ai C(i 1,2, ),则 Ai C; i 1
(2) 若Ai C(i 1,2, ),则 Ai C. i 1
性质3 设X为基本集，Ai (i 1,2, )为一列集，则
( Ai ) Ai ,
i 1
i 1
( Ai ) Ai .
i 1
i 1
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
这个命题的否定是：至少可以找到一个元素 x* M ，使 (x* )不成立。 因此，有
(x M : (x)) x* M : (x* ).
二、集合与实数集
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM,
A {a1 , a2 , , an }
有限集
3.邻域: 设a与是两个实数 , 且 0. 数集{ x x a }称为点a的邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 . U(a, ) {x a x a }.
a
a
a x
点a的去心的邻域, 记作U (a, ).
U (a, ) {x 0 x a }.
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
6.确界存在定理
• A的上、下界是惟一 的吗？
• 设A为非空实数集,若LR,使得xA,都有 x≤L,则称L为A的一个上界.
• 若lR,使得xA,都有x≥l,则称l为A的一个 下界.
• 若A既有上界又有下界,则称 A有界.否则称A 无界.
• A有界 MR, M>0, xA,都有|x|≤M.
设A R, A ,若 R (或 R), 满足条件：
（1） xA，都有 x （或x ）;
（2） 0, x0 A, 使x0 (或x0 ).
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n
supA=1, infA=0.
注意：0不在A 中噢！
▲ A的确界不一定是A中的元素．
三、映射
定义：设A, B是两非空集, 若存在对应规 则f, 使xA, 按照对应规则 f, 都有唯 一确定的yB与之对应, 则称f是从A到 B的一个映射. 记作 f : AB, xy.