圆中的计算问题(九年级数学下册)
华东师大初中数学九年级下册《圆》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；2.探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；3．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；4．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；6．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.两圆的五种位置关系可以概括为三类：要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质【高清ID号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为．【解析】由已知得BC ∥x 轴，则BC 中垂线为2412x -+== 那么，△ABC 外接圆圆心在直线x=1上，设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为P(1,0) 则 22(11)(03)13r PA ==++-=【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B 、C 的坐标知：圆心P （设△ABC 的外心为P ）必在直线x=1上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P （1，0）；连接PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB ＝60°， 求CD 的长．【思路点拨】作OF ⊥CD 于F ，构造Rt △OEF ，求半径和OF 的长；连接OD ，构造Rt △OFD ，求CD 的长． 【答案与解析】作OF ⊥CD 于F ，连接OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ 32ABOA ==，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2． 在Rt △OEF 中，∵ ∠DEB ＝60°，∴ ∠EOF ＝30°，∴ 112EF OE ==，∴ 223OF OE EF =-=． 在Rt △DFO 中，OF ＝3，OD ＝OA ＝3，∴ 22223(3)6DF OD OF =-=-=(cm)． ∵ OF ⊥CD ，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝26cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．举一反三： 【变式】如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝ ．【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M 、N 分别为AB 、AC 的中点（垂径定理），则MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．（2017•曲靖一模）如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC 和∠BOC 互补，则弦BC 的长度为.【思路点拨】首先过点O 作OD ⊥BC 于D ，由垂径定理可得BC=2BD ，又由圆周角定理，可求得∠BOC 的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC 的度数，利用余弦函数，即可求得答案． 【答案】4.【解析】解：过点O 作OD ⊥BC 于D ， 则BC=2BD ，∵△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 与∠BOC 互补， ∴∠BOC=2∠A ，∠BOC+∠A=180°， ∴∠BOC=120°， ∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB=（180°﹣∠BOC ）=30°， ∵⊙O 的半径为4， ∴BD=OB•cos∠OBC=4×=2，∴BC=4．故答案为：4．【总结升华】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 举一反三：【变式】如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是（ ）N MO C BAA．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【答案】C.【解析】作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系【高清ID号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题6】4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线CE与⊙O相切理由：连接OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形ABCD是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线CE与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时x的取值范围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，(，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或(，).(2)当时，与直线相交.当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD ，∴∠ABC=∠ODB ， ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ， ∴∠ODB=∠ACB ， ∴OD ∥AC ，∵DF 是⊙O 的切线， ∴DF ⊥OD ， ∴DF ⊥AC ．（2）解：连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF=22.5°， ∴∠ABC=∠ACB=67.5°， ∴∠BAC=45°， ∵OA=OE ，∴∠AOE=90°， ∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE =4π，S △AOE=8 ， ∴S 阴影=4π﹣8．【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，AB 所在圆的圆心为O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．【思路点拨】求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求AB 的长． 【答案与解析】连接OB ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交AB 于点F ，如图(2)． 由垂径定理，可知E 是AB 中点，F 是AB 的中点，∴ 12AE AB ==EF ＝2． 设半径为R 米，则OE ＝(R-2)m ．在Rt △AOE 中，由勾股定理，得222(2)R R =-+． 解得R ＝4．∴ OE ＝2，12OE AO =，∴ ∠AOE ＝60°，∴ ∠AOB ＝120°．∴AB的长为120481803ππ⨯=(m)．∴帆布的面积为8601603ππ⨯=(m2)．【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.【答案】①作法略.如图所示.②如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C，∵ OC⊥AB，∴.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为10cm.。
28.3.3圆中的计算问题 课件 华师大版数学九年级下册
圆心角占整个周角的 所对扇形面积是
1800
180 360
180 2 r 360 90 2 r 360
45 2 r 360
900
90 360
45 360 n 360
450
n0
n 2 r 360
结论：
如果扇形面积为s，圆心角度数为n，圆半 径是r，那么 ，扇形面积计算公式为
Q
28.3圆中的计算问题
28.3.1弧长和扇形的面积
知识回顾
圆的周长公式 o
r
p
C=2πr
圆的面积公式
2 S=πr
问题情景：
如图28.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中 铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出 这段铁轨的长度吗?
zxxk
解:∵圆心角900
1 图 28.3.1 ∴铁轨长度是圆周长的 4 1 则铁轨长是 2 100 50米
4
问题探究
上面求的是圆心角为900所对的弧长，若圆 心角为n0，如何计算它所对的弧长呢？
思考：
请同学们计算半径为 r，圆心角分别为1800、 900、450、n0所对的弧长.
图 28.3.2
圆心角占整个周角的
1800
所对弧长是
180 360 90 360 45 360 n 360
180 2r 360 90 2r 360 45 2r 360
c 2r l
l s n r 2 或s 1 lr 扇 形 面 积 S 360 2 n° r O
扇形周长计算公式为
z、xxk
c 2r l
一、弧长的计算公式
n nr l 2r 360 180
二、扇形面积计算公式
初中数学初三数学下册《圆中的计算问题》教案、教学设计
1.教学活动设计
在本节课的导入阶段，我将通过展示生活中常见的圆形物体，如硬币、圆桌、车轮等，引发学生对圆的关注。接着，提出问题：“你们觉得圆有什么特别之处？”让学生思考并回答，从而激发学生对圆的性质和计算问题的兴趣。
2.教学内容
（1）引导学生观察圆形物体，发现圆的形状特点。
（2）让学生用自己的语言描述圆的定义和性质。
4.通过典型例题的分析与讲解，使学生掌握解题方法和技巧，提高解题能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学、勇于探索的精神，增强学生对数学学科的兴趣和信心。
2.培养学生严谨、细致的学习态度，使学生养成独立思考、自主学习的好习惯。
3.通过对圆的性质和计算问题的研究，使学生体会数学的和谐美、逻辑美，提高学生的审美情趣。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解和掌握圆的基本性质，如圆的对称性、圆周角定理等。
2.运用垂径定理、切线定理、弦长公式等解决圆中的计算问题。
3.将实际问题转化为数学模型，运用数学知识解决与圆相关的问题。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
通过展示生活中常见的圆形物体，如车轮、硬币等，引发学生对圆的兴趣，为新课的学习打下基础。
（3）简要回顾已学的圆的基本知识，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.教学活动设计
在此环节，我将采用讲解、示范、提问等方式，向学生传授圆的基本性质和计算方法。同时，结合实际例子，让学生更好地理解和掌握新知识。
2.教学内容
（1）讲解圆的半径、直径、周长和面积的定义及计算方法。
（2）介绍圆的对称性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质。
当前学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，对新鲜事物充满兴趣。他们对数学学科的兴趣和信心是教学的重要基础。此外，学生在学习过程中可能存在以下问题：对复杂题目的畏惧心理、解题思路不清晰、对知识点掌握不牢固等。
北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 专题课讲义 正多边形与圆的相关计算(解析版)
正多边形与圆的相关计算课前测试【题目】课前测试如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．【答案】∠AED=45°；DE =。
【解析】（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．（2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=（4﹣x）2+x2，解得x=或（舍弃），∴DE=DH=总结：本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型。
【难度】4【题目】课前测试如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°．（1）求tan∠OAB的值；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S△POA=S△AOB时，求P点所经过的弧长．（不考虑点P与点B重合的情形）【答案】tan∠OAB=；S△AOB=（cm2）；的长度==（cm）．【解析】（1）作OC⊥AB．∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°．∴OC=1，AC=．∴tan∠OAB=．（2）AC=，∴AB=2．∴S△AOB=2×1÷2=（cm2）．（3）如图，延长BO交⊙O于点P1，∵点O是直径BP1的中点，S△AP1O=AD×P1O，S△AOB=AD×BO，∵P1O=BO，∴S△P1OA=S△AOB，∠AOP1=60°．∴的长度为（cm）．作点A关于直径BP1的对称点P2，连接AP2，OP2，AP3，易得S△P2OA=S△AOB，∠AOP2=120°．∴的长度为（cm）．过点B作BP3∥OA交⊙O于点P3，则P2P3直径，易得S△P3OA=S△AOB，∴的长度==（cm）．总结：本题综合考查了解直角三角形，及三角形的面积公式及弧长公式．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：正多边形与圆的相关计算是九年级下册第三章的内容，主要讲解了正多边形的相关概念、圆内接正多边形与外切正多边形定义与相关计算、弧长和扇形面积的计算公式。
课题：27.3圆中的计算问题(第2课时圆锥的侧面积和全面积)
A
学 以 致 用
2.将一块弧长为的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计）, 则围成的圆锥的高为（ B ） 5 3 A、 3 B、 C、 5 D、 2 2
学以致用
例 3 如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝
忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的 面积是（ A ） A、 B、 480cm 2 240cm 2
温故知新
温故知新
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体。底面是个圆， 侧面是个曲面。
探究发现
（Ⅰ）圆锥的母线： 把连结圆锥顶点和底面圆周上的任意一点的线段叫做圆锥的母线， 记作l.注意：圆锥的母线有无数条哟！ （Ⅱ）圆锥的高： 连结顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高，记作h.
探究发现
问题：圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间有何数量关系？
学以致用
例 2 若用一张直径为20cm的半圆形铁皮做一个圆锥的侧面,接缝忽略不
计，则所得圆锥的高为（ A、 5 3cm A ）
5 15 C、 cm 2
B、 5 5cm
D、 10cm
10
5 3
20
5 2r 10 r 5
数 学 活 动 室
1.如图,半径是10cm圆纸片,剪去一个圆心角是120°的扇形（图 中的阴影部分）,用剩余部分围成一个圆锥,求圆锥的高和底面圆 的半径。
h
l 2 h2 r 2
r
如：已知一个圆锥的高为6cm,半径为8cm,则这个圆锥的母线长为 10cm
探究发现
问题：请将准备的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥的侧面展开图。
通过刚才 的操作， 你有何收 获呢？
S
哇噻！是 一个扇形 哟！
专训1 圆中常见的计算题型2020春季冀教版九下数学
专训1 圆中常见的计算题型名师点金：与圆有关的计算主要体现在：利用圆周角定理求角度，利用垂径定理构造直角三角形并结合勾股定理，已知弦长、弦心距、半径三个量中的任意两个量时，可求出第三个量，利用弧长、扇形面积公式计算弧长、扇形面积，利用圆的知识解决实际问题等；其中涉及面积的计算，常采用作差法、等积法、平移法、割补法等，涉及实际应用计算，常采用建模思想进行计算．有关角度的计算1．【中考·娄底】如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.(1)求证：△ABD≌△CDB；(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．(第1题)1半径、弦长的计算(第2题)2．【中考·南京】如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB＝2 2 cm，∠BCD＝22°30′，则⊙O的半径为________．3．如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝30 cm.求直径AB的长．(第3题)2面积的计算技巧1利用“作差法”求面积4．【中考·丽水】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F.(1)求证：DF⊥AC；(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．(第4题)3技巧2利用“等积法”求面积5．【中考·威海】如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE 相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF.(1)求证：CB是⊙O的切线；(2)若∠ECB＝60°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．4(第5题)技巧3利用“平移法”求面积6．如图，两个半圆中，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？56(第6题)技巧4 利用“割补法”求面积7．【中考·孝感】如图，⊙O 的直径AB ＝10，弦AC ＝6，∠A CB 的平分线交⊙O 于D ，过点D 作DE∥AB 交CA 的延长线于点E ，连接AD ，BD.(1)由AB ，BD ，AD ︵围成的曲边三角形的面积是________；(2)求证：DE 是⊙O 的切线；(3)求线段DE 的长．(第7题)实际应用的计算应用1利用垂径定理解决台风问题8．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30 km/h，受影响区域的半径为200 km，B市位于点P北偏东75°的方向上，距离P点320 km处．(1)试说明台风是否会影响B市；(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．7(第8题)应用2利用圆周角知识解决足球射门问题(转化思想)9．如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队员乙射门．从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？(第9题)8应用3利用直线与圆的位置关系解决范围问题10．如图，已知A，B两地相距1 km.要在A，B两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经测量在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处有一个以C为圆心，350 m为半径的圆形公园，则修建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？【导学号：89274010】(第10题)910答案1．(1)证明：∵AB，CD 是⊙O 的直径，∴AB＝CD ，∠ADB＝∠CBD＝90°.又∵∠BAD 和∠BCD 是同弧所对的圆周角．∴∠BAD＝∠BCD.在△ABD 和△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD，AB ＝CD.∴△ABD≌△CDB.即△ABD≌△CDB.(2)解：∵BE 是⊙O 的切线，∴AB⊥BE.11∵∠DBE＝37°.∴∠ABD＝53°.∵OD＝OA ，∴∠ODA＝∠BAD＝90°－53°＝37°.即∠ADC 的度数为37°.2．2 cm 点拨：如图，连接OB ，∵∠BCD＝22°30′，∴∠BOD＝2∠BCD＝45°.∵AB⊥CD，∴BE＝AE ＝12AB ＝12×22＝2(cm )，且△BOE 为等腰直角三角形，∴OB＝2BE ＝2 cm .(第2题)(第3题)3．解：如图，连接OC.∵∠A＝30°，12 ∵DC 切⊙O 于点C ，∴∠OCD＝90°. ∴∠D＝30°.∵OD＝30 cm ，∴OC＝12OD ＝15 cm .∴AB＝2OC ＝30 cm .4．(1)证明：如图，连接OD ， ∵OB＝OD ，∴∠ABC＝∠ODB.∵AB＝AC ，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ODB＝∠ACB.∴OD∥AC.∵DF 是⊙O 的切线，∴DF⊥OD. ∴DF⊥AC.(2)解：如图，连接OE ，。
九年级数学下圆综合复习计算
切线的判定与性质【知识要点】1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?2.切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．对定理的理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．注意：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．（如图）3.切线的判定方法判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)数量关系：即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．(3)图形位置关系（判定定理）：．经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一。
4.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
注意：对于切线性质定理的两个推论：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个【典型例题】例1．下列说法正确的是（）（1）与直径垂直的直线是圆的切线；（2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端点的直线是圆的切线； （4）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（5）经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线．A 、（1）（2）（3）B 、（2）（3）（5）C 、（2）（4）（5）D 、（3）（4）（5）例2．如图所示，PBC 是⊙O 的割线，A 点是⊙O 上一点，且PC PB PA ⋅=2． 求证：PA 是⊙O 的切线．例3．如图所示，已知：梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠A=︒90，腰BC 是⊙O 的直径，且BC=CD+AB ．求证：AD 和⊙O 相切．例4．如图所示，已知：两个同心圆O 中，大圆的弦AB 、CD 相等，且AB 与小圆相切于点E ．求证：CD 是小圆O 的切线．·OPABC·ACBDO ABD C例5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，C 为弧AD 的中点，过C 作BD 的垂线交BD 的延长线于E 点．求证：CE 与⊙O 相切．例6． 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，AB=8，BC=5，若以AB 为直径为⊙O 与DC 相切于点E ，则DC= 。
北师大版九年级数学下册《圆——弧长及扇形的面积》教学PPT课件(2篇)
C
A
D
B
探究新知
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓
着一条长3m的绳子，绳子的另一端栓着一只狗。
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
n°
（2）如果这只狗只能绕柱子转过 n°角，
那么它的最大活动区域有多大？
解：（1）这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9πm2 .
（2）狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的是圆面积，
A. 3π
B.4π
C.5π
D.6π
新知探究
4 . 如图的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫同时出发，以相同
的速度从A点爬到B点，甲虫沿ADA1,A1EA2,A2FA3,A3GB路线爬行，乙虫沿
ACB路线爬行，则下列结论正确的是（ C ）
A.甲先到B点
C.甲、乙同时到B点
B.乙先到B点
D.无法确定
− ×1×
=
π- .
课堂小结
1.弧长公式：
2.扇形面积公式：
或
注意： 求图形的面积：
割补法、组合法
（1）公式中 n 表示1°的圆心角的倍数；
（2）若圆心角的单位不全是度，则需先化为度后再计算.
（3）题设没有标明精确度的，结果可以用 π 表示.
课堂小测
1.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.
则半径为2的“等边扇形”的面积为( C
S 扇形1ຫໍສະໝຸດ lR2)
课堂小测
2. 如图，5个圆的圆心在同一条直线上, 且互相相切.若大圆直径是12，4
12cm，那么弧AC的长是（ C）
A．10cm
重难点 圆中的计算及其综合专项 中考数学
重难点 圆中的计算及其综合考点一：圆中的角度计算圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理，这两个定理都有对应推论，考察难度不大，题型基本以选择、填空题为主，所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可！题型01 圆中常见的角度计算易错点：圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的。
解题大招01：圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系解题大招01：圆中求角度常用的其他规律：圆内接四边形的一个外角=其内对角折叠弧过圆心→必有30°角以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）【中考真题练】1．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）A．95°B．100°C．105°D．110°2．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ ）A．70°B．105°C．125°D．155°3．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）A．32°B．42°C．48°D．52°4．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）A．25°B．35°C．40°D．45°5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝ ．【中考模拟练】1．（2024•连云区一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（ ）A．45°B．36°C．35°D．30°2．（2024•岱岳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠BAC＝40°，则∠ACD的度数是（ ）A．40°B．25°C．40°．D．30°3．（2024•甘井子区校级一模）如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB ＝17°，则∠OAC 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°4．（2024•连云区一模）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在⊙O 上，两边分别交⊙O 于A ，B 两点，连结AO ，BO ，则∠AOB 的度数 °．5．（2024•新城区模拟）如图，在△ABC 中，∠B ＝70°，⊙O 是△ABC 的内切圆，M ，N ，K 是切点，连接OA ，OC ．交⊙O 于E ，D 两点．点F 是上的一点，连接DF ，EF ，则∠EFD 的度数是 ．题型02 “知1得4”模型的常见题型解题大招：圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②⋂⋂=CD AB ；③OM=ON；④F E ∠=∠；⑤COD AOB ∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。
九年级数学圆中的计算问题华东师大版知识精讲
九年级数学圆中的计算问题华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 圆中的计算问题【知识与技能】1. 探索归纳圆的弧长、扇形面积公式，会恰当运用公式进行弧长、扇形面积的有关计算。
2. 了解圆柱、圆锥的特征，认识圆柱、圆锥的侧面展开图分别是矩形、扇形，并会计算侧面积及全面积。
【过程与方法】在探索归纳弧长、扇形面积公式时，体现了“从特殊到一般”的数学思维方法。
【情感、态度、价值观】在探求公式过程中，提高推理、归纳能力及应用意思，培养与他人合作能力，进一步发展我们对立体图形的了解，同时也增强空间立体感。
【教学过程】 1. 弧长公式：l n r=π180注意：（1）在弧长公式中，n 表示“1°”的圆心角的倍数，在应用公式计算时，“n ”和“180”不应再写单位。
（2）在计算时，若题目中没有标明精确度，可以用“π”表示弧长，如弧长是3π，π，15.π等。
（3）在弧长公式中已知l n r 、、中的任意两个量都可以求出第三个量。
2. 扇形：（1）定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
如图：（2）周长：扇形的周长等于弧长加上两个半径的长，即l r +2。
（3）面积：S n r =π2360或S lr =12注意：①公式S n r =π2360中的“n ”与弧长公式中“n ”的意义一样，表示“1°”圆心角的倍数，参与计算时不带单位。
②S lr =12与三角形面积公式S ah =12十分相似，为了便于记忆，可以把扇形看作曲边三角形，把弧长看作底，半径r 看作底边上的高。
③注意二个公式的区别。
如：已知半径r 、圆心角度数求S ，用S n r =π2360。
已知半径r 、弧长l 求S ，用S lr =12。
④已知：S l n r 、、、四个量中任意两个量，可以求出另外两个量。
3. 圆柱的侧面积与全面积（1）侧面展开图是矩形，一组对边等于母线长，另一组对边等于底面圆的周长。
九年级数学圆中有关计算知识精讲
九年级数学圆中有关计算【本讲主要内容】圆中有关计算包括圆中有关线段的计算，角度的计算，圆的周长及面积等。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 垂弦定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
2. 直径上的圆周角等于90°。
3. 勾股定理。
4. 锐角三角函数。
5. 圆的周长R 2C π=，弧长：l 180Rn π=。
6. 圆的面积：2R S π=，扇形面积：21R 360n S 2=π=扇l R弓形面积：±=扇弓S S 等腰三角形的面积【解题方法指导】例1. （2005年某某市）如图，AE 切圆D 于点E ，AC ＝CD ＝DB ＝10，则线段AE 的长∴∴ 评析：切线的性质可以构造出直角三角形。
例2. （2005年某某市）如图，已知圆O 的半径为5，弦AB ＝8，P 是弦AB 上任意一点，则OP 的取值X 围是________。
2∵OB ＝5 345CB OB OC 2222=-=-=∴5OP 3≤≤∴∵∠A ＝∠D ，∠C ＝∠BBEAE DE CE BECEDE AE DBE ACE ⋅=⋅∴=∴∆∆∴∽ ∵AB ＝4，E 是AB 中点， ∴AE ＝EB ＝2 又DE ＝CE ＋3，设CE ＝x ，则DE ＝x ＋3 22)3x (x ⨯=+∴ 04x 3x 2=-+4x 1x 21-==∴，（舍去）∴CE ＝1，DE ＝1＋3＝4 ∴CD ＝1＋4＝5 故选B 。
解：∵OA ＝OB ， ∴∠OAB ＝∠OBA ＝25°∴∠AOB ＝180°―25°―25°＝130° 又∠AOB ＝2∠C∴∠C 21=∠AOB 21=×130°＝65°故选D 。
评析：这里用到了同弧上的圆心角是圆周角的2倍。
【考点突破】【考点指要】 圆中的计算问题内容很丰富，涉及到许多性质，可以考查同学们的计算能力，因此在中考中经常出现，但难度不是很大，加上对实际问题中弧长、扇形等问题的不断出现，还应该对圆中的计算问题予以重视，在计算中，还要注意推理。
华师版九年级下册数学第27章 圆 目标三 用三角函数解圆中的计算问题
2 如图，已知⊙O 的两条弦 AC，BD 相交于点 E，∠A＝
70°，∠C＝50°，那么 cos ∠AEB 的值为( C )
A. 3
B.
3 3
C.12
D.
3 2
3 【中考·乐山】在△ABC 中，AB＝AC＝5，sin B＝45.⊙O 过 B，C 两点，且⊙O 的半径 r＝ 10，则 OA 的长为( A ) A．3 或 5 B．5 C．4 或 5 D．4
∵tan∠EAF＝EAFF＝ 3， ∴EF＝ 3AF＝12， ∴EC＝CF＋EF＝12＋4 3.
11 如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点， PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.
(1)求证：∠PCA＝∠ABC；
证明：连结OC.∵PC与⊙O相切于点C， ∴∠PCA＋∠OCA＝90°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠OCB＋∠OCA＝90°， ∴∠PCA＝∠OCB. ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC， ∴∠PCA＝∠ABC.
(2)若OC＝3，DE＝2，求tanF的值.
解：由(1)知OB＝OC＝3，OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的直径． ∴CE＝2OC＝6. ∴CD＝CE＋DE＝6＋2＝8. 易得OD＝5.
在 Rt△OBD 中，由勾股定理得 BD＝ OD2－OB2＝ 52－32＝4.∵∠OBD＝∠ACD＝90°，∠ODB＝∠ADC，
交CD于点F.
(1)求证：∠ADC＝∠AOF；
证明：连结OD，如图所示． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD. ∵OF⊥AD， ∴OF∥BD， ∴∠AOF＝∠B.
∵CD是⊙O的切线，D为切点， ∴∠CDO＝90°， ∴ ∠ CDA ＋ ∠ ADO ＝ ∠ ADO ＋ ∠ BDO ＝ 90° ， ∴∠CDA＝∠BDO. ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∴∠ADC＝∠AOF.
2022春九年级数学下册第27章圆27.3圆中的计算问题2圆锥的侧面展开图习题课件华东师大版
5.【教材改编题】若一个圆锥的底面半径为 3 cm，母线长为 5 cm， 则这个圆锥的表面积为( B ) A．15π cm2 B．24π cm2 C．39π cm2 D．48π cm2
6．某圆锥的底面圆的半径为 5，高为 12，则圆锥的表面积为 ___9_0_π___．(结果保留 π)
7．已知 Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，△ABC 绕 AC 边旋转一周得到一个圆锥，求圆锥的表面积．
即蚂蚁爬行的最短路程是 3 3r.
14. 铁匠王老五要制作一个圆锥模型，操作规则如下：在一块边 长为 16 cm 的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇 形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他首先设计 了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他调整了 扇形和圆的半径，
设计了如图所示的方案二．(两个方案的图中，圆与正方形相邻 两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相 切)
解：将圆锥的侧面沿过点 A 的母线展开成如图的扇形，连结 AA′， 过点 O 作 OC⊥AA′于点 C，则蚂蚁爬行的最短路径为 AA′， 设∠AOA′＝n°，由题意， 得 OA＝OA′＝3r，A︵A′的长为 2πr.
∴2πr＝n1π8·03r，解得 n＝120，即∠AOA′＝120°， 易得∠OAC＝30°. ∴OC＝12OA＝32r. ∴AC＝ OA2－OC2＝32 3r. 易得 AC＝A′C，∴AA′＝3 3r，
【点拨】设 AB＝x cm，则 DE＝(6－x)cm，根据题意，得9108π0x＝ π(6－x)，解得 x＝4.故选 B.
【答案】B
11．【中考·金华】如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A ＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为 1，则下面圆 锥的侧面积为( ) A．2 B． 3 C．32 D． 2
初 三 数 学(第11讲)圆中的计算问题
初 三 数 学（第11讲）主讲教师：李跃华（苏州立达中学）【教学内容与目的要求】第23章 圆 圆中的计算问题教学目的：1、理解圆周长与弧长有密切的联系。
理解弧长计算公式，会计算圆的周长与弧长。
能运用周长与弧长的知识解决一些实际问题，提高分析问题与解决问题的能力。
2、会计算圆的面积、扇形的面积及简单组合图形的面积。
学会分解与组合图形，3、了解圆锥的形成和圆锥的概念。
了解圆锥的侧面展开图是扇形，会计算圆锥的侧面积和表面积。
4、会把实际问题抽象成数学问题。
学会分解与组合图形，培养空间想象力，掌握转化的数学思想方法。
养成先分析后解题的习惯，既会合理思考，又会综合写出推理计算过程。
【知识重点与学习难点】重点：1、理解弧长公式和应用弧长公式.要理解圆心角是1°的弧长等于圆周长的3601,这是建立弧长公式的关键，对于公式中的180、n 表示的是倍、分关系，没有单位，还要掌握公式的逆用，培养逆向思维能力。
2、会计算扇形的面积。
对于扇形面积的计算公式，要理解它的二种形式以及它的不同用法，并会逆用公式。
要理解圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的3601,圆心角是n°的扇形面积等于圆面积的360n .公式中的n 与弧长公式中的n 一样，理解为1°的倍数,不带单位。
3、圆锥的侧面展开图、圆锥的侧面积计算，难点 1、对于弧形部分，要分清各弧的圆心，半径，避免拿起题来就盲目地进行计算。
2、圆锥的侧面展开图——扇形的圆心角的计算。
通过实例观察圆锥的侧面展开图是扇形，有关圆锥高、母线以及底面半径的计算，关键是搞清高、母线以及底面半径和轴剖面图形之间的关系。
会将侧面积的问题转化为平面的扇形来解决。
【方法指导与教材延伸】1、在学习弧长公式时，要理解：360°的圆心角所对的弧长是圆周长C ＝2πR,1°的圆心角的弧长就是圆周长的3601即3602Rπ，故圆心角为n °的弧长等于3602R n π⋅，即180R n l π=。
九年级下册数学圆中的计算问题华师大版
圆中的计算问题一、中考导航图圆中的计算问题⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩弧长公式扇形的面积公式圆锥的侧面积圆锥的表面积二、中考课标要求┌───┬───────────┬────────────┐│││知识与技能目标││考点│课标要求├──┬──┬──┬───┤│││了解│理解│掌握│灵活应用├───┼───────────┼──┼──┼──┼───┤││会进行圆的周长,弧长的│││∨│∨││圆│计算││││││中├───────────┼──┼──┼──┼───┤│的│掌握圆、扇形及简单图形││││││计│面积的计算│││∨│∨││算├───────────┼──┼──┼──┼───┤│问│了解圆锥的侧面展开图│∨│││││题├───────────┼──┼──┼──┼───┤││能进行圆锥的侧面积和全│││││││面积的计算││∨││∨│└───┴───────────┴──┴──┴──┴───┘三、中考知识梳理1.关于弧长、扇形面积的计算通过作图、识图、阅读图形，探索弧长、扇形及其组合图形面积的计算方法和解题规律；把不规划图形的问题转化为规则图形的问题。
D(B ')A(A ')D 'C 'C B 2.有关圆锥侧面积、全面积的计算正确区分圆锥侧面展开图的各元素与圆锥间的各元素的对应关系是处理此问题的关键。
四、中考题型例析例1 (2003·某某)如图,一块边长为8cm 的正方形木板ABCD,在水平桌面上绕点A 按逆时针方向旋转至A ′B ′C ′D ′的位置,则顶点C•从开始到结束所经过的路径长为( )A.16cmB.16ππcm解析:在旋转过程中,AC 的长度不变,所以顶点C 从开始到结束所经过的路径长,•是以A 为圆心,AC 长为半径的90°的弧长,L=90180π⋅⋅π. 答案:D.例2 (2004·某某)如图,⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 相互外离,•它们的半径都是1,顺次连结四个圆心得到四边形ABCD,则图形中四个扇形(阴影部分)•的面积之和是( ) π B.π C.23π D.2π 解析:根据题设条件,无法求出四个扇形的圆心角,因而从整体上考虑,可以发现四个扇形的圆心角分别是四边形的四个内角,从而可求出阴影部分的面积.答案:B.3. 圆柱、圆锥的相关计算例3 (2003·某某)用一个半径长为6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面半径为( )A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm解析:圆锥的底面周长即开展图是扇形的弧长.设圆锥底面半径为R,则2R=12×2π×6,∴R=3,故选B.答案:B.点评:正确理解圆锥与侧面展开图各种量之间的关系是解决此类题目的关键.。
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27.3.1圆中的计算问题（教案）
【教学目标】
认识扇形，会计算弧长和扇形的面积，通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题，获得新知的能力。
【教学重点、难点】
弧长公式和扇形的面积公式，准确计算弧长和扇形的面积
运用弧长和面积的计算公式计算比较复杂的图形的面积
【教学过程】
（一）知识回顾：圆的周长公式：C=2πr
圆的面积公式：S=πr2
（二）情景问题：
如图27.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗?
（三）讲解新课：
1、弧长公式推导过程：
（问题探究一）：
上面求的是90°的圆心角所对的弧长，若圆心角为n°，如何计算它所对的弧长呢？
请同学们计算半径为3cm，圆心角分别为180°、90°、45°、1°、n °所对的弧长. （提问学生回答,这里关键是1°的圆心角所对的弧长是多少，进而
求出n°的圆心角所对的弧长.）
若设⊙O 半径为R ， n °的圆心角所对的弧长为 l ，
则
2、扇形面积公式推导过程
（问题探究二）：
(1)扇形定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．
(2)扇形面积公式推导过程
（1）半径为R 的圆,面积是多少？
（2）圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？
（3）1°圆心角所对扇形面积是多少？
若设⊙O 半径为R ， n °的圆心角所对的扇形面积为S ，
则
比较扇形面积与弧长公式, 想一想怎样用弧长表示扇形面积:
180
n R l π=2360n R S π=180n R l π=2360
n R S π=1802n R R π=⨯2360n s R π=⋅2360
n s R π=⋅12
s lR =
3、讲解课本61页例题
例1、如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长．（π≈3.14）
（补充练习）
1、 弧长为6 π cm 所对的圆心角是54°，则所在圆的半径是_______cm 。
2、 扇形的面积是4 π cm2 ，半径是6cm ， 则扇形的圆心角
为_ _40°。
3、扇形的半径为6 cm ，面积为9 cm2，那么扇形的弧长为3cm 。
【课堂小结】
（一）弧长的计算公式
（二）扇形面积计算公式
【课后作业】课本63页习题27.3第1题、第2题 20 180n R l π=2360n s R π=⋅12
s lR =图
23.3.5 解:因为n ＝60°，r ＝10厘米，所以扇形面积为
3601014.3603602
2⨯⨯≈=r n S π≈52.33(平方厘米)；扇形的周长为
20180
1014.3602180+⨯⨯≈+=r r n l π≈ 30.47（厘米）。