五年级数学上册 第五单元 方程奥数题

第五单元 方程
板块一 解方程 1.形如x+a=b 的方程：x=b-a
形如x-a=b 的方程：x=b+a.
2.形如ax=b(a ≠0)的方程：x=b ÷a
形如x ÷a=b(a ≠0)的方程:x=ab
3.形如a-x=b 的方程：x=a-b
形如a ÷x=b 的方程：x=a ÷b
4.形如ax+b=c 的方程：ax=c-b
x=(c-b)÷a
形如ax-b=c 的方程：ax=c+b
x=(c+b)÷a
5.形如a(x+b)=c 的方程:
方法一：ax+ab=c
方法二：x+b=c ÷a ax=c-ab x=c
÷a-b x=(c-ab)÷a
形如a(x-b)=c 的方程:
方法一：ax-ab=c
方法二：x-b=c ÷a ax=c+ab x=c
÷a+b x=(c+ab)÷a
【例题】
例1.解下列方程。

（1）2.5x-2x=8-6 (2)3x+7=32-2x
(3)3x-7(x-1)=3-2(x+3) (4)
422121x x -+=-+
例2.方程x+1.2=10.1和mx=21.36有相同的解，求m的值。

例3.探寻规律。

认真观察下图两块阴影中正中间的数与其他四个数的关系。

(1)如果中间数是x，那么左边的数是（），右边的数是（），
上面的数是（），下面的数是（）。

(2)当中间的数是x时，这5个数的和是（）。

（3）若这样的5个数之和是85，则这5个数分别是多少？
例4.如下图所示，用10个大小相同的长方形拼成一个大长方形，已知小长方形的宽是12厘米，请你试着算出这个大长方形的面积。

【练习】
1.解下列方程。

(1)7x-4.5x=2.5×3-5 (2)6x-7=4x-5
(3)2-3(x+1)=1-2(1+0.5x) (4)
4
221x x =-+
板块二 列方程解应用题
【例题】
例1.（盈亏问题）乐乐过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每
人出7元，就多出了4元。

那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少元？
例2.（盈亏问题）幼儿园的老师给小朋友们分糖果，如果每人分4颗就多9颗，如果每人分
5颗正好分完，问：有多少位小朋友？共多少颗糖果？
例3.（盈亏问题）有若干盒卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7张；如果每人分8张卡片，则还缺少5张。

现在把所有卡片都分完，每人分到60张，而且还多出4张。

问：共有多少个小朋友？
例4.（和差倍分问题）甲油桶比乙油桶多2千克，从甲油桶取出36千克油加入乙桶，这时乙桶油的重量是甲桶油的3倍，原来甲桶油重多少千克？
例5.（和差倍分问题）2017年爷爷年龄是孙子的10倍，再过12年，爷爷年龄是孙子的4倍，那么2018年孙子是多少岁？
例6.（和差倍分问题）甲有桌子若干张，乙有椅子若干把，如果乙用全部的椅子换回相同数量的桌子，那么需要补给甲320元；如果乙不补钱，就会少换回5张桌子。

已知3张桌子比5把椅子的价钱少48元。

求乙原有椅子多少把？
例7.（行程问题）乐乐以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后，聪聪从学校出发，骑自行车以每分钟125米的速度去追乐乐，那么聪聪多少分钟可以追上乐乐？
例8.（行程问题）某人乘船顺流而下到乙地，然后又逆流而上到甲地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速度为每小时2.5千米，求两地的距离。

例9.（行程问题）甲以每分钟60米的速度从A地出发去B地；甲出发5分钟后，乙以每分钟80米的速度从B出发去A地；结果他们在距离两地中点100米的某处相遇。

求A、B两地相距多少米？
例10.（行程问题）汽车甲、乙、丙的速度分别为80千米/时、70千米/时、50千米/时。

若汽车甲从A地开往B地的同时，汽车乙、丙从B地开往A地，并且在途中，汽车甲在与汽车乙相遇后2小时又与汽车丙相遇。

求A、B两地相距多少千米？
例11.（成龙配套问题）某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母。

1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
【练习】
1.（盈亏问题）王老师买了同样多的巧克力，奶糖和水果糖。

她发给每个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖。

发完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的3倍，那么有多少个小朋友？
2.（盈亏问题）有若干个苹果和桃，如果按1个苹果配3个桃分一堆，那么苹果分完时，桃还剩2个；如果按半个苹果配2个桃分一堆，那么桃分完时，苹果还剩半个。

问桃有多少个？
3.（和差倍分问题）乐乐出生时爸爸28岁，现在爸爸的年龄是乐乐年龄的3倍，求现在乐乐的年龄。

4.（和差倍分问题）哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的3倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为30岁，问哥哥、弟弟现在各多少岁？
5.（行程问题）王力骑自行车从A地到B地，陈平骑自行车从B地到A地，两人都沿同一公路匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米。

求A、B两地间的路程。

6.（行程问题）铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为36.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时。

这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身长是多少？
7.（行程问题）在一条长1200厘米的电线上，黄甲虫在8:20从右端以每分钟15厘米的速度向左端爬去，8:30红甲虫和蓝甲虫从左端分别以每分钟13厘米和11厘米的速度向右端爬去，红甲虫在什么时刻恰好在蓝甲虫和黄甲虫的正中间？
8.（行程问题）一辆汽车在上坡、下坡、平路上行驶的速度分别是40千米/时、50千米/时、45千米/时。

这辆汽车从甲地开往乙地，先走上坡路，然后走下坡路，最后走平路，走这三种路所用的时间相同。

到达乙地后按原路返回甲地，所用时间比从甲地开往乙地多15分钟。

求甲、乙两地相距多少千米？
9.（成龙配套问题）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，1立方米木材可制作20个桌面，
或者制作400条桌腿，现有12立方米木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？
板块三 方程组的解法 (1)用代入消元法解方程组。

(2)用加减消元法解方程组。

【例题】
例1. 用代入消元法解方程组。

（1）⎩⎨⎧=++=531y x x
y
（2）⎩⎨⎧=+=-64302y x y x
例2.用加减消元法解方程组。

（1）⎩⎨⎧=-=+511
y x y x
（
2） (3)
⎩⎨⎧=-=+051323n m n m ⎩⎨⎧=-=-48
31084314y x y x
【练习】
1. 用代入消元法解方程组。

(1)⎩⎨⎧=++=3632y y x x (2)⎩⎨⎧=+=+17
2383y x y x
2. 用加减消元法解方程组。

（1）⎩⎨⎧=-=+2050y x y x （2）⎩
⎨⎧=+=-173263y 3x y x
3.已知x+y=35.2,x-y=25.8,求x 、y 和xy 的值。

板块四列方程组解应用题
【例题】
例1. （年龄问题）师傅对徒弟说：“我像你这样大时，你才4岁，将来当你像我这样大时，我已经是52岁的老人了”。

问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？
【练习】
1.（年龄问题）甲对乙说：“我若是你现在的年龄时，你那时的年龄是我年龄的一半；当你到我现在的年龄时，那时咱们的年龄之和是63岁”。

问甲、乙两人现在各多少岁？
学霸挑战
1.（人大附中）
小明家在颐和园，如果骑车到人大附中，每隔3分钟就能见到一辆332路公共汽车迎面开来；如果步行到人大附中，每隔4分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来。

已知任意两辆332路汽车的发车间隔都是一样的，并且小明骑车速度是小明步行速度的3倍，那么如果小明坐332路汽车到人大附中的话，每隔几分钟能见到一辆332路公共汽车迎面开来？
本讲作业
1.解下列方程。

（1）25b-(b-5)=29 (2)7x+2(3x-3)=20
(3)2(x+8)=3(x-1) (4)
15
4253+=-x x
2.(盈亏问题）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分
4本，则还缺25本。

这个班有多少学生？
3.（和差倍分问题）乐乐今年9岁，爸爸今年39岁，再过多少年，爸爸的年龄正好是乐乐的
2倍？
4.(行程问题）小刚和小强从A,B 两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相
向匀速而行。

出发后2小时两人相遇。

相遇时小刚比小强多行进24千米，相遇后0.5小时小
刚到达B 地。

两人的行进速度分别是多少？相遇后经过多少时间小强到达A 地？
5.(行程问题）A 、B 两地相距45
6.7千米，甲乙两艘轮船同时从A 、B 两地相向而行，甲船每
小时比乙船快2.6千米。

出发后经过4小时30分，两轮还相距54.4千米。

甲船每小时行多
少千米？
6.(行程问题）甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行。

在E 处相遇后，甲继续向
B 地行走，乙则休息14分钟后，再继续向A 地行走。

甲和乙到达B 和A 地后立即折返，仍在
E 处相遇。

甲分钟走60米，乙每分钟走80米。

求A 、B 两地相距多少千米？
7.(成龙配套问题）某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装2块大月饼和4块小月
饼。

制作1块大月饼要用0.05千克面粉，1块小月饼要用0.02千克面粉。

现共有面粉4500
千克，制作两种月饼应各用多少面粉，才能生产最多的盒装月饼？
8.解下列方程组。

（1）⎩⎨⎧=+=-104332y x y x （2）⎩⎨⎧=-=+1
21132x y y x
9.(年龄问题）姐姐的年龄比妹妹的年龄的3倍多1岁，但5年后妹妹的年龄比3年前姐姐的
年龄大1岁，求姐姐和妹妹的年龄各是多少？
答案：
板块一
【例题】
例1.（1）x=4 （2）x=5 (3)x=5 (4)x=4
例2. x+1.2=10.1
解：x+1.2-1.2=10.1-1.2X=8.9
把X=8.9代入mx=21.36中，可得： 8.9m=21.36 m=2.4
答：m的值是2.4.
例3.（1）x-1 x+1 x-7 x+7 (2)5x
(3)解：设中间数为x。

x+(x-1)+(x+1)+(x-7)+(x+7)=85x=17
x-1=17-1=16； x+1=17+1=18； x-7=17-7=10； x+7=17+7=24；
答：这5个数分别是17，16，18，10，24。

例4.解：设小长方形的长为x厘米。

4x=12×6 x=1818×12×10=21600(cm2)
答：这个大长方形的面积为21600平方厘米。

【练习】
1.(1)x=1 (2)x=1 (3)x=0 (4)x=6
板块二
【例题】
例1. 例1.4x-8=7x-4 x=4 4个同学，蛋糕24元。

例2.4x+9=5x x=9 9位小朋友 45颗糖果
例3. 60÷7=8（盒）……4（张） 60÷8=7（盒）……4（张）说明卡片的盒数是8盒。

解：设有x个小朋友。

(60x+4)÷(8x-5)=8 x=11 答：共有11个小朋友。

例4.解：设甲桶油重x千克，则乙桶油得（x-2)千克。

3(x-36)=x-2+36 x=71
例5.解：设2017年孙子x岁，则爷爷10x岁。

10x+12=4(x+12) x=6 6+1=7（岁）
例6.分析：桌子的单价为a元，椅子的单价为b元，椅子x把。

ax-bx=320 a(x-5)=bx 5b-3a=48
桌子的单价：320÷5=64（元）
椅子的单价：48元
解：设原有椅子x 把。

48x+320=64x x=20
例7.解：设聪聪x 分钟可以追上乐乐. 50×12+50x=125x x=8
例8.解：从甲地到乙地顺流用了x 小时。

（7.5+2.5）x=(7.5-2.5)(3-x) x=1
（7.5+2.5）×1=10(千米）
例9.解：设乙出发后x 分钟他们相遇。

60(5+x)-80x=100×2 或80x-60(5+x)=100×2
X=5 x=25
60×(5+5)+80×5=1000(米） 60×(5+25)+80×25=3800(米）
答：两地相距1000米或2800米。

例10.方程法：解：设A 、B 两地相距x 千米.
(80+50)×(70
80+x +2)=x x=1950 算术：（80+50）×2=260（千米） 260÷（70-50）=13（小时）
（80+70）×13=1950（千米）
例11.解：设应安排x 名工人生产螺钉，（22-x ）名工人生产螺母。

1200x ×2=2000(22-x) x=10 22-x=12(名）
【练习】
1. 解：设有x 个小朋友。

8x+15-2x=3(5x+15-7x) x=10 有10个小朋友
2. 解：设苹果有x 个，则桃有（3x+2)个。

2（x-0.5)×2=3x+2 x=4
3x+2=3×4+2=14(个） 答：桃有14个。

3.解：设乐乐现在x 岁。

x+28=3x x=14
4. 解：设弟弟现在x 岁，哥哥当年的年龄是x 岁，哥哥现在的年龄是（30-x)岁，
30-x=3[x-(30-x-x)] x=12 30-12=18(岁）
答：哥哥现在18岁，弟弟现在12岁。

5.解：设A 、B 两地间相距x 千米。

4
36236+=-x x x=108 6. 3.6千米/时=1米/秒 10.8千米/时=3米/秒
解：设这列火车的速度是x 米/秒。

22（x-1)=26(x-3) x=14 (14-1)×22=286(米）
7.解：设红甲虫和蓝甲虫出发后，再过x 分钟红甲虫恰好在蓝甲虫和黄甲虫的正中间。

1200-15×10-15x-13x=13x-11x x=35
即9:05时红甲虫恰好在蓝甲虫和黄甲虫的正中间。

8.解：设从甲地开往乙地共用3t 小时。

4
13405050t 40+=++t t t t=5 (40+50+45)×5=675(km) 9.解：设用x 立方米木材制作桌面.
20x ×4=400(12-x) x=10 12-x=12-10=2(m 3)
板块三 方程组的解法
【例题】
例1.（1）⎩⎨⎧==21y x （2）⎩
⎨⎧==6.02.1y x 例2.（1）⎩⎨⎧==38y x （2）⎩⎨⎧==149y x （3）⎩⎨⎧==5
1n m
【练习】
1.(1)⎩⎨⎧==2511y x （2）⎩
⎨⎧==15y x 2.（1）⎩⎨⎧==1535y x （2）⎩⎨⎧==3
4y x
3.把x+y=35.2和x-y=25.8的等号两边分别相加，可得：
x+y+x-y=35.2+25.8
x=30.5
把x=30.5代入x+y=35.2中，可得：
30.5+y=35.2
30.5+y-30.5=35.2-30.5
y=4.7
所以xy=30.5×4.7=143.35。

板块四 列方程组解应用题
【例题】
例1.解：设现在师傅x 岁，徒弟y 岁。

⎩⎨⎧-=--=-y x x y y x 524⎩⎨⎧==20
y 36x
【练习】
1.解：设甲现在x 岁，乙现在y 岁。

⎪⎩⎪⎨⎧-=---=-y x x x y y y x 6321⎩⎨⎧==18
y 27x 学霸挑战
1. 2.4分钟.
可设小明步行的速度为v 步，公交的速度为v 车，小明骑车的速度为3v 步，
3×（3v 步+v 车）=4（v 步+v 车） 5v 步=v 车
4（v 步+v 车）÷（v 步+v 车） =4（v 步+ 5v 步）÷（v 步+ 5v 步）=24÷6=2.4（分钟）
本讲作业
1.(1)b=1 (2)x=2 (3)x=19 (4)x=1
2. 解：设这个班有x 名学生。

3x+20=4x-25 x=45
3. 解：设再过x 年爸爸的年龄是乐乐的2倍。

39+x=(9+x)×2 x=21
4. 解：设小刚的速度为x 千米/时。

2x-24=0.5x x=16
小强的速度：16-12=4（千米/时）
2x ÷4=2×16÷4=8(小时） 8小时后小强到达A 地。

5.解：设甲船每小时行x 千米，则乙船每小时行（x-2.6）千米。

4.5 （x+x-2.6)=456.7-54.4 x=46
6.解：甲、乙二人第一次相遇用x 分钟。

1480
26060280+⨯=⨯x x x=12 (60+80)×12=1680(m) 7.解：设制作大月饼用面料x 千克，制作小月饼用面粉（4500-x ）千克。

202
.04500405.0⨯-=⨯x x x=2500 4500-2500=2000(千克） 8.（1）⎩⎨⎧==1y 2x （2）⎩⎨⎧==3
y 1x
9.解：设姐姐的年龄是x 岁，妹妹的年龄是y 岁。

⎩⎨⎧+=+-+=51313y x y x ⎩
⎨⎧==3y 10x。