计算方法6矩阵特征值和特征向量

方程组有解

A λ E 0
a1 n a 2n
即
a11 λ a 21 an1
a12 a 22 λ an 2
0
ann λ
上式是以 λ 为未知量的一元n次方程，称为方阵A
A λ E 是 λ 的n次多项式，记为 f (λ ) 的特征方程，
称为方阵A的特征多项式。
方法 2： 1 (1) 0 1 1 1 (0) 取X 1 , X A X 1 1 1 2 0 1 1 2 (2) (1) X AX 1 1 2 3 0 1 2 3 (3) (2) X AX 1 1 3 5 144 233 (11) (12) X 233 , X 377
2 0 2 1 0 1

从理论上讲，幂法可以采取降阶的方法求出矩阵A 的全部特征值。当求出λ1和对应的特征向量x1后， 按同样的思想可以依次求出λ2,λ3,…,λn以及相应 的特征向量x2,x3,…,xn 。在幂法中，求出矩阵A 的主特征值λ1及对应的特征向量x1后，可用压缩 方法求出n-1阶矩阵B使它的特征值为λ2,从而把求 A次特征值λ2的问题转化为求B的主特征值，等等。
显然，方阵A的特征值就是其特征方程的解。特征 方程在复数范围内恒有解，其解的个数为方程的 次数（重跟按重数计算），因此n阶方阵有n个特 征值。显然，n阶单位矩阵E的特征值都是1。 设n阶方阵 A (aij )的特征值为 λ 1 ,λ 2 ,λ n则有 （1） λ 1 λ 2 λ n a11 a22 ann ;
（2） λ 1λ 2 λ n A .
如果 λ λ i 是方阵A的一个特征值， 由线性方 程组( A λ i E)x 0, 求得非零解 x p i , 则 p i 就是A 的对应于特征值 λ i 的特征向量。 由以上分析知： 求方阵的特征值和特征向量实际上就是求行列式和
方程组的解。
（k＋ 1 ） （k） 1 i i （k） （k） 1
显然 X
（k＋ 1 ） i
X
（k） i
收敛于1的速度取决于比值2 1 的大小
0 2 [例7.3] 计算矩阵 A＝ 1 1 的按模最大的特征值 和特征向量
得到按模最大的特征值1 2.00073，相应的特征 向量 x1 （－ 5460， 5462 ） 继续算下去，越来越接近按模最大的特征值的 准确 值1 2，相应的特征向量x1 （－ 1， 1 ）
以下考虑两种简单情况。
按模最大的特征值只有 一个
设 1 2 3 n ，由上式得到
（k） X ＝1k1 x1 ＋2k2 x 2 ＋＋nkn x n k k k 2 n ＝1 1 x1 ＋ 2 ＋＋n k x2 k xn 1 1 i 若1 0，由于 1，i＝ 2， 3， ，n 1
问题的提出
矩阵特征值计算非常重要，在很多方面应用
数值分析中，和矩阵有关的迭代序列的收敛
取决于迭代矩阵的特征值大小
动态系统中，特征值标志着系统是否是稳定
的
振动系统中，微分方程的特征值或者有限元
模型的矩阵系数和系统的固有频率直接相关
数学中方阵的对角化、微分方程组的解等等
6.1 基本概念回顾
DEF6.1 设A是n阶方阵，如果数λ和一维非零向量χ 使关系式Aχ=λχ成立，则称数λ为方阵A的特征值， 非零向量χ称为A的属于特征值λ的特征向量.
• 若按6.2中计算过程，有一严重缺点，当 |λ1|>1时， X(k)中不为零的分量将随K的增大 而无限增大，计算机就可能出现上溢（或随K 的增大而很快出现下溢），因此，在实际计算 时，须按规范法计算，每步先对向量 进行“规 范化”，即用X(k)中绝对值最大的一个分量记 作max|xik| ，用max|xik| 遍除X(k) 的所有 分量，得到规范化向量Y(k) ，并令 实际计算公式 X(k+1)=A Y(k) Y(k)＝ X(k) /|| X(k) ||∞
1 2 x1 0 , 解得基础解系 p 2 . 1 x 2 0 3
A的属于特征值 λ 2 7 的所有特征向量为
kp2 (k 0为任意常数).
定理 对于一阶矩阵A，如果 0 是A的 k重特征根，则A对应于 0 的线性无关特征向量的 个数不大于k， 也就是说， (A 0E)x 0 的基础解系 所含向量的个数不大于k. 定理 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 事实 方阵在复数域内总有特征根，但不一定有实 特征根。 0 1 例 矩阵 A 的特征值。 1 0 λ 1 λ 2 1. A的特征多项式为 f (λ ) 1 λ 其有复特征根 λ 1 i,λ 2 i.
2 x1 0 , 6 x 2 0
p1 就是A的一个属于特征值 λ 1 0的特征向量，
A的属于特征值 λ 1 0的所有特征向量为
kp1 (k 0为任意常数).
当λ 2 7时，
由( A λ 2E)x 0 即方程组
6 3
按模最大的特征值是互 为反号的实根
设1 0，且1 ＝ 2，即 1＝ 2 3 n ，有
k k （k） k k 3 n X ＝1 1 x1 ＋ ( － 1) 2 x 2 ＋ 3 k x n ＋n k xn 1 1
方程一般形式
Ax x Ax I x 0 A I x 0 A I 0
注意：上面用定义阐述了如何求解矩阵A的特征值 λ和特征向量X。但众所周知，高次多项式求根是 相当困难的，而且重根的计算精度较低。同时， 矩阵A求特征多项式系数的过程对舍入误差十分敏 感，这对最后计算结果影响很大。因此，从数值 计算角度来看，上述方法缺乏实用价值。
当k充分大时 （ k） k k X （ x ( 1 ) 2 x 2 ） 1 1 1 （ k＋ 1 ） 1 X k1＋ （ 1 x1 ( 1)k＋1 2 x 2 ） （k＋2） 2 （ k） X k1＋ （ 1 x1 ( 1)k＋2 2 x 2 ） 2 X 1 （ k） X 呈现有规律的摆动 (k 2) (k ) 2 ＝ X / X 1 i i 1 ＝ X i(k 2) / X i(k )，i 1,2, , n 又有
推论：如果χ是矩阵A的属于特征值λ0的特征向量， 那么χ的任何一个非零倍数kχ也是A的属于λ的特征向 量。这是因为Aχ=λ0χ所以A(kχ)=λ 0(kχ)，这说明属 于同一个特征值的特征向量不是唯一的，但一个特 征向量只能属于一个特征值。
Ax λ x 可以写成齐次线性方程组 ( A λ E)x 0
(0)
在很多问题中，矩阵的按模最大特征值往往起重要 的作用。例如矩阵的谱半径即按模最大特征值，决 定了迭代矩阵是否收敛。因此矩阵的按模最大的特 征值比其余特征值更重要。
幂法是计算按模最大特征值及相应的特征向量的数 值方法。简单地说，任取初始向量X(0),迭代计算 X(k+1)=A X(k)
得到迭代序列X(k+1)，k＝0,1,…；再分析X(k+1)与 X(k)之间的关系，就可得到A的按模最大特征值及 特征向量的近似解
6.5 幂法的加速和降阶
•幂法的收敛速率依赖于次大和最大特征值之比， 当比值很小时，收敛快
•先对矩阵进行变换，使得有很大的特征值
•原点移位法：用A－λ0I来代替A进行迭代
原点移位法：
A－λ0I和A的特征值λ0，相应的特征向量不变
X ＝ ( A 0I) X
k
（k）
k （0） k k
2 0 n 0 (1 0 ) (1 x1 ＋ ＋＋n 2 x 2 xn ) 0 0 1 1 为了加速收敛，适当选取λ0，使得
i 对充分大的k有 2， 3， ，n故 0，i＝ 1
（k） X k11 x1 （k＋ 1 ） （k） X k1＋11 x1 ＝1 X
k
于是得到按模最大的特 征值 X X ，i＝ 1， 2， ，n （k＋ 1 ） （k） 由X ＝AX ＝ X ，得到特征向量近似为X
X(k+1)=A Y(k)
3 9 － [例7.4] 用规范法计算矩阵 A＝ 4 1 的按模最大 的特征值和特征向量
3 9 － [例7.5] 用规范法计算矩阵 A＝ 4 1 的按模最小 的特征值和特征向量
反幂法的规范算法
实际计算公式
Y(k)＝ X(k) /|| X(k) ||∞ AX(k+1)= Y(k)
1 2 例6.1 求矩阵 A 的特征值与特征向量。 3 6 解 A的特征多项式为
1 λ 3
2 (1 λ )(6 λ ) 6 λ (λ 7), 6 λ
故A的特征值为 λ 1 0,λ 2 7. 当 λ 1 0 时,由
1 ( A λ 1E)x 0 即方程组 3 2 . 解得基础解系为 p1 1
那么，
（ 1 ） （0） X ＝AX ＝A（1 x1 ＋ 2 x 2 ＋＋n x n ） ＝A1 x1 ＋A2 x 2 ＋＋An x n ＝11 x1 ＋ 2 2 x 2 ＋＋n n x n 一般地有 （ k） （k－ 1 ） X ＝AX ＝1k1 x1 ＋2k2 x 2 ＋＋nkn x n （k） （ k） X 的变化趋势与特征值的分布有关，幂法根据 X 的变化趋势计算矩阵按 模最大的特征值。
问题的解决：目前，求矩阵特征值问题实际采用 的是迭代法和变换法。
6.2 幂法（Power Method）