矩阵的特征值与特征向量习题

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考研数学三矩阵的特征值与特征向量二次型-试卷1_真题-无答案

考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）-试卷1(总分60,考试时间90分钟)2. 填空题1. 设A是3阶实对称矩阵，特征值是0，1，2．如果λ=0与λ=1的特征向量分别是α1=(1，2，1)T与α2=(1，-1，1)T，则λ=2的特征向量是_______．2. 已知A=相似，则x=_____，y=________．3. 已知矩阵A=有两个线性无关的特征向量，则a=______．4. 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的正、负惯性指数分别为p=______，q=_______．5. 二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3的矩阵A=_______，规范形是______．6. 假设二次型f(x1，x2，x3)=(x+ax2-2x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2正定，则a的取值为_____．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1. 已知A=，求A的特征值、特征向量，并判断A能否对角化，说明理由．2. 已知A=，A*是A的伴随矩阵，求A*的特征值与特征向量．3. 已知A=可对角化，求可逆矩阵P及对角矩阵A，使P-1AP=A．4. 已知A暑3阶不可可矩阵，-1和2是A的特征值．B=A2-A-2E，求B的特征值，并问B 能否相似对角化，并说明理由．5. 设3阶矩阵A的特征值λ=1，λ=2，λ=3对应的特征向量依次为α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，4)T，α3=(1，3，9)T．(Ⅰ)将向量β=(1，1，3)T用α1，α2，α3线性表出：(Ⅱ)求Anβ．6. 设矩阵A=是矩阵A*的特征向量，其中A*是A的伴随矩阵，求a，b的值．7. 设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(-1，2，-3)T都是A属于λ=6的特征向量，求矩阵A．8. 已知A～B，A2=A，证明B2=B．9. 已知A2=0，A≠0，证明A不能相似对角化．10. 已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关，如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3．11. 设A=．12. 设A=(aij)是秩为n的n阶实对称矩阵，Aij是｜A｜中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=(Ⅰ)记X=(x1，x2，…，xn)T，试写出二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵形式；(Ⅱ)判断二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同，并说明理由．13. 求正交变换化二次型2x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形，并写出所用正交变换．14. 已知α=(1，-2，2)T是二次型xTAx=ax12+4x22+bx32-4x1x2+4x1x3-8x2x3矩阵A的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换．15. 设二次犁x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3经正交变换化为3y12+3y22+6y32，求a，b 的值及所用正交变换．16. 已知二次型f(x1，x2，x2)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2.(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；(Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．17. 设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3，(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．18. 设三元二次型xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3的正、负惯性指数都是1，(Ⅰ)求a的值，并用正交变换化二次型为标准形；(Ⅱ)如B=A3-5A+E，求二次型xTBx的规范形．19. 已知三元二次型xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形．20. 用配方法把二次型2x32-2x1x2+2x1x3-2x2x3化为标准形，并写出所用坐标变换．21. 用配方法化二次型x1x2+2x2x3为标准形，并写出所用满秩线性变换．22. 判断3元二次型f=x12+5x22+x32+4x1x2-4x2x3的正定性．23. 判断n元二次型的正定性．。

第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案

n
a2 j a22
j 1
a2n 0
n
anj an2 ann
j 1
1 a12 a1n
1
( a)
a22
a2n
0
1 an2 ann
a 是矩阵A的特征值。
1 1
(
2
)
A
1
a
1
1 1
1 1
A
k 1
a
k
1
1
1
b11
设
Ak
1
1
0 1
1 1,2 1 1,
1
（方法最普通，也是最常用的）
3
0
2
(2,2) (2,2)
2
12 1 2 1
（方法二） 1 1 1
设
1
1,
1
1,
0
00,（方但法较普麻通烦，）
已知 1,,, 线性无关，
然后将其正交化即得 1,2,3
（方法三）（方法较好，但太特殊）
已知
2 0 1 3 1 x 0 4 0 5
(1)2
1 0
4 5
(1)2(6)0
因为矩阵A是可以对角化的，所以当1 2 1时，
(EA)X 有两个线性无关的特征向量。
R(EA)1 1 0 1 (E A) 3 0 x 4 0 4
1 0 1 1 0 1 ~ 3 0 x ~ 0 0 x 3
A1 AT
B
1
BT
(A) 1 B B 1A 1B TA T (A)T B
（方法二）
A,B都是n阶正交矩阵，
AAT AT A E BBT BTB E
(A)B A ( )B TAB TAT BAE TA E (A)B T(A)B BTATA BBTE BE

矩阵的特征值和特征向量习题

1 2 2 1 4 6
即A
2
2
1
2
4
3
2 1 2 2 2 6
17
1 4 6 1 2 2 1
故A
2 2
4 2
3 6
2 2
2 1
1 2
7
1 4 6 1
2
2
3
0
2 3
1 9
2 2
4 2
3
2
6 2
2 1
1 2
0 2
3
5 3 2 3
2 3
2
18
解首先证明A与 P 1 AP有相同的特征值.只需证明它们有相同的特征多项式.
f P1AP ( ) E P1 AP
P1 P P1 AP
P1 E A P E A f A( ), 1, 2 , , n就是 P1 AP的全部特征值.
其次求 P1 AP属于 i的特征向量.
A i i i , 即 (i E A) i 0,
又 ( i E P1 AP ) i (i P1 P P1 AP) i P1(i E A)P i ,
-1 E A 1 AT A A
1 AT E A 1 A E T A
1 E A 1
14
由此得 1 E A 0,即1是A的一个特征值。
（2）当 A 1且n 2k 1时， E A AT A A A E A A E
1n E A E A
由此知 E A 0,即1为A的特征值。
其中A是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和的值。 10
解：矩阵A的属于特征值的特征向量为，
由于矩阵A可逆，故A可逆。
于是 0，A 0，且A .
两边同时左乘矩阵A，得AA* A，

习题六特征值与特征向量

习题六特征值与特征向量1. 求下列矩阵的特征值和特征向量()()131200012010100⎡⎤⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 设100212121A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求A 的特征值及特征子空间。

3. 设线性变换ϕ在基123,,εεε下的矩阵是320416482A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求的特征值与特征向量。

4. 设A 、B 都是n 阶方阵，且0A ≠，证明AB 与BA 相似。

若0A =，结论如何？5. 已知矩阵74147144A x -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥---⎣⎦的特征值，求x 与A 的特征向量。

6. 证明：（1）若A 是n 阶幂等矩阵（即A 2=A ）,则A 的特征值是1或0；（2）若A 是n 阶对合矩阵（即A 2=I ），则A 的特征值是1或-1；（3）反对称实矩阵的特征值为0或纯虚数；（4）n 阶幂零矩阵（A k =0，k 为正整数）只有0为特征值。

7. 设A 的对应于特征值0λ的特征向量为X ，证明：（1） X 是A m 的对应于特征值0m λ的特征向量；（2）对于多项式()f λ，X 是f(A)的对应于特征值0()f λ的特征向量。

8. 若A 是可逆的，A 、A *、A -1三个矩阵的特征值与特征向量之间的关系如何？9. 设λ是n 阶方阵A 的特征值，证明：（1） 21λλ++是A 2+A+I 的特征值；（2）若A 可逆，Aλ是A *的一个特征值。

10. 设12,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，12,αα分别是A 的属于12,λλ的特征向量，试证：12αα+不是A 的特征向量。

11. 设 0411100A x y x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦、是实数（1）求A 的特征多项式；（2）若A 相似于对角阵，求x 、y 应满足何种条件；（3）若A 正交相似于实对角阵，x 、y 又如何？ 12. 设3阶方阵A 的特征值为0，1，-1，对应的特征向量为 X 1=(1,0,0)T , X 2=(1,1,0)T , X 3=(0,1,1)T ,求A 及A 2n 。

矩阵的特征值和特征向量习题

3
3 例1 计算 3阶实矩阵 A = 2 4 和特征向量.
解第一步
2 0 2
4 2 的全部特征值 3
计算 A 的特征多项式
λ−3 −2 f ( λ ) = λE − A = − 2 λ
−4
= (λ − 8) (λ + 1) .
2
−4 −2 −2 λ−3
4
第二步
求出特征多项式 f ( λ )的全部根 ,即 A
9
1 其解为λ1 = 1，k1 = −2；λ2 = ，k2 = 1. 4 −1 故k = −2或1时，α 是A 的特征向量。
2 1 1 1 例3.设矩阵A = 1 2 1 可逆，向量α = b 是 1 1 a 1 矩阵A∗的一个特征向量，λ是α 对应的特征值，其中A∗是矩阵A的伴随矩阵，试求a, b和λ的值。
11
A 3+b = λ A 由此，得方程组 2 + 2b = b λ A a + b + 1 = λ
解方程组得a = 2, b = 1或b = 2。
12
2 1 1 由于 A = 1 2 1 = 3a − 2 = 4， 1 1 a 由方程组的第一个方程知， 4 特征向量α 所对应的特征值λ = = 。 3+b 3+b
8
2 1 1 T 例2.已知向量α = 1, k ,1) 是矩阵A = 1 2 1 的逆阵（ 1 1 2 −1 A 的特征向量，试求常数k的值。（ 1991年数学5）
解：设λ是α 所属的A 的特征值，即A α = λα，
−1 −1
于是λ Aα = α，即
2 1 1 1 1 λ 1 2 1 k = k 1 1 2 1 1

考研数学一(矩阵的特征值和特征向量)-试卷1

考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）-试卷1(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设矩阵A A的三个特征值是( )（分数：2.00）A.1，0，－2．B.1，1，－3．C.3，0，－2．D.2，0，－3．√解析：解析：根据特征值的性质：∑λi＝∑a ii．现在∑a ii＝1＋(－3)＋1＝－1，故可排除选项C．显然，矩阵A中第2、3两列成比例，易知行列式｜A｜＝0，故λ＝0必是A的特征值，因此可排除选项B．对于选项A和选项D，可以用特殊值法，由于说明λ＝1不是A矩阵的特征值．故可排除选项A．所以应选D．3.已知A是4阶矩阵，A *是A的伴随矩阵，若A *的特征值是1，－1，2，4，那么不可逆矩阵是( ) （分数：2.00）A.A－EB.2A－EC.A＋2E √D.A－4E解析：解析：因为A *的特征值是1，－1，2，4，所以｜A *｜＝－8，又｜A *｜＝｜A｜n-1，因此｜A｜3＝－8，于是｜A｜＝－2．那么，矩阵A的特征值是：－2，2，－1，．因此，A－E的特征值是－3，1，－2，，因为特征值非0，故矩阵A－E可逆．同理可知，矩阵A＋2E的特征值中含有0，所以矩阵A＋2E不可逆．所以应选C．4.已知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是( )（分数：2.00）A.A T√B.A 2C.A -1D.A－E解析：解析：由于｜λE－A T｜＝｜(λE－A) T｜＝｜λE－A｜，A与A T有相同的特征多项式，所以A 与A T有相同的特征值．由Aα＝λα，α≠0可得到： A 2α＝λ2α，A -1α＝λ-1α，(A－E)α＝(λ－1)α，说明A 2、A -1、A－E与A的特征值是不一样的(但A的特征向量也是它们的特征向量)．所以应选A．5.已知α＝(1，－2，3) T是矩阵A＝( )（分数：2.00）A.a＝－2，b＝6．√B.a＝2，b＝－6．C.a＝2，b＝6．D.a＝－2，b＝－6．解析：解析：设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，按定义有即有λ＝－4，a＝－2，b＝6，故应选A．6.设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量口是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中 (1)A 2 (2)P -1 AP (3)A T (4)E－ A α肯定是其特征向量的矩阵共有( )（分数：2.00）A.1个B.2个√C.3个D.4个解析：解析：由Aα＝λα，α≠0，有A 2α＝A(λα)＝λAα＝λ2α，α≠0，即α必是A 2属于特征值λ2的特征向量．又知α必是矩阵E－A属于特征值1－λ的特征向量．关于(2)和(3)则不一定成立．这是因为 (P -1 AP)(P -1α)＝P -1 Aα＝λP -1α，按定义，矩阵P -1 AP的特征向量是P -1α．因为P -1与α不一定共线，因此α不一定是P -1 AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的．线性方程组(λE－A)χ＝0与(λE－A T )χ＝0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是A T的特征向量．所以应选B．7.设A是n阶矩阵，下列命题中正确的是( )（分数：2.00）A.若α是A T的特征向量，那么α是A的特征向量．B.若α是A *的特征向量，那么α是A的特征向量．C.若α是A 2的特征向量，那么α是A的特征向量．D.若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量．√解析：解析：如果α是2A的特征向量，即(2Aα)＝λα，α≠0．那么Aα＝λα，所以α是矩阵A属于特征值λ的特征向量．由于(λE－A)χ＝0与(λE－A T )χ＝0不一定同解，所以α不一定是A T的特征向量．例如上例还说明当矩阵A不可逆时，A *的特征向量不一定是A的特征向量；A 2的特征向量也不一定是A的特征向量．所以应选D．8.已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A 2α线性无关，而A 3α＝3Aα－2A 2α，那么矩阵A属于特征值λ＝－3的特征向量是( )（分数：2.00）A.αB.Aα＋2αC.A 2α－Aα√D.A 2α＋2Aα－3α解析：解析：因为A 3α＋2A 2α－3Aα＝0．故 (A＋3E)(A 2α－Aα)＝0＝0(A 2α－Aα)，因为α，Aα，A 2α线性无关，那么必有A 2α－Aα≠0，所以A 2α－Aα是矩阵A＋3E属于特征值λ＝0的特征向量，即矩阵A属于特征值λ＝－3的特征向量．所以应选C．二、填空题(总题数：8，分数：16.00)9.设三阶方阵A的特征值分别为－2，1，1，且B与A相似，则｜2B｜＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－16）解析：解析：因为相似矩阵有相同的特征向量，矩阵对应的行列式等于特征向量的乘积，因此有｜2B｜＝2 3＝8×(－2)＝－16．10.设3阶矩阵A的特征值分别为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则｜4A -1－E｜＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：根据已知条件A的特征值为1，2，2，A -1的特征值为1，4A -1－E的特征值为3，1，1，所以｜4A -1－E｜＝3×1×1＝3．11.设3阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令P＝(3α3，α1，2α2 )，则P -1 AP＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为3α3，α1，2α3分别为A的对应特征值3，1，2的特征向量，所以P -1AP＝12.已知A有一个特征值－2，则B＝A 2＋2E必有一个特征值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为λ＝2是A的特征值，所以根据特征值的性质，λ2＋2＝(－2) 2＋2＝6是B＝A 2＋2E的特征值．13.设A是n阶矩阵，λ＝2是A的一个特征值，则2A 2－3A＋5E必定有特征值 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：7）解析：解析：如果λ是A的一个特征值，α是对应于λ的一个特征向量，则Aα＝λα，因此有 A 2α＝A(λα)＝λAα＝λ2 a．因此可知 (2A 2－3A＋5E)α＝2A 2α－3Aα＋5α＝(2λ2－3λ＋5)α，所以2×2 2－3×2＋5＝7一定是2A 2－3A＋5E的一个特征值．14.设A是3阶矩阵，且各行元素的和都是5，则矩阵A一定有特征值 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：已知各行元素的和都是5，即＝5，化为矩阵形式，可得满足A一定有一个特征值为5．15.已知A＝ A *是A的伴随矩阵，那么A *的特征值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1，7，7）解析：解析：根据矩阵A的特征多项式可得矩阵A的特征值为7，1，1．又因为｜A｜＝λi，可得｜A｜＝7．因为如果Aα＝λα，则有A *α＝α，因此A *的特征值是1，7，7．16.矩阵A 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2，1解析：解析：｜λE－A｜＝＝(λ－2)(λ－1 )(λ－1＋)，所以A的特征值为λ1＝2，λ2 1＋，λ3＝1－三、解答题(总题数：11，分数：22.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3.1 矩阵的特征值和特征向量

T
习题3.1选讲习题3.1选讲
第三章
5. 设λ0是n阶矩阵A的一个特征值 , 试证 (1) kλ0是kA的一个特征值 ( k为常数 );
m ( 2) λ0 是Am的一个特征值 ( m为常数 );
( 3) 若A可逆 , 则 ( 4) 若A可逆 , 则
1
λ0
A
是A−1的一个特征值; 是 A 的一个特征值;
习题二第11题习题二第11题
设 n阶矩阵 A各行的元素之和均为零 , 且 r ( A ) = n − 1. 求齐次线性方程组 AX = O的全部解 .
练习2.5第练习2.5第3题: 矩阵, 矩阵. 证明AB 设 A 为m × n 矩阵, B为 n × s 矩阵. 证明AB = O ⇔ B 的解. 的每一个列向量均为齐次线性方程组 AX = O 的解.
第三章
1. 设 A 是 n 阶矩阵，则 A 与 AT 具有相同的特征值. 阶矩阵，具有相同的特征值. 3. 设 λ1 , λ2 , … λm 是方阵 A 的 m 个互异特征值, α1 , α2 , 个互异特征值, 依次是与之对应的特征向量, … , αm 依次是与之对应的特征向量, 则 α1 , α2 , … , αm 线性无关. 线性无关. 4. 设 n 阶矩阵 A 的互异特征值为 λ1 , λ2 , … λm . A 的属于 λi 的线性无关的特征向量为则向量组
*
λ0
( 5) 对任意数 k , k − λ0是kE − A的一个特征值 .
P16P16-15
习题3.1选讲习题3.1选讲
第三章
7. 设 λ1 , λ2是 n阶矩阵 A的两个不同特征值 , 对应的特征向量分别为 α 1 , α 2 , 试证 c1α 1 + c 2α 2 ( c1 ≠ 0, c 2 ≠ 0 )不是 A的特征向量 .

特征值与特征向量练习题

特征值与特征向量练习题在线性代数中，特征值与特征向量是重要的概念。

特征值与特征向量的研究对于解决矩阵和线性变换的问题具有重要意义。

本文将为你提供一些特征值与特征向量的练习题，帮助你加深对这些概念的理解。

练习题一：考虑以下矩阵A:A = | 3 4 || 2 1 |问题一：找出矩阵A的特征值和对应的特征向量。

解答一：首先，我们需要找到矩阵A的特征值λ，通过求解矩阵A的特征方程来得到。

特征方程的形式为| A-λI |=0，其中I是单位矩阵。

我们可以写出矩阵A-λI的形式：A-λI = | 3-λ 4 || 2 1-λ |计算行列式并置为零得到特征方程：(3-λ)(1-λ)-(4)(2) = 0展开并整理方程，得到二次方程：λ^2 - 4λ - 5 = 0解方程，得到特征值λ1=5和λ2=-1。

接下来，我们需要找到对应于特征值λ1和λ2的特征向量。

我们可以通过解线性方程组(A-λI)x=0，来得到特征向量。

首先，对于特征值λ1=5，我们可以得到线性方程组：(-2)x1 + 4x2 = 02x1 - 4x2 = 0解方程组，得到x1=2和x2=1。

因此，特征向量v1=(2,1)。

然后，对于特征值λ2=-1，我们可以得到线性方程组：4x1 + 4x2 = 02x1 + 2x2 = 0解方程组，得到x1=-1和x2=1。

因此，特征向量v2=(-1,1)。

练习题二：考虑以下对称矩阵B:B = | 2 -1 || -1 2 |问题二：找出对称矩阵B的特征值和对应的特征向量。

解答二：由于对称矩阵的特征值与特征向量具有一些特殊的性质，我们可以利用这些性质来求解。

首先，我们可以通过求解特征方程来得到矩阵B的特征值。

特征方程的形式为| B-λI |=0，其中I是单位矩阵。

我们可以写出矩阵B-λI的形式：B-λI = | 2-λ -1 || -1 2-λ |计算行列式并置为零得到特征方程：(2-λ)(2-λ)-(-1)(-1) = 0展开并整理方程，得到二次方程：λ^2 - 4λ + 3 = 0解方程，得到特征值λ1=1和λ2=3。

考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(1/3 A2 )-1 有一个特征值等于A．4/3B．3/4C．1/2D．1/4正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量2．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A 的属于特征值A的特征向量，则矩阵(P-1 AP)T 属于特征值A的特征向量是A．P-1α．B．PT α．C．Pα．D．(P-1 )Tα．正确答案：B 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量填空题3．矩阵的非零正值是________.正确答案：λ2 (λ-4) 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量4．设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是________.正确答案：λn-λn-1 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量5．设A为2阶矩阵，α1，α2为线性无关的2维列向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为________.正确答案：1 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量6．设向量α=(α1，α2，…，αn)T ，β=(b1，b2，…，bn)T 都是非零向量，且满足条件αT β=0，记n阶矩阵A=αβT ．求：A2 ．正确答案：由A=αβT和αTβ=0，有A2=(αβT)(αβT)=a(βTα)βT=O αβT=0．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量7．设α，β为3维列向量，βT 为β的转置．若矩阵αβT 相似于，则βTα=________.正确答案：αTβ涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8．设矩阵是矩阵A* 的一个特征向量，A是α对应的特征值，其中A*是矩阵A的伴随矩阵．试求a，b和λ的值．正确答案：涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量9．若矩阵相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P-1 AP=A．正确答案：涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量10．设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．正确答案：涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量11．试确定参数a，b及特征向量ξ所对应的特征值；正确答案：设ξ是属于特征值λ0的特征向量，即涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量12．问A能否相似于对角阵?说明理由．正确答案：涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量设矩阵A与B相似，且13．求a，b的值；正确答案：涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量14．求可逆矩阵P，使P-1AP=B．正确答案：因为A-B，A与B有相同的特征值，故矩阵A的特征值是λ1=λ2=2，λ3=6．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量15．设矩阵，问当k为何值时，存在可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．正确答案：涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量16．设矩阵，已知A有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得P-1 AP为对角形矩阵．正确答案：于是得到矩阵A的特征值：λ1=λ2=2，λ3=6. 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量设A为三阶矩阵，α1，α2，α3；是线性无关的三维列向量，且满足Aα1=α1，α2，α3；，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．17．求矩阵B，使得A(α1，α2，α3；)=(α1，α2，α3)B；正确答案：涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量18．求矩阵A的特征值；正确答案：因为α1，α2，α3线性无关，矩阵C=(α1，α2，α3)可逆，所以C-1AC=B，即A与B相似．由涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量19．求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．正确答案：涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量。

特征值与特征向量练习题

特征值与特征向量练习题特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。

下面是一些关于特征值和特征向量的练习题。

1、设矩阵A的元素如下：2 -3 41 -1 10 1 -2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。

2、设矩阵A的元素如下：1 2 34 5 67 8 9矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。

3、设矩阵A的元素如下：2 1 00 2 10 0 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。

4、设矩阵A的元素如下：csharp1 0 00 2 -10 -1 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。

5、设矩阵A的元素如下：lua1 0 0 00 2 -1 -10 -1 2 -10 -1 -1 2矩阵B为A的平方，求B的特征值和特征向量。

特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中两个非常重要的概念，它们在许多数学领域中都有广泛的应用，包括解决线性方程组、研究矩阵的性质、以及在机器学习和数据科学中等。

一、特征值特征值是矩阵的一个重要属性，它可以通过对矩阵进行特定的数学操作来得到。

对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av = λv对某个标量λ成立，那么我们就说λ是A的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。

特征值的性质可以通过矩阵的特征多项式来研究。

特征多项式f(x) = |xI - A|，其中I是单位矩阵，A是给定的矩阵。

特征多项式的根就是矩阵的特征值。

二、特征向量特征向量是矩阵对应于特征值的向量。

它与特征值有密切的关系，并且在解决线性代数问题中发挥着重要的作用。

设A是n阶方阵，如果存在非零向量v，使得Av = λv对某个标量λ成立，那么我们就说λ是A的特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。

特别地，如果λ是矩阵A的特征值，那么对于任何使得|xI - A|= 0成立的x，我们都有(xI - A)v = xv - Av = (x - λ)v，这表明v 也是对应于x的特征向量。

线性代数课后答案_习题5和习题6

习题五1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：1）1124-⎛⎫ ⎪⎝⎭；2）123213336⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；3）001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4）310410482⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭。

并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。

解：1）11(2)(3)24λλλλ-=----，特征值2,3λ= 。

当2λ=时， 1(1,1)η'=- ，故属于2λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。

当3λ=时，2(1,2)η'=- ，故属于3λ=的特征向量为 22k η（20k ≠）。

由于线性无关的特征向量个数为2，故可以对角化。

2）123213(1)(9)336λλλλλλ------=+----，特征值0,1,9λ=- 。

当0λ=时， 1(1,1,1)η'=-- ，故属于0λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。

当1λ=-时， 2(1,1,0)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。

当9λ=时， 3(1,1,2)η'= ，故属于9λ=的特征向量为 33k η（30k ≠）。

由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。

3）201010(1)(1)10λλλλλ--=+--，特征值1,1λ=- 。

当1λ=时， 1(0,1,0)η'= ，2(1,0,1)η'=。

故属于1λ=的特征向量为1122k k ηη+（12,k k 不全为零）。

当1λ=-时， 3(1,0,1)η'=- ，故属于1λ=-的特征向量为 33k η（30k ≠）。

由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。

4）2310410(1)(2)482λλλλλ--+=-+-+ ，特征值1,2λ=- 。

当1λ=时， 1(3,6,20)η'=- ，故属于1λ=的特征向量为 11k η（10k ≠）。

当2λ=-时， 2(0,0,1)η'= ，故属于2λ=-的特征向量为 22k η（20k ≠）。

1.求下列矩阵的特征值与特征向量.

1.求下列矩阵的特征值与特征向量．(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2321(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---466353331(3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------266157113(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0111101111011110 解 (1)令1232A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，矩阵A 的特征多项式为 12(1)(4)32E A λλλλλ---==+--- 所以，矩阵A 的特征值为 4,121=-=λλ．当11-=λ时，解方程组()E A x --=0，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00323221x x 解得基础解系为T 1(1,-1)=ξ，故特征值11-=λ所对应的全部特征向量为T 111(1,1)ξ=-k k （01≠k ）．当42=λ时，解方程组(4)E A x -=0，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00232321x x 解得基础解系为T 2(2,3)ξ=，故特征值41=λ所对应的全部特征向量为T 222(2,3)k k =ξ（02≠k ）． (2) 令133353664A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，矩阵A 的特征多项式为 2133353(2)(4)664E A λλλλλλ---=-+-=+--- 所以，矩阵A 的特征值为4,2321=-==λλλ．当221-==λλ时，解方程组(2)E A x --=0，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------000666333333321x x x解得基础解系为T T 12(1,1,0),(1,0,1)ξξ=-=-，故特征值221-==λλ所对应的全部特征向量为T T 112212(1,1,0)(1,0,1)k k k k +=+-ξξ （1k ，2k 不全为零）．当43=λ时，解方程组(4)E A x -=0，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000066393333321x x x解得基础解系为T (1,1,2)ξ=3，故特征值43=λ所对应的全部特征向量为T 333(1,1,2)k k =ξ（03≠k ）． (3) 令311751662A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，矩阵A 的特征多项式为 2311751(2)(4)662E A λλλλλλ+--=-=+--+ 所以，矩阵A 的特征值为4,2321=-==λλλ．当221-==λλ时，解方程组(2)E A x --=0，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000066177111321x x x解得基础解系为T 1(1,1,0)ξ=-，故特征值221-==λλ所对应的全部特征向量为T 111(1,1,0)k k =ξ（01≠k ）．当43=λ时，解方程组(4)E A x -=0，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000666117117321x x x解得基础解系为T 2(0,1,1)ξ=，故特征值43=λ所对应的全部特征向量为T 222(1,1,2)k k =ξ（02≠k ）． (4) 令0111101111011110A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，矩阵A 的特征多项式为所以，矩阵A 的特征值为3,13321-====λλλλ．当1321===λλλ时，解方程组()E A x -=0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------000011111111111111114321x x x x 解得基础解系为T T T 123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)ξξξ===-，故特征值 1321===λλλ所对应的全部特征向量为T T T 112233123(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)k k k k k k ++=++-ξξξ（1k ，2k ，3k 不全为零）．当33-=λ时，解方程组(3)--=0E A x ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------000031111311113111134321x x x x 解得基础解系为T 4(1,1,1,1)ξ=--，故特征值33-=λ所对应的全部特征向量为T 444(1,1,1,1)k k =--ξ（04≠k ）． 2.设n 阶方阵A 满足等式2A E =，求A 的特征值．解等式2A E =两边同时减去2E ，得222A E E E E E -=-=-=0即 22()()A E A E A E -=+-=0对上式两边取行列式 0A E A E +-=从而 0--=E A ，0E +A -=故，矩阵A 的特征值为1±．3.已知三阶方阵A 的三个特征值为3,2,1321===λλλ，分别求矩阵3-1,(2)A A 及*A 的特征值．解因为矩阵A 的特征值为1,2,3，所以存在非零向量123,,ξξξ，使得11A ξξ=，222A ξξ=，333A ξξ=．又 322111111()()A ξA A ξA ξA A ξA ξξ=====，322222222222()222()2(2)48A ξA A ξA ξA ξA A ξA ξA ξξ=======，32233333()3927A ξA A ξA ξA ξξ====，所以，3A 的特征值为1,8,27．由于A 的特征值为1,2,3，从而2A 的特征值为2,4,6，所以矩阵1(2)A -的特征值为61,41,21．由A 可逆，且1236A =⨯⨯=，所以矩阵*A 的特征值为6,3,2．注：本题用到了下面几个结论：若ξ为矩阵A 对应于特征值λ的特征向量，则(1)λk 为矩阵A k 的特征值；(2)k λ为矩阵k A 的特征值(k 为正整数)；(3)如果A 可逆，则1-λ为1-A 的特征值；(4)如果A 可逆，则λA为*A 的特征值．4.已知三阶矩阵A 的三个特征值为2,1,1321=-==λλλ，求(1)232=++B A A E 特征值；(2)232=++B A A E 的行列式的值．解 (1)若矩阵A 有三个特征值为)3,2,1(,=i i λ，则矩阵2()32g ==++B A A A E 的特征值为 23)(2++==i i i i g λλλτ从而对应于A 的每一特征值，矩阵B 每个特征值分别为6213123)(212111=+⋅+=++==λλλτg ；2)1(3)1(23)(222222=+-⋅+-=++==λλλτg ； 12223223)(232333=+⋅+=++==λλλτg .(2)矩阵B 的行列式的值为212360120τττ=⋅⋅=⋅⋅=B . 5.设向量T (1,1,1)=ξ是矩阵11201122a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 对应于特征值0λ的特征向量，求0λ和a ．解由特征向量的定义，有0λ=A ξξ即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00033211122110211λλλa a所以 1,30==a λ．6.证明：(1)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，若1ξ是对应于1λ的特征向量，则1ξ一定不是对应于2λ的特征向量；(2)设12,ξξ分别是矩阵A 对应于特征值21,λλ的特征向量，则12+ξξ不是A 的特征向量．证明 (1)由题意得 111λ=A ξξ反证法．假设1ξ也是对应于2λ的特征向量，即121λ=A ξξ从而 112λλ=ξξ （1≠0ξ）所以 21λλ=这与1λ不等于2λ矛盾. 故1ξ不是对应于2λ的特征向量.(2)由题意得 111222,A ξξA ξξλλ==故 121122()λλ+=+A ξξξξ反证法．假设12+ξξ是矩阵A 对应于特征值λ的特征向量，即1212()()λ+=+A ξξξξ，于是112212()λλλ+=+ξξξξ，即 1122()()λλλλ-+-=0ξξ又12,ξξ线性无关，从而021=-=-λλλλ，即21λλ=，这与题设矛盾．故12+ξξ不是A 的特征向量．7.判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)矩阵112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 与121⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 相似；(2)矩阵112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 与1211⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 相似；(3)若A ～B ，则=A B ；(4)若n 阶矩阵,A B 有相同的特征值，则A 与B 相似；(5)若n 阶矩阵,A B 有相同的特征值，且都可以对角化，则A 与B 相似；(6)若n 阶矩阵,A B 相似，则k +E A 与k +E B ；解 (1)正确；(2)错误；(3) 正确；(4)错误；(5) 正确；(6) 正确．8.在第2题中，哪些矩阵能化成对角矩阵？若能化成对角矩阵，将其化成对角矩阵.解 (1) 由12(1)(4)032λλλλλ---==+-=--E A ，得特征值4,121=-=λλ．由推论1可知，矩阵A 相似于对角矩阵．特征值11-=λ对应的特征向量为T 1(1,1)=-ξ，特征值42=λ对应的特征向量为T 2(2,3)=ξ，令1212(,)13⎛⎫==⎪-⎝⎭P ξξ，有1321115--⎛⎫= ⎪⎝⎭P ，使得 1-=P AP Λ，其中14-⎛⎫= ⎪⎝⎭Λ. (2)由 2(2)(4)0λλλ-==-=E A ，得特征值4,2321=-==λλλ．特征值221-==λλ对应的两个线性无关的特征向量为T T 12(1,1,0),(1,0,1)=-=-ξξ，特征值43=λ对应的特征向量为T 3(1,1,2)=ξ，由定理2可知，矩阵A 相似于对角矩阵.令123111(,,)101012-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P ξξξ，有113111102111---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭P ，使得 1-=P AP Λ，其中224-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭Λ．(3)同理可以判定，矩阵A 不能化成对角矩阵．(4)同理可以判定,矩阵A 可以化成对角矩阵，并且相似变化矩阵和对角矩阵分别为1111100101010011-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭P ， 11311113111131111--⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪--⎝⎭P ，1113⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭Λ．使得 11113-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ． 9.已知矩阵42a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，2001⎛⎫= ⎪-⎝⎭B ，且A ～B ，求b a ,的值及,A B 的特征值．解由于A ～B ，故矩阵,A B 具有相同的特征值2，-1．又由特征值的性质，有)1(224,124-=--=+a b b ，解得 3,5-=-=b a ．10.设矩阵20000101x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 与20000001y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B 相似，求y x ,的值．解由矩阵20000101x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 与20000001y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B 相似，故,A B 具有相同的特征值2，y ，-1．根据特征值的性质，有以下方程组⎩⎨⎧-=-+=+2212y y x 解得1,0==y x ． 11.已知二阶方阵A 的特征值为1,2，它们对应的特征向量为T (1,2)和T (1,3)，求A 和A k ．解因为二阶方阵A 的特征值为1,2，所以矩阵A 相似于一个对角矩阵，令1123⎛⎫= ⎪⎝⎭P ，12⎛⎫= ⎪⎝⎭Λ，有13221--⎛⎫= ⎪-⎝⎭P ，使得 1-=P AP Λ．于是故 11111131321223221632232k k k k k k k +-+-⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪--⨯-+⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A P ΛP ． 12.设,AB 为n 阶方阵，且A ～B ，证明：(1)T A 与T B 相似；(2)m A 与m B 相似（m 为正整数）；(3)3-A E 与3-B E 相似．解因为A ～B ，故存在可逆矩阵P ，使得1-=P AP B (*) 111131112322164---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A P ΛP(1)对等式1-=P AP B 两边取转置T T T 1T ()-=P A P B令1T 1-=P P ，则有1T T 11-=P A P B 故 T A 与T B 相似．(2)由(*)式得，1()m m -=P AP B ，即1m m -=P A P B ，故 m A 与m B 相似．(3)因为1111(3)333-----=-=-=-P A E P P AP P P P AP E B E 故 3-A E 与3-B E 相似．。

第五章矩阵的特征值与特征向量习题

第五章矩阵的特征值与特征向量习题1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ;(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a . 2. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 3. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛633312321.4. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同.5. 设λ≠0是m 阶矩阵A m ⨯n B n ⨯m 的特征值, 证明λ也是n 阶矩阵BA 的特征值.6. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |.7. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A *+3A +2E |.8. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化, 求x .9. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由.10. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022化为对角阵.11. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.12. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A .13. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .14. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=340430241A , 求A 100.。

特征值与特征向量复习题

似，问一般矩阵有相同的特征值是否一定相似.
二、选择题
⎡4 − 5 2⎤ 1．设 A = ⎢⎢5 − 7 3⎥⎥ ，则以下向量中是 A 的特征向量的是（）.
⎢⎣6 − 9 4⎥⎦
（A）[1, 1, 1]T （B）[1, 1, 3]T （C）[1, 1, 0]T （D）[1, 0, − 3]T
2．设 A,B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，则（）.
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣ 2 ⎥⎦
时，求
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
xn+1 yn+1
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
.
11．设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2，λ1 = λ2 = 6 是 A 的二重特征值.若α1 = [1,1,0]T ,
α 2 = [2,1,1]T , α3 = [−1,2,−3]T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量. （1）求 A 的另一特征值和对应的特征向量；（2）求矩阵 A.
四、证明题 1．设 A 为正交矩阵，若|A|=-1，试证：A 一定有特征值-1.
2．设 A,B 均为 n 阶方阵，且 r( A) + r(B) < n . 试证：A,B 有公共的特征向量.
3．设 A 是 n 阶方阵，任一非零的 n 维向量都是 A 的特征向量. 试证：
⎡λ
0⎤
⎢
A
=
⎢ ⎢
λ O
⎥ ⎥ ⎥
6
练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过
培养及实践至年终考核有 2 成为熟练工. 设第 n 年 1 月份统计的熟练工和非熟练 3
工所占百分比分别为
xn和yn
，记成向量
⎡ xn
⎢ ⎣
y
n
⎤ ⎥ ⎦

第3章-特征值和特征向量练习题

第3章特征值和特征向量练习题1、设非奇异矩阵 A 的一个特征值为 λ = 2，试求出 1231-⎪⎭⎫⎝⎛A 的一个特征值。

（ 3 / 4 ）2、设矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=20203020x A 的一个特征值 λ1 = 0，求 x 值和 A 的全部特征值。

（2；0、3、4）3、设矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20020y y x A 的一个特征值为-3，且A 的三个特征值之积为 -12，确定 x 和 y 的值。

（ 1 ； 2 或 -2 ）4、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a A 11121112 可逆，向量 β = ( 1 , b , 1 )T 是矩阵 A 的逆矩阵 A -1 的一个特征向量，λ 是 β 所属的特征值，试求 a 、b 和 λ 的值 .（ a = 2 ，b = 1 ，λ = 1 / 4 或 a = 2 ，b = -2 ，λ = 1 ）5、设三阶方阵 A 的一个特征值为 1 / 9，与其对应的特征向量 α = ( 1 , 1 , 1 )T ，求方阵 A 的 9 个元素之和。

（ 1 / 3 ）6、设 n 阶方阵 A 有 n 个特征值 0，1，2，…，n - 1，且方阵 B 与 A 相似，求 | B+E | 。

（ n! ）7、设向量 α = ( 1 , 0 , - 1 ) T ，矩阵 A = α αT ，若 n 为正整数，计算行列式 det ( a E - A n ) 的值。

（ a 2 ( a - 2n ) ）8、设 3 阶实对称矩阵 A 的秩 r ( A ) = 2，且满足 A 2 = 2 A ，求行列式 | 4 E - A | 的值。

（16）9、设 A 是2阶实对称矩阵，且满足 A 2 + A - 6 E = O ，其中 E 是2阶单位矩阵，求行列式det A 和 det ( A* - 2E ) 的值。

（ 9 或 4 或 - 6 ；25 或 0 ）10、设 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0101010y x A 有三个线性无关的特征向量（可以相似对角化），求 x 、y 应满足的条件。

特征值与特征向量复习题

特征值与特征向量复习题
一、思考题 1．n 阶方阵 A、B 有不同的特征值时，能否有相同的特征向量. 2．有相同特征值的 n 阶不同矩阵 A、B，能否有相同的特征向量. 3．设 A 为三阶矩阵，已知 E-A，3E-A，E+A 都不可逆，问 A 是否相似于对
角阵. 4．若方阵A≠0，但Ak=0，问A能否相似于对角阵. 5．设 A 和 B 都是 n 阶实对称阵，并且相同的特征值，则可以得到 A 和 B 相
（A） λE − A = λE − B
（B）A 与 B 有相同的特征值与特征向量
（C）A 与 B 都相似于一个对角阵（D）对于任意 t， tE − A与tE − B 相似
3．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α 是A的属于特征值
λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T的属于特征值λ的特征向量是（）.
7．设 4 阶方阵A满足条件| 3E + A |= 0, AAT = 2E, | A |< 0 ，求方阵A的伴随矩
阵A*的一个特征值.
⎡3 2 2⎤
⎡0 1 0⎤
8．设矩阵 A = ⎢⎢2 3 2⎥⎥ ， P = ⎢⎢1 0 1⎥⎥ ， B = P −1 A∗ P ，求B+2E的特征值与特
⎢⎣2 2 3⎥⎦
（B） 3 似，且
⎡ 1 −1 1 ⎤
⎡2 0 0⎤
A
=
⎢ ⎢
2
4 − 2⎥⎥
B = ⎢⎢0 2 0⎥⎥
则（
⎢⎣− 3 − 3 a ⎥⎦
⎢⎣0 0 b⎥⎦
（A）a=5, b=0 （B）a=5, b=6 （C）a=6, b=5
（D） 1 4
）. （D）a=0, b=5
7．已知 AX 0 = λ0 X 0 （X0为非零向量），P为可逆矩阵，则（

第五章、矩阵的特征值和特征向量习题答案

1 2 3 (2) 2 1 3
3 3 6
1 2 3
E A 2 1 3
3 3 6
3 82 9 ( 1)( 9)
1 1, 2 0, 3 9
1E AX
2 2 3
2 2 3X
3 3 7
1 1 0
0 0 1X
0 0 0
x1 x2
x3 0
1 1 1 0T
8 3X
3 3
x1
x2
1
2 1T
X k33 (k3 R, k3 0)
5、已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，求: A3 5A2 7E
解：
f ( A) A3 5A 7E
' f () 3 5 7
1' '2
3 5
'3 11
A3 5A2 7E 165
9、设 P1, P2 是A的属于特征值3的线性无关的
两个向量
PP11TT
P2 P3
0 0
x1 x2 x3 0
P1T X
x1 x2 x3
1 1 P2 1 , P3 0
0 1
（方法一） 1 1 1
P (P1, P2 , P3) 1 1 0 1 0 1
1 3
5 2 4
2 8 2 X
4 2 5
1 0
0 1
1 1
X
0 0
2 0
3 2 1 2T
x1 x3
x2
1 2
x3
e3
3 3
2 3
1 3
2 T
3
P e1 e2 e3
P1AP
8、解：
A 1(2)3 6 0
A可逆

第五章矩阵的特征值和特征向量

第五章矩阵的特征值和特征向量习题一矩阵的特征值和特征向量一、填空题1．A 为n 阶方阵，Ax =0有非零解，则A 必有一特征值为________． 2．若λ0为A 的特征值，则A k (k 为正整数)有特征值为________．3．若α为A 的特征向量，则________为P -1AP 的特征向量． 4．n 阶矩阵A 与_____________有相同的特征值．二、计算题1.设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----122212221 (1) 试求矩阵A 的特征值；(2) 利用(1)的结果，求矩阵E +A -1的特征值，其中E 是三阶单位矩阵．２．求矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----632223221的实特征值及对应的特征向量．三、证明题1．设A 满足A 2-3A +2E =0，证明其特征值只能取值1或2．2．若n 阶矩阵A ，存在自然数m ，使得0=mA ，则A 的特征值是０．3．如果A 可逆，λ是A 的特征值，则1-λ是1-A 的特征值．4．证明：)()(),()()(A kTr kA Tr B Tr A Tr B A Tr =+=+．习题二相似矩阵和矩阵可对角化一、填空题1．若A ~kE ，则A =________．2．若n 阶方阵A 与B 相似，且A 2=A ，则B 2=________．． 3．已知A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----533242111，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20002000λ 且A ~B ，则λ=________．4．A 可对角化当且仅当． 5．n 阶矩阵A 有n 个互不相同的特征值是A 可对角化的___________． 6．判别矩阵A 可对角化的方法是．二、 1．设A =[a ij ]为三角矩阵，且对角线元素互不相等．试指出A 是否有与它相似的对角矩阵，并说明理由．2．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--314020112能否对角化？若能，求可逆矩阵P ，使P -1AP 为对角矩阵．三、判别下列矩阵是否可对角化⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=031302120B四、矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-113222x和B=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-y21是相似矩阵．求x与y；习题三实对称矩阵的对角化一、求正交矩阵T，使ATT1-为对角矩阵．①⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=34243222A②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=1222223B③⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=411141141114C二、设实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-124222421，求可逆矩阵Q ，使Q -1AQ 为对角矩阵．三、已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，设矩阵B =A 3-5A 2试求：(1) 矩阵B 的特征值及与其相似的对角阵；(2) 行列式|B |和|A -5E |．四、设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201021313，求 (1) A 的所有特征值与特征向量；(2) 判断A 能否对角化，若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使A 化为对角形矩阵； (3) 计算A m ．综合复习题一、空题与选择题1．矩阵________20222002⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛与．2．设),(,F M T A n ∈其中T 可逆，则k AT T k _(__________)(1=-为非负整数）， ][)(_,__________)(1x F x f AT T f ∈=- .（][x F 表示数域F 的全体多项式，)(F M n 表示全体n 阶矩阵） 3．相似矩阵有________秩，有相同秩的矩阵_________相似．4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=411205123A 的三个特征值为321,,λλλ则 .________.____________321321==++λλλλλλ 5．设)(x f 是方阵A 的特征多项式，则_______;)(=A f若B A ~,则)(B f = _________.6．下面四个命题中原命题和逆命题都正确的是（）（A ）相似矩阵有相同的特征多项式；（B ）设σ是数域F 上向量空间的一个线性变换．A 是σ关于V 的一个基的矩阵，如果λ是σ的特征根，那么λ是A 的特征根；（C ）n 维向量空间的一个线性变换关于V 的两个基的矩阵是相似矩阵；（D ）设)(F M A n ∈，若)(x f A 在数域F 内有单根，则A 可对角化． 7．下列三个矩阵中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A a a a A a a a A 001001,001000,000000321 ① 21~A A ； ② 31~A A ； ③ 32~A A ；④ 321,,A A A 中两两都不相似．（A ）① 正确； (B) ②正确； (C) ③ 正确； (D) ④ 正确． 8．设A 是n 阶矩阵，那么① 在复数域C 上A 一定与某一对角矩阵相似； ② 在C 上A 一定与某一上三角矩阵相似；③ 在C 上A 一定与某一下三角矩阵相似．（A ）① 正确； (B) ②，③正确； (C) ①， ② 正确； (D) ①，②，③正确． 9．下列矩阵中，不可对角化的仅是（Ａ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0280； (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111； (C) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1101；（Ｄ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3210． 10．设,0),(,,≠∈T F M T B A n 且B A ,在F 上均可对角化，则① B A + 可对角化； ②AB 可对角化； ③AT T 1-可对角化；④ T B T m 1-可对角化. *N m ∈（*N 表示全体正整数）（A ），②正确； ( B) ③，④正确； (C) ①，②，③，④正确； (D) ① 正确．二、计算与证明题1．求下列矩阵的全部特征值与特征向量（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200210311A （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=624232426A （3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=633312321A （4）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=201034011A2．找出1题中可对角化的矩阵A ，并求可逆矩阵X 使AX X1-为对角矩阵．3．求正交矩阵T 使AT T1-为对角矩阵（1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=542452222A （2）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=342432220A (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1333313333133331A （4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1101111001111011A 4．试证：矩阵A 可逆的充分必要条件是：它的特征值都不等于零．5．设n 阶可逆矩阵A 的特征值是n λλλ,,,21 ，证明：1-A 的特征值为11211,,,---n λλλ ． 6．如果任一个n 维非零向量都是n 阶矩阵A 的特征向量，试证明A 是一个数量矩阵． 7．A 是一个n 阶实对称矩阵，试证：如果0λ是A 的k 重特征值，则矩阵A E -0λ的秩等于k n -．自测题一、填空题1．若A 为n 阶矩阵，0=AX 有非零解，则A 必有一特征值为__________． 2．若0λ是A 特征值，则kA （k 为正整数）有特征值为____________．3．若α为A 的特征向量，则AP P 1-的特征向量为_____________．4．若n 阶矩阵A 有n 个属于特征值λ的线性无关的特征向量，则A =__________．5．已知三阶矩阵A 的三个特征值为1，2，3，则1_____;-=A A 的特征值为___________．6．n 阶零矩阵的全部特征向量是___________． 7．若kE A ~，则=A ______________．8．若n 阶矩阵A 与B 相似，且A A =2，则=2B ___________．9．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=20002000,533242111λB A 且B A ~，则._______=λ 10．三阶矩阵A 的三个互异特征值为321,,λλλ，它们对应的特征列向量分别为 ,,,321ααα则矩阵（,,,321ααα）的秩为__________．二、选择题1.设λ=2是非奇异矩阵A 的特征值，则矩阵12)31(-A 有一特征值等于( )．(a ) 34 (b ) 43 (c ) 21 (d ) 412.若n 阶矩阵A 的任意一行中n 个元素的和都是a ，则A 的一个特征值为( )．(a ) a (b ) –a (c ) 0 (d ) a -13.设A 是n 阶矩阵，λ1，λ2是A 的特征值，α1，α2是A 的分别对应于λ1，λ2的特征向量，则( )．(a ) λ1=λ2时，α1，α2一定成比例 (b ) λ1=λ2时，α1，α2一定不成比例(c ) λ1≠λ2时，α1，α2一定成比例 (d ) λ1≠λ2时，α1，α2一定不成比例4.设n 阶矩阵A 与B 相似，则( )(a ) λE -A =λE -B (b ) |λE -A |=|λE -B |(c ) |λE -A |~λE -B (d ) A 与B 都相似于一个对角矩阵D5.n 阶方阵A 具有n 个特征值是A 与对角矩阵相似的( )(a ) 充分必要条件 (b ) 充分而非必要条件 (c ) 必要而非充分条件 (d ) 既非充分也非必要条件6.矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300030000与下列哪个矩阵相似( )(a ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000030300 (b ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300130010 (c ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300000003 (d ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛030300010 7.n 阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是( )．(a ) A 有n 个不全相同的特征值 (b ) A T 有n 个不全相同的特征值 (c ) A 有n 个不相同的特征值 (d ) A 有n 个线性无关的特征向量8.n 阶方阵A 与某对角矩阵相似，则( )．(a ) 方阵A 的秩等于n (b ) 方阵A 有n 个不同的特征值(c ) 方阵A 一定是对称矩阵 (d ) 方阵A 有n 个线性无关的特征向量9.λ1，λ2是n 阶矩阵A 的特征值，X 1，X 2是相应于λ1，λ2的特征向量，对于不全为零的常数c 1，c 2：( )(a ) 当λ1≠λ2时，则c 1X 1+ c 2X 2必为A 特征向量(b ) 当λ1≠λ2时，则X 1，X 2是A 相应于λ1，λ2唯一的两个线性无关的特征向量 (c ) 当λ1=λ2时，则c 1X 1+ c 2X 2必为A 特征向量(d ) 当λ1=λ2时，则X 1，X 2必为A 相应于λ1，λ2的线性无关的特征向量 10.设n 阶矩阵A 为满秩矩阵，则A ( )(a ) 必有n 个线性无关的特征值 (b ) 必有n 个线性无关的特征向量 (c ) 必相似于一满秩的对角矩阵 (d ) 特征值必不为零三、计算题1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=122212221A （1）试求矩阵A 的特征值；（２）利用（1）的结果，求1-+A E 的特征值．2．求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=632223221A 的特征值及特征向量．3．设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=124222421A ，求可逆矩阵Q 使AQ Q 1-为对角矩阵． 4．设A 为n 阶实矩阵，满足0,<=A E AA T，试求A 的伴随矩阵*A 的一个特征值．5．已知三阶矩阵A 的特征值为1，1-，2，矩阵235A A B -=，试求（1）矩阵B 的特征值和与B 相似的对角矩阵；(2) 行列式B 和E A 5-.6．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201021313A ，求（1）A 的所有特征值与特征向量；（2）判别A 能否对角化，若能对角化，则求出可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵；（3）计算mA ．四、证明题1．若n 阶矩阵A 满足A A =2，则A 的特征值仅能是0或1．2．若n 阶矩阵A 满足I A =2，则A 的特征值仅能是1或1-．3．设A 满足0232=+-E A A ，证明：A 的特征值只能是1或2．4．设A 是实数域上奇数阶方阵，且0>A ，证明：A 有正特征值． 5．设][)(),(x F x f F M A n ∈∈，A 在F 上可对角化，证明：)(A f 在F 上可对角化．二次型习题一二次型及表示方法一、填空题1．二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)=x 12+2x 22+3x 32+4x 1x 2+2x 2x 3________．2. 矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--314122421对应的二次型是________．3．),(21x x q =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21211222)(x x x x 的矩阵为__________. 4．二次型),,,(21n x x x q 经过__________的线性替换总可以化为标准形2222211nn y c y c y c +++ .5．n 阶对称矩阵同时实行行和列的初等变换总可化为_______矩阵. 二、写出下列各二次型的矩阵1．23322231212138232x x x x x x x x x ++-+-2．243231212x x x x x x x ++-三、写出下列对称矩阵所对应的二次型1．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=012320113113221233121A2．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011121110B四、对于对称矩阵A 与B ，求出可逆矩阵C ，使B AC C T=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011121110A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101112B习题二化二次型为标准型一、用配方法化下列二次型为标准型. 1．31212322214245x x x x x x x -+-+2． 32312164x x x x x x +-二、用初等变化的方法求一奇异矩阵C ，使AC C T为对角矩阵.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=310102021A三、用初等变换法将二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)=x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2+2x 2x 3+2x 3x 4化为规范形，并求所作的非退化变换矩阵，且用矩阵验算结果．四、求一正交矩阵P ，使AP P T为对角矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=1132112332112311A四、试用配方法将二次型f (x 1，x 2，x 3)=x 12+x 22+3x 32+4x 1x 2+2x 1x 3+2x 2x 3化为标准形(平方和)和规范形．习题三正定二次型一、填空题1．实二次型f (x 1，x 2，x 3)=x 12-x 22+3x 32的秩为________，正惯性指数为________，负惯性指数为________．2．设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为1，2，…，n ，则当t ________时，tE -A 为正定矩阵．3. 若n 阶实对称矩阵A 的秩为r (<n )且A 2=A ，则是________矩阵(正定、半正定，…)，正惯性指数为________．4．____二次型),,,(21n x x x q 成为正定的，如果对于任意一组),,,(21n c c c ______ 都有),,,(21n c c c q _________.5． 5．对称矩阵A 正定当且仅当A 与_________矩阵合同.6．实对称矩阵A 正定当且仅当A 的一切顺序主子式__________或者A 的一切主子式 ______________.7． 7．对称矩阵的特征根都是_____________.二、计算题：1．求α的值，使二次型为正定.(1) 3231212322214225x x x x x ax x x x +-+++(2) 3231212322212245x x x x x x ax x x --+++2．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101020101，矩阵B =(kE +A )2，其中k 为实数，E 为单位矩阵．求对角矩阵Λ，使B 与Λ相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵．（1）（1） 3．设A 1~A 1和B 1~B 2．试证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A ~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22B A判断三元二次型f = x 12+5x 22+x 32+4x 1x 2-4x 2x 3的正定性．三、证明题：1．A 是n 阶实对称矩阵，AB +B T A 是正定矩阵，证明A 可逆．2．设A 是n 阶正定矩阵，证明|A +2E |>2n ．3．令A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21A O O A , B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21B O O B ,如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则A 与B 合同.4．证明：实二次型),,,(21n x x x q 负定的充分必要条件是它的矩阵A 的奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零.自测题一、填空题1．二次型322123222143212432,,,(x x x x x x x x x x x f ++++=）_______. 2．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=314122421A 对应的二次型是_____________________. 3．二次型),,(321x x x f =31212322212224x x x tx x x x ++++是正定的，那么t 应满足不等式_________.4．二次型),,(321x x x f =2322213x x x +-的秩为__________.正惯性指数为__________,负惯性指数为__________.5．设n 阶实对称矩阵A 的特征值分别为n ,,2,1 ，则当t =______时，A tE -为正定矩阵.6．若n 阶实对称矩阵A 的秩为)(n r <且A A =2，则是_______矩阵，正惯性指数为___________.7．二次型的规范形由_____________唯一确定；复二次型的规范形由____唯一确定.8．实对称矩阵A 正定的充分必要条件是它的特征值___________. 9．若A 是实对称矩阵且可逆，则将Ax x f T =化为y A y f T 1-= 的线性变换为_____________.10．设A 为n 阶实对称矩阵，那么T AA 是_______(对称、非对称、对角).二、选择题i. i. 1.设A ，B 均为n 阶方阵，x =(x 1，x 2，…，x n )T ，且X T AX = X T BX ，当( )时，A =B ．(a ) 秩(A )=秩(B ) (b ) A T =A(c ) B T =B (d ) A T =A 且B T =Bii. ii. 2.实二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)= X T AX 为正定的充分必要条件是( )．(a ) |A |>0 (b ) 存在n 阶可逆矩阵C ，使A =C T C(c ) 负惯性指数为零 (d ) 对于某一x =(x 1，x 2，…，x n )T ≠0，有X T AX >0．iii.iii. 3.实二次型f (x 1，x 2，x 3，x 4)= x 12+2x 1x 2+tx 22+3x 32，当t =( )时，其秩为2． (a ) 0 (b ) 1 (c ) 2 (d ) 3 iv. iv. 4.设A ，B 为同阶可逆矩阵，则( )(a ) AB =BA(b ) 存在可逆矩阵P ，使P -1AP =B(c ) 存在可逆矩阵C ，使C T AC =B(d ) 存在可逆矩阵P 和Q ，使P AQ =Bv.v. 5.设A 为正定矩阵，则下列矩阵不一定是正定的是( ) (a ) A T (b )A -1 (c ) A +E (d ) A -E vi.vi. 6.设A 是一个三阶实矩阵，如果对任一三维列向量X ，都有X T AX =0，那么( )． (a ) |A |=0 (b ) |A |>0 (c ) |A |<0 (d ) 以上都不是 vii. vii. 7.n 阶实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是( )．(a ) 所有k 阶子式为正(k =1，2，…，n )(b ) A 的所有特征值非负(c ) A -1为正定矩阵 (d ) 秩(A )=nviii. viii. 8.设A ，B 都是n 阶实对称矩阵，且都正定，那么AB 是( )(a ) 实对称矩阵 (b ) 正定矩阵 (c ) 可逆矩阵 (d ) 正交矩阵ix. ix. 9.下列矩阵为正定的是( )．(a ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200032021 (b ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200042021 (c ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---200052021 (d ) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛520210002 x.x. 10.设A 、B 是n 阶正定矩阵，则( )是正定矩阵． (a ) A *+B * (b ) A *-B * (c ) A *B * (d ) k 1A *+k 2B *三、对二次型32212221442x x x x x x f --+=分别作下列两个非退化线性替换. （1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321*********y y y x x x (2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132121001101121y y y x x x四、试用配方法将二次型3231212322213212243),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准形（平方和）和规范形.五、用初等变换法将二次型43322142322214321222),,,(x x x x x x x x x x x x x x f -+++++= 化为标准形，求所作的非退化矩阵，并用矩阵验算结果.六、已知二次型)0(2332),,(32232221321>+++==a x ax x x x x x x f ，通过正交变换化成标准形23222152y y y f ++=，求参数a 及所用正交变换矩阵. 七、设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，矩阵2)(A kE B +=，其中k 为实数，E 为单位矩阵，求对角矩阵A ，使B 与A 相似，并求k 为何值时，B 为正定矩阵.八、设1A 与2A 相似，1B 与2B 相似.试证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22B A . 九、判断三元二次型3221232221445x x x x x x x f -+++=的正定性. 十、A 是n 阶实对称矩阵，A B AB T +是正定矩阵，证明：A 可逆.十一、设A 是n 阶正定矩阵，证明：n E A 22>+.。

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