2018年东北三省三校【高三二模】文科数学试卷+答案
东北三省四市2018届高考第二次模拟数学试题(文)-有答案
东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}03,1 -==x x x B x x A ，则B A （ ） A ．（-1,0） B ．（0,1） C ．（-1,3） D ．（1,3） 2.若复数aiiz ++=11为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．21-D ．-1 3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用箅筇表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）中国古代的算筹数码 A ．B ．C ．D ．4.右图所示的程序框图是为了求出满足2822 n n -的最小偶数n ，那么在空白框内填入及最后输出的n 值分别是（ ）A ．1+=n n 和6B ．2+=n n 和6 C.1+=n n 和8 D ．2+=n n 和8 5.函数xxx x f tan 1)(2++=的部分图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．6.等差数列{}n a 的公差不为零，首项11=a ，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列{}n a 的前9项之和是（ ） A ．9B ．10C.81 D ．907.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．34B ．3310 C.32 D ．3388.已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，满足),(*242N n m a a a n m ∈=，则nm 12+的最小值为（ ） A ．1 B ．23 C.2 D ．29 9.已知过曲线xe y =上一点),(00y x P 做曲线的切线，若切线在y 轴上的截距小于0时，则0x 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．),1(+∞eC.),1(+∞ D ．),2(+∞10.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角C AD B --，则过D C B A ,,,四点的球的表面积为（ ）A ．π3B ．π4 C.π5 D ．π6 11.将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin )(πx x f 的图像向右平移a 个单位得到函数()cos(2)4g x x π=+的图象，则a 的值可以为（ ） A ．512πB ．712π C ．924π1 D ．4124π12.已知焦点在x 轴上的双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）A．2B．2C ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩则25z x y =++的最大值为．14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为2.1161.13y x =-+，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为．（最后结果精确到整数位）15.已知函数()f x 满足(1)1()f x f x +=-，当(1)2f =时，)9()8(f f +的值为．16.已知菱形ABCD 的一条对角线BD 长为2，点E 满足21=，点F 为CD 的的中点.若2-=⋅则⋅=．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2=b ，且A c C a B b cos cos cos 2+=. （I ）求B 的大小；（II ）求ABC ∆面积的最大值.18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．（I ）求出a 的值；（II ）求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（III ）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==．（1）证明：//EF 平面DCP ； （2）求平面EFC 与平面PDC 的距离．20.在平面直角坐标系中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，点3(1,)2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．21.已知函数)()(,ln )(R m m x x g x x f ∈+==． （I ）若()f x )(x g ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（II ）已知21,x x 是函数)()()(x g x f x F -=的两个零点，且21x x ，求证：121 x x . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：cos 3ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=（02πθ≤<）．（I ）求1C 与2C 交点的极坐标； （II ）设点Q 在2C 上，23OQ QP =，求动点P 的极坐标方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x x m =+++，m R ∈． （I ）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； （II ）对于(,0)x ∀∈-∞都有2()f x x x≥+恒成立，求实数m 的取值范围．数学（文科）试题参考答案一、选择题1-5:CDCDD 6-10: CBACC 11、12：CB 二、填空题13.14 14.38 15.3716.-7 三、解答题 17.解： （1）由正弦定理CCB b A a sin sin sin ==可得 B A C C A B B sin cos sin cos sin cos sin 2=+=∵0sin B ，故21cos =B ， ∵π B 0，∴3π=B（2）由3,2π==B b ，由余弦定理可得422-+=c a ac ，由基本不等式可得4,42422≤-≥-+=ac ac c a ac ， 而且仅当2==c a 时B ac S ABC sin 21=∆取得最大值323421=⨯⨯， 故ABC ∆的面积的最大值为3.18.解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035a =， （2）平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁； 设中位数为x ，则100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=，∴42.1x ≈岁．（3）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为32121,,,,b b b a a .设从5人中随机抽取3人，为（121,,b a a ），（221,,b a a ），（321,,b a a ），（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ），（321,,b b b ），共10个基本事件，其中第2组恰好抽到2人包含（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ）共6个基本事件从而第2组抽到2人的概率53106==19.解：（1）取PC 中点M ，连接DM ，MF ， ∵M ，F 分别是PC ，PB 中点，∴//MF CB ，12MF CB =，∵E 为DA 中点，ABCD 为矩形，∴//DE CB ，12DE CB =， ∴//MF DE ，MF DE =，∴四边形DEFM 为平行四边形， ∴//EF DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴//EF 平面PDC ．（2）∵EF ∥平面PDC ，∴F 到平面PDC 的距离等于E 到平面PDC 的距离， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴DA PA ⊥，∵1==AD PA ，在PAD Rt ∆中2=DP ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴CB PA ⊥，∵A AB PA AB CB =⊥ ,，∴⊥CB 平面PAB ，∴⊥CB PB ，则3=PC ，∵222PC DC PD =+，∴PDC ∆为直角三角形，∴222121=⨯⨯=∆PDC S PDE C PDC E V V --=，设E 到平面PDC 的距离为h ，又∵A PA AD PA CD AD CD =⊥⊥ ,,，∴⊥CD 平面PAD 则2121131212131⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅h ∴42=h ∴F 到平面PDC 的距离为42 20.解：（1）∵12c a =，∴2a c =， 椭圆的方程为2222143x y c c+=，将3(1,)2代入得22191412c c+=，∴21c =， ∴椭圆的方程为22143x y +=． （2）设l 的方程为1x my =+，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得22(34)690m y my ++-=，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 有122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，有2212(1)||34m AB m +==+，点P (2,0)-到直线l点(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ的面积22112(1)234m S m +=⨯=+（或121||||2S PQ y y =-）令t =，1t ≥， 有22431t S t =+2413t t =+，设函数1()3f t t t =+，21'()30f t t =->，所以()f t 在[1,)+∞上单调递增， 有134t t+≥，故2242461313t S t t t==≤++，所以当1t =，即0m =时，四边形APBQ 面积的最大值为6． 21.解：（1）令)0(ln )()()( x m x x x g x f x F --=-=，有xxx x F -=-='111)(， 当1 x 时，0)( x F '，当10 x 时，0)( x F '，所以)(x F 在（1，+∞）上单调递减，在（0,1）上单调递增，)(x F 在1=x 处取得最大值为m --1，若)()(x g x f ≤恒成立，则m --1≤0即1-≥m ，（2）由（1）可知，若函数)()()(x g x f x F -=有两个零点，则2110x x 要证121 x x ，只需证121x x，由于)(x F 在（1，+∞）上单调递减，从而只需证()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121x F x F ，由于()()1121ln ,0x x m x F x F -===，即证0ln 11ln 11ln111111 x x x x m x x -+-=-- 令01221)(),10(ln 21)(222 x x x x x x x h x x x x x h +-=-+='-+-=， 有)(x h 在（0,1）上单调递增，0)1()(=h x h ，所以121 x x . 22.解：（1）联立cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩cos θ=，∵02πθ≤<，6πθ=，ρ=∴所求交点的极坐标)6π．（2）设(,)P ρθ，00(,)Q ρθ且004cos ρθ=，0[0,)2πθ∈，由已知23OQ QP =，得002,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴24cos 5ρθ=，点P 的极坐标方程为10cos ρθ=，[0,)2πθ∈． 23.解：（1）当2m =-时，41,0,3()|2||23|21,0,2345,.2x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩当413,0,x x +≤⎧⎨≥⎩解得102x ≤≤；当302x -<<，13≤恒成立；当453,3,2x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-， 此不等式的解集为1|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）令233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩当302x -≤<时，22'()1g x x=-+，当0x ≤<时，'()0g x ≥，所以()g x在[0)上单调递增，当32x -≤≤'()0g x ≤，所以()g x在3[,2-上单调递减，所以min ()(g x g =30m =+≥，所以3m ≥-， 当32x ≤-时，22'()50g x x =-+<，所以()g x 在3(,]2-∞-上单调递减， 所以min 335()()026g x g m =-=+≥， 所以356m ≥-，m≥-．综上，3。
2018年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(文科)(J)
2018年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（文科）(J)副标题一、选择题（本大题共12小题，共12.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：；．故选：B．可解出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的概念，以及交集的运算．2.设复数，则它的共轭复数的虚部为A. 3iB.C. 3D.【答案】C【解析】解：，．的虚部为3．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.向量，满足，，与的夹角为，则A. B. C. 4 D. 2【答案】D【解析】解：向量，满足，，与的夹角为，可得，则，故选：D．运用向量数量积的定义，可得，再由向量的平方即为模的平方，计算可得所求值．本题考查向量数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．4.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为A. 72B. 66C. 60D. 30【答案】A【解析】解：根据三视图知，该几何体底面为直角三角形的三棱柱；根据三视图中的数据，列方程组得，解得，计算该几何体的表面积为．故选：A．根据三视图知该几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，结合图中数据列方程组求得各棱长，再求它的表面积．本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．5.双曲线的离心率等于2，则k的值为A. B. 3 C. D. 12【答案】C【解析】解：根据题意，双曲线的标准方程为，必有，其焦点在x轴上，其中，，则，若双曲线的离心率，必有，即，解可得，故选：C．根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得a、b的值以及k的范围，结合双曲线的离心率公式可得，即，解可得k的值，即可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意分析k的范围．6.在可行区域内任取一点，其规则如流程图所示，则能输出数对的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：满足条件的几何图形如下图中三角形所示，满足条件的几何图形如下图中阴影所示，其中矩形面积为：三角形，阴影部分的面积为：阴影，，则能输出数对的概率阴影三角形故选：A．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算当时，满足条件的概率．根据流程图或伪代码写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图或伪代码，从流程图或伪代码中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．7.已知，，则的值为A. B. 3 C. D.【答案】B【解析】解：，，，，则，故选：B．由题意利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角和的正切公式求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，属于基础题．8.已知m，n是两条直线，，是两个平面给出下列命题：若，，则；若，，则；若，，则；若，，，则；，，，则，则命题正确的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：由m，n是两条直线，，是两个平面，知：在中，若，，则或，故错误；在中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故正确；在中，若，，则由面面平行的判定定理得，故正确；在中，若，，，则n与m平行或异面，故错误；在中，，，，则m与n相交、平行或异面，故错误．故选：B．在中，或；在中，由线面垂直的性质定理得；在中，由面面平行的判定定理得；在中，n与m平行或异面；在中，m与n相交、平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9.已知过点的直线l被圆截得的弦长为8，则直线l的方程为A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】解：圆的圆心，半径，若过点的直线l被圆截得的弦长为8，则圆心C到直线l的距离，由直线l过点，当直线斜率不存在时，直线l的方程为满足要求；当直线斜率存在时，设直线l的方程为，即，则，解得：，故直线l的方程为，即故选：C．的圆心，半径，若过点的直线l被圆截得的弦长为8，则圆心C到直线l的距离，结合点到直线距离公式，可得答案．本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的弦长公式，点到直线的距离公式，难度中档．10.等差数列的前n项和为，，，则取得最大值时n的为A. 25B. 27C. 25或26D. 26或27【答案】C【解析】解：设等差数列的公差为d，，，，，联立解得，，．令，解得．则取得最大值时n的为25或26．故选：C．设等差数列的公差为d，由，，可得，，联立解得，d，令，解得n即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知椭圆E的中心为坐标原点O，过右焦点且在y轴上的截距为的直线l与椭圆E交于A，B两点，以OA和OB为邻边作平行四边形OBCA，其中，则椭圆E的方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设椭圆的标准方程为：设，直线l的方程为：，化为：．联立，化为：，，，，以OA和OB为邻边作平行四边形OBCA，其中，．，又，解得，．椭圆的标准方程为：．故选：D．设椭圆的标准方程为：设，直线l的方程为：联立，化为：，由以OA和OB为邻边作平行四边形OBCA，其中，可得可得，又，联立解得．本题考查了独立性检验原理、超几何计算公式分布列与数学期望与方差的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.函数的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】解：由，得，令，可得．当时，，当时，．在上为减函数，在上为增函数．画出函数与的图象如图，由图可知，函数的零点个数为1．故选：B．把函数的零点个数转化为函数与的图象交点个数，利用导数研究函数的单调性，画出两函数的图象，数形结合得答案．本题考查函数零点的判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共4.0分）13.一个公司有360名员工，下设一些部门，要采用等比例分层抽样的方法从全体员工中抽取容量为72的样本，已知某部门被抽取的员工数为10，那么该部门的员工人数是______．【答案】50【解析】解：设该部门的员工人数是n，则由分层抽样性质得：，解得．故答案为：50．设该部门的员工人数是n，由分层抽样性质列出方程，由此能求出结果．本题考查该部门人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.当______时，函数为奇函数．【答案】【解析】解：为R上的奇函数；；即；．故答案为：．可知为R上的奇函数，从而有，从而得到，这样即可求出m的值．考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，满足．15.如图，测量对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得，，米，并在C处测得塔顶A的仰角为，则塔高______米【答案】20【解析】解：如图所示，中，，，米，，，；中，，塔高米．故答案为：20．根据题意画出图形，结合图形，利用正弦定理与直角三角形的边角关系，即可求出塔高AB的长．本题考查了正弦定理和直角三角形的边角关系应用问题，是基础题．16.甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．【答案】乙【解析】解：先假设甲说的对，即甲或乙申请了但申请人只有一个，如果是甲，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”就是错的，丁说“乙申请了”也是错的，这样三个错的，不能满足题意，故甲没申请如果是乙，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”可以理解为申请人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故说法不对，丁说“乙申请了”也是对的，这样说的对的就是两个是甲和丁满足题意．故答案为：乙．先假设甲乙丙丁中一个人说的是对的然后再逐个去判断其他三个人的说法最后看是否满足题意，不满足排除．本题考查了合情推理的应用，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共7.0分）17.数列满足，，．Ⅰ证明为等差数列，并求出数列的通项公式；Ⅱ若，设数列的前n项和为，证明：．【答案】证明：Ⅰ，，时以1为首项，2为公差的等差数列，数列的通项公式；Ⅱ，．．【解析】Ⅰ只需证明为常数即可，Ⅱ，累加即可求得即可本题考查求数列的通项与前n项和，利用裂项法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．18.哈市某单位为了提高员工的业务水平，举办了一次“岗位技能”大赛，从参赛的青年技师岁及35岁以下的技师和中老年技师岁以上的技师的成绩中各抽取20个进行研究，满分为100分，且均保留到小数点后一位，如具体成绩如图茎叶图所示以成绩的整数部分为茎，小数部分为叶，并将这40个成绩分成四组，第一组；第二组；第三组；第四组．Ⅰ根据以上数据写出抽取的20名青年技师的中位数，并补全上面的频率分布直方图；Ⅱ从成绩在之间的技师中随机抽取2个，求抽取的两人恰好都是青年技师的概率；Ⅲ研究发现从业时间与岗位技能水平之间具有线性相关关系，从上述抽取的40名技师中抽取5名技师的成绩，数据如表用最小二乘法求得的回归方程为，完成下表并根据下表判断该线性回归模型对该组数据的拟合效果通常相关指数附：【答案】解：Ⅰ从小到大排列第10个和第11个的成绩分别为、，计算它们的中位数为，补全频率分布直方图，如图所示；Ⅱ设所求事件为M，两名青年技师为A、B，两名中老年技师为c、d，从中任取2人，基本事件为AB、Ac、Ad、Bc、Bd、cd共6种，其中M包含的基本事件为AB，故所求的概率为；Ⅲ技师，，代入回归方程中，求得，，计算相关指数；所以认为线性回归模型对该组数据是有效的．【解析】Ⅰ根据中位数的概念求出中位数，补全频率分布直方图即可；Ⅱ利用列举法计算所求的概率值；Ⅲ由题意求出回归方程，填写对应表格，计算相关指数，即可得出结论本题考查了频率分布直方图与线性回归方程的应用问题，是中档题．19.直三棱柱中，，．Ⅰ证明：平面；Ⅱ设四边形对角线的交点为D，求三棱锥的体积．【答案】证明：Ⅰ，直三棱柱中，，又，平面，又平面，，四边形是正方形，，，平面．解：Ⅱ四边形对角线的交点为D，，平面，三棱锥的体积：．【解析】Ⅰ推导出，，从而平面，进而，再求出，由此能证明平面．Ⅱ三棱锥的体积．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.过抛物线C：焦点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，交准线于点M，当时，AB的中点到x轴的距离是5．Ⅰ求抛物线C的方程；Ⅱ已知，，求的值．【答案】解：设，，则，，，AB的中点到x轴的距离是5，，，，解得．．由题意可得：直线AB的斜率存在且不为0，设为：，联立，化为：，则，，，M在直线上，且，即，，，，，．【解析】设，，利用定义可得，，，AB的中点到x轴的距离是5，可得，解得p．由题意可得：直线AB的斜率存在且不为0，设为：，与抛物线方程联立化为：，M在直线上，且，可得即，根据，，可得，，再利用根与系数的关系即可得出．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知关于x的函数．Ⅰ当时，证明：；Ⅱ求证：．【答案】Ⅰ证明：令，．只需证明：，即证明，．令，．，在单调递增．，即；Ⅱ证明由Ⅰ可得，令，可得．．【解析】Ⅰ令，只需证明：，即证明，令，利用导数可得，即；Ⅱ证明由Ⅰ可得，令，可得即可，本题考查不等式的证明，考查推理论证能力，运算推导能力，等价转化思想，属于中档题．22.在直角坐标系xOy中，已知椭圆E的方程为：．Ⅰ以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆E上一点第一象限内满足，求点A的极坐标；Ⅱ将直线OA绕点A逆时针旋转与椭圆E交于另一点C，与极轴交于点B，求的值．【答案】解：Ⅰ椭圆E的方程为：．椭圆E的极坐标方程为，整理，得椭圆E的极坐标方程为，将代入上式，得，在第一象限，，，Ⅱ点A的极坐标，点A的直角坐标，直线AC的方程为，，直线AB的参数方程为，为参数，代入椭圆方程，得，，的值为．【解析】Ⅰ由椭圆E的直角坐标方程，能求出椭圆E的极坐标方程，将代入上式，得，由此能求出点A的极坐标．Ⅱ求出点，直线AC的方程为，从而，求出直线AB的参数方程，代入椭圆方程，得，由此能求出的值．本题考查点的极坐标的求法，考查两线段长的积的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.已知关于x的函数．Ⅰ求的最小值m；Ⅱ若p，q，，且，求证：．【答案】解：Ⅰ．当且仅当时取等号，即时，取最小值4．证明：Ⅱ由Ⅰ得由柯西不等式得，，．【解析】利用，从而可求的最小值；Ⅱ利用柯西不等式即可得出结论．本题考查了绝对值不等式问题，考查柯西不等式的性质，是一道中档题．。
东北三省四市2018届高考第二次模拟数学试题(文)及答案
东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}03,1 -==x x x B x x A ，则B A （ ） A ．（-1,0） B ．（0,1） C ．（-1,3） D ．（1,3） 2.若复数aiiz ++=11为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．21-D ．-1 3.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用箅筇表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）中国古代的算筹数码 A ．B ．C ．D ．4.右图所示的程序框图是为了求出满足2822n n -的最小偶数n ，那么在空白框内填入及最后输出的n 值分别是（ ）A ．1+=n n 和6B ．2+=n n 和6 C.1+=n n 和8 D ．2+=n n 和85.函数xxx x f tan 1)(2++=的部分图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．6.等差数列{}n a 的公差不为零，首项11=a ，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列{}n a 的前9项之和是（ ） A ．9B ．10C.81 D ．907.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．34B ．3310 C.32 D ．3388.已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，满足),(*242N n m a a a n m ∈=，则nm 12+的最小值为（ ） A ．1 B ．23 C.2 D ．29 9.已知过曲线x e y =上一点),(00y x P 做曲线的切线，若切线在y 轴上的截距小于0时，则0x 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．),1(+∞eC.),1(+∞ D ．),2(+∞10.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角C AD B --，则过D C B A ,,,四点的球的表面积为（ ）A ．π3B ．π4 C.π5 D ．π6 11.将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin )(πx x f 的图像向右平移a 个单位得到函数()cos(2)4g x x π=+的图象，则a 的值可以为（ ） A ．512π B ．712πC ．924π1 D ．4124π12.已知焦点在x 轴上的双曲线222211x y m m -=-的左右两个焦点分别为1F 和2F ，其右支上存在一点P 满足12PF PF ⊥，且12PF F ∆的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）A．2B ．72C ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数x ，y 满足约束条件0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩则25z x y =++的最大值为．14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为2.1161.13y x =-+，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为．（最后结果精确到整数位）15.已知函数()f x 满足(1)1()f x f x +=-，当(1)2f =时，)9()8(f f +的值为．16.已知菱形ABCD 的一条对角线BD 长为2，点E 满足ED AE 21=，点F 为CD 的的中点.若2-=⋅则AF CD ⋅=．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2=b ，且A c C a B b cos cos cos 2+=. （I ）求B 的大小；（II ）求ABC ∆面积的最大值.18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．（I ）求出a 的值；（II ）求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（III ）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，1PA AB ==．（1）证明：//EF 平面DCP ； （2）求平面EFC 与平面PDC 的距离．20.在平面直角坐标系中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，点3(1,)2M 在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知(2,0)P -与(2,0)Q 为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．21.已知函数)()(,ln )(R m m x x g x x f ∈+==．（I ）若()f x )(x g ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（II ）已知21,x x 是函数)()()(x g x f x F -=的两个零点，且21x x ，求证：121 x x . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ：cos 3ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=（02πθ≤<）．（I ）求1C 与2C 交点的极坐标； （II ）设点Q 在2C 上，23OQ QP =，求动点P 的极坐标方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x x m =+++，m R ∈． （I ）当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； （II ）对于(,0)x ∀∈-∞都有2()f x x x≥+恒成立，求实数m 的取值范围．数学（文科）试题参考答案一、选择题1-5:CDCDD 6-10: CBACC 11、12：CB 二、填空题13.14 14.38 15.3716.-7 三、解答题 17.解： （1）由正弦定理CCB b A a sin sin sin ==可得 B AC C A B B sin cos sin cos sin cos sin 2=+=∵0sin B ，故21cos =B ， ∵π B 0，∴3π=B（2）由3,2π==B b ，由余弦定理可得422-+=c a ac ，由基本不等式可得4,42422≤-≥-+=ac ac c a ac ， 而且仅当2==c a 时B ac S ABC sin 21=∆取得最大值323421=⨯⨯， 故ABC ∆的面积的最大值为3.18.解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=，得0.035a =， （2）平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁； 设中位数为x ，则100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=，∴42.1x ≈岁．（3）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为32121,,,,b b b a a .设从5人中随机抽取3人，为（121,,b a a ），（221,,b a a ），（321,,b a a ），（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ），（321,,b b b ），共10个基本事件，其中第2组恰好抽到2人包含（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ）共6个基本事件从而第2组抽到2人的概率53106==19.解：（1）取PC 中点M ，连接DM ，MF ， ∵M ，F 分别是PC ，PB 中点，∴//MF CB ，12MF CB =，∵E 为DA 中点，ABCD 为矩形，∴//DE CB ，12DE CB =， ∴//MF DE ，MF DE =，∴四边形DEFM 为平行四边形， ∴//EF DM ，∵EF ⊄平面PDC ，DM ⊂平面PDC ， ∴//EF 平面PDC ．（2）∵EF ∥平面PDC ，∴F 到平面PDC 的距离等于E 到平面PDC 的距离， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴DA PA ⊥，∵1==AD PA ，在PAD Rt ∆中2=DP ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴CB PA ⊥，∵A AB PA AB CB =⊥ ,，∴⊥CB 平面PAB ，∴⊥CB PB ，则3=PC ，∵222PC DC PD =+，∴PDC ∆为直角三角形，∴222121=⨯⨯=∆PDC S PD E C PD C E V V --=，设E 到平面PDC 的距离为h ，又∵A PA AD PA CD AD CD =⊥⊥ ,,，∴⊥CD 平面PAD 则2121131212131⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅h ∴42=h ∴F 到平面PDC 的距离为42 20.解：（1）∵12c a =，∴2a c =， 椭圆的方程为2222143x y c c+=，将3(1,)2代入得22191412c c+=，∴21c =， ∴椭圆的方程为22143x y +=． （2）设l 的方程为1x my =+，联立221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得22(34)690m y my ++-=， 设点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 有122634m y y m -+=+，122934y y m -=+， 有2222212112(1)||13434m m AB m m m ++=+=++，点P (2,0)-到直线l 21m+点(2,0)Q 到直线l 21m+从而四边形APBQ 的面积2222112(1)2412341m m S m m++=⨯=++（或121||||2S PQ y y =-）令t =1t ≥， 有22431t S t =+2413t t =+，设函数1()3f t t t =+，21'()30f t t =->，所以()f t 在[1,)+∞上单调递增， 有134t t+≥，故2242461313t S t t t==≤++，所以当1t =，即0m =时，四边形APBQ 面积的最大值为6． 21.解：（1）令)0(ln )()()( x m x x x g x f x F --=-=，有xxx x F -=-='111)(， 当1 x 时，0)( x F '，当10 x 时，0)( x F '，所以)(x F 在（1，+∞）上单调递减，在（0,1）上单调递增，)(x F 在1=x 处取得最大值为m --1，若)()(x g x f ≤恒成立，则m --1≤0即1-≥m ，（2）由（1）可知，若函数)()()(x g x f x F -=有两个零点，则2110x x 要证121 x x ，只需证121x x，由于)(x F 在（1，+∞）上单调递减，从而只需证()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121x F x F ，由于()()1121ln ,0x x m x F x F -===，即证0ln 11ln 11ln111111 x x x x m x x -+-=-- 令01221)(),10(ln 21)(222 x x x x x x x h x x x x x h +-=-+='-+-=， 有)(x h 在（0,1）上单调递增，0)1()(=h x h ，所以121 x x . 22.解：（1）联立cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩3cos 2θ=±， ∵02πθ≤<，6πθ=，23ρ=∴所求交点的极坐标3,)6π．（2）设(,)P ρθ，00(,)Q ρθ且004cos ρθ=，0[0,)2πθ∈，由已知23OQ QP =，得002,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴24cos 5ρθ=，点P 的极坐标方程为10cos ρθ=，[0,)2πθ∈． 23.解：（1）当2m =-时，41,0,3()|2||23|21,0,2345,.2x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩当413,0,x x +≤⎧⎨≥⎩解得102x ≤≤；当302x -<<，13≤恒成立；当453,3,2x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-， 此不等式的解集为1|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）令233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩当302x -≤<时，22'()1g x x=-+，当20x -<时，'()0g x ≥，所以()g x 在[2,0)-上单调递增，当322x -≤≤'()0g x ≤，所以()g x 在3[,2)2-上单调递减， 所以min ()(2)g x g =-2230m =+≥， 所以223m ≥-， 当32x ≤-时，22'()50g x x =-+<，所以()g x 在3(,]2-∞-上单调递减， 所以min 335()()026g x g m =-=+≥， 所以356m ≥-， 综上，223m ≥-．。
2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合，集合B＝{x|y2＝4x}，则A∩B＝（）A．B．C．D．3．（5分）命题p：“∃x0∈R，x02+1＜2x0”的否定￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1≥2x0B．∃x0∈R，x02+1＞2x0C．∀x∈R，x2+1≥2x D．∀x∈R，x2+1＜2x4．（5分）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为（）A．B．C．D．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，执行如图所示的程序框图，则输出的M一定满足（）A．S n＝B．S n＝nM C．S n≥nM D．S n≤nM6．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在（，π）单调递减B．f（x）在（0，）单调递增C．f（x）在（，）单调递增D．f（x）在（0，）单调递减7．（5分）如果实数x，y满足关系，则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，] 8．（5分）A，B是圆O：x2+y2＝1上两个动点，||＝1，＝3﹣2，M为线段AB 的中点，则•的值为（）A．B．C．D．9．（5分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，cos A cos B cos C＞0，则的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的四个顶点均在某个球面上，SC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．（5分）函数y＝的图象与函数y＝3sinπx（﹣4≤x≤2）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．﹣4B．﹣2C．﹣8D．﹣612．（5分）已知S为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上的任意一点，过S分别引其渐近线的平行线，分别交x轴于点M，N，交y轴于点P，Q，若（+）•（|OP|+|OQ|）≥4恒成立，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．（1，2]B．[2，+∞）C．（1，]D．[，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（5分）等比数列{a n}中，a3＝18，a5＝162，公比q＝．14．（5分）利用随机模拟方法计算y＝1和y＝x2所围成图形的面积．首先利用计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b＝RAND，然后进行平移和伸缩变换，a＝2（a1﹣0.5），若共产生了N个样本点（a，b），其中落在所围成图形内的样本点数为N1，则所围成图形的面积可估计为．（结果用N，N1表示）15．（5分）设O为抛物线：y2＝2px（p＞0）的顶点，F为焦点，且AB为过焦点F的弦．若|AB|＝4p，则△AOB的面积为16．（5分）f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x）．若f′（x）＞f（x）﹣1，f （1）＝2018，则不等式f（x）＞2017e x﹣1+1（其中e为自然对数的底数）的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}为正项数列，a1＝3，且﹣＝2（+）（n∈N*）．（1）求数列{a n}通项公式；（2）若b n＝+（﹣1）n•a n，求{b n}的前n项和S n．18．（12分）交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，早高峰时段3≤T≤9，T∈[3，5）基本畅通；T∈[5，6）轻度拥堵；T∈[6，7）中度拥堵；T∈[7，9]严重拥堵，从某市交通指挥中心随机选取了二环以内40个交通路段，依据交通指数数据绘制直方图如图所示．（1）据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；（2）现从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，求选中路段中恰有一个路段的交通指数T∈[8，9]的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E，F分别为PC，P A的中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）求三棱锥P﹣EFB的体积．20．（12分）已知F为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点，|OF|＝，P，Q分别为椭圆C的上下顶点，且△PQF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P的两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于异于点P的点A，B，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．21．（12分）已知函数h（x）＝ae x，直线l：y＝x+1，其中e为自然对数的底．（1）当a＝1，x＞0时，求证：曲线f（x）＝h（x）﹣x2在直线l的上方；（2）若函数h（x）的图象与直线l有两个不同的交点，求实数a的取值范围；（3）对于第（2）中的两个交点的横坐标x1，x2及对应的a，当x1＜x2时，求证：a＞．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝﹣4．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）点P（0，1），直线l与曲线C交于M，N，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z为正实数，且x+y+z＝2．（1）求证：4﹣z2≥4xy+2yz+2xz；（2）求证：++≥4．2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝＝1﹣i，∴在复平面内对应的点为（1，﹣1），故选：D．2．（5分）已知集合，集合B＝{x|y2＝4x}，则A∩B＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵集合＝[，]，集合B＝{x|y2＝4x}＝[0，+∞），∴A∩B═[，]∩[0，+∞）＝[0，]．故选：A．3．（5分）命题p：“∃x0∈R，x02+1＜2x0”的否定￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1≥2x0B．∃x0∈R，x02+1＞2x0C．∀x∈R，x2+1≥2x D．∀x∈R，x2+1＜2x【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题即￢p：∀x∈R，x2+1≥2x，故选：C．4．（5分）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥，其底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为1，所以该三棱锥的体积为V＝••1•1•1＝．故选：A．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，执行如图所示的程序框图，则输出的M一定满足（）A．S n＝B．S n＝nM C．S n≥nM D．S n≤nM【解答】解：根据程序框图：算法的作用是求{a n}中的最小项．故：S n＝a1+a2+…+a n≥M+M+…+M＝nM，故：S n≥nM，故选：C．6．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在（，π）单调递减B．f（x）在（0，）单调递增C．f（x）在（，）单调递增D．f（x）在（0，）单调递减【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＝，函数的最小正周期为π，则：ω＝2，由于f（﹣x）＝f（x），且|φ|＜，解得φ＝．故：f（x）＝，令2kπ﹣π≤2x≤2kπ（k∈Z），解得（k∈Z），当k＝1时，f（x）在（，π）单调递增．当k＝0时，f（x）在（﹣）单调递增．所以f（x）在（）单调递减．所以A错误．故选：D．7．（5分）如果实数x，y满足关系，则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；设z＝＝1+，则z的几何意义是区域内的点到M（5，7）的斜率加上1，由，可得A（0，4），由，可得B（2，2）；由图象可知，当MA的斜率最小为k＝＝，MB的斜率最大为k′＝＝，所以的取值范围是：[，]．故选：C．8．（5分）A，B是圆O：x2+y2＝1上两个动点，||＝1，＝3﹣2，M为线段AB 的中点，则•的值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，A，B是圆O：x2+y2＝1上两个动点，||＝1，则△OAB为等边三角形且∠AOB＝60°，则||＝||＝1，•＝||×||×cos60°＝，M为线段AB的中点，则＝（+），则•＝（3﹣2）•（+）＝（3﹣2）•（+）＝（32﹣22+•）＝（3﹣2+）＝；故选：B．9．（5分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，cos A cos B cos C＞0，则的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：△ABC中，由cos A cos B cos C＞0知，△ABC是锐角三角形，由正弦定理可知sin B＝sin2A＝2sin A cos A，∴b＝2a cos A，∴＝＝tan A，∵A+B+C＝180°，B＝2A，∴3A+C＝180°，A＝60°﹣＞30°，∵2A＜90°，∴A∈（30°，45°），＜tan A＜1，则＜＜．故选：D．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的四个顶点均在某个球面上，SC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意作出图形，设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则PD⊥平面ABC．∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴CO1＝＝，∴OO1＝，∴高PD＝2OO1＝2，∵△ABC是边长为4正三角形，∴S△ABC＝＝4，∴V三棱锥P﹣ABC＝＝∴r2＝．则球O的表面积为4πr2＝．故选：D．11．（5分）函数y＝的图象与函数y＝3sinπx（﹣4≤x≤2）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．﹣4B．﹣2C．﹣8D．﹣6【解答】解：在同一坐标系内作出函数y＝与函数y＝3sinπx（﹣4≤x≤2）的图象，如图所示，则函数y＝的图象关于点（﹣1，0）对称，同时点（﹣1，0）也是函数y＝2sinπx（﹣4≤x≤2）的对称点；由图象可知，两个函数在[﹣4，2]上共有4个交点，且两两关于点（﹣1，0）对称；设对称的两个点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝2×（﹣1）＝﹣2，∴4个交点的横坐标之和为2×（﹣2）＝﹣4．故选：A．12．（5分）已知S为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上的任意一点，过S分别引其渐近线的平行线，分别交x轴于点M，N，交y轴于点P，Q，若（+）•（|OP|+|OQ|）≥4恒成立，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．（1，2]B．[2，+∞）C．（1，]D．[，+∞）【解答】解：设S（m，n）与渐近线y＝平行的直线方程为则M（m﹣，0），P（0，n﹣）．与渐近线y＝﹣平行的直线方程为则N（，0），Q（0，n+，|OM|＝||，|ON|＝||，|OP|＝||，|OQ|＝||，∴（+）•（|OP|+|OQ|）＝+（||），要使（+）•（|OP|+|OQ|）≥4恒成立，则．∴双曲线离心率e＝，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（5分）等比数列{a n}中，a3＝18，a5＝162，公比q＝±3．【解答】解：∵a3＝18，a5＝162，∴q2＝＝9，公比q＝±3．故答案为：±3．14．（5分）利用随机模拟方法计算y＝1和y＝x2所围成图形的面积．首先利用计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b＝RAND，然后进行平移和伸缩变换，a＝2（a1﹣0.5），若共产生了N个样本点（a，b），其中落在所围成图形内的样本点数为N1，则所围成图形的面积可估计为．（结果用N，N1表示）【解答】解：由题意a1＝∈[0，1]，a＝2（a1﹣0.5）＝2a1﹣1∈[﹣1，1]，又b∈[0，1]，由N个样本点（a，b），其中落在所围成图形内的样本点数为N1，则＝，如图所示；∴所围成图形的面积可估计为S＝．故答案为：．15．（5分）设O为抛物线：y2＝2px（p＞0）的顶点，F为焦点，且AB为过焦点F的弦．若|AB|＝4p，则△AOB的面积为【解答】解：∵抛物线y2＝2px的焦点为F（，0）∴设弦AB所在直线的方程为y＝k（x﹣），（k≠0）与抛物线y2＝2px联解，得ky2﹣2py﹣kp2＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得y1y2＝﹣p2．根据抛物线的定义，得|AB|＝x1+x2+p＝4p∴x1+x2＝y12+y22＝3p，得y12+y22＝6p2．由此可得|y1﹣y2|2＝（y12+y22）﹣2y1y2＝6p2﹣（﹣2p2）＝8p2．∴S△AOB＝S△AOF+S△BOF＝|OF|•|y1﹣y2|＝××，因此，三角形的面积为：．故答案为：．16．（5分）f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x）．若f′（x）＞f（x）﹣1，f （1）＝2018，则不等式f（x）＞2017e x﹣1+1（其中e为自然对数的底数）的解集为{x|x＞1}．【解答】解：不等式f（x）＞2017e x﹣1+1⇔＞2017．令g（x）＝，∵f′（x）＞f（x）﹣1，∴g′（x）＝＞0，∴函数g（x）在R上单调递增，而g（1）＝＝2017，∴g（x）＞g（1），∴x＞1．∴不等式f（x）＞2017e x﹣1+1（其中e为自然对数的底数）的解集为{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}为正项数列，a1＝3，且﹣＝2（+）（n∈N*）．（1）求数列{a n}通项公式；（2）若b n＝+（﹣1）n•a n，求{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由﹣＝2（+）（n∈N*），∴＝∴a n+12﹣2a n+1＝a n2+2a n，∴a n+12﹣a n2＝2（a n+1+a n），∴（a n+1﹣a n）（a n+1+a n）＝2（a n+1+a n），∵数列{a n}为正项数列，∴a n+1﹣a n＝2，∵a1＝3，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，（2）b n＝+（﹣1）n•a n＝22n+1+（﹣1）n•（2n+1）＝2×4n+（﹣1）n•（2n+1），设c n＝2×4n，则{c n}的前n项和为＝设d n＝（﹣1）n•（2n+1），当n为偶数时，{d n}的前n项和为（﹣3+5）+（﹣7+9）+…（﹣2n+1+2n+1）＝2×＝n，当n为奇数时，{d n}的前n项和为﹣3+（5﹣7）+（9﹣11）+…（2n﹣1﹣2n﹣1）＝﹣3﹣2×＝﹣3﹣（n﹣1）＝﹣n﹣2，故当n为偶数时，S n＝+n，当n为奇数时，S n＝﹣n﹣2＝﹣n﹣，综上所述S n＝．18．（12分）交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，早高峰时段3≤T≤9，T∈[3，5）基本畅通；T∈[5，6）轻度拥堵；T∈[6，7）中度拥堵；T∈[7，9]严重拥堵，从某市交通指挥中心随机选取了二环以内40个交通路段，依据交通指数数据绘制直方图如图所示．（1）据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；（2）现从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，求选中路段中恰有一个路段的交通指数T∈[8，9]的概率．【解答】解：（1）∵频率直方图中，T∈[5，6）对应的小矩形最高，∴据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数为：＝5.5．由频率直方图估计早高峰时段交通拥堵指数的平均数为：0.15×3.5+0.2×4.5+0.3×5.5+0.2×6.5+0.1×7.5+0.05×8.5＝5.55．（2）由题知严重拥堵中交通指数T∈[7，8）的有4个，记为a，b，c，d，交通指数T∈[8，9）的有2个，记为A，B，从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，基本事件总数有15个，分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B），（d，A），（d，B），（A，B），选中路段中选中路段中恰有一个路段的交通指数T∈[8，9]包含的基本事件有8个，分别为：（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（d，A），（d，B），∴恰有一个路段的交通指数T∈[8，9]的概率p＝．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E，F分别为PC，P A的中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）求三棱锥P﹣EFB的体积．【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H，在△BCH中，有BH＝CH＝1，∴∠BCH＝45°．又在△DAB中，有AD＝AB＝1，∴∠ADB＝45°．∴∠BDC＝45°，∴∠DBC＝90°．∴BC⊥BD．∵PD⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PD⊂平面PCD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵BD∩PD＝D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）解：∵AB∥CD，且AB⊂平面P AB，CD⊄平面P AB，则CD∥平面P AB，在Rt△PDA中，由AD＝PD＝1，可得D到P A的距离为，即D到平面P AB的距离为．又E为PC的中点，可得E到平面P AB的距离为．在Rt△P AB中，由AB＝1，P A＝，且F为P A的中点，可得．∴．20．（12分）已知F为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点，|OF|＝，P，Q分别为椭圆C的上下顶点，且△PQF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P的两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于异于点P的点A，B，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．【解答】（1）解：由题意可得：c＝＝b，a2＝b2+c2，解得c＝，b＝1，a＝2．∴椭圆C的方程为：＝1．（2）证明：设直线l1的方程为：y＝kx+1，（k＞0），则直线l1的方程为：y＝﹣x+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（1+4k2）x2+8kx＝0，解得x1＝﹣，+1＝，可得A（﹣，）．联立，化为：（4+k2）x2﹣8kx＝0，解得x2＝，y2＝﹣×+1＝，可得B（，）．∴直线AB的方程为：y﹣＝（x﹣），化为：y﹣＝（x﹣），化为：y＝x﹣．∴直线AB过定点：．21．（12分）已知函数h（x）＝ae x，直线l：y＝x+1，其中e为自然对数的底．（1）当a＝1，x＞0时，求证：曲线f（x）＝h（x）﹣x2在直线l的上方；（2）若函数h（x）的图象与直线l有两个不同的交点，求实数a的取值范围；（3）对于第（2）中的两个交点的横坐标x1，x2及对应的a，当x1＜x2时，求证：a＞．【解答】解：（1）证明：当a＝1，x＞0时，令g（x）＝，g′（x）＝e x﹣x﹣1，g″（x）＝e x﹣1，当x＞0时，g″（x）＞0，g′（x）递增，g′（x）＞g′（0）＝0，∴g（x）递增，g（x）＞g（0）＝0，∴曲线f（x）＝h（x）﹣x2在直线l的上方；（2）由y＝ae x和y＝x+1，可得ae x＝x+1，即有a＝，设m（x）＝，可得m′（x）＝，当x＞0时，m′（x）＜0，m（x）递减；当x＜0时，m′（x）＞0，m（x）递增，可得m（x）在x＝0处取得极大值，且为最大值1，图象如右上：由图象可得0＜a＜1时，a＝有两解，可得函数h（x）的图象与直线l有两个不同的交点，则a的范围是（0，1）；（3）证明：由（2）可得ae x1＝x1+1，ae x2＝x2+1，作差可得a＝，要证a＞，即证＞，由x1＜x2时，即证x2﹣x1＞，即为x2﹣x1＞1﹣＝1﹣，可令t＝x2﹣x1，即为t＞1﹣，设n（t）＝t﹣1+，t＞0，n′（t）＝1﹣＝＞0，可得n（t）在t＞0上递增，可得n（t）＞n（0）＝0，可得t＞1﹣成立，则当x1＜x2时，a＞．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝﹣4．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）点P（0，1），直线l与曲线C交于M，N，求+的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝﹣4，即ρ2cos2θ﹣ρ2sin2θ＝﹣4．∴曲线C的直角坐标方程为x2﹣y2＝﹣4，即＝1．（2）将直线l：（t为参数），转换为：（t为参数），代入曲线，得到：7t2+40t﹣75＝0，所以，（t1和t2为M和N对应的参数），则＝＝．故+的值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z为正实数，且x+y+z＝2．（1）求证：4﹣z2≥4xy+2yz+2xz；（2）求证：++≥4．【解答】解：（1）在等式x+y+z＝2两边平方得4＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz，由基本不等式可得4＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz＝（x2+y2）+z2+2xy+2yz+2xz≥2xy+z2+2xy+2yz+2xz＝4xy+2yz+2xz+z2，当且仅当x＝y时，等号成立，因此，4﹣z2≥4xy+2yz+2xz；（2）由基本不等式可得++＝≥2（x+y+z）＝4，当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．。
2018年东北三省四市高考数学二模试卷
2018年东北三省四市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U=R，集合A={x|x＞0}，B={x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁U B）=（）A．（0，2]B．（﹣1，2]C．[﹣1，2]D．[2，+∞）2．若复数z=，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．B．﹣C．﹣i D．i3．“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0＜b＜1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数f（x）=满足f（x）=1的x值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣2 D．1或﹣15．已知||=1，||=2，向量与的夹角为60°，则|+|=（）A．B．C．1 D．26．已知抛物线x2=2y的焦点与椭圆+=1的一个焦点重合，则m=（）A．1 B．2 C．3 D．7．已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是（）A．B．C．D．8．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．3 B．4 C．5 D．69．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1，b=，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．10．若正实数x，y满足x+2y+2xy﹣8=0，则x+2y的最小值（）A．3 B．4 C．D．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．4+2πD．4+π12．函数f（x）的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]，则称区间[a，b]为y=f（x）的k级“理想区间”．下列结论错误的是（）A．函数f（x）=x2（x∈R）存在1级“理想区间”B ．函数f （x ）=e x （x ∈R ）不存在2级“理想区间”C ．函数f （x ）=（x ≥0）存在3级“理想区间”D ．函数f （x ）=tanx ，x ∈（﹣，）不存在4级“理想区间”二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为 ． 14．若函数f （x ）=e x •sinx ，则f'（0）= ．15．等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3=8a 1+3a 2，a 4=16，则S 4= ． 16．F 为双曲线（a ＞b ＞0）的左焦点，过点F 且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A ，B 两点，若=，则双曲线的离心率为 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程． 17．已知点P （，1），Q （cosx ，sinx ），O 为坐标原点，函数f （x ）=•．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若A 为△ABC 的内角，f （A ）=4，BC=3，△ABC 的面积为，求△ABC的周长．18．某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表： 女性用户：男性用户（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，再从这20名用户中满足评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户评分都小于90分的概率．19． 如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD ，AD=AP=2，AB=2，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）证明：PD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）求三棱锥C ﹣PBD 外接球的体积．20．已知函数f （x ）=ax ﹣lnx ．（1）过原点O 作函数f （x ）图象的切线，求切点的横坐标；（2）对∀x ∈[1，+∞），不等式f （x ）≥a （2x ﹣x 2）恒成立，求实数a 的取值范围．21．已知椭圆C ：+y 2=1（a ＞1），B 1，B 2分别是其上、下顶点，椭圆C 的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB 长的取值范围．从22、23题中任选一题作答.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2018年东北三省四市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2018年高考数学二模试卷(文科)带答案精讲
2018年高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共11小题，每小题5分，满分55分）1．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．102．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.23．（5分）在△ABC中，C=60°，AB=，那么A等于（）A．135°B．105°C．45°D．75°4．（5分）已知：如图的夹角为的夹角为30°，若等于（）A．B．C．D．25．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或6．（5分）设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（）A．p或q B．p且q C．￢p或q D．p且￢q7．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．18．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策．如后四位数为“2663”、“8685”为“金兔卡”．则这组号码中“金兔卡”的张数（）A．484 B．972 C．966 D．4869．（5分）有三个命题①函数的反函数是y=（x+1）2（x∈R）②函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③10．（5分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（）A．点B．线段C．圆弧D．抛物线的一部分11．（5分）若关于x的不等式|x﹣1|＜ax（a≠0）的解集为开区间（m，+∞），其中m∈R，则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a≤﹣1 C．0＜a＜1 D．﹣1＜a＜0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）12．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为2π，则球的表面积为．13．（5分）已知二项式展开式中的项数共有九项，则常数项为．14．（5分）已知过椭圆的右焦点在双曲线的右准线上，则双曲线的离心率为．15．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．16．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．18．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）求男生被抽取的人数和女生被抽取的人数；（I）若从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若本班学生考前心理状态好的概率为0.8，求调查中恰有3人心理状态良好的概率．19．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．20．（12分）已知f（x）=tx3﹣2x2+1．（I）若f′（x）≥0对任意t∈[﹣1，1]恒成立，求x的取值范围；（II）求t=1，求f（x）在区间[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．21．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，a1=1，且点在函数y=x2+1的图象上．数列{b n}满足b1=0，b n+1=b n+3an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n b n cosnπ（n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．22．（10分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．参考答案与试题解析一、选择题（共11小题，每小题5分，满分55分）1．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．10【分析】由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．【解答】解：∵a4=9，a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．2．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.2【分析】由已知中在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，我们出该组的频率，进而根据样本容量为100，求出这一组的频数．【解答】解：∵样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，又∵中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，则该长方形对应的频率为0.2又∵样本容量为100，∴该组的频数为100×0.2=20故选C【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据各组中频率之比等于面积之比，求出该组数据的频率是解答本题的关键．3．（5分）在△ABC中，C=60°，AB=，那么A等于（）A．135°B．105°C．45°D．75°【分析】由C的度数求出sinC的值，再由c和a的值，利用正弦定理求出sinA 的值，由c大于a，根据大边对大角，得到C大于A，得到A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵C=60°，AB=c=，BC=a=，∴由正弦定理=得：sinA===，又a＜c，得到A＜C=60°，则A=45°．故选C【点评】此题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4．（5分）已知：如图的夹角为的夹角为30°，若等于（）A．B．C．D．2【分析】将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后解三角形即可得到答案．【解答】解：如图所示：根据平行四边形法则将向量沿与方向进行分解，则由题意可得OD=λ，CD=μ，∠COD=30°，∠OCD=90°，∠Rt△OCD中，sin∠COD=sin30°===，∴=2，故选D．【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．5．（5分）若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或【分析】由已知中集合，解根式方程可得A={2}，结合B={1，m}，及A⊆B，结合集合包含关系的定义，可得m的值．【解答】解：∵集合={2}又∵B={1，m}若A⊆B则m=2故选A【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，其中解根式方程确定集合A是解答本题的关键，解答中易忽略根成有意义的条件，而错解为A={﹣1}6．（5分）设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（）A．p或q B．p且q C．￢p或q D．p且￢q【分析】对于命题p，q，只要把相应的平面和直线放入长方体中，找到反例即可．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确；命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；故选C．【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．7．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．1【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的线段的长度问题，注意最后要平方．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，点P到直线3x+4y﹣4=0的距离是点P到区域内的最小值，d=，∴z=x2+y2的最小值为故选B．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．8．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位恰带有两个数字“6”或恰带有两个数字“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策．如后四位数为“2663”、“8685”为“金兔卡”．则这组号码中“金兔卡”的张数（）A．484 B．972 C．966 D．486【分析】据题意，对卡号的后4位分3种情况讨论：①、后4位中含有2个8，进而细分为1°其他数字不重复，2°其他数字也相同，由排列、组合数公式可得其情况数目，②、后4位中含有2个6的卡片，同①可得其情况数目，③、含有2个8、2个6，由组合数公式可得其情况数目；最后由事件之间的关心计算可得答案．【解答】解：根据题意，对卡号的后4位分3种情况讨论：①、后4位中含有2个8，1°若其他数字不重复，在其中任取2个其他的数字，与2个8进行全排列，有×A44×C92种情况，2°若其他数字也相同，易得有9×C42种情况，共有×A44×C92+9×C42=486张，②、同理后4位只中含有2个6的卡片有486张，③、后4位中含有2个8、2个6，有C42=6张，共有486+486﹣6=966张；故选C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，考查带有约束条件的数字问题，分类讨论时，注意事件之间的关系，要做到不重不漏．9．（5分）有三个命题①函数的反函数是y=（x+1）2（x∈R）②函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③【分析】对于①，欲求原函数y=﹣1（x≥0）的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．对于②，利用函数f（x）的单调性，与函数的零点与方程的根判断即可；对于③，通过函数f（x）的奇偶性判断即可．【解答】解：对于①，∵y=﹣1（x≥0），∴x=（y+1）2（y≥﹣1），∴x，y互换，得y=（x+1）2（x≥﹣1）．故不正确．对于②，考察f（x）的单调性，lnx和x﹣2在（0，+∞）上是增函数，故f（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，图象与x轴最多有1个交点，故不正确．对于③，函数的定义域为[﹣3，3]，所以，函数化简为：y=是偶函数，图象关于y轴对称，正确．故选C．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、反函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．10．（5分）若长度为定值的线段AB 的两端点分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动，O 为坐标原点，则△OAB 的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（ ） A ．点 B ．线段 C ．圆弧D ．抛物线的一部分【分析】本题是个选择题，利用排除法解决．首先由△OAB 的重心，排除C ；再利用△OAB 的内心，排除B ；最后利用△OAB 的垂心，排除A ；即可得出正确选项．【解答】解：设重心为G ，AB 中点为C ，连接OC ．则OG=OC （这是一个重心的基本结论）．而OC=AB=定值，所以G 轨迹圆弧． 排除C ；内心一定是平分90度的那条角平分线上，轨迹是线段．排除B ；外心是三角形外接圆圆心，对于这个直角三角形，AB 中点C 就是三角形外接圆圆心，OC 是定值， 所以轨迹圆弧，排除C ； 垂心是原点O ，定点，排除A 故选D ．【点评】本题考查三角形的重心、内心、外心、垂心、以及轨迹的求法．解选择题时可利用排除法．11．（5分）若关于x 的不等式|x ﹣1|＜ax （a ≠0）的解集为开区间（m ，+∞），其中m ∈R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ≥1B ．a ≤﹣1C ．0＜a ＜1D ．﹣1＜a ＜0【分析】在同一坐标系中做出函数 y=|x |和 函数y=ax 的图象，由题意结合图形可得实数a 的取值范围．【解答】解：∵关于x 的不等式|x ﹣1|＜ax （a ≠0）的解集为 开区间（m ，+∞），其中m ∈R ，在同一坐标系中做出函数y=|x﹣1|和函数y=ax的图象，如图所示：结合图象可得a≥1．故选：A．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，画出图形，是解题的关键，属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）12．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为2π，则球的表面积为12π．【分析】求出截面圆的半径，利用勾股定理求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：由题意可知截面圆的半径为：r，所以πr2=2π，r=，由球的半径，球心到截面圆的距离，截面圆的半径，满足勾股定理，所以球的半径为：R==．所求球的表面积为：4πR2=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球与球的截面以及球心到截面的距离的关系，是本题的解题的关键，考查计算能力．13．（5分）已知二项式展开式中的项数共有九项，则常数项为1120．【分析】根据展开式中的项数共有九项可求出n的值是8．利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0，求出r，将r的值代入通项求出展开式的常数项．【解答】解：∵二项式展开式中的项数共有九项∴n=8=2r C8r x4﹣r展开式的通项为T r+1令4﹣r=0得r=4所以展开式的常数项为T5=24C84=1120故答案为：1120．【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，解答关键是求出n的值，属于中档题．14．（5分）已知过椭圆的右焦点在双曲线的右准线上，则双曲线的离心率为．【分析】先由题设条件求出椭圆的焦点坐标和双曲线的准线方程，列出关于b 的方程求出b，从而得到a和c，再利用a和c求出双曲线的离心率．【解答】解：由题设条件可知椭圆的右焦点坐标为（2，0），双曲线的右准线方程为x=，∴，解得b=2．则双曲线的离心率为．故答案为：．【点评】本题是双曲线的椭圆的综合题，难度不大，只要熟练掌握圆锥曲线的性质就行．15．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．【分析】求出函数的单调增区间，通过子集关系，确定实数φ的取值范围．【解答】解：函数，由2kπ﹣πφ≤2kπ，可得6kπ﹣3π﹣3φ≤x≤6kπ﹣3φ，由题意在区间（﹣π，π）上单调递增，所以6kπ﹣3π﹣3φ≤﹣π 且π≤6kπ﹣3φ，因为0＜φ＜2π，所以k=1，实数φ的取值范围为；故答案为：【点评】本题是基础题，考查三角函数的单调性的应用，子集关系的理解，考查计算能力．16．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为（，+∞）；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为不存在．【分析】①先对函数配方，求出其对称轴，判断出其在给定区间上的单调性进而求出函数值的范围，即可求出实数m的取值范围；②先利用单调性分别求出两个函数的值域，再比较即可求出实数a的取值范围．【解答】解：因为f（x）==，（2，+∞），f（x）＞f（2）=；g（x）=a x，（a＞1，x＞2）．g（x）＞g（2）=a2．①∵∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，∴m；②∵∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），∴⇒a不存在．故答案为：（，+∞）：不存在．【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及借助于单调性研究函数的值域，是对基础知识的综合考查，属于中档题目．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．【分析】（I）先假设两个向量平行，利用平行向量的坐标表示，列出方程并用倍角和两角和正弦公式进行化简，求出一个角的正弦值，根据正弦值的范围推出矛盾，即证出假设不成立；（II）利用向量数量积的坐标表示列出式子，并用倍角和两角和正弦公式进行化简，由条件和已知角的范围进行求值．【解答】解：（I）假设∥，则2cosx（cosx+sinx）﹣sinx（cosx﹣sinx）=0，1+cosxsinx+cos2x=0，即1+sin2x+=0，∴sin（2x+）=﹣3，解得sin（2x+）=﹣＜﹣1，故不存在这种角满足条件，故假设不成立，即与不可能平行．（II）由题意得，•=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2cosxsinx=cos2x+sin2x=sin （2x+）=1，∵x∈[﹣π，0]，∴﹣2π≤2x≤0，即≤，∴=﹣或，解得x=或0，故x的值为：或0．【点评】本题考查了向量共线和数量积的坐标运算，主要利用了三角恒等变换的公式进行化简，对于存在性的题目一般是先假设成立，根据题意列出式子，再通过运算后推出矛盾，是向量和三角函数相结合的题目．18．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）求男生被抽取的人数和女生被抽取的人数；（I）若从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若本班学生考前心理状态好的概率为0.8，求调查中恰有3人心理状态良好的概率．【分析】（Ⅰ）根据题意，可得抽取的比例为，由分层抽样的性质，计算可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人，分析可得“至少选取1个男生”与“没有1个男生”即“选取的都是2个女生”为对立事件；先计算“选取的都是2个女生”的概率，进而由对立事件的概率性质，计算可得答案；（Ⅲ）根据题意，分析可得：本题为在5次独立重复试验中恰有3次发生，由其公式，计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，在50人中抽取了5人，抽取的比例为；则抽取男生30×=3，女生20×=2；即男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人，“至少选取1个男生”与“没有1个男生”即“2个女生”为对立事件；选取的两名学生都是女生的概率P==，∴所求的概率为1﹣P=；（Ⅲ）根据题意，本班学生的考前心理状态良好的概率为0.8，则抽出的5人中，恰有3人心理状态良好，即在5次独立重复试验中恰有3次发生，则其概率为C53×（）3×（）2=．【点评】本题主要考查排列n次独立重复实验中恰有k次发生的概率计算，涉及分层抽样与对立事件的概率计算；需要牢记各个公式，并做到“对号入座”．19．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．【分析】（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC与F，连接EF，我们可得∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，解三角形EFH后，即可求出二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离，利用等体积法，我们根据=，即可求出直线A 1C1到平面EAC的距离．【解答】解：（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC 与F，连接EF，则EF在平面ABCD内的射影为HF，由三垂线定理得EF⊥AC，，∴∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角∵EH=a，HF=BD=∴∠tan∠EFH===2∴二面角E﹣AC﹣B的正切值为﹣2…6分（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离d，…8分∵=∴S•d=△EAC∵EF====•AC•EF=•a•=∴S△EAC而=••a=∴•d=•a∴d=∴直线A1C1到平面EAC的距离【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离，其中（I）的关键是得到∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，（II）中求点到面的距离时，等体积法是最常用的方法．20．（12分）已知f（x）=tx3﹣2x2+1．（I）若f′（x）≥0对任意t∈[﹣1，1]恒成立，求x的取值范围；（II）求t=1，求f（x）在区间[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．【分析】（I）f′（x）=3tx2﹣4x，令g（t）=3x2t﹣4x，由，能求出x的取值范围．（II）由f（x）=x3﹣2x2+1，知f′（x）=3x2﹣4x=x（3x﹣4），f′（x）＞0，得f（x）在（﹣∞，0）和（）为递增函数；令f′（x）＜0，得f（x）在（0，）为递减函数．由此进行分类讨论，能求出f（x）在区间[a，a+3]（a＜0）上的最大值h（a）．【解答】解：（I）f′（x）=3tx2﹣4x，令g（t）=3x2t﹣4x，则有，∴，解得．∴x的取值范围是．（II）f（x）=x3﹣2x2+1，f′（x）=3x2﹣4x=x（3x﹣4），令f′（x）＞0，得x＜0或x＞．令f′（x）＜0，得0，∴f（x）在（﹣∞，0）和（）为递增函数；在（0，）为递减函数．∵f（0）=1，，令f（x）=1，得x=0或x=2．①当a+3＜0，即a＜﹣3时，f（x）在[a，a+3]单调递增．∴h（a）=f（a+3）=a3+7a2+15a+10．②当0≤a+3≤2，即﹣3≤a≤﹣1时，h（a）=f（0）=1．③当a+3＞2，即0＞a＞﹣1时，h（a）=f（a+3）=a3+7a2+15a+10．∴．【点评】本题考查导数在求最大值和求最小值时的实际应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意分类讨论思想的灵活运用．21．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，a1=1，且点在函数y=x2+1的图象上．数列{b n}满足b1=0，b n+1=b n+3an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n b n cosnπ（n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）由题设条件知a n=a n+1，根据等差数列的定义：{a n}是首项为1，+1公差为1的等差数列，从而a n=n，根据b n+1=b n+3an（n∈N*），可得b n+1﹣b n=3n （n∈N*）．累加可求和，从而得{b n}的通项公式；（II）根据c n=a n b n cosnπ（n∈N*），可得，再分n为偶数，奇数分别求和即可【解答】解：（Ⅰ）因为点（）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象上=a n+1所以a n+1根据等差数列的定义：{a n}是首项为1，公差为1的等差数列所以a n=n=b n+3an（n∈N*）．∵b n+1∴b n﹣b n=3n（n∈N*）．+1∴（II）∵c n=a n b n cosnπ（n∈N*），∴当n为偶数时，S n=（﹣3+2•32+…+n•3n）+3[1﹣2+3﹣4+…+（n﹣1）﹣n]设T n=（﹣3+2•32+…+n•3n），则3T n=﹣32+2•33+…+n•3n+1∴∴当n为奇数时，∴【点评】本题以函数为载体，考查数列的概念和性质及其应用，考查错位相减法求和，解题时要注意公式的灵活运用．22．（10分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．【分析】（I）由点C到定点M的距离等于到定直线l的距离与抛物线的定义可得点C的轨迹为抛物线所以曲线E的方程为x2=4y．（II）由题得直线AB的方程是x﹣2y+12=0联立抛物线的方程解得A（6，9）和B（﹣4，4），进而直线NA的方程为，由A，B两点的坐标得到线段AB中垂线方程为，可求N点的坐标，进而求出圆N的方程．（III）设A，B两点的坐标，由题意得过点A的切线方程为又Q（a，﹣1），可得x12﹣2ax1﹣4=0同理得x22﹣2ax2﹣4=0所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．所以直线AB的方程为所以t=﹣1．根据向量的运算得=0．【解答】【解】（Ⅰ）依题意，点C到定点M的距离等于到定直线l的距离，所以点C的轨迹为抛物线，曲线E的方程为x2=4y．（Ⅱ）直线AB的方程是，即x﹣2y+12=0．由及知，得A（6，9）和B（﹣4，4）由x2=4y得，．所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y'|x=6=3．直线NA的方程为，即．①线段AB的中点坐标为，线段AB中垂线方程为，即．②由①、②解得．于是，圆C的方程为，即．（Ⅲ）设，，Q（a，1）．过点A的切线方程为，即x12﹣2ax1﹣4=0．同理可得x22﹣2ax2﹣4=0，所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．又=，所以直线AB的方程为，即，亦即，所以t=1．而，，所以==．【点评】本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点．。
东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试文科数学含答案
东北三省四市教研联合体2018届高三第二次模拟考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}03,1 -==x x x B x x A ，则B A （ ） A ．（-1,0） B ．（0,1） C ．（-1,3） D ．（1,3）2.若复数aiiz ++=11为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．21- D ．-13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹.古代是用算筹来进行计算.算筹是将几寸长的小竹棍摆在下面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式（如下图所示).表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列.但各位数码的筹式要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示.以此类推.例如3266用箅筇表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）中国古代的算筹数码 A ．B ．C ．D ．4.右图所示的程序框图是为了求出满足2822 n n -的最小偶数n ，那么在空白框内填入及最后输出的n 值分别是（ ）A ．1+=n n 和6B ．2+=n n 和6 C.1+=n n 和8 D ．2+=n n 和85.函数xxx x f tan 1)(2++=的部分图像大致为（ ）A ．B ．C. D ．6.等差数列{}n a 的公差不为零，首项11=a ，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列{}n a 的前9项之和是（ ） A ．9B ．10D ．907.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．34B ．3310 C.32 D ．3388.已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，满足),(*242N n m a a a n m ∈=，则nm 12+的最小值为（ ） A ．1 B ．23 D ．29 9.已知过曲线xe y =上一点),(00y x P 做曲线的切线，若切线在y 轴上的截距小于0时，则0x 的取值范围是（ ）A ．),0(+∞B ．),1(+∞eC.),1(+∞ D ．),2(+∞10.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕，将ABC ∆折成直二面角C AD B --，则过D C B A ,,,四点的球的表面积为（ ） A ．π3 B ．π4 C.π5 D ．π6 11.将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin )(πx x f 的图像向右平移a 个单位得到函数的图象，则的值可以为（ ） A ．B ．C ．D ．12.已知焦点在轴上的双曲线的左右两个焦点分别为和，其右支上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ．D ．()cos(2)4g x x π=+a 512π712π924π14124πx 222211x y m m -=-1F 2F P 12PF PF ⊥12PF F ∆23第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设实数，满足约束条件则的最大值为 ．14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为 ．（最后结果精确到整数位）15.已知函数满足，当时，)9()8(f f +的值为 ．16.已知菱形ABCD 的一条对角线BD 长为2，点E 满足21=，点F 为CD 的的中点.若2-=⋅则⋅= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2=b ，且A c C aB b cos cos cos 2+=.（I ）求B 的大小；（II ）求ABC ∆面积的最大值.18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．x y 0,40,5,y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩25z x y =++2.1161.13y x =-+()f x 1()(1)1()f x f x f x ++=-(1)2f =80%[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)（I ）求出a 的值；（II ）求出这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（III ）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.19.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，分别是线段，的中点，．（1）证明：平面； （2）求平面与平面的距离．20.在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最大值．21.已知函数)()(,ln )(R m m x x g x x f ∈+==． （I ）若)(x g ≤恒成立，求实数m 的取值范围；ABCD PA ⊥ABCD E F AD PB 1PA AB ==//EF DCP EFC PDC C 22221(0)x y a b a b +=>>123(1,)2M C C (2,0)P -(2,0)Q (1,0)l C A B APBQ ()f x（II ）已知21,x x 是函数)()()(x g x f x F -=的两个零点，且21x x ，求证：121 x x . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，曲线：（）．（I ）求与交点的极坐标； （II ）设点在上，，求动点的极坐标方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数，． （I ）当时，求不等式的解集； （II ）对于都有恒成立，求实数的取值范围．xOy x 1C cos 3ρθ=2C 4cos ρθ=02πθ≤<1C 2C Q 2C 23OQ QP =P ()|2||23|f x x x m =+++m R ∈2m =-()3f x ≤(,0)x ∀∈-∞2()f x x x≥+m数学（文科）试题参考答案一、选择题1-5: 6-10: CBACC 11、12：CB二、填空题15.37三、解答题17.解： （1）由正弦定理CCB b A a sin sin sin ==可得 B A C C A B B sin cos sin cos sin cos sin 2=+=∵0sin B ，故21cos =B ， ∵π B 0，∴3π=B（2）由3,2π==B b ，由余弦定理可得422-+=c a ac ，由基本不等式可得4,42422≤-≥-+=ac ac c a ac ，而且仅当2==c a 时B ac S ABC sin 21=∆取得最大值323421=⨯⨯， 故ABC ∆的面积的最大值为3.18.解：（1）由，得， （2）平均数为岁； 设中位数为，则，∴岁． （3）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为32121,,,,b b b a a .设从5人中随机抽取3人，为（121,,b a a ），（221,,b a a ），（321,,b a a ），（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ），（321,,b b b ），共10个基本事件， 其中第2组恰好抽到2人包含（211,,b b a ），（311,,b b a ），（321,,b b a ），（212,,b b a ），（312,,b b a ），（322,,b b a ）共6个基本事件CDCDD 10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯++++=0.035a =200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x 100.010100.015(35)0.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=42.1x ≈从而第2组抽到2人的概率53106==19.解：（1）取中点，连接，，∵，分别是，中点，∴，， ∵为中点，为矩形，∴，，∴，，∴四边形为平行四边形， ∴，∵平面，平面， ∴平面．（2）∵EF ∥平面PDC ，∴F 到平面PDC 的距离等于E 到平面PDC 的距离， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴DA PA ⊥，∵1==AD PA ，在PAD Rt ∆中2=DP ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴CB PA ⊥，∵A AB PA AB CB =⊥ ,，∴⊥CB 平面PAB ，∴⊥CB PB ，则3=PC ，∵222PC DC PD =+，∴PDC ∆为直角三角形，∴222121=⨯⨯=∆PDC S PDE C PDC E V V --=，设E 到平面PDC 的距离为h ，又∵A PA AD PA CD AD CD =⊥⊥ ,,，∴⊥CD 平面PAD 则2121131212131⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅h ∴42=h ∴F 到平面PDC 的距离为42 20.解：（1）∵，∴， 椭圆的方程为，将代入得，∴， ∴椭圆的方程为． PC M DM MF M F PC PB //MF CB 12MF CB =E DA ABCD //DE CB 12DE CB =//MF DE MF DE =DEFM //EF DM EF ⊄PDC DM ⊂PDC //EF PDC 12c a =2a c =2222143x y c c+=3(1,)222191412c c+=21c =22143x y +=（2）设的方程为，联立 消去，得， 设点，， 有，， 有，点到直线点到直线从而四边形的面积（或） 令，， 有，设函数，，所以在上单调递增， 有，故， 所以当，即时，四边形面积的最大值为6． 21.解：（1）令)0(ln )()()( x m x x x g x f x F --=-=，有xxx x F -=-='111)(， 当1 x 时，0)( x F '，当10 x 时，0)( x F '，所以)(x F 在（1，+∞）上单调递减，在（0,1）上单调递增，)(x F 在1=x 处取得最大值为m --1，若)()(x g x f ≤恒成立，则m --1≤0即1-≥m ，l 1x my =+221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x 22(34)690m y my ++-=11(,)A x y 22(,)B x y 122634m y y m -+=+122934y y m -=+2212(1)||34m AB m +==+P (2,0)-l (2,0)Q l APBQ 222112(1)23434m S m m +=⨯=++121||||2S PQ y y =-t =1t ≥22431t S t =+2413t t =+1()3f t t t =+21'()30f t t =->()f t [1,)+∞134t t+≥2242461313t S t t t==≤++1t =0m =APBQ（2）由（1）可知，若函数)()()(x g x f x F -=有两个零点，则2110x x 要证121 x x ，只需证121x x，由于)(x F 在（1，+∞）上单调递减，从而只需证()⎪⎪⎭⎫⎝⎛121x F x F ，由于()()1121ln ,0x x m x F x F -===，即证0ln 11ln 11ln111111 x x x x m x x -+-=-- 令01221)(),10(ln 21)(222 xx x x x x x h x x x x x h +-=-+='-+-=， 有)(x h 在（0,1）上单调递增，0)1()(=h x h ，所以121 x x .22.解：（1）联立，∵，，，∴所求交点的极坐标．（2）设，且，，由已知，得∴，点的极坐标方程为，． 23.解：（1）当时，当解得；当，恒成立；cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩cos θ=02πθ≤<6πθ=ρ=)6π(,)P ρθ00(,)Q ρθ004cos ρθ=0[0,)2πθ∈23OQ QP =002,5,ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩24cos 5ρθ=P 10cos ρθ=[0,)2πθ∈2m =-41,0,3()|2||23|21,0,2345,.2x x f x x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=++-=-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩413,0,x x +≤⎧⎨≥⎩102x ≤≤302x -<<13≤11 当解得， 此不等式的解集为． （2）令 当时，，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减， 所以，所以，当时，，所以在上单调递减， 所以， 所以， 综上，．453,3,2x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩322x -≤≤-1|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭233,0,22()()2353,,2x m x x g x f x x x x m x x ⎧--++-≤<⎪⎪=--=⎨⎪--+-≤-⎪⎩302x -≤<22'()1g x x=-+0x ≤<'()0g x ≥()gx [0)32x -≤≤'()0g x ≤()gx 3[,2-min ()(g x g =30m =+≥3m ≥-32x ≤-22'()50g x x =-+<()g x 3(,]2-∞-min 335()()026g x g m =-=+≥356m ≥-3m ≥-。
2018届辽宁省大连市高三第二次模拟考试文科数学试题及答案精品
（ A）变量 x 与 y 正相关， u 与 v 正相关 （B）变量 x 与 y 正 相关， u 与 v 负相关
（ C）变量 x 与 y 负相关， u 与 v 正相关 （ D）变量 x 与 y 负
相关， u 与 v 负相关
（ 4）已知命题 p : x R ,sin x 1,则 p 是（
）
（ A） x R,sin x 1
一．选择题 （1）B；（ 2）C；（ 3）C； （ 4）B；(5) D；（ 6） D；(7) A；（ 8）
B；（ 9） C；（ 10） C；
（11) C ；（ 12） B． 二. 填空题
（13）. x＋ y－ 3＝ 0；（ 14） 160； (15)
三. 解答题 （17）解： BCD 90 45 45 ,
甲厂：
分 [29.86 [29.90 [29.94 [29.98 [30.02 [30.06 [30.10
组
,,29.94 ,29.98 ,30.02 ,30.06 ,30.10 ,30.14
2)
)
)
)
)
)
9
.
9
0
)
频
15
30
125 198
77
35
20
数
乙厂：
分 [29.86 [29.90 [29.94 [29.98 [30.02 [30.06 [30.10
答卷纸的相应位置上）
（13）已知圆 O的方程是 x2＋y2－ 8x－ 2y＋ 10＝ 0，过点 M(3,0) 的
最短弦所在的直线方程是
．
（14）某个年级有男生 560 人，女生 420 人，用分层抽样的方法
从该年级全体学生中抽取一个容量为
280 的样本，则此样
黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)数学(文科)试题(解析版)
普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因,故,应选B.考点：集合的交集运算.2. （2017·桂林市模拟）复数，，是虚数单位.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】z=（a+i）（1﹣i）=a+1+（1﹣a）i，∴|z|=2=，化为a2=1．解得a=±1．故选：D．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. （2017·福建质检）某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用与销售利润的统计数据如下表：广告费用（万元）销售利润（万元）由表中数据，得线性回归方程：，，则下列结论错误的是（）A. B. C. 直线过点 D. 直线过点【答案】D【解析】【分析】求出回归直线方程，根据回归方程进行判断．【详解】=，．∴直线l经过点（4，8）．=（﹣2）×（﹣3）+（﹣1）×（﹣1）+1×1+2×3=14．=（﹣2）2+（﹣1）2+12+22=10．∴=，=8﹣1.4×4=2.4．∴回归方程为y=1.4x+2.4．当x=2时，y=1.4×2+2.4=5.2．∴直线l过点（2，5.2）故选：D．【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.4. 已知数列为等差数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a3=1，a10+a11=9，∴2a1+3d=1，2a1+19d=9，解得a1=﹣，d=．∴a5+a6=2a1+9d=﹣2×+9×=4．故选：A．【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.5. （2017·沈阳市质检）已知函数则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由分段函数的表达式从内向外依次代入求值即可．【详解】f（）=log5=﹣2，=f（﹣2）=，故选：B．【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三视图判断几何体为三棱柱，求其面积即可．【详解】三棱柱的表面积为5个面的面积之和，又因为底面是正三角形，边长为2，棱柱的高为：3．所以S=2×+3×2×3=18+2．故选：B．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7. （2017·兰州市实战考试）已知直线与圆相交于，，且为等腰直角三角形，则实数的值为（）A. 或B.C. 或D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．【详解】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，∴a=±1，故选：C．【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。
2018年高三最新 东北三校高三数学第二次联合考试试题 精品
东北三校高三数学第二次联合考试哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟. 参考公式：sin α+sin β=2sin2cos2βαβα-+sin α-sin β=2cos 2sin 2βαβα-+ cos α+cos β=2cos 2cos 2βαβα-+ cos α－cos β=-2sin 2sin 2βαβα-+ 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下面四个函数中，不存在反函数的函数的是 A.ｙ=-x 4 B.ｙ=x 4 C.ｙ=3xD.ｙ=x 21log 2.设α、β为钝角且sin α=55,cos β=-10103,则α+β的值为A.π43B. π45 C. π47D. π45或π47 3.对于直线a 、b 和平面α、β，a ∥b 的一个充分条件是A.a ∥α,b ∥αB.a ∥α,b ∥β,α∥βC.a ⊥α,b ⊥β,α∥βD.α⊥β,a ⊥α,b ∥β 4.函数f (x )=ctg wx (w ＞0)图象的相邻两支截ｙ=8π所得线段长为4π.则f (8π)的值是 A.0 B.-1 C.1 D. 4π5.今有一组实验数据如下t 1.993 3.018 4.001 5.182 6.121S 1.501 4.413 7.498 12.18 17.93现准备下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律，其中接近的一个是 A.S -1=2t -3B.S =t 2log 23C.2S =t 2-1 D.S =-2t -2 6.已知A （0，0），B （a ，b ），P 1是AB 中点，P 2是BP 1中点，P 3是P 1P 2中点，…，P n +2是P n P n +1 中点，则P n 点的极限位置A.)2,2(b aB.)3,3(b aC.)32,32(b aD.)43,43(b a 7.函数f (x )=x 2+x 1 (x ≤-21)的值域是 A.]47,(--∞ B. ]223,(3--∞ C.),47[+∞- D. ),223[3+∞-8.已知|a |≠|b |,m =ba b a n ba b a ++=--,,则m 、n 之间的关系是A.m ＞nB.m ＜nC.m =nD.m ≤n9.如图在正三棱锥A —BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ,且BC =1，则正三棱锥A —BCD 的体积是 A.122 B. 242 C.123 D. 24310.在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，ｙ轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和ｙ轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 A.30个 B.35个 C.20个 D.15个 11.若直线ｙ=kx +1与曲线x =12+y 有两个不同的交点，则k 的取值范围是A.-22kB.-2＜k ＜-1C.1＜k ＜2D.k ＜2或k ＞212.某厂有一批长为2.5 m 的条形钢材，要截成60 cm 长的A 型和43 cm 长的B 型的两种规格的零件毛坯，则下列哪种方案最佳（所剩材料最少）A.A 型4个B.A 型2个，B 型3个C.A 型1个，B 型4个D.B 型5个第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的离心率为21，F 为左焦点，A 为左顶点，B 为上顶点，C 为下顶点，直线CF 与AB 交于D ，则tg BDC =__________.14.已知（x +1）6·(ax -1)2的展开式中，x 3的系数是56，则实数a 的值为______________.15.（理）已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧--=+=1222t y t x (t 为参数)，若以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为（-2，π），则点P 到直线l 的距离为______________.（文）函数ｙ=sin x -|sin x |的最小值为______________. 16.在△ABC 中A ＞B ，下列不等式中正确的是①sin A ＞sin B ;②cos A ＜cos B ;③sin2A ＞sin2B ;④cos2A ＜cos2B 其中正确的序号为______________.三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知集合A ={x |62)21(--x x ＜1},B ={x |l og 4(x +a )＜1},若A ∩B =∅，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知复数z 满足(z +1)(z +1)=|z 2|,且11+-z z 是纯虚数; (Ⅰ)求z ; (Ⅱ)求arg z .19.（本小题满分12分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点， （Ⅰ）求证：CD ⊥PD ；（Ⅱ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅲ）当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时，直线EF ⊥平面PCD .20.（本小题满分13分）已知抛物线C ：ｙ=-21x 2+6,点P （2，4），A 、B 在抛物线上，且直线PA 、PB 的倾斜角互补；（Ⅰ）证明：直线AB 的斜率为定值；（Ⅱ）当直线AB 在ｙ轴上的截距为正数时，求△PAB 的面积S 的最大值及此时直线AB 的方程.21.（本小题满分12分）（理）在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口A ，一艘机艇以40 km/h 的速度从A 港出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后，先按直线前进，以后又改成正北，但不知 最初的方向和何时改变的方向，如果去营救，用图示表示营救区域（提示：满足不等式ｙ≥ax +b 的点（x ,ｙ）不在ｙ=ax +b 的下方）.（文）国贸城有一个个体户，2001年一月初向银行贷款10万元作开店资金，每月底．获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底所缴的房租和所得税为该月所得金额（含利润）的10%，每月生活费和其他开支为3000元，余款作为资金全部投入再营业，如此继续，问到2001年年底．，这一个体户有现款多少元？（1.1812≈2.5） 22.（本小题满分13分）（理）若{a n }是正项递增的等差数列，n ∈N ,k ≥2,k ∈N ,求证：（Ⅰ）kk k k a a a a 112+++; (Ⅱ)k nk nk nk k k k k k k kk k n a aa a a a a a a a a a 2212132312221211)1(++++++++++++⋅⋅⋅⋅; （文）已知等比数列{x n }的各项为不等于1的正数，数列{ｙn }满足ｙn ·l og xn a =2(a ＞0且a ≠1)，设ｙ3=18,ｙ6=12.(Ⅰ)求数列{ｙn }的前多少项和最大，最大值为多少？（Ⅱ）试判断是否存在自然数M ，使当n ＞M 时，x n ＞1恒成立？若存在，求出相应的M ，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）令a n =l og xn x n +1(n ＞13,n ∈N ),试判断数列{a n }的增减性？。
2018年黑龙江省高三第二次模拟考试文科数学
2018年黑龙江省高三第二次模拟考试（二模）试卷文科数学第I卷：选择题共60分一选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）1.已知集合（）．．．．2.复数对应的点在（）．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限3.等差数列中，，为等差数列的前n项和，则（）．3 ．4 ．5 ．64.已知向量，若，则（）．6 ．3 ．4 ．55.已知双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）．．．．6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S=（）．14 ．30 ．62 ．1267.已知是两个不同的平面，是不同的直线，下列命题不正确．．．的是（）．若则．若则．若则．若，则8.已知条件p：；条件q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）．．．．9.已知，函数的图象关于直线对称，则的值可以是（）．．．．10.在区间上随机取一个数若满足的概率为，则实数为（）．.．．11.已知函数，若函数有个零点，则实数的值为（）．-．.．12.已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，，设，的最小值为（）．．．．第II卷：非选择题共90分二填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知等比数列中，，则______．14.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______．15.已知实数、满足约束条件,则的最大值为______．16.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_____．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在△中，角、、的对边分别为，，，且，，．（1）求的值；（2）求的值．18.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，分别是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．19.（本小题满分12分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是，样本数据分组为第一组，第二组，第三组，第四组，第五组．（1）求直方图中的值；（2）如果年上缴税收不少于万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）若从第一组和第二组中利用分层抽样的方法抽取家企业，试求在这家企业中选家，这家企业年上缴税收在同一组的概率．20.（本小题满分12分）已知椭圆C：经过点，离心率，直线的方程为．（1）求椭圆的方程；（2）经过椭圆右焦点的任一直线（不经过点）与椭圆交于两点，，设直线与相交于点，记的斜率分别为，问：是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数．（1）当时，求的最大值；（2）设，，若时，恒成立，求实数的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）若，求圆的直角坐标方程与直线的普通方程；（2）设直线截圆的弦长等于圆C的半径长的倍，求的值．23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数，且恒成立．（1）求的取值范围；（2）当取最大值时，解关于的不等式：．文科数学答案一．ADCBA CADBC CD二．13．14．15．20 16．17．解：（1）∵，∴，1分又，所以由正弦定理得，所以，3分所以，两边平方得，又，所以，5分而，所以．6分（2）∵，∴，7分∵，∴，∴8分10分又，∴，∴．∴．12分18．解：（1）证明：∵是等腰直角三角形△斜边的中点，∴．---------2分又∵侧棱，∴面面∴面，.设，则，EF=，．4分∴，∴．又，∴⊥平面．…而面，故：平面平面．6分(2)解：∵⊥，侧棱所以，所8分又,,10分设点到平面的距离为h,12分法二过点C作CH⊥EF，垂足为H,..........8分AF⊥面BB1C1C,..........10分CH⊥面AEF,在中，CH= (12)19．解答：解：（I）由直方图可得：解得．2分（II）企业缴税收不少于万元的频率，∴．∴个企业中有个企业可以申请政策优惠．6分（III）第一组共有家，第二组共有家，依题意得到第一组选出两家企业，第二组选出四家企业。
2018届高三第二次质量检测文科数学答案
2018届高三第二次质量检测卷文科数学参考答案第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13．3; 14. [3,)+∞; 15．1(,1)2; 16.2π3+ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知三个集合：{}22log (58)1A x x x =∈-+=R ，{}22821R x x B x +-=∈=，{}22190R C x x ax a =∈-+->.（I ）求A B ；（II ）已知,A C B C ≠∅=∅，求实数a 的取值范围.解：(Ⅰ){}{}25822,3R A x x x =∈-+==, ………………………........................2分 {}{}22802,4R B x x x =∈+-==-, ……………………….....................4分{}2,3,4.A B ∴=- ……………………....................…5分(Ⅱ),A C B C ≠∅=∅,2,4,3.C C C ∴∉-∉∈ …………………….................…6分{}22190,R C x x ax a =∈-+->22222222190,(4)4190,33190.a a a a a a ⎧-+-≤⎪∴-++-≤⎨⎪-+->⎩…………………….................…10分即35,222 5.a a a a -≤≤⎧⎪--≤≤-⎨⎪<->⎩或解得3 2.a -≤<-……………………….................11分 所以实数a 的取值范围是[3,2).--.................................................................................12分 18. （本小题满分12分）已知函数()()sin f x a x b ωθ=+-()x ∈R 的部分图象如图所示,其中,a b 分别是ABC ∆的角,A B 所对的边, ππ0,[,]22ωθ>∈-.（I ）求,,,a b ωθ的值；（II ）若cos ()+12CC f =，求ABC ∆的面积S .解：（Ⅰ）0,0a ω>>及图象特征知： ①()f x 的最小正周期2π3ππ2[()]π,88ω=--=2.ω=……………………….......................................................................................................2分②当()sin 1x ωθ+=-时,min ()1f x a b =--=； 当()sin 1x ωθ+=时，max ()1f x a b =-=.解得 1.a b ==………………………..................................................................................4分③ππ()))1188f θ-=-+-=，得ππ2π,42k θ-+=-π2π,4k θ=-.k ∈Z由ππ[,]22θ∈-得π.4θ=- 所以π2,, 1.4a b ωθ==-==…………………….....................................................…6分（II ）由π()214f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭及cos ()+12C C f =得，πsin c s os o 4c C C C C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=，即C C sin 21cos = ……………….............…..........................................................................8分又22sin cos 1C C +=，得552sin ,54sin 2±==C C …………………………...........…10分由0πC <<得，sin C =1sin 2S ab C ==……………………...........……12分 19．（本小题满分12分）中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”,具体方案如下：（I ）写出“套餐”中方案1的月话费y （元）与月通话量t （分钟）（月通话量是指一个月内每次通话用时之和）的函数关系式；（II ）学生甲选用方案1，学生乙选用方案2，某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相同，求该月学生甲的电话资费；（III ）某用户的月通话量平均为320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算，说明理由.解： (Ⅰ) 30, 048,300.6(48) , 48.t y t t ≤≤⎧=⎨+⨯->⎩， ……………………..............……3分即：30, 048,0.6 1.2 , 48.t y t t ≤≤⎧=⎨->⎩………………………...........…4分（Ⅱ）设该月甲乙两人的电话资费均为a 元,通话量均为b 分钟.当048b ≤≤时, 甲乙两人的电话资费分别为30元, 98元,不相等；…….........5分 当170b >时, 甲乙两人的电话资费分别为1300.6(48)y b =+-（元）,2980.6(170)y b =+-元, 21 5.20y y -=-<,21y y <； ……………......…6分当48170b <≤时, 甲乙两人的电话资费分别为300.6(48)a b =+-（元）,98a =（元）, 解得484.3b =所以该月学生甲的电话资费98元. …………….................................…8分（Ⅲ）月通话量平均为320分钟，方案1的月话费为：30+0.6×（320-48）=193.2（元）； ……………….........9分方案2的月话费为：98+0.6×（320-170）=188（元）； ……………..........…10分 方案3的月话费为168元. 其它方案的月话费至少为268元. …………….........…11分 经比较, 选择方案3更合算. ……………........…12分 20.（本小题满分12分）已知函数32()f x ax x b =++的图象在点1x =处的切线方程为13y =,其中实数,a b 为常数.（I ）求,a b 的值;（II ）设命题p 为“对任意1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,)x ∈+∞,使得12()()1f x f x =”，问命题p 是否为真命题？证明你的结论.解: （I ）32(),f x ax x b =++ 2()32.f x ax x '∴=+……………......................…1分(1)1,(1)32,f a b f a '=++=+∴函数()f x 的图象在点1x =处的切线方程为(1)(32)(1)y a b a x -++=+-, 即(32)21y a x b a =++-- ………………4分该切线方程为13y =, ∴1320,21,3a b a +=--=…………....................……5分 即2,0.3a b =-= ………….....................……6分（II ）命题p 为真命题. ……………................…7分证明如下: 322(),3f x x x =-+ 2()222(1).f x x x x x '=-+=-- 当1x >时, ()0f x '<,()f x 在区间(1,)+∞单调递减,集合{}1()1,(,(1))(,).3R A f x x x f =>∈=-∞=-∞ ……………..................…9分当2x >时, ()f x 的取值范围是4(,(2))(,).3f -∞=-∞-集合132,(,0).()4R B x x f x ⎧⎫=>∈=-⎨⎬⎩⎭…………….................…11分从而.B A ⊆所以对任意1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,)x ∈+∞,使得211(),()f x f x =即12()() 1.f x f x = ……………..................…12分21．(本小题满分12分) 已知函数1()ln ,1xf x a x x-=++其中实数a 为常数且0a >. （I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 既有极大值，又有极小值，求实数a 的取值范围及所有极值之和； （III ）在（II ）的条件下，记12,x x 分别为函数()f x 的极大值点和极小值点，求证：1212()()()22x x f x f x f ++<. 解:(Ⅰ) 函数2()ln 11f x a x x=+-+的定义域为∞(0,+)，22222(1)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +-+'=-=++， …………...........……1分 设222()2(1)4(1)44(12).g x ax a x a a a a =+-+∆=--=-，① 当12a ≥时, 0∆≤，()0,g x ≥()0f x '≥，函数()f x 在∞(0,+)内单调递增； …………..........……2分② 当102a <<时, 0∆>，方程()0g x =有两个不等实根：12x x ==，且1201.x x <<< 1()0()00,f x g x x x '>⇔>⇔<<或2.x x >12()0()0.f x g x x x x '<⇔<⇔<< .............................................3分综上所述，当12a ≥时, ()f x 的单调递增区间为∞(0,+),无单调递减区间；当102a <<时，()f x 的单调递增区间为1a a -(0,， 1a a -+∞(),单调递减区间.............................................................4分（II ）由（I ）的解答过程可知，当12a ≥时,函数()f x 没有极值. ......................................5分 当102a <<时，函数()f x 有极大值1()f x 与极小值2()f x ，121212(1), 1.x x x x a+=-=12()()f x f x ∴+=121211*********(1)(ln )(ln )ln()0.11(1)(1)x x x x a x a x a x x x x x x ---+++=+=++++ .....................................7分故实数a 的取值范围为1(0,)2,所有极值之和为0. ……………................8分 （III ）由（II ）知102a <<,且1211()(1)ln(1)212x x f f a a a a+=-=-+-, 12()()02f x f x +=.…………9分原不等式等价于证明当102a <<时,1ln(1)210a a a-+-<，即11ln(1)2a a-<-. ………………......................................10分设函数()ln 1h x x x =-+,则(1)0,h =当1x >时，1()10h x x'=-<. 函数()h x 在区间[1,)+∞单调递减,由102a <<知111a ->,1(1)(1)0h h a -<= ……………….....................................11分 . 即11ln(1)2a a-<-. 从而原不等式得证. ………………....................................12分22.[选修4−4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为122(2x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）；曲线1C的极坐标方程为2cos ρθθ=+；曲线2C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数） （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程、曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线1C 曲线2C 在第一象限的交点分别为,M N ,求,M N 之间的距离。
2018年黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)数学(文科)试题答案
一㊁ 选择题
２ } } , １． B㊀ ȵT＝ { x | x ＜４ x－３ ＝{ x | １＜x＜３
７． C㊀ 由 题 意 知 әA B C 中, C A ＝C B ＝１, øA C B＝ ２ 又圆心 ( , ) , ９ ０ ʎ ʑ 弦心距为 , C１ － a, ２ | a－ a－１ | ２, ʑ ＝ ʑ a＝ʃ１． ２ ２ ２ a ＋１
������x－２������f( ᶄ( x) x) , f ＞０ 时 , ᶄ( x) ＝ ＜０ 说 明 函 g ３ x 详解答案
１ ０ １
数 g( 在( 上 单 调 递 减, 又 f( 为偶函 x) ０, ＋ɕ ) x) ) 数, 所以 g( 为偶函数 , 又f( 所 以 g( x) １ ＝０, １) ＝
故选 B．
几何 体 是 一 个 水 平 放 置 的 直 三 ６． B㊀ 由三视图可知 , , 棱柱 ( 如图 ) 其 高 为 ３, 底 面 是 底 为 ２, 高 为 ３的 等
２ ２ 腰三角形 , ʑ 腰 长 为 (３) ＋１ ＝２, ʑ底面为等
c 右焦点到渐近 线 y＝ ʃ bx 的 距 离 为 b ＝ ２ ２ a a ＋ b
ç ç ÷ ÷ ç ÷
１ö １ æ æ１ ö ö æ ＝f l o ＝f( －２) ＝ , g ５ø ø ５ø ４ è è２ è ５２
l 趋向于与x 轴 平 行 时 , | O B |的 长 度 变 化 越 来 越
快, 斜率越来越陡 , 故排除 C, 选 B． １ １． C㊀ 双曲线 的 右 焦 点 到 左 顶 点 的 距 离 等 于 a＋ c,
１( １ ) , ) , ２ ＋ ３ ＋ ５ ＋ ６ ＝ ４ ５ ＋ ７ ＋ ９ ＋ １ １ ＝ ８ y＝ ( ４ ４ ( ) ) ) ) － ２ ˑ( － ３ ＋( － １ ˑ( － １ ＋ １ ˑ １ ＋ ２ ˑ ３ ２ ( ) ２ ２ ( ) － ２ ＋ － １２＋ １ ＋ ２