八数码问题A算法的实现及性能分析

八数码问题A*算法的实现及性能分析

计算机科学与技术学院

专业：计算机科学与技术

161210404 杨凯迪

目录

一、8数码问题 (3)

1.问题描述 (3)

2.八数码问题形式化描述 (3)

3.解决方案 (4)

二、A*算法 (4)

1.A*搜索算法一般介绍 (4)

2. A*算法的伪代码 (5)

3. 建立合适的启发式 (6)

三、算法实现及性能比较 (7)

四、算法性能分析 (8)

五、结论 (9)

六、参考文献 (10)

附录 (10)

一、8数码问题

1.问题描述

八数码问题是指这样一种游戏：将分别标有数字1，2，3，…，8 的八块正方形数码牌任意地放在一块3×3 的数码盘上。放牌时要求不能重叠。于是，在3×3 的数码盘上出现了一个空格。现在要求按照每次只能将与空格相邻的数码牌与空格交换的原则，不断移动该空格方块以使其和相邻的方块互换，直至达到所定义的目标状态。空格方块在中间位置时有上、下、左、右4个方向可移动，在四个角落上有2个方向可移动，在其他位置上有3个方向可移动，问题描述如图1-1所示

初始状态过渡状态最终状态

图1-1 八数码问题执行过程

2.八数码问题形式化描述

初始状态：

初始状态向量：规定向量中各分量对应的位置，各位置上的数字。把3×3的棋盘按从左到右，从上到下的顺序写成一个一维向量。我们可以设定初始状态：<1,5,2,4,0,3,6,7,8>

后继函数：

按照某种规则移动数字得到的新向量。例如：

<1,5,2,4,0,3,6,7,8> <1,0,2,4,5,3,6,7,8>

目标测试：

新向量是都是目标状态。即<1,2,3,4,5,6,7,8,0>是目标状态？

路径耗散函数：

每次移动代价为1，每执行一条规则后总代价加1。

3.解决方案

该问题是一个搜索问题。它是一种状态到另一种状态的变换。要解决这个问题，必须先把问题转化为数字描述。由于八数码是一个3*3的矩阵，但在算法中不实用矩阵，而是将这个矩阵转化为一个一维数组，使用这个一维数组来表示八数码，但是移动时要遵守相关规则。

(1) 可用如下形式的规则来表示数字通过空格进行移动：

→

(2)共24条移动规则，对应与每个位置的移动规则。

(3)搜索顺序举例：

1) 优先移动行数小的棋子(数字)

2) 同一行中优先移动列数大的棋子

(4)约束规则：不使离开既定位置的数字数增加

八数码的节点扩展应当遵循棋子的移动规则。按规则，每一次可以将一个与空格相邻的棋子移动到空格中，实际上也可以看做空格的相反方向移动。空格的移动方向可以是上下左右，当然不能出边界。棋子的位置，也就是保存状态的数组元素的下标，空格移动后，相应位置发生变化，在不移出边界的条件下，空格向右，下，左，上移动后，新位置是原位置分别加上1,3，-1，-3。在这里，空格可以用任意数字表示。操作本文用u(up) r(right) d(down) l(left) 分别表示空格的向上向右向下向左四个操作。

经分析，8数码问题的搜索策略共有：1.广度优先搜索、2.深度优先搜索、3.有界深度优先搜索、4.最好优先搜索、5.局部择优搜索，等等。其中广度优先搜索法是可采纳的，有界深度优先搜索法是不完备的，最好优先和局部择优搜索法是启发式搜索法。

本实验采用启发式A*搜索算法来实现。

二、A*算法

1.A*搜索算法一般介绍

A* 算法实际是一种启发式搜索，所谓启发式搜索，就是利用一个估价函数评估每次的的决策的价值，决定先尝试哪一种方案，这样可以极大的优化普通的广度优先搜索。一般来说，从出发点(A)到目的地(B)的最短距离是固定的，我们可以写一个函数judge() 估计 A 到 B 的最短距离，如果程序已经尝试着从出发点 A 沿着某条路线移动到了 C 点, 那么我们认为这个方案的 A B 间的估

计距离为 A 到 C 实际已经行走了的距离H 加上用judge() 估计出的 C 到B 的距离。

如此，无论我们的程序搜索展开到哪一步，都会算出一个评估值，每一次决策后，将评估值和等待处理的方案一起排序，然后挑出待处理的各个方案中最有可能是最短路线的一部分的方案展开到下一步，一直循环到对象移动到目的地，或所有方案都尝试过却没有找到一条通向目的地的路径则结束。

A*算法是一个可采纳的最好优先算法。A*算法的估价函数可表示为：

f'(n) = g'(n) + h'(n)

这里，f'(n)是估价函数，g'(n)是起点到终点的最短路径值，h'(n)是n到目标的最断路经的启发值。由于这个f'(n)其实是无法预先知道的，所以我们用前面的估价函数f(n)做近似。g(n)代替g'(n)，但g(n)>=g'(n)才可（大多数情况下都是满足的，可以不用考虑），h(n)代替h'(n)，但h(n)<=h'(n)才可。可以证明应用这样的估价函数是可以找到最短路径的，也就是可采纳的。

2. A*算法的伪代码

创建两个表，OPEN表保存所有已生成而未考察的节点，CLOSED表中记录已访问过的节点。

算起点的估价值;

将起点放入OPEN表;

while(OPEN!=NULL)

{

从OPEN表中取估价值f最小的节点n;

if(n节点==目标节点){

break;

}

for(当前节点n 的每个子节点X)

{

算X的估价值;

if(X in OPEN)

{

if( X的估价值小于OPEN表的X估价值){

把n设置为X的父亲;

更新OPEN表中的估价值; //取最小路径的估价值

}

}