实验曲线的绘制

用最小二乘法绘制实验曲线

在做各种实验中，可以获得大量的数据。一般的，我们都会在实验之后，将这些实验数据进行某种处理，然后用图形来描绘实验结果。用图形来描绘要比提供一大堆枯燥的数据直观明了得多。

但是，因为实验本身会受到各种具体因素的影响。比如：实验仪器设备的精度、原材料

因素、工作人员的水平以及温度等的影响，使得实验数据测得的数据总会或多或少的带有误

差。也就是说，这些实验数据本身就不精确。所以在绘制实验曲线的时候，如果是按点点通

过将这些数据点连成曲线，那么这种看起来似乎很精确的方法恰恰是不符合实际情况的，因而是不可取的。

正确的方法应该是用一条光滑的曲线，以适当的方式来逼近这些数据点。因为曲线并不

通过每个数据点，所以可以弥补由于误差造成的数据点的跳动

用一系列数据点(X i, y i)(i=1，2，...........，m)，所要绘制的曲线y f (x)，用什么样

的表尊来评价这条曲线是否处于较为合理的状态呢？通常把数据点的坐标值与曲线上对应的坐标之差作为评判的标准。在这里：

i f (X i) y i

式中i成为残差；f (X i)为理论值；y为相应的实测值。

m

常用的评价方法是：使残差的平方和-2达到最小。这也就是常说的“最小二乘法”

i 1

用最小二乘法来绘制实验曲线，其实质也就是要找一个经验方程y f (x)来描述这些数据

点，并使每个点的f(X i)和y i之差的平方和为最小。所以，第一步首先要根据数据点的分

布情况进行预测，该经验方程可能是属于什么类型。比如说是线性函数，还是二次函数或其

他阶次的多项式曲线。

用最小二乘法拟合直线

设有测得的数据点(X i，yJ(i 1,2, ,m)，根据这些数据点的分布情况，预测到他们之

间呈线性关系，并设该线性方程为一般形式y a i X a2。于是，我们可以按最小二乘法的

其中X i , y i 为测得的已知数据点的值，故这个方程可以看成是关于

有两个未知数a i 和a 2。这两个未知数也就是我们预测的线性方程中的系数和常数项。 上式可改写成函数形式为:

f (a i ,a 2) a i f (a i ,a 2) a 2

展开整理后的:

上式写成矩阵形式为:

用最小二乘法拟合二次以上多项式曲线

线性方程组如下:

原理建立起下面的式子:

m

2 i

i i

(a i X i a 2 y i )2

i i

a 1和a 2的函数，即

是,

f ⑻总）

(ai X i a 2 y i )2

根据最小二乘法的要求，要使

i 2

达到最小值。也就是要求

a i 和a 2为何值时，该函

数f （a i ，a 2）能取得极小值。这是 个二元函数求极小值的条件的问题，其条件为:

2 即：

2

(a i X i a 2 y i ) (a i X i a 2 y i ) X i

a i a i

X i 2 X

i

a 2 m y i

a 2

X i X i y i

X i 2 X

i

a i

y i X i a 2

X i y i

可以看出，现行方程组可以有唯一解。

这样，求解该方程组可的未知系数 a i 和a 2的值,

从而使得线性函数表达式

y a i X

a 2唯一确定，并可根据该表达式绘出图形。

设有二次多项式为:

2

y a i X

a ?x a 3，那么，我们可以类似的建立起一个多项式的

可以相应地建立起线性方程组为：

n n 1 x i x i n 1 n x

i

x i

2n 2n 1 x i

x i

由上式表示的线性方程组中，系数矩阵为 即 a i (i 1,2, ,n 1) ，常数项由 n+1 个，所以线性方程组有唯一解。 我们可以用高斯校园 法求解除方程组中的全部未知数：

a 1,a 2, ,a n 1。从而使得所设知n 次多项式为已知。然

后可以根据该多项式，使用差值的方法计算出绘图用数据点。

对于阶次 n 的取值，一般不要超过 7。过高的阶次不仅会增加运算工作量，并且还会使曲线 产生不必要的抖动。具体的取值可以根据实际情况而定，以拟合处最为理想的曲线为准则。

解题过程

下面，我们总结归纳一下最小二乘法解题编成的思路和步骤。 2．按照下式，建立系数增广矩阵：

n x i n1 x

i

n1 x

i n x

i

x i 2 x

i

m x i

y i y i x i

2n 2n 1 n1 n

n

xi 2n xi 2n

xi n 1 x i n y i x i n

设该增广矩阵为 [P],它是- 个( n+1) x (n+2)的矩阵，其中每个兀素的赋值式为

2

x i

x i

m

a 1

3 2

x i

x i

x i

a 2

4

3

2

x i x i

x i

a 3

对于 n 次多项式： y a 1x n a 2x

n1

y i y i x i 2 y i x

i

a n x

a n 1

xm

a 1

y i

2

x i

x a 2

y i x i

n 1 n

n

x i x i

a n

y i x i

(n+1) x

(n+1) 的方阵，有 n+1 个未知数，

1．给出全部数据点 (x i ,y i )(i

1,2, ,m) ，并确定所需阶次 n 。