湘教版九年级数学下册《二次函数的应用》精品教案

《二次函数的应用》精品教案

如何方便简单地构建函数模型呢？我们有下

面四种选择：

选择哪个更容易解决问题？

由于第二种建立坐标系的顶点坐标是（0，0），

因此这个二次函数的形式是y=ax2．这样建立的直

角坐标系函数解析式最为简单．

如何确定a是多少？

已知水面宽4m，拱顶离水面高2m，因此点A

（2，-2）在抛物线上．由此得出

－2=a·22，

解得

1

2

a=-．

因此，这个函数的表达式为2

1

2

y x

=-，其中

|x|是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反

数．

由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取

值范围是：-2.45≤x≤2.45．

当水面宽 4.6m时，拱顶离水面几米？

解：当水面宽 4.6m时，把x=2.3代入函数的

表达式2

1

2

y x

=-，得y=-2.645．

通过对下面

四种坐标系的

分析，选择最

简单的坐标系

解决问题．

使学生能根据实

际问题建立最简

单的平面直角坐

标系．

答：当水面宽 4.6m 时，拱顶离水面2.645米．建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？

二、图形问题：

如图，用8m 长的铝材做一个日字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积S （m 2）最大？最大面积是多少？（假设铝材的宽度不计）

解：设窗框的宽度为x m ．则窗框的高为832

x -m ，其中8

03

x ＜＜．

则

窗

框

的

透

光

面

积

为：

2833422x S x x x -=⋅

=-+，8

03

x ＜＜．配方得：

2

2334842233S x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，

8

03

x ＜＜．

所以，当43x =

时，S 取最大值83

．这时高为：

483322-⨯

=．所以当窗户宽4

3米，高2米时，透光面积最大，

最大面积为83

m 2

．

了解建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤．分析实际问题，建立数学模型，解决问题．

了解建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤．

求出函数解析式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值．

运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值解题的一般步骤是怎样的？

1、应当求出函数解析式和自变量的取值范围．

2、通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值．

3、确定所求得的最大值或最小值对应的字变量的值必须在自变量的取值范围内．

三、商品利润问题：

例某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件.当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？

解：设每件商品的销售单价上涨x 元，一个月内获取的商品总利润为y 元．每月减少的销售量为10x （件），实际销售量为（180-10x ）件，单件利润为（30+x -20）元，则

y =（10+x ）（180-10x ），

即y =-10x 2+80x +1800（x ≤18）.将上式进行配方，y =-10x 2+80x +1800

＝-10（x -4）

2+1960．当x =4时，即销售单价为34元时，y 最大值为1960元．

答：当销售单价定为34元时，该店一个月内最大利润为1960元．初始位置的水平距离是多少？

你还有什么方法能求出当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？

建立二次实际问题的一般步骤：

（1）根据题意建立适当的平面直角坐标系．（2）把已知条件转化为点的坐标．（3）合理设出函数解析式．

（4）利用待定系数法求出函数解析式．

（5）根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算．

建立二次函数模型解决商品利润问题．

从实际问题中让学生感受数学来源于生活．通过例题的解答，使学生理解建立二次函数模型解决实际问题的方法．

1、如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状.一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触绳子，求绳子最低点到地面的距离．

2、小红想将一根72cm 长的彩带剪成两段，分别围成两个正方形，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和为多少？

3、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单位每涨1元，月销售量就减少10千克．

（1）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的函数表达式（不必写出x 的取值范围）；

（2）商店销售单价应定为多少、销售利润最大？

学生先自主思考，完成后小组交流确定结果，最后展示成果．

通过练习加深对所学知识的理解．

课堂小结

用抛物线的知识解决生活中的一些实际问题一般步骤：

回顾本节课所学知识．

通过小结，再次让学生建立二次函数模型解决实际问题的方法．

板书

已知水面宽4m ，拱顶离水面高2m ，因此点A （2，-2）在抛物线上．由此得出

－2=a ·22，

解得12

a =-

．因此，这个函数的表达式为2

12

y x =-

，其中|x |是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反