最新万有引力定律及应用

第4讲 万有引力定律及应用

一、开普勒三定律的内容、公式

定律 内容

图示或公式

开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上

开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等

开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等

a 3

T 2＝k ，k 是一个与行星无关的常量

自测1 (2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律

C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因

D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案 B

解析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星运动按照这些规律运动的原因，而牛顿发现了万有引力定律. 二、万有引力定律 1.内容

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比. 2.表达式

F ＝

G m 1m 2r 2，G 为引力常量，G ＝6.67×10－

11N·m 2/kg 2.

3.适用条件

(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点.

(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离. 4.天体运动问题分析

(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供. (2)基本公式：

G Mm r

2

＝ma ＝⎩⎪⎨⎪⎧

m v 2

r

→v ＝GM r

mrω2

→ω＝GM

r 3

mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2

→T ＝2πr 3

GM m v ω

自测2 我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km ，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则( ) A.“天宫一号”比“神舟八号”速度大 B.“天宫一号”比“神舟八号”周期长 C.“天宫一号”比“神舟八号”角速度大 D.“天宫一号”比“神舟八号”加速度大 答案 B

解析 航天器在围绕地球做匀速圆周运动的过程中由万有引力提供向心力，根据万有引力定律和匀速圆周运动知识得G Mm

r 2＝m v 2r

＝mrω2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2＝ma ，解得v ＝GM

r

，T ＝4π2r 3

GM

，ω＝GM r 3，a ＝GM

r 2，而“天宫一号”的轨道半径比“神舟八号”的轨道半径大，可知选项B 正确. 三、宇宙速度 1.第一宇宙速度

(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s.

(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度. (3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度. (4)第一宇宙速度的计算方法. 由G Mm

R 2＝m v 2R 得v ＝

GM

R

； 由mg ＝m v 2

R 得v ＝gR .

2.第二宇宙速度

使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s. 3.第三宇宙速度

使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.

自测3 教材P48第3题 金星的半径是地球的0.95倍，质量为地球的0.82倍，金星表面的自由落体加速度是多大？金星的“第一宇宙速度”是多大？ 答案 8.9 m/s 2 7.3 km/s

解析 根据星体表面忽略自转影响，重力等于万有引力知mg ＝GMm

R 2

故

g 金g 地＝M 金M 地·(R 地

R 金

)2 金星表面的自由落体加速度g 金＝g 地×0.82×(10.95)2

m/s 2≈8.9 m/s 2

由万有引力充当向心力知GMm R 2＝m v 2

R 得v ＝

GM

R

所以v 金

v 地

＝

M 金M 地·R 地

R 金

＝0.82×1

0.95

≈0.93

v 金＝0.93×7.9 km/s ≈7.3 km/s.

命题点一 开普勒三定律的理解和应用

1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理.

2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动.

3.开普勒第三定律a 3

T 2＝k 中，k 值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k 值不同.但该定

律只能用在同一中心天体的两星体之间.

例1 (多选)(2017·全国卷Ⅱ·19)如图1，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经过M 、Q 到N 的运动过程中( )

图1

A.从P 到M 所用的时间等于T 04

B.从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大

C.从P 到Q 阶段，速率逐渐变小

D.从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功 答案 CD

解析 由行星运动的对称性可知，从P 经M 到Q 点的时间为1

2T 0，根据开普勒第二定律可知，

从P 到M 运动的速率大于从M 到Q 运动的速率，可知从P 到M 所用的时间小于1

4T 0，选项

A 错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项

B 错误；根据开普勒第二定律可知，从P 到Q 阶段，速率逐渐变小，选项

C 正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项

D 正确.

变式1 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A.太阳位于木星运行轨道的中心

B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案 C

解析 由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误.火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B 错误.根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C 正确.对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，D 错误.

变式2 (多选)如图2所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆.设卫星、月球绕地球运行周期分别为T 卫、T 月，地球自转周期为T 地，则( )

图2

A.T 卫

B.T 卫>T 月

C.T 卫

D.T 卫＝T 地 答案 AC

解析 设近地卫星、地球同步轨道卫星和月球绕地球运行的轨道分别为r

卫、r 同和

r 月，

因r 月>r 同>r 卫，由开普勒第三定律r 3

T

2＝k ，可知，T 月>T 同>T 卫，又同步卫星的周期T 同＝T