力学8-质心,质心运动定理,质点动力学习题课

2）质量均匀分布的物体，质心在几何中心 ）质量均匀分布的物体， 均匀分布的物体 质量中心不一定有质量 中心不一定有质量） （质量中心不一定有质量） 3）质心与重心不是同一概念 ） 重心——地球对物体系各部分引力的合力的作用点 地球对物体系各部分引力的合力的作用点 重心 质心——由质量分布确定的一个点 质心 由质量分布确定的一个点 不太大物体
π
几何对称性
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第四章 冲量和动量
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三、质心运动定理
r dr r r r mi i ∑mivi ∑p v drc ∑ dt i 质心速度： = = 质心速度： vc = = dt M M M
v v 质心位置： 质心位置： rc = ∑mdr M i i
r r p = m c —— 质点系的总动量 v r r dvc ac = 质心的加速度 dt r r r dp dvc r F= =m = mac —— 质心运动定理 dt dt
A + A =0 外 内
5、势能计算 、
Ek 守恒
mgz
A + A = 0 E 守恒 外 非
（注意参考点的选取） 注意参考点的选取）
−G Mm r
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≠
第四章 冲量和动量
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例 从地球表面以一定速度发射卫星，υ0多大时，卫星在距地 从地球表面以一定速度发射卫星， 多大时， 处的圆轨道上运动？ 心 r 处的圆轨道上运动？ 解 研究对象：卫星＋ 研究对象：卫星＋地球 分析力：万有引力（保守内力） 分析力：万有引力（保守内力） ∴ 系统机械能守恒 状态1 状态
力的持续作用规律
力的持续作用规律（动能、动量定理） 力的持续作用规律（动能、动量定理） 描 述了某一过程的过程量和始末状态相应的状态 量之间的联系
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第四章 冲量和动量
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二、动力学问题
1、两类问题 、 直线运动： 直线运动： 已知状态求力 已知力求状态 微分法 积分法
x
υ υ
ω
a
an = υ
质心加速度取决系统所受外力，而内力不改变质心的运动状态。 质心加速度取决系统所受外力，而内力不改变质心的运动状态。
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第四章 冲量和动量
如：抛出去在空中翻滚的手榴弹 运动员： 运动员：
（1）上例中，质心均沿抛物线运动，为什么？ ）上例中，质心均沿抛物线运动，为什么？ （2）使自行车前进的力是什么力？ ）使自行车前进的力是什么力？ （3）揪着自己的头发向上，使身体离开座 ）揪着自己的头发向上， 脚不能沾地)。 为什么? 椅(脚不能沾地 。可能吗 为什么 脚不能沾地 可能吗?为什么
1 m 2 − G Mm υ0 2 R
R
O
r
=
状态2 状态 1 m 2 − G Mm υ 2 r ②
2
①
由牛二律
Mm = mυ2 G 2 r r
υ0 = 2GM − GM = 2gR − gR ∴ R r r
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第四章 冲量和动量
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例 用一弹簧 将二木板 1=m2=m) 连接如图，以上板在弹 用一弹簧(k) 将二木板(m 连接如图， 簧上的平衡点为势能（重力、弹力）零点。 簧上的平衡点为势能（重力、弹力）零点。试写出上板在某一 位置x时 上板、弹簧及地球这个系统的总势能。 位置 时，上板、弹簧及地球这个系统的总势能。 x 0 解 EP弹 = −k(x − x0 )dx x x x0 1 2
i i
z
O
rc
c
x
zc = ∑mi zi / M
i
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第四章 冲量和动量

质量连续分布的物体： 质量连续分布的物体：
xc = ∫ xdm M yc = ∫ ydm M
m
r r rc = ∫dmr / ∫dm
m
zc = ∫ zdm M
说明 1） ）
v rc与坐标选取有关，但对物体系的相对位置不变 与坐标选取有关，
b
v v F = ma
v v 1 2 1 2 ∫a F ⋅ dr = 2 mυ2 − 2 mυ1 = ∆Ek
∫
3、功能原理 、 4、守恒定律 、
b
a
v r v v F ⋅ dt = m 2 − m 1 = ∆p υ υ
A + A = ∆Ek A + A = ∆E 外 外 内 非 v r ∑F外 = 0 p 守恒
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质心与重心重合
第四章 冲量和动量
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例 已知一半圆环半径为 R，质量为 ，质量为M 求 它的质心位置 解 建坐标系如图 取 dl
y
dθ
dm = λ dl
dm
θ
dl = Rdθ
M dm= Rdθ πR
O
x
x = Rcosθ y = Rsinθ
xc = 0
M ydm ∫ 0 Rsinθ π R Rdθ 2R ∫ = = yc = M M π
∫
= kx − kxx0 2
EP = EP弹 + mgx 1 2 = kx − kxx0 + mgx 2 由已知条件 mg = kx0
∴
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o
1 2 EP = kx 2
结论： 结论： 若势能取在平衡位 置，则总势能以弹性势 能的单一形式出现。 能的单一形式出现。
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第四章 冲量和动量
F
F τ
v v v F = F + Fn τ
平面曲线运动： 平面曲线运动： s
aτ
2
ρ
Fn
aτ = rβ
圆周运动： 圆周运动：
θ
β
an = rω2
根据已知条件选取积分变量， 根据已知条件选取积分变量，确定上下限
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第四章 冲量和动量
F τ Fn
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2、求力的瞬时作用规律 、 求力的持续作用规律
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第四章 冲量和动量
第4章结束 章结束
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质点动力学小结
从不同角度描述了力的作用规律。 从不同角度描述了力的作用规律。
一、基本定理
1、牛顿运动定律 、
b
r r dp F= dt
力的瞬时作用规律
v v 1 2 1 2 υ υ 2、动能定理 ∫a F ⋅ dr = m 2 − m 1 、 2 2 b v v v F ⋅ dt = m 2 − m 1 υ υ 3、动量定理 ∫a 、
§4-4 质心运动定理
一、质心的概念
质量中心， 质量中心，可以代表整个物体的运动
二、质心位置的确定
N个质点的系统（质点系）的质心位置 个质点的系统（质点系） 个质点的系统
质点系
y
r r rc = ∑mri / ∑mi i
i i
mi
r ri r
分量式： 分量式：
xc = ∑mi xi / M yc = ∑mi yi / M