不规则物体的质心计算与展示
质心物理竞赛讲义
质心物理竞赛讲义一、质心的概念及基本原理质心，又称质点的几何中心或重心，是一个物体在力学中重要的概念。
质心的位置可以简化物体受力分析，并在物体的运动中发挥重要作用。
质心的定义：质心是一个物体所有质点的平均位置，根据物体质量和质点的位置来计算。
在一个均匀分布的物体中，质心位于几何中心。
质心的基本原理：- 物体质心位于物体的对称轴上，若物体是各向同性的，则质心位于物体的中心。
- 质心是物体重心的一种特殊情况，仅在重力场中才与物体重心重合。
- 质心是物体的一个特殊点，对物体运动的描述具有重要意义。
二、质心的计算方法质心的位置可以通过物体的质量分布以及质点位置的加权平均来计算。
具体的计算方法取决于物体的几何形状和质量分布。
1. 均匀物体的质心对于均匀物体，质心的计算相对简单。
可以通过以下公式计算质心的位置：质心的x坐标：x = (m₁x₁ + m₂x₂ + … + mₙxₙ) / (m₁ + m₂ + … + mₙ)质心的y坐标：y = (m₁y₁ + m₂y₂ + … + mₙyₙ) / (m₁ + m₂ + … + mₙ)其中，m₁, m₂, ..., mₙ是物体分布的质量，x₁，x₂，…，xₙ和y₁，y₂，…，yₙ是对应质点的坐标。
2. 不规则物体的质心对于不规则形状的物体，可以通过近似方法计算质心。
常见的方法有：- 使用几何图形的质心公式，如矩形、三角形、圆形等。
- 分割不规则物体为规则形状，计算各部分的质心，最后取加权平均。
三、质心在物体运动中的应用质心在物体运动中有广泛的应用，以下是一些典型的例子：1. 系统的位移和速度质心可以作为系统的参考点，用于描述物体的位移和速度。
通过跟踪质心的运动，可以了解系统整体的运动情况。
2. 系统的动量和力质心也可以用来分析物体系统的动量和力学问题。
由于质心是物体的一个特殊点，可以简化受力分析，直接用力对质心产生的效果来计算系统的动量和力。
3. 轨迹和旋转对于旋转运动的物体，质心可以帮助我们分析物体的轨迹和旋转情况。
高数质心公式[001]
![高数质心公式[001]](https://img.taocdn.com/s3/m/eb33ac3d17fc700abb68a98271fe910ef12dae18.png)
高数质心公式
在微积分中，质心是一个重要的概念，它代表了一个形状的平均
位置。
对于一个平面图形而言，质心指的是该图形上所有点的平均位
置的坐标。
而对于一个立体图形而言，质心指的是该图形上所有点的
平均位置的坐标，重量的中心。
在高等数学中，有一个重要的概念叫做质心公式。
质心公式是用
来计算平面图形的质心坐标的公式。
这个公式不仅可以被用来计算平
面图形的质心，而且还可以用来计算一些相对复杂的曲面图形的质心。
具体来讲，对于一个具有有限面积的平面图形而言，它的质心可
以用以下的公式计算：
x_bar = (1/A) * ∫∫x f(x,y) dxdy
y_bar = (1/A) * ∫∫y f(x,y) dxdy
其中，x_bar和y_bar分别是该平面图形的质心在x和y轴上的坐标，A是该图形的面积，f(x,y)是该图形在某个点(x,y)处的密度或者
是某种性质的大小。
注意，这个公式只适用于有限平面图形，对于无
限图形需要进行相应修正。
这个公式非常的简单易懂。
它的核心思想就是将平面图形分成若
干个小的面积，然后分别计算每个小面积的中心，再用这些小面积上
各自的中心的加权平均值来得到整个图形的质心坐标。
这样即使是非
常复杂的图形，我们也能够用积分的方法来求出它的质心坐标。
总之，质心公式是高等数学中非常重要的一个工具，它可以用来计算各种复杂图形的质心坐标。
对于学习微积分和数学建模的同学而言，掌握这个公式的思想和应用方法，将会使他们在未来的学习和工作中更加得心应手。
质心计算-质点计算公式
1 / 2质心计算:由力学可知，位于平面上点（x i ,y i ）处的质量为m i （i=1,2,3,…）的几个质点所构成的质点系的c c x c =M y m ，y c =M xm其中:m =∑m i n i=1 质点系中全部质点的质量之和 M y =∑m i ∙x i n i=1 质点系各质点中关于y 轴的静力矩mixi 之和 M x =∑m i ∙y i n i=1 质点系各质点中关于x 轴的静力矩miyi 之和由此可见，质点系m i(i=1,2,3,…)的质心坐标（xc,yc ）满足：质量为m =∑m i n i=1，坐标为（xc,yc ）的质点M ，关于y 轴和x 轴的静力矩分别与质点系关于y 轴和x 轴的静力矩相等。
利用如上所述的质点系和质心的概念和关系，用定积分微元法讨论均匀薄片的质心。
例：设均匀薄片由曲线y=f(x)(f(x)≥0)，直线x=a,x=b 及x 轴所围成，其面密度μ为常数，求其质心坐标（xc,yc ）为研究该薄片的质心，首先要将该薄片分成若干个小部分，每一部分近似看成一个质点，于是该薄片就可以近似看成质点系，具体做法如下：将[a,b]区间分成若干个小区间代表小区间[x,x+dx]所对应的窄的长条薄片的质量微元：dm =μydx =μf(x)dx由于d x 很小，这个窄条的质量可近似看作均匀分布在窄条左面一边上，由于质量是均匀的故该条窄带的质心位于点（x,f(x)/2）处，所以相当的这条窄带关于x 轴以及y 轴的静力矩微元dMx 于dMy 分别为：dM x =12∙f(x)∙μ∙f(x)dxdM y=x∙μ∙f(x)dx 把它们分别在[a,b]上作定积分，便得到静力矩M x=μ2∫f2(x)dxbaM x=μ∫xf(x)dxba又因为均匀薄片的总质量为：m=∫dmba =∫μf(x)dxba所以该薄片的质心坐标为：x c=M ym=∫xf(x)dxba∫f(x)dxbay c=M ym=12∫f2(x)dxba∫f(x)dxba温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
求物体或系统质心的方法总结
徐慎⾏编号032015年4⽉25⽇物理学探究案求物体或系统质⼼的⽅法总结⼀、质⼼的概念物体的质⼼即质量中⼼，可以表⽰物体的位置。
质⼼的运动状态可以表⽰物体或整个系统的运动状态。
我们可以定义质⼼为系统内各物体位置关于质量的加权平均值，即其中和分别表⽰质⼼和各个物体的位置⽮量，m i 代表各个物体的质量，M 表⽰整个系统的质量，即显然，对于单个物体，其质⼼也可以由积分给出其中和分别是关于 t 的参数⽅程。
当然，⼀般我们使⽤分量表达式来求取质⼼。
此时不需要参数，对应的变量即可⽤来表⽰坐标位置。
⼆、求取质⼼的⽅法①微元法求质⼼r C !"=1Mm i r i!i =1n ∑r C !"r i !M =m ii =1n∑r C !"=1Mm t ()r !t ()d tt 1t 2∫m t ()=m x (),m y (),m z ()()r !t ()=x t ()y t ()z t ()⎡⎣⎤⎦T微元法应⽤于求取质⼼位置，需要⽤到由积分给出的质⼼公式来求解。
通常我们会将物体看成由⽆穷个微元构成，然后逐个求取。
这是定义法的⼀种。
1 R解 要求半圆环的质⼼，⾸先要求总质量。
设半圆环质量线密度为 λ，则如图所⽰，由对称可以看出质⼼⼀定在 x 轴上，故只需考虑其横坐标位置。
即⽽对圆的⽅程求导可得故得到故物体质⼼。
②组合法将系统各个质量已知、位置已知的部分求取关于质量的加权平均位置，这也是定义法的⼀种。
本⽅法直接套⽤定义式即可，这⾥不再展开。
M =λπR 2x C =1Mx λd lR∫=1λπR x λ1+d y d x ⎛⎝⎜⎞⎠⎟2⎛⎝⎜⎞⎠⎟d x 0R ∫=1πR x 1+d y d x ⎛⎝⎜⎞⎠⎟2⎛⎝⎜⎞⎠⎟d x 0R ∫x 2+y 2=R 2⇒d y d x =−x y =−xR 2−x2y >0()x C =1πR x 1+d y d x ⎛⎝⎜⎞⎠⎟2⎛⎝⎜⎞⎠⎟d x 0R ∫=1πR xR 2R 2−x 2d x 0R ∫=2R π2R π,0⎛⎝⎜⎞⎠⎟③负质量叠加法⼀个部分中空的物体，通常可以看成该物体由⼀个正质量的实⼼物体和⼀个负质量的实⼼物体叠加⽽成的。
曲面质心公式
曲面质心公式好的，以下是为您生成的关于“曲面质心公式”的文章：在咱们学习数学和物理的过程中，有个概念叫曲面质心公式，这玩意儿可有意思啦！咱们先来说说啥是质心。
想象一下，你面前有一块形状不规则的板子，就像一块被啃得奇奇怪怪的饼干。
如果把这块板子当成一个整体，那么就有一个特别的点，这个点就好像是这块板子所有质量的“平衡点”，这个点就是质心。
那曲面质心又是什么呢？比如说一个弯弯扭扭的曲面，像个被揉得不成样子的纸张，它也有自己的质心。
而找到这个质心的方法，就得靠咱们的曲面质心公式啦。
曲面质心公式看起来挺复杂的，一堆符号和算式。
但其实，只要咱们静下心来，一点点去拆解，也没那么可怕。
我记得有一次，我给学生们讲这个知识点。
我在黑板上画了一个奇形怪状的曲面，然后开始推导公式。
学生们一开始都一脸懵，那表情就好像在说：“老师，这是啥呀，完全搞不懂！” 我就耐心地一步一步解释，从最基本的概念说起。
我告诉他们，就把这个曲面想象成一个超级大的披萨，然后咱们要找到这个披萨最“平衡”的那个点。
慢慢地，有些聪明的孩子开始有点明白了，眼睛里开始有了亮光。
但还有一些同学依然皱着眉头。
我就继续举例，比如一个弯弯的滑梯表面，要是在上面放个小球，小球会往哪儿滚？为什么会往那儿滚？这其实就和曲面质心有关系。
经过一番努力，大部分同学终于搞懂了。
那一刻，我心里特别有成就感。
回到曲面质心公式本身，它一般会涉及到面积、坐标、积分这些东西。
比如说，对于一个简单的曲面，可能需要先求出它的面积元素，然后通过积分来计算质心的坐标。
这过程就像是拼图，一块一块地拼，最后才能呈现出完整的画面。
在实际应用中，曲面质心公式可有用啦！比如在工程设计中，要设计一个形状独特的零件，知道它的质心位置就能更好地保证其稳定性和平衡性。
在物理学的研究中，对于一些复杂的物体表面，通过这个公式也能准确地找到质心，从而更好地分析物体的运动和受力情况。
总之，曲面质心公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去理解，多联系实际，就会发现它其实是我们解决很多问题的有力工具。
物理质心坐标计算公式表
物理质心坐标计算公式表质心是指物体的平衡点或重心。
在物理学中，计算质心的坐标可以根据物体的质量分布情况和形状进行推导。
下面是一些常见物体质心坐标计算的公式：1.杆的质心坐标：对于一根质量均匀的杆，质心位于杆的中点。
杆的质心坐标可以用以下公式计算：Xc=(X1+X2)/2其中，Xc是质心的x坐标，X1是杆的一个端点的x坐标，X2是杆的另一个端点的x坐标。
2.平面物体的质心坐标：对于平面物体，质心坐标的计算需要考虑物体在x和y方向上的质量分布情况。
一般使用积分来计算。
平面物体的质心坐标可以用以下公式计算：Xc = ∫(x * dm) / MYc = ∫(y * dm) / M其中，Xc和Yc分别是质心的x和y坐标，x和y是位置矢量函数，dm是微元质量，M是总质量。
3.环形物体的质心坐标：对于均匀质量分布的环形物体，质心位于环心，可以使用以下公式计算：Xc = R * cos(θ)Yc = R * sin(θ)其中，Xc和Yc分别是质心的x和y坐标，R是环的半径，θ是质心相对于x轴的角度。
4.刚体的质心坐标：对于刚体，质心的计算需要将整个刚体分割成无穷小的质量元，然后对每个质量元的质心进行积分求和。
刚体的质心坐标可以用以下公式计算：Xc = ∫(x * dm) / MYc = ∫(y * dm) / MZc = ∫(z * dm) / M其中，Xc、Yc和Zc分别是质心的x、y和z坐标，x、y和z是位置矢量函数，dm是微元质量，M是总质量。
以上是一些常见物体质心坐标计算的公式。
需要注意的是，每个公式需要根据具体问题中物体的形状和质量分布情况进行适当的调整和应用。
质心的计算是物理学中的一项基本内容，对于理解物体的平衡和运动具有重要意义。
不规则物体的质心计算和展示解剖
高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况
§1 质心
运动员跳水
投掷手榴弹
若令系统总动量 p mivi mvc
水平上抛三角板
其中 m mi m1 m2
为质点系的总质量
质点系的整体运动可以等效为一个假想质点C 的运动。
vc
drc dt
如何确定这个 点的位置？
vc
mivi m
mi
dri dt
m
mi dri mdt
vi
dri dt
rc
mi ri m
n
rc
mi ri
i 1 n
mi
点C的位矢是质点系各质 点位矢的质量加权平均。
质心(质量中心)：质点系 质量分布的平均位置。
i 1
直角坐标系中，各分量的表达式
0
x1
3
x2
o
x2 x
yc
my1 0 0 3m
y1 3
n
对质量连续分布的物体，
将其分为n个小质元
rc
直角坐标系中的分量表达式
ri mi
i 1
m
1 m
rdm
1
1
1
xc m xdm, yc m ydm, zc m zdm
线分布：dm m dl l
面分布：dm m dS S
体分布：dm m dV V
b
2 b x(a a x)dx
xc 0
b ab
1 ab 2
同理
x(a
a b
x)dx
b
aa x b
2 ydxdy
yc
0
计算质心的主要思路和方法
计算质心的主要思路和方法说实话计算质心这事，我一开始也是瞎摸索。
我就想着质心嘛，肯定和物体的质量分布有关系。
我最早尝试的方法特别傻。
我就觉得，那把物体分成好几块，然后每一块的质量乘以它到某个参考点的距离，再把这些乘积加起来除以总质量不就得了嘛。
就像把一堆苹果，每个苹果的重量乘以它到篮子边的距离，然后全加起来再除以苹果总重量那样。
结果发现错得一塌糊涂。
后来我才明白，我这种方法只适用于形状特别规则而且质量均匀分布的东西，比如说正方体那样质量分布非常均匀的物体。
后来我学到了一个比较通用的方法。
对于二维平面上的物体，你得把这个物体划分成好多很小很小的单元，就像把一幅画分成好多小点一样。
每个小单元都有自己微小的质量，然后建立一个坐标系。
再把每个小单元的质量乘以它在这个坐标系里的横纵坐标值，分别加起来再除以总质量，这样就得到质心在这个坐标系里的横坐标和纵坐标了。
这里我老犯错的地方就是坐标的选取，有时候选错了坐标原点或者方向就全都乱套了。
如果是三维空间里的物体呢，那就更复杂一点。
思路和平面类似，不过得把每个小单元的质量乘以它的三维坐标值，然后除以总质量得到质心在这个三维空间里的坐标。
就好比你在一个大房间里找一个东西的重心，这个东西不同部分在不同的高度，不同的前后左右位置，你得全都考虑进去。
我还试过一种特殊的方法，求一些对称物体的质心。
你想啊，如果一个物体关于某条线对称，它的质心肯定就在这条对称轴上。
像圆形，无论它的质量怎么分布，质心就在圆心，因为圆关于它的直径对称。
这对于计算一些组合物体的质心挺有用的。
比如有个物体由两个对称的部分组成，你先算出单个部分的质心，然后根据它们的组合方式再算出整个物体的质心。
不过这个方法的局限就是物体得有对称性。
我觉得计算质心，最重要的就是要有耐心，分清物体的情况，该划分小单元就划分，能利用对称性就利用，还要特别小心坐标那些东西，搞错了就得从头来。
这就是我这么久折腾计算质心总结出来的门道。
初三物理质心位置计算方法
初三物理质心位置计算方法质心是物体所含各部分的质量综合的中心点。
在物理学中，计算物体的质心位置可以帮助我们更好地研究物体的运动和平衡。
初三物理学中，我们常常需要计算物体的质心位置。
本文将介绍几种常见的初三物理质心位置计算方法。
方法一：对称物体的质心位置计算对称物体是指形状相对称的物体，如矩形、圆形等。
对于对称物体来说，我们可以通过简单的几何方法来计算其质心位置。
以矩形为例，一个长为L、宽为W的矩形的质心位置位于其中心点。
也就是说，质心位置的横坐标为矩形中心点的横坐标，纵坐标为矩形中心点的纵坐标。
对于圆形来说，其质心位置即为圆心的位置。
这种计算方法适用于形状对称的物体，但对于复杂形状的物体，我们需要采用其他方法计算质心位置。
方法二：几何分割法当物体形状复杂时，我们可以通过几何分割法计算质心位置。
具体方法如下：1. 将复杂形状的物体分割成若干个简单的几何形状，如矩形、三角形等。
2. 分别计算每个简单几何形状的质心位置。
3. 根据每个简单几何形状的质心位置和质量来计算整个物体的质心位置。
质心位置的横坐标为各简单几何形状质心位置横坐标与质量的乘积之和除以总质量，纵坐标同理。
这种方法需要将复杂形状的物体分割成简单几何形状，然后计算每个简单几何形状的质心位置，最后合并计算得到整个物体的质心位置。
方法三：数学推导法对于一些特定的物体形状，我们可以通过数学推导的方法直接计算质心位置。
下面以平衡木为例进行介绍：平衡木是一个长条形的物体，在物体的一端有一个固定的支点，而另一端部分有质量均匀地分布。
我们可以通过数学推导来计算平衡木的质心位置。
假设平衡木的长度为L，质量为M，在距离支点x的位置有一个无穷小长度dx的质量为dm的小段。
根据平衡条件，平衡木处于平衡状态，即合力和合力矩为零。
根据合力矩为零的条件，我们可以推导出平衡木的质心位置位于其长度的2/3处。
也就是说，质心位置的横坐标为平衡木长度的2/3。
这种方法需要具备一定的数学基础和推导能力，适用于特定形状的物体。
物理质心坐标计算公式
物理质心坐标计算公式在我们学习物理的奇妙世界里，质心坐标计算公式可是个相当重要的家伙。
这玩意儿看着好像有点复杂，但只要咱把它的门道搞清楚，其实也没那么难搞。
先来说说质心坐标计算公式到底是啥。
简单来讲，质心坐标的计算公式就是：对于由多个质点组成的系统，质心的坐标（x_c，y_c，z_c）可以通过各个质点的质量 m_i 和坐标（x_i，y_i，z_i）来计算，公式分别是：x_c = (∑m_i * x_i) / ∑m_i ，y_c = (∑m_i * y_i) / ∑m_i ，z_c =(∑m_i * z_i) / ∑m_i 。
听起来是不是有点晕？别着急，我给您举个例子。
有一次我带着学生们做一个物理实验，就是研究一个由几个不同质量小球组成的系统的质心。
我们在一块平整的木板上，放了三个小球，分别标记为 A、B、C。
小球 A 的质量是 20 克，坐标是（10 厘米，20厘米）；小球 B 的质量是 30 克，坐标是（30 厘米，15 厘米）；小球C 的质量是 50 克，坐标是（20 厘米，30 厘米）。
那咱们就来算算这个系统的质心坐标。
先算 x 方向的质心坐标 x_c ，根据公式，就是（20×10 + 30×30 + 50×20）÷（20 + 30 + 50），算出来x_c 约等于 21 厘米。
再算 y 方向的质心坐标 y_c ，（20×20 + 30×15 +50×30）÷（20 + 30 + 50），算出来 y_c 约等于 23.5 厘米。
通过这个小实验，同学们一下子就明白了质心坐标计算公式的实际应用，那叫一个恍然大悟的表情。
质心坐标计算公式在很多实际问题中都大有用处。
比如说，在研究物体的平衡和运动状态时，知道质心的位置就能更好地理解物体的行为。
想象一下，一辆汽车在行驶中，如果质心位置不合理，那转弯的时候可就容易出问题啦。
质心法高中物理
质心法高中物理质心法是高中物理中一个重要的概念和计算方法。
它在研究物体平衡、转动和碰撞等问题时起到了关键作用。
质心，也叫质量中心，是一个物体所有部分的质量的平均位置。
在考虑物体的平衡和转动时，我们可以将整个物体的质量视为集中于质心的一个质点，从而简化问题的分析和计算。
质心的位置可以通过以下公式计算得到：[x_{cm} = frac{m_1x_1+m_2x_2+...+m_nx_n}{m_1+m_2+...+m_n}] [y_{cm} = frac{m_1y_1+m_2y_2+...+m_ny_n}{m_1+m_2+...+m_n}] [z_{cm} = frac{m_1z_1+m_2z_2+...+m_nz_n}{m_1+m_2+...+m_n}]其中，(x_{cm})、(y_{cm})和(z_{cm})分别代表质心在三个坐标轴上的位置，(m_1)、(m_2)…(m_n)分别代表物体上各部分的质量，(x_1)、(x_2)…(x_n)、(y_1)、(y_2)…(y_n)和(z_1)、(z_2)…(z_n)分别代表这些部分的坐标。
质心法的主要应用之一是研究物体的平衡。
当一个物体受到多个力的作用时，如果这些力的合力和合力矩都为零，那么物体将保持平衡。
利用质心法，我们可以将物体看作一个质点，只需考虑合力和合力矩的作用点是否通过质心即可判断平衡条件。
此外，在研究物体的转动时，质心法也非常有用。
根据牛顿第二定律和牛顿第三定律，我们可以推导出转动定律：(tau = Ialpha)。
其中，(tau)代表力矩，(I)代表物体对于旋转轴的转动惯量，(alpha)代表物体的角加速度。
在质心法中，我们可以简化计算，将转动惯量(I)视为质量(m)乘以距离(r)的平方，即(I = mr^2)。
这样一来，我们可以将物体的质心作为旋转轴，计算转动惯量和力矩，从而分析物体的转动情况。
最后，质心法在研究碰撞问题时也发挥着重要作用。
质心公式理解
质心公式理解质心这个概念，在物理学中可有着相当重要的地位呢！咱先来说说啥是质心。
简单来讲，质心就是一个物体或者一个系统质量的“平均位置”。
打个比方啊，就说咱过年放的那种长长的鞭炮串。
假如这串鞭炮里每个小鞭炮的质量都不一样，分布的位置也不同。
那这个鞭炮串质量的中心点，就是质心啦。
那质心公式到底是啥呢？质心的位置坐标公式是：$r_{cm}=\frac{\sum_{i}m_ir_i}{\sum_{i}m_i}$ 。
这里的 $r_{cm}$ 就是质心的位置矢量，$m_i$ 是各个质点的质量，$r_i$ 是各个质点的位置矢量。
咱来仔细瞅瞅这个公式。
想象一下，一堆不同质量的小球乱七八糟地放在一块儿。
每个小球都有自己的“地盘”，也就是位置。
那怎么找到这一堆小球整体的“重心”位置呢？这个公式就派上用场啦！它其实就是把每个小球的质量乘以它的位置，然后加起来，再除以所有小球的总质量。
比如说，有三个小球，质量分别是 2 千克、3 千克和 5 千克，位置分别是（1，1）、（2，2）和（3，3）。
那先算 2 千克小球的质量乘以位置，就是 2×（1，1）=（2，2）。
同理，3 千克小球就是 3×（2，2）=（6，6），5 千克小球是 5×（3，3）=（15，15）。
然后把这三个加起来，就是（2+6+15，2+6+15）=（23，23）。
最后，总质量是 2 +3 + 5 = 10 千克。
所以质心的位置就是（23÷10，23÷10）=（2.3，2.3）。
再举个生活中的例子。
就说咱们常见的跷跷板吧。
如果跷跷板两边坐的小朋友体重不一样，要想跷跷板平衡，那重的小朋友就得坐得离中间支点近点，轻的小朋友就得坐得远点。
这个平衡点，其实就跟质心的概念有点像。
通过质心公式，咱就能算出这个平衡点到底应该在哪。
在解决实际问题的时候，质心公式可好用啦！比如设计一辆汽车，工程师就得考虑发动机、乘客、油箱等等各个部件的分布，通过质心公式来保证汽车的稳定性和操控性。
力学中的质心
力学中的质心力学中的质心（Center of Mass in Mechanics）在力学中，质心（Center of Mass）是一个经常被讨论的主题。
质心是一个物体的几何中心，它可以用来描述物体在力学中的运动和平衡。
本文将深入探讨质心的概念、计算方法以及其在力学中的应用。
一、质心的定义和特性质心被定义为一个物体的总质量分布在空间中的几何中心。
对于一个质点系统或一个具有连续分布的物体，质心是一个特殊的点，它具有以下特性：1. 质心的位置与物体的形状和质量分布有关。
当物体具有对称性时，质心通常位于物体中心或中轴线上。
但对于不规则形状的物体，质心的位置可能会有所偏移。
2. 质心是一个虚拟的点，它不一定处于物体实际存在的位置。
即使一个物体是孔洞或空洞的，它的质心也可以在物体的实际存在之外。
3. 对于一个质点系统或一个连续分布的物体，质心的位置可以通过对质量进行加权平均来计算。
质心的坐标可以用矢量的形式表示。
二、质心的计算方法计算质心的位置需要考虑物体的质量和质量分布。
有几种常见的方法可以计算质心的坐标。
1. 对于一个质点系统，可以通过将每个质点的质量与其位置的乘积相加，再除以总质量来计算质心的位置。
这可以表示为：x_cm = (m1x1 + m2x2 + ... + mnxn) / (m1 + m2 + ... + mn)y_cm = (m1y1 + m2y2 + ... + mnyn) / (m1 + m2 + ... + mn)z_cm = (m1z1 + m2z2 + ... + mnzn) / (m1 + m2 + ... + mn)其中，m是质量，x、y和z是位置坐标。
2. 对于一个连续分布的物体，可以使用积分来计算质心的位置。
假设物体沿着x轴分布，可以表示为：x_cm = ∫x dm / ∫dm同样，可以使用相同的方法计算y和z方向的质心坐标。
三、质心在力学中的应用质心在力学中有着广泛的应用，特别是在描述物体的运动和平衡时。
如何计算物体的质心在力学中的应用
如何计算物体的质心在力学中的应用在力学中，质心是指一个物体所有质点的平均位置，是物体的一个重要物理量。
通过计算物体的质心，可以帮助我们理解物体的运动及相互作用。
本文将介绍如何计算物体的质心及其在力学中的应用。
一、计算质心的方法在力学中，计算质心有几种常用的方法，根据实际情况选择适合的方法可以更方便地得到质心的位置。
1.离散质点法对于由若干个质点组成的物体，可以根据质量及位置关系来计算质心的位置。
首先，将物体分割为若干个小部分，每部分可以视为一个质点，然后对每个小部分计算质量乘以位置的乘积，最后将所有结果相加并除以总质量，即可得到质心的位置。
2.连续物体的积分法对于连续分布质量的物体，可以使用积分的方法来计算质心。
首先，将物体分割为无限小的小部分，每个小部分的质量可以看作是微小的，然后对每个小部分计算其质量乘以位置的乘积，最后对整个物体进行积分求和，再除以总质量即可得到质心的位置。
二、质心的应用1.质心与静力学平衡质心在力学中有着重要的应用，其中之一就是静力学平衡。
根据静力学的原理，一个物体在平衡状态下，质心必须在支点或支撑面的垂直平分线上。
利用质心的概念，我们可以判断物体在平衡时的受力情况，从而进行力学分析，找到合适的平衡点。
2.质心与运动学质心也与物体的运动学特性有关。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在其上的合力成正比，与质量成反比。
因此，通过计算物体的质心，我们可以方便地得到物体的总质量，从而计算出物体受到的合力和加速度。
3.质心与碰撞在碰撞问题中，质心起着重要的作用。
根据动量守恒定律，系统总动量在碰撞前后保持不变。
通过计算物体的质心并考虑动量守恒定律，我们可以分析碰撞的过程，计算碰撞后物体的速度、方向等动态特性。
4.质心与旋转在物体的旋转运动中，质心也发挥着重要的作用。
质心是物体旋转轴线上的一个点，对于一些特殊的物体，比如均匀扁平的圆盘，其质心与旋转轴重合。
通过计算质心的位置，我们可以方便地确定旋转轴，并进行力学运动学的分析。
对若干有关圆和球的求质心的方法PPT文档17页
对若干有关圆和球的求质心的方 法
制作人：0910264 粟波
方法三
我们还可以将半圆看成由一个个小锥体组 成，锥体的中西在 3r/4 处，而锥体的质心 又构成了一个半径为 3r/4 的球壳，其质心 在半径的 处（刚才已证明）。所以
Xc 3 8
接下来我们来解决和圆有关的平面求质 心的问题，同样以半圆为例，用不同的 方法求其质心，用这些方法，我们还可 以解决求任意角的扇形，圆弧，弓形， 圆环一部分的质心等问题
2 n1
X1
X
n
cos
4
cos
8
cos 16
cos
2n
所以可以得到：
Xn
cos
4
cos
8
cos 16 sin
2n
cos
2n
sin
2n
sin
X
n
2 n 1
2 sin
2n
当n趋向无穷时，扇形可看成三角形，Xc=2r/3.
又有：sin
1 2n
1 2n
所以：
sin
X1
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
方法一：
将半圆分成一条条的极窄的细条，则有；
dm dx 2 y
y r2 x2
r
Xc 0 x dm M
r x 2
r 2 x 2 dx
0
M
r r 2 x 2 dx 2
0 M
4r 3
方法二：
将半圆看成由一个个半圆环套在一起形成，我们先计算半圆环的质 心：
θ
dm 2 dx
sin
r
Xc 0 x dm
不规则物体的质心计算与展示
y
设小球质量为m0，则质量和质心坐标分别为： 大球： m1 64m0 , x1 0, y1 0
中球： m2 小球：m3
V1 :V2 :V3 R : R2 : R 64 : 8 : 1
3 1 3 3 3
o
x
m0 , x3 R / 2, y3 R / 4
8m0 ,x2在质心（球 心）处的三个质点。
实例
★重心(Center of Gravity)和质心( Center-of-Mass)是两个不同的 概念： ① 重心是重力的作用点，质心是系统质量分布的中心。 ② 当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义， 但质心却依然存在。 ③ 除非重力场均匀，否则系统的质心与重心通常不重合。
xc
3m
x1 x2 3
o
x2
x
my1 0 0 y1 yc 3m 3
对质量连续分布的物体， 将其分为n个小质元 rc
直角坐标系中的分量表达式
r m
i 1 i
n
i
m
1 rdm m
1 1 1 xc xdm, yc ydm, zc zdm m m m m m m 线分布： dm dl 面分布：dm dS 体分布：dm dV S V l
例：车在船上的运动 船长l1，质量m1；汽车长l2 ，质量m 2 。汽车 从船尾由静止开始向船头运动，到达船头时恰好相对船静止， m2 求：由于汽车的运动而使船移动的距离。 解：在水平方向上，车和船组成的 系统所受外力为零，动量守恒。 m1 方法1 用动量守恒定律（略） 方法2 用质心的概念 x 外力=0，系统质心保持静止 o 10 20 设初始船和车的坐标分别为x10和x20， 根据质心坐标的定义得
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· · m2d2 m1
C× m2
o
d1
d2
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
y （x1, y1）
xcm x1 3m m x20x1 3x2
o
x2 x
yc
my100y1 3m 3
n
对质量连续分布的物体，
将其分为n个小质元
rvc
直角坐标系中的分量表达式
rimi
i1
m
1 m
rvdm
1
1
1
x c m x d m , y c m y d m , z c m z d m
中球：m 2 8 m 0,x 2 R /2 ,y 2 0 三个球体可视为质量
系小统球的：总m 质3 量m 为0 ,m x 3 m R 1 /2 m ,2 y 3 m 3R 5 /4 m 7 0 各心自）集处中的在三质个心质（点球。
x c m 1 x 1 m m 2 x 2 m 3 x 3 0 4 m 0 5 R 7 m 0 m 0 R /2 1 1 7 4 R
例：计算如图所示的面密度σ为恒量的直角三角形的质心的位置。
解：取如图所示的坐标系
取微元ds=dxdy，质量为dm=σds=σdxdy
∴ 质心的x 坐标为
xcxddm mxddxxddyyxddxxddyy
( xdy)dx
从图中看出三角形斜边的方程为
yaa x
b
2 b x(a a x)dx
xc 0
★质心的运动代表着质点系整体的运动，与单个质点的运动相同。 这正是将实际物体抽象为质点模型的实质。
质点系的任何运动一般都可分解为 质心的运动和相对于质心的运动
§2 质心参考系
质心参考系是固结在质心上的平动参考系。
质心在其中静止，一般选取质心作为坐标系的原点。
r'rr
i
i
c
N
r
rrc N
卡戎(冥卫一)和冥王星组成双星系统，
它们的共同质心在冥王星表面以外。
§3 质心运动定理
1、p 系 统 的m 总i动v i量 m v c
系统内各质点的动量的矢量和等于
z ··
·
·
·C×vC rC ·ri
·vi · mi
系统质心的速度与系统质量的乘积
y c m 1 y 1 m 2 m y 2 m 3 y 3 0 0 5 7 m m 0 0 R /4 2 1 2 8 R
实例
★重心(Center of Gravity)和质心( Center-of-Mass)是两个不同的 概念： ① 重心是重力的作用点，质心是系统质量分布的中心。 ② 当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义，
§三 质心 质心运动定理 §1 质心 §2 质心参考系 §3 质心运动定理
高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况
§1 质心
运动员跳水
若令系统总动量
p 投掷m 手iv 榴i 弹m v c 水平上抛三角板
其中 m m i m 1 m 2 L L 为质点系的总质量
质vrvrcc 点 系ddrv的tcmm整ivr体i 运如动点何mm可的i确d位以d定rvti置等这？效个为mmd一itdr个vi 假vrr想rci 质 d点drvtiCmm的i rri运动。
b ab
1 ab 2
同理
x(a
a b
x)dx
b
aa x b
2 ydxdy
yc
0
0
ab
a 3
2(1 2
ab2
a 3b
b3)
(ab2
2 3
ab2
)
b
abห้องสมุดไป่ตู้
ab
3
∴ 质心的坐标为
b 3
,
a 3
例：半径为R的大球内有一个半径为R/2的球形空腔，空腔的下部
放置了一个半径为R/4的小球。已知大球和小球的质量密度相同。
n
rc
m iri
i1 n
mi
点C的位矢是质点系各质 点位矢的质量加权平均。
质心(质量中心)：质点系 质量分布的平均位置。
i1
直角坐标系中，各分量的表达式
n
mixi
n
miyi
n
mizi
xc
i1 n
,
yc
i1 n
,
zc
i1 n
mi
mi
mi
i1
i1
i1
对两质点系统，质心位
置总满足关系式：m1d1 =
求：系统的质心。
y
解：该系统可看成由质量分布均匀(无空腔)的
大、中、小三个球体组成，它们各自的质心分
别处于球心处。中球的质量为负。
x
V 1 : V 2 : V 3 R 1 3 :R 2 3 :R 3 3 6 4 :8 : 1
设小球质量为m0，则质量和质心坐标分别为：
o
大球： m 1 6 4 m 0,x 1 0 ,y 1 0
线分布：d m m d l l
面分布：dm m dS S
体分布：dm m dV V
•坐标系的选择不同，质心的坐标也不同； •密度均匀，形状对称的物体，其质心在物体的几何中心处； •质心不一定在物体上，例如：圆环的质心在圆环的轴心上。
例：已知半圆环质量为Ｍ，半径为Ｒ 求：它的质心位置？
解：建立坐标系如图,
由对称性 xc 0
线密度 l M
取dl → dm=ldl
R
dm M Rd yRsin
dl=Rd
R
yc
ydm
M
RsinM M RRdR0sind
R(cos)0R(11)2R
质心不在物体上，但 相对半圆环位置固定
例：求半径为R的半球形球壳的质心
解：根据对称性，细环的质心位于y轴。
如图将球壳细分成无数多细环，细环
半径记为r，设球壳质量面密度为，
则其中任一细环的质量为
o
r R sin
r y R cos
R
d m (2 r d l) (2 r R d)2R2sind
半球壳的总质量为
m d m 2 R 2 0 2 s in d 2 R 2
半球壳质心的位置
xc0 , ycy m d m 0 22 R 32 s in R 2co sd 1 2R
m i ri mi
mi(ri rc) miri' 0
z z'
ri'
rc x' ri
i1
求导
N mivi '
i1
0
i1
x
mi
y'
y
从质心系中来看，系统总动量=0，零动量参考系 动量守恒
质 质心心系系中不的一速定度是惯v 性' 系，v 只 有v 合外力为零时质心系才是惯性系。
i
i
c
在讨论碰撞及天体运动时经常用到质心系。
但质心却依然存在。 ③ 除非重力场均匀，否则系统的质心与重心通常不重合。
•作用在物体上各部分的重力方向平行；重力加速度可以视为常数。
•小线度物体（其上 g各处相等），质心和重心是重合的。
对于地球上体积不太大的物体，重心与质心的位置是重合的。 但当物体的高度和地球半径相比较不能忽略时，两者就不重合了， 如高山的重心比质心要低一些。