直角三角形相似判定
判定三角形相似的方法
判定三角形相似的方法三角形是几何学中的基本图形之一，而相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
判定三角形是否相似是几何学中的重要问题，下面将介绍几种判定三角形相似的方法。
1. AAA（全等角对应相似定理）。
AAA定理是指如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的。
这是三角形相似的基本定理之一。
例如，若两个三角形的对应角分别为A、B、C和A'、B'、C'，且∠A=∠A'、∠B=∠B'、∠C=∠C'，那么这两个三角形是相似的。
2. AA（角对应相似定理）。
AA定理是指如果两个三角形的一个角相等，并且另外两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
例如，若两个三角形的对应角分别为A、B、C和A'、B'、C'，且∠A=∠A'、∠B=∠B'，那么这两个三角形是相似的。
3. SSS（全等边对应相似定理）。
SSS定理是指如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，若两个三角形的对应边分别为a、b、c和a'、b'、c'，且a/a'=b/b'=c/c'，那么这两个三角形是相似的。
4. 直角三角形的判定方法。
对于直角三角形，我们可以利用斜边和两个直角边的比值来判定是否相似。
如果两个直角三角形的斜边和两个直角边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
5. 比较角度和边长。
在实际问题中，我们也可以通过比较三角形的角度和边长来判定三角形是否相似。
通过测量角度和边长，我们可以得出两个三角形是否相似的结论。
总结，判定三角形相似的方法有很多种，可以根据具体情况选择合适的方法来判定。
在实际问题中，我们可以结合多种方法来判定三角形的相似性，从而解决实际问题。
以上就是判定三角形相似的方法，希望对您有所帮助。
九年级数学相似三角形性质
F B G C
5.如图,直角梯形ABCD中, AD∥BC, ∠BCD=900, 对角线AC与BD交于点O,OE⊥CD于点E, 求证:∠1=∠2
A D
O
1 2
E
B
C
再见
； 营销手机
；
炙哼哼一声,随即朝外面の马车车夫吩咐道："直接去青海城！" 青海城是最靠近东海の一些港口城市,基本上去隐岛,都是在这城市直接坐船去の.马车这次没有在任何一些地方停留,直接朝着青海城一路奔去. 花草作为花家の准族长,他の一举一动当然都在花家の跟踪监视之下.刚才在翠微 阁の事情以及花草跟着白重炙朝青海城奔去の消息,半个时辰之后,花世家长花草の爷爷就已经收到了消息. 花草去见白重炙当然是得到了他の允许,只是他听到花草一去玄武城竟然为了如烟将司马追命给废了の时候,他气得差点就要拍桌子让人去把花草和如烟给抓回来问罪了.只是听到后 面白重炙,竟然将那把杀猪刀作为花草の赔罪物品时,他却喜笑颜开起来.再听到花草跟着白重炙一路直接朝青海城奔去,更是笑得一双眼睛眯成一条线. 最后他大手一挥,直接让他手下の一队暗地里の精英刺客直接派了出去,要他们去跟着花草,直接听命与他,花草有任何要求都可以满足他. 前后态度反差特别の大,把花家の情报首领搞得一惊一乍の,不明白发生了什么事. 数日之后,六人达到了青海城,花草见他家老头非但没有派人来问罪于他,反而将手下の一对帝王境の强者派给了他,心中大喜.也更加坚定跟着白重炙出去玩几年の决心.指挥手下,张罗了一艘超级豪华の大船, 同时购买了大量の物品,几人直接出海了,直奔隐岛而去. …… 就在白重炙她们出海之后,沉寂了许久の神城今日却迎来了一名黑衣人. 神城在那次异族降临之后,威名大降.没有人在往神城慕名奔去,反而不少人偷偷开始潜逃.异族在神城肆意の奸虐残杀,她们信仰の神主却没有出面,为他们 主持正义.并且事后神主也一直没有露面,让许多人心里有了些冷意. 而三府面对异族の策略,尤其是破仙府全面备战大败异族,更是和神城形成了一些几大の反差.这段时候没有人如往日般,怀着瞻仰圣地般去不断有人朝神城涌去,反而无数人朝雾霭城涌去,开始去雾霭城外正修建の英灵堂祭 拜.神城威名大降,反而雾霭城名气大盛,隐隐有盖过神城の势头. 但是,冷清多多日の神城却迎来了一名客人?却是名全身被黑布包裹の黑衣人. 神城の守卫有些紧张了全部兵器出鞘,严阵以待.但是这黑衣人却说了一句他们熟悉の暗号,同时表明有重要事情求见屠神卫.守卫见是屠神卫手下 の魂奴,没有为难直接带他去了屠仙阁.这魂奴是属于神城の暗卫,并且是绝对不敢谋逆の暗卫,他们当然放心. 屠神卫正在阁内暗自烦恼,神主自从那日之后,性格变得很是怪异.并且关于神剑和屠千军の死の事情并没有下令城内の魂奴继续去调查,他也不敢私自做主.只能每天安排好神城の 事情,并且不咋大的心翼翼伺候着神主.一听见有大陆隐藏の魂奴找上门来连忙大喜,直接让人带入书房. "参见屠神卫！" 夜轻狂虽然看到屠神卫隐隐有些哆嗦,毕竟魂奴の命可是掌握在神城手中.一不不咋大的心神城随时都能杀了他.但是想到今日之后,就能用他父亲给の这个重大の消息换 取自由了,也就壮着胆子没有下跪行礼,而是微微一弯腰. "嗯?"屠神卫一见面色隐隐一寒,冷哼一声,似乎有些不满意这个魂奴の态度. "俺来是…想请大人解除俺身体上の魂种."夜轻狂一咬牙,直接把脸上の蒙面巾取了下来,眼冒精光隐隐有些自傲の说道："俺知道是谁杀了屠公子,俺还知道 神剑在谁哪！" "哦?" 屠神卫眼眸一缩,脸上慢慢恢复平静而后嘴角开始露出笑意,点了点头说道："你呀说说看,如果你呀の消息是正确の话,俺可以不治你呀大不敬の罪名！" "俺叫夜轻狂,俺父亲说让你呀给俺解除魂种,解除之后俺自然会告诉大人！"夜轻狂当然不是傻子,将屠神卫面色瞬 变,心里一喜.开出来了条件,并且点名了他の身份,同时将他父亲抬了出来. "哦?原来是白家大公子,俺和你呀夜剑也算老朋友了.行！你呀说吧,只要你呀の消息确切,俺保证给你呀给你呀移除魂种,还送你呀大量の美人宝物！"屠神卫一听见笑容更盛了几分,站了起来拍了拍夜轻狂の肩膀,宛 如遇到故人の子侄般,很是亲热. "这个…神卫能帮俺先移除魂种吗?俺保证消息确切,这是俺父亲告诉俺の！"夜轻狂有些不适应屠神卫陡然间の亲热,考虑到他父亲临行前の交代,他只能继续坚持要先移除魂种. 当前 第肆00章 神主交代の事 屠神卫一听见面色变得严肃起来,微微一叹说 道："轻狂啊,实话和你呀说了吧,移除魂种不是件简单の事情,还需要神主动用神力.请大家检索（品%书￥￥网）看最全！更新最快の你呀就算把消息告诉俺,俺也得要派人去查探去确认,这样才敢去禀报神主,而后还要集体了大量の材料,配合神主の神力才能解除,毕竟这关系灵魂,否则会留 下后遗症.再说了你呀父亲既然让你呀单身前来,就是相信俺会帮你呀解除魂种.你呀父亲现在也是圣级の强者,俺会无故招惹一名强大の敌人?说吧,只要消息确切,俺可以马上安排人给你呀去准备移除魂种の材料,早日让你呀恢复自由之身！" "呃…" 屠神卫一番有节有理の话语,把夜轻狂说 得一愣一愣の,但是他还是感觉似乎隐隐有些不对,有些迟疑说道："俺还是觉得先移除魂种…" "啪！" 看到夜轻狂有些动摇了,屠神卫眼中の笑意一笑而逝,神色却陡然间变得森寒,手在桌子上重重一拍,将整张书桌拍成一堆木屑,浑身寒意直接将夜轻狂笼罩进去,怒道："夜轻狂,你呀在这磨 叽了半天,是没事来逗本神卫玩哪?来人把他给俺拖下去剁了喂狗！" "噗通！" 夜轻狂被屠神卫气势所摄,顷刻间浑身冰冷,直接跪倒了地上,颤抖の大声说道："别,别杀俺,俺说,是白重炙,屠公子是白重炙杀の,神剑也是在白重炙哪,雾霭城外の黑袍人,也是白重炙…" 屠神卫细细听着夜轻狂 把夜剑の分析一一条来,面色变得更加森冷起来.最后听完他基本已经确定了这个消息の准确幸运.当日斩神卫虽然去の时候已经迟了,但是从尸体上の伤痕可以看出,这是战气所伤.但是当日破仙府和隐岛の圣级强者却都在外面和圣**战,这点是无可置疑の. 所以他一度怀疑是妖神府和蛮神 府の圣级强者模仿了战气,只是两府の魂奴带来の消息却又不确定.现在看来一切都明了了,最重要の是只有白重炙和屠千军有直接の仇恨,并且这手段也符合白重炙一向の行事手段.白重炙出道以来,对待敌人の手段,都是以杀戮果决出名の,第一次出手就废了夜轻狂杀了夜荣… "白重炙！没 想到你呀居然隐藏の这么深?实力进展の那么快?哼…不咋大的杂种你呀放心这次俺会让你呀死得很惨很惨の,也会让你呀们白家全部死绝为俺儿陪葬…" 屠神卫额头顶上青筋寸寸爆出,一张脸都扭曲了.白重炙の杀戮果决让他寒心,白重炙の成长速度让他恐怖,此刻他无比痛恨自己,为何当初 也犯了和屠千军一样の错误,没有直接让人把白重炙暗杀,而是借手于他人.他知道自己和白重炙の仇恨已经到了无可化解の地步了.白重炙有机会也一定会做了他,他决定不在放以往の错误了！ "大人,这不关…白家の事啊,一切都是白重炙那个杂种所为.嗯…大人,你呀说要派人帮俺移除魂 种…"夜轻狂一听见不对了,听这口气屠神卫似乎把白家也恨上了?连忙更加惶恐の拜了一拜,眼巴巴の望着屠神卫恳求道. "哼！蠢货,魂种一旦种下就不能解除,你呀不知道吗?除非神主寿元耗尽,否则这辈子你呀都是个魂奴！来人把这个蠢货丢进神狱,别弄死他了,以后说不定还有用！"屠神 卫鄙夷の看着地上の夜轻狂,直接一挥手掌,将他一掌击飞出去,沉吟片刻,直接朝外奔去. …… 一路急奔,屠神卫直接朝神主阁内冲去. 白重炙此刻实力,他就算连同其余三神卫启动合击技能,恐怕都没有把握稳赢他.还很可能被他四个全杀了.所有他只能请神主屠出手,毕竟综合所有情报,神 剑在白重炙身体上の几率已经高达百分之九十了,还有可能就是白重炙给了夜若水.如果能说动神主屠出手の话,白重炙和白家覆灭也
相似三角形的判定(直角三角形相似HL)
原创不容易，【关注】店铺，不迷路！每年中考的“相似度”都是必修的，一篇文章就可以轻松搞定！相似三角形在初中数学中占有很大比重，难度较大，一直被很多同学所讨厌！偏偏这个大老虎还是中考必修内容~~那么，“相似三角形”有哪些知识点呢？常见的解题技巧有哪些类型？对应角相等、对应边成比例的三角形称为相似三角形。
相似性用符号“”表示，读作“类似于”。
相似三角形对应边的比值称为相似比(或相似系数)。
一条平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，形成的三角形与原三角形相似。
1、三角形相似的判定方法定义方法：两个对应角相等、对应边成比例的三角形相似平行法：一条平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边延长线)相交，形成的三角形与原三角形相似判断定理1:如果一个三角形的两个角等于另一个三角形的两个角，那么这两个三角形相似，可以简单描述为两个角相等，两个三角形相似。
判断定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边相等且夹角相同，那么这两个三角形相似，可以简单描述为两条边成比例且夹角相等，两个三角形相似。
判断定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边成正比，那么这两个三角形相似，可以简单描述为三条边成正比，两个三角形相似2、直角三角形相似的判定方法以上判断方法均适用定理：如果一个直角三角形的斜边和一个直角边与另一个直角三角形的斜边和一个直角边成正比，那么这两个直角三角形是相似的垂直法：两个直角三角形除以斜边上的高度，与原三角形相似。
1、A型或仿A型相似2、8型或仿8型相似3、K型相似4、子母型相似用DE//AB，DG/AF=GE/BF。
如果AD等于BAC，AB/AC=BD/CD。
Ae=effg如果四边形ABCD是平行四边形。
如果DAC=DBC，ADE~BCE，AEB~DEC可以推导出来，即上下相似可以导致左右相似。
同理，左右相似可以导致上下相似。
1、三角形叉叉图这类题目往往考察线段比例或线段长度的计算。
直角三角形相似判定定理
直角三角形相似判定定理
一、定义法
如果两个直角三角形的三条边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
二、定理法
1.勾股定理：在直角三角形中，勾股定理表述了直角三角形的两条直角边的
平方和等于斜边的平方。
如果两个直角三角形的斜边相等，那么这两个直角三角形相似。
2.毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，毕达哥拉斯定理表述了直角三角形的
两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形相似。
三、斜边中线法
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
如果两个直角三角形的斜边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。
四、两锐角对应相等
如果两个直角三角形的两个锐角对应相等，那么这两个直角三角形相似。
五、夹边中线法
在直角三角形中，夹边上的中线等于夹边的一半。
如果两个直角三角形的夹边中线对应相等，那么这两个直角三角形相似。
六、两边对应成比例且夹角相等
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹角相等，那么这两个直角三角形相似。
七、两边对应成比例且夹边平行
如果两个直角三角形的两边对应成比例且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
八、两锐角对应相等且夹边平行
如果两个直角三角形的两锐角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
九、两角对应相等且夹边平行
如果两个直角三角形的两角对应相等且夹边平行，那么这两个直角三角形相似。
直角三角形相似
E
F
B
D
要证明AB•AF＝AC•AE，只要证明 ΔACF∽ΔＡＢＥ
证明
(1) C是 D 斜 A上 B边 的高 又 ∠CAE=∠EAB
AD A FC 9E 0 又 A A E D AA FC
ΔACF∽ΔABE
AE AC AF AD
AC AF AB AE
ΔAEC∽ΔAFD
AB•AF=AC•AE
直角三角形相似
初三数学组
序言
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AB
则△ABC≌ △A'B'C'
3）(SSS)
若
AB BCCA 1 A B BC C A
直角三角形相似的判定1
（1）画图；
A A’
（2）参照图形写出已知；
已知，在△ABC与△A’B’C’中，
∠C= ∠C’=RT ∠,
C
B C’ B’
（3）参照图形写出求证； 求证： △ABC∽△A’B’C’
（4）写出证明过程。
已知，在△ABC与△A’B’C’中， A
∠C= ∠C’=RT ∠,
A’
求证： △ABC∽△A’B’C’。
AB AC AB AB AC AB AC A' B ' A'C ' A' B ' A' B ' A'C ' A' B ' A'C '
AB 0 A'B'
BC B 'C '
AB 2 A' B '
AB A'B'
AB A'B'
AC A'C '
BC B 'C '
ADB ODC Rt
} △ABD ∽ △COD
∠BAD= ∠ OCD ∠AOE= ∠ COD
∠AEO= ∠ CDO=Rt ∠
CE⊥AB
练习：
1.找出例2图中的各对相似的直角三角形。 2 .如图， ∠DEB= ∠ACB=Rt ∠，DE=2，AB=5，
BC=3，BD=2.5,求证：AB平分∠DBC。
C B C’ B’
证明:C C ' RT
Hale Waihona Puke BC AB2 AC2 B'C ' A' B'2 A'C '2
直角三角形相似判定
例、已知：在Rt △ABC 和Rt △A ´B ´C ´中，∠C=∠C ´=90°，''''C A AC B A AB = 求证：Rt △ABC ∽Rt △A ´B ´C ´相似直角三角形的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.例2、如图，∠ABC=∠CDB =90°，BC=a ，AC=b .（1）当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系式时，△ABC ∽△CDB.（2）当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系式时，这两个三角形相似.例3、已知：在Rt △ABC 和Rt △A ´B ´C ´中，∠C=∠C ´=90°，CD 、C ´D ´分别是两个三角形斜边上的高，且''''CA AC D C CD =.求证：Rt △ABC ∽Rt △A ´B ´C ´例4、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD 是AB 边上的高，求证：（1）BD AD CD •=2（2）BD AB BC •=2，AD AB AC •=2（3）能否根据（2）证明勾股定理？练习：1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，若AD=1，BD=4，则CD=2、如图，在△ABC中，BD、CE是高，连接DE．求证：△ADE∽△ABC．3、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式．。
经典：相似三角形判定复习(一)
Rt△ABC∽Rt△A'B'C' A
B'
C
B
二、例题欣赏
例1．已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点， 连结C P ， (1)∠ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC? (2)AC∶AP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?
解：(1)∵∠A＝∠A ∴ 当∠ACP＝∠B时, △ACP∽△ABC.
M为斜边BC中点
又 ∵ ∠DMA=
∴AM=BM=BC/2
∠AME
∴ ∠B= ∠MAD 又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90°
∴△MAD∽ △MEA ② ∵ △MAD∽ △MEA
∠E+ ∠ADE= 90° ∠BDM= ∠ADE
AM ME ∴ MD =AM
即AM2=MD·ME
3. 如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，
AA'BB'BB'CC'CC'AA'△ABC∽△A'B'C'
思考： 对于两个直角三角形，我们还
可以用“HL”判定它们全等。那么， 满足斜边的比等于一组直角边的比 的两个直角三角形相似吗？
直角三角形相似的判定:
直角边和斜边的比相等，两直角 A' 三角形相似。
∠C=∠C' =90o
C'
AC = A B A'C' A ' B '
∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB.
A
2.△ABC中,∠ BAC是直角，过斜
D
B
E
边中点M而垂直于斜边BC的直线
交CA的延长线于E，交AB于D,连AM. D A
相似三角形判定定理 简单回顾
相似三角形判定定理1.平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似；（这是相似三角形判定的引理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线分线段成比例的证明）2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似方法四4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似5.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 直角三角形相似的判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 相似三角形的性质定理:(1)相似三角形的对应角相等. (2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比. (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方. 相似三角形的传递性如果△ABC ∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC ∽A2B2C21．（2010北京） 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD ∶AB =3∶4，AE =6，则AC 等于( )A ．3B ．4C ．6D ． 8 【答案】D2．（2010河南）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论：①BC=2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③AD ABAE AC.其中正确的有(A)3个 (B)2个(C)1个 （D ）0个 【答案】A 3．（2010年上海）如图2，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD =∠ABC ，若AC = 2，AD = 1，则DB = __________.BACD ABC AC/AB=AD/AC 【答案】DB=34．（2010陕西西安）如图，在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，连接CD ，要使ADC ∆与ABC ∆相似，应添加的条件是 。
三角形相似的判定方法
三角形相似的判定方法一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 特殊、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。
二 相似三角形常见的图形三、1，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、 “蝶型”）ACD E 12AADDEE12412DBCEAD(3)BCAE (2)CB（3） 如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。
证明三角形相似的方法
证明三角形相似的方法三角形是初中数学中的重要概念，而相似三角形更是其中的重要内容之一。
相似三角形在解决实际问题中有着重要的应用，因此我们需要掌握证明三角形相似的方法。
下面我们将介绍几种常用的方法来证明三角形的相似性。
1. AA 判定法。
AA 判定法是指如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
例如，如果三角形 ABC 中的角 A 等于三角形 DEF 中的角 D，角 B 等于角 E，那么我们可以得出三角形 ABC 相似于三角形 DEF。
这是因为两个角相等已经确定了两个三角形的形状，所以它们是相似的。
2. SSS 判定法。
SSS 判定法是指如果两个三角形的对应边的比值相等，则这两个三角形相似。
例如，如果三角形 ABC 中的边 AB 与三角形 DEF 中的边 DE 的比值等于边 AC 与边 DF 的比值，边 BC 与边 EF 的比值，那么我们可以得出三角形 ABC 相似于三角形DEF。
这是因为边的比值确定了两个三角形的大小和形状，所以它们是相似的。
3. SAS 判定法。
SAS 判定法是指如果两个三角形的一个角和两个相邻边分别相等，则这两个三角形相似。
例如，如果三角形 ABC 中的角 A 等于三角形 DEF 中的角 D，边 AB的长度等于边 DE 的长度，边 AC 的长度等于边 DF 的长度，那么我们可以得出三角形 ABC 相似于三角形 DEF。
这是因为一个角和两个相邻边的相等已经确定了两个三角形的形状，所以它们是相似的。
4. 直角三角形的判定法。
对于直角三角形，如果一个角相等，另外两个角也相等，则这两个直角三角形是相似的。
这是因为直角三角形中的直角已经确定了两个角，再加上一个角的相等，就可以确定两个直角三角形是相似的。
通过以上几种方法，我们可以证明三角形的相似性。
在实际问题中，我们可以根据已知条件来运用这些方法，从而解决各种与相似三角形有关的问题。
因此，掌握证明三角形相似的方法对于我们的数学学习和实际问题的解决都是非常重要的。
九年级下册数学 两个三角形相似的判定
在九年级下册数学中，我们学习了关于两个三角形相似的判定。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形，它们的对应角度相等，对应边长成比例。
这一概念对于我们理解图形的性质和解决实际问题都至关重要。
首先要判断两个三角形是否相似，我们可以运用如下几种方法：1. 直角三角形的判定：当一个三角形中有一个角为直角时，可以直接利用两个直角三角形的斜边比相等的条件来判定两个三角形是否相似。
2. 两角对应相等的判定：如果两个三角形中分别有两个角各相等，则这两个三角形一定相似。
这是利用相似三角形的特性之一，即对应角相等。
3. 边对应成等比例的判定：如果两个三角形的对应边长成等比例，则这两个三角形也是相似的。
这个方法是根据相似三角形的定义进行判定的。
以上三种方法是我们在九年级下册数学学习中经常使用的三角形相似的判定方法。
通过这些方法，我们可以在解决实际问题中运用相似三角形的性质，比如利用相似三角形进行测量距离、高度等问题的解决。
在我看来，相似三角形的判定方法不仅仅是学习数学知识，更是培养我们逻辑思维和解决问题的能力。
通过对相似三角形的学习，我们可以锻炼自己的观察力和分析能力，培养自己对于形状和结构的认知。
九年级下册数学中关于两个三角形相似的判定是一个非常重要且有价值的内容。
通过深入学习和理解这一内容，我们可以提升自己的数学水平，同时也培养自己的思维能力和解决问题的能力。
希望通过本文的阐述，你能更深入地理解并应用这一知识点。
：九年级下册数学中关于相似三角形的判定，不仅在数学知识上具有重要意义，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
通过学习相似三角形的判定方法，我们可以更好地理解图形的形状和特性，从而更准确地解决实际问题。
除了学习相似三角形的判定方法，我们还需要掌握利用相似三角形解决实际问题的技巧。
在实际测量中，如果无法直接测量某个物体的高度或距离，可以利用相似三角形的性质进行间接测量。
通过测量已知物体的高度和距离，以及与被测物体的对应角度，可以利用相似三角形的比例关系计算出被测物体的高度和距离。
相似三角形的六大证明技巧大全
相似三角形的六大证明技巧大全1.AA判定法AA判定法指的是若两个三角形的两个对应角度相等，则这两个三角形相似。
该方法一般用于解决两个三角形已经有一个角度相等的情况。
证明过程中，首先要证明两个对应角度相等，然后在利用角度相等证明其余对应边的比例关系。
2.SAS判定法SAS判定法指的是若两个三角形的一个角度相等，而另两边的比例相等，则这两个三角形相似。
该方法一般用于解决两个三角形已经知道两个对应边的比例相等的情况。
证明过程中，首先要证明一个角度相等，然后根据比例关系证明其余边的比例关系。
3.SSS判定法SSS判定法指的是若两个三角形的三边长度比例相等，则这两个三角形相似。
该方法一般用于解决两个三角形已经知道三边长度比例相等的情况。
证明过程中，需要证明各个对应边的比例相等。
4.直角三角形的相似证明直角三角形的相似证明可以利用勾股定理、正弦定理、余弦定理等三角函数关系进行证明。
当两个直角三角形的一个角度相等，而另两个边的比例相等时，可以通过三角函数关系证明两个三角形的相似性。
5.角平分线相似证明角平分线相似证明利用了角平分线的性质，也可以通过角度相等和角平分线的长度比例相等来证明两个三角形的相似性。
此外，利用角平分线的性质可以导出很多关于比例的等式或者比例关系，进而推导出相似三角形。
6.边平分线相似证明边平分线相似证明利用了边平分线的性质，要证明两个三角形相似，可以利用角平分线切分三角形，并利用与之相关的角度相等和边长比例相等进行推导，最终得到两个三角形相似的结论。
以上六大相似三角形的证明技巧是解决各种几何问题的基础。
在实际应用中，可以根据题目给出的条件选择合适的证明方法，灵活运用这些技巧，帮助我们解决各种与相似三角形相关的问题。
总结起来，相似三角形的证明技巧主要包括AA判定法、SAS判定法、SSS判定法、直角三角形的相似证明、角平分线相似证明和边平分线相似证明。
通过熟练掌握这些技巧，我们可以更好地解决各种相似三角形的证明问题。
相似三角形的判定和性质
相似三角形的判定和性质1.相似三角形定义：就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。
2.判定：（1）平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似（2）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似直角三角形相似判定定理（1）斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
直角三角形相似判定定理（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
3.性质：(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.（6）相似三角形的传递性。
典型例题例1、如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有例2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE 是直角三角形时，t的值为例3、如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是例4、如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=例5、如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG ⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为例6、如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=例7、如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为例8、如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD 的面积为例9、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为例10、如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于练习1．如图1，△OED∽△OCB，且OE=6，EC=21，则△OCB与△OED的相似比是（）A．37B．52C．85D．352．如图2，点E，F分别在矩形ABCD的边DC，BC上，∠AEF=90°，∠AFB=2∠DAE=72°，则图中甲、乙、丙三个三角形中相似的是（）A．只有甲与乙B．只有乙与丙C．只有甲与丙D．甲与乙与丙3．如图3，D是AB的中点，E是AC的中点，则△ADE与四边形BCED的面积比是（）A．1 B．12C．13D．144．在相同水压下，口径为4cm的水管的出水量是口径为1cm的水管出水量的（）A．4倍B．8倍C．12倍D．16倍5．对于下列说法：（1）相似且有一边为公共边的两个三角形全等；（2）相似且面积相等的两个三角形全等；（3）相似且周长相等的两个三角形全等．其中说法正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．我国国土面积约为960万平方千米，画在比例尺为1∶1 000万的地图上的面积约是（）A．960平方千米 B．960平方米 C．960平方分米 D．960平方厘米7、如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k (k≠1)，则k的值是（）A．∠A：∠A′B．A′B′：AB C．∠B：∠B′D．BC：B′C′8、若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（）A．30°B．50° C．40°D．70°9、三角形三边之比3：5：7，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之和是（）A．15cm B．18cm C．21cm D．24cm10如图AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（）A．1对B．2对 C．3对D．4对11△ABC∽△A1B1C1，相似比为2：3，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为5：4，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（）A．B． C．D．12、在比例尺1：10000的地图上，相距2cm的两地的实际距离是（）A．200cm B．200dm C．200m D．200km13、已知线段a=10，线段b是线段a上黄金分割的较长部分，则线段b的长是（）A．B． C．D．14、若则下列各式中不正确的是（）A．B． C．D．15、已知△ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且AE=1.2，EC=0.8，AD=1.5，DB=1，则下列式子正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．16、如图：在△ABC 中，DE ∥AC ，则DE ：AC=（ ）A ．8：3B ．3：8C ．8：5D ．5：817．已知ABC A B C '''△∽△，且4AB =，6A B ''=，8B C ''=则BC= ．18．两个相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别是40°和30°，则另一个三角形的最大内角的度数是 ．19．如图4，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a ，BC=b ，当BD 与a 、b 满足关系 时，△ABC ∽△CDB ．20．如图5，P 是等腰梯形ABCD 上底AD 上一点，若∠A=∠BPC ，则和△ABP 相似的三角形有 个．21．相似三角形对应 、 、 的比都等于相似比．22．相似多边形的周长比等于 ，面积比等于 ．23．把一个三角形三边同时扩大4倍，则周长扩大了 倍，面积扩大了 倍．24．两个相似三角形对应中线的比为23，则面积比是 ． 25．如图6，已知△ABC ∽△DEF ，AB=6，BF=2，CE=8，CA=10，DE=15．求线段DF ，FC 的长．26．要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别是4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？想想看，你有几种解决方案？27．如图7，已知△ABC ∽△DEF ，AM 、DN 是中线，试判断△ABM 与△DEN 是否相似？为什么？28．如图8，AD 是△ABC 角平分线，试判断BD AB DC AC=是否成立？3.3相似三角形的性质和判定试题练习答案例1∴∠BAC=∠DAC=45°．∵在△APE和△AME中，，∴△APE≌△AME，故①正确；∴PE=EM=PM，同理，FP=FN=NP．∵正方形ABCD中AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE∴四边形PEOF是矩形．∴PF=OE，∴PE+PF=OA，又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，∴PM+PN=AC，故②正确；∵四边形PEOF是矩形，∴PE=OF，在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，故③正确．∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误；∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．∴PM=PN，又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，∴AP=BP，即P时AB的中点．故⑤正确．例2∴AB=2BC=4（cm），∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），若∠DBE=90°，当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=BD=（cm），∴t=3.5，当B→A时，t=4+0.5=4.5．若∠EDB=90°时，当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BED=30°，∴BE=2BD=2（cm），∴t=4﹣2=2，当B→A时，t=4+2=6（舍去）．综上可得：t的值为2或3.5或4.5．例3∴△ADE∽△ABC，则=，∵DE=1，AD=2，DB=3，∴AB=AD+DB=5，∴BC==52．例4∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．例5解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．例6解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE：BE=4：3，∴BE：AB=3：7，∴BE：CD=3：7．∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7，∴DF=．故答案为：．例7∵DE为△ABC的中位线，∴AE=CE．在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴S△ADE=S△CFE．∵DE为△ABC的中位线，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，∴S△ADE：S△ABC=1：4，∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC，∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，∴S△CEF：S四边形BCED=1：3．例8解答：解：∵∠DAC=∠B ，∠C=∠C ，∴△ACD ∽△BCA ，∵AB=4，AD=2，∴△ACD 的面积：△ABC 的面积为1：4，∴△ACD 的面积：△ABD 的面积=1：3，∵△ABD 的面积为a ，∴△ACD 的面积为a ，例9解：如图，设正方形S 2的边长为x ，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x ，x=CD ， ∴AC=2CD ，CD==2，∴EC 2=22+22，即EC=；∴S 2的面积为EC 2==8；∵S 1的边长为3，S 1的面积为3×3=9，∴S 1+S 2=8+9=17． 例10解：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，又∵∠CBD=∠A ，∴△ABC ∽△BDC ，同理可得：△ABC ∽△BDC ∽△CDE ∽△DFE ，∴=，=，=，解得：CD=，DE=，EF=．一、1~6．BDCDC D二、7．163 8．110 9．2b BD a= 10．2 11．高、中线、角平分线 12．相似比，相似比的平方 13．4，16 14．49 三、15．25DF =，2FC =．16．可选料有三种方案，三角形框架边长分别是①2，2.5，3；②1.6，2，2.4；③43，53，2． 17．相似；可用三边对应成比例或两边对应成比例且夹角相等说明．18．过点B 作BE AC ∥交AD 延长线于点E ，则可得BDE CDA △∽△， 从而BD BE DC AC =，然后再由E DAC BAD ==∠∠∠，得BE AB =，故BD AB DC AC=成立．。
两个直角三角形相似的判定
一直角三角形的三边分别为3，4， 5，另一直角三角形的两边分别为6， 8，则这两个直角三角形相似。
（ ×）
例1、 已知：如图，∠ABC=∠CDB=90° ，AC=a，BC=b，当BD与a，b之间满足怎 样的关系式时，△ABC∽△CDB？
∠B= ∠两角对应相等，两三角形相似。 B' 定理3： ∠A= ∠A' ∠B= ∠B' △ABC∽△A'B'C'
B
C
一、知识回顾
2．判定两个直角三角形全等的方法
有哪些？
▲判定直角三角形全等除“SAS”，“ASA”， “ AAS”“SSS”方法外，还有“HL”的方法，即有斜 边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等． 思考：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形是否相似呢？
随堂练习 2．已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′=90°，CD，C′D′分 别是两个三角形斜边上的高，且 CD∶C′D′=AC∶A′C′
请说明：△ABC∽△A′B′C′．
3.如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高，E是 BC上的一点，AE交CD于点F，AE•AD＝AF•AC， 求证：(1) AE是∠CAB的平分线； (2) AB•AF＝AC•AE。
直角三角形相似的判定
A
A′
c b
B
a
∟
C
B′
C′
一、知识回顾
1、相似三角形的判定定理： 定理1：三边对应成比例，两三角形相似。
AB BC CA △ABC∽△A'B'C' B' A' B' B' C' C' A'
三角形相似的判定方法6种
三角形相似的判定方法6种三角形相似是几何学中的一个重要概念，它描述了两个三角形形状相同，大小可能不同的关系。
判断两个三角形是否相似，主要依靠六种判定方法，它们分别是：AA相似、SSS相似、SAS相似、ASA相似、AAS相似以及HL相似（仅限于直角三角形）。
本文将详细阐述这六种判定方法，并辅以例题和图形说明，力求全面、深入地讲解三角形相似的判定。
一、 AA相似（角角相似）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是最常用的相似判定方法，其简洁性使其在解题中应用广泛。
原理：两个角对应相等，则第三个角也必然相等（因为三角形内角和为180°）。
三个角对应相等，保证了两个三角形的形状完全一致，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果∠A = ∠A’ 且∠B = ∠B’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题1：已知△ABC中，∠A = 60°，∠B = 80°；△DEF中，∠D = 60°，∠E = 80°。
判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
解答：因为∠A = ∠D = 60°，∠B = ∠E = 80°，根据AA相似判定定理，△ABC ∽△DEF。
二、 SSS相似（边边边相似）如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形相似。
这是基于比例关系的相似判定方法。
原理：对应边成比例意味着两个三角形形状相同，只是大小不同。
比例关系保证了三角形的形状不变，从而判定它们相似。
图形说明：A A'/ \ / \/ \ / \/ \ / \B-------C B'-------C'如果AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’，则△ABC ∽△A’B’C’。
例题2：已知△ABC的三边长分别为6cm、8cm、10cm；△DEF的三边长分别为3cm、4cm、5cm。
两个直角三角形相似的判定定理
两个直角三角形相似的判定定理
两个直角三角形相似的判定定理是高中数学中的一个重要定理，主要用于解决与直角三角形相似性有关的问题。
本文将介绍两个直角三角形相似的判定定理及其证明，以及相似性在几何学中的应用。
1. 判定定理一：若一个直角三角形的两条直角边分别等于另一个直角三角形的两条直角边或者分别等于另一个直角三角形的一条非直角边和一条斜边，则这两个直角三角形是相似的。
对于判定定理一，我们需要使用勾股定理进行证明。
假设ΔABC和ΔDEF是两个直角三角形，并且AB=DE，AC=DF，BC=EF。
根据勾股定理可知：
AB²=AC²-BC² ，DE²=DF²-EF²
代入等式可得：
将等式左右两边同时加上BC²和EF²，可得：
因此，两个直角三角形ΔABC和ΔDEF是相似的。
a/sinB=b/sinA，c/sinE=d/sinF
BC=EF
a/b = c/d
两个直角三角形相似的判定定理在几何学中的应用十分广泛。
例如，在三角形相似问题中，我们可以使用判定定理一得出两个直角三角形之间的相似性，从而进一步解决整个问题。
此外，这个定理还可以应用于计算机视觉、机器人学、虚拟现实等领域。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法有：
平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似、
假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似、
假如两个三角形的两组对应边的比相等，同时相应的夹角相等，那么这两个三角形相似、
假如两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似、
直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似、
直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，同时分成的两个直角三角形也相似、。
3.3 (第六课时)相似三角形的判定(直角三角形)
解答
1，当AC与BC，BC与BD对应时：RtΔABC∽RtΔCDB （过程略） 2，如图： ABC CDB 90
当 AC BC
2
( BD
b
2
)
a
AB BD
时，
ΔABC∽ΔBDC，
A
a b
B
C
即当
a b
a b BD
2
时，
ΔABC∽ΔBDC，
BD
b a b
（ ×）
练习
1. 已知在Rt△ABC与Rt△ A B C 中，∠C =∠C′= 90°， AC=3cm，BC=2cm， C = 4.2cm，B C = 2.8cm. A 求证：△ A B C ∽△ABC.
∵ 证明： A C = 5 , B C = 5 . A C 7 B C 7 C = C = 9 0 ,
还可以根据相似三角形 的判定定理3，来证明这两 个直角三角形相似.
图3-22
说一说
把例1中的 改成任意一个正数k，Rt△ A B C 与 Rt△ABC相似吗？由此你能得出什么结论？
如图3-22在 Rt△ABC 与 Rt△ A B C 中， ∠C =∠C ′= 90°，且 A B A C k AB AC 求证：△ A B C ∽△ABC.
本节内容 本课内容 3.3
相似三角形的性质和判定
相似三角形判定方法
1、(定义法)三个角对应相等,且三条边对应成比例的 两个三角形叫作相似三角形. 2、（判定定理1）三边对应成比例的两个三角形相似。 3、（判定定理2）两角对应相等的两个三角形相似。 4、（判定定理3）两边对应成比例且夹角相等的两 个三角形相似
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判定两个直角三角形相似有几种方法？ 2、判定两个直角三角形相似有几种方法？
一个锐角对应相等或两直角边对应成比例。 答：一个锐角对应相等或两直角边对应成比例。
课堂练习 填空：（填相似或不相似） 1、一个三角形有两个角分别是60°和35°， 另一个三角形的两个角分别是60°和85°， 那么这两个三角形 相似 。 2、一个三角形的三边分别是3、4、5，另 一个三角形的三边分别是6、8、10，那么 这两个三角形 相似 。
练习一 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知 ∠C=∠C′=90°。依据下列各组条件判定 这两个三角形是不是相似，并说明为什么。 1、∠A=25°，∠B′=65°。 2、AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8。 3、AB=10，AC=8，A′B′=15， B′C′=9。
1、∠A=25°，∠B′=65°。
a
C A
b
分析：要使R t⊿ABC∽ R t⊿CDB 而题中已经知道R t⊿ABC的 斜边和一直角边及R t⊿CDB 的斜边，利用今天讲的这个 定理可知只须加上条件 = 即可。
B
D
C B D
三、小结
1、如何判定两个直角三角形相似呢？ 答：一个锐角对应相等或两边对应
成比例的两个直角三角形相似。
2、直角三角形相似的判定定理的简单应
直角三角形相似的判定
A
A′
c a b
∟
B
C
B′
C′
一、复习提问
1、到目前为止我们总共学过几种判定两 个三
答：
角形相似的方法？
两角对应相等的两个三角形相似。 （1）两角对应相等的两个三角形相似。 （2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边对应成比例的两个三角形相似。 （3）三边对应成比例的两个三角形相似。
4、在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∠C=90°，AB=10，AC=8，BC= 6 ； ∠D=90°，EF=5，DE=4，DF= 3 ； 这两个直角三角形 相似 。 问题：1、这两个直角三角形的已 知边（共四条）有什么关系？ 2、你是如何证明这两个直角三角 形相似的？
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二、学习内容
直角三角形相似判定定理；
如果一个直角三角形的斜边和 一条直角边与另一个直角三角 形的斜边和一条直角边对应成 比例， 比例，那么这两个直角三角形 相似。 相似。
A
已知：如图所示，Rt⊿ABC与Rt⊿A′B′C′中 已知：如图所示，Rt⊿ABC与Rt⊿A′B′C′中， B C=∠C′=90° ∠C=∠C′=90°， = 求证： 求证： Rt⊿ABC∽Rt⊿A′B′C′
用。 3、初步了解转移比例的证法。 初步了解转移比例的证法。
作业：练习册135－136页 作业：练习册135－136页 135 1 、 2 、 3 、 4 题。
∴ ∴
AB;
且∠C′=90°=∠C
Rt△ABC∽Rt△ ∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 3、AB=10，AC=8，A′B′=15， B′C′=9。
例1、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。 已知：在Rt∆ABC中，CD是斜边AB上的高。 求证： ∆ACD ∽ ∆ABC ∽ ∆CBD 。 证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900， ∴ ∆ACD∽∆ABC（两角对应相等，两 三角形相似）。 同理 ∆CBD ∽ ∆ABC 。 C ∴ ∆ABC∽∆CBD∽∆ACD。 A D B
求证（2）AC2=AD · AB
CD2=AD · DB
例4、已知，如图，AB是半圆O的直径， CD⊥AB于D,AD=4,DB=9 求CB的长。
C
A
D
O
B
例6、如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆 O上，过O点作的BC的平行线交AC于点E， 交过点A的直线于点D，且 ∠ D = ∠ BAC. （1）求证：AD是半圆O的切线； CE （2）若 BC = 2 ， = 2 ，求AD的长.
D C E
B
O
A
练习二
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知 Rt△ABC和Rt△A′B′C′中 C=∠C′=90° 要使Rt Rt△ Rt△A′B′C′， ∠C=∠C′=90°。要使Rt△ABC∽ Rt△A′B′C′，应 加什么条件？ 加什么条件？
55° 55° B′=________。 1、∠A=35° ，∠B′=________。 A=35° 12 2、AC=5，BC=4，A′C′=15，B′C′=___。 AC=5，BC=4，A′C′=15，B′C′=___。 3 3、AB=5，AC=___，A′B′=10， A′C′=6。 AB=5，AC=___，A′B′=10， A′C′=6。
①解：∵∠A=25°, ∠C=90°。 ∴ ∠B=65 °。 于是∠B′=65°=∠B ， ∠C′= 90°=∠C。 ∴△ABC∽△A′B′C′。
②解：∵AC=3，BC=4， A′C′=6，B′C′=8。 ∴ ∴
AC = A'C ' AC = A'C ' 3 1 BC 4 1 = , = = . 6 2 B 'C ' 8 2 BC . B 'C '
且∠C=∠C′=90°
AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8。
∴ △ABC∽△A′B′C′
③解：∵AB=10，AC=8，∠C=90°。
AB 2 − AC 2 = 10 2 − 8 2 = 6 ∴BC= = 10 = 2 , BC = 6 = 2 AB A ' B ' 15 3 B 'C ' 9 3
C A′
B′ C′
A
证明∵
∴ ∴
= =
=
B
=
C A′
∴ = 由勾股定理，得 ∵ 和 都是正数。 ∴ 即 = = B′ C=∠C′=90° 又∠C=∠C′=90° ∴ Rt⊿ABC∽Rt⊿A′B′C′
C′
直角三角形相似的判定 定理： 定理：
一直角边和斜边对应成 比例的两个直角三角形 相似。 相似。
3、一个三角形的两边分别是3和7， 它们的夹角是35°，另一个三角形 的一个角是35°，夹这个角的两边 分别是14和6，那么这两个三角 形 相似 。 4、在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∠C=90°，AB=10，AC=8，BC= 6 ； ∠D=90°，EF=5，DE=4，DF= 3 ； 这两个三角形相似。
4、AB=10，BC=6， A′B′=5， A′C′=______. AB=10，BC=6， A′B′=5， 4 5、AC：AB=1：3， A′C′=a, A′B′=_____ AC：AB=1： 3a
如图所示，已知∠ABC=∠CDB=90° AC=a，BC=b， 例：如图所示，已知∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b， BD与a,b之间满足怎样的关系式时 之间满足怎样的关系式时， ⊿CDB？ 当BD与a,b之间满足怎样的关系式时，⊿ABC∽ ⊿CDB？