2018年湖南省各地市中考二次函数压轴题精编(含解析)
2018年中考全国部分省市全省统一命题数学试卷《二次函数》压轴题精编(解析版)
两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C ． （ 1）求点 A ， B ， C 的坐标； （ 2）点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 2 个单位长度的速度向 B 点运动，同时，点
Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，当其中一个点 到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为 t 秒，求运动时间 t 为多少秒时，
C1 ，直线 O3C1 分别与直线 AC ， x 轴交于点 M ， N ．那么，在 △ O2 B2C 的整个旋转过
程中，是否存在恰当的位置，使 AMN 是以 MN 为腰的等腰三角形？若存在，请直接 写出所有符合条件的线段 O2 M 的长；若不存在，请说明理由．
7．（2018?吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 2ax 3a(a 0) 与 x 轴相
PBQ 的面积 S 最大，并求出其最大面积； （ 3）在（2）的条件下，当 PBQ 面积最大时，在 BC 下方的抛物线上是否存在点 M ，使
BMC 的面积是 PBQ 面积的 1.6 倍？若存在，求点 M 的坐标；若不存在，请说明理 由．
15．（2018?安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各 50 盆．售后统 计，盆景的平均每盆利润是 160 元，花卉的平均每盆利润是 19 元．调研发现：
（ 3）若运动员甲、乙同时从 A 处飞出，速度分别是 5 米 / 秒、 v乙 米 / 秒．当甲距 x 轴 1.8 米，且乙位于甲右侧超过 4.5 米的位置时，直接写出 t 的值及 v乙 的范围．
3．（2018?河南）如图，抛物线 y ax2 6x c 交 x 轴于 A ， B 两点，交 y 轴于点 C ．直线
2．（2018?河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台 AB 距 x 轴（水平） 18 米，与 y 轴 交于点 B ，与滑道 y k ( x…1) 交于点 A ，且 AB 1 米．运动员（看成点）在 BA 方向获
2018年中考数学二次函数压轴题汇编
2018年中考数学二次函数压轴题汇编1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P 在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．6．已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．7．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．9．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．10．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x的取值范围．11．定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P 在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标．（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P （1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ =S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．12．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC =S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．15．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB 的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．16．如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．（1）点B，C的坐标分别为B（），C（）；（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值= ．17．已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．18．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．19．如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y）总有n+≥﹣4my2﹣12y﹣50成立，求实数n的最小值．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A （0，）（1）若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E，F．①填空：b= （用含a的代数式表示）；②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；（2）若a=，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b 的值．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD 于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 在y 轴上，且∠BDO=∠BAC ，求点D 的坐标；（3）点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知函数y=mx 2﹣（2m ﹣5）x+m ﹣2的图象与x 轴有两个公共点．（1）求m 的取值范围，并写出当m 取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为C 1．①当n ≤x ≤﹣1时，y 的取值范围是1≤y ≤﹣3n ，求n 的值；②函数C 2：y=m （x ﹣h ）2+k 的图象由函数C 1的图象平移得到，其顶点P 落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C 1的图象顶点为M ，求点P与点M 距离最大时函数C 2的解析式．25．如图，抛物线y=x 2+x+c 与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连结AB ，点C （6，）在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D ．（1）求c 的值及直线AC 的函数表达式；（2）点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连结PQ 与直线AC 交于点M ，连结MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点．①求证：△APM ∽△AON ；②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长（用含m 的代数式表示）．26．如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．27．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF 的值．28．平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．（1）若一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点．1①当a=1、d=﹣1时，求k的值；随x的增大而减小，求d的取值范围；②若y1（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．29．如图，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求直线BC的函数表达式；（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD 的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B 两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．31．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．32．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．33．抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．34．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．35．如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B （﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l 将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P 为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．36．如图，某日的钱塘江观潮信息如图：按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC 可用二次函数s=t2+bt+c（b，c是常数）刻画．（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v0+（t﹣30），v是加速前的速度）．37．如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E 作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．39．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．40．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a= ．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b= ，c= ；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x ≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x ﹣1，它的相关函数为y=．（1）已知点A （﹣5，8）在一次函数y=ax ﹣3的相关函数的图象上，求a 的值；（2）已知二次函数y=﹣x 2+4x ﹣．①当点B （m ，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m 的值；②当﹣3≤x ≤3时，求函数y=﹣x 2+4x ﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M ，N 的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN ．直接写出线段MN 与二次函数y=﹣x 2+4x+n 的相关函数的图象有两个公共点时n 的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C （m ，0）是线段A B 上一点（与 A ，B 点不重合），抛物线L 1：y=ax 2+b 1x+c 1（a ＜0）经过点A ，C ，顶点为D ，抛物线L 2：y=ax 2+b 2x+c 2（a ＜0）经过点C ，B ，顶点为E ，AD ，BE 的延长线相交于点F ．（1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L 1，L 2的解析式；（2）若a=﹣1，AF ⊥BF ，求m 的值；（3）是否存在这样的实数a （a ＜0），无论m 取何值，直线AF 与BF 都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a 的两个不同的值；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l 与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P 的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．6．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD 交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．1（1）求点D的坐标和抛物线M的表达式；1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件（2）点P是抛物线M1的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M的图象向下平移m（m＞0）1．个单位得到抛物线M2①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M与直线AE有两个交点，求m的取值2范围．7．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B （6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P 的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？8．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD ∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．12．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x 轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．13．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．14．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y 轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；=8S （3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说△QAB明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M 运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A ，D 两点．设抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴与x 轴相交于E ．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F ，使得△ADF 与△BOC 相似，并且S △ADF =S △ADE ，求此时抛物线的表达式．17．已知二次函数y=﹣x 2+bx+c+1，①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；②若c=﹣b 2﹣2b ，问：b 为何值时，二次函数的图象与x 轴相切？③若二次函数的图象与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，b ＞0，与y 轴的正半轴交于点M ，以AB 为直径的半圆恰好过点M ，二次函数的对称轴l 与x 轴、直线BM 、直线AM 分别交于点D 、E 、F ，且满足=，求二次函数的表达式．18．如图1，点A 坐标为（2，0），以OA 为边在第一象限内作等边△OAB ，点C 为x 轴上一动点，且在点A 右侧，连接BC ，以BC 为边在第一象限内作等边△BCD ，连接AD 交BC 于E ．。
2018年湖南省各市中考数学试题汇编及参考答案(word解析版14份)
2018年湖南省各市中考数学试题汇编（含参考答案与试题解析）目录1.湖南省长沙市中考数学试题及参考答案与试题解析 (2)2.湖南省衡阳市中考数学试题及参考答案与试题解析 (23)3.湖南省娄底市中考数学试题及参考答案与试题解析 (44)4.湖南省湘潭市中考数学试题及参考答案与试题解析 (66)5.湖南省怀化市中考数学试题及参考答案与试题解析 (86)6.湖南省邵阳市中考数学试题及参考答案与试题解析 (102)7.湖南省岳阳市中考数学试题及参考答案与试题解析 (123)8.湖南省株洲市中考数学试题及参考答案与试题解析 (144)9.湖南省常德市中考数学试题及参考答案与试题解析 (165)10.湖南省张家界市中考数学试题及参考答案与试题解析 (186)11.湖南省郴州市中考数学试题及参考答案与试题解析 (203)12.湖南省永州市中考数学试题及参考答案与试题解析 (224)13.湖南省益阳市中考数学试题及参考答案与试题解析 (245)14.湖南省湘西州中考数学试题及参考答案与试题解析 (267)2018年湖南省长沙市中考数学试题及参考答案与解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．﹣2的相反数是（）A．﹣2 B．12-C．2 D．122．据统计，2017年长沙市地区生产总值约为10200亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学记数法表示为（）A．0.102×105 B．10.2×103C．1.02×104D．1.02×1033．下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5B．1=C．（x2）3=x5D．m5÷m3=m24．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm 5．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．不等式组20240xx+⎧⎨-⎩＞≤的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（）A． B．C．D．8．下列说法正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件91+的值是（）A．在2和3之间B．在3和4之间C．在4和5之间D．在5和6之间10．小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是（）A．小明吃早餐用了25min B．小明读报用了30minC．食堂到图书馆的距离为0.8km D．小明从图书馆回家的速度为0.8km/min11．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米12．若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无穷多个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）13．化简：111mm m-=--．14．某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为度．15．在平面直角坐标系中，将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是．16．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是 ．17．已知关于x 方程x 2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为 ．18．如图，点A ，B ，D 在⊙O 上，∠A=20°，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OD 的延长线交BC 于点C ，则∠OCB= 度．三、解答题（本大题共8个小题，共66分)19．（6.分）计算：()()20180134sin 45π--+︒．20．（6分）先化简，再求值：（a+b ）2+b （a ﹣b ）﹣4ab ，其中a=2，12b =-． 21．（8分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了 名居民；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？22．（8分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A 、B 两地间的公路进行改建．如图，A 、B 两地之间有一座山．汽车原来从A 地到B 地需途径C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB 行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A 地到B 地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A 地到B 地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈141）23．（9分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？24．（9分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数myx（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．（1）求∠OCD的度数；（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；（3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．26．（10分）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x 轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；==“十字形”ABCD的周长为参考答案与解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．﹣2的相反数是（）A．﹣2 B．12-C．2 D．12【知识考点】相反数．【思路分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答过程】解：﹣2的相反数是2，故选：C．【总结归纳】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．据统计，2017年长沙市地区生产总值约为10200亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学记数法表示为（）A．0.102×105 B．10.2×103C．1.02×104D．1.02×103【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答过程】解：10200=1.02×104，故选：C．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5B．1=C．（x2）3=x5D．m5÷m3=m2【知识考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；二次根式的加减法．【思路分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答过程】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误；B、=C、（x2）3=x6，故此选项错误；D、m5÷m3=m2，正确．故选：D．【总结归纳】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm【知识考点】三角形三边关系．【思路分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论．【解答过程】解：A、∵5+4=9，9=9，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；B、8+8=16，16＞15，∴该三边能组成三角形，故此选项正确；C、5+5=10，10=10，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；D、6+7=13，13＜14，∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；故选：B．【总结归纳】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交与第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可．5．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【知识考点】轴对称图形；中心对称图形．【思路分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答过程】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；故选：A ．【总结归纳】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．不等式组20240x x +⎧⎨-⎩＞≤的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【知识考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【思路分析】先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答过程】解：解不等式x+2＞0，得：x ＞﹣2，解不等式2x ﹣4≤0，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：故选：C ．【总结归纳】本题主要考查解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．7．将下列如图的平面图形绕轴l 旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【知识考点】点、线、面、体．【思路分析】根据面动成体以及圆台的特点进行逐一分析，能求出结果．【解答过程】解：绕直线l 旋转一周，可以得到圆台，故选：D ．。
湖南省邵阳市2018年中考数学提分训练二次函数含解析
2018年中考数学提分训练: 二次函数一、选择题1.如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（1，－1），C（2，2），抛物线（a≠0）经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是（）A. a≤－1或a≥2B. －1≤a＜0或0＜a≤2 C. －1≤a＜0或1＜a≤D. ≤a≤22.下列命题：①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b2-4ac＞0，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．其中正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③3.在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A. a≤﹣1或≤a＜B. ≤a＜C. a≤ 或a＞D. a≤﹣1或a≥4.已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（）A. 1 B . 9 C.16 D.245.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c=0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确的个数有（）A. 2B. 3C. 4D. 56.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A. B.C.D.7.将抛物线y=﹣2x2﹣1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能够成等边三角形，那么平移的距离为（）A. 1个单位B. 个单位 C. 个单位 D. 个单位8.设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A.若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0B.若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C.若m＜1，则（m +1）a+b＞0D.若m＜1，则（m +1）a+b＜09.二次函数图象如图3所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是（）．A.x＜－1B.－1＜x＜3C.x＞3D.x＜－1或x＞310.对于二次函数y=x2+mx+1，当0＜x≤2时的函数值总是非负数，则实数m的取值范围为（）A. m≥﹣2B. ﹣4≤m≤﹣2 C. m≥﹣4 D. m≤﹣4或m≥﹣2二、填空题11.抛物线的顶点坐标为________．12.如果函数（为常数）是二次函数，那么取值范围是 ________．13.二次函数y=x2＋2x－3的最小值为________14.抛物线向下平移个单位后所得的新抛物线的表达式是________．15.已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是________．16.若函数f（x）=ax2+bx+c的图象通过点（﹣1，1）、（α，0）与（β，0），则用α、β表示f（1）得f（1）=________17.如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是________．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．三、解答题19.已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．20.已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且该抛物线经过点A（3，3），求该抛物线解析式．21.将抛物线向左平移4个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标和对称轴．22.某公司准备投资开发A、B两种新产品，通过市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）之间满足正比例函数关系：y A=kx；如果单独投资B种产品，则所获利润y B（万元）与投资金额x（万元）之间满足二次函数关系：y B=ax2+bx．根据公司信息部的报告，y A、y B（万元）与投资金额x（万元）的部分对应值（如下表）（1）求正比例函数和二次函数的解析式；（2）如果公司准备投资20万元同时开发A、B两种新产品，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少万元？23.已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积.24.如图，已知抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C.（1）求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；（2）点M为坐标平面内一点，若MA=MB=MC，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE=11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由.25.如图，已知二次函数的图象抛物线与轴相交于不同的两点，,且,（1）若抛物线的对称轴为求的值；（2）若，求的取值范围；（3）若该抛物线与轴相交于点D，连接BD，且∠OBD＝60°，抛物线的对称轴与轴相交点E，点F是直线上的一点，点F的纵坐标为，连接AF，满足∠ADB＝∠AFE，求该二次函数的解析式.。
2018年湖南中考数学复习资料 11 二次函数
十一：二次函数聚焦考点☆温习理解 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
2018年中考全国部分省市全省统一命题数学试卷《二次函数》压轴题精编(解析版)
2018年中考全国部分省市全省统一命题数学试卷《二次函数》压轴题精编（解析版）二次函数综合题：（共17小题）1．（2018•上海）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线212y x bx c =-++经过点(1,0)A -和点5(0,)2B ，顶点为C ，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点D按顺时针方向旋转90︒，点C 落在抛物线上的点P 处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．2．（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴（水平）18米，与y 轴交于点B ，与滑道(1)ky x x=…交于点A ，且1AB =米．运动员（看成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M ，A 的竖直距离h （米)与飞出时间t （秒)的平方成正比，且1t =时5h =，M ，A 的水平距离是vt 米．（1）求k ，并用t 表示h ；（2）设5v =．用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ，并求y 与x 的关系式（不写x 的取值范围），及13y =时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A 处飞出，速度分别是5米/秒、v 乙米/秒．当甲距x 轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t 的值及v 乙的范围．3．（2018•河南）如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM BC ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．4．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(1,0)A ．已知抛物线22(y x mx m m=+-是常数），顶点为P ．（Ⅰ）当抛物线经过点A 时，求顶点P 的坐标；（Ⅱ）若点P 在x 轴下方，当45AOP ∠=︒时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m 取何值，该抛物线都经过定点H ．当45AHP ∠=︒时，求抛物线的解析式． 5．（2018•重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线24y x x =-+上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为(1,1)． （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，过点P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当PBE ∆的面积最大时，求12PH HF FO ++的最小值；（3）在（2）中，12PH HF FO ++取得最小值时，将CFH ∆绕点C 顺时针旋转60︒后得到△CF H ''，过点F '作CF '的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使以点D ，Q ，R ，S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标，若不存在，请说明理由．6．（2018•重庆B 卷）抛物线2y x =-+x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）如图1，连接CD ，求线段CD 的长；（2）如图2，点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF x ⊥轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是11O B ，当12PE EC +的值最大时，求四边形11PO B C 周长的最小值，并求出对应的点1O 的坐标；（3）如图3，点H 是线段AB 的中点，连接CH ，将OBC ∆沿直线CH 翻折至△22O B C 的位置，再将△22O B C 绕点2B 旋转一周，在旋转过程中，点2O ，C 的对应点分别是点3O ，1C ，直线31O C 分别与直线AC ，x 轴交于点M ，N ．那么，在△22O B C 的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使AMN ∆是以MN 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段2O M 的长；若不存在，请说明理由．7．（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223(0)y ax ax a a =+-<与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ． （1）当1a =-时，抛物线顶点D 的坐标为 ，OE = ； （2）OE 的长是否与a 值有关，说明你的理由； （3）设DEO β∠=，4560β︒︒剟，求a 的取值范围；（4）以DE 为斜边，在直线DE 的左下方作等腰直角三角形PDE ．设(,)P m n ，直接写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围．8．（2018•吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对称中心为坐标原点O ，AD y ⊥轴于点E （点A 在点D 的左侧），经过E 、D 两点的函数211(0)2y x mx x =-++…的图象记为1G ，函数211(0)2y x mx x =---<的图象记为2G ，其中m 是常数，图象1G 、2G 合起来得到的图象记为G ．设矩形ABCD 的周长为L ． （1）当点A 的横坐标为1-时，求m 的值； （2）求L 与m 之间的函数关系式；（3）当2G 与矩形ABCD 恰好有两个公共点时，求L 的值；（4）设G 在42x -剟上最高点的纵坐标为0y ，当0392y 剟时，直接写出L 的取值范围．9．（2018•山西）综合与探究如图，抛物线211433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作//PE AC 交x 轴于点E ，交BC 于点F ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为何值时QF 有最大值．10．（2018•陕西）已知抛物线2:6L y x x =+-与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），并与y 轴相交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标，并求ABC ∆的面积；（2）将抛物线L 向左或向右平移，得到抛物线L '，且L '与x 轴相交于A '、B '两点（点A '在点B '的左侧），并与y 轴相交于点C '，要使△A B C '''和ABC ∆的面积相等，求所有满11．（2018•海南）如图1，抛物线23y ax bx=++交x轴于点(1,0)B．A-和点(3,0)（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点(2,3)D在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ x⊥轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当AQD∆是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．12．（2018•江西）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线23=-+-经过点(1,0)y x bx-，则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线2(0)=++≠，以y轴上的点(0,)y ax bx c aM m为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y'，则我们又称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（2）已知抛物线225y x x=--+关于点(0,)m的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线22(0)=+-≠y ax ax b a①若抛物线y的衍生抛物线为22'=-+≠，两抛物线有两个交点，且恰好是2(0)y bx bx a b它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y 关于点2(0,1)k +的衍生抛物线为1y ，其顶点为1A ；关于点2(0,2)k +的衍生抛物线为2y ，其顶点为2A ；⋯；关于点2(0,)k n +的衍生抛物线为n y ，其顶点为(n A n ⋯为正整数）．求1n n A A +的长（用含n 的式子表示）．13．（2018•青海）如图，抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交点分别为(1,0)A -，(3,0)B ，(0,2)C ，作直线BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上第一象限内一动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，设点P 的横坐标为(03)t t <<，求ABP ∆的面积S 与t 的函数关系式； （3）条件同（2），若ODP ∆与COB ∆相似，求点P 的坐标．14．（2018•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线222433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向B 点运动，同时，点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t 秒，求运动时间t 为多少秒时，PBQ ∆的面积S 最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当PBQ ∆面积最大时，在BC 下方的抛物线上是否存在点M ，使BMC∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为1W ，2W （单位：元）． （1）用含x 的代数式分别表示1W ，2W ；（2）当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？16．（2018•福建A 卷）已知抛物线2y ax bx c =++过点(0,2)A ．（1）若点(0)也在该抛物线上，求a ，b 满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 都满足：当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<．以原点O 为心，OA 为半径的圆与拋物线的另两个交点为B ，C ，且ABC ∆有一个内角为60︒． ①求抛物线的解析式；②若点P 与点O 关于点A 对称，且O ，M ，N 三点共线，求证：PA 平分MPN ∠． 17．（2018•福建B 卷）已知抛物线2y ax bx c =++过点(0,2)A ，且抛物线上任意不同两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 都满足：当120x x <<时，1212()()0x x y y -->；当120x x <<时，1212()()0x x y y --<．以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，ABC ∆有一个内角为60︒． （1）求抛物线的解析式；（2）若MN 与直线y =-平行，且M ，N 位于直线BC 的两侧，12y y >，解决以下问题：①求证：BC 平分MBN ∠；②求MBC ∆外心的纵坐标的取值范围．2018年中考全国部分省市全省统一命题数学试卷《二次函数》压轴题精编参考解析二次函数综合题：（共17小题）1．（2018•上海）在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线212y x bx c =-++经过点(1,0)A -和点5(0,)2B ，顶点为C ，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点D按顺时针方向旋转90︒，点C 落在抛物线上的点P 处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD 的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．【解】：（1）把(1,0)A -和点5(0,)2B 代入212y x bx c =-++得10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴抛物线解析式为215222y x x =-++；（2）219(2)22y x =--+，9(2,)2C ∴，抛物线的对称轴为直线2x =，如图，设CD t =，则9(2,)2D t -，线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90︒，点C 落在抛物线上的点P 处，90PDC ∴∠=︒，DP DC t ==，9(2,)2P t t ∴+-，把9(2,)2P t t +-代入215222y x x =-++得2159(2)2(2)222t t t -++++=-， 整理得220t t -=，解得10t =（舍去），22t =，∴线段CD 的长为2；（3）P 点坐标为5(4,)2，D 点坐标为5(2,)2， 抛物线平移，使其顶点9(2,)2C 移到原点O 的位置，∴抛物线向左平移2个单位，向下平移92个单位， 而P 点5(4,)2向左平移2个单位，向下平移92个单位得到点E ，E ∴点坐标为(2,2)-，设(0,)M m ， 当0m >时，15(2)2822m ++=，解得72m =，此时M 点坐标为7(0,)2；当0m <时，15(2)2822m -++=，解得72m =-，此时M 点坐标为7(0,)2-； 综上所述，M 点的坐标为7(0,)2或7(0,)2-．2．（2018•河北）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴（水平）18米，与y 轴交于点B ，与滑道(1)ky x x=…交于点A ，且1AB =米．运动员（看成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M ，A 的竖直距离h （米)与飞出时间t （秒)的平方成正比，且1t =时5h =，M ，A 的水平距离是vt 米．（1）求k ，并用t 表示h ；（2）设5v =．用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ，并求y 与x 的关系式（不写x 的取值范围），及13y =时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A 处飞出，速度分别是5米/秒、v 乙米/秒．当甲距x 轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t 的值及v 乙的范围．【解】：（1）由题意，点(1,18)A 带入ky x= 得：181k =18k ∴=设2h at =，把1t =，5h =代入5a ∴=25h t ∴=（2）5v =，1AB =51x t ∴=+25h t =，18OB =2518y t ∴=-+由51x t =+ 则1(1)5t x =-2211289(1)185555y x x x ∴=--+=-++当13y =时，2113(1)185x =--+ 解得6x =或4-1x …6x ∴=把6x =代入18y x=3y =∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13310-=（米)（3）把 1.8y =代入2518y t =-+得28125t =解得 1.8t =或 1.8-（负值舍去）10x ∴=∴甲坐标为(10,1.8)恰好落在滑道18y x=上 此时，乙的坐标为(1 1.8v +乙，1.8) 由题意：()1 1.815 1.8 4.5v +-+⨯>乙7.5v ∴>乙3．（2018•河南）如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM BC ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标；②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【解】：（1）当0x =时，55y x =-=-，则(0,5)C -， 当0y =时，50x -=，解得5x =，则(5,0)B ，把(5,0)B ，(0,5)C -代入26y ax x c =++得253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15a b =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为265y x x =-+-；（2）①解方程2650x x -+-=得11x =，25x =，则(1,0)A ，(5,0)B ，(0,5)C -，OCB ∴∆为等腰直角三角形， 45OBC OCB ∴∠=∠=︒， AM BC⊥，AM B ∴∆为等腰直角三角形，4AM AB ∴=== 以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，//AM PQ ，PQ AM ∴==PQ BC ⊥，作PD x ⊥轴交直线BC 于D ，如图1，则45PDQ ∠=︒，4PD ∴==，设2(,65)P m m m -+-，则(,5)D m m -， 当P 点在直线BC 上方时，2265(5)54PD m m m m m =-+---=-+=，解得11m =，24m =，当P 点在直线BC 下方时，225(65)54PD m m m m m =---+-=-=，解得1m =，2m =， 综上所述，P 点的横坐标为4； ②作AN BC ⊥于N ，NH x ⊥轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于1M ，交AC 于E ，如图2，11M A M C =， 11ACM CAM ∴∠=∠， 12AM B ACB ∴∠=∠，ANB∆为等腰直角三角形，2AH BH NH ∴===，(3,2)N ∴-，易得AC 的解析式为55y x =-，E 点坐标为1(2，5)2-， 设直线1EM 的解析式为15y x b =-+， 把1(2E ，5)2-代入得15102b -+=-，解得125b =-，∴直线1EM 的解析式为11255y x =--，解方程组511255y x y x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则113(6M ，17)6-；作直线BC 上作点1M 关于N 点的对称点2M ，如图2，则212AM C AM B ACB ∠=∠=∠，设2(,5)M x x -，13632x +=， 236x ∴=， 223(6M ∴，7)6-， 综上所述，点M 的坐标为13(6，17)6-或23(6，7)6-．4．（2018•天津）在平面直角坐标系中，点(0,0)O ，点(1,0)A ．已知抛物线22(y x mx m m=+-是常数），顶点为P ．（Ⅰ）当抛物线经过点A 时，求顶点P 的坐标；（Ⅱ）若点P 在x 轴下方，当45AOP ∠=︒时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m 取何值，该抛物线都经过定点H ．当45AHP ∠=︒时，求抛物线的解析式． 【解】：（Ⅰ）抛物线22y x mx m =+-经过点(1,0)A ，012m m ∴=+-，解得：1m =，∴抛物线解析式为22y x x =+-，22192()24y x x x =+-=+-，∴顶点P 的坐标为1(2-，9)4-；（Ⅱ）抛物线22y x mx m =+-的顶点P 的坐标为(2m-，28)4m m +-，由点(1,0)A 在x 轴的正半轴上，点P 在x 轴的下方，45AOP ∠=︒知点P 在第四象限， 如图1，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，则45POQ OPQ ∠=∠=︒，可知PQ OQ =，即2842m m m+=-，解得：10m =，210m =-，当0m =时，点P 不在第四象限，舍去；10m ∴=-，∴抛物线的解析式为21020y x x =-+；（Ⅲ）由222(2)y x mx m x m x =+-=+-可知当2x =时，无论m 取何值时y 都等于4，∴点H 的坐标为(2,4)，过点A 作AD AH ⊥，交射线HP 于点D ，分别过点D 、H 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、G，则90DEA AGH ∠=∠=︒，90DAH ∠=︒，45AHD ∠=︒， 45ADH ∴∠=︒，AH AD ∴=，90DAE HAG AHG HAG ∠+∠=∠+∠=︒， DAE AHG∴∠=∠，ADE HAG ∴∆≅∆，1DE AG ∴==、4AE HG ==，则点D 的坐标为(3,1)-或(5,1)-；①当点D 的坐标为(3,1)-时，可得直线DH 的解析式为31455y x =+， 点(2m P -，28)4m m +-在直线31455y x =+上，28314()4525m m m +∴-=⨯-+，解得：14m =-、2145m =-，当4m =-时，点P 与点H 重合，不符合题意，145m ∴=-； ②当点D 的坐标为(5,1)-时，可得直线DH 的解析式为52233y x =-+， 点(2m P -，28)4m m +-在直线52233y x =-+上，28522()4323m m m +∴-=-⨯-+， 解得：14m =-（舍)，2223m =-，综上，145m =-或223m =-， 则抛物线的解析式为2142855y x x =-+或2224433y x x =-+． 5．（2018•重庆A 卷）如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线24y x x =-+上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为(1,1)． （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，过点P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当PBE ∆的面积最大时，求12PH HF FO ++的最小值；（3）在（2）中，12PH HF FO ++取得最小值时，将CFH ∆绕点C 顺时针旋转60︒后得到△CF H ''，过点F '作CF '的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S ，使以点D ，Q ，R ，S 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S 的坐标，若不存在，请说明理由．【解】：（1）由题意(1,3)A ，(3,3)B ，2AB ∴=．（2）如图1中，设2(,4)P m m m -+，作//PN y 轴J 交BE 于N ． 直线BE 的解析式为y x =，(,)N m m ∴，2212(3)32PEB S m m m m ∆∴=⨯⨯-+=-+，∴当32m =时，PEB ∆的面积最大，此时3(2P ，15)4，3(2H ，3)，153344PH ∴=-=， 作直线OG 交AB 于G ，使得30COG ∠=︒，作HK OG ⊥于K 交OC 于F ，12FK OF =，12PH HF FO PH FH FK PH HK ∴++=++=+，此时PH HF OF ++的值最小，1122HG OC OG HK =， 33)32HK ⨯∴==+，PH HF OF ∴++的最小值为94+．（3）如图2中，由题意32CH =，CF =，12QF '=，1CQ =，(1,3)Q ∴-，(2,4)D ，DQ①当DQ 为菱形的边时，1(1,3S -，2(1,3S -， ②当DQ 为对角线时，可得3(1,8)S -， ③当DR 为对角线时，可得4(5,3)S综上所述，满足条件的点S 坐标为(1,3-或(1,3-或(1,8)-或(5,3)．6．（2018•重庆B 卷）抛物线2y x =-+x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）如图1，连接CD ，求线段CD 的长；（2）如图2，点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF x ⊥轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是11O B ，当12PE EC +的值最大时，求四边形11PO B C 周长的最小值，并求出对应的点1O 的坐标；（3）如图3，点H 是线段AB 的中点，连接CH ，将OBC ∆沿直线CH 翻折至△22O B C 的位置，再将△22O B C 绕点2B 旋转一周，在旋转过程中，点2O ，C 的对应点分别是点3O ，1C ，直线31O C 分别与直线AC ，x 轴交于点M ，N ．那么，在△22O B C 的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使AMN ∆是以MN 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段2O M 的长；若不存在，请说明理由．【解】：（1）如图1，过点D 作DK y ⊥轴于K ，当0x =时，y =C ∴，22y x =++(D ∴，DK ∴CK =-CD ∴（4分）（2）在2y x =+0y =，则20，解得：1x =-，2x =(A ∴-，0)，B 0)， (0,6)C ，易得直线AC 的解析式为：y x =+设(E x +，2(,P x x -+，2PF x ∴=-EF =Rt ACO ∆中，AO =OC =AC ∴=30CAO ∴∠=︒，2AE EF ∴==+211(()22PE EC x AC AE ∴+=-+-，212=++，2=-，2x =+，（5分）∴当12PE EC +的值最大时，x =-(P -，（6分）PC ∴=，11O B OB ==∴要使四边形11PO B C 周长的最小，即11PO B C +的值最小，如图2，将点P 1(P ，连接11P B ，则111PO PB =，再作点1P 关于x 轴的对称点2(P ，则1121PB P B =，11211PO B C P B B C ∴+=+，∴连接2P C 与x 轴的交点即为使11PO B C +的值最小时的点1B ，1(B ∴，0)，将1B 1O ，此时112PO B C P C +==，对应的点1O 的坐标为(0)，（7分）∴四边形11PO B C （8分）（3）2O M （12分） 理由是：如图3，H 是AB 的中点，OH ∴= 6OC =CH BC ∴==30HCO BCO ∴∠=∠=︒， 60ACO ∠=︒，∴将CO 沿CH 对折后落在直线AC 上，即2O 在AC 上， 230B CA CAB ∴∠=∠=︒，2//B C AB ∴，2(B ∴-，①如图4，AN MN=，22330MAN AMN O B O ∴∠=∠=︒=∠，由旋转得：2122330CB C O B O ∠=∠=︒，221B C B C =，212175B CC B C C ∴∠=∠=︒，过1C 作12C E B C ⊥于E ，221B C B C ==∴122C E B O ，2B E 22232175O MB B MO B CC ∠=∠=︒=∠， 22190B O M C EC ∠=∠=︒，∴△1C EC ≅△22B O M ，222O M CE B C B E ∴==-=②如图5，AM MN=，此时M 与C 重合，22O M O C =③如图6，AM MN=，2212B C B C B H ===，即N 和H 、1C 重合， 230CAO AHM MHO ∴∠=∠=∠=︒，2213O M AO ∴== ④如图7，AN MN=，过1C 作1C E AC ⊥于E ，30NMA NAM ∴∠=∠=︒，312330O C B O MA ∠=︒=∠，121222290C B O AO B ∴∠=∠=︒， 190C EC ∠=︒，∴四边形122C EO B 是矩形，212EO C B ∴==122C E B O =EM ∴=22O M EO EM ∴=+=，综上所述，2O M 7．（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223(0)y ax ax a a =+-<与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，顶点为D ，直线DC 与x 轴相交于点E ． （1）当1a =-时，抛物线顶点D 的坐标为 (1,4)- ，OE = 3 ； （2）OE 的长是否与a 值有关，说明你的理由； （3）设DEO β∠=，4560β︒︒剟，求a 的取值范围；（4）以DE 为斜边，在直线DE 的左下方作等腰直角三角形PDE ．设(,)P m n ，直接写出n 关于m 的函数解析式及自变量m 的取值范围．【解】：（1）当1a =-时，抛物线的解析式为223y x x =--+，∴顶点(1,4)D -，(0,3)C ， ∴直线CD 的解析式为3y x =-+，3OE ∴=，故答案为(1,4)-，3．（2）结论：OE 的长与a 值无关． 理由：223y ax ax a =+-，(0,3)C a ∴-，(1,4)D a --，∴直线CD 的解析式为3y ax a =-，当0y =时，3x =，(3,0)E ∴，3OE ∴=，OE ∴的长与a 值无关．（3）当45β=︒时，3OC OE ==，33a ∴-=， 1a ∴=-，当60β=︒时，在Rt OCE ∆中，OC ==3a ∴-=，a ∴=4560β∴︒︒剟，a 的取值范围为1a -．（4）如图，作PM ⊥对称轴于M ，PN AB ⊥于N ．PD PE =，90PMD PNE ∠=∠=︒，90DPE MPN ∠=∠=︒，DPM EPN ∴∠=∠， DPM EPN ∴∆≅∆， PM PN ∴=，DM EN =， (1,4)D a --，(3,0)E ，43EN n m ∴=+=-， 1n m ∴=--，当顶点D 在x 轴上时，(1,2)P -，此时m 的值1， 抛物线的顶点在第二象限，1m ∴<．1(1)n m m ∴=--<．8．（2018•吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对称中心为坐标原点O ，AD y ⊥轴于点E （点A 在点D 的左侧），经过E 、D 两点的函数211(0)2y x mx x =-++…的图象记为1G ，函数211(0)2y x mx x =---<的图象记为2G ，其中m 是常数，图象1G 、2G 合起来得到的图象记为G ．设矩形ABCD 的周长为L ． （1）当点A 的横坐标为1-时，求m 的值； （2）求L 与m 之间的函数关系式；（3）当2G 与矩形ABCD 恰好有两个公共点时，求L 的值；（4）设G 在42x -剟上最高点的纵坐标为0y ，当0392y 剟时，直接写出L 的取值范围．【解】：（1）由题意(0,1)E ，(1,1)A -，(1,1)D 把(1,1)D 代入2112y x mx =-++中，得到1112m =-++，12m ∴=．（2）抛物线1G 的对称轴1mx m =-=-， 2AE ED m ∴==，矩形ABCD 的对称中心为坐标原点O ，4AD BC m ∴==，2AB CD ==， 84L m ∴=+．（3）当2G 与矩形ABCD 恰好有两个公共点，∴抛物线2G 的顶点21(,1)2M m m --在线段AE 上，∴21112m -=， 2m ∴=或2-（舍弃），82420L ∴=⨯+=．（4）1G 的顶点21(,1)2m m +，1G 中(2,21)m -，2G 顶点21(,1)2m m --，2G 中(4,49)m --． ①当2m …，最高点是抛物线1G 的顶点21(,1)2N m m +时， 若213122m +=，解得1m =或1-（舍弃）， 若21192m +=时，4m =或4-（舍弃）， 又2m …，观察图象可知满足条件的m 的值为12m 剟，②24m <…时，当(2,21)m -是最高点时，23219212112m m m ⎧-⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩剟，解得24m <…，③当4m >时，349924921m m m ⎧-⎪⎨⎪->-⎩剟， 解得942m <…， 综上所述，912m剟， 1240L ∴剟．9．（2018•山西）综合与探究如图，抛物线211433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作//PE AC 交x 轴于点E ，交BC 于点F ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为何值时QF 有最大值．【解】：（1）当0y =，2114033x x --=，解得13x =-，24x =，(3,0)A ∴-，(4,0)B ，当0x =，2114433y x x =--=-，(0,4)C ∴-；（2）5AC ，易得直线BC 的解析式为4y x =-， 设(Q m ，4)(04)m m -<<，当CQ CA =时，222(44)5m m +-+=，解得1m =2m =，此时Q 点坐标为4)-； 当AQ AC =时，222(3)(4)5m m ++-=，解得11m =，20m =（舍去），此时Q 点坐标为(1,3)-； 当QA QC =时，2222(3)(4)(44)m m m m ++-=+-+，解得252m =（舍去），综上所述，满足条件的Q 点坐标为4)-或(1,3)-； （3）解：过点F 作FG PQ ⊥于点G ，如图，则//FG x 轴．由(4,0)B ，(0,4)C -得OBC ∆为等腰直角三角形45OBC QFG ∴∠=∠=FQG ∴∆为等腰直角三角形，FG QG ∴==， //PE AC ，//PG CO ，FPG ACO∴∠=∠，90FGP AOC ∠=∠=︒， ~FGP AOC ∴∆∆．∴FG PG OA CO =，即34FG PG=，44233PG FG FQ ∴===，PQ PG GQ ∴=+==，FQ ∴=， 设(P m ，2114)(04)33m m m --<<，则(,4)Q m m -，2211144(4)3333PQ m m m m m ∴=----=-+，2214)2)33FQ m m m ∴=-+=-+20-<， QF ∴有最大值．∴当2m =时，QF 有最大值．10．（2018•陕西）已知抛物线2:6L y x x =+-与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），并与y 轴相交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标，并求ABC ∆的面积；（2）将抛物线L 向左或向右平移，得到抛物线L '，且L '与x 轴相交于A '、B '两点（点A '在点B '的左侧），并与y 轴相交于点C '，要使△A B C '''和ABC ∆的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．【解】：（1）当0y =时，260x x +-=，解得13x =-，22x =，(3,0)A ∴-，(2,0)B ，当0x =时，266y x x =+-=-，(0,6)C ∴-，ABC∴∆的面积11(23)61522AB OC ==⨯+⨯=； （2）抛物线L 向左或向右平移，得到抛物线L '，5A B AB ∴''==，△A B C '''和ABC ∆的面积相等，6OC OC ∴'==，即(0,6)C '-或(0,6)，设抛物线L '的解析式为26y x bx =+-或26y x bx =++ 设(,0)A m '、(,0)B n '，当m 、n 为方程260x bx +-=的两根，m n b ∴+=-，6mn =-，||5n m -=，2()25n m ∴-=， 2()425m n mn ∴+-=，24(6)25b ∴-⨯-=，解得1b =或1-，∴抛物线L '的解析式为26y x x =--．当m 、n 为方程260x bx ++=的两根，m n b ∴+=-，6mn =，||5n m -=，2()25n m ∴-=， 2()425m n mn ∴+-=，24625b ∴-⨯=，解得7b =或7-，∴抛物线L '的解析式为276y x x =++或276y x x =-+．综上所述，抛物线L '的解析式为26y x x =--或276y x x =++或276y x x =-+． 11．（2018•海南）如图1，抛物线23y ax bx =++交x 轴于点(1,0)A -和点(3,0)B ． （1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为F ，点(2,3)D 在该抛物线上． ①求四边形ACFD 的面积；②点P 是线段AB 上的动点（点P 不与点A 、B 重合），过点P 作PQ x ⊥轴交该抛物线于点Q ，连接AQ 、DQ ，当AQD ∆是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q 的坐标．【解】：（1）由题意可得309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为223y x x =-++；（2）①2223(1)4y x x x =-++=--+，(1,4)F ∴， (0,3)C ，(2,3)D ，2CD ∴=，且//CD x 轴，(1,0)A -，()1123243422ACD FCD ACFD S S S ∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯-=四边形；②点P 在线段AB 上，DAQ ∴∠不可能为直角，∴当AQD ∆为直角三角形时，有90ADQ ∠=︒或90AQD ∠=︒，i ．当90ADQ ∠=︒时，则DQ AD ⊥，(1,0)A -，(2,3)D ，∴直线AD 解析式为1y x =+， ∴可设直线DQ 解析式为y x b =-+'，把(2,3)D 代入可求得5b '=，∴直线DQ 解析式为5y x =-+，联立直线DQ 和抛物线解析式可得2523y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩或23x y =⎧⎨=⎩， (1,4)Q ∴；ii ．当90AQD ∠=︒时，设2(,23)Q t t t -++，设直线AQ 的解析式为11y k x b =+， 把A 、Q 坐标代入可得1121123k b tk b t t -+=⎧⎨+=-++⎩，解得1(3)k t =--， 设直线DQ 解析式为22y k x b =+，同理可求得2k t =-，AQ DQ ⊥，121k k ∴=-，即(3)1t t -=-，解得t =，当t =223t t -++=，当t时，223t t -++=， Q ∴点坐标为或； 综上可知Q 点坐标为(1,4)或或． 12．（2018•江西）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验：（1）已知抛物线23y x bx =-+-经过点(1,0)-，则b = 4- ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点(0,1)成中心对称的抛物线表达式是 ．抽象感悟：我们定义：对于抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，以y 轴上的点(0,)M m 为中心，作该抛物线关于点M 对称的抛物线y '，则我们又称抛物线y '为抛物线y 的“衍生抛物线”，点M 为“衍生中心”．（2）已知抛物线225y x x =--+关于点(0,)m 的衍生抛物线为y '，若这两条抛物线有交点，求m 的取值范围． 问题解决：（3）已知抛物线22(0)y ax ax b a =+-≠①若抛物线y 的衍生抛物线为222(0)y bx bx a b '=-+≠，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a 、b 的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y 关于点2(0,1)k +的衍生抛物线为1y ，其顶点为1A ；关于点2(0,2)k +的衍生抛物线为2y ，其顶点为2A ；⋯；关于点2(0,)k n +的衍生抛物线为n y ，其顶点为(n A n ⋯为正整数）．求1n n A A +的长（用含n 的式子表示）．【解】：求解体验：（1）抛物线23y x bx =-+-经过点(1,0)-，130b ∴---=， 4b ∴=-，∴抛物线解析式为2243(2)1y x x x =---=-++， ∴抛物线的顶点坐标为(2,1)-，∴抛物线的顶点坐标(2,1)-关于(0,1)的对称点为(2,1)，即：新抛物线的顶点坐标为(2,1)， 令原抛物线的0x =，3y ∴=-，(0,3)∴-关于点(0,1)的对称点坐标为(0,5)，设新抛物线的解析式为2(2)1y a x =-+， 点(0,5)在新抛物线上，25(02)1a ∴=-+，1a ∴=，∴新抛物线解析式为22(2)145y x x x =-+=-+，故答案为4-，(2,1)-，245y x x =-+；抽象感悟：（2）抛物线2225(1)6y x x x =--+=-++①，∴抛物线的顶点坐标为(1,6)-，抛物线上取点(0,5)，∴点(1,6)-和(0,5)关于点(0,)m 的对称点为(1,26)m -和(0,25)m -，设衍生抛物线为2(1)26y a x m '=-+-，2526m a m ∴-=+-，1a ∴=，∴衍生抛物线为22(1)26225y x m x x m '=-+-=-+-②，联立①②得，2222525x x m x x -+-=--+， 整理得，22102x m =-， 这两条抛物线有交点，1020m ∴-…， 5m ∴…；问题解决：（3）①抛物线222(1)y ax ax b a x a b =+-=+--，∴此抛物线的顶点坐标为(1,)a b ---，抛物线y 的衍生抛物线为22222(1)y bx bx a b x a b '=-+=-+-，∴此函数的顶点坐标为2(1,)a b -，两个抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，∴2222b b a a ba ab a b⎧++=--⎨+-=-⎩， 0a ∴=（舍)或3a =， 3b ∴=-，∴抛物线y 的顶点坐标为(1,0)-，抛物线y 的衍生抛物线的顶点坐标为(1,12)， ∴衍生中心的坐标为(0,6)；②抛物线22y ax ax b =+-的顶点坐标为(1,)a b ---， 点(1,)a b ---关于点2(0,)k n +的对称点为2(1,22)a b k n +++，∴抛物线n y 的顶点坐标n A 为2(1,22)a b k n +++，同理：1(1n A +，222(1))a b k n ++++22122(1)(22)42n n A A a b k n a b k n n +∴=++++-+++=+．13．（2018•青海）如图，抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交点分别为(1,0)A -，(3,0)B ，(0,2)C ，作直线BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上第一象限内一动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，设点P 的横坐标为(03)t t <<，求ABP ∆的面积S 与t 的函数关系式； （3）条件同（2），若ODP ∆与COB ∆相似，求点P 的坐标．【解】：（1）把(1,0)A -，(3,0)B ，(0,2)C 代入2y ax bx c =++得：09302a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：23a =-，43b =，2c =，∴抛物线的解析式为224233y x x =-++．（2）设点P 的坐标为224(,2)33t t t -++．(1,0)A -，(3,0)B ，4AB ∴=．221124484(2)4(03)223333S AB PD t t t t t ∴==⨯⨯-++=-++<<； （3）当ODP COB ∆∆∽时，OD DP OC OB=即22423323t tt -++=， 整理得：24120t t +-=， 解得：t =或t =．OD t ∴==，32DP OD == ∴点P 的坐标为． 当ODP BOC ∆∆∽，则OD DP BO OC=，即22423332tt t -++=， 整理得230t t--=， 解得：t =或t =．OD t ∴==，23DP OD ==，∴点P 的坐标为．综上所述点P 的坐标为或． 14．（2018•新疆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线222433y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）点P 从A 点出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向B 点运动，同时，点Q 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t 秒，求运动时间t 为多少秒时，PBQ ∆的面积S 最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当PBQ ∆面积最大时，在BC 下方的抛物线上是否存在点M ，使BMC∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解】：（1）当0x =时，2224433y x x =--=-，∴点C 的坐标为(0,4)-；当0y =时，有2224033x x --=， 解得：12x =-，23x =，∴点A 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(3,0)．（2）设直线BC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，将(3,0)B 、(0,4)C -代入y kx b =+，304k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：434k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线BC 的解析式为443y x =-． 过点Q 作//QE y 轴，交x 轴于点E ，如图1所示，当运动时间为t 秒时，点P 的坐标为(22,0)t -，点Q 的坐标为3(35t -，4)5t -，3(22)52PB t t ∴=--=-，45QE t =，22144552()25544PBQ S PB QE t t t ∆∴==-+=--+．405-<， ∴当54t =时，PBQ ∆的面积取最大值，最大值为54． （3）当PBQ ∆面积最大时，54t =，此时点P 的坐标为1(2，0)，点Q 的坐标为9(4，1)-．假设存在，设点M 的坐标为222(,4)33m m m --，则点F 的坐标为4(,4)3m m -，2242224(4)23333MF m m m m m ∴=----=-+，2132BMC S MF OB m m ∆∴==-+．BMC ∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍，253 1.64m m ∴-+=⨯，即2320m m -+=，解得：11m =，22m =．03m <<，∴在BC 下方的抛物线上存在点M ，使BMC ∆的面积是PBQ ∆面积的1.6倍，点M 的坐标为(1,4)-或8(2,)3-．15．（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为1W ，2W （单位：元）． （1）用含x 的代数式分别表示1W ，2W ；（2）当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？【解】：（1）设培植的盆景比第一期增加x 盆， 则第二期盆景有(50)x +盆，花卉有(50)x -盆， 所以21(50)(1602)2608000W x x x x =+-=-++，。
湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精编（含答案解析）
湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精编（解析版）（地市排序不分先后）一．解答题（共13小题）1．（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ； ②在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB ≠CD ，则该四边形 “十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； 12S S S =34S S S =“十字形”ABCD 的周长为102．（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O （0，0）．A （8，4），与x 轴交于另一点B ，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M 是OB 上的一点，作MN ∥AB 交OA 于N ，当△ANM 面积最大时，求M 的坐标；（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q ．过A 作AC ⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以O ，A ，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．3．（株洲市）如图，已知二次函数y=ax2﹣53x+c（a＞0）的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，（1）若抛物线的对称轴为x=3求的a值；（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．4．（永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．5．（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=43，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（郴州市）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．7．（湘潭市）如图，点P为抛物线y=14x2上一动点．（1）若抛物线y=14x2是由抛物线y=14（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．8．（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A （﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．9．（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的13？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．10．（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B （5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．12．（衡阳市）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．13．（娄底市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精析一．解答题（共13小题）1．（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 菱形，正方形 ； ②在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB ≠CD ，则该四边形 不是 “十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①12S S S =+；②34S S S =+；③“十字形”ABCD 的周长为1210．【学会思考】（1）利用“十字形”的定义判断即可；（2）先判断出∠ADB +∠CAD=∠ABD +∠CAB ，进而判断出∠AED=∠AEB=90°，即：AC ⊥BD ，再判断出四边形OMEN 是矩形，进而得出OE 2=2﹣14（AC 2+BD 2），即可得出结论；（3）由题意得，A （，0），B （0，c ），C （，0），D （0，﹣ac ），求出S=12AC•BD=﹣12（ac +c ）×，S 1=12OA•OB=﹣，S 2=12OC•OD=﹣，S3=12OA×OD=﹣，S4=12OB×OC=﹣，进而建立方程+=+，求出a=1，再求出b=0，进而判断出四边形ABCD是菱形，求出AD=310，进而求出c=﹣9，即可得出结论．【解】：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，∴菱形，正方形是：“十字形”，∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，∴平行四边形，矩形不是“十字形”，故答案为：菱形，正方形；②如图，当CB=CD时，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴AC⊥BD，∴当CB≠CD时，四边形ABCD不是“十字形”，故答案为：不是；（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CDB=∠CAB，∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，∴∠AED=∠AEB=90°，∴AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=12AC，DN=12BD，四边形OMEN是矩形，∴ON=ME ，OE 2=OM 2+ME 2，∴OE 2=OM 2+ON 2=2﹣14（AC 2+BD 2）， ∵6≤AC 2+BD 2≤7， ∴2﹣74≤OE 2≤2﹣32， ∴14≤OE 2≤12， ∴12（OE ＞0）；（3）由题意得，A （，0），B （0，c ），C （，0），D （0，﹣ac ）， ∵a ＞0，c ＜0，∴OA=，OB=﹣c ，OC=，OD=﹣ac ，AC=，BD=﹣ac ﹣c ， ∴S=12AC•BD=﹣12（ac +c ）×，S 1=12OA•OB=﹣，S 2=12OC•OD=﹣， S 3=12OA ×OD=﹣，S 4=12OB ×OC=﹣，∵12S S S =+，34S S S =+，∴+=+， ∴4a =2，∴a=1，∴S=﹣c ∆，S 1=﹣，S 4=﹣， ∵12S S S =+，∴S=S 1+S 2+212S S ，∴﹣c ∆=﹣+2， ∴﹣=﹣c•c -， ∴=4c -∴b=0，∴A（﹣c，0），B（0，c），C（c ，0），d（0，﹣c），∴四边形ABCD是菱形，∴4AD=1210，∴AD=310，即：AD2=90，∵AD2=c2﹣c，∴c2﹣c=90，∴c=﹣9或c=10（舍），即：y=x2﹣9．2．（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．【学会思考】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y=12x，直线AB的解析式为y=2x﹣12，直线MN的解析式为y=2x﹣2t，再通过解方程组得N（43t，2 3t），接着利用三角形面积公式，利用S△AMN=S△AOM﹣S△NOM得到S△AMN=12•4•t﹣12•t•23t，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设Q（m，14m2﹣32m），根据相似三角形的判定方法，当=时，△PQO∽△COA，则|14m2﹣32m|=2|m|；当=时，△PQO∽△CAO，则|14m2﹣3 2m|=12|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标．【解】：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，∴B点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），把A（8，4）代入得a•8•2=4，解得a=14，∴抛物线解析式为y=14x（x﹣6），即y=14x2﹣32x；（2）设M（t，0），易得直线OA的解析式为y=12 x，设直线AB的解析式为y=kx+b，把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，∴直线AB 的解析式为y=2x ﹣12，∵MN ∥AB ，∴设直线MN 的解析式为y=2x +n ，把M （t ，0）代入得2t +n=0，解得n=﹣2t ，∴直线MN 的解析式为y=2x ﹣2t ， 解方程组得，则N （43t ，23t ）， ∴S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM =12•4•t ﹣12•t•23t =﹣13t 2+2t =﹣13（t ﹣3）2+3， 当t=3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）设Q （m ，14m 2﹣32m ）， ∵∠OPQ=∠ACO ，∴当=时，△PQO ∽△COA ，即=，∴PQ=2PO ，即|14m 2﹣32m |=2|m |， 解方程14m 2﹣32m=2m 得m 1=0（舍去），m 2=14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程14m 2﹣32m=﹣2m 得m 1=0（舍去），m 2=﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当=时，△PQO ∽△CAO ，即=， ∴PQ=12PO ，即|14m 2﹣32m |=12|m |， 解方程14m 2﹣32m=12m 得m 1=0（舍去），m 2=8（舍去）， 解方程14m 2﹣32m=﹣12m 得m 1=0（舍去），m 2=4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）．3．（株洲市）如图，已知二次函数y=ax 2﹣3+c （a ＞0）的图象抛物线与x 轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，（1）若抛物线的对称轴为x=3求的a值；（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．【学会思考】（1）根据抛物线的对称轴公式代入可得a的值；（2）根据已知得：抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，列不等式可得c的取值范围；（3）根据60°的正切表示点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式中得：ac=12，则c=，从而得A和B的坐标，表示F的坐标，作辅助线，构建直角△ADG，根据已知的角相等可得△ADG∽△AFE，列比例式得方程可得a和c的值．【解】：（1）抛物线的对称轴是：x=﹣=﹣=3，解得：a=52；（2）由题意得二次函数解析式为：y=15x2﹣53x+c，∵二次函数与x轴有两个交点，∴△＞0，∴△=b2﹣4ac=﹣4×15c，∴c＜54；（3）∵∠BOD=90°，∠DBO=60°，∴tan60°===3， ∴OB=33c ， ∴B （33c ，0）， 把B （33c ，0）代入y=ax 2﹣53x +c 中得：23ac -5333c +c=0， 23ac ﹣5c +c=0， ∵c ≠0，∴ac=12，∴c=， 把c=代入y=ax 2﹣53x +c 中得：y=a （x 2﹣+）=a （x ﹣）（x ﹣）， ∴x 1=，x 2=，∴A （，0），B （，0），D （0，）， ∴AB=﹣=，AE=， ∵F 的纵坐标为3+， ∴F （，），过点A 作AG ⊥DB 于G ，∴BG=12AB=AE=，AG=92a ， DG=DB ﹣BG=﹣=， ∵∠ADB=∠AFE ，∠AGD=∠FEA=90°，∴△ADG ∽△AFE ，∴，∴=，∴a=2，c=6，∴y=2x2﹣53x+6．4．（永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．【学会思考】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；（2）根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；（3）如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y=﹣2x+6，设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），表示NQ=﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可．【解】：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x﹣1）2+4，把（0，3）代入得：3=a（0﹣1）2+4，a=﹣1，∴抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；（2）存在，如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，∵E（0，3），∴E'（2，3），易得E'F的解析式为：y=3x﹣3，当x=1时，y=3×1﹣3=0，∴G（1，0）（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0），易得AB的解析式为：y=﹣2x+6，过N 作NH ⊥x 轴于H ，交AB 于Q ，设N （m ，﹣m 2+2m +3），则Q （m ，﹣2m +6），（1＜m ＜3），∴NQ=（﹣m 2+2m +3）﹣（﹣2m +6）=﹣m 2+4m ﹣3，∵AD ∥NH ，∴∠DAB=∠NQM ，∵∠ADB=∠QMN=90°，∴△QMN ∽△ADB ， ∴， ∴， ∴MN=﹣（m ﹣2）2+， ∵﹣＜0，∴当m=2时，MN 有最大值；过N 作NG ⊥y 轴于G ，∵∠GPN=∠ABD ，∠NGP=∠ADB=90°，∴△NGP ∽△ADB ， ∴=24=12， ∴PG=12NG=12m ， ∴OP=OG ﹣PG=﹣m 2+2m +3﹣12m=﹣m 2+32m +3， ∴S △PON =12OP•GN=12（﹣m 2+32m +3）•m ， 当m=2时，S △PON =12×2（﹣4+3+3）=2． （方法2：根据m 的值计算N 的坐标为（2，3），与E 是对称点，连接EN ，同理得：EP=12EN=1，则OP=2，根据面积公式可得结论）．5．（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=43，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式；（2）将直线l的解析式代入抛物线F的解析式中，可求出x1、x2的值，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2的值，做差后即可得出y2﹣y1的值；（3）根据m的值可得出点A、B的坐标，利用对称性求出点A′的坐标．①利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；②根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点P，设点P 的坐标为（x，y），分三种情况考虑：（i）当A′B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（ii）当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（iii）当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标．综上即可得出结论．【解】：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和（﹣33，0），∴，解得：，∴抛物线F的解析式为y=x23．（2）将3+m代入y=x23x，得：x2=m，解得：x1=m x2m∴y1=133m m，y2133m m，∴y2﹣y1=133m m133m m）233m m＞0）．（3）∵m=43，∴点A的坐标为（﹣33，23），点B的坐标为（233，2）．∵点A′是点A关于原点O的对称点，∴点A′的坐标为（233，﹣23）．①△AA′B为等边三角形，理由如下：∵A（﹣233，23），B（233，2），A′（233，﹣23），∴AA′=83，AB=83，A′B=83，∴AA′=AB=A′B，∴△AA′B为等边三角形．②∵△AA′B为等边三角形，∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P 的坐标为（x，y）．（i）当A′B为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（23，23）；（ii）当AB为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（﹣233，103）；（iii）当AA′为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（﹣33，﹣2）．综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（23，23）、（﹣233，103）和（﹣233，﹣2）．6．（郴州市）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【学会思考】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【解】：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278．②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC==32，∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（32，154）．7．（湘潭市）如图，点P为抛物线y=14x2上一动点．（1）若抛物线y=14x2是由抛物线y=14（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．【学会思考】（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．（2）①设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；②利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题．【解】：（1）∵抛物线y=14（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）∴抛物线y=14（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=14x2的图象．（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．如图一，过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为（a，14a2）∴PM=PF=14a2+1∵PB=a∴Rt△PBF中BF=∴OF=1∴点F坐标为（0，1）②由①，PM=PFQP+PF的最小值为QP+PM的最小值当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．∴QP+PF的最小值为6．8．（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A （﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．【学会思考】（1）将点A的坐标代入二次函数表达式中可求出a值，进而可得出二次函数表达式；（2）将点B的坐标代入一次函数表达式中可求出b值；（3）过点M作ME⊥y轴于点E，设点M的坐标为（x，14x2+1），则MC=14x2+1，由勾股定理可求出MB的长度，进而可证出MB=MC；（4）过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，由（3）的结论可得出MN=NB+MB=ND+MC，利用中位线定理可得出PQ=12MH，进而可得出PF=12MN，由此即可得出以MN为直径的圆与x轴相切．【解】：（1）∵二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），∴2=4a+1，解得：a=14，∴二次函数表达式为y=14x2+1．（2）∵一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2），∴2=k×0+b，∴b=2．（3）证明：过点M作ME⊥y轴于点E，如图1所示．设点M的坐标为（x，14x2+1），则MC=14x2+1，∴ME=|x|，EB=|14x2+1﹣2|=|14x2﹣1|，∴MB=，=，=，=，=14x2+1．∴MB=MC．（4）相切，理由如下：过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N 作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，如图2所示．由（3）知NB=ND，∴MN=NB+MB=ND+MC．∵点P为MN的中点，PQ∥MH，∴PQ=12 MH．∵ND∥HC，NH∥DC，且四个角均为直角，∴四边形NDCH为矩形，∴QF=ND，∴PF=PQ+QF=12MH+ND=12（ND+MH+HC）=12（ND+MC）=12MN．∴以MN为直径的圆与x轴相切．9．（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的13？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）利用配方法得到y=x2+2x+1=（x+1）2，然后根据抛物线的变换规律求解；（2）利用顶点式y=（x+1）2得到A（﹣1，0），解方程﹣x2+4=0得D（﹣2，0），C（2，0）易得B（0，4），列举出所有的三角形，再计算出AC=3，AD=1，CD=4，17，55然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；（3）易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），讨论：①当N点在AC上，如图1，利用面积公式得到12（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，求出AN=1，MN=4，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；当m=1时，计算出AN=2，MN=2，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；②当N点在BC上，如图2，先利用面积法计算出AN=655，再根据三角形面积公式计算出MN=253，然后利用正切定义计算tan∠MAC的值；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=17﹣t，由②得AH=655，利用勾股定理可计算出BH=755，证明△BNM∽△BHA，利用相似比可得到MN=，利用三角形面积公式得到12•（17﹣t）•=2，根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件，从而得到tan∠MAN的值为1或4或59．【解】：（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2．把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4；（2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A（﹣1，0），当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，∵AC=3，AD=1，CD=4，17，55，∴△BCD为等腰三角形，∴构造的三角形是等腰三角形的概率=13；（3）存在．易得BC 的解析是为y=﹣2x +4，S △ABC =12AC•OB=12×3×4=6， M 点的坐标为（m ，﹣2m +4）（0≤m ≤2），①当N 点在AC 上，如图1，∴△AMN 的面积为△ABC 面积的13， ∴12（m +1）（﹣2m +4）=2，解得m 1=0，m 2=1， 当m=0时，M 点的坐标为（0，4），N （0，0），则AN=1，MN=4，∴tan ∠MAC==4；当m=1时，M 点的坐标为（1，2），N （1，0），则AN=2，MN=2，∴tan ∠MAC==1；②当N 点在BC 上，如图2，BC==25，∵12BC•AN=12AC•BC ，解得AN==655， ∵S △AMN =12AN•MN=2， ∴MN==253， ∴∠MAC===59； ③当N 点在AB 上，如图3，作AH ⊥BC 于H ，设AN=t ，则BN=17﹣t ， 由②得AH=655，则BH==755， ∵∠NBG=∠HBA ，∴△BNM ∽△BHA ，∴=，即=，∴MN=，∵12AN•MN=2，即12•（17﹣t）•=2，整理得3t2﹣317t+14=0，△=（﹣317）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，∴点N在AB上不符合条件，综上所述，tan∠MAN的值为1或4或59．10．（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3），展开得到﹣2a=2，然后求出a 即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=﹣13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=﹣13x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．【解】：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（103，﹣139），综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），11．（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B （5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．【学会思考】（1）应用待定系数法；（2）利用相似三角形性质分类讨论求解；（3）由已知直线l′与x轴所夹锐角为45°，△EMN为等腰直角三角形，当沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形，表示点N、E′坐标带入抛物线解析式，可解；（4）由（3）图形旋转可知，M′K′⊥直线l′，△M'FK′只能为等腰直角三角形，则分类讨论可求解．【解】：（1）由已知点B坐标为（5，5）把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得解得∴抛物线的解析式为：y=（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=32，则点C坐标为（32，32）∴OC=，OB=52当△OBA∽△OCP时，∴∴OP=9 10当△OBA∽△OPC时，∴∴OP=5∴点P坐标为（5，0）或（910，0）（3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c ∵直线l′y=x+c与x轴夹角为45°。
2018长沙中考数学二次函数最值问题总结+(压轴)
（1）若直线 y = mx +1与抛物线 y = x2 − 2x + n 具有“一带一路”关系，求 m , n 的值；
（2）若某“路线” L 的顶点在反比例函数 y = 6 的ห้องสมุดไป่ตู้象上，它的“带线” l 的解析式为 x
y = 2x − 4 ，求此“路线” L 的解析式；
（3）当常数 k 满足 1 k 2 时，求抛物线 L： y = ax2 + (3k 2 − 2k + 1)x + k 的“带线”l 与 2
x 轴, y 轴所围成的三角形面积的取值范围.
解 （3）（方法一）由（2）的方法二可知 二次函数 y = ax2 + bx + c(abc 0) 的“带线”
l 的解析式为 y = b x + c ， 2
设它与 x 轴的交点为点 M ，易求得点 M (− 2c , 0) ，点 P(0, c) b
所以“带线” l 与 x 轴, y 轴所围成的三角形 MOP 面积
令 t= ，p=2
=
∵- ＜t＜ 且 t≠-1 或 0
∴ ＜p＜ 且 p≠1
∴
且 OP≠1
评注：这题其本质是考察 s = ax2 + bx + c 的最值问题。
补充：求函数 y = x + 1 − 2x 的最大值（中考没考）
令 t = 1− 2x ，（ t 0 ）则
y = −1t2 +t + 1
2
y
=
3(x2 + x +1) +1 x2 + x +1
=
3+
x2
1 +x
+1
=3+
2018年中考数学二次函数压轴题汇编
1．如图，直线 y=﹣x+c 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点 A，B．（1）求点 B 的坐标和抛物线的分析式；（2）M （m， 0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P， N．①点 M 在线段 OA 上运动，若以 B，P，N 为极点的三角形与△ APM 相像，求点 M 的坐标；②点 M 在 x 轴上自由运动，若三个点 M ，P，N 中恰有一点是其余两点所连线段的中点（三点重合除外），则称 M， P， N 三点为“共谐点”．请直接写出使得 M，P，N 三点成为“共谐点”的 m 的值．2．如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C： y=ax2 +bx+c 与 x 轴订交于A，B 两点，极点为 D（0，4）， AB=4 ，设点 F（m，0）是 x 轴的正半轴上一点，将抛物线 C 绕点 F 旋转 180°，获得新的抛物线 C′．（1）求抛物线 C 的函数表达式；（2）若抛物线 C′与抛物线 C 在 y 轴的右边有两个不一样的公共点，求m 的取值范围．（3）如图 2，P 是第一象限内抛物线 C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 P 在抛物线 C′上的对应点 P′，设 M 是 C 上的动点， N 是 C′上的动点，尝试究四边形 PMP′N可否成为正方形？若能，求出 m 的值；若不可以，请说明原因．3．在平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 M ，给出以下的定义：若在图形M 上存在一点 Q ，使得 P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称 P 为图形 M的关系点．（1）当⊙ O 的半径为 2 时，①在点 P 1（ ， ）， 2（ ， ）， 3（ ， ）中，⊙ O 的关系点是．0 P P 0②点 P 在直线 y=﹣x 上，若 P 为⊙ O 的关系点，求点 P 的横坐标的取值范围．（2）⊙ C 的圆心在 x 轴上，半径为 2，直线 y=﹣x+1 与 x 轴、 y 轴交于点 A 、B ．若线段AB 上的全部点都是⊙C 的关系点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+ax+b 交 x 轴于 A （ 1，0），B（3，0）两点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一点，直线 BP 与 y 轴订交于点 C ．（1）求抛物线 y=﹣x 2+ax+b 的分析式；（2）当点 P 是线段 BC 的中点时，求点 P 的坐标；（3）在（ 2）的条件下，求 sin ∠ OCB 的值．．如图，抛物线y=﹣ x 2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B ，与 y 轴交于点 C ，点 5B 坐标为（ 6，0），点C 坐标为（ 0，6），点D 是抛物线的极点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为E ，连结 BD ．（1）求抛物线的分析式及点 D 的坐标；（2）点 F 是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点 F 的坐标；（3）若点 M 是抛物线上的动点，过点 M 作 MN ∥x 轴与抛物线交于点 N，点 P 在 x 轴上，点 Q 在座标平面内，以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ，请写出点 Q 的坐标．6．已知抛物线 y=x2+bx﹣3（b 是常数）经过点 A（﹣ 1， 0）．（1）求该抛物线的分析式和极点坐标；（2）P（m，t ）为抛物线上的一个动点，P 对于原点的对称点为P'．①当点 P'落在该抛物线上时，求m 的值；②当点 P'落在第二象限内， P'A2获得最小值时，求m 的值．7．在同向来角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3 与抛物线 C2：y=x2+mx+n 对于 y 轴对称， C2与 x 轴交于 A、B 两点，此中点 A 在点 B 的左边．（1）求抛物线 C1，C2的函数表达式；（2）求 A、 B 两点的坐标；（3）在抛物线 C1上能否存在一点P，在抛物线 C2上能否存在一点Q，使得以 AB 为边，且以 A、B、P、Q 四点为极点的四边形是平行四边形？若存在，求出 P、 Q 两点的坐标；若不存在，请说明原因．8．已知函数 y=﹣ x2+（ m﹣1）x+m（ m 为常数）．（1）该函数的图象与 x 轴公共点的个数是．A.0B.1C.2D.1或 2（2）求证：不论 m 为什么值，该函数的图象的极点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣ 2≤ m≤3 时，求该函数的图象的极点纵坐标的取值范围．9．已知直线 y=2x+m 与抛物线 y=ax2 +ax+b 有一个公共点 M（ 1，0），且 a＜ b．（Ⅰ）求抛物线极点Q 的坐标（用含 a 的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣ 1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△ QMN 面积的最小值．10．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），此中 a≠0．（1）若函数 y1的图象经过点（ 1，﹣ 2），求函数 y1的表达式；（2）若一次函数 y2=ax+b 的图象与 y1的图象经过 x 轴上同一点，研究实数 a，b知足的关系式；（3）已知点 P（x0， m）和 Q（1，n）在函数 y1的图象上，若 m＜n，求 x0的取值范围．11．定义：如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）与 x 轴交于 A，B 两点，点 P 在该抛物线上（P 点与A、B两点不重合），假如△ABP的三边知足AP2+BP2=AB2，则称点 P 为抛物线 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的勾股点．（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1 的勾股点的坐标．（2）如图 2，已知抛物线 C： y=ax2+bx（ a≠ 0）与 x 轴交于 A， B 两点，点P （1，）是抛物线 C 的勾股点，求抛物线 C 的函数表达式．（3）在（ 2）的条件下，点 Q 在抛物线 C 上，求知足条件 S△ABQ=S△ABP的 Q点（异于点 P）的坐标．12．如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C，OB=OC．点 D 在函数图象上， CD∥ x 轴，且 CD=2，直线 l 是抛物线的对称轴， E 是抛物线的极点．（1）求 b、 c 的值；（2）如图①，连结 BE，线段 OC上的点 F 对于直线 l 的对称点 F'恰幸亏线段BE上，求点 F 的坐标；（3）如图②，动点M，与抛物线交于点的面积相等，且线段存在，说明原因．P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点N．试问：抛物线上能否存在点Q，使得△PQN 与△APM NQ 的长度最小？假如存在，求出点 Q 的坐标；假如不．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x 2﹣x﹣与 x 轴交于 A、13B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C，对称轴与 x 轴交于点 D，点E（ 4， n）在抛物线上．（1）求直线 AE 的分析式；（2）点 P 为直线 CE下方抛物线上的一点，连结 PC，PE．当△ PCE的面积最大时，连结 CD，CB，点 K 是线段 CB的中点，点 M 是 CP上的一点，点 N 是CD上的一点，求 KM+MN+NK 的最小值；（3）点 G 是线段 CE的中点，将抛物线 y= x2﹣x﹣沿x轴正方向平移获得新抛物线y′，y′经过点 D，y′的极点为点 F．在新抛物线 y′的对称轴上，能否存在点 Q，使得△ FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明原因．14．如图，抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A（﹣ 1，0），B（4，0），交 y 轴于点 C；（1）求抛物线的分析式（用一般式表示）；（2）点 D 为 y 轴右边抛物线上一点，能否存在点 D 使 S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点 D 坐标；若不存在请说明原因；（3）将直线 BC绕点 B 顺时针旋转 45°，与抛物线交于另一点E，求 BE的长．15．如图，直线 y=kx+b（ k、b 为常数）分别与 x 轴、y 轴交于点 A（﹣ 4，0）、B（ 0， 3），抛物线 y=﹣x2+2x+1 与 y 轴交于点 C．（1）求直线 y=kx+b 的函数分析式；（2）若点 P（ x，y）是抛物线 y=﹣x2+2x+1 上的随意一点，设点P 到直线 AB 的距离为 d，求 d 对于 x 的函数分析式，并求 d 取最小值时点 P 的坐标；（3）若点 E 在抛物线 y=﹣ x2+2x+1 的对称轴上挪动，点 F 在直线 AB 上挪动，求 CE+EF的最小值．．如图，已知二次函数2﹣4 的图象与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交16 y= x于点 C，⊙ C 的半径为，P 为⊙ C 上一动点．（1）点 B， C 的坐标分别为 B（），C（）；（2）能否存在点 P，使得△ PBC为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明原因；（3）连结 PB，若 E 为 PB 的中点，连结 OE，则 OE的最大值 =．17．已知点 A（﹣ 1，1）、 B（4，6）在抛物线 y=ax2 +bx 上（1）求抛物线的分析式；（2）如图 1，点 F 的坐标为（0，m）（m＞2），直线 AF 交抛物线于另一点G，过点 G 作 x 轴的垂线，垂足为 H．设抛物线与 x 轴的正半轴交于点 E，连结FH、AE，求证： FH∥ AE；（3）如图 2，直线 AB 分别交 x 轴、y 轴于 C、D 两点．点 P 从点 C 出发，沿射线 CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q 从原点 O 出发，沿 x 轴正方向匀速运动，速度为每秒1 个单位长度．点M 是直线 PQ 与抛物线的一个交点，当运动到t 秒时，QM=2PM，直接写出 t 的值．18．已知直线 y=kx+b 与抛物线 y=ax2（a＞0）订交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴正半轴订交于点 C，过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D．（1）若∠ AOB=60°， AB∥x 轴， AB=2，求 a 的值；（2）若∠ AOB=90°，点 A 的横坐标为﹣ 4，AC=4BC，求点 B 的坐标；（3）延伸 AD、 BO 订交于点 E，求证： DE=CO．19．如图，抛物线 y=mx2﹣16mx+48m（m＞ 0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 B 在点 A 左边），与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连结 OD、BD、AC、 AD，延伸 AD 交 y 轴于点 E．（1）若△ OAC为等腰直角三角形，求 m 的值；（2）若对随意 m＞0，C、E 两点总对于原点对称，求点 D 的坐标（用含 m 的式子表示）；（3）当点 D 运动到某一地点时，恰巧使得∠ODB=∠OAD，且点 D 为线段 AE 的中点，此时对于该抛物线上随意一点P（x0，y0）总有 n+≥﹣ 4my02﹣12y0﹣50 成立，务实数 n 的最小值．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过 A、 C 两点，与 x 轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点 D 为直线 AC上方抛物线上一动点，①连结 BC、CD，设直线 BD 交线段 AC于点 E，△ CDE的面积为 S1，△BCE的面积为 S2，求的最大值；②过点 D 作 DF⊥AC，垂足为点 F，连结 CD，能否存在点 D，使得△ CDF中的某个角恰巧等于∠ BAC的 2 倍？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明原因．21．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c 的张口向上，且经过点A （0，）（1）若此抛物线经过点B（ 2，﹣），且与x轴订交于点E，F．①填空： b=（用含a的代数式表示）；②当 2 的值最小时，求抛物线的分析式；EF（2）若 a= ，当 0≤x≤ 1，抛物线上的点到x 轴距离的最大值为 3 时，求 b的值．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+1 交 y 轴于点 A，交 x 轴正半轴于点 B（4，0），与过 A 点的直线订交于另一点 D（ 3，），过点 D 作DC⊥x 轴，垂足为 C．（1）求抛物线的表达式；（2）点 P 在线段 OC上（不与点 O、 C 重合），过 P 作 PN⊥ x 轴，交直线AD 于 M，交抛物线于点 N，连结 CM，求△ PCM 面积的最大值；（3）若 P 是 x 轴正半轴上的一动点，设 OP的长为 t ，能否存在 t ，使以点 M、C、 D、 N 为极点的四边形是平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明原因．23．如图，抛物线 y=ax2+bx﹣3 经过点 A（ 2，﹣ 3），与 x 轴负半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，且 OC=3OB．（1）求抛物线的分析式；（2）点 D 在 y 轴上，且∠ BDO=∠BAC，求点 D 的坐标；（3）点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，能否存在以点A，B，M，N 为极点的四边形是平行四边形？若存在，求出全部切合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明原因．24．已知函数 y=mx2﹣（ 2m﹣ 5） x+m﹣2 的图象与 x 轴有两个公共点．（1）求 m 的取值范围，并写出当m 取范围内最大整数时函数的分析式；（2）题（ 1）中求得的函数记为C1．①当 n≤ x≤﹣ 1 时， y 的取值范围是 1≤y≤﹣ 3n，求 n 的值；②函数 C2：y=m（x﹣h）2+k 的图象由函数C1的图象平移获得，其极点P 落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C1的图象极点为M，求点 P 与点 M 距离最大时函数 C2的分析式．25．如图，抛物线 y= x2+ x+c 与 x 轴的负半轴交于点A，与 y 轴交于点 B，连结 AB，点 C（6，）在抛物线上，直线AC与 y 轴交于点 D．（1）求 c 的值及直线 AC 的函数表达式；（2）点 P 在 x 轴正半轴上，点Q 在 y 轴正半轴上，连结PQ 与直线 AC 交于点 M，连结 MO 并延伸交 AB 于点 N，若 M 为 PQ 的中点．①求证：△ APM∽△ AON；②设点 M 的横坐标为 m，求 AN 的长（用含 m 的代数式表示）．26．如图，过抛物线y= x2﹣2x 上一点 A 作 x 轴的平行线，交抛物线于另一点 B，交 y 轴于点 C，已知点 A 的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点 B 的坐标；（2）在 AB 上任取一点 P，连结 OP，作点 C 对于直线 OP的对称点 D；①连结 BD，求 BD 的最小值；②当点 D 落在抛物线的对称轴上，且在 x 轴上方时，求直线 PD 的函数表达式．27．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的极点坐标是（ 2，1），并且经过点（ 4，2），直线 y= x+1 与抛物线交于B， D 两点，以 BD 为直径作圆，圆心为点 C，圆 C 与直线 m 交于对称轴右边的点M （ t， 1），直线 m 上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的分析式；（2）证明：圆 C 与 x 轴相切；（3）过点 B 作 BE⊥m，垂足为 E，再过点 D 作 DF⊥m，垂足为 F，求 BE：MF 的值．28．平面直角坐标系xOy 中，点 A、B 的横坐标分别为a、 a+2，二次函数 y=﹣x2+（ m﹣2）x+2m 的图象经过点 A、B，且 a、m 知足 2a﹣m=d（ d 为常数）．（1）若一次函数 y1=kx+b 的图象经过 A、B 两点．①当 a=1、d=﹣1 时，求 k 的值；②若 y1随 x 的增大而减小，求 d 的取值范围；（2）当 d=﹣4 且 a≠﹣ 2、a≠﹣ 4 时，判断直线 AB 与 x 轴的地点关系，并说明原因；（3）点 A、 B 的地点跟着 a 的变化而变化，设点 A、B 运动的路线与 y 轴分别订交于点 C、D，线段 CD 的长度会发生变化吗？假如不变，求出 CD的长；假如变化，请说明原因．29．如图，抛物线 y=﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与 y 轴交于点 C，连结 AC、BC．点 P 沿 AC 以每秒 1 个单位长度的速度由点 A 向点 C 运动，同时，点 Q 沿 BO 以每秒 2 个单位长度的速度由点B 向点 O 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连结 PQ．过点 Q 作 QD⊥x 轴，与抛物线交于点 D，与 BC交于点 E，连结 PD，与 BC 交于点 F．设点 P 的运动时间为 t 秒（ t＞ 0）．（1）求直线 BC的函数表达式；（2）①直接写出 P， D 两点的坐标（用含 t 的代数式表示，结果需化简）②在点 P、Q 运动的过程中，当 PQ=PD时，求 t 的值；（3）尝试究在点 P，Q 运动的过程中，能否存在某一时辰，使得点 F 为 PD 的中点？若存在，请直接写出此时 t 的值与点 F 的坐标；若不存在，请说明原因．30．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2﹣ 2x﹣3 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），将该抛物线位于 x 轴上方曲线记作 M，将该抛物线位于 x 轴下方部分沿 x 轴翻折，翻折后所得曲线记作 N，曲线 N 交 y 轴于点 C，连结 AC、BC．（1）求曲线 N 所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ ABC外接圆的半径；（3）点 P 为曲线 M 或曲线 N 上的一动点，点 Q 为 x 轴上的一个动点，若以点 B，C，P，Q 为极点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标．．如图，是将抛物线 2 平移后获得的抛物线，其对称轴为x=1，与 x 31 y=﹣ x轴的一个交点为A（﹣ 1，0），另一个交点为 B，与 y 轴的交点为 C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 N 为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点 N 的坐标；（3）点 P 是抛物线上一点，点 Q 是一次函数 y= x+的图象上一点，若四边形 OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q 能否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明原因．32．如图，已知二次函数 y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点 A（3，0），B（ 4，1），且与 y 轴交于点 C，连结 AB、AC、BC．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ ABC的形状；若△ ABC的外接圆记为⊙ M ，请直接写出圆心 M 的坐标；（3）若将抛物线沿射线 BA 方向平移，平移后点 A、B、C 的对应点分别记为点A1、B1、 C1，△ A1B1C1的外接圆记为⊙ M 1，能否存在某个地点，使⊙ M 1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明原因．33．抛物线 y=4x2﹣ 2ax+b 与 x 轴订交于 A（x1， 0），B（x2， 0）（0＜x1＜ x2）两点，与 y 轴交于点 C．（1）设 AB=2， tan∠ ABC=4，求该抛物线的分析式；（2）在（ 1）中，若点 D 为直线 BC 下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点 D 的坐标；（3）能否存在整数a，b 使得 1＜x1＜ 2 和 1＜x2＜ 2 同时成立，请证明你的结论．34．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过 A（﹣ 1，0）、B（ 4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的分析式；（2）点 D 是该二次函数图象上的一点，且知足∠ DBA=∠ CAO（O 是坐标原点），求点 D 的坐标；（3）点 P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连结PA分别交BC、y轴于点 E、 F，若△ PEB、△ CEF的面积分别为 S1、 S2，求 S1﹣S2的最大值．35．如图 1，抛物线 y=ax2+bx+c 经过平行四边形 ABCD的极点 A（ 0，3）、B （﹣ 1，0）、 D（2，3），抛物线与 x 轴的另一交点为 E．经过点 E 的直线 l 将平行四边形 ABCD 切割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点 F．点 P 为直线 l 上方抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 t ．（1）求抛物线的分析式；（2）当 t 何值时，△ PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）能否存在点 P 使△ PAE为直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明原因．36．如图，某日的钱塘江观潮信息如图：按上述信息，小红将“交错潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图 3 表示，此中：“ 11：40 时甲地‘交错潮’的潮头离乙地 12 千米”记为点 A（ 0， 12），点 B 坐标为（ m，0），曲线 BC 可用二次函数 s= t2 +bt+c（b，c 是常数）刻画．（1）求 m 的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；（2）11：59 时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以 0.48 千米 / 分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？（3）相遇后，小红立刻调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后平均加快，而单车最高速度为 0.48 千米 / 分，小红渐渐落伍．问小红与潮头相碰到落伍潮头 1.8 千米共需多长时间？（潮水加快阶段速度v=v0 +（t﹣30），v0是加快前的速度）．37．如图 1，抛物线 y=ax2+bx+2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，AB=4，矩形 OBDC的边 CD=1，延伸 DC 交抛物线于点 E．（1）求抛物线的分析式；（2）如图 2，点 P 是直线 EO上方抛物线上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 EO于点 G，作 PH⊥ EO，垂足为 H．设 PH的长为 l，点 P 的横坐标为m，求l 与m 的函数关系式（不用写出m 的取值范围），并求出l 的最大值；（3）假如点 N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上能否存在点M ，使得以M ，A，C，N 为极点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出全部知足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明原因．38．如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与直线 AB 交于 A（﹣ 4，﹣ 4）， B（ 0，4）两点，直线 AC：y=﹣ x﹣6 交 y 轴于点 C．点 E 是直线 AB 上的动点，过点 E作 EF⊥ x 轴交 AC于点 F，交抛物线于点 G．（1）求抛物线 y=﹣x2+bx+c 的表达式；（2）连结 GB， EO，当四边形 GEOB是平行四边形时，求点 G 的坐标；（3）①在 y 轴上存在一点 H，连结 EH，HF，当点 E 运动到什么地点时，以A， E， F， H 为极点的四边形是矩形？求出此时点E，H 的坐标；②在①的前提下，以点 E 为圆心， EH 长为半径作圆，点M 为⊙ E 上一动点，求AM+CM 它的最小值．39．抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A（1，0）和点 B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数分析式；（2）该抛物线与直线y= x+3 订交于 C、D 两点，点 P 是抛物线上的动点且位于 x 轴下方，直线 PM∥ y 轴，分别与 x 轴和直线 CD交于点 M、 N．①连结 PC、PD，如图 1，在点 P 运动过程中，△PCD的面积能否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明原因；②连结PB，过点C 作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，能否存在点P，使得△CNQ与△PBM 相像？若存在，求出知足条件的点P 的坐标；若不存在，说明原因．40．《函数的图象与性质》拓展学习片段展现：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣ 2）2﹣经过原点O，与 x 轴的另一个交点为A，则 a=．【操作】将图①中抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴折叠到 x 轴上方，将这部分图象与原抛物线节余部分的图象构成的新图象记为G，如图②．直接写出图象 G 对应的函数分析式．【研究】在图②中，过点B（0，1）作直线l 平行于x 轴，与图象G 的交点从左至右挨次为点 C，D，E，F，如图③．求图象 G 在直线 l 上方的部分对应的函数 y 随 x 增大而增大时 x 的取值范围．【应用】 P 是图③中图象 G 上一点，其横坐标为m，连结 PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于 1 时 m 的取值范围．1．如图 1，经过原点 O 的抛物线 y=ax2+bx（a≠0）与 x 轴交于另一点 A（，0），在第一象限内与直线y=x 交于点 B（ 2， t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点 C，知足以 B，O，C 为极点的三角形的面积为 2，求点 C 的坐标；（3）如图2，若点M 在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，能否存在点 P，使得△ POC∽△ MOB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c 的图象与坐标轴交于 A， B， C 三点，此中点 A 的坐标为（﹣ 3，0），点 B 的坐标为（ 4，0），连结 AC，BC．动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 作匀速运动；同时，动点 Q 从点 O 出发，在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 作匀速运动，当此中一点抵达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 t 秒．连结 PQ．（1）填空： b=，c=；（2）在点 P，Q 运动过程中，△ APQ可能是直角三角形吗？请说明原因；（3）在 x 轴下方，该二次函数的图象上能否存在点M，使△ PQM 是以点 P 为直角极点的等腰直角三角形？若存在，恳求出运动时间t ；若不存在，请说明原因；（4）如图②，点N 的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连结NH，当点 Q 对于直线 NH 的对称点 Q′恰巧落在线段 BC上时，请直接写出点 Q′的坐标．3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x＜ 0 时，它们对应的函数值互为相反数；当 x≥ 0 时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为有关函数．比如：一次函数y=x﹣ 1 ，它的有关函数为y=．（1）已知点 A（﹣ 5，8）在一次函数 y=ax﹣3 的有关函数的图象上，求 a 的值；（2）已知二次函数 y=﹣ x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的有关函数的图象上时，求m 的值；②当﹣ 3≤x≤3 时，求函数 y=﹣ x2+4x﹣的有关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点 M，N 的坐标分别为（﹣， 1），（，1），连结 MN．直接写出线段 MN 与二次函数 y=﹣x2+4x+n 的有关函数的图象有两个公共点时 n 的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A，B 两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段 A B 上一点（与A，B 点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（ a＜ 0）经过点 A，C，极点为 D，抛物线 L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点 C，B，极点为 E，AD，BE的延伸线订交于点 F．（1）若 a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的分析式；（2）若 a=﹣1，AF⊥ BF，求 m 的值；（3）能否存在这样的实数 a（a＜ 0），不论 m 取何值，直线 AF 与 BF 都不行能相互垂直？若存在，请直接写出 a 的两个不一样的值；若不存在，请说明原因．5．如图，已知抛物线y=ax2﹣ 2ax﹣9a 与坐标轴交于 A，B，C 三点，此中C（ 0， 3），∠ BAC的均分线 AE 交 y 轴于点 D，交 BC于点 E，过点 D 的直线l 与射线 AC，AB 分别交于点 M，N．（1）直接写出 a 的值、点 A 的坐标及抛物线的对称轴；（2）点 P 为抛物线的对称轴上一动点，若△ PAD 为等腰三角形，求出点 P 的坐标；（3）证明：当直线l 绕点 D 旋转时，+均为定值，并求出该定值．6．如图 1，矩形 OABC的极点 A， C 的坐标分别为（ 4，0），（ 0， 6），直线AD 交 B C于点 D，tan∠OAD=2，抛物线 M1：y=ax2+bx（a≠0）过 A，D 两点．（1）求点 D 的坐标和抛物线 M 1的表达式；（2）点 P 是抛物线 M 1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求全部切合条件的点 P 的坐标；（3）如图 2，点 E（0，4），连结 AE，将抛物线 M 1的图象向下平移 m（m＞0）个单位获得抛物线M2．①设点D 平移后的对应点为点D′，当点D′恰幸亏直线AE 上时，求m 的值；②当1≤x≤m （m＞1）时，若抛物线M 2与直线AE 有两个交点，求m 的取值范围．7．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c 与 y 轴交于点 A（0，6），与 x 轴交于点 B （6，0），点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其极点坐标；（2）当点 P 挪动到抛物线的什么地点时，使得∠ PAB=75°，求出此时点 P 的坐标；（3）当点 P 从 A 点出发沿线段 AB 上方的抛物线向终点 B 挪动，在挪动中，点 P 的横坐标以每秒 1 个单位长度的速度改动；与此同时点 M 以每秒 1 个单位长度的速度沿 AO 向终点 O 挪动，点 P，M 挪动到各自终点时停止．当两个动点挪动 t 秒时，求四边形 PAMB 的面积 S 对于 t 的函数表达式，并求 t为什么值时， S 有最大值，最大值是多少？8．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ ACB=90°，抛物线 y=ax2+bx+ 经过A， B 两点．（1）求 A、 B 两点的坐标；（2）求抛物线的分析式；（3）点 M 是直线 BC上方抛物线上的一点，过点M 作 MH⊥ BC于点 H，作MD∥y 轴交 BC于点 D，求△ DMH 周长的最大值．9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2 的对称轴是直线 x=1，与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（﹣ 2，0），点 P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PD⊥ x 轴于点 D，交直线 BC于点 E．（1）求抛物线分析式；（2）若点 P 在第一象限内，当 OD=4PE时，求四边形 POBE的面积；（3）在（ 2）的条件下，若点 M 为直线 BC上一点，点 N 为平面直角坐标系内一点，能否存在这样的点 M 和点 N，使得以点 B，D，M ，N 为极点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明原因．【温馨提示：考生能够依据题意，在备用图中增补图形，以便研究】10．如图，抛物线 y=﹣ x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（﹣ 1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的分析式；（2）在第二象限内取一点 C，作 CD 垂直 X 轴于点 D，链接 AC，且 AD=5，CD=8，将 Rt△ ACD沿 x 轴向右平移 m 个单位，当点 C 落在抛物线上时，求 m的值；（3）在（ 2）的条件下，当点 C 第一次落在抛物线上记为点E，点 P 是抛物线对称轴上一点．尝试究：在抛物线上能否存在点Q，使以点B、E、P、Q 为极点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q 的坐标；若不存在，请说明原因．11．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A（﹣ 1， 0），B（3，0），C（0，3），点 M、 N 为抛物线上的动点，过点 M 作 MD∥y 轴，交直线 BC于点 D，交x 轴于点 E．（1）求二次函数 y=ax2+bx+c 的表达式；（2）过点 N 作 NF⊥x 轴，垂足为点 F，若四边形 MNFE为正方形（此处限制点 M 在对称轴的右边），求该正方形的面积；（3）若∠ DMN=90°，MD=MN，求点 M 的横坐标．12．如图 1，已知二次函数 y=ax2+bx+c（ a、b、c 为常数， a≠0）的图象过点O（ 0， 0）和点A（ 4， 0），函数图象最低点M 的纵坐标为﹣，直线l 的解析式为y=x．（1）求二次函数的分析式；（2）直线 l 沿 x 轴向右平移，得直线 l ′，l ′线段与 OA 订交于点 B，与 x 轴下方的抛物线订交于点C，过点C 作CE⊥x 轴于点E，把△BCE沿直线l ′叠，折当点 E 恰巧落在抛物线上点 E′时（图 2），求直线 l 的′分析式；（3）在（2）的条件下， l 与′ y 轴交于点 N，把△ BON绕点 O 逆时针旋转 135°获得△ B′ON，′P 为 l 上′的动点，当△ PB′N为′等腰三角形时，求切合条件的点P的坐标．13．如图，矩形OABC的两边在座标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4 过点 B，C 两点，且与 x 轴的一个交点为 D（﹣ 2，0），点 P 是线段 CB上的动点，设 CP=t（0＜t ＜10）．（1）请直接写出 B、C 两点的坐标及抛物线的分析式；（2）过点 P 作 PE⊥BC，交抛物线于点E，连结 BE，当 t 为什么值时，∠ PBE= ∠OCD？（3）点 Q 是 x 轴上的动点，过点 P 作 PM∥ BQ，交 CQ于点 M ，作 PN∥CQ，交 BQ 于点 N，当四边形 PMQN 为正方形时，恳求出 t 的值．14．以下图，在平面直角坐标系中，⊙ C 经过坐标原点 O，且与 x 轴， y 轴分别订交于 M（4，0）， N（0，3）两点．已知抛物线张口向上，与⊙ C 交于 N，H，P 三点， P 为抛物线的极点，抛物线的对称轴经过点 C 且垂直 x 轴于点 D．（1）求线段 CD的长及极点 P 的坐标；。
2018 中考数学-压轴题二次函数
1. 如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．2. 如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标； *（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．24y ax bx a =+-(10)A -，(04)C ，x B (1)D m m +，D BC BD P 45DBP ∠=°P3. 如图，点P 是双曲线11(00)k y k x=<<，x 上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线2k y x= （0＜k2＜|k1|）于E 、F 两点．（1）图1中，四边形PEOF 的面积S1= (用含k1、k2的式子表示)； （2）图2中，设P 点坐标为（－4，3）．①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论； ②记2PEF OEFS S S ∆∆=-，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。
4. 一开口向上的抛物线与x 轴交于A(m －2，0)，B(m ＋2，0)两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ． (1)若m 为常数，求抛物线的解析式；(2)若m 为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？(3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．5. 已知二次函数22-++=a ax x y 。
2018年中考数学二次函数压轴题集锦(50道含解析)
1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．6．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．7．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．8．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx ﹣2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．9．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为；（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．10．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．11．已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN ∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．12．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．13．如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标14．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为y n，其顶点为A n…（n为正整数）．求A n A n+1的长（用含n的式子表示）．15．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC =S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C 为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．17．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．18．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．19．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．21．如图1，抛物线y1=ax2﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2．（1）求抛物线y2的解析式；（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．22．如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B （3，﹣），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M 到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C（0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．27．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．29．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC 交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC 的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长；若不存在，请说明理由．30．综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE ∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．31．如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b=，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．32．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C 作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．33．如图，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y 轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．34．已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD 的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．36．已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx ﹣3m经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q 在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．PQ交线段AD于点E．①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．38．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．40．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣6），将Rt△AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt△A1OC，Rt△EOF．抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．（1）点C的坐标为，点E的坐标为；抛物线C1的解析式为．抛物线C2的解析式为；（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点．①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+BM，求h与x的函数关系式，当﹣5≤x≤﹣2时，求h的取值范围．41．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．42．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y 轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．43．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．44．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y 轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．45．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．46．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．47．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．48．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．49．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D （4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．50．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．一．解答题（共50小题）1．如图1，已知二次函数y=ax 2+x +c （a ≠0）的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0），连接AB 、AC ．（1）请直接写出二次函数y=ax 2+x +c 的表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若点N 在x 轴上运动，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N 的坐标；（4）如图2，若点N 在线段BC 上运动（不与点B 、C 重合），过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求此时点N 的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得B 的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB 2=20，AC 2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC 是直角三角形． （3）分别以A 、C 两点为圆心，AC 长为半径画弧，与x 轴交于三个点，由AC 的垂直平分线与x 轴交于一个点，即可求得点N 的坐标；（4）设点N 的坐标为（n ，0），则BN=n +2，过M 点作MD ⊥x 轴于点D ，根据三角形相似对应边成比例求得MD=（n +2），然后根据S △AMN =S △ABN ﹣S △BMN 得出关于n 的二次函数，根据函数解析式求得即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax 2+x +c 的图象与y 轴交于点A （0，4），与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为（8，0）， ∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，AB==2，BC=8﹣（﹣2）=10，AC==4，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°．∴AC⊥AB．∵AC∥MN，∴MN⊥AB．设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，∵MN∥AC，△BMN∽△BAC∴=，∴=，BM==，MN==，AM=AB﹣BM=2﹣==AM•MN∵S△AMN=××=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围．【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；（2）由题意知y=kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；（3）分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．【解答】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，∴d（点O，△ABC）=2；（2）y=kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k=﹣1，此时d（G，△ABC）=1；当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k=1，此时d（G，△ABC）=1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；。
2018年中考二次函数压轴题汇编
2018年中考二次函数压轴题汇编2018年中考二次函数压轴题汇编2．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．3．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点M在线段OA上，从O点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒（1）求抛物线解析式；（2）当t为何值时，△AMN为直角三角形；（3）过N作NH∥y轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MH∥AB，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．8．如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．9．如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B 两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．10．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC 交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．13．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．14．如图，已知抛物线y=ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O 重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0≤t≤5）．（1）求出这条抛物线的表达式；的值；（2）当t=0时，求S△OBN（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0＜t≤5）的函数表达式，并求出t为何值时，S有最大值，最大值是多少？15．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF 是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值．17．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．18．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．19．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．20．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM 为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．21．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C （0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．23．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．24．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．25．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．26．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于B、C两点（点B在左，点C在右），交y轴于点A，且OA=OC，B（﹣1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接CD，点P是抛物线上一动点，且在C、D两点之间运动，过点P作PE∥y轴交线段CD于点E，设点P的横坐标为t，线段PE长为d，写出d与t的关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，在BD上有一动点Q，且DQ=CE，连接EQ，当∠BQE+∠DEQ=90°时，求此时点P的坐标．27．已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．28．已知：如图，一次函数y=kx﹣1的图象经过点A（3，m）（m＞0），与y 轴交于点B．点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC=CD．（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（﹣，0），求这条抛物线的函数表达式．29．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC =S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．31．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．32．如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B 两点，直线y=x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．①求证：∠PDQ=90°；②求△PDQ面积的最小值．35．抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A，B，D的坐标分别为，，；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y 轴交于点B，连接AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积；②当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．37．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．38．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x=﹣2．（1）求抛物线的解析式；（2）设直线y=kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），当时，求k的值；（3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当S△POQ ：S△BOQ=1：2时，求出点P的坐标．（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN=）39．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．40．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x 轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．2018年07月10日139****3005的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．如图，点A，B在双曲线y=（x＞0）上，点C在双曲线y=（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，则AB等于（）A．B．2C．4 D．3【解答】解：点C在双曲线y=上，AC∥y轴，BC∥x轴，设C（a，），则B（3a，），A（a，），∵AC=BC，∴﹣=3a﹣a，解得a=1，（负值已舍去）∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC=BC=2，∴Rt△ABC中，AB=2，故选：B．二．解答题（共39小题）2．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+．②∵﹣＜0，∴当t=时，S取最大值，最大值为．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC==3，∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）．3．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3∵△OCA∽△OBC，∴OC：OB=OA：OC，∴OC2=OA•OB=3，则OC=；（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，∴OC=BC，∴点C的横坐标为，又OC=，点C在x轴下方，∴C（，﹣），设直线BM的解析式为y=kx+b，把点B（3，0），C（，﹣）代入得：，解得：b=﹣，k=，∴y=x﹣，又∵点C（，﹣）在抛物线上，代入抛物线解析式，解得：a=，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2；（3）点P存在，设点P坐标为（x，x2﹣x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，则Q（x，x﹣），∴PQ=x﹣﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+3x﹣3，当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣x2+x﹣，S△BCP当x=﹣=时，S有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为△BCP（，﹣）．4．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣10），∵当t=2时，AD=4，∴点D的坐标为（2，4），∴将点D坐标代入解析式得﹣16a=4，解得：a=﹣，抛物线的函数表达式为y=﹣x2+x；（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，当x=t时，AD=﹣t2+t，∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）=2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]=﹣t2+t+20=﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）如图，当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分；当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分；∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分，当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积，∵AB∥CD，∴线段OD平移后得到的线段GH，∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P，在△OBD中，PQ是中位线，所以抛物线向右平移的距离是4个单位．5．如图，点P为抛物线y=x2上一动点．（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．【解答】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）∴抛物线y=（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=x2的图象．（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．如图一，过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为（a，a2）∴PM=PF=a2+1∵PB=a∴Rt△PBF中BF=∴OF=1∴点F坐标为（0，1）②由①，PM=PFQP+PF的最小值为QP+PM的最小值当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．∴QP+PF的最小值为6．6．已知直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点M在线段OA上，从O点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒（1）求抛物线解析式；（2）当t为何值时，△AMN为直角三角形；（3）过N作NH∥y轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MH∥AB，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，3）．将A（﹣3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y=x2+4x+3．（2）当运动时间为t秒时，点M的坐标为（﹣t，0），点N的坐标为（t﹣3，t），∴AM=3﹣t，AN=t．∵△AMN为直角三角形，∠MAN=45°，∴△AMN为等腰直角三角形（如图1）．当∠ANM=90°时，有AM=AN，即3﹣t=2t，解得：t=1；当∠AMN=90°时，有t﹣3=﹣t，解得：t=．综上所述：当t为1秒或秒时，△AMN为直角三角形．（3）设NH与x轴交于点E，如图2所示．当运动时间为t秒时，点M的坐标为（﹣t，0），点N的坐标为（t﹣3，t），∴点E的坐标为（t﹣3，0），点H的坐标为（t﹣3，t2﹣2t）．∵MH∥AB，∴∠EMH=45°，∴△EMH为等腰直角三角形，∴ME=HE，即|2t﹣3|=|t2﹣2t|，解得：t1=1，t2=3（舍去），t3=，t4=﹣（舍去）．当t=时，点E在点M的右边，点H在x轴下方，∴此时MH⊥AB，∴t=1．∴存在点H使MH∥AB，点H的坐标为（﹣2，﹣1）．7．如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣），把A（1，1）代入得a•1（1﹣）=1，解得a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣x（x﹣），即y=﹣x2+x；（2）延长CA交y轴于D，如图1，∵A（1，1），∴OA=，∠D OA=45°，∴△AOD为等腰直角三角形，∵OA⊥AC，∴OD=OA=2，∴D（0，2），易得直线AD的解析式为y=﹣x+2，解方程组得或，则C（5，﹣3），∴S△AOC =S△COD﹣S△AOD=×2×5﹣×2×1=4；（3）存在．如图2，作MH⊥x轴于H，AC==4，OA=，设M（x，﹣x2+x）（x＞0），∵∠OHM=∠OAC，∴当=时，△OHM∽△OAC，即=，解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去），x2=﹣（舍去），解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去），x2=，此时M点坐标为（，﹣54）；当=时，△OHM∽△CAO，即=，解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去），x2=，此时M点的坐标为（，），解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去），x2=﹣，此时M点坐标为（，﹣）；∵MN⊥OM，∴∠OMN=90°，∴∠MON=∠HOM，∴△OMH∽△ONM，∴当M点的坐标为（，﹣54）或（，）或（，﹣）时，以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．8．如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），∴2=4a+1，解得：a=，∴二次函数表达式为y=x2+1．（2）∵一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2），∴2=k×0+b，∴b=2．（3）证明：过点M作ME⊥y轴于点E，如图1所示．设点M的坐标为（x，x2+1），则MC=x2+1，∴ME=|x|，EB=|x2+1﹣2|=|x2﹣1|，∴MB=，=，=，=，=x2+1．∴MB=MC．（4）相切，理由如下：过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，如图2所示．由（3）知NB=ND，∴MN=NB+MB=ND+MC．∵点P为MN的中点，PQ∥MH，∴PQ=MH．∵ND∥HC，NH∥DC，且四个角均为直角，∴四边形NDCH为矩形，∴QF=ND，∴PF=PQ+QF=MH+ND=（ND+MH+HC）=（ND+MC）=MN．∴以MN为直径的圆与x轴相切．9．如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B 两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，∴﹣=3，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．当y=0时，﹣x2+x+4=0，解得：x1=﹣2，x2=8，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．（2）当x=0时，y=﹣x2+x+4=4，∴点C的坐标为（0，4）．设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）．将B（8，0）、C（0，4）代入y=kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC 于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．∴PD=﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）=﹣x2+2x，∴S△PBC=PD•OB=×8•（﹣x2+2x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16．∵﹣1＜0，∴当x=4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．∵0＜x＜8，∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．（3）设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4），∴MN=|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|=|﹣m2+2m|．又∵MN=3，∴|﹣m2+2m|=3．当0＜m＜8时，有﹣m2+2m﹣3=0，解得：m1=2，m2=6，∴点P的坐标为（2，6）或（6，4）；当m＜0或m＞8时，有﹣m2+2m+3=0，解得：m3=4﹣2，m4=4+2，∴点P的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．综上所述：M点的坐标为（4﹣2，﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+2，﹣﹣1）．10．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，则直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，则N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，∴S△PAB =S△PAN+S△PBN。
2018年中考数学二次函数压轴题汇编及解析
2018年中考数学二次函数压轴题汇编及解析1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c 与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．3．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M 的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是．②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y 轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．6．已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．7．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n 关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．9．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M （1，0），且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．10．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．11．定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P 在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP 的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标．（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P （1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．=S△ABP的Q （3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ点（异于点P）的坐标．12．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；=S△ABD？若存在（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．15．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB 的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．16．如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．（1）点B，C的坐标分别为B（），C（）；（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=．17．已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．18．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x 轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．19．如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B 在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m 的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE 的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A （0，）（1）若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E，F．①填空：b=（用含a的代数式表示）；②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；（2）若a=，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b 的值．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D 作DC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x 轴，交直线AD 于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；。
2018年湖南省中考数学二次函数压轴题含解析
2018年湖南省中考《二次函数》压轴题精编（解析版）一．解答题（共13小题）1．（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD 的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；==③“十字形”ABCD的周长为2．（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC ⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．+c（a＞0）的图象抛3．（株洲市）如图，已知二次函数y=ax2﹣物线与x轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，（1）若抛物线的对称轴为a值；（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．为3+12a4．（永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x 轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．5．（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=4，设点A′是点A关于原点O的对称点，如3图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（郴州市）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．7．（湘潭市）如图，点P为抛物线y=14x2上一动点．（1）若抛物线y=14x2是由抛物线y=14（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF 恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．8．（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x 轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．9．（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的1？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．310．（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．11．（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN 沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK 绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．12．（衡阳市）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．13．（娄底市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．2018年湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精析一．解答题（共13小题）1．（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有菱形，正方形；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形不是“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD 的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；==③“十字形”AB CD的周长为【学会思考】（1）利用“十字形”的定义判断即可；（2）先判断出∠ADB +∠CAD=∠ABD +∠CAB ，进而判断出∠AED=∠AEB=90°，即：AC ⊥BD ，再判断出四边形OMEN 是矩形，进而得出OE 2=2﹣14（AC 2+BD 2），即可得出结论； （3）由题意得，A （，0），B （0，c ），C （，0），D （0，﹣ac ），求出S=12AC•B D=﹣12（ac +c ）×，S 1=12OA•OB=﹣，S 2=12OC•OD=﹣，S 3=12OA ×OD=﹣，S 4=12OB ×OC=﹣，进而建立方程+=+，求出a=1，再求出b=0，进而判断出四边形ABCD 是菱形，求出c=﹣9，即可得出结论．【解】：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直， ∴菱形，正方形是：“十字形”，∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直， ∴平行四边形，矩形不是“十字形”， 故答案为：菱形，正方形； ②如图，当CB=CD 时，在△ABC 和△ADC 中，，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）， ∴∠BAC=∠DAC ， ∵AB=AD ， ∴AC ⊥BD ，∴当CB≠CD时，四边形ABCD不是“十字形”，故答案为：不是；（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CDB=∠CAB，∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，∴∠AED=∠AEB=90°，∴AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=12AC，DN=12BD，四边形OMEN是矩形，∴ON=ME，OE2=OM2+ME2，∴OE2=OM2+ON2=2﹣14（AC2+BD2），∵6≤AC2+BD2≤7，∴2﹣74≤OE2≤2﹣32，∴14≤OE2≤12，∴12（OE＞0）；（3）由题意得，A（，0），B（0，c），C（，0），D（0，﹣ac），∵a＞0，c＜0，∴OA=，OB=﹣c，OC=，OD=﹣ac，AC=，BD=﹣ac﹣c，∴S=12AC•BD=﹣12（ac +c ）×，S 1=12OA•OB=﹣，S 2=12OC•OD=﹣，S 3=12OA ×OD=﹣，S 4=12OB ×OC=﹣，== ∴+=+，， ∴a=1，∴S=﹣S 1=﹣，S 4=﹣，= ∴S=S1+S 2+ ∴﹣﹣+2，∴﹣=﹣c•∴∴b=0，∴A 0），B （0，c ），C 0），d （0，﹣c ）， ∴四边形ABCD 是菱形，∴∴ 即：AD 2=90， ∵AD 2=c 2﹣c ， ∴c 2﹣c=90，∴c=﹣9或c=10（舍），即：y=x2﹣9．2．（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC ⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．【学会思考】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y=1x，直线AB的2解析式为y=2x﹣12，直线MN的解析式为y=2x﹣2t，再通过解方程组得N （43t ，23t ），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM 得到S △AMN =12•4•t ﹣12•t•23t ，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设Q （m ，14m 2﹣32m ），根据相似三角形的判定方法，当=时，△PQO ∽△COA ，则|14m 2﹣32m |=2|m |；当=时，△PQO ∽△CAO ，则|14m 2﹣32m |=12|m |，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标．【解】：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3， ∴B 点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax （x ﹣6），把A （8，4）代入得a•8•2=4，解得a=14，∴抛物线解析式为y=14x （x ﹣6），即y=14x 2﹣32x ；（2）设M （t ，0），易得直线OA 的解析式为y=12x ， 设直线AB 的解析式为y=kx +b ， 把B （6，0），A （8，4）代入得，解得，∴直线AB 的解析式为y=2x ﹣12， ∵MN ∥AB ，∴设直线MN 的解析式为y=2x +n ，把M （t ，0）代入得2t +n=0，解得n=﹣2t ， ∴直线MN 的解析式为y=2x ﹣2t ，解方程组得，则N（43t，23t），∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM=1 2•4•t﹣12•t•23t=﹣13t2+2t=﹣13（t﹣3）2+3，当t=3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；（3）设Q（m，14m2﹣32m），∵∠OPQ=∠ACO，∴当=时，△PQO∽△COA，即=，∴PQ=2PO，即|14m2﹣32m|=2|m|，解方程14m2﹣32m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，0）；解方程14m2﹣32m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0）；∴当=时，△PQO∽△CAO，即=，∴PQ=12PO，即|14m2﹣32m|=12|m|，解方程14m2﹣32m=12m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），解方程14m2﹣32m=﹣12m得m1=0（舍去），m2=4，此时P点坐标为（4，0）；综上所述，P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）．3．（株洲市）如图，已知二次函数y=ax2﹣+c（a＞0）的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，（1）若抛物线的对称轴为a值；（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+1，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．2a【学会思考】（1）根据抛物线的对称轴公式代入可得a的值；（2）根据已知得：抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，列不等式可得c的取值范围；（3）根据60°的正切表示点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式中得：ac=12，则c=，从而得A和B的坐标，表示F的坐标，作辅助线，构建直角△ADG，根据已知的角相等可得△ADG∽△AFE，列比例式得方程可得a和c的值．【解】：（1）抛物线的对称轴是：x=﹣=﹣a=5；2（2）由题意得二次函数解析式为：y=15x2﹣+c，∵二次函数与x 轴有两个交点， ∴△＞0， ∴△=b 2﹣4ac=﹣4×15c ，∴c ＜54；（3）∵∠BOD=90°，∠DBO=60°，∴tan60°==∴OB=，∴B （3c ，0），把B （3c ，0）代入y=ax 2﹣+c 中得：23ac 3+c=0，23ac ﹣5c +c=0， ∵c ≠0， ∴ac=12， ∴c=，把c=代入y=ax 2﹣+c 中得：y=a （x 2﹣+）=a （x ﹣）（x ﹣），∴x 1=，x 2=，∴A （，0），B （，0），D （0，），∴AB=﹣=，AE=，∵F 的纵坐标为3+，∴F （，），过点A 作AG ⊥DB 于G ，∴BG=12AB=AE=，AG=92a， DG=DB ﹣BG=﹣=，∵∠ADB=∠AFE ，∠AGD=∠FEA=90°， ∴△ADG ∽△AFE ， ∴，∴=，∴a=2，c=6， ∴y=2x 2﹣+6．4．（永州市）如图1，抛物线的顶点A 的坐标为（1，4），抛物线与x 轴相交于B 、C 两点，与y 轴交于点E （0，3）． （1）求抛物线的表达式；（2）已知点F （0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G ，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．【学会思考】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；（2）根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；（3）如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y=﹣2x+6，设N （m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），表示NQ=﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可．【解】：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x﹣1）2+4，把（0，3）代入得：3=a（0﹣1）2+4，a=﹣1，∴抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；（2）存在，如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，∵E（0，3），∴E'（2，3），易得E'F的解析式为：y=3x﹣3，当x=1时，y=3×1﹣3=0，∴G（1，0）（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0），易得AB的解析式为：y=﹣2x+6，过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（1＜m＜3），∴NQ=（﹣m2+2m+3）﹣（﹣2m+6）=﹣m2+4m﹣3，∵AD∥NH，∴∠DAB=∠NQM，∵∠ADB=∠QMN=90°，∴△QMN∽△ADB，∴，∴，∴MN=﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当m=2时，MN有最大值；过N作NG⊥y轴于G，∵∠GPN=∠ABD，∠NGP=∠ADB=90°，∴△NGP∽△ADB，∴=24=12，∴PG=12NG=12m，∴OP=OG﹣PG=﹣m2+2m+3﹣12m=﹣m2+32m+3，∴S△PON=12OP•GN=12（﹣m2+32m+3）•m，当m=2时，S△PON=12×2（﹣4+3+3）=2．（方法2：根据m的值计算N的坐标为（2，3），与E是对称点，连接EN，同理得：EP=12EN=1，则OP=2，根据面积公式可得结论）．5．（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=4，设点A′是点A关于原点O的对称点，如3图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F 的解析式；（2）将直线l的解析式代入抛物线F的解析式中，可求出x1、x2的值，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2的值，做差后即可得出y2﹣y1的值；（3）根据m的值可得出点A、B的坐标，利用对称性求出点A′的坐标．①利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B 为等边三角形；②根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点P ，设点P 的坐标为（x ，y ），分三种情况考虑：（i ）当A′B 为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P 的坐标；（ii ）当AB 为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P 的坐标；（iii ）当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P 的坐标．综上即可得出结论．【解】：（1）∵抛物线y=x 2+bx +c 的图象经过点（0，0）和0）， ∴，解得：，∴抛物线F 的解析式为y=x 2+3x ．（2）将y=3x +m 代入y=x 2+3x ，得：x 2=m ，解得：x 1=，x 2，∴y1=m ，y 2m ，∴y 2﹣y 1=m m ）m ＞0）．（3）∵m=43，∴点A 23），点B ，2）． ∵点A′是点A 关于原点O 的对称点，∴点A′，﹣23）．①△AA′B 为等边三角形，理由如下：∵A （﹣3，23），B （3，2），A′（3，﹣23）， ∴AA′=83，AB=83，A′B=83， ∴AA′=AB=A′B ，∴△AA′B 为等边三角形． ②∵△AA′B 为等边三角形，∴存在符合题意的点P ，且以点A 、B 、A′、P 为顶点的菱形分三种情况，设点P 的坐标为（x ，y ）． （i ）当A′B 为对角线时，有，解得：，∴点P 的坐标为（23）； （ii ）当AB 为对角线时，有，解得：，∴点P 103）； （iii ）当AA′为对角线时，有，解得：，∴点P 2）．综上所述：平面内存在点P ，使得以点A 、B 、A′、P 为顶点的四边形是菱形，点P 的坐标为（，23）、，103）和，﹣2）．6．（郴州市）如图1，已知抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ． （1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC ，PB ，PC ，设△PBC 的面积为S ． ①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．【学会思考】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【解】：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM 是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278．②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（32，154）．7．（湘潭市）如图，点P为抛物线y=14x2上一动点．（1）若抛物线y=14x2是由抛物线y=14（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF 恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．【学会思考】（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．（2）①设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；②利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题．【解】：（1）∵抛物线y=14（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）∴抛物线y=14（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=14x2的图象．（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．如图一，过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为（a，1a2）4a2+1∴PM=PF=14∵PB=a∴Rt△PBF中BF=∴OF=1∴点F坐标为（0，1）②由①，PM=PFQP+PF的最小值为QP+PM的最小值当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．∴QP+PF的最小值为6．8．（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x 轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．【学会思考】（1）将点A的坐标代入二次函数表达式中可求出a值，进而可得出二次函数表达式；（2）将点B的坐标代入一次函数表达式中可求出b值；x2+1），则（3）过点M作ME⊥y轴于点E，设点M的坐标为（x，14x2+1，由勾股定理可求出MB的长度，进而可证出MB=MC；MC=14（4）过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x 轴于点F，过点N作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，由（3）的结论MH，进可得出MN=NB+MB=ND+MC，利用中位线定理可得出PQ=12MN，由此即可得出以MN为直径的圆与x轴相切．而可得出PF=12【解】：（1）∵二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），，∴2=4a+1，解得：a=14∴二次函数表达式为y=14x2+1．（2）∵一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2），∴2=k×0+b，∴b=2．（3）证明：过点M作ME⊥y轴于点E，如图1所示．设点M的坐标为（x，14x2+1），则MC=14x2+1，∴ME=|x|，EB=|14x2+1﹣2|=|14x2﹣1|，∴MB=，=，=，=，=14x2+1．∴MB=MC．（4）相切，理由如下：过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，如图2所示．由（3）知NB=ND，∴MN=NB+MB=ND+MC．∵点P为MN的中点，PQ∥MH，∴PQ=12MH．∵ND∥HC，NH∥DC，且四个角均为直角，∴四边形NDCH为矩形，∴QF=ND，∴PF=PQ+QF=12MH+ND=12（ND+MH+HC）=12（ND+MC）=12MN．∴以MN为直径的圆与x轴相切．9．（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的1？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．3【学会思考】（1）利用配方法得到y=x2+2x+1=（x+1）2，然后根据抛物线的变换规律求解；（2）利用顶点式y=（x+1）2得到A（﹣1，0），解方程﹣x2+4=0得D （﹣2，0），C（2，0）易得B（0，4），列举出所有的三角形，再计算出AC=3，AD=1，CD=4，腰三角形的判定方法和概率公式求解；（3）易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），讨论：①当N点在AC上，如图1，利用面积公（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，求式得到12出AN=1，MN=4，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；当m=1时，计算出AN=2，MN=2，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；②当N点在BC上，如图2，先利用面积法计算出再根据三角形面积公式计算出tan∠MAC的值；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则﹣t，由②得BNM∽△BHA，利用相似比可得到MN=，利用三角形面积公式得到12•﹣t）•=2，根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件，从而得到tan∠MAN的值为1或4或59．【解】：（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2．把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4；（2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A（﹣1，0），当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，∵AC=3，AD=1，CD=4，∴△BCD为等腰三角形，∴构造的三角形是等腰三角形的概率=13；（3）存在．易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=12AC•OB=12×3×4=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），①当N点在AC上，如图1，∴△AMN 的面积为△ABC 面积的13，∴12（m +1）（﹣2m +4）=2，解得m 1=0，m 2=1，当m=0时，M 点的坐标为（0，4），N （0，0），则AN=1，MN=4， ∴tan ∠MAC==4；当m=1时，M 点的坐标为（1，2），N （1，0），则AN=2，MN=2， ∴tan ∠MAC==1；②当N 点在BC 上，如图2，BC=∵12BC•AN=12AC•BC ，解得AN==5， ∵S △AMN =12AN•MN=2，∴MN=， ∴∠MAC===59；③当N 点在AB 上，如图3，作AH ⊥BC 于H ，设AN=t ，则﹣t ，由②得，则BH= ∵∠NBG=∠HBA ， ∴△BNM ∽△BHA ， ∴=，即=，∴MN=，∵1AN•MN=2，2•﹣t）•=2，即12整理得3t2﹣t+14=0，△=（﹣）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，∴点N在AB上不符合条件，综上所述，tan∠MAN的值为1或4或5．910．（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3），展开得到﹣2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y 轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=﹣1x+b，把C点3x+3，再解方程组坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=﹣13得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．【解】：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣1x+b，3把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（103，﹣139），综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），11．（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN 沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK 绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．【学会思考】（1）应用待定系数法；（2）利用相似三角形性质分类讨论求解；（3）由已知直线l′与x轴所夹锐角为45°，△EMN为等腰直角三角形，当沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形，表示点N、E′坐标带入抛物线解析式，可解；（4）由（3）图形旋转可知，M′K′⊥直线l′，△M'FK′只能为等腰直角三角形，则分类讨论可求解．【解】：（1）由已知点B坐标为（5，5）把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得解得∴抛物线的解析式为：y=（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=32，则点C坐标为（32，32）∴OC=，当△OBA∽△OCP时，∴∴OP=910当△OBA∽△OPC时，∴∴OP=5∴点P坐标为（5，0）或（910，0）（3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c ∵直线l′y=x+c与x轴夹角为45°当把△MEN沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形∴点E′坐标为（a﹣b，b）∵EE′平行于x轴∴E、E′关于抛物线对称轴对称∵∴b=2a﹣3则点N坐标可化为（a，2a﹣3）把点N坐标带入y=得：2a﹣3=解得a1=1，a2=6∵a=6时，b=2a﹣3=﹣9由函数解析式可知函数最小值为﹣98＜6∴﹣98∴a=6舍去则点N坐标为（1，﹣1）把N坐标代入y=x+c则c=﹣2∴直线l′的解析式为：y=x﹣2（4）由（3）K点坐标为（0，﹣2）。
2018年中考数学真题汇编二次函数(含答案)
中考数学真题演练2 2018年中考数学真题汇编----二次函数
一、选择题
1.给出下列函数：①y=-3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）
A. ①③
B. ③④
C. ②④
D. ②③
【答案】B
2.如图,函数和 ( 是常数,且 )在同一平面直角坐标系的图象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
3.关于二次函数，下列说法正确的是（）
A. 图像与轴的交点坐标为
B. 图像的对称轴在轴的右侧
C. 当时，的值随值的增大而减小
D. 的最小值为-3
【答案】D
4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )
A. B.
C. D. 有两个不相等的实数根
【答案】C
5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )
A. B.
C. D.
【答案】B
6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。
已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）
A. （-3，-6）
B. （-3，0）
C. （-3，-5）
D. （-3，-1）
【答案】B
7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝-t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（）。
2018年中考二次函数压轴题汇编
2018年中考二次函数压轴题汇编2018年中考二次函数压轴题汇编2．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．3．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．5．如图，点P为抛物线y=x2上一动点．（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．6．已知直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点M在线段OA上，从O点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒（1）求抛物线解析式；（2）当t为何值时，△AMN为直角三角形；（3）过N作NH∥y轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MH∥AB，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．10．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC 交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．13．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．14．如图，已知抛物线y=ax2+bx与x轴分别交于原点O和点F（10，0），与对称轴l交于点E（5，5）．矩形ABCD的边AB在x轴正半轴上，且AB=1，边AD，BC与抛物线分别交于点M，N．当矩形ABCD沿x轴正方向平移，点M，N位于对称轴l的同侧时，连接MN，此时，四边形ABNM的面积记为S；点M，N位于对称轴l的两侧时，连接EM，EN，此时五边形ABNEM的面积记为S．将点A与点O 重合的位置作为矩形ABCD平移的起点，设矩形ABCD平移的长度为t（0≤t≤5）．（1）求出这条抛物线的表达式；的值；（2）当t=0时，求S△OBN（3）当矩形ABCD沿着x轴的正方向平移时，求S关于t（0＜t≤5）的函数表达式，并求出t为何值时，S有最大值，最大值是多少？15．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF 是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值．17．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．18．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．19．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．20．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM 为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．21．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C （0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．23．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．24．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．25．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C （0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．26．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于B、C两点（点B在左，点C在右），交y轴于点A，且OA=OC，B（﹣1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接CD，点P是抛物线上一动点，且在C、D两点之间运动，过点P作PE∥y轴交线段CD于点E，设点P的横坐标为t，线段PE长为d，写出d与t的关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BD，在BD上有一动点Q，且DQ=CE，连接EQ，当∠BQE+∠DEQ=90°时，求此时点P的坐标．27．已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．28．已知：如图，一次函数y=kx﹣1的图象经过点A（3，m）（m＞0），与y 轴交于点B．点C在线段AB上，且BC=2AC，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若AC=CD．（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A，它的顶点为P，若过点P且垂直于AP的直线与x轴的交点为Q（﹣，0），求这条抛物线的函数表达式．29．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC =S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．31．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．32．如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B 两点，直线y=x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．34．已知抛物线y=a（x﹣1）2过点（3，1），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，），且∠BDC=90°，求点C的坐标；（3）如图，直线y=kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．①求证：∠PDQ=90°；②求△PDQ面积的最小值．35．抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A，B，D的坐标分别为，，；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．36．如图，抛物线y=ax2+4x+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），点E（4，5），与y 轴交于点B，连接AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABO绕点O旋转，点B的对应点为点F．①当点F落在直线AE上时，求点F的坐标和△ABF的面积；②当点F到直线AE的距离为时，过点F作直线AE的平行线与抛物线相交，请直接写出交点的坐标．37．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．38．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于原点及点A，且经过点B（4，8），对称轴为直线x=﹣2．（1）求抛物线的解析式；（2）设直线y=kx+4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），当时，求k的值；（3）连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点Q，当S△POQ ：S△BOQ=1：2时，求出点P的坐标．（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN=）39．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．40．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x 轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．2018年07月10日139****3005的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．如图，点A，B在双曲线y=（x＞0）上，点C在双曲线y=（x＞0）上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，则AB等于（）A．B．2C．4 D．3【解答】解：点C在双曲线y=上，AC∥y轴，BC∥x轴，设C（a，），则B（3a，），A（a，），∵AC=BC，∴﹣=3a﹣a，解得a=1，（负值已舍去）∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC=BC=2，∴Rt△ABC中，AB=2，故选：B．二．解答题（共39小题）2．如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+．②∵﹣＜0，∴当t=时，S取最大值，最大值为．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC==3，∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）．3．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3∵△OCA∽△OBC，∴OC：OB=OA：OC，∴OC2=OA•OB=3，则OC=；（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，∴OC=BC，∴点C的横坐标为，又OC=，点C在x轴下方，∴C（，﹣），设直线BM的解析式为y=kx+b，把点B（3，0），C（，﹣）代入得：，解得：b=﹣，k=，∴y=x﹣，又∵点C（，﹣）在抛物线上，代入抛物线解析式，解得：a=，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2；（3）点P存在，设点P坐标为（x，x2﹣x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，则Q（x，x﹣），∴PQ=x﹣﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+3x﹣3，当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣x2+x﹣，S△BCP当x=﹣=时，S有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为△BCP（，﹣）．4．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣10），∵当t=2时，AD=4，∴点D的坐标为（2，4），∴将点D坐标代入解析式得﹣16a=4，解得：a=﹣，抛物线的函数表达式为y=﹣x2+x；（2）由抛物线的对称性得BE=OA=t，当x=t时，AD=﹣t2+t，∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD）=2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]=﹣t2+t+20=﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）如图，当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2），当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分；当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分；∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分，当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积，∵AB∥CD，∴线段OD平移后得到的线段GH，∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P，在△OBD中，PQ是中位线，所以抛物线向右平移的距离是4个单位．5．如图，点P为抛物线y=x2上一动点．（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．【解答】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）∴抛物线y=（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=x2的图象．（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．如图一，过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为（a，a2）∴PM=PF=a2+1∵PB=a∴Rt△PBF中BF=∴OF=1∴点F坐标为（0，1）②由①，PM=PFQP+PF的最小值为QP+PM的最小值当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．∴QP+PF的最小值为6．6．已知直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点M在线段OA上，从O点出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒（1）求抛物线解析式；（2）当t为何值时，△AMN为直角三角形；（3）过N作NH∥y轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MH∥AB，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y=x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，3）．将A（﹣3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y=x2+4x+3．（2）当运动时间为t秒时，点M的坐标为（﹣t，0），点N的坐标为（t﹣3，t），∴AM=3﹣t，AN=t．∵△AMN为直角三角形，∠MAN=45°，∴△AMN为等腰直角三角形（如图1）．当∠ANM=90°时，有AM=AN，即3﹣t=2t，解得：t=1；当∠AMN=90°时，有t﹣3=﹣t，解得：t=．综上所述：当t为1秒或秒时，△AMN为直角三角形．（3）设NH与x轴交于点E，如图2所示．当运动时间为t秒时，点M的坐标为（﹣t，0），点N的坐标为（t﹣3，t），∴点E的坐标为（t﹣3，0），点H的坐标为（t﹣3，t2﹣2t）．∵MH∥AB，∴∠EMH=45°，∴△EMH为等腰直角三角形，∴ME=HE，即|2t﹣3|=|t2﹣2t|，解得：t1=1，t2=3（舍去），t3=，t4=﹣（舍去）．当t=时，点E在点M的右边，点H在x轴下方，∴此时MH⊥AB，∴t=1．∴存在点H使MH∥AB，点H的坐标为（﹣2，﹣1）．7．如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．（1）求抛物线解析式；（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣），把A（1，1）代入得a•1（1﹣）=1，解得a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣x（x﹣），即y=﹣x2+x；（2）延长CA交y轴于D，如图1，∵A（1，1），∴OA=，∠D OA=45°，∴△AOD为等腰直角三角形，∵OA⊥AC，∴OD=OA=2，∴D（0，2），易得直线AD的解析式为y=﹣x+2，解方程组得或，则C（5，﹣3），∴S△AOC =S△COD﹣S△AOD=×2×5﹣×2×1=4；（3）存在．如图2，作MH⊥x轴于H，AC==4，OA=，设M（x，﹣x2+x）（x＞0），∵∠OHM=∠OAC，∴当=时，△OHM∽△OAC，即=，解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去），x2=﹣（舍去），解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去），x2=，此时M点坐标为（，﹣54）；当=时，△OHM∽△CAO，即=，解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去），x2=，此时M点的坐标为（，），解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去），x2=﹣，此时M点坐标为（，﹣）；∵MN⊥OM，∴∠OMN=90°，∴∠MON=∠HOM，∴△OMH∽△ONM，∴当M点的坐标为（，﹣54）或（，）或（，﹣）时，以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．8．如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），∴2=4a+1，解得：a=，∴二次函数表达式为y=x2+1．（2）∵一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2），∴2=k×0+b，∴b=2．（3）证明：过点M作ME⊥y轴于点E，如图1所示．设点M的坐标为（x，x2+1），则MC=x2+1，∴ME=|x|，EB=|x2+1﹣2|=|x2﹣1|，∴MB=，=，=，=，=x2+1．∴MB=MC．（4）相切，理由如下：过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，如图2所示．由（3）知NB=ND，∴MN=NB+MB=ND+MC．∵点P为MN的中点，PQ∥MH，∴PQ=MH．∵ND∥HC，NH∥DC，且四个角均为直角，∴四边形NDCH为矩形，∴QF=ND，∴PF=PQ+QF=MH+ND=（ND+MH+HC）=（ND+MC）=MN．∴以MN为直径的圆与x轴相切．9．如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B 两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解折式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，∴﹣=3，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．当y=0时，﹣x2+x+4=0，解得：x1=﹣2，x2=8，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．（2）当x=0时，y=﹣x2+x+4=4，∴点C的坐标为（0，4）．设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）．将B（8，0）、C（0，4）代入y=kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC 于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．∴PD=﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）=﹣x2+2x，∴S△PBC=PD•OB=×8•（﹣x2+2x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16．∵﹣1＜0，∴当x=4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．∵0＜x＜8，∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．（3）设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4），∴MN=|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|=|﹣m2+2m|．又∵MN=3，∴|﹣m2+2m|=3．当0＜m＜8时，有﹣m2+2m﹣3=0，解得：m1=2，m2=6，∴点P的坐标为（2，6）或（6，4）；当m＜0或m＞8时，有﹣m2+2m+3=0，解得：m3=4﹣2，m4=4+2，∴点P的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，﹣﹣1）．综上所述：M点的坐标为（4﹣2，﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+2，﹣﹣1）．10．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，则直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，则N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，∴S△PAB =S△PAN+S△PBN。
2018年中考数学二次函数压轴题汇编
1．如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P，N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′Ｎ能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．3．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M 的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是．②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B （3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x 轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．6．已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；②当点P'落在第二象限内，P'A2取得最小值时，求m的值．7．在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n 关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A、B两点的坐标；（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是．A.0B.1C.2D.1或2（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．9．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；（ⅱ）求△QMN面积的最小值．10．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．11．定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P 在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标．（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P （1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q 点（异于点P）的坐标．12．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM 的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．15．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB 的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．16．如图，已知二次函数y=x2﹣4的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．（1）点B，C的坐标分别为B（），C（）；（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=．17．已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．18．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．19．如图，抛物线y=mx2﹣16mx+48m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B 在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E．（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；（2）若对任意m＞0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m 的式子表示）；（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE 的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0，y0）总有n+≥﹣4my02﹣12y0﹣50成立，求实数n的最小值．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点，①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A （0，）（1）若此抛物线经过点B（2，﹣），且与x轴相交于点E，F．①填空：b=（用含a的代数式表示）；②当EF2的值最小时，求抛物线的解析式；（2）若a=，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b 的值．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD 于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知函数y=mx2﹣（2m﹣5）x+m﹣2的图象与x轴有两个公共点．（1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为C1．①当n≤x≤﹣1时，y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；②函数C2：y=m（x﹣h）2+k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．25．如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．26．如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D；①连结BD，求BD的最小值；②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．27．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求BE：MF的值．28．平面直角坐标系xOy中，点A、B的横坐标分别为a、a+2，二次函数y=﹣x2+（m﹣2）x+2m的图象经过点A、B，且a、m满足2a﹣m=d（d为常数）．（1）若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点．①当a=1、d=﹣1时，求k的值；②若y1随x的增大而减小，求d的取值范围；（2）当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时，判断直线AB与x轴的位置关系，并说明理由；（3）点A、B的位置随着a的变化而变化，设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D，线段CD的长度会发生变化吗？如果不变，求出CD的长；如果变化，请说明理由．29．如图，抛物线y=﹣x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求直线BC的函数表达式；（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）②在点P、Q运动的过程中，当PQ=PD时，求t的值；（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD 的中点？若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC．（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标．31．如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x 轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y=x+的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．32．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．（1）求此二次函数的关系式；（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．33．抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．34．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值．35．如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B （﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P 为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．36．如图，某日的钱塘江观潮信息如图：按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数s=t2+bt+c（b，c是常数）刻画．（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头 1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度v=v0+（t﹣30），v0是加速前的速度）．37．如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E 作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．39．抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线y=x+3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．40．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=．【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b=，c=；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．3．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y=．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y=﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y=﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN与二次函数y=﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），C（m，0）是线段A B上一点（与A，B点不重合），抛物线L1：y=ax2+b1x+c1（a＜0）经过点A，C，顶点为D，抛物线L2：y=ax2+b2x+c2（a＜0）经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F．（1）若a=﹣，m=﹣1，求抛物线L1，L2的解析式；（2）若a=﹣1，AF⊥BF，求m的值；（3）是否存在这样的实数a（a＜0），无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？若存在，请直接写出a的两个不同的值；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P 的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．6．如图1，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，6），直线AD交B C于点D，tan∠OAD=2，抛物线M1：y=ax2+bx（a≠0）过A，D两点．（1）求点D的坐标和抛物线M1的表达式；（2）点P是抛物线M1对称轴上一动点，当∠CPA=90°时，求所有符合条件的点P的坐标；（3）如图2，点E（0，4），连接AE，将抛物线M1的图象向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线M2．①设点D平移后的对应点为点D′，当点D′恰好在直线AE上时，求m的值；②当1≤x≤m（m＞1）时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围．7．如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B （6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动；与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止．当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t 为何值时，S有最大值，最大值是多少？8．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．9．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便探究】10．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直X轴于点D，链接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点M、N为抛物线上的动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x 轴于点E．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点N作NF⊥x轴，垂足为点F，若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若∠DMN=90°，MD=MN，求点M的横坐标．12．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．（1）求二次函数的解析式；（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′为等腰三角形时，求符合条件的点，P为l′上的动点，当△PB′N′P的坐标．13．如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．14．如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y 轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．16．已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相。
湖南省2018年中考数学复习热点小专题(四) 二次函数综合
热点小专题(四)__二次函数综合类|型|1 二次函数与方程 1．[2017·苏州]若二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a(x －2)2＋1＝0的实数根为( ) A ．x 1＝0，x 2＝4 B ．x 1＝—2，x 2＝6 C ．x 1＝32，x 2＝52D ．x 1＝—4，x 2＝02．[2017·潍坊]工人师傅用一块长为10 dm ，宽为6 dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)(1)在图R 4－1中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12 dm 2时，裁掉的正方形边长多大？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？图R 4－1类|型|2 二次函数与最值 3．[2017·安徽]某超市销售一种商品，成本为每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：(1)求y 与x (2)设商品每天的总利润为W (元)，求W 与x 之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；(3)试说明(2)中总利润W 随售价x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？类|型|3二次函数与分段函数4．[2017·随州]某水果店在两周内将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种水果每次降价的百分率；(2)从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x天的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大．(3)在可降多少元？类|型|4二次函数与三角形5．[2017·齐齐]哈尔如图R4－2，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出点C和点D的坐标；(3)若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P点坐标．图R4－26.[2017·宁波]如图R4－3，抛物线y＝14x2＋14x＋c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点C(6，152)在抛物线上，直线AC与y轴交于点D.(1)求c的值及直线AC的函数表达式；(2)点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连接PQ与直线AC交于点M，连接MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．①求证：△APM∽△AON；图R 4－3类|型|5 二次函数与四边形7．[2017·常德]如图R 4－4，已知抛物线的对称轴是y 轴，且点(2，2)，(1，54)在抛物线上，点P 是抛物线上不与顶点N 重合的一动点，过点P 作PA ⊥x 轴于A ，PC ⊥y 轴于C ，延长PC 交抛物线于E ，设M 是O 关于抛物线顶点N 的对称点，D 是C 点关于N 的对称点．(1)求抛物线的解析式及顶点N 的坐标； (2)求证：四边形PMDA 是平行四边形；(3)求证：△DPE ∽△PAM ，并求出当它们的相似比为3时点P 的坐标．图R4－4类|型|6二次函数与圆8．[2017·济宁]已知函数y＝mx2－(2m－5)x＋m－2的图象与x轴有两个公共点．(1)求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；(2)将题(1)中求得的函数记为C1.①当n≤x≤－1时，y的取值范围是1≤y≤－3n，求n的值；②函数C2：y＝m(x－h)2＋k的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为5的圆内或圆上．设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．类|型|7二次函数与动点问题9．[2017·资阳]如图R4－5，抛物线y＝a(x＋1)2＋4(a≠0)与x轴交于A，C两点，与直线y＝x－1交于A，B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在直线AB上方的抛物线上运动．①点P在什么位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标；②当点P与点C重合时，连接PE，将△PEB补成矩形，使△PEB上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三图R 4－5参考答案1．A [解析] ∵y ＝ax 2＋1经过点(－2，0)，∴4a ＋1＝0，解得a ＝－14，则－14(x －2)2＋1＝0，解一元二次方程得x 1＝0，x 2＝4.2．解：(1)如图所示：设裁掉的正方形的边长为x dm ，由题意可得(10－2x )(6－2x )＝12，即x 2－8x ＋12＝0， 解得x 1＝2，x 2＝6(舍去)． 所以当裁掉的正方形的边长为2 dm 时，长方体底面面积为12 dm 2. (2)因为长不大于宽的五倍，所以10－2x ≤5(6－2x )， 所以0＜x ≤2.5. 设总费用为w 元，由题意可知：w ＝0.5×2x (16－4x )＋2(10－2x )(6－2x )＝4x 2－48x ＋120＝4(x －6)2－24.因为对称轴为直线x ＝6，图象开口向上， 所以当0＜x ≤2.5时，w 随x 的增大而减小， 所以当x ＝2.5时，w min ＝25元．所以当裁掉边长为2.5 dm 的正方形时，总费用最低，最低为25元． 3．解：(1)根据题意，设y ＝kx ＋b ，其中k ，b 为待定的常数，⎧50k ＋b ＝100，⎧k ＝－2，(2)根据题意，可得W ＝y ·(x －40)＝(－2x ＋200)(x －40)＝－2x 2＋280x －8000(40≤x ≤80)． (3)由(2)可知W ＝－2(x －70)2＋1800，所以当售价x 在满足40≤x ≤70的范围内时，利润W 随着x 的增大而增大； 当售价x 在满足70<x ≤80的范围内时，利润W 随着x 的增大而减小． 所以当x ＝70时，利润W 取得最大值，最大值为1800元． 4．解：(1)设该种水果每次降价的百分率为x ，依题意得10(1－x )2＝8.1. 解得x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9(不合题意，舍去)． 答：该种水果每次降价10%.(2)第一次降价后的销售价格为10×(1－10%)＝9(元/斤)，当1≤x ＜9时，y ＝(9－4.1)(80－3x )－(40＋3x )＝－17.7x ＋352；当9≤x ＜15时，y ＝(8.1－4.1)(120－x )－(3x 2－64x ＋400)＝－3x 2＋60x ＋80.综上可知，y 与x 的函数关系式为：y ＝⎩⎨⎧－17.7x ＋352（1≤x <9，x 为整数），－3x 2＋60x ＋80（9≤x <15，x 为整数）.当1≤x ＜9时，y ＝－17.7x ＋352， ∴当x ＝1时，y 最大＝334.3元．当9≤x ＜15时，y ＝－3x 2＋60x ＋80＝－3(x －10)2＋380， ∴当x ＝10时，y 最大＝380元．∵334.3＜380，∴在第10天时销售利润最大． (3)设第15天在第14天的价格基础上可降a 元，依题意得380－[(8.1－a －4.1)(120－15)－(3×152－64×15＋400)]≤127.5， 解得a ≤0.5.∴第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．5．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1，0)和点B (3，0)，∴⎩⎨⎧－1－b ＋c ＝0，－9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)∵x ＝0时，y ＝3， ∴点C 的坐标为(0，3)．∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x 2－2x ＋1)＋4＝－(x －1)2＋4， ∴点D 的坐标为(1，4)．(3)设点P (x ，y )，则x ＞0，y ＞0，∵S △COE ＝12×3×1＝32，S △ABP ＝12×4y ＝2y ，S △ABP ＝4S △COE ，∴2y ＝4×32，∴y ＝3.∴－x 2＋2x ＋3＝3，解得x ＝2(x ＝0舍去)．∴点P 的坐标为(2，3)．6．解：(1)把C (6，152)代入抛物线表达式，得152＝9＋32＋c ，解得c ＝－3.∴y ＝14x 2＋14x －3.当y ＝0时，14x 2＋14x －3＝0， 解得x 1＝－4，x 2＝3.∴A (－4，0)．设直线AC 的函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．把A (－4，0)，C (6，152)代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4k ＋b ，152＝6k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34，b ＝3.∴直线AC 的函数表达式为y ＝34x ＋3.(2)①证明：在Rt △AOB 中，tan ∠OAB ＝OB ＝3.∴∠OAB ＝∠OAD .在Rt △POQ 中，∵M 为PQ 的中点， ∴OM ＝MP .∴∠MOP ＝∠MPO .∵∠MOP ＝∠AON ，∴∠MPO ＝∠AON ， ∴△APM ∽△AON .②如图，过点M 作ME ⊥x 轴于点E . ∵OM ＝MP ，∴OE ＝EP . ∵点M 的横坐标为m ，∴AE ＝m ＋4，AP ＝2m ＋4.∵tan ∠OAD ＝34，∴cos ∠EAM ＝cos ∠OAD ＝45. ∴AM ＝54AE ＝5（m ＋4）4.由△APM ∽△AON ，得AM AN ＝APAO ， ∴AN ＝5m ＋202m ＋4.7．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋k .∵点(2，2)，(1，54)在抛物线上， 联立可得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋k ＝2，a ＋k ＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，k ＝1. ∴该抛物线的解析式为y ＝14x 2＋1，顶点N 的坐标为(0，1)．(2)证明：设点P 坐标为(x ，14x 2＋1)．∵P A ⊥x 轴于点A ，PC ⊥y 轴于点C ，M 是O 关于抛物线顶点N 的对称点，D 是C 点关于N 的对称点， ∴A (x ，0)，C (0，14x 2＋1)，M (0，2)，D (0，1－14x 2)，P A ∥y 轴，∴MD ＝2－(1－14x 2)＝14x 2＋1＝P A .又∵P A ⊥x 轴，∴MD ∥P A ， ∴四边形PMDA 是平行四边形．(3)证明：由(2)得四边形PMDA 是平行四边形，PC ＝x ，CM ＝14x 2＋1－2＝14x 2－1.∵在Rt △PCM 中，PM ＝PC 2＋CM 2＝x 2＋（14x 2－1）2＝（14x 2＋1）2＝14x 2＋1＝P A ， ∴四边形PMDA 是菱形，△P AM 是等腰三角形， ∴∠APM ＝∠ADM ，∠MDP ＝12∠ADM .根据抛物线的对称性，可知PD ＝ED ， ∴△DPE 是等腰三角形，DC 平分∠PDE ， ∴∠MDP ＝12∠PDE ，∴∠PDE ＝∠APM .∵PE ∶AM ＝3，∴|2x |＝3×22＋x 2，解得x ＝±2 3， ∴相似比为3时P 点坐标为(±2 3，4)． 8．解：(1)由题意可得⎩⎨⎧m ≠0，[－（2m －5）]2－4m （m －2）>0，解得m <2512，且m ≠0.当m ＝2时，函数解析式为y ＝2x 2＋x .(2)①函数y ＝2x 2＋x 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－14，∴当x <－14时，y 随x 的增大而减小．∵当n ≤x ≤－1时，y 的取值范围是1≤y ≤－3n ，∴2n 2＋n ＝－3n . 解得n ＝－2或n ＝0(舍去)．∴n ＝－2. ②∵y ＝2x 2＋x ＝2(x ＋14)2－18，∴图象顶点M 的坐标为(－14，－18)，由图可知当P 为射线MO 与圆的交点时，距离最大．∵点P 在直线OM 上，由O (0，0)，M (－14，－18)可求得直线解析式为y ＝12x ，设P (a ，b )，则a ＝2b .根据勾股定理可得PO 2＝(2b )2＋b 2＝(5)2，解得b ＝1.∴a ＝2.∴PM 最大时函数解析式为y ＝2(x －2)2＋1.9．解：(1)∵y ＝x －1与x 轴交于点A ，令y ＝0，则x －1＝0，即x ＝1，∴A (1，0)． ∵y ＝a (x ＋1)2＋4过点A (1，0)， ∴0＝a (1＋1)2＋4，解得a ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)2＋4，即y ＝－x 2－2x ＋3.(2)解方程组⎩⎨⎧y ＝x －1，y ＝－x 2－2x ＋3， 得⎩⎨⎧x 1＝1，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－4，y 2＝－5. ∴B (－4，－5)．①设P (m ，－m 2－2m ＋3)．如图①，过点P 作PG ∥y 轴交AB 于G ， 则G 点的坐标是(m ，m －1)．PG ＝－m 2－2m ＋3－(m －1)＝－m 2－3m ＋4，∵－52＜0，∴当m ＝－32时，△ABP 的面积最大．当m ＝－32时，y ＝－94＋2×32＋3＝154.∴P (－32，154)．②由－x 2－2x ＋3＝0，得x 1＝－3，x 2＝1(舍去)．∴P (－3，0)． ∵P (－3，0)，E (－1，－2)，B (－4，－5)，∴PE ＝2 2，BE ＝3 2，PB ＝26. ∴∠PEB ＝90°.(i)以BP 为对角线，点E 矩形的顶点时，如图②所示，易求得直线PD 的解析式为y ＝x ＋3，直线BD 的解析式为y ＝－x －9.由⎩⎨⎧y ＝x ＋3，y ＝－x －9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－3.此时D (－6，－3)．(ii)以BP 为边，点E 在BP 对边上时，如图③所示，过点B 作y 轴的平行线交x 轴于点N ，过点M 作MT ⊥BN .S 矩形PBMF ＝2S △PBE ，∴BM ＝6 2613.由△BTM ∽△PNB ，得BT PN ＝MT BN ＝BM BP .∴BT ＝613，MT ＝3013. ∴M (－2213，－7113)，过点F 作FK ⊥x 轴于点K ，由△FKP ∽△PNB ，得FK PN ＝PK BN ＝FPPB ，∴FK ＝613，PK ＝3013，∴F (－913，－613)．∴所求点的坐标为D (－6，－3)，M (－2213，－7113)，F (－913，－613)．。
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2018年湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精编（地市排序不分先后）一．解答题（共13小题）1．（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ； ②在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB ≠CD ，则该四边形 “十字形”．（填“是”或“不是”） （2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；12S S S =34S S S =的周长为102．（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O （0，0）．A （8，4），与x 轴交于另一点B ，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M 是OB 上的一点，作MN ∥AB 交OA 于N ，当△ANM 面积最大时，求M 的坐标； （3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q ．过A 作AC ⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以O ，A ，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．3．（株洲市）如图，已知二次函数y=ax2﹣53x+c（a＞0）的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，（1）若抛物线的对称轴为x=3求的a值；（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．4．（永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y 轴交于点E（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．5．（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=43，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（郴州市）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM 是平行四边形若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．7．（湘潭市）如图，点P为抛物线y=14x2上一动点．（1）若抛物线y=14x2是由抛物线y=14（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l 于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．8．（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．9．（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的13若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．10．（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．12．（衡阳市）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M、N的坐标；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB 相似若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．13．（娄底市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．2018年湖南省各地市中考《二次函数》压轴题精析一．解答题（共13小题）1．（长沙市）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 菱形，正方形 ； ②在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB ≠CD ，则该四边形 不是 “十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①12S S S =+；②34S S S =+；③“十字形”ABCD 的周长为1210． 【学会思考】（1）利用“十字形”的定义判断即可；（2）先判断出∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB ，进而判断出∠AED=∠AEB=90°，即：AC ⊥BD ，再判断出四边形OMEN 是矩形，进而得出OE 2=2﹣14（AC 2+BD 2），即可得出结论； （3）由题意得，A （，0），B （0，c ），C （，0），D （0，﹣ac ），求出S=12AC?BD=﹣12（ac+c ）×，S 1=12OA?OB=﹣，S 2=12OC?OD=﹣，S 3=12OA ×OD=﹣，S 4=12OB ×OC=﹣，进而建立方程+=+，求出a=1，再求出b=0，进而判断出四边形ABCD是菱形，求出AD=310，进而求出c=﹣9，即可得出结论．【解】：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，∴菱形，正方形是：“十字形”，∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，∴平行四边形，矩形不是“十字形”，故答案为：菱形，正方形；②如图，当CB=CD时，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴AC⊥BD，∴当CB≠CD时，四边形ABCD不是“十字形”，故答案为：不是；（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CDB=∠CAB，∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，∴∠AED=∠AEB=90°，∴AC⊥BD，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM=12AC，DN=12BD，四边形OMEN是矩形，∴ON=ME，OE2=OM2+ME2，∴OE2=OM2+ON2=2﹣14（AC2+BD2），∵6≤AC2+BD2≤7，∴2﹣74≤OE 2≤2﹣32， ∴14≤OE 2≤12， ∴12（OE ＞0）；（3）由题意得，A （，0），B （0，c ），C （，0），D （0，﹣ac ），∵a ＞0，c ＜0， ∴OA=，OB=﹣c ，OC=，OD=﹣ac ，AC=，BD=﹣ac ﹣c ，∴S=12AC?BD=﹣12（ac+c ）×，S 1=12OA?OB=﹣，S 2=12OC?OD=﹣，S 3=12OA ×OD=﹣，S 4=12OB ×OC=﹣，∵12S S S =+，34S S S =+， ∴+=+，∴4a =2， ∴a=1，∴S=﹣c ∆，S 1=﹣，S 4=﹣，∵12S S S =+， ∴S=S 1+S 2+212S S ， ∴﹣c ∆=﹣+2， ∴﹣=﹣c?c -， ∴4c -∴b=0，∴A c 0），B （0，c ），C c -0），d （0，﹣c ）， ∴四边形ABCD 是菱形， ∴10∴AD=310，即：AD2=90，∵AD2=c2﹣c，∴c2﹣c=90，∴c=﹣9或c=10（舍），即：y=x2﹣9．2．（常德市）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q 为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．【学会思考】（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为y=12x，直线AB的解析式为y=2x﹣12，直线MN的解析式为y=2x﹣2t，再通过解方程组得N（43t，23t），接着利用三角形面积公式，利用S△AMN =S△AOM﹣S△NOM得到S△AMN=12?4?t﹣12?t?23t，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设Q（m，14m2﹣32m），根据相似三角形的判定方法，当=时，△PQO∽△COA，则|14m2﹣32m|=2|m|；当=时，△PQO∽△CAO，则|14m2﹣32m|=12|m|，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标．【解】：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3，∴B点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），把A（8，4）代入得a?8?2=4，解得a=14，∴抛物线解析式为y=14x（x﹣6），即y=14x2﹣32x；（2）设M（t，0），易得直线OA的解析式为y=12x，设直线AB的解析式为y=kx+b，把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=2x﹣12，∵MN∥AB，∴设直线MN的解析式为y=2x+n，把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t，解方程组得，则N（43t，23t），∴S△AMN =S△AOM﹣S△NOM=12?4?t﹣12?t?23t=﹣13t2+2t=﹣13（t﹣3）2+3，当t=3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；（3）设Q（m，14m2﹣32m），∵∠OPQ=∠ACO，∴当=时，△PQO∽△COA，即=，∴PQ=2PO，即|14m2﹣32m|=2|m|，解方程14m2﹣32m=2m得m1=0（舍去），m2=14，此时P点坐标为（14，0）；解方程14m2﹣32m=﹣2m得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0）；∴当=时，△PQO∽△CAO，即=，∴PQ=12PO，即|14m2﹣32m|=12|m|，解方程14m2﹣32m=12m得m1=0（舍去），m2=8（舍去），解方程14m2﹣32m=﹣12m得m1=0（舍去），m2=4，此时P点坐标为（4，0）；综上所述，P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）．3．（株洲市）如图，已知二次函数y=ax2﹣3（a＞0）的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，（1）若抛物线的对称轴为3求的a值；（2）若a=15，求c的取值范围；（3）若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60°，抛物线的对称轴l与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a，连接AF，满足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．【学会思考】（1）根据抛物线的对称轴公式代入可得a的值；（2）根据已知得：抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，列不等式可得c的取值范围；（3）根据60°的正切表示点B的坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式中得：ac=12，则c=，从而得A和B的坐标，表示F的坐标，作辅助线，构建直角△ADG，根据已知的角相等可得△ADG ∽△AFE，列比例式得方程可得a和c的值．【解】：（1）抛物线的对称轴是：x=﹣=﹣=3，解得：a=52；（2）由题意得二次函数解析式为：y=15x2﹣53x+c，∵二次函数与x轴有两个交点，∴△＞0，∴△=b2﹣4ac=﹣4×15c，∴c＜54；（3）∵∠BOD=90°，∠DBO=60°，∴tan60°==3∴3，∴B 3，0），把B（33c，0）代入y=ax2﹣3x+c中得：23ac333c+c=0，23ac ﹣5c+c=0， ∵c ≠0， ∴ac=12， ∴c=，把c=代入y=ax 2﹣53x+c 中得：y=a （x 2﹣+）=a （x ﹣）（x ﹣），∴x 1=，x 2=，∴A （，0），B （，0），D （0，）， ∴AB=﹣=，AE=，∵F 的纵坐标为3+，∴F （，），过点A 作AG ⊥DB 于G ， ∴BG=12AB=AE=，AG=92a， DG=DB ﹣BG=﹣=，∵∠ADB=∠AFE ，∠AGD=∠FEA=90°， ∴△ADG ∽△AFE ， ∴，∴=，∴a=2，c=6， ∴y=2x 2﹣3x+6．4．（永州市）如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y 轴交于点E（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．【学会思考】（1）根据顶点式可求得抛物线的表达式；（2）根据轴对称的最短路径问题，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，先求E'F的解析式，它与对称轴的交点就是所求的点G；（3）如图2，先利用待定系数法求AB的解析式为：y=﹣2x+6，设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（0≤m≤3），表示NQ=﹣m2+4m﹣3，证明△QMN∽△ADB，列比例式可得MN的表达式，根据配方法可得当m=2时，MN有最大值，证明△NGP∽△ADB，同理得PG的长，从而得OP的长，根据三角形的面积公式可得结论，并将m=2代入计算即可．【解】：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x﹣1）2+4，把（0，3）代入得：3=a（0﹣1）2+4，a=﹣1，∴抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；（2）存在，如图1，作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小，∵E（0，3），∴E'（2，3），易得E'F的解析式为：y=3x﹣3，当x=1时，y=3×1﹣3=0，∴G（1，0）（3）如图2，∵A（1，4），B（3，0），易得AB的解析式为：y=﹣2x+6，过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q，设N（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣2m+6），（1＜m＜3），∴NQ=（﹣m2+2m+3）﹣（﹣2m+6）=﹣m2+4m﹣3，∵AD∥NH，∴∠DAB=∠NQM，∵∠ADB=∠QMN=90°，∴△QMN∽△ADB，∴，∴，∴MN=﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当m=2时，MN有最大值；过N作NG⊥y轴于G，∵∠GPN=∠ABD，∠NGP=∠ADB=90°，∴△NGP∽△ADB，∴=24=12，∴PG=12NG=12m，∴OP=OG﹣PG=﹣m2+2m+3﹣12m=﹣m2+32m+3，∴S△PON =12OP?GN=12（﹣m2+32m+3）?m，当m=2时，S△PON =12×2（﹣4+3+3）=2．（方法2：根据m的值计算N的坐标为（2，3），与E是对称点，连接EN，同理得：EP=12EN=1，则OP=2，根据面积公式可得结论）．5．（岳阳市）已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=43，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式；（2）将直线l的解析式代入抛物线F的解析式中，可求出x1、x2的值，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2的值，做差后即可得出y2﹣y1的值；（3）根据m的值可得出点A、B的坐标，利用对称性求出点A′的坐标．①利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B 为等边三角形；②根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点P，设点P的坐标为（x，y），分三种情况考虑：（i）当A′B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（ii）当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；（iii）当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标．综上即可得出结论．【解】：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和（﹣3，0），∴，解得：，∴抛物线F的解析式为y=x2+3x．（2）将y=3x+m代入y=x2+3x，得：x2=m，解得：x1=﹣m，x2=m，∴y1=﹣133m+m，y2=133m+m，∴y2﹣y1=（133m+m）﹣（﹣133m+m）=233m（m＞0）．（3）∵m=43，∴点A的坐标为（﹣233，23），点B的坐标为（233，2）．∵点A′是点A关于原点O的对称点，∴点A′的坐标为（23，﹣23）．①△AA′B为等边三角形，理由如下：∵A（﹣23，23），B（23，2），A′（23，﹣23），∴AA′=83，AB=83，A′B=83，∴AA′=AB=A′B，∴△AA′B为等边三角形．②∵△AA′B为等边三角形，∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为（x，y）．（i）当A′B为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（323）；（ii）当AB为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（﹣233，103）；（iii）当AA′为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为（﹣23，﹣2）．综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为（23，2 3）、（﹣23，103）和（﹣23，﹣2）．6．（郴州市）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM 是平行四边形若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【学会思考】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM 是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【解】：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF?OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278．②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC==32，∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（32，154）．7．（湘潭市）如图，点P为抛物线y=14x2上一动点．（1）若抛物线y=14x2是由抛物线y=14（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l 于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．【学会思考】（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．（2）①设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；②利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题．【解】：（1）∵抛物线y=14（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）∴抛物线y=14（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=14x2的图象．（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．如图一，过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为（a，14a2）∴PM=PF=14a2+1∵PB=a∴Rt△PBF中BF=∴OF=1∴点F坐标为（0，1）②由①，PM=PFQP+PF的最小值为QP+PM的最小值当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．∴QP+PF的最小值为6．8．（张家界市）如图，已知二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2）．（1）求a值并写出二次函数表达式；（2）求b值；（3）设直线l与二次函数图象交于M，N两点，过M作MC垂直x轴于点C，试证明：MB=MC；（4）在（3）的条件下，请判断以线段MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．【学会思考】（1）将点A的坐标代入二次函数表达式中可求出a值，进而可得出二次函数表达式；（2）将点B的坐标代入一次函数表达式中可求出b值；（3）过点M作ME⊥y轴于点E，设点M的坐标为（x，14x2+1），则MC=14x2+1，由勾股定理可求出MB的长度，进而可证出MB=MC；（4）过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，由（3）的结论可得出MN=NB+MB=ND+MC，利用中位线定理可得出PQ=12 MH，进而可得出PF=12MN，由此即可得出以MN为直径的圆与x轴相切．【解】：（1）∵二次函数y=ax2+1（a≠0，a为实数）的图象过点A（﹣2，2），∴2=4a+1，解得：a=14，∴二次函数表达式为y=14x2+1．（2）∵一次函数y=kx+b（k≠0，k，b为实数）的图象l经过点B（0，2），∴2=k×0+b，∴b=2．（3）证明：过点M作ME⊥y轴于点E，如图1所示．设点M的坐标为（x，14x2+1），则MC=14x2+1，∴ME=|x|，EB=|14x2+1﹣2|=|14x2﹣1|，∴MB=，=，=，=，=14x2+1．∴MB=MC．（4）相切，理由如下：过点N作ND⊥x轴于D，取MN的中点为P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点N作NH⊥MC于点H，交PF于点Q，如图2所示．由（3）知NB=ND，∴MN=NB+MB=ND+MC．∵点P为MN的中点，PQ∥MH，∴PQ=12 MH．∵ND∥HC，NH∥DC，且四个角均为直角，∴四边形NDCH为矩形，∴QF=ND，∴PF=PQ+QF=12MH+ND=12（ND+MH+HC）=12（ND+MC）=12MN．∴以MN为直径的圆与x轴相切．9．（邵阳市）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的13若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）利用配方法得到y=x2+2x+1=（x+1）2，然后根据抛物线的变换规律求解；（2）利用顶点式y=（x+1）2得到A（﹣1，0），解方程﹣x2+4=0得D（﹣2，0），C（2，0）易得B（0，4），列举出所有的三角形，再计算出AC=3，AD=1，CD=4，AB=17，BC=25，BD=25，然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；（3）易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），讨论：①当N点在AC上，如图1，利用面积公式得到12（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，求出AN=1，MN=4，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；当m=1时，计算出AN=2，MN=2，再利用正切定义计算tan∠MAC的值；②当N点在BC上，如图2，先利用面积法计算出AN=655，再根据三角形面积公式计算出MN=253，然后利用正切定义计算tan∠MAC的值；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=17﹣t，由②得AH=655，利用勾股定理可计算出BH=755，证明△BNM∽△BHA，利用相似比可得到MN=，利用三角形面积公式得到12?（17﹣t）?=2，根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件，从而得到tan∠MAN的值为1或4或59．【解】：（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2．把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4，∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4；（2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2，∴A（﹣1，0），当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4），从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，∵AC=3，AD=1，CD=4，1755∴△BCD为等腰三角形，∴构造的三角形是等腰三角形的概率=13；（3）存在．易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC =12AC?OB=12×3×4=6，M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），①当N点在AC上，如图1，∴△AMN的面积为△ABC面积的13，∴12（m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4，∴tan∠MAC==4；当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2，∴tan∠MAC==1；②当N点在BC上，如图2，BC==25，∵12BC?AN=12AC?BC，解得AN==655，∵S△AMN =12AN?MN=2，∴MN==253，∴∠MAC===59；③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=17﹣t，由②得AH=655，则BH==75，∵∠NBG=∠HBA，∴△BNM∽△BHA，∴=，即=，∴MN=，∵12AN?MN=2，即12?（17﹣t）?=2，整理得3t2﹣317t+14=0，△=（﹣317）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，∴点N在AB上不符合条件，综上所述，tan∠MAN的值为1或4或59．10．（怀化市）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【学会思考】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3），展开得到﹣2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=﹣13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=﹣13x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．【解】：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（103，﹣139），综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），11．（湘西州）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．【学会思考】（1）应用待定系数法；（2）利用相似三角形性质分类讨论求解；（3）由已知直线l′与x轴所夹锐角为45°，△EMN为等腰直角三角形，当沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形，表示点N、E′坐标带入抛物线解析式，可解；（4）由（3）图形旋转可知，M′K′⊥直线l′，△M'FK′只能为等腰直角三角形，则分类讨论可求解．【解】：（1）由已知点B坐标为（5，5）把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得解得∴抛物线的解析式为：y=（2）由（1）抛物线对称轴为直线x=32，则点C坐标为（32，32）∴OC=，OB=52当△OBA∽△OCP时，∴∴OP=9 10当△OBA∽△OPC时，∴∴OP=5∴点P坐标为（5，0）或（910，0）（3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c ∵直线l′y=x+c与x轴夹角为45°。