高等数学第六章定积分应用综合测试题

第六章 定积分应用测试题A 卷

一、填空题（20分）

1、定积分

()20

a a x dx ⎤-⎦

⎰

表示一平面图形的面积，这一图形的边界曲线方程是 .

2、设一放射性物质的质量为()m m t =，其衰变速度()dm

q t dt

=，则从时刻1t 到2t 此物质分解的质量用定积分表示为 .

3、抛物线2

32y x x =--与Ox 轴所围成图形的面积 . 4、由极坐标方程

()ρρθ=所确定的曲线及(),θβθβαβ==<所围扇形的面积

为 . 二、选择题（20分）

1、曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b ===<<及y 轴所围图形的面积A ，则A = [ ]

（A ）ln ln ln b a

xdx ⎰; （B ）b

a e x e

e dx ⎰; （C ）

ln ln b

y

a

e dy ⎰

; （D ）ln a

b e e

xdx ⎰.

2、曲线x

y e =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A = [ ].

（A ）()1

0x e ex dx -⎰

; （B ）()1

ln ln e

y y y dy -⎰;

（C ）

()1

e

x e ex dx -⎰

; （D ）()1

ln ln y y y dy -⎰.

3、曲线2

ln(1)y x =-上1

02

x ≤≤

一段弧长s = [ ].

（A ）

; （B ）1

2

2

2011x dx x +-⎰;

（C ）

; （D ）.

4、矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力F =[ ].

（A ）0h

ahdh ⎰

; （B ）0

a

ahdh ⎰;

（C ）

1

2

h

ahdh ⎰

; （D ）02h ahdh ⎰.

三、解答题

1、（10分）求曲线2

3

(4)y x =-与纵轴所围成图形的面积.

2、（10分）求由圆2

2

(5)16x y +-=绕x 轴旋转而成的环体的体积.

3、（10分）试证曲线sin (02)y x x π=≤≤的弧长等于椭圆2

2

22x y +=的周长. 4、（10分）设半径为1的球正好有一半浸入水中，球的密度为1，求将球从水中取出需作多少功？

5、（20分）设直线y ax =与抛物线2

y x =所围成图形的面积为1S ，它们与直线1x =所围成的图形面积为2S .并且1a <.如图6.25.

（1） 试确定a 的值，使12S S +达到最小，并

求出最小值；

（2） 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

第六章 定积分应用测试题B 卷

一、填空题（20分）

1、求曲线22

2,82

x y x y =+=所围图形面积A （上半平面部分），则A = . 2、曲线3cos ,1cos r r θθ==+所围图形面积A = . 3、求曲线sin ,

1cos ,x t t y t =-⎧⎨

=-⎩

从0t =到t π=一段弧长s = .

4、曲线()0,,2,0xy a a x a x a y =≤===与直线及所围成的图形绕Ox 轴旋转一周所得旋转体的体积V = . 二、选择题（20分） 1、曲线1

,,2y y x x x =

==所围图形的面积为A ，则A = [ ] （A ）2l 1()x dx x -⎰; （B ）2l 1

()x dx x

-⎰;

（C ）

2

2l

l 1(2)(2)dy y dy y -+-⎰

⎰; （D ）22l l 1

(2)(2)dx x dx x

-+-⎰⎰.

2、摆线()()()sin ,

01cos ,x a t t a y a t =-⎧⎪>⎨

=-⎪⎩

一拱与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转的旋转体体积V =

[ ]

（A ）()22

2

1cos a t dt π

π-⎰

; （B ）()()22

20

1cos sin a

a t d a t t ππ--⎡⎤⎣⎦⎰

;

（C ）

()()22

20

1cos sin a t d a t t π

π--⎡⎤⎣⎦⎰

; （D ）()22

2

1cos a

a t dt ππ-⎰. 3、星形线33

cos sin x a t

y a t ⎧=⎨=⎩

的全长s = [ ]

（A ）()220

4sec 3cos sin t a t t dt π

⋅-⎰

; （B ）()0

22

4sec 3cos sin t a t t dt π⋅-⎰;

（C ）()2

2

sec 3cos sin t a t t dt π

⋅-⎰

; （D ）()0

22sec 3cos sin t a t t dt π

⋅-⎰.

4、半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深()0h h a <<，则水面上升速度是[ ]

（A ）20h d y dy dh π⎰; （B ）()2

20h d a y a dy dh

π⎡⎤--⎣⎦⎰; （C ）20h d b y dy dh π⎰; （D ）20

(2)h

d b ay y dy dh -⎰. 三、解答题

1、（13分）由两条抛物线2

2

,y x y x ==所围成的图形.

（1）计算所围成图形的面积A ；

（2）将此图形绕x 轴旋转，计算旋转体的体积.

2、（15分）由曲线23y x =，直线2x =及x 轴所围图形记作D ， （1）求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积； （2）求D 绕直线3x =旋转所得旋转体的体积；

（3）求以D 为底且每个与x 轴垂直的截面均为等边三角形的立体的体积.

3、（12分）曲线24cos 2r θ=与x 轴在第一象限内所围图形记作D ，试在曲线

24cos 2r θ=上求一点M ，使直线OM 把D 分成面积相等的两部分.

4、（10分）设某潜水艇的观察窗的形状为长、短半轴依次为,a b 的半椭圆，短轴为其上沿，上沿与水面平行，且位于水下c 处，试求观察窗所受的水压力.

5.(10分)求曲线x x y 22

-=，0=y ，1=x ，3=x 所围成的平面图形的面积S ，并求 该平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积。