[2020理数]第六章 第三节 等比数列及其前n项和

[基本知识]1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示,定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ,G ,b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ,b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)若{a n }为等比数列,b n ＝a 2n －1＋a 2n ,则数列{b n }也是等比数列．( ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n,则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×二、填空题1．已知递增的等比数列{a n }中,a 2＋a 8＝3,a 3·a 7＝2,则a 13a 10＝________. 答案： 22．各项都为正数的等比数列{a n }中,a 1＝2,a 6＝a 1a 2a 3,则公比q 的值为________． 答案：23．在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2＝1,a 8＝a 6＋2a 4,则a 6的值是________． 答案：44．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1,S n ＝2a n ＋1,则S n 等于________． 答案：⎝⎛⎭⎫32n －1[典例感悟]1．(2019·山东测试)已知正项数列{a n }为等比数列,且5a 2是a 4与3a 3的等差中项,若a 2＝2,则该数列的前5项和S 5＝( )A.3312 B ．31C.314D ．以上都不正确解析：选B 设{a n }的公比为q ,则q >0且q ≠1.由已知得a 4＋3a 3＝2×5a 2,即a 2q 2＋3a 2q ＝10a 2,q 2＋3q －10＝0,解得q ＝2或q ＝－5(舍去),又a 2＝2,则a 1＝1,所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝1×(1－25)1－2＝31.2．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中,a 1＝1,a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和,若S m ＝63,求m . 解：(1)设{a n }的公比为q ,由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2,解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1. (2)若a n ＝(－2)n －1,则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63,得(－2)m ＝－188,此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1,则S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.由S m ＝63,得2m ＝64,解得m ＝6. 综上,m ＝6.[方法技巧]解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a 1和q ,问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论,当q ＝1时,{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时,{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.[针对训练]1．(2019·豫北重点中学联考)数列{a n }满足a 4＝27,a n ＋1＝－3a n (n ∈N *),则a 1＝( ) A ．1 B ．3 C ．－1 D ．－3解析：选C 由题意知数列{a n }是以－3为公比的等比数列,∴a 4＝a 1(－3)3＝27,∴a 1＝27(－3)3＝－1.故选C.2．(2019·绵阳诊断性考试)设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1,S 3＝7,则S 5等于( )A.152 B ．314 C.334D ．172解析：选B 设数列{a n }的公比为q ,则显然q ≠1,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去),∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314. 3．(2019·兰州诊断性测试)设数列{a n ＋1}是一个各项均为正数的等比数列,已知a 3＝7,a 7＝127.(1)求a 5的值；(2)求数列{a n }的前n 项和．解：(1)由题可知a 3＋1＝8,a 7＋1＝128,则有(a 5＋1)2＝(a 3＋1)(a 7＋1)＝8×128＝1 024,可得a 5＋1＝32,即a 5＝31.(2)设数列{a n ＋1}的公比为q ,由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋1＝(a 1＋1)q 2，a 5＋1＝(a 1＋1)q 4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1＝2，q ＝2，所以数列{a n ＋1}是一个以2为首项,2为公比的等比数列, 所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ,所以a n ＝2n －1,利用分组求和可得,数列{a n }的前n 项和S n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－2－n .突破点二 等比数列的性质[基本知识](1)若m ＋n ＝p ＋q ,则a m a n ＝a p a q ,其中m ,n ,p ,q ∈N *.特别地,若2s ＝p ＋r ,则a p a r ＝a 2s ,其中p ,s ,r ∈N *.对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即a k ,a k ＋m ,a k ＋2m ,…仍是等比数列,公比为q m (k ,m ∈N *)．(3)若数列{a n },{b n }是两个项数相同的等比数列,则数列{ba n },{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ,p ,q是非零常数)也是等比数列．(4)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时,S k ,S 2k －S k ,S 3k －S 2k ,…是等比数列,其公比为q k . (5)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ,则T n ,T 2n T n ,T 3n T 2n,…成等比数列．[基本能力]1．在等比数列{a n }中,a 3＝2,a 7＝8,则a 5＝________. 答案：42．(2019·长春调研)在正项等比数列{a n }中,已知a 1a 2a 3＝4,a 4a 5a 6＝12,a n －1a n a n ＋1＝324,则n ＝________.答案：143．已知等比数列{a n }中,a 2＋a 3＝1,a 4＋a 5＝2,则a 6＋a 7等于________． 答案：44．设等比数列{a n }中,前n 项和为S n ,已知S 3＝8,S 6＝7,则a 7＋a 8＋a 9等于________． 答案：18[典例感悟]1．(2019·洛阳尖子生高三第一次联考)在等比数列{a n }中,a 3,a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根,则a 2a 16a 9的值为( ) A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ,因为a 3,a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根,所以a 3·a 15＝a 29＝2,a 3＋a 15＝－6,所以a 3<0,a 15<0,则a 9＝－2,所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2,故选B.2．(2019·丽水模拟)设各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10＝10,S 30＝70,那么S 40等于( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50解析：选A 易知S 10,S 20－S 10,S 30－S 20,S 40－S 30成等比数列,因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20),即(S 20－10)2＝10(70－S 20),故S 20＝－20或S 20＝30.又S 20>0,所以S 20＝30,S 20－S 10＝20,S 30－S 20＝40,故S 40－S 30＝80,所以S 40＝150.故选A.[方法技巧]应用等比数列性质解题时的2个注意点(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q (m ,n ,p ,q ∈N *),则a m ·a n ＝a p ·a q ”,可以减少运算量,提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形．此外,解题时注意设而不求思想的运用．[针对训练]1．(2019·惠州调研)等比数列{a n }的各项均为正数,且a 5a 6＋a 4a 7＝18,则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析：选B ∵a 5a 6＋a 4a 7＝18,∴a 5a 6＝9,∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2·…·a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5log 39＝10.2．(2019·兰州一中测试)在等比数列{a n }中,若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158,a 2a 3＝－98,则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4等于( ) A.35 B ．53C ．－35D ．－53解析：选D1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝a 1＋a 4a 1·a 4＋a 2＋a 3a 2·a 3. ∵在等比数列{a n }中,a 1·a 4＝a 2·a 3,∴原式＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4a 2·a 3＝158×⎝⎛⎭⎫－89＝－53.故选D.3．在等比数列{a n }中,如果a 1＋a 2＝40,a 3＋a 4＝60,那么a 7＋a 8＝( ) A ．135 B ．100 C ．95D ．80解析：选A 由等比数列前n 项和的性质知,a 1＋a 2,a 3＋a 4,a 5＋a 6,a 7＋a 8成等比数列,其首项为40,公比为6040＝32,所以a 7＋a 8＝40×⎝⎛⎭⎫323＝135. 突破点三 等比数列的判定与证明[典例] (2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1,na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn . (1)求b 1,b 2,b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列,并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． [解] (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)n a n .将n ＝1代入得,a 2＝4a 1,而a 1＝1,所以a 2＝4. 将n ＝2代入得,a 3＝3a 2,所以a 3＝12. 从而b 1＝1,b 2＝2,b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1,公比为2的等比数列． 理由如下：由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn,即b n ＋1＝2b n ,又b 1＝1,所以数列{b n }是首项为1,公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n ＝2n －1,所以a n ＝n ·2n －1.[方法技巧]等比数列的4种常用判定方法填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证． [针对训练](2019·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1,a 2＝4,a n ＋2＝4a n ＋1－4a n . (1)求证：数列{a n ＋1－2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：由a n ＋2＝4a n ＋1－4a n 得a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1－4a n ＝2(a n ＋1－2a n )＝22(a n －2a n －1)＝…＝2n (a 2－2a 1)≠0,∴a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n＝2,∴{a n ＋1－2a n }是等比数列．(2)由(1)可得a n ＋1－2a n ＝2n －1(a 2－2a 1)＝2n , ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝12, ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12,公差为12的等差数列,∴a n 2n ＝n 2,a n ＝n ·2n －1. [课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·榆林名校联考)在等比数列{a n }中,a 1＝1,a 3＝2,则a 7＝( ) A ．－8 B ．8 C ．8或－8D ．16或－16解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ,∵a 1＝1,a 3＝2,∴q 2＝2, ∴a 7＝a 3q 4＝2×22＝8.故选B.2．(2019·六安一中调研)已知1,a 1,a 2,4成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,4成等比数列,则a 1＋a 2b 2的值是( )A.52或－52 B ．－52C.52D ．12解析：选C 由题意得a 1＋a 2＝5,b 22＝4,又b 2与第一项的符号相同, 所以b 2＝2.所以a 1＋a 2b 2＝52.故选C. 3．(2019·湖北稳派教育联考)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 5a 11＝4,a 6a 12＝8,则a 8a 9＝( )A ．12B ．4 2C ．6 2D ．32解析：选B 由等比数列的性质得a 28＝a 5a 11＝4,a 29＝a 6a 12＝8,∵a n >0,∴a 8＝2,a 9＝22,∴a 8a 9＝4 2.故选B.4．(2019·成都模拟)设{a n }是公比为负数的等比数列,a 1＝2,a 3－4＝a 2,则a 3＝( ) A ．2 B ．－2 C ．8D ．－8解析：选A 法一：设等比数列{a n }的公比为q ,因为a 1＝2,a 3－a 2＝a 1(q 2－q )＝4,所以q 2－q ＝2,解得q ＝2(舍去)或q ＝－1,所以a 3＝a 1q 2＝2,故选A.法二：若a 3＝2,则a 2＝2－4＝－2,此时q ＝－1,符合题意,故选A.5．(2019·益阳、湘潭高三调研)已知等比数列{a n }中,a 5＝3,a 4a 7＝45,则a 7－a 9a 5－a 7的值为( )A ．3B ．5C ．9D ．25解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4a 7＝a 5q ·a 5q 2＝9q ＝45,所以q ＝5, 所以a 7－a 9a 5－a 7＝a 5q 2－a 7q 2a 5－a 7＝q 2＝25.故选D.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·长沙一模)设首项为1,公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n解析：选D 由等比数列前n 项和公式S n ＝a 1－a n q1－q,代入数据可得S n ＝3－2a n . 2．(2019·山东五校联考)已知{a n }是等比数列,S n 是数列{a n }的前n 项和,且S 2＝2,S 4＝8,则S 8＝( )A ．16B ．128C ．54D ．80解析：选D 由等比数列的性质可得S 2,S 4－S 2,S 6－S 4,S 8－S 6也成等比数列, ∴(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4),∵S 2＝2,S 4＝8,∴36＝2(S 6－8),即S 6＝26. 又(S 4－S 2)(S 8－S 6)＝(S 6－S 4)2,∴S 8＝54＋S 6＝80.故选D.3．(2019·湖北华师一附中联考)在等比数列{a n }中,a 2a 3a 4＝8,a 7＝8,则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±2解析：选A 因为数列{a n }是等比数列,所以a 2a 3a 4＝a 33＝8,所以a 3＝2,所以a 7＝a 3q 4＝2q4＝8,所以q 2＝2,a 1＝a 3q2＝1,故选A.4．(2018·南宁测试)等差数列{a n }的公差是2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2D ．n (n －1)2解析：选A 由已知得,a 24＝a 2·a 8,因为{a n }是公差为2的等差数列,故(a 2＋2d )2＝a 2·(a 2＋6d ),(a 2＋4)2＝a 2·(a 2＋12),解得a 2＝4,所以a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n ,故S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋1)． 5．(2019·吉林部分学校高三仿真考试)《张丘建算经》中“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里数是前一天的一半,连续行走7天,共走了700里路,问每天走的里数为多少？”,则该匹马第一天走的里数为( )A.128127 B ．44 800127 C.700127D ．17532解析：选B 由题意知该匹马每日所走的路程成等比数列{a n },且公比q ＝12,S 7＝700,由等比数列的求和公式得S n ＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1271－12＝700,解得a 1＝44 800127,故选B.6．(2019·衡水中学调研)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n ＋1a n<1,若a 3＋a 5＝20,a 3a 5＝64,则S 4＝( )A ．63或120B ．256C ．120D ．63解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝16，a 5＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝4，a 5＝16.又a n ＋1a n <1,所以数列{a n }为递减数列,故⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 5＝4.设等比数列{a n }的公比为q ,则q 2＝a 5a 3＝14,因为数列为正项等比数列,所以q ＝12,从而a 1＝64,所以S 4＝64×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1241－12＝120.选C.7．(2019·衡水模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n ＝2,S 3n ＝14,则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16解析：选B 由题意知公比大于0,由等比数列性质知S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n ,S 4n －S 3n ,…仍为等比数列．设S 2n ＝x ,则2,x －2,14－x 成等比数列． 由(x －2)2＝2×(14－x ), 解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n ,S 4n －S 3n ,…是首项为2,公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14,∴S 4n ＝14＋2×23＝30.8．(2019·湖北黄石三中检测)已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 4a 6－2a 24＋a 2a 4＝144,则a 5－a 3＝( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：选D ∵{a n }是递增的等比数列,∴由a 4a 6－2a 24＋a 2a 4＝144,a 5－a 3>0可得a 25－2a 3a 5＋a 23＝144,(a 5－a 3)2＝144,∴a 5－a 3＝12,故选D.9．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ,若a 1＝－24,a 4＝－89,则当T n 取得最大值时,n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4＝－24q 3＝－89,所以q 3＝127,q ＝13,易知此等比数列各项均为负数,则当n 为奇数时,T n 为负数,当n 为偶数时,T n 为正数,所以T n 取得最大值时,n 为偶数,排除B,而T 2＝(－24)2×⎝⎛⎭⎫13＝24×8＝192,T 4＝(－24)4× ⎝⎛⎭⎫136＝84×19＝849>192,T 6＝(－24)6×⎝⎛⎭⎫1315＝86×⎝⎛⎭⎫139＝8639＝19×8637<849,所以T 4最大．故选C. 10．(2019·南昌模拟)在等比数列{a n }中,a 1＋a n ＝66,a 2a n －1＋a 3a n －2＝256,且前n 项和S n＝126,则n ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C ∵a 2a n －1＋a 3a n －2＝2a 1a n ＝256,∴a 1a n ＝128,由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1a n ＝128，a 1＋a n ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a n ＝64或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝64，a n ＝2.设等比数列{a n }的公比为q , ①当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64时,S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ＝2－64q 1－q ＝126,解得q ＝2,∴n ＝6.②当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝64，a n ＝2时,S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ＝64－2q 1－q ＝126,解得q ＝12,∴n ＝6.综上n ＝6.故选C.11．(2019·惠州一调)已知等比数列{a n }的公比为正数,且a 3a 9＝2a 25,a 2＝1,则a 1＝________.解析：∵a 3a 9＝a 26,∴a 26＝2a 25,设等比数列{a n }的公比为q ,∴q 2＝2,由于q >0,解得q ＝2,∴a 1＝a 2q ＝22.答案：2212．(2019·江西师范大学附属中学期中)若等比数列{a n }满足a 2a 4＝a 5,a 4＝8,则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ,∵a 2a 4＝a 5,a 4＝8,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ·a 1q 3＝a 1q 4，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.答案：2n －113．(2019·仙桃测试)各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 1≥1,a 2≤2,a 3≥3,则a 4的取值范围是________．解析：设{a n }的公比为q ,则根据题意得q ＝a 2a 1＝a 3a 2,∴32≤q ≤2,a 4＝a 3q ≥92,a 4＝a 2q 2≤8,∴a 4∈⎣⎡⎦⎤92，8.答案：⎣⎡⎦⎤92，814．(2019·武汉模拟)已知等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q ,设{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若n 2(T n ＋1)＝2n S n ,n ∈N *,则d ＝________,q ＝________.解析：由题意得,T n ＋1S n＝2n n 2⇒b 1q n q －1－b 1q －1＋1d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝2nn 2,∴q ＝2,b 1q －1＝1,a 1＝d 2,d2＝1,此时d ＝2,q ＝2.答案：2 215．在数列{a n }中,a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2,且a 1＝2,a 2＝5. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：∵a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2, ∴(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1), 即a n ＋1＋1a n ＋1＝a n ＋2＋1a n ＋1＋1. ∵a 1＝2,a 2＝5,∴a 1＋1＝3,a 2＋1＝6,∴a 2＋1a 1＋1＝2, ∴数列{a n ＋1}是以3为首项,2为公比的等比数列． (2)由(1)知,a n ＋1＝3·2n －1, ∴a n ＝3·2n －1－1,∴S n ＝3(1－2n )1－2－n ＝3·2n －n －3.16．设数列{a n }的各项均为正数,且a 2＝4a 1,a n ＋1＝a 2n ＋2a n (n ∈N *)．(1)证明：数列{log 3(1＋a n )}为等比数列；(2)设数列{log 3(a n ＋1)}的前n 项和为T n ,求使T n >520成立时n 的最小值． 解：(1)证明：由已知,得a 2＝a 21＋2a 1＝4a 1, 则a 1(a 1－2)＝0,因为数列{a n }的各项均为正数,所以a 1＝2. 因为a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2>0, 所以log 3(a n ＋1＋1)＝2log 3(a n ＋1)． 又log 3(a 1＋1)＝log 33＝1,所以数列{log3(1＋a n)}是首项为1,公比为2的等比数列．(2)由(1)可知,log3(1＋a n)＝2n－1,所以T n＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1.由T n>520,得2n>521(n∈N*),得n≥10.则使T n>520成立时n的最小值为10.。