等比数列及其前n项和学案
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6.3等比数列及其前n 项和
考情分析
高考中主要在选择题、填空题中考查等比数列的定义、基本运算和性质，在解
答题中多与等差数列、函数、不等式等综合考考查
基础知识
1、等比数列的判定：（1）定义法：
*1
()n n
a q q n N a +=∈为非零常数，（2）等比中项法：2*11(0,2)n n n n a a a a n N n -+=≠∈≥且（3）通项公式法：
*(,)
n n a cq c q n N =∈均为非零常数，（4）
1
()1n n a S kq k k q
=-=
≠≠-是常数且q 0且q 1 （5）若{},{}n n a b 均为等比数列，n
S 为{}n a 的前n 项和，则1
{}(0),{||}{}{()}{}k n n n n n n
ka k a ma b a a ≠；；；公比不为1的等
比数列由相邻两项的差213243{,,}a a a a a a ---，相邻k 项和
232{,,}k k k k k S S S S S --仍是等比；由原等比数列中相隔k 项的项从新组成的数列仍等比
2、等比数列的性质
（1）通项公式：①11n n a a q -=②
n m n
m
a q a -= （2）前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧
⎪
=--⎨=≠⎪--⎩
（3）下脚标性质：若m+n=p+q ，则m n p q a a a a =
（4）两个常用技巧：若三个数成等比通常设成,,a
a aq q ，若四个数成等比通常设
成
3
3
,,,a a aq aq q q
，方便计算 注意事项
1.利用错位相减法推导等比数列的前n 项和： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，
同乘q 得：qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n ，
两式相减得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n
，∴S n ＝a 1(1－q n
)1－q
(q ≠1)．
2.(1)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. (2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．
3.等比数列的判断方法有：
(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a n
a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，
则{a n }是等比数列．
(2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2
n ＋1＝a n ·
a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列． 题型一 等比数列基本量的计算
【例1】设S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．
(1)求a 2的值；
(2)若{a n }是等比数列，且a n ＋1 ⎧ a 1＋a 2＋a 3＝7， (a 1＋3)＋(a 3＋4) 2＝3a 2. ∴a 2＝2. (2)设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2 q ，a 3＝2q . 又S 3＝7，可知2 q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0， 解得q 1＝1