分式方程无解增根专题

分式方程专题

一：知识梳理

如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。

二：例题精讲

例题1：若方程﹣=1有增根，则它的增根是，m=．【解答】解：由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）=0，

解得：x=±1，

分式方程去分母得：6﹣m（x+1）=x2﹣1，

把x=1代入整式方程得：6﹣2m=0，即m=3；

把x=﹣1代入整式方程得：6=0，无解，

综上，分式方程的增根是1，m=3．故答案为：1；3．

反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．

（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．

例题2：若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是．

【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：﹣2+x+m=2（x﹣2），解得：x=m+2，∵方程的解为正数，

∴m+2＞0，且m+2≠2，

解得：m＞﹣2，且m≠0，故答案为：m＞﹣2且m≠0．

反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．例题3：若关于x的分式方程=a无解，则a的值为．

【解答】解：两边同乘以x+1，得x﹣a=ax+a

移项及合并同类项，得x（a﹣1）=﹣2a，

系数化为1，得x=，

∵关于x的分式方程=a无解，∴x+1=0或a﹣1=0，即x=﹣1或a=1，

∴﹣1=，得a=﹣1，故答案为：±1．

反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．

（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．

（3）若关于x的分式方程无解，则m=．

三：典型错题

1.在中，x的取值范围为．

2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是．

3.已知，则分式的值为．

4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．

5.若=+，则A=，B=．

6.若解分式方程产生增根，则m=．

7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是．

8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是

9.已知，则的值为．

10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，则的值为．

参考答案：

例题1：反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．

【解答】解：去分母得：2x﹣a=x+1，

由分式方程有增根，得到x+1=0，即x=﹣1，

把x=﹣1代入得：﹣2﹣a=0，解得：a=﹣2，

故答案为：﹣1；﹣2

（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．

【解答】解：去分母得：5x﹣3﹣mx=2x﹣8，

由分式方程有增根，得到x﹣4=0，即x=4，

把x=4代入整式方程得：20﹣3﹣4m=0，

快捷得：m=，故答案为：

（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．

【解答】解：去分母得：5x﹣5=x+2k﹣6x，

由分式方程有增根，得到x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，

把x=0代入整式方程得：k=﹣；把x=1代入整式方程得：k=，

则k的值为或﹣．故答案为：或﹣

例题2：反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．

【解答】解：解关于x的方程=3得x=m+6，

∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，

解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．

（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．【解答】解：把方程移项通分得，∴方程的解为x=a﹣6，

∵方程的解是负数，∴x=a﹣6＜0，∴a＜6，

当x=﹣2时，2×（﹣2）+a=0，∴a=4，

∴a的取值范围是：a＜6且a≠4．故答案为：a＜6且a≠4．

例题3：反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．【解答】解：去分母得：2x+4+kx=3x﹣6，

当k=1时，方程化简得：4=﹣6，无解，符合题意；

由分式方程无解，得到x2﹣4=0，即x=2或x=﹣2，

把x=2代入整式方程得：4+4+2k=0，即k=﹣4；

把x=﹣2代入整式方程得：﹣4+4﹣2k=﹣12，即k=6，

故答案为：﹣4或6或1

（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．

【解答】解：两边都乘以（x﹣2），得x﹣1=m+3（x﹣2）．m=﹣2x+5．

分式方程的增根是x=2，

将x=2代入，得m=﹣2×2=5=1，故答案为：1．

（3）若关于x的分式方程无解，则m=．

【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：m﹣（x﹣1）=0，即m=x﹣1，∵关于x的分式方程无解，∴x=1或x=﹣1，

当x=1时，m=0，当x=﹣1时，m=﹣2，故答案为：0或﹣2．

典型错题：1.在中，x的取值范围为0＜x≤1．

2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是x≥1或x＜﹣2．

3.已知，则分式的值为．

4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．

5.若=+，则A=﹣12，B=17．

6.若解分式方程产生增根，则m=﹣2或1．．

7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是m≥﹣2且m≠﹣1 ．

8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0．

9.已知，求的值．

【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1=3x，

===．

10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，求的值．

【解答】解：∵a2+b2=9ab，

∴a2+b2+2ab=11ab，a2+b2﹣2ab=7ab，即（a+b）2=11ab，（a﹣b）2=7ab，

∵b＞a＞0，即b﹣a＞0，

∴a+b=，b﹣a=，

则原式=﹣=﹣=﹣．