五年级下册数学思维训练讲义-第二单元第三讲奇数和偶数及数的奇偶性人教版

第三讲奇数和偶数及数的奇偶性
第一部分：趣味数学
奇数偶数的争吵
数字王国里，奇数与偶数是一对形影不离的好朋友。

不知为啥，他俩却吵了起来，好学的聪聪连忙前来劝架。

奇数先上前拉住聪聪的手说：“聪聪哥哥，你写作文时总是偏爱我们，对吧！”“说来听听。

”聪聪忙说。

“就成语来说，有‘一帆风顺’、‘一马当先’、‘一日三秋’、‘三申五令’、‘三教九流’、‘九牛一毛’……我一口气能说出这么一大堆，对吧！”奇数说完，脸上浮现出得意的神情。

偶数不甘示弱，连忙拉住聪聪的手说：“聪聪哥，你写作文时，不更偏爱我吗？‘两袖清风’、‘十全十美’、‘百发百中’、‘四通八达’、‘四平八’、‘四面八方’……这些词语里不就有我们偶数的身影吗？聪聪哥，你说是不是啊？况且，人们还常说‘无独有偶’哩！”
奇数听了，忙说：“这有什么，你不也听说过‘独一无二’吗？你有作何解释？何况连国王都宠爱我们，说话都是‘一言九鼎’呐！”奇数又进行反驳，偶数听了，忙着争辩。

聪聪停住了他俩的争吵，说：“奇数，你难道没听见国王说‘一言既出，驷马难追’吗？这里既有你，也有他，你们别争了，争了半天，我也弄明白了。

你们看问题比较片面，没看到事物的本质。

其实在成语里，更多的是你们同时登场，比如说‘一箭双雕’、‘三心二意’、‘一本万利’、‘四分五裂’、‘一刀两断’……你们各有所长，谁也离不开谁。

我们人类不会‘朝三暮四’，也不会‘低三下四’，更不会在背后‘不三不四’地议论你们。

因为你们是我们人类的好朋友。

只要你们‘万众一心’团结起来，拧成一股绳，就能成为一个自然数整体，成为一对真正的好兄弟。

你们说，是不是？”聪聪的一席话，如重槌敲在了奇数和偶数的心坎上。

兄弟俩面红耳赤，都低下头了。

聪聪起身走时，看见奇数和偶数的手紧紧地拉在了一起。

第二部分：奥数小练
【例题1】 1 +2 +3 +4 +5 +...... +119 +120的结果是奇数还是偶数?
【思路导航】1到120有120个数，其中有60个奇数，60个偶数。

60个奇数的和是偶数，60个偶数的和是偶数，偶数十偶数=偶数。

1+2+3+4+5+……+119+120的结果是偶数。

练习一：1. 1十2 +3 +4 +5 +……+198 +199的结果是奇数还是偶数?
2. 1+2+3+⋯+1993的和是奇数？还是偶数？
3.有100个自然数，它们的和是偶数.在这100个自然数中，奇数的个数比偶数的个数多.问：这些数中至多有多少个偶数？
【例题2】一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？
【思路导航】解法1：相邻两个奇数相差2，
150是这个要求数的2倍。

这个数是150÷2=75。

解法2：设这个数为x，设相邻的两个奇数为2a+1，2a-1（a≥1），则有
（2a+1）x-（2a-1）x=150，
2ax+x-2ax+x=150，
2x=150，
x=75。

这个要求的数是75。

练习二1. 有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？
2.求证：四个连续奇数的和一定是8的倍数。

3.把任意6个整数分别填入右图中的6个小方格内，试说明一定有一个矩形，它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。

【例题3】元旦前夕，同学们相互送贺年卡。

每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？
【思路导航】此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶
性上，因此与总人数无关。

由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次.那么贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。

送贺年卡的人可以分为两种：
一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。

另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数=所有人送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶数-偶数=偶数。

他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。

所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。

练习三：1.如果两个人通一次电话，每人都记通话一次，在24小时以内，全世界通话次数是奇数的那些人的总数为____。

（A）必为奇数，（B）必为偶数，
（C）可能是奇数，也可能是偶数。

2.一次宴会上，客人们相互握手.问握手次数是奇数的那些人的总人数是奇数还是偶数。

3.有12张卡片，其中有3张上面写着1，有3张上面写着3，有3张上面写着5，有3张上面写着7。

你能否从中选出五张，使它们上面的数字和为20？为什么？
【例题4】已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。

【思路导航】a、b、c中有两个奇数、一个偶数，
a、c中至少有一个是奇数，
a-1，c-3中至少有一个是偶数。

偶数×整数=偶数，
（a-1）×（b-2）×（c-3）是偶数。

练习四1. 如下页图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么？
2. 线段AB有两个端点，一个端点染红色，另一个端点染蓝色.在这个AB线段中间插入n 个交点，或染红色，或染蓝色，得到n＋1条小线段（不重叠的线段）.试证：两个端点不同色的小线段的条数一定是奇数。

3.在中国象棋盘任意取定的一个位置上放置着一颗棋子“马”，按中国象棋的走法，当棋盘上没有其他棋子时，这只“马”跳了若干步后回到原处，问：“马”所跳的步数是奇数还是偶数？
【例题5】在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。

【思路导航】假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都是两次染同色.设第一次染m个珠子为红色，第二次必然还仅染这m个珠子为红色.则染红色次数为2m次。

2m≠1987（偶数≠奇数）
假设不成立。

至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。

练习五1. 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

2. 假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（n-1）个开关，能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。

3. 某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题给3分，答错一题倒扣1分.某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。

第三部分：数学史话
哥德巴赫猜想
哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。

但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，但是一直到死，欧拉也无法证明。

因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。

欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数
之和。

今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。

把命题“任一充分大的偶数都可以表示成为一个素
因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和”记作“a+b”。

1966年陈景润证明了“1+2”成立，即“任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和”。

参考答案：
练习一
1. 1到199有199个数，其中有100个奇数， 99个偶数。

100个奇数的和是偶数， 99个偶数的和是偶数，偶数+偶数=偶数。

1 +2 +3 +4 +5 +。

+198 +199的结果是偶数。

2.1993÷2=996⋯1，
1～1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。

996个偶数之和一定是偶数，
奇数个奇数之和是奇数，
997个奇数之和是奇数。

因为，偶数+奇数=奇数，
所以原式之和一定是奇数。

3.100个自然数和是偶数，说明奇数有偶数个，所以偶数至多有48个。

练习二
1.提示：先按规律写出一些数来，再找其奇、偶性的排列规律，便可得到答案：不会
依次出现1、9、8、8这四个数。

2.设四个连续奇数是2n＋1，2n＋3，2n＋5，2n＋7，n为整数，则它们的和是
（2n+1）＋（2n＋3）＋（2n＋5）+（2n＋7）
＝2n×4＋16＝8n+16=8（n+2）。

所以，四个连续奇数的和是8的倍数。

3.设填入数分别为a 1 、a 2 、a 3 、a 4 、a 5 、a 6 .有
假设要证明的结论不成立，则有：
偶数≠奇数，假设不成立，命题得证。

练习三
1.应选择（B）
2.是偶数。

3.不能。

因为5个奇数的和为奇数，不可能等于20。

练习四
1. 任意挑选三棵树挂上小牌，假设第一棵挂牌的树与第二棵挂牌的树之间相距a米，第二棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间相距b米，那么第一棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间的距离c=a+b（米）（如下图），如果a、b中有一个是偶数，题目已得证；如果a、b都是奇数，因为奇数+奇数=偶数，所以c必为偶数，那么题目也得证。

2. 当在AB中插入第一点时，无论红或蓝色，两端色不同的线段仍是一条。

插入第二点时有三种情况：
①插入点在两端不同色的线段中，则两端不同色线段条数不变。

②插入点在两端同色的线段中，且插入点颜色与线段端点颜色相同，则两端不同色线段条数不变。

③插入点在两端同色的线段中，但插入点颜色与线段端点颜色不同，则两端不同色线段条数增加两条。

因此插入第二个点时端点不同色的线段数比插入第一个点时端点不同色的线段数（=1）多0或2，因此是奇数（1或3）。

同样，每增加一个点，端点不同色的线段增加偶数（0或2）条。

因此，无论n是什么数，端点不同色的线段总是奇数条。

3. 在中国象棋中，“马”走“日”字，如果将棋盘上的各点按黑白二色间隔着色。

（如图），可以看出，“马”走任何一步都是从黑色点走到白色点，或从白色点走到黑色
点.因此，“马”从一色点跳到另一同色点，必定要跳偶数步。

因此，不论开始时“马”在棋盘的哪个位置上，而且不论“马”跳多少次，要跳回原处，必定要跳偶数步。

练习五
1. 要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”。

要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”。

即“翻转”的总次数为奇数。

但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次。

因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

2.当n为奇数时，不能按规定将所有的灯关上。

因为要关上一盏灯，必须经过奇数次拉动它的开关。

由于n是奇数，所以n个奇数的和=奇数，
因此要把所有的灯（n盏）都关上，拉动拉线开关的总次数一定是奇数。

但因为规定每次拉动n-1个开关，且n-1是偶数，
故按规定拉动开关的总次数一定是偶数。

奇数≠偶数，
当n为奇数时，不能按规定将所有灯都关上。

当n为偶数时，能按规定将所有灯关上。

关灯的办法如下：
设灯的编号为1，2，3，4，⋯，n.做如下操作：
第一次，1号灯不动，拉动其余开关；
第二次，2号灯不动，拉动其余开关；
第三次，3号灯不动，拉动其余开关；
......
第n次，n号灯不动，拉动其余开关.这时所有的灯都关上了。

3.对每个学生来说，40道题都答对共得120分，是个偶数.如果答错一道，相当于从120分中扣4分。

不论答错多少道，扣分的总数应是4的倍数，即扣偶数分。

从120里减去偶数，差仍是偶数。

同样，如果有某题不答，应从120里减去（3-1）分。

不论有多少道题没答，扣分的总数是2的倍数，也是偶数.所以从120里减去偶数，差仍是偶数。

因此，每个学生得分数是偶数，那么全年级参赛学生得分总和也一定是偶数。