最新中考相似三角形经典练习题及答案
初三数学相似三角形典例及练习(含答案)
初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1。
理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割.2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一,在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题,形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。
（二）重要知识点介绍： 1。
比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC,使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质: ①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d=⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()03。
平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
相似三角形试题及答案
相似三角形试题及答案
一、选择题
1. 已知两个三角形相似，下列说法正确的是（）
A. 对应角相等
B. 对应边成比例
C. 对应角相等且对应边成比例
D. 面积相等
答案：C
2. 若两个三角形的相似比为2:3，则下列说法正确的是（）
A. 周长比为2:3
B. 周长比为3:2
C. 面积比为4:9
D. 面积比为9:16
答案：C
二、填空题
1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，则BC:EF=______。
答案：2:3
2. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且相似比为1:2，则三角形ABC
的面积是三角形DEF面积的______。
答案：1/4
三、解答题
1. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，AB=6cm，DE=9cm，求BC和EF 的长度。
答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例。
因此，BC:EF=AB:DE=6:9=2:3。
设BC=2x，则EF=3x。
由于AB:DE=2:3，所以2x/3x=6/9，解得x=3cm。
因此，BC=6cm，
EF=9cm。
2. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且三角形ABC的面积为24平方厘米，三角形DEF的面积为36平方厘米，求相似比。
答案：设相似比为k，则三角形ABC与三角形DEF的面积比为k^2。
因此，k^2=24/36=2/3，解得k=√(2/3)。
所以相似比为√(2/3)。
初三数学相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，若是2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 以下命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，而且点D 、点E 和ABC ∆的一个极点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出知足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地址，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，假设5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为，请你帮忙小明计算一下楼房的高度（精准到）．例8 格点图中的两个三角形是不是是相似三角形，说明理由．例9 依照以下各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是不是相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，以下每一个图形中，存不存在相似的三角形，若是存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的依照．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长别离为五、1二、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，教师让同窗们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方式．小芳的测量方式是：拿一根高米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为米，如此即可明白旗杆的高．你以为这种测量方式是不是可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，咱们能够在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确信BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），而且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）若是有一个正方形的边在AB 上，另外两个极点别离在AC ，BC 上，求那个正方形的面积．。
中考相似三角形经典练习题(附答案)
中考相似三角形经典练习题（附答案）一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA 所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：_________ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．考点：相似三角形的判定；平行线的性质。
相似三角形及其判定练习及参考答案
相似三角形及其判定练习一、选择题：1.下列判断正确的是（）A.两个直角三角形相似B.两个相似三角形一定全等C.凡等边三角形都相似D.所有等腰三角形都相似2.下列各对三角形中一定不相似的是（）A.△ABC中，∠A=54°，∠B=78°△A′B′C′中，∠C′=48°，∠B′=78°B.△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm△A′B′C′中，∠C′=90°，A′C′=12cm，B′C′=15cmC.△ABC中，∠B=90°，AB=5，AC=13△A′B′C′中，∠B′=90°，A′B′=2.5a，B′C′=6aD.△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=5△A′B′C′中，∠A′=45°，A′B′=53.如图，AB∥CD，AC、BD交于O，BO=7，DO=3，AC=25，则AC长为（）A.10B.12.5C.15D.17.54.在△ABC中，MN∥BC，MC、NB交于O，则图中共有（）对相似三角形。
A.1B.2C.3D.4二、填空题1.如图16，已知△ABC中D为AC中点，AB=5，AC=7，∠AED=∠C，则ED= 。
2.在梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，DC：AB=1：1.5，则AD：BC= 。
3.如图18在Rt △A B C 中∠ACB =90°，CD ⊥AB ，AC =6，AD =3.6，则BC = ， BD = 。
4.已知：图19中AC ⊥BD ，DE ⊥AB ，AC 、ED 交于F ，BC =3，FC =1，BD =5，则AC = 。
三、解答题1.已知：如图20□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。
求：AM ：AC 。
2.已知：如图21在△ABC 中EF 是BC 的垂直平分线，AF 、BE 交于一点D ，AB =AF 。
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案相似三角形是几何学中的一个重要概念，它指的是两个三角形的对应角相等，且对应边成比例。
下面是一些相似三角形的练习题及答案，供同学们练习和参考。
练习题1：已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB/DE = 2/3，求BC/EF的比值。
答案1：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边的比值相等。
因此，BC/EF = AB/DE = 2/3。
练习题2：在三角形ABC中，点D在边BC上，且AD是三角形ABC的高。
已知AD = 6cm，AB = 8cm，AC = 10cm，求BD和DC的比值。
答案2：由于AD是三角形ABC的高，根据相似三角形的性质，三角形ABD与三角形ACD相似。
设BD = x，DC = y，则有：\[ \frac{AB}{BD} = \frac{AD}{DC} \]\[ \frac{8}{x} = \frac{6}{y} \]由于三角形ABD和三角形ACD共享边AD，根据相似三角形的面积比等于边长的平方比，我们有：\[ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \]\[ \frac{8}{10} = \frac{x}{y} \]解得 x = 4.8cm，y = 6cm，所以BD:DC = 4.8:6 = 4:5。
练习题3：已知三角形PQR与三角形XYZ相似，且∠P = ∠X，∠Q = ∠Y，求∠R与∠Z的比值。
答案3：由于三角形PQR与三角形XYZ相似，且对应角相等，根据三角形内角和定理，我们知道∠P + ∠Q + ∠R = 180°，∠X + ∠Y + ∠Z = 180°。
由于∠P = ∠X，∠Q = ∠Y，我们可以得出∠R = ∠Z，所以∠R:∠Z = 1:1。
练习题4：在三角形ABC中，点E在边AB上，点F在边AC上，且EF平行于BC。
已知AE:AB = 1:2，求AF:AC的比值。
答案4：由于EF平行于BC，根据平行线的性质，三角形AEF与三角形ABC相似。
初三数学相似三角形典例及练习题含答案
初三数学相似三角形典例及练习题含答案典例典例1已知三角形ABC中，∠B=90°，AC=6cm，BD垂直AC于D点，BD=3cm，求BC的长度。
解析：根据勾股定理可得：BC^2 = AB^2 + AC^2 = BD^2 + AD^2 + AC^2因为∆ABC与∆ABD相似，所以可以得到：\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}即：AD = \frac{AB^2}{AC}将公式代入原式中，得到：BC^2 = BD^2 + \frac{AB^4}{AC^2} + AC^2因为AC=6，BD=3，所以代入可得：BC^2 = 3^2 + \frac{AB^4}{6^2} + 6^2化简得：BC^2 = AB^4 \cdot \frac{1}{36} + 45AB^4 = 36(BC^2 - 45)因此，我们可以得到：AB = \sqrt[4]{36(BC^2 - 45)}典例2已知两个三角形ABC和DEF，且它们相似，已知AC=20cm，EF=12cm，AB=15cm，计算DE的长度。
解析：由于两个三角形相似，所以可以得到：\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{EF}将已知条件带入即可得到：\frac{15}{DE}=\frac{20}{12}解得：DE = \frac{36}{4} = 9因此，DE的长度为9cm。
典例3已知三角形ABC和DEF相似，且AB=5cm，DE=2.5cm，BC=6cm，计算EF的长度。
解析：由于两个三角形相似，所以可以得到：\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}将已知条件带入即可得到：\frac{5}{2.5}=\frac{6}{EF}解得：EF = 12因此，EF的长度为12cm。
练习题练习题1已知三角形ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=4cm，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，且∆DEF与∆ABC相似。
初三数学13 相似三角形-2024年中考数学真题分项汇编(全国通用)(解析版)
专题13 相似三角形一．选择题1．（2022·黑龙江哈尔滨）如图，,,AB CD AC BD ∥相交于点E ，1,2,3AE EC DE ===，则BD 的长为（ ）A ．32B ．4C ．92D ．6【答案】C【分析】根据相似三角形对应边长成比例可求得BE 的长，即可求得BD 的长．【详解】∵//AB CD ∴ABE CDE ∽ ∴AE BE EC DE= ∵1,2,3AE EC DE ===，∴32BE =∵BD BE ED =+ ∴92BD = 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的对应边长成比例，解题的关键在于找到对应边长．2．（2022·广西贺州）如图，在ABC 中，25DE BC DE BC ==∥，，，则:ADE ABC S S 的值是（ ）A ．325B ．425C ．25D ．35【答案】B【分析】根据相似三角形的判定定理得到ADE ABC ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【详解】解：25DE BC DE BC ==∥，，∴ADE ABC ，∴2224525ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故选：B ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．（2022·广西梧州）如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形''''A B C D ﹐已知'13OA OA =，若四边形ABCD 的面积是2，则四边形''''A B C D 的面积是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．18【答案】D 【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：由题意可知，四边形ABCD 与四边形''''A B C D 相似，由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：''''22'1139ABCD A B C D S OA S OA ⎛⎫⎛⎫= ⎪= ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又四边形ABCD 的面积是2，∴四边形''''A B C D 的面积为18，故选：D ．【点睛】本题考察相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键．4．（2022·四川雅安）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，DE ∥BC ，若AD BD ＝21，那么DE BC ＝（ ）A ．49B ．12C ．13D ．23【答案】D【分析】先求解2,3AD AB =再证明,ADE ABC ∽可得2.3DE AD BC AB ==【详解】解： AD BD ＝21，2,3AD AB ∴= DE ∥BC ，,ADE ABC ∴ ∽ 2,3DE AD BC AB ∴== 故选D 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明ADE ABC △△∽是解本题的关键．5．（2022·内蒙古包头）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A ，B ，C ，D 四个点均在格点上，AC 与BD 相交于点E ，连接,AB CD ，则ABE △与CDE △的周长比为（ ）A ．1：4B ．4：1C ．1：2D ．2：1【答案】D 【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM 为平行四边形，接着证明ABE CDE ∽，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．【详解】如图：由题意可知，3DM =，3BC =， ∴DM BC =，而DM BC ∥，∴四边形DCBM 为平行四边形，∴AB DC ∥，∴BAE DCE ∠=∠，ABE CDE ∠=∠，∴ABE CDE ∽，∴21ABE CDE C AB C CD ===△△．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．6．（2022·黑龙江绥化）如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一个动点，连接BP ，CP ，过点B 作射线，交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP =∠∠，如果2AB =，5BC =，AP x =，PM y =，其中25x < ．则下列结论中，正确的个数为（ ）（1）y 与x 的关系式为4y x x =-；（2）当4AP =时，ABP DPC ∽；（3）当4AP =时，3tan 5EBP ∠=．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C 【分析】（1）证明ABM APB ∽，得AB AM AP AB=，将2AB =，AP x =，PM y =代入，即可得y 与x 的关系式；（2）利用两组对应边成比例且夹角相等，判定ABP DPC ∽；（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，在Rt APB △中，由勾股定理得BP 的长，证明FPM APB ∽，求出MF ，PF ，BF 的长，在Rt BMF △中，求出tan EBP ∠的值即可．【详解】解：（1）∵在矩形ABCD 中，∴AD BC ∥，90A D ∠=∠=︒，5BC AD ==，2AB DC ==，∴APB CBP ∠=∠，∵ABE CBP =∠∠，∴ABE APB ∠=∠，∴ABM APB ∽，∴AB AM AP AB=，∵2AB =，AP x =，PM y =，∴22x y x -=，解得：4y x x=-，故（1）正确；（2）当4AP =时，541DP AD AP =-=-=，∴12DC DP AP AB ==，又∵90A D ∠=∠=︒，∴ABP DPC ∽，故（2）正确；（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，∴90A MFP MFB ∠=∠=∠=︒，∵当4AP =时，此时4x =，4413y x x =-=-=，∴3PM =，在Rt APB 中，由勾股定理得：222BP AP AB =+，∴BP ===，∵FPM APB ∠=∠，∴FPM APB ∽，∴MF PF PM AB AP PB ==，∴24MF PF ==∴MF =PF =∴BF BP PF =-=∴3tan 4MF EBP BF ∠===故（3）不正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，矩形的性质，正确找出相似三角形是解答本题的关键．7．（2022·湖北鄂州）如图，定直线MN ∥PQ ，点B 、C 分别为MN 、PQ 上的动点，且BC =12，BC 在两直线间运动过程中始终有∠BCQ =60°．点A 是MN 上方一定点，点D 是PQ 下方一定点，且AE ∥BC ∥DF ，AE =4，DF =8，ADBC 在平移过程中，AB +CD 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】如图所示，过点F 作FH CD ∥交BC 于H ，连接EH ，可证明四边形CDFH 是平行四边形，得到CH =DF =8，CD =FH ，则BH =4，从而可证四边形ABHE 是平行四边形，得到AB =HE ，即可推出当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，证明四边形BEGC 是平行四边形，∠EGT =∠BCQ =60°，得到EG =BC =12，然后通过勾股定理和解直角三角形求出ET 和TF 的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点F 作FH CD ∥交BC 于H ，连接EH ，∵BC DF FH CD ∥∥，，∴四边形CDFH 是平行四边形，∴CH =DF =8，CD =FH ，∴BH =4，∴BH =AE =4，又∵AE BC ∥，∴四边形ABHE 是平行四边形，∴AB =HE ，∵EH FH EF +≥，∴当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，∵MN PQ BC AE ∥∥，，∴四边形BEGC 是平行四边形，∠EGT =∠BCQ =60°，∴EG =BC =12，∴=cos =6=sin GT GE EGT ET GE EGT ⋅⋅∠，∠，同理可求得8GL AL ==，，4KF DK ==，，∴2TL =，∵AL ⊥PQ ，DK ⊥PQ ，∴AL DK ∥，∴△ALO ∽△DKO ，∴2AL AO DK DO==，∴2133AO AD DO AD ====∴24OL OK ===，，∴42TF TL OL OK KF =+++=，∴EF ==故选C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正确作出辅助线推出当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF 是解题的关键．8．（2022·广西贵港）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，动点E 在AB 边上（与点A 、B 均不重合），点F 在对角线AC 上，CE 与BF 相交于点G ，连接,AG DF ，若AF BE =，则下列结论错误的是（ ）A ．DF CE =B ．120BGC ∠=︒C ．2AF EG EC =⋅D ．AG【答案】D【分析】先证明△BAF ≌△DAF ≌CBE ，△ABC 是等边三角形，得DF =CE ，判断A 项答案正确，由∠GCB +∠GBC =60゜，得∠BGC =120゜，判断B 项答案正确，证△BEG ∽△CEB 得BE CE GE BE= ，即可判断C 项答案正确，由120BGC ∠=︒，BC =1，得点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上，易得当点G 在等边△ABC 的内心处时，AG 取最小值，由勾股定理求得AG D 项错误．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，∴AB =AD =BC =CD ，∠BAC =∠DAC =12∠BAD =12(180)ABC ⨯︒-∠=60ABC ︒=∠，∴△BAF ≌△DAF ≌CBE ，△ABC 是等边三角形，∴DF =CE ，故A 项答案正确，∠ABF =∠BCE ，∵∠ABC =∠ABF +∠CBF =60゜，∴∠GCB +∠GBC =60゜，∴∠BGC =180゜-60゜=180゜-（∠GCB +∠GBC ）=120゜，故B 项答案正确，∵∠ABF =∠BCE ，∠BEG =∠CEB ，∴△BEG ∽△CEB ，∴BE CE GE BE = ，∴2BE GE CE = ，∵AF BE =，∴2AF GE CE = ，故C 项答案正确，∵120BGC ∠=︒，BC =1，点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上，∴当点G 在等边△ABC 的内心处时，AG 取最小值，如下图，∵△ABC 是等边三角形，BC =1，∴BF AC ⊥，AF =12AC =12，∠GAF =30゜，∴AG =2GF ，AG 2=GF 2+AF 2，∴2221122AG AG ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得AG D 项错误，故应选：D【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．9．（2022·贵州贵阳）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC 与ACB △的周长比是（ ）A ．B ．1:2C ．1:3D ．1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有12AC AD CD AB AC BC ===，则可得12AC AD CD AB AC BC ++=++，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CD AB AC BC ==，∵12AC AB =，∴12AC AD CD AB AC BC ===，∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++，∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．10．（2022·广西）已知△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比（ ）A ．1 ：3B ．1：6C ．1：9D ．3：1【答案】C【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．【详解】∵△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为1：9，故选：C ．【点睛】本题考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．11．（2022·山东临沂）如图，在ABC 中，∥DE BC ，23AD DB =，若6AC =，则EC =（ ）A ．65B ．125C ．185D ．245【答案】C【分析】由∥DE BC ，23AD DB =，可得2,3AD AE DB EC ==再建立方程即可．【详解】解： ∥DE BC ，23AD DB =，2,3AD AE DB EC ∴== 6AC =，62,3CE CE -∴= 解得：18.5CE =经检验符合题意故选C 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“23AD AE DB EC ==”是解本题的关键．12．（2022·山东威海）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°．若S △AOB ＝1，则图中与△AOB 位似的三角形的面积为( )A ．（43）3B ．（43）7C ．（43）6D ．（34）6【答案】C【分析】根据题意得出A 、O 、G 在同一直线上，B 、O 、H 在同一直线上，确定与△AOB 位似的三角形为△GOH ，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=6x ，再由相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°∴∠AOG ＝180°，∠BOH ＝180°，∴A 、O 、G 在同一直线上，B 、O 、H 在同一直线上，∴与△AOB 位似的三角形为△GOH ，设OA =x ，则OB=1cos30OA x ==︒，∴OC=24cos303OB x x ==︒，∴OD=3cos30OC x ==︒，…∴OG=6x ，∴6OG OA =，∴12643GOH AOB S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∵1AOB S = ，∴643GOH S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，故选：C ．【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键．二．填空题13．（2022·贵州黔东南）如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD ，折痕是DM ，点C 落在点E 处，分别延长ME 、DE 交AB 于点F 、G ，若点M 是BC 边的中点，则FG =______cm．【答案】53【分析】根据折叠的性质可得DE =DC =4，EM =CM =2，连接DF ，设FE =x ，由勾股定理得BF ，DF ，从而求出x 的值，得出FB ，再证明FEG FBM ∆∆ ，利用相似三角形对应边成比例可求出FG ．【详解】解：连接,DF 如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴4,90.AB BC CD DA A B C CDA ︒====∠=∠=∠=∠=∵点M 为BC 的中点，∴114222BM CM BC ===⨯=由折叠得，2,4,ME CM DE DC ====∠90,DEM C ︒=∠=∴∠90DEF ︒=，90,FEG ∠=︒设,FE x =则有222DF DE EF =+∴2224DF x =+又在Rt FMB ∆中，2,2FM x BM =+=，∵222FM FB BM =+∴FB ==∴4AF AB FB =-=在Rt DAF ∆中，222,DA AF DF +=∴2224(44,x +=+解得，124,83x x ==-（舍去）∴4,3FE =∴410233FM FE ME =+=+=∴83FB ==∵∠90DEM ︒=∴∠90FEG ︒=∴∠,FEG B =∠又∠.GFE MFB =∠∴△FEG FBM∆ ∴,FG FE FM FB=即4310833FG =∴5,3FG =故答案为：53【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．14．（2022·上海）如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =90°，D 为AB 中点，E 在线段AC 上，AD DE AB BC=，则AE AC =_____．【答案】12或14【分析】由题意可求出12DE BC =，取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，满足112DE BC =，进而可求此时112AE AC =，然后在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212DE BC =，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝14AC ，即可得到214AE AC =，问题得解．【详解】解：∵D 为AB中点，∴12AD DE AB BC ==，即12DE BC =，取AC 中点E 1，连接DE 1，则DE 1是△ABC 的中位线，此时DE 1∥BC ，112DE BC =，∴112AE AD AC AB ==，在AC 上取一点E 2，使得DE 1＝DE 2，则212DE BC =，∵∠A =30°，∠B =90°，∴∠C =60°，BC ＝12AC ，∵DE 1∥BC ，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等边三角形，∴DE 1＝DE 2＝E1E2＝12BC ，∴E1E2＝14AC ，∵112AE AC =，∴214AE AC =，即214AE AC =，综上，AE AC 的值为：12或14，故答案为：12或14．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据12DE BC =进行分情况求解是解题的关键．15．（2022·北京）如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ===，则AE 的长为_______．【答案】1【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD 中：AD BC ∥，90ABC ∠=︒，∴14AE AF BC FC ==，4BC =，∴144AE =，∴1AE =，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．16．（2022·江苏常州）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，9AC =，12BC =．在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF ，Rt DEF 从起始位置（点D 与点B 重合）平移至终止位置（点E 与点A 重合），且斜边DE 始终在线段AB 上，则Rt ABC △的外部被染色的区域面积是______．【答案】28【分析】过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如图，需要知道的是Rt ABC 的被染色的区域面积是MNF F S '梯形，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解．【详解】解：过点F 作AB 的垂线交于G ，同时在图上标出,,M N F '如下图：90C ∠=︒ ，9AC =，12BC =，15AB ∴==，在Rt DEF 中，90F ∠=︒，3DF =，4EF =．5DE ∴==，15510AE AB DE =-=-= ，//,EF AF EF AF ''= ，∴四边形AEFF '为平行四边形，10AE FF '∴==，11622DEF S DF EF DE GF =⋅=⋅= ，解得：125GF =， //DF AC ，,DFM ACM FDM CAM ∴∠=∠∠=∠，DFM ACM ∴ ∽，13DM DF AM AC ∴==，1115344DM AM AB ∴===，//BC AF ' ，同理可证：ANF DNC ' ∽，13AF AN BC DN '∴==，345344DN AN AB ∴===，451530444MN DN DM ∴=-=-=，Rt ABC 的外部被染色的区域面积为130121028245MNF F S '⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭梯形，故答案为：28．【点睛】本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．17．（2022·广西）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米．【答案】12【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答．【详解】解：设旗杆为AB ，如图所示：根据题意得：ABC DEF ∆∆ ，∴DE EF AB BC= ∵2DE =米， 1.2EF =米，7.2BC =米，∴2 1.2=7.2AB 解得：AB =12米．故答案为：12．【点睛】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．18．（2022·广东深圳）已知ABC 是直角三角形，90,3,5,B AB BC AE ∠=︒===连接CE 以CE 为底作直角三角形CDE 且,CD DE =F 是AE 边上的一点，连接BD 和,BF BD 且45,FBD ∠=︒则AF 长为______．【分析】将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，利用SAS 证明EDH CDB ∆≅∆，得5EH CB ==，90HED BCD ∠=∠=︒，从而得出////HE DC AB ，则ABF EHF ∆∆∽，即可解决问题．【详解】解：将线段BD 绕点D 顺时针旋转90︒，得到线段HD ，连接BH ，HE ，BDH ∴∆是等腰直角三角形，又EDC ∆ 是等腰直角三角形，HD BD ∴=，EDH CDB ∠=∠，ED CD =，()EDH CDB SAS ∴∆≅∆，5EH CB ∴==，90HED BCD ∠=∠=︒，90EDC ∠=︒ ，90ABC ∠=︒，////HE DC AB ∴，,ABF EHF BAF HEF ∴∠=∠∠=∠，ABF EHF ∴∆∆∽，∴==-AB AF AF EH EF AE AF ，AE =∴35=AF ∴=，【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．19．（2022·广西河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD 沿长边BC ，AD 的中点E ，F 对折，得到四边形ABEF ，点G ，H 分别在BE ，EF 上，且BG ＝EH ＝25BE ＝2，AG 与BH 交于点O ，N 为AF 的中点，连接ON ，作OM ⊥ON 交AB 于点M ，连接MN ，则tan ∠AMN ＝_____．【答案】58##0.625【分析】先判断出四边形ABEF 是正方形，进而判断出△ABG ≌△BEH ，得出∠BAG =∠EBH ，进而求出∠AOB =90°，再判断出△AOB ~△ABG ，求出OA OB ==△OBM ～△OAN ，求出BM =1，即可求出答案．【详解】解：∵点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴11,22AF AD BE BC ==，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =90°，AD ∥BC ，AD =BC ，∴12AF BE AD ==，∴四边形ABEF 是矩形，由题意知，AD =2AB ，∴AF =AB ，∴矩形ABEF 是正方形，∴AB =BE ，∠ABE =∠BEF =90°，∵BG =EH ，∴△ABG≌△BEH（SAS），∴∠BAG=∠EBH，∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°，∴∠AOB=90°，∵BG＝EH＝25BE＝2，∴BE=5，∴AF=5，∴AG==∵∠OAB=∠BAG，∠AOB=∠ABG，∴△AOB∽△ABG，∴OA OB ABAB BG AG==，即52OA OB==∴OA OB==∵OM⊥ON，∴∠MON=90°=∠AOB，∴∠BOM=∠AON，∵∠BAG+∠FAG=90°，∠ABO+∠EBH=90°，∠BAG=∠EBH，∴∠OBM=∠OAN，∴△OBM～△OAN，∴OB BM OA AN=，∵点N是AF的中点，∴1522AN AF==，52BM=，解得：BM=1，∴AM=AB-BM=4，∴552tan48ANAMNAM∠===．故答案为：5 8【点睛】此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出BM 是解本题的关键．20．（2022·内蒙古赤峰）如图，为了测量校园内旗杆AB 的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O 处，然后观测者沿着水平直线BO 后退到点D ，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A ，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD =1.7m ，BD =11m ，则旗杆AB 的高度约为_________m ． 1.7≈）【答案】17【分析】如图容易知道CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，即∠CDO =∠ABO =90°．由光的反射原理可知∠COD =∠AOB =60°，这样可以得到△COD ∽△AOB ，然后利用对应边成比例就可以求出AB ．【详解】解：由题意知∠COD =∠AOB =60°，∠CDE =∠ABE =90°，∵CD =1.7m ，∴OD =60CD tan =︒≈1(m)，∴OB =11-1=10(m)，∴△COD ∽△AOB ．∴CD OD AB OB =，即1.7110AB =，∴AB =17(m)，答：旗杆AB 的高度约为17m ．故答案为：17．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质就可以求出结果．21．（2022·湖北鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 、E 分别为边BC 、AC 上的点，AD 与BE 相交于点P ，若BD =CE =2，则△ABP 的周长为 _____．【答案】6+【分析】如图所示，过点E 作EF ⊥AB 于F ，先解直角三角形求出AF ，EF ，从而求出BF ，利用勾股定理求出BE 的长，证明△ABD ≌△BCE 得到∠BAD =∠CBE ，AD =BE ，再证明△BDP ∽△ADB ，得到62BP PD==，即可求出BP ，PD ，从而求出AP ，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点E 作EF ⊥AB 于F ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC ，∠ABD =∠BAC =∠BCE =60°，∵CE =BD =2，AB =AC =6，∴AE =4，∴cos 2sin AF AE EAF EF AE EAF =⋅∠==⋅∠=，，∴BF =4，∴BE =又∵BD =CE ，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠BAD =∠CBE ，AD =BE ，又∵∠BDP =∠ADB ，∴△BDP ∽△ADB ，∴BD BP DP AD AB BD==，62BP PD==，∴BP PD =∴AP AD AP =-=，∴△ABP 的周长=6AB BP AP ++=故答案为：6+【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．22．（2022·山东潍坊）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD 的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D ''''，若:2:1A B AB =''，则四边形A B C D ''''的外接圆的周长为___________．【答案】【分析】根据正方形ABCD 的面积为4，求出2AB =，根据位似比求出4A B ''=，周长即可得出；【详解】解： 正方形ABCD 的面积为4，∴2AB =，:2:1A B AB ''=，∴4A B ''=，∴A C ''==所求周长=；故答案为：．【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD 的边长．23．（2022·内蒙古包头）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC BC ==，D 为AB 边上一点，且BD BC =，连接CD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交BC 于点E （异于点C ），连接DE ，则BE的长为___________．【答案】3##3-+【分析】过点D 作DF ⊥BC 于点F ，根据题意得出DC DE =，根据等腰三角形性质得出CF EF =，根据90ACB ∠=︒，3AC BC ==，得出AB =CF x =，则3BF x =-，证明DF AC ，得出BF BDCF AD=，列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，即可得出3BE =．【详解】解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，如图所示：根据作图可知，DC DE =，∵DF ⊥BC ，∴CF EF =，∵90ACB ∠=︒，3AC BC ==，∴AB ===∵3BD BC ==，∴3AD =，设CF x =，则3BF x =-，∵90ACB ∠=︒，∴AC BC ⊥，∵DF BC ⊥，∴DF AC ，∴BF BDCF AD =，即3x x -=，解得：x =，∴226CE x ===-，∴3363BE CE =-=-+=．故答案为：3．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，作出辅助线，根据题意求出CF 的长，是解题的关键．24．（2022·江苏泰州）如图上，Δ,90,8,6,ABC C AC BC ∠=== 中O 为内心，过点O 的直线分别与AC 、AB 相交于D 、E ，若DE=CD+BE ，则线段CD 的长为__________.【答案】2或12##12或2【分析】分析判断出符合题意的DE 的情况，并求解即可；【详解】解：①如图，作//DE BC ，OF BC OG AB ⊥⊥，，连接OB ，则OD ⊥AC ，∵//DE BC ，∴OBF BOE ∠=∠∵O 为ABC ∆的内心，∴OBF OBE ∠=∠，∴BOE OBE ∠=∠∴BE OE =，同理，CD OD =，∴DE=CD+BE ，10AB ===∵O 为ABC ∆的内心，∴OF OD OG CD ===，∴BF BG AD AG==，∴6810AB BG AG BC CD AC CD CD CD =+=-+-=-+-=∴2CD =②如图，作DE AB ⊥，由①知，4BE =，6AE =，∵ACB AED CAB EAD ∠=∠∠=∠，∴ABC ADE ∆∆ ∴AB ADAC AE=∴1061582AB AE AD AC ⋅⨯===∴151822CD AC AD =-=-=∵92DE ===∴19422DE BE CD =+=+=∴12CD =故答案为：2或12．【点睛】本题主要考查三角形内心的性质、勾股定理、三角形的相似，根据题意正确分析出符合题意的情况并应用性质定理进行求解是解题的关键．25．（2022·黑龙江绥化）如图，60AOB ∠=︒，点1P 在射线OA 上，且11OP =，过点1P 作11PK OA ⊥交射线OB 于1K ，在射线OA 上截取12PP ，使1211PPPK =；过点2P 作22P K OA ⊥交射线OB 于2K ，在射线OA 上截取23P P ，使2322P P P K =.按照此规律，线段20232023P K 的长为________．20221【分析】解直角三角形分别求得11PK ，22P K ，33P K ，……，探究出规律，利用规律即可解决问题．【详解】解：11PK OA ⊥ ，11OPK ∴△是直角三角形，在11Rt OPK 中，60AOB ∠=︒，11OP =，12111tan 60PP PK OP ∴==⋅︒=11PK OA ⊥ ，22P K OA ⊥，1122PK P K ∴∥，2211OP K OPK ∴△∽△，222111P K OP PK OP ∴=，=221P K ∴，同理可得：2331P K =+，3441P K =，……，11n n n P K -∴=，2022202320231P K ∴=，20221．【点睛】本题考查了图形的规律，解直角三角形，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会探究规律的方法．26．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，4A ……在x 轴上且11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =……按此规律，过点1A ，2A ，3A ，4A ……作x轴的垂线分别与直线y =交于点1B ，2B ，3B ，4B ……记11OA B ，22OA B △，33 OA B ，44 OA B ……的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ……，则2022S =______．【答案】2【分析】先求出11A B =，可得11OA B S =112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥∥，从而得到11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ∽……∽n n OA B △，再利用相似三角形的性质，可得11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ∶……∶n n OA B S =()()()2222231:2:2:2::2n ，即可求解．【详解】解：当x =1时，y =，∴点(1B ，∴11A B =∴11112OA B S =⨯= ，∵根据题意得：112233n n A B A B A B A B ⋯⋯∥∥∥∥，∴11OA B ∽22OA B △∽33 OA B ∽44 OA B ∽……∽n n OA B △，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ：……∶n n OA B S = OA 12∶OA 22∶OA 32∶……∶OAn 2，∵11OA =，212OA OA =，322OA OA =，432OA OA =，……，∴22OA =，2342OA ==，3482OA ==，……，12n n OA -=，∴11OA B S ∶22OA B S ∶33OA B S ∶44OA B S ∶……∶n n OA B S =()()()2222231246221:2:2:2::21:2:2:2::2n n --= ，∴11222n n n OA B OA B S S -= ，∴220222202222S ⨯-==故答案为：2【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键．27．（2022·广西）如图，在正方形ABCD 中，AB =，对角线,AC BD 相交于点O ．点E 是对角线AC 上一点，连接BE ，过点E 作EF BE ⊥，分别交,CD BD 于点F 、G ，连接BF ，交AC 于点H ，将EFH △沿EF 翻折，点H 的对应点H '恰好落在BD 上，得到EFH '△若点F 为CD 的中点，则EGH '△的周长是_________．【答案】5+【分析】过点E 作PQ //AD 交AB 于点P ，交DC 于点Q ，得到BP =CQ ，从而证得BPE ≌EQF △，得到BE =EF ，再利用BC =F 为中点，求得BF ==BE EF ===，再求出2EO ==，再利用AB //FC ，求出ABH CFH △∽△21AH CH ==，求得216833AH =⨯=，18833CH =⨯=，从而得到EH =AH -AE =1610233-=，再求得EOB GOE △∽△得到21242OG ===，求得EG OG =1， 过点F 作FM ⊥AC 于点M ，作FN ⊥OD 于点N ，求得FM =2，MH =23，FN =2，证得Rt FH N '△≌Rt FMH 得到23H N MH '==，从而得到ON =2，NG =1，25133GH '=+=，从而得到答案．【详解】解：过点E 作PQ //AD 交AB 于点P ，交DC 于点Q ，∵AD //PQ ，∴AP =DQ ，BPQ CQE ∠=∠，∴BP =CQ ，∵45ACD ∠=︒，∴BP =CQ =EQ ，∵EF ⊥BE ，∴90PEB FEQ ∠+∠=︒∵90PBE PEB ∠+∠=︒∴PBE FEQ ∠=∠，在BPE 与EQF △中BPQ FQE PB EQPBE FEQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BPE ≌EQF △，∴BE =EF ，又∵BC AB ==F 为中点，∴CF =∴BF ==∴BE EF ===，又∵4BO ==，∴2EO ==，∴AE =AO -EO =4-2=2，∵AB //FC ，∴ABH CFH △∽△，∴AB AH CF CH=，21AH CH ==，∵8AC ==， ∴216833AH =⨯=，18833CH =⨯=，∴EH =AH -AE =1610233-=，∵90BEO FEO ∠+∠=︒，+90BEO EBO ∠∠=︒，∴FEO EBO ∠=∠，又∵90EOB EOG ∠=∠=︒，∴EOB GOE△∽△∴EG OG OE BE OE OB==，21242OG ===，∴EG OG =1，过点F 作FM ⊥AC 于点M ，∴FM=MC 2=，∴MH =CH -MC =82233-=， 作FN ⊥OD 于点N ，2,FN ==，在Rt FH N '△与Rt FMH 中FH FH FN FM'=⎧⎨=⎩∴Rt FH N '△≌Rt FHM∴23H N MH '==，∴ON =2，NG =1，∴25133GH '=+=，∴10533EGH C EH EG GH EH EG GH '''=++=++=△，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质应用，重点是与三角形相似和三角形全等的结合，熟练掌握做辅助线是解题的关键．28．（2022·辽宁）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ．若6AB =，则AEF 的面积为___________．【答案】3【分析】由正方形的性质可知1113222AE AD AB BC ====，//AD BC ，则有AEF CBF ∽△△，然后可得12EF AE BF BC ==，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，6AB =，∴6AD BC AB ===，//AD BC ，∴AEF CBF ∽△△，∴EF AE BF BC=，∵E 为AD 的中点，∴1113222AE AD AB BC ====，∴12EF AE BF BC ==，192ABE S AE AB =⋅= ，∴13EF BE =，∴133AEF ABE S S == ；故答案为3．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．29．（2022·贵州贵阳）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，6cm AC BC ==，90ACB ADB ∠=∠=︒．若2BE AD =，则ABE △的面积是_______2cm ，AEB ∠=_______度．【答案】 36-36- 112.5【分析】通过证明ADE BCE ，利用相似三角形的性质求出23m AE =，263m CE =-，再利用勾股定理求出其长度，即可求三角形ABE 的面积，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，证明AEF 是等腰直角三角形，再求出AE CE =，继而证明()Rt BCE Rt BFE HL ≅ ，可知122.52EBF EBC ABC ∠=∠=∠=︒，利用外角的性质即可求解．【详解】90,ACB ADB AED BEC ∠=∠=︒∠=∠ ，ADE BCE ∴ ，AD AE BC BE∴=，6,2BC AC BE AD === ，设,2AD m BE m ==，62m AE m∴=，23m AE ∴=，263m CE ∴=-，在Rt BCE 中，由勾股定理得222BC CE BE +=，22226(6)(2)2m m ∴+-=，解得236m =-或236m =+ 对角线AC ，BD 相交于点E ，236m ∴=-，12AE ∴=-，6CE ∴=，∴(2111263622ABE S AE BC =⋅⋅=⨯-⨯=- ，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，90,ACB AC BC ∠=︒= ，45BAC ABC AEF ∴∠=∠=︒=∠，6AE AF AE CE ∴====，BE BE = ，()Rt BCE Rt BFE HL ∴≅ ，122.52EBF EBC ABC ∴∠=∠=∠=︒，112.5AEB ACB EBC ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：36-，112.5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．三．解答题30．（2022·河北）如图，某水渠的横断面是以AB 为直径的半圆O ，其中水面截线MN AB ∥．嘉琪在A 处测得垂直站立于B 处的爸爸头顶C 的仰角为14°，点M 的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m ．(1)求∠C 的大小及AB 的长；(2)请在图中画出线段DH ，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：tan 76︒取4 4.1）【答案】(1)=76C ∠︒， 6.8(m)AB =(2)见详解，约6.0米【分析】（1）由水面截线MN AB ∥可得BC AB ⊥，从而可求得76C ∠=︒，利用锐角三角形的正切值即可求解．（2）过点O 作O H M N ⊥，交MN 于D 点，交半圆于H 点，连接OM ，过点M 作MG ⊥OB 于G ，水面截线MN AB ∥，即可得DH 即为所求，由圆周角定理可得14BOM ∠=︒，进而可得ABC OGM ，利用相似三角形的性质可得4OG GM =，利用勾股定理即可求得GM 的值，从而可求解．(1)解：∵水面截线MN AB∥BC AB ∴⊥，90ABC ∴∠=︒，90=76C CAB ∴∠=︒-∠︒，在t R ABC 中，90ABC ∠=︒， 1.7BC =，tan 76 1.7AB AB BC ∴︒==，解得 6.8(m)AB ≈．(2)过点O 作O H M N ⊥，交MN 于D 点，交半圆于H 点，连接OM ，过点M 作MG ⊥OB 于G ，如图所示：水面截线MN AB ∥，OH AB ⊥，DH MN ∴⊥，GM OD =，DH ∴为最大水深，7BAM ∠=︒ ，214BOM BAM ∴∠=∠=︒，90ABC OGM ∠=∠=︒ ，且14BAC ∠=︒，ABC OGM ∴ ，OG MG AB CB ∴=，即6.8 1.7OG MG =，即4OG GM =，在Rt OGM △中，90OGM ∠=︒， 3.42AB OM =≈，222OG GM OM ∴+=，即2224(3.4)GM GM +=（），解得0.8GM ≈，= 6.80.86DH OH OD ∴-=-≈，∴最大水深约为6.0米．【点睛】本题考查了解直角三角形，主要考查了锐角三角函数的正切值、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、平行线的性质和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键．31．（2022·吉林）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =⋅ ，12DBC S BC h =⋅△．∴ABC DBC S S = ．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h '，则ABC DBC S h S h ='△△．证明：∵ABC S(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM =△△．证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，∴AE ∥ ．∴AEM △∽ ．∴AE AM DF DM =．由【探究】（1）可知ABC DBC S S =△△ ，∴ABC DBC S AM S DM =△△．(3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBC S S △△的值为 ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)73【分析】（1）根据三角形的面积公式可得11,22ABC DBC S S BC h BC h '=⋅=⋅ ，由此即可得证；（2）过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，先根据平行线的判定可得AE DF ，再根据相似三角形的判定可证AEM DFM ~ ，根据相似三角形的性质可得AE AM DF DM=，然后结合【探究】（1）的结论即可得证；（3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，先根据相似三角形的判定证出AME DNE ~ ，再根据相似三角形的性质可得73AM AE DN DE ==，然后根据三角形的面积公式可得12ABC S BC AM =⋅ ，12DBC S BC DN =⋅ ，由此即可得出答案．(1)证明：12ABC S BC h =⋅ ，12DBC BC h S '=⋅ ，ABC DBC S h S h ∴='．(2)证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，AE DF ∴∥．AEM DFM ~∴ ．AE AM DF DM∴=．由【探究】（1）可知ABC DBC S AE S DF= ，ABC DBC S AM S DM ∴= ．(3)解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，则90AME DNE ∠=∠=︒，AM DN ∴ ，AME DNE ∴~ ，AM AE DN DE∴=， 点,,A E D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，5 1.5 3.5AE ∴=-=， 1.5DE =，3.571.53AM DN ∴==，又12ABC S BC AM =⋅ ，12DBC S BC DN =⋅ ，73ABCDBC S AM S DN =∴= ，故答案为：73．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．32．（2022·山东青岛）如图，在Rt ABC △中，90,5cm,3cm ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到ADE ，连接CD ．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1cm/s ．PQ 交AC 于点F ，连接,CP EQ ．设运动时间为(s)(05)t t <<．解答下列问题：(1)当EQ AD ⊥时，求t 的值；(2)设四边形PCDQ 的面积为()2cm S ，求S 与t 之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t ，使PQ CD ∥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)16s 5(2)213714210S t t =-+(3)存在，65s 29t =【分析】（1）利用AQE AED △∽△得AQ AE AE AD =，即445t =，进而求解；（2）分别过点C ，P 作,CM AD PN BC ⊥⊥，垂足分别为M ，N ，证ABC CAM △∽△得，AB BC AC CA AM CM ==，求得121655AM CM ==，再证BPN BAC △∽△得BP PN BA AC=，得出45PN t =，根据ABC ACD APQ BPC PCDQ S S S S S S ==+-- 四边形即可求出表达式；（3）当PQ CD ∥时AQP ADC ∠=∠，易证APQ MCD △∽△，得出AP AQ MC MD =，则5161355t t -=，进而求出t 值．(1)解：在Rt ABC △中，由勾股定理得，4AC ===∵ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90︒得到ADE。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--相似三角形(含答案)
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--相似三角形1．如图所示，在矩形MBCN中，点A是边MN的中点，MB=6cm，BC=16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t(s)(0<t< 10)，解答下列问题：（1）求证：△AMB≌△ANC；（2）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；（3）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．2．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形网格的格点上，线段AB、CD相交于点O．（1）请在网格图中画出两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“∽”符号写出这对相似三角形：（2）线段AO的长为．3．如图，在∽ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∽DAE=∽F.（1）求证：∽ABE∽∽ECF；（2）若AB=3，AD=7，BE=2，求FC的长.4．如图，已知：AD为∽ABC的中线，过B、C两点分别作AD所在直线的垂线段BE 和CF，E、F为垂足，过点E作EG∽AB交BC于点H，连结HF并延长交AB于点P。
（1）求证：DE=DF（2）若BH:HC=11:5；①求：DF:DA的值；②求证：四边形HGAP为平行四边形。
5．如图，在ΔABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=3,AC=6,AE=4,AB=8.（1）如果BC=7，求线段DE的长；（2）设ΔDEC的面积为a，求ΔBDC的面积（用a的代数式表示）.6．如图，∽ABC内接于∽O且AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD交∽O于点E，连接BE、CE．（1）求证：∽ABE∽∽CDE；（2）填空：①当∽ABC的度数为时，四边形AOCE是菱形；②若AE ＝6，EF＝4，DE的长为．7．如图，在直角坐标系中，直线y=−2x+4分别交x轴，y轴于点E，F，交直线y=x于点P，过线段OP上点A作x轴，y轴的平行线分别交y轴于点C，直线EF 于点B.（1）求点P的坐标.（2）当AC=AB时，求点P到线段AB的距离.8．如图，Rt∽ABC中，∽ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA 边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若∽BPQ与∽ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ∽CP，求t的值．9．已知：四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC平分∽BAD.（1）如图1，求证：BC=CD;（2）如图1，若AD+AB= √2AC，四边形ABCD的面积为8，求AC的值；（3）如图2，连接BD，把∽ABD沿着BD翻折得到∽FBD，延长CF、AD交于点G, 若CG//BD, AD=2，求CG的长．10．如图，（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在∽ABC 中，点O 在线段BC 上，∽BAO ＝20°，∽OAC ＝80°，AO ＝ 6√3 ，BO ：CO ＝1：3，求AB 的长．经过社团成员讨论发现，过点B 作BD∽AC ，交AO 的延长线于点D ，通过构造∽ABD 就可以解决问题（如图2），请回答：∽ADB ＝ °，AB ＝ ． （2）请参考以上思路解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC∽AD ，AO ＝6 √3 ，∽ABC ＝∽ACB ＝75°，BO ：OD ＝1：3，求DC 的长．11．如图1，已知点O 在四边形ABCD 的边AB 上，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝2，OC 平分∽BOD ，与BD 交于点G ，AC 分别与BD 、OD 交于点E 、F ．（1）求证：OC∽AD ；（2）如图2，若DE ＝DF ，求AE AF的值； （3）当四边形ABCD 的周长取最大值时，求DE DF的值． 12．如图，在Rt∽ACB 中，∽C ＝90°，AC =4cm ，BC =3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t(s)(0<t <2)，解答下列问题：（1）当t 为何值时，点A 在PQ 垂直平分线上？（2）当t为何值时，∽APQ为直角三角形？（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt∽ACB的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．13．如图，在直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于B、A两点，OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣12x+32=0的两个实数根，且OB＞OA，以OA为一边作如图所示的正方形AOCD，CD交AB于点P．（1）求直线AB的解析式；（2）在x轴上是否存在一点Q，使以P、C、Q为顶点的三角形与∽ADP相似？若存在，求点Q坐标；否则，说明理由；（3）设N是平面内一动点，在y轴上是否存在点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；否则，请说明理由．14．如图，AC、BD为∽O的直径，且AC∽BD，P、Q分别为半径OB、OA（不与端点重合）上的动点，直线PQ交∽O于M、N．（1）比较大小：cos∽OPQ sin∽OQP；（2）请你判断MP−NP与OP·cos∽OPQ之间的数量关系，并给出证明；（3）当∽APO=60°时，设MQ＝m·MP，NQ=n·NP．①求m+n的值；②以OD为边在OD上方构造矩形ODKS，已知OD＝1，OS＝√3−1，在Q点的移动过程中，1+√m+nMPMK−cMK恒为非负数，请直接写出实数c的最大值．15．如图，AB是∽O的直径，点C在∽O上，CD与∽O相切，AD∽BC，连结OD，AC．（1）求证：∽B=∽DCA；，OD= 3√6，求∽O的半径长．（2）若tanB= √5216．如图，∽O的弦AC与BD互相垂直于点E，OA交ED于点F．（1）如图（1），求证：∽BAC＝∽OAD；（2）如图（2），当AC＝CD时，求证：AB＝BF；（3）如图（3），在（2）的条件下，点P，Q在CD上，点P为CQ中点，∽POQ＝∽OFD，DF＝EC，DQ＝6，求AB的长．答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵四边形MBCN是矩形，∴∠M=∠N=90°，MB=NC又∵点A是边MN的中点，∴AM=AN∴△AMB≌△ANC（2）解：分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G，如图：∴DF//AG，DFAG=BDAB∵△AMB≌△ANC∴AB=AC，∵MB=6 ，BC=16∴BG=8 ， ∴AG=6∴∴AB=AC=10∵AD=BE=t ，∴BD=10−t ，∴DF6=10−t10解得DF＝35(10−t)∵S△BDE＝12BE⋅DF＝7.5∴35(10−t)⋅t＝15解得t＝5．答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2．（3）解：存在．理由如下：①当BE=DE时，△BDE∽△BCA，BE AB=BDBC即t10=10−t16，解得t=5013，②当BD=DE时，△BDE∽△BAC，BE BC=BDAB即t16=10−t10，解得 t =8013． 答：存在时间t 为 5013或 8013 秒时，使得 △BDE 与 △ABC 相似． 2．【答案】（1）解：如图，连接AC ，BD ，由格点图可得BD∽AC ，∴△AOC ∽△BOD ，（2）3√223．【答案】（1）证明：如图.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∽CD ，AD∽BC.∴∽B=∽ECF ，∽DAE=∽AEB.又∵∽DAE=∽F ，∴∽AEB=∽F.∴∽ABE∽∽ECF.（2）解：∵∽ABE∽∽ECF ，∴AB EC =BE CF∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=8.∴EC=BC − BE=8 − 2="6."∴56=2CF. ∴CF =125. 4．【答案】（1）证明：∵AD 是∽ABC 的中线，∴BD ＝CD ， ∵∽FDC 和∽EDB 是对顶角，∴∽FDC ＝∽EDB ，又∵BE∽AE ，CF∽AE ，∴∽DFC ＝∽DEB ＝90°， ∴∽BDE∽∽CDF （AAS ），∴DE=DF（2）解：设 BH =11x,HC =5x 则 BD =CD =12BC =8x DH =3x,HC =5x①∵EH∽AB∴∽EDH∽∽ADB ∴DE DA =DH DB =38∵DE =DF ∴DF DA =38②∵DF DA =38∴DF FA =35∵DH HC =35∴FH∽AC ∴PH∽AC ∵EG∽AB ∴四边形HGAP 为平行四边形 5．【答案】（1）解：∵AD =3,AC =6,AE =4,AB =8 , ∴AD AC =AE AB =12, ∵∽A=∽A,∴∽ADE∽ACB,∴DE BC =12, ∵BC =7∴DE= 72（2）解：∵AE EC =46−4=2 ∴S △ADE S △EDC=AE EC =2 , ∵S △DEC =a ，∴S △ADE =2a∵∽ADE∽ACB∴S △ADE S △ACB =(12)2 , ∴2a S △BDC +a+2a=14 ， ∴S △BDE =5a .6．【答案】（1）证明：∵AB=AC ，CD=CA ， ∴∽ABC=∽ACB ，AB=CD ，∵四边形ABCE 是圆内接四边形，∴∽ECD=∽BAE ，∽CED=∽ABC ，∵∽ABC=∽ACB=∽AEB ，∴∽CED=∽AEB ，∴∽ABE∽∽CDE （AAS ）；（2）60°；97．【答案】（1）解：解 {y =−2x +4y =x 得， {x =43y =43，∴ 点P 的坐标为 (43,43) ； （2）解： ∵ 直线 y =−2x +4 分别交x 轴，y 轴于点E ，F ， ∴E(2,0) ， F(0, 4)，∴OE =2 ， OF =4 ， 延长BA 交x 轴于D ，设 A(a,a) ，∴AC =AB =a ，∵ 点A 在直线OP 上，∴AC =AD =a ，∴BD =2a ，∵BD//OF ，∴△EDB ∽ △EFO ，∴DE OE =BD OF， ∴2−a 2=2a 4 ， ∴a =1 ，∴ 点P 到线段AB 的距离 =43−1=13 . 8．【答案】（1）解：根据勾股定理得：BA= √62+82 分两种情况讨论：①当∽BPQ∽∽BAC 时， BP BA =BQ BC ， ∵BP=5t ，QC=4t ，AB=10，BC=8，∴5t 10=8−4t 8，解得，t=1， ②当∽BPQ∽∽BCA 时， BP BC =BQ BA， ∴5t 8=8−4t 10，解得，t= 3241 ； ∴t=1或 3241时，∽BPQ∽∽BCA （2）解：过P 作PM∽BC 于点M ，AQ ，CP 交于点N ，如图所示：则PB=5t ，PM=3t ，MC=8﹣4t ，∵∽NAC+∽NCA=90°，∽PCM+∽NCA=90°，∴∽NAC=∽PCM ，∵∽ACQ=∽PMC ，∴∽ACQ∽∽CMP ，∴AC CM =CQ MP， ∴68−4t =4t 3t ，解得t= 78．9．【答案】（1）证明：如图1，∵AC 平分∽BAD ，∴∽BAC ＝∽DAC ，∴BD =CD∴BC ＝CD ．（2）解：如图所示，延长AB 至点E ，使BE ＝AD ，连接EC ，∵四边形BACD 为圆的内接四边形，∴∽ABC+∽ADC ＝180°，∴∽EBC ＝∽ADC ，∵BC ＝CD ，∴∽ACD∽∽ECB （SAS ），∴EC ＝AC ，∵AD+AB ＝ √2 AC ，∴AE ＝ √2 AC ＝ √2 EC ，∴AC 2+EC 2＝AE 2，∴∽ECA ＝90°，∴S ⊿ACE = 12AC 2 =8， ∴AC=4．（3）解：∵∽ADB ＝∽FDB ，CF∽BD ，∴∽DFG ＝∽BDF ，∽G ＝∽BDA ，∴∽DFG ＝∽G ，∴AD ＝DF ＝DG ，∵AD ＝2，∴DF ＝DG ＝2，∴D 为AG 的中点，∵∽DCG ＝∽BDC ，∽BDC ＝∽BAC ＝∽CAG ，∴∽DCG ＝∽CAG ，又∵∽G ＝∽CGA ，∴∽DCG∽∽ACG ，∴DG CG =CG AG ,即 2CG =CG 4, ∴CG ＝2 √2 ．10．【答案】（1）80；8 √3（2）解：过点B 作BE∽AD 交AC 于点E ，如图3所示：∵AC∽AD ，BE∽AD ，∴∽DAC ＝∽BEA ＝90°，∵∽AOD ＝∽EOB ，∴∽AOD∽∽EOB ，∴BO OD =EO AO =BE DA∵BO ：OD ＝1：3，∴EO AO =BE DA =13∵AO ＝6 √3 ，∴EO ＝ 13AO ＝2 √3 ， ∴AE ＝AO+EO ＝6 √3 +2 √3 ＝8 √3 ，∵∽ABC ＝∽ACB ＝75°，∴∽BAC ＝30°，AB ＝AC ，∴AB ＝2BE ，在Rt∽AEB 中，BE 2+AE 2＝AB 2，即（8 √3 ）2+BE 2＝（2BE ）2，解得：BE ＝8，∴AB ＝AC ＝16，AD ＝3BE ＝24，在Rt∽CAD 中，AC 2+AD 2＝DC 2，即162+242＝DC 2，解得：DC ＝8 √13 ．11．【答案】（1）证明：∵AO ＝OD ，∴∽OAD ＝∽ADO ，∵OC 平分∽BOD ，∴∽DOC ＝∽COB ，又∵∽DOC+∽COB∽＝∽OAD+∽ADO ，∴∽ADO ＝∽DOC ，∴CO∽AD ；（2）解： ∵OA=OB=OC ，∴∽ADB=90°，∴∽AOD 和∽ABD 是等腰直角三角形，∴AD= √2AO ，∴AD AO =√2，∵DE=DF ，∴∽DFE=∽AED ，∵∽DFE=∽AFO ，∴∽AFO=∽AED ，∵∽AOF=∽ADE=90°，∴∽ADE∽∽AOF ，∴AE AF =AD AO = √2；（3）解：如图2，∵OD ＝OB ，∽BOC ＝∽DOC ，∴∽BOC∽∽DOC （SAS ），∴BC ＝CD ，设BC ＝CD ＝x ，CG ＝m ，则OG ＝2﹣m ，∵OB 2﹣OG 2＝BC 2﹣CG 2，∴4﹣（2﹣m ）2＝x 2﹣m 2，解得：m =14x 2 ，∴OG ＝2 −14x 2 ，∵OD ＝OB ，∽DOG ＝∽BOG ，∴G 为BD 的中点，又∵O 为AB 的中点，∴AD ＝2OG ＝4 −12x 2 ，∴四边形ABCD 的周长为2BC+AD+AB ＝2x+4 −12x 2+ 4 =−12x 2+ 2x+8=−12(x −2)2+ 10，∵−12< 0，∴x ＝2时，四边形ABCD 的周长有最大值为10．∴BC ＝2，∴∽BCO 为等边三角形，∴∽BOC ＝60°，∵OC∽AD ，∴∽DAC ＝∽COB ＝60°， ∴∽ADF ＝∽DOC ＝60°，∽DAE ＝30°，∴∽AFD ＝90°，∴DE DA =√33 ，DF =12DA ，∴DE DF =2√33 ．12．【答案】（1）解： ∵ 在 Rt △ACB 中，∽C=90°，AC =4cm ，BC =3cm ，∴AB =√AC 2+BC 2=√42+32=5(cm)，由题意得：BP =tcm ，AQ =2tcm ，∴AP =AB −BP =(5−t)cm ，当点A 在PQ 垂直平分线上时，则AP =AQ ，即 5−t =2t ，解得t =53， ∴当t =53时，点A 在PQ 垂直平分线上． （2）解：①当∠AQP =90°时，∠A =∠A ，∠AQP =∠C =90°，∴△AQP ∼△ACB ，∴AQ AC =AP AB ，即2t 4=5−t 5，解得t =107； ②当∠APQ =90°时，∠A =∠A ，∠APQ =∠C =90°，∴△APQ ∼△ACB ，∴AP AC =AQ AB ，即5−t 4=2t 5，解得t =2513， ∴综上所述，当t 为107或2513时，△APQ 为直角三角形． （3）解：如图，过点P 作PH ⊥AC 于H ，∴PH ∥BC ，∴△APH ∼△ABC ，∴PH BC =AP AB，即PH 3=5−t 5， 解得PH =3−35t ， ∴y =12AQ ⋅PH =12×2t ⋅(3−35t)，即y =−35t 2+3t(0<t <2)， 若PQ 把△ABC 面积平分，则S ΔAPQ =12S ΔABC ， ∴−35t 2+3t =12×12×3×4， 解得 t =5±√52，∵0<t <2，∴t=5−√52， ∴存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的面积平分，此时t 的值为5−√52． 13．【答案】（1）解：解方程 x 2−12x +32=0 可得x=4或x=8， ∵OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程 x 2−12x +32=0 的两个实数根，且OB>OA ， ∴OA=4，OB=8， ∴A(0，4)，B(−8，0)， 设直线AB 解析式为y=kx+b ， ∴{−8k +b =0b =4，,解得 {k =12b =4，,∴直线AB 解析式为 y =12x +4； （2）解：∵四边形AOCD 为正方形， ∴AD=CD=OC=OA=4， ∴C(−4，0)， 在y =12x +4 中，令x=−4，可得y=2， ∴PC=PD=2， 设Q(x ，0)，则CQ=|x+4|， ∵以P 、C 、Q 为顶点的三角形与∽ADP 相似， ∴有∽PCQ∽∽PDA 和∽PCQ∽∽ADP 两种情况， ①当∽PCQ∽∽PDA 时，则有 PC PD =CQ AD ，即 22=|x+4|4，解得x=0或x=−8，此时Q 点坐标为(−8，0)或(0，0)； ②当∽PCQ∽∽ADP 时，则有 PC AD =CQ PD ， 即 24=|x+4|2，解得x=−3或x=−5，此时Q 点坐标为(−3，0)或(−5，0)； 综上可知存在满足条件的点Q ，其坐标为(−8，0)或(0，0)或(−3，0)或(−5，0)；（3）解：由题意可设M(0，y)， ∵A(0，4)，C(−4，0)， ∴AC =4√2， 当AC 为菱形的一边时，则有AC=AM ，即|y−4|= 4√2 ，解得y=4± 4√2 ，此时M 点坐标为 (0，4+4√2) 或 (0，4−4√2)； 当AC 为菱形的对角线时，则有MA=MC ，由题意可知此时M 点即为O 点，此时M 点坐标为(0，0)； 综上可知存在满足条件的M 点，其坐标为 (0，4+4√2) 或 (0，4−4√2) 或(0，0).14．【答案】（1）=（2）解：过点O 作OG ⊥MN ，交MN 于点G∴GM =GN∴MP −NP =(GM +GP)−(GN −GP)=2GP∵OG ⊥MN∴OP ⋅cos∠OPQ =OP ×GP OP=GP ∴MP −NP =2OP ⋅cos∠OPQ ；（3）解：点O 作OG ⊥MN ，交MN 于点G ，连接BN 、MD ，AP∵MQ ＝m·MP ，NQ=n·NP∴m +n=MQ MP +NQ NP=MP −PQ MP +NP −PQ NP=2+PQ(1NP −1MP) =2+PQ ×MP −NP NP ×MP根据（2）的结论，得MP −NP =2GP∴m +n =2+2PQ×GP NP×MP∵∠GPO =∠OPQ ，∠PGO =∠POQ =90°∴△PGO ∽△POQ∴GP OP =OP PQ ，即GP ×PQ =OP 2∵∠BNM =∠BDM ，∠BPN =∠MPD∴△BNP ∽△MDP∴NP DP =BP MP∵OB =OD =OA∴NP ×MP =BP ×DP =(OB −OP)(OD +OP)=OB 2−OP 2∵∽APO=60°∴tan∠APO=OAOP=√3∴OA=√3OP∴OB=√3OP∴NP×MP=OB2−OP2=2OP2∴m+n=2+2×PQ×GPNP×MP=2+2×OP22OP2=3；②实数c的最大值为2√2．15．【答案】（1）证明：连结OC．∵CD与∽O相切，OC为半径，∴∽2+∽3=90°，∵AB是∽O的直径，∴∽ACB=90°，∴∽1+∽B=90°，又∵OA=OC，∴∽1=∽2，∴∽3=∽B，即∽B=∽DCA．（2）解：∵AD∽BC，AB是∽O的直径，∴∽DAC=∽ACB=90°，∵∽1+∽B=90°，∽2+∽3=90°，∽1=∽2，∴∽B=∽3，∴∽ABC∽∽DCA，∴ACDC=BC AB，∵∽B的正切值为√52，设AC= √5k，BC=2k，则AB=3k，∴√5k DC=23，∴DC=3√5k2，在∽ODC 中，OD= 3√6 ，OC= 12 AB= 32k ， ∴(3√5k 2)2+(32k)2=(3√6)2 ， ∴解得：k=2，∴∽O 的半径长为3．16．【答案】（1）证明：如图1，延长AO 交∽O 于M ，连接DM ，则AM 是∽O 直径，∴∽ADM ＝90°，∴∽AMD+∽MAD ＝90°∵AC∽BD ，∴∽AEB ＝90°，∴∽BAC+∽ABD ＝90°，∵∽ABD ＝∽AMD ，∽AMD+∽MAD ＝90°，∴∽BAC ＝∽MAD ，即∽BAC ＝∽OAD ；（2）证明：如图2，由（1）可得，∽BAC ＝∽OAD ，∴∽BAC+∽CAO ＝∽OAD+∽CAO ，∴∽BAF ＝∽CAD ，∵∽ABD ＝∽ACD ，∴∽ABF∽∽ACD ，∴AB AC =BF CD， ∵AC ＝CD ，∴AB ＝BF ；（3）解：连接OC 、OD ，在线CA 上取Q 1，使得CQ 1＝DQ ＝6，连接QQ 1，OQ 1，线段QQ 1和线段O 交于点P 1，再过圆心O 作OO 1∽AC 于点O 1，如图：由（2）知：∽ABF∽∽ACD ，∴∽EFA ＝∽CDA ，∵∽CDA ＝∽EAD∴∽EAD ＝∽EFA ，又∵∽AEF ＝∽DEA ＝90°，∴∽EFA∽∽EAD ，∴EF AE =AE DE， ∵AC ＝CD ，EC ＝DF ，∴AE ＝AC ﹣EC ＝CD ﹣EC ＝CD ﹣DF ，∵DE ＝EF+DF ，∴EF CD−DF =CD−DF EF+DF， ∴（CD ﹣DF ）2＝EF （EF+DF ）①，∵∽CED ＝90°，∴CD 2＝EC 2+DE 2＝DF 2+（EF+DF ）2，∴（CD ﹣DF ）（CD+DF ）＝（EF+DF ）2②， 将②式除以①式得CD+DF CD−DF =EF+DF EF， ∵CD−DF+2DF CD−DF =1+2DF CD−DF ，EF+DF EF =1+DF EF ， ∴2DF CD−DF =DF EF ，∴2EF＝CD﹣DF，∴EF=CD−DF2，∴DE=EF+DF=CD−DF2+DF=CD+DF2，∴CD2=CE2+DE2=DF2+(CD+DF2)2∴5DF2+2CD⋅DF﹣3CD2=0，∴（5DF﹣3CD）•（DF+CD）＝0，∵DF+CD＞0，∴5DF﹣3CD＝0，∴DF=35CD，∴EF=CD−DF2=CD−35CD2=15CD，∴AE=AC−CE=CD−DF=CD−35CD=25CD，在Rt∽AEF中AF=√AE2+EF2=√(25CD)2+(15CD)2=√55CD，∵OO1∽AC，∴∽OO1A＝∽FEA＝90°，O1是AC的中点，∴EF∽OO1，O1A=12AC=12CD，∴AFOA=AEO1A，即√5OA CD=25CD12CD=45，∴OA=√54CD，∴OC=OD=OA=√54CD，∵∽POQ＝∽OFD，∽OFD＝∽EFA，∴∽POQ＝∽EFA，∵∽EAF+∽EFA＝90°，∽EAF＝∽CAO，∴∽CAO+∽POQ＝90°，∵AC＝CD，∴∽CAO＝∽OCA＝∽CDO＝∽OCD，∴∽OCD+∽POQ＝90°，∴∽COP+∽DOQ+∽CDO＝90°，∵OC＝OD，∽OCA＝∽CDO，CQ1＝DQ＝6，∴∽OCQ 1∽∽ODQ （SAS ），∴OQ 1＝OQ ，∽DOQ ＝∽COQ 1，∴∽COP+∽COQ 1+∽CDO ＝90°，∴∽POQ 1+∽OCD ＝90°，而∽OCD+∽POQ ＝90°，∴∽POQ ＝∽POQ 1，∴P 1Q 1＝P 1Q ，∵P 为CQ 中点，∴P 1P 是∽CQ 1Q 的中位线，∴P 1P∽CQ 1，∴∽POC ＝∽OCQ 1，∴∽POC ＝∽CAO ＝∽OCA ＝∽CDO ＝∽OCD ， ∴∽OPC∽∽DOC ，∴CP OC =OC CD， ∵CD ＝CQ+DQ ＝2CP+6，∴CP =CD−62， 又OC =√54CD ， ∴CD−62√54CD =√54CD CD ， 解得CD ＝16， ∴AE =25CD =325，DE =DF +EF =35CD +15CD =645 ∵∽BAC ＝∽BDC ，∽AEB ＝∽DEC ， ∴∽ABE∽∽DCE ，∴AB CD =AE DE ，即AB 16=325645， ∴AB ＝8．。
初三数学相似三角形试题答案及解析
初三数学相似三角形试题答案及解析1.如图，铁道口的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m，当短臂外端A下降0.5m时，长臂外端B升高（）A．2mB．4mC．4.5mD．8m【答案】B【解析】设长臂外端B升高xm，根据三角形相似得，∴x＝4，故选B．2.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案，把镜子放在离树（AB）8.7m的点E 处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE ＝2.7m，观测者目高CD＝1.6m，则树高AB约是________．（精确到0.1m）【答案】5.2米【解析】由题意知∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE＝90°，∴△CED∽△AEB．∴，即，∴AB≈5.2，即树高约是5.2米．3.课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，在地面上C处放一小镜子，当镜子离旗杆AB底端6米时，小明站在离镜子3米的E处，恰好能看到镜子中旗杆的顶端，测得小明眼睛D离地面1.5米，则旗杆AB的高度是________米．【答案】3【解析】由题意知∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠CED＝90°，∴△ABC∽△DEC，∴，即，解得AB＝3，即旗杆的高度是3米．4.如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现身后的影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前走12m到达Q时，发现身前他的影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知王华的身高为1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．（1）求两个路灯之间的距离AB；（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A照射下的影长为多少？【答案】（1）18m （2）3.6m【解析】解析（1）设AP＝QB＝xm，由题意知△APM∽△ABD，∴，即．解得x＝3．∴两个路灯之间的距离为3＋12＋3＝18（m）．（2）设当王华走到路灯B时，他在路灯A照射下的影长为ym，由相似关系可得：，解得y＝3.6．即当王华走到路灯B时，他在路灯A照射下的影长为3.6m．5.两相似三角形对应高的比为3︰4，则对应中线的比为（）A．3︰4B．9︰16C．D．4︰3【答案】A【解析】相似三角形对应线段的比等于相似比．6.两个相似三角形的相似比是1︰2，其中较小的三角形的周长为5cm，则较大的三角形的周长为（）A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm【答案】D【解析】设较大的三角形的周长为xcm，根据题意可得6︰x＝1︰2，解得x＝12，故选D．7.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，若AB＝4，BD＝2，则BC＝________．【答案】8【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°．∵∠BAC＝90°，∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA，∴，即，解得BC＝8．8.（2014湖南长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，，△ADE的面积是8，则△ABC面积为________．【答案】18【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∵，∴．∵△ADE的面积是8，∴△ABC的面积为18．9.已知△ABC和△DEF相似，且△ABC的三边长分别为3、4、5，如果△DEF的周长为6，那么下列选项不可能是△DEF一边长的是（）A．1.5B．2C．2.5D．3【答案】D【解析】∵△ABC的三边长分别为3、4、5，∴△ABC的周长为12，∴两三角形的相似比为2︰1．选项A：1.5×2＝3，与△ABC一边长相符；选项B：2×2＝4，与△ABC一边长相符；选项C：2.5×2＝5，与△ABC一边长相符；选项D：3×2＝6，无对应边长．故选D．10.若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB＝6cm，A′B′＝8cm，那么△ABC与△A′B′C′的相似比为________．【答案】【解析】相似三角形的对应边的比叫做相似比，即相似比为．11.如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（）A．7B．7.5C．8D．8.5【答案】B【解析】∵a∥b∥c，∴，即．∴．∴BF＝BD＋DF＝3＋4.5＝7.5．12.如图，E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交边CD于点F．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：________．【答案】△AFD∽△EFC（或△EFC∽△EAB或△EAB∽△AFD）【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC．∴△AFD∽△EFC∽△EAB．13.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是（）A．4.5B．8C．10.5D．14【答案】B【解析】∵DE∥BC，∴．∵AE＝6，∴，∴AC＝14．∴EC＝8．故选B．14.如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．B．C．∠ABP＝∠CD．∠APB＝∠ABC【答案】B【解析】△ABP和△ACB有公共角∠A，故添加，由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可得△ABP∽△ACB；添加∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC，由“两角分别相等的两个三角形相似”可得△ABP∽△ACB；只有添加不能得出△ABP∽△ACB．故选B．15.如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，给出下列条件：①∠ABD＝∠ACB；②AB2＝AD·AC；③AD·BC＝AB·BD；④AB·BC＝AC·BD．其中单独能够判定△ABD∽△ACB的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】△ABD与△ACB中，∠A是公共角，①∠ABD＝∠ACB，由“两角分别相等的两个三角形相似”可证△ABD∽△ACB；②AB2＝AD·AC，由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可证△ABD∽△ACB；③如图，作DF⊥AB于F，BE⊥AC于E，可证Rt△ADF∽Rt△ABE，得出，再由AD·BC＝AB·BD，可得，故△BDF∽△CBE，得∠ABD＝∠C，即可得出△ABD∽△ACB：④AB·BC＝AC·BD，无法判定△ABD∽△ACB．故选C．16.（2014贵州贵阳）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（）A．P1B．P2C．P3D．P4【答案】C【解析】由题图可知，∠E＝∠A＝90°，要使△ABC∽△EPD，则，所以EP＝2AB＝6，所以点P所在的格点为P，故选C．317.（2014河北）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对【答案】A【解析】由题意知新三角形与原三角形的对应角相等，对应边的比也相等，所以两个三角形相似，甲的观点正确；新矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比并不相等，所以新矩形与原矩形不相似，乙的观点也正确．故选A．18.（2014湖南邵阳）如图，在□ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形________．【答案】答案不唯一，如：△DCF∽△EBF【解析】在□ABCD中，由DC∥AB，得△DCF∽△EBF，由AD∥BC，得△EBF∽△EAD，∴△DCF∽△EAD．∵BP∥DF，∴△EAD∽△BAP，∴△BAP∽△EBF∽△DCF．综上，图中相似的三角形有△DCF∽△EBF，△EBF∽△EAD，△DCF∽△EAD，△EAD∽△BAP，△BAP∽△EBF，△BAP∽△DCF，共6对，写出其中任意一对即可．19.如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长为________时，△ADP和△ABC相似．【答案】4或9【解析】当△ADP∽△ACB时，需有，∴，解得AP＝9．当△ADP∽△ABC时，需有，∴，解得AP＝4．∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似．20.如图，点A，B的坐标分别是（0，8），（6，0），过边OA上的点P（0，4）作直线PQ与△OAB的另一边相交于点Q，当点Q的坐标为________时，形成的新三角形与△OAB相似．【答案】（3，4）或（3，0）或（1.92，5.44）或（，0）【解析】由已知得OA＝8，OB＝6，OP＝4，由勾股定理可得AB＝10．①当PQ∥x轴时，△APQ∽△AOB，此时Q是AB的中点，可得Q（3，4）．②当PQ∥AB时，△OPQ∽△OAB，此时点Q是OB的中点，可得Q（3，0）．③当PQ⊥AB于Q时，由，可得△APQ∽△ABO，则，解得AQ＝3.2．此时，作QC⊥OA于C，可得△AQC∽△ABO，，即，解得AC＝2.56，QC＝1.92，∴OC＝8－2.56＝5.44，∴点Q（1.92，5.44）．④当时，△OPQ∽△OBA，则，解得，∴Q（，0）．故点Q的坐标为（3，4）或（3，0）或（1.92，5.44）或（，0）．。
相似三角形测试题及答案
相似三角形测试题及答案一、选择题1. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE = 2:3，则BC:EF的比值为：A. 2:3B. 3:2C. 4:6D. 3:4答案：B2. 在相似三角形中，对应角相等，对应边成比例。
以下哪项不是相似三角形的性质？A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 周长比等于相似比D. 面积比等于相似比的平方答案：D二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似，相似比为2:3，则三角形ABC的周长是三角形DEF周长的____。
答案：2/34. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 6cm，DE = 9cm，则BC 与EF的比值为______。
答案：2:3三、解答题5. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 8cm，DE = 12cm，求三角形ABC的周长，已知三角形DEF的周长为36cm。
答案：三角形ABC的周长 = (8/12) * 36cm = 24cm6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D = 50°，∠B =∠E = 60°，求∠C和∠F的度数。
答案：∠C = ∠F = 70°四、证明题7. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 4cm，DE = 6cm，BC = 5cm，EF = 7.5cm，证明AC = 6.25cm。
答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应边成比例，所以AC/DF = AB/DE = 4/6 = 2/3。
已知EF = 7.5cm，所以AC = (2/3) * EF = (2/3) * 7.5cm = 5cm。
因此，AC = 6.25cm。
8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A = ∠D，∠B = ∠E，求证：∠C = ∠F。
答案：由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应角相等。
已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，所以∠C = 180° - (∠A+ ∠B) = 180° - (∠D + ∠E) = ∠F。
(最新整理)初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)的全部内容。
经典练习题相似三角形一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．(1）求证:△CDF∽△BGF；(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证:△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B，A,D在一条直线上，连接BE，CD，M,N分别为BE，CD的中点．(1）求证:①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出(1）中的两个结论是否仍然成立;（3）在（2)的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm．某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动;同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t,使以A，M,N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在,请说明理由．9．如图,在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．(1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA,∠BAC=45°，∠BDC=60°,CE⊥BD于E，连接AE．（1)写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2)图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由;（3)求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知:P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图,已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8,CD=10．(1）求梯形ABCD的面积S；(2）动点P从点B出发,以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动;动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在，请求出t的值；若不存在,请说明理由；②在运动过程中,是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD,长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A 出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中,AB=10cm，BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知,如图，在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明,若不能,请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示,梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°,AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1)如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2,将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图,路灯(P点)距地面8米，身高1。
相似三角形试题及答案
相似三角形试题及答案一、选择题1. 在相似三角形中，对应角相等的条件是：A. 边长成比例B. 面积相等C. 周长相等D. 角相等答案：A2. 下列选项中，哪一项不是相似三角形的性质？A. 对应边成比例B. 对应角相等C. 面积比等于边长比的平方D. 周长比等于边长比答案：B二、填空题3. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，则三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比是________。
答案：4:94. 若三角形ABC与三角形A'B'C'相似，且∠A=∠A'=60°，则∠B与∠B'的关系是________。
答案：相等三、简答题5. 解释为什么在相似三角形中，对应边长的比等于对应角的正弦值之比。
答案：在相似三角形中，由于对应角相等，根据正弦定理，对应边长的比等于对应角的正弦值之比。
这是因为正弦值与角的大小成正比，而相似三角形的对应角大小相同，因此它们的正弦值之比也相同。
四、计算题6. 在三角形ABC中，已知AB=5cm，AC=7cm，∠A=60°，求三角形ABC的面积。
答案：首先，利用余弦定理计算BC的长度。
根据余弦定理，BC²= AB² + AC² - 2AB*AC*cos∠A。
代入已知值，得到BC² = 5² +7² - 2*5*7*(1/2) = 25 + 49 - 35 = 39，所以BC = √39 cm。
然后，利用三角形的面积公式S = (1/2)AB*AC*sin∠A，代入已知值，得到S = (1/2)*5*7*(√3/2) = 17.5√3 cm²。
7. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=3:5，求三角形ABC与三角形DEF的面积比。
答案：由于相似三角形的面积比等于边长比的平方，所以三角形ABC与三角形DEF的面积比为(3:5)² = 9:25。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)一、题目描述在初中数学中，相似三角形是一个非常重要的概念。
本文为您提供一些经典的相似三角形练习题，通过解答这些练习题可以提高学生的解题能力和对相似三角形的理解。
本文附有详细的参考答案，供学生进行自我检测和复习。
二、练习题1. 已知△ABC和△DEF相似，AB = 6cm，BC = 8cm，AC = 10cm，DE = 9cm，计算EF的长度。
2. △ABC与△DEF相似，AB = 2cm，BC =3.5cm，AC = 4cm，EF= 7cm，求DE的长度。
3. 在△ABC中，角A的度数为50°，角B的度数为70°，BC = 8cm。
若与△ABC相似的三角形的边长分别为10cm和12cm，求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。
4. 在△ABC中，∠B = 90°，AC = 10cm，BC = 12cm。
若与△ABC相似的三角形的第二边为16cm，求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。
5. 已知△ABC与△DEF相似，AB = 6cm，AC = 8cm，DE = 12cm，若EF = 18cm，求BC的长度。
6. 高度为5cm的小树和高度为12cm的大树的影子长度之比为2:3。
如果小树的影子长度为10cm，求大树的影子长度。
7. 一个航拍无人机垂直飞行，发现自己离地面的垂直距离与航拍无人机的长度（包括机身和旋翼）的比例为3:2。
如果航拍无人机的长度为120cm，求离地面的垂直距离。
8. 在一个旅游小组中，由5名成年人和7名儿童组成，其平均年龄为30岁。
如果另一个旅游小组由2名成年人和3名儿童组成，其平均年龄为24岁。
求这两个旅游小组的总年龄之比。
三、参考答案1. 根据相似三角形的性质可知，EF与AC的比例应与DE与BC的比例相等。
即 EF/AC = DE/BC。
代入已知值，得 EF/10 = 9/8。
浙教新版九年级上册《4.3 相似三角形》2024年同步练习卷(2)+答案解析
浙教新版九年级上册《4.3相似三角形》2024年同步练习卷（2）一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知∽，相似比为2，则下列说法正确的是()A.是的2倍B.是的2倍C.AB是DE的2倍D.DE是AB的2倍2.下列说法正确的是()A.所有的等腰三角形都相似B.所有的等边三角形都相似C.所有的直角三角形都相似D.两相似三角形必是全等三角形3.如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是方格纸中的格点，为使∽，则点M应是F、G、H、K四点中的()A.FB.GC.HD.K4.已知∽，∽，下列关于和关系的结论正确的是()A.全等B.周长相等C.面积相等D.相似二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
5.如图，已知∽，相似比为2：3，则BC：DE的值为______.6.如图，AB，CD相交于O点，∽，OC：：3，，则BD的长为______.7.如图，∽，则图中的DE的对应边是______，的对应角是______.8.一个三角形的各边之比为2：5：6，和它相似的另一个三角形的最大边为15cm，则它的最小边长为______9.如图是一个边长为1的正方形组成的网络，与都是格点三角形顶点在网格交点处，并且∽，则与的相似比是______.三、解答题：本题共5小题，共40分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.本小题8分如图，O是内任意一点，，，，那么与相似吗？说明理由.11.本小题8分如图，D，E分别是AB，AC上的点，已知∽，，，，求AE的长．12.本小题8分如图，已知∽，，，垂足分别为E，写出这两个相似三角形对应边的比例式.若，，，求BC的长.13.本小题8分如图，中，D是AB上的一点，∽，且AD：：4，，求，的度数；若，求AB的长.14.本小题8分如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，，，若使与相似，求AE的长.答案和解析1.【答案】C【解析】解：∽，相似比为2，，AB是DE的2倍，选项A、B、D说法错误，不符合题意；选项C说法正确，符合题意；故选：根据相似三角形的对应角相等、对应边的比等于相似比判断即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等、对应边的比等于相似比是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：所有的等腰三角形不一定相似，只有顶角相等的等腰三角形都相似，所以A选项不符合题意；B.所有的等边三角形都相似，所以B选项符合题意；C.所有的直角三角形不一定相似，只有有一锐角相等的直角三角形相似，所以B选项不符合题意；D.全等三角形必相似，但两相似三角形不一定全等，所以D选项不符合题意．故选：利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定方法对A进行判断；利用等边三角形的性质和相似三角形的判定方法对A进行判断；利用直角三角形相似的判定方法对C进行判断；根据相似三角形的性质全等三角形的判定方法对D进行判断．本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质和相似三角形的性质．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定．由图形可知的边，，，当∽时，AB和DE是对应边，相似比是1：2，则AC的对应边是3，则点M的对应点是【解答】解：根据题意，当DE：：AC时，∽，，，应是H故选：4.【答案】D【解析】解：∽，，，∽，，，，，∽，故选：先利用相似三角形的性质得到，；，，则，，于是可判断∽，从而可对各选项进行判断．本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．5.【答案】3：2【解析】解：∽，且相似比为2：3，：：2，故答案为3：由于∽，且已知了它们的相似比，因此两三角形的对应边的比等于相似比．由此可求出BC、DE的比例关系．本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．6.【答案】4【解析】解：：：3，：：2，∽，，即，解得：，故答案为：根据OC：：3，求得OC：：2，根据相似三角形的对应边的比相等列出方程，计算即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．7.【答案】【解析】解：∽，与是对应角，DE与DG是对应边．故答案为：DG，根据相似三角形的对应角相等以及对应角的定义，可以确定的对应角；根据∽，结合字母所在的对应位置，可以得到DE的对应边．本题主要考查相似三角形的对应边与对应角的定义，可以结合定义进行解答．8.【答案】5【解析】解：两三角形相似，三边比：5：6，另一三角形三边比：5：6，设此三角形各边为2x，5x，6x，，解得，根据相似三角形的性质，一个三角形的各边之比为2：5：6，和它相似的另一个三角形的各边之比也是2：5：6，设和它相似的另一个三角形的各边为2x，5x，6x，得到关于x的方程，解即可．本题考查相似三角形的对应边的比相等．9.【答案】【解析】解：由图可知，，与的相似比是：先利用勾股定理求出AC，那么AC：即是相似比．本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形边长的比等于相似比．解答此题的关键是找出相似三角形的对应边．10.【答案】解：∽理由：，∽，同理可得，，，∽【解析】先根据得出∽，故，同理可得，，由此可得出结论．本题考查的是三角形的判定，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键．11.【答案】解：∽，，，，，即，解得【解析】直接根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．12.【答案】解：；，，，，解得：，【解析】根据∽对应边成比例，直接写出即可；根据∽对应边成比例求出AB，再由勾股定理求出BC即可．本题主要考查了相似三角形的性质、勾股定理，根据相似三角形的对应边成比例列出是解决此题的关键．13.【答案】解：∽，，；而，，，，；又∽，，，即AB的长为【解析】直接利用相似三角形的对应角相等这一性质即可解决问题．直接利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式求解即可．本题主要考查了相似三角形的性质及其应用问题；解题的关键是找准相似三角形的对应角和对应边，准确列出比例式．14.【答案】解：①若对应时，，即，解得；②当对应时，，即，解得所以AE的长为2或【解析】由于与相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论．本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形的对应边成比例．。
相似三角形经典练习题及答案
相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4，则它们的周长之比为（）A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案：A解析：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比。
因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4，所以相似比为 1∶2，那么它们的周长之比为 1∶2。
2、如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，若 AD∶DB ＝ 1∶2，则下列结论中正确的是（）A AE∶EC ＝ 1∶2B AE∶EC ＝ 1∶3 C DE∶BC ＝ 1∶2 DDE∶BC ＝ 1∶3答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。
因为 AD∶DB ＝1∶2，所以 AD∶AB ＝ 1∶3。
因为相似三角形对应边成比例，所以AE∶AC ＝ AD∶AB ＝ 1∶3，所以 AE∶EC ＝ 1∶2。
3、已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3∶4，△ABC 的周长为 6，则△A'B'C'的周长为（）A 8B 7C 9D 10答案：A解析：因为相似三角形周长的比等于相似比，所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。
设△A'B'C'的周长为x，则6∶x ＝3∶4，解得 x ＝ 8。
4、如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且DE∥BC，如果 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，AE ＝ 15cm，则 EC ＝（）A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以 AD∶AB ＝AE∶AC。
因为 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，所以 AB ＝ 3cm。
所以 2∶3＝ 15∶（15 ＋ EC)，解得 EC ＝ 1cm。
5、下列各组图形一定相似的是（）A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案：B解析：等边三角形的三个角都相等，都是 60°，所以两个等边三角形一定相似。
中考数学专题训练：相似三角形(附参考答案)
中考数学专题训练：相似三角形（附参考答案）1.若a3＝b2，则a+bb的值为( )A．32B．53C．52D．232.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为( )A．3 B．4C．5 D．63.如图，AD∥BE∥FC，直线l1，l2分别与三条平行线交于点A，B，C和点D，E，F.若AB＝3，BC＝5，DF＝12，则EF的长为( )A．4.5 B．6C．7.5 D．84.如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2 m，又知AB∶BC＝1∶8，则建筑物CD的高是( )A．9.6 m B．10.8 mC．12 m D．14 m5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2).现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是( )A．(2，4) B．(4，2)C．(6，4) D．(5，4)6.如图(单位：mm)，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5 m时，标准视力表中最大的“E”字高度为72.7 mm，当测试距离为3 m时，最大的“E”字高度为( )A．121.17 mm B．43.62 mmC．29.08 mm D．4.36 mm7.如图，AC是□ABCD的对角线，点E在CD的延长线上，连接BE分别交AC，AD 于点F，G，则下列式子一定正确的是( )A．AFCF ＝AGDGB．ABCE＝CFAFC．BFFG ＝EFBFD．ADDG＝ABDE8.如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：________________________，使得△ADE与△ABC相似．(任意写出一个满足的条件即可)9.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，S△ABDS△BCD ＝12，则S△BOCS△BCD＝______．10.如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，AFFC ＝14，则AE的长为_____.11.如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5 m 的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1 m时，它离地面的高度DE为0.6 m，则坝高CF为________m.12.已知在平面直12角坐标系中，△AOB的顶点分别为A(2，1)，B(2，0)，O(0，0)．若以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为__________________________．13.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点．若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是____________.15.如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.(1)求证：△ABC∽△DEC；(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．16.如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D，E分别在BC，AC上，CD＝2BD，CE ＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是______．17.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布前形成倒立的实像CD(点A，B的对应点分别是C，D)．若物体AB的高为6 cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE，CE分别为8 cm，6 cm，则实像CD的高度为________cm.18.如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接AF，有以下五个结论：①∠ABF＝∠DBE；②△ABF∽△DBE；③AF⊥BD；④2BG2＝BH·BD；⑤若CE∶DE＝1∶3，则BH∶DH＝17∶16.你认为其中正确的是____________．(填写序号)19.已知，如图1，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得ABAC ＝BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在△ABC中，BD＝2，CD＝3，AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是_____________．20.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB 上，且CF＝BE，AE2＝AQ·AB.求证：(1)∠CAE＝∠BAF；(2)CF·FQ＝AF·BQ.21.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是边BC上一点(不与点B，C重合)，连接AD.(1)如图1，若∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AE，DE，则∠BDE＝________．(2)若∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE.①在图2中补全图形；②探究CD与BE的数量关系，并证明．(3)如图3，若ABBC ＝ADDE＝k，且∠ADE＝∠C，试探究BE，BD，AC之间满足的数量关系，并证明．参考答案1．C 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C8．ADAB ＝AEAC(答案不唯一) 9．2310．1 11．2.712．(4，2)或(－4，－2)13．8 14．(4，2) 15．(1)证明略(2)EC＝916．43 17．4.5 18．①②③④ 19．12<l<25220．(1)证明略(2)证明略21．(1)30°(2)①图略②CD与BE的数量关系为CD＝BE，证明略(3)AC＝k(BD＋BE)，证明略。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
精品文档相似三角形分类练习题（1）一、填空题1、如图，DE是△ABC的中位线，那么△ADE面积与△ABC面积之比是________。
________。
，＝，且DE2、如图，△ABC中，∥BC，那么3、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，AD＝8cm，DB＝2cm，则CD＝________cm。
4、如图，△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD:AB＝AE:AC＝1:2，BC ＝5cm，则DE＝________ cm。
5、如图，AD、BC相交于点O，AB∥CD，OB＝2cm，OC＝4cm，△AOB面积为4.5cm，则△2DOC面积为___cm。
26、如图，△ABC中，AB＝7，AD＝4，∠B＝∠ACD，则AC＝_______。
7、如果两个相似三角形对应高之比为4:5，那么它们的面积比为_____。
8、如果两个相似三角形面积之比为1:9，那么它们对应高之比为_____。
9、两个相似三角形周长之比为2:3，面积之差为10cm，则它们的面积之和为_____cm。
22，则＝______。
＝BC，AD:DB2:3 10、如图，△ABC中，DE∥二、选择题、两个相似三角形对应边之比是1:5，那么它们的周长比是（）。
1）D。
；（B）1:25；（C）1:5；（（A）2、如果两个相似三角形的相似比为1:4，那么它们的面积比为（）。
（A）1:16；（B）1:8；（C）1:4；（D）1:2。
3、如图，锐角三角形ABC的高CD和高BE相交于O，则与△DOB相似的三角形个数是（）。
（A）1；（B）2；（C）3；（D）4。
共同＝，则1:9点，＝，∥BCAC和BD相交于O，4、如图，梯形ABCDAD （）。
l:3。
；（；（；（A）1:9B）1:81C）3:1D）（面积的面积是△，梯形＝，∥中，三、如图，△ABCDEBCBC6DBCEADE2长。
倍，求DE精品文档．精品文档四、如图，△ABE中，AD:DB＝5:2，AC:CE＝4:3，求BF:FC的值。
＝，AC⊥，ABCD，BC＜AD，BC，求＝BC五、如图，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，∥AD（用的式子表示）AD六、如图，△ABC中，点D在BC上，∠DAC＝∠B，BD＝4，DC＝5，DE∥AC交AB于点E，求DE长。
七、如图，ABCD是矩形，AH＝2，HD＝4，DE＝2，EC＝1，F是BC上任一点（F与点B、点与面积为，设BF，写出为，四边形HGFEC不重合），过F作EH的平行线交AB于G 的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
相似三角形分类练习题（2）一、填空题，则＝________、已知：，且。
12、在一张比例尺为1:5000的地图上，某校到果园的图距为8cm，那么学校到果园的实际距离为________m。
＝CD16cm，则＝＝3、如图，△ABC中，∠ACB90°，CD是斜边AB上的高，AD4cm，BD ＝________cm。
4B、如图，∠ACD＝∠，AC＝6，AD＝，则AB＝________。
45、如图ABCD是平行四边形，F是DA延长线上一点，连CF交BD于G，交AB于E，则图中相似三角形（包括全等三角形在内）共有________对。
6、如图，△ABC中，BC＝15cm，DE、FG均平行于BC且将△ABC面积分成三等分，则FG＝________ cm。
7、如图，AF∥BE∥CD，AF＝12，BE＝19，CD＝28，则FE:ED的值等于________。
，则＝________GBDGADBCGFDEABC8、如图，△，∥∥，且＝＝。
精品文档．精品文档。
AE:EF＝________，AE⊥EF，则DC9、如图，ABCD是正方形，E是上一点，DE:EC＝5:3 。
BC边上高之比为________，△ABC和△GBC在10、如图，△ABC重心为G 二、选择题）。
，那么这两个相似三角形的面积比为（1、两个相似三角形的相似比为4:9 。
）16:81C）4:81；（D（A）2:3；（B）4:9；（）。
则（BC上－点，△ABD∽△CAB,2、如图，D是△ABC边B＝∠）∠2＝∠BAC；（DB）∠2＝∠C；（C）∠1（A）∠1＝∠2；（）。
A'C'，则图中相似三角形组数为（∥B'C'，AC∥3、如图，AB∥A'B'，BC 8。
；（D）；（；（B）6C）7（A）5）。
＝（，则相交于点F，DF:FC＝1:3BC4、如图，△ABC中，DE∥，BE和CD；（D）1:18。
1:3（A）；（B）1:；（C）1:9，10BC＝和AD相交于F，是底边AC，ADBC上高，BE是AC上中线，BE△三、ABC中，AB＝长。
，求BFAB＝13，正方形边长为相交于N中点，CFDM 和AC四、如图，ABFE、EFCD是全等的正方形，M是的长。
（用求AN 的式子表示），，4，DC＝于F，BD＝6交是垂足，中，AD⊥BC，DE是BC中点，FE⊥BCAB五、如图，△ABC 长。
8，求BFAB＝，，，AC＝4DEFG90°，是△ABC中内接矩形，AB＝3A△六、如图，ABC中，∠＝周长。
求矩形DEFG，EFCG4cmCD＝，现要截出矩形6cm3cmABCD七、如图，有一块直角梯形铁皮，AD＝，BC＝，的（EFCGBEBAABE （点在上，与点、点不重合），设＝，矩形周长为，1）写出与精品文档．精品文档ABCD面积等于直角梯形取何值，矩形函数关系式，并指出自变量取值范围；（2EFCG）。
的）相似形（3 一、填空题。
，则面积比为________1、如果两个相似三角形的周长比为2:3 。
、______2:3，且面积之和为13cm，则它们的面积分别为______2、两个相似三角形相似比为2，则连结各边中点所成三角形的周长为，12cm、三角形的三条边长分别为5cm，9cm3 。
________cm________。
8，则PC等于，＝6，BP＝4AB＝4、如图，PQ∥BA，PQ________cm2cm。
DE∥BC，则，＝，＝5、如图，△ABC中，22MCD2，则△，BC＝ACM、△CBN都是等边三角形，若AC＝36、如图，C为线段AB上一点，△________。
与△BND面积比为________AD＝cm＝4cm，AC，则＝907、△ABC中，∠ACB＝°，CD是斜边AB上的高，AB cm。
，BD交于FAC与BD相交于O，E是CD的中点，AE8、如图，平行四边形ABCD的对角线＝_____。
则DF:FO 。
_______＝15，CD＝21，则BE＝CD9、如图，AF∥BE∥，AB:BC＝1:2，AF。
PQ＝_____PA＝，则MN＝_____；ABPQ∥∥AB，DC＝2，＝3.5，DM＝MPDC10、如图，∥MN 二、选择题）。
，必须满足（∽△1、如图，要使△ACDBCA）；（C）AD＝CD·BD；（B；（D）AC＝（A）CD·BC。
22相似的三角形个数ABC°，则与△90＝ACB，∠E于AC⊥DE，D于AB⊥CD 中，ABC、如图，△2 ）。
为（）（A4）；（3）B；（2C）D；（。
5精品文档．精品文档）。
DE，则，＝（＝1:3AC3、如图，△ABC中，D是中点，AF∥1:1。
1:2；（B）2:3；（C）3:4；（D）（A），D上三点，且BO＝OO＝OO＝O、4、如图，平行四边形ABCD中，OO、O为对角线BD331311222 EO并延长交AD于F，则AD:FD等于（）。
BC连结AO并延长交于点E，连结31；（C）8:1；（D）7:1。
（A）19:2；（B）9:1AF，求于点FDC中点，AF⊥BE三、如图，已知矩形ABCD 中，AB＝10cm，BC＝12cm，E为长。
AC。
AB＝AE·边四、如图，D、E分别是△ABCAB和AC上的点，∠1＝∠2，求证：AD·，＝∠F，∠ECAD五、如图，ABCD是平行四边形，点E在边BA延长线上，连CE交AD于点CE·AD。
求证：AC·BE＝长。
30°，求线段CDAC＝12，∠BCD＝8六、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝，，2AE＝，E在AD上，12＝DC＝5，AD＝6，BC＝AD七、如图，等腰梯形ABCD中，∥BC，AB，四BF＝BC于G，设AF与点、点B不重合），过F作EC平行线交F为AB上任一点（点⊥BC的函数关系式；（2。
）1，（取何值，EFGC边形）写出面积为EG与相似三角形分类练习题（3）一、填空题。
________1，则、若＝2________、已知＝，则。
，＝∠________2:1＝，则AC:AB＝。
ACD3、如图，∠B ________cm。
，则AB＝，4cm，DE＝2cmBC＝5cm，、如图，4DE ∥BCAD＝________面积之比为。
1:2，则△ADE与△ABCAD:DBDE5、如图，∥BC，＝。
＝，则＝，＝，＝，∥∥中，、如图，梯形6ABCDDCEFABDE4AE6BC5BF________精品文档．精品文档CE中点，连结为OD＝18，EABCD中，对角线AC、BD相交于O，BC7、如图，平行四边形。
＝________于F，则DF并延长交AD，则△周长之差为10cmABC和△BEDABC8、如图，△和△BED，且△中，若。
周长为________cmABC________18。
，则AC:EC9、如图，△ACB ∽△ECD，＝5:3＝，＝＝AD＝DE，BC＝________cm。
中，BE平分∠ABC，BD10、如图，△ABC＝cm，BD2cm，则。
，则＝ABCD是平行四边形，BC＝2CE________11、如图，。
＝，BC，BE、CD相交于F，________且则∥12、如图，△ABC中，DE＝FCDE＋BC，且将△ABC面积三等分，则15cmABC中，BC＝，DE、FC平行于13、如图，△________ cm。
________ cm。
14、将长为cm的线段进行黄金分割，则较长线段与较短线段之差为，＝DCF，使DF，使BE＝AB，延长CD到、如图，平行四边形15ABCD 中，延长AB到E________，则。
G于，交AD于H＝EF交BC 二、选择题∥BC）。
，则下列等式中不成立的是（1、如图，△ABC中，DEB））；（C；（）D。
（A；（））。
和6，则它们的面积比为（2、已知两个相似三角形周长分别为8）；（2:D。
CBA（）4:3；（）16:9；（）AE4BD9AC15ABBCDE3、如图，∥，＝，＝，＝，则长是（）。
精品文档．精品文档）。
C）A；（）；（BD）；（（＝4:9，则AE:EC为（CD和BE相交于O）。