重积分论文

《高等数学》——重积分 麻安平

贵州民族大学建筑工程学院土木一班

摘要：高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。重积分主要用来解决实际问题，在本文中，首先我总结一下学习中遇到的重积分的应用，比如求空间立体的体积，空间物体的质量及其在几何和物理方面的应用。 关键词：重积分；曲面面积. I .重积分的应用归纳如下: 1.1曲面的面积

设曲面∑的方程为()，y x f z

,=∑在xoy 面上的投影为xy D ，函数

()y x f ,在D 上具有连续偏导数，则曲面∑的面积为：

()()⎰⎰⎰⎰

++=⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=D y x D

d y x f y x f dxdy y f x f A σ,,11222

2

若曲面∑的方程为

()，z y g x ,=∑在yoz 面上的投影为yz D ，则曲面

∑

的面积为：

()()⎰⎰⎰⎰

++=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=D

z y D

d z y f z y f dydz z g y g A σ,,112

22

2

若曲面∑的方程为()，x z h y ,=∑在zox 面上的投影为zx D ，

则曲面∑的面积为：

()()⎰⎰⎰⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=D

x z D d x z f x z f dzdx x h z h A σ,,112

22

2

例1：计算双曲抛物面xy z =被柱面222

R y x =+所截出的面积A 。

解：曲面在xoy 面上投影为222

:R y x

D ≤+,则

⎰⎰++=D

y x dxdy z z A 2

2

1

即有

:

()322

20

2113D

A d R πθπ⎡⎤===+-⎢⎥⎣⎦

⎰⎰⎰⎰

从而被柱面222

R y x =+所截出的面积A 如上所示。

1.2质量

1.2.1平面薄片的质量 若平面薄片占有平面闭区域

D ，面密度为()y x ,μ，则它的质量为

()⎰⎰=D

d y x m σμ,，其中()σ

μd y x dm ,=称为质量元素.

1.2.2物体的质量

若物体占有空间闭区域

Ω，体密度为()z y x ,,μ，则它的质量为

()⎰⎰⎰=D

dv

z y x m ,,μ

例2：由螺线θρ2=，与直线2

π

θ=

，围成一平面薄片D ，它的面密度

22y x +=μ。求它的质量。

解：如图所示，()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=+==D

D

d d dxdy y x dxdy m 2

20

2

2

2

π

θρ

ρρθμ

1.3质心

1.3.1平面薄片的质心

若平面若平面薄片占有平面比区域D ，面密度为()y x ,μ

，则它的质心坐

标为：()()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

==⎰⎰⎰⎰D D d y x y m y d y x x m x σμσμ,1,1，其中m 为平面薄片的质量. 1.3.2物体的质心

若物体占有空间闭区域Ω，体密度为()z y x ,,μ

，则它的质心坐标为：

()()()⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D D

dv

z y x m z dv z y x m y dv

z y x m x ,,1

,,1,,1

μμμ，其中m 为物体的质量.

1.4转动惯量

1.4.1平面薄片的转动惯量

若平面薄片占有平面闭区域D ，面密度为()y x ,μ，则它对轴,轴以及对原

点的转动惯量分别为:

()

σ

μσμσμd y x I d x I d y I D

D

o y D

x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+===2222,,

1.4.2物体的转动惯量

若物体占有空间闭区域Ω，体密度为()z y x ,,μ，则它对轴,轴以及对原点

的转动惯量分别为:

()()

()

()

υμυμυμυμd z y x I d y x I d x z I d y x I o z y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω

Ω

Ω

Ω

++=+=+=+=222222222,,

,

例3：求半径为a 的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量。

4sin 2

2

4

2sin 0

56sin sin sin 73D

D

yd d d d d d πθ

πθ

σρ

θρθθθρρθθπ

====⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰