2020年中考复习—黄金分割专题训练(二)
八年级数学下册 4.2 黄金分割同步练习集 北师大版
4．2黄金分割一、目标导航1．黄金分割定义:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC:AB=BC:AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．2．618.0215≈-=AB AC ． 二、基础过关 1．若点20m 处，如果他向B 点再走 m ，也处在比较得体的位置．（结果精确到0．1m ）三、能力提升4．有以下命题：①如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有dc b a =；②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项；③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项；④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC ，且AB=2，则AC=－1．其中正确的判断有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知点M 将线段AB 黄金分割AM ＞BM ，则下列各式中不正确的是A ．AM ∶BM=AB ∶AM B ．AM=215-AB C ．BM=215-AB D ．AM ≈0．618AB 6．已知C 是线段AB 的黄金分割点AC ＞BC ）， 则AC∶BC =A ． －1∶2 B． （ 1）∶2 C．（3－）∶2 D．（3）∶27．在长度为１的线段上找到两个黄金分割点Ｐ，Ｑ．则ＰＱ＝（ ）A ．215- B ．53- C ．25- D ．253- 8．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN =253-．求证：点A 是MN 的黄金分割点．四、聚沙成塔9．如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点EF ，点M 在AD 上．（1）求AM 、DM 的长．（2）求证：AM 2=AD ·DM ．（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗10．如果一个矩形ABCDAB ＜BC 中，215-=BC AB ≈0．618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE 如图，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形请说明你的结论的正确性．4．2黄金分割1．A=AN·MN 即可；9．⑴AM=－1；DM=3－；⑵略；⑶点M 是线段AD 的黄金分割点；10．通过计算可得215-=AB AE ，所以矩形ABFE 是黄金矩形．。
2020届中考数学复习难题训练：黄金分割专题训练(含答案)
2020届中考复习--黄金分割专题训练一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，则下列结论中错误的是()A. 点D是线段BC的黄金分割点B. 点E是线段BC的黄金分割点C. 点E是线段CD的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9.据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10.如果线段AB=10cm，P是线段AB的黄金分割点，那么线段BP=________cm．11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(BC<AC).已知AB=4cm，则BC的长约为________cm.(结果精确到0.1)12.在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62cm，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则宽约为________(精确到1cm)．15.已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。
黄金分割(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题27.13 黄金分割（基础篇）（专项练习）一、单选题1．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（）A．125-C．454D．54 -B．9452．已知点C是线段AB的黄金分割点，且2<，则AC长是（）AB=，AC BCA51-B51C．35D3523．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（）A．35B51C．15D．354．已知2AB=，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP BP>，则AP的长为（）A51B51-C35D．3525．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对6．下列说法正确的是（）A．每一条线段有且只有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.6187．下列命题正确的是（）A．任意两个等腰三角形一定相似B．任意两个正方形一定相似C ．如果C 点是线段AB 的黄金分割点，那么51AC AB -=D ．相似图形就是位似图形8．如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段3AP 的黄金分割点()323,,AP P P <依此类推，则线段2020AP 的长度是（ ）A ．202051-⎝⎭B ．202151-⎝⎭C ．202035-⎝⎭D ．202135-⎝⎭9．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC 、BC ，且AC BC >，下列说法错误的是（ ） A ．如果AC BCAB AC=，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果2AC AB BC =⋅，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比D ．0.618是黄金比的近似值10．等腰△ABC 中，AB=AC ，△A=36°，D 是AC 上的一点，AD=BD ，则以下结论中正确的有（ ）△△BCD 是等腰三角形；△点D 是线段AC 的黄金分割点；△△BCD△△ABC ；△BD 平分△ABC ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△ABC 中，△A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，下列结论： △△ABD ，△BCD 都是等腰三角形； △AD=BD=BC ； △BC 2=CD•CA ； △D 是AC 的黄金分割点 其中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题12．在线段AB 上，点C 把线AB 分成两条线段AC 和BC ，若AC BCAB AC=，则点C 叫做线段AB 的黄金分割点．若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），当1MN =时，PM 的长是__________．13．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割，已知AB =10 cm ，AC ＞BC ，那么AC 的长约为____________cm （结果精确到0.1 cm ）． 14．把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为__________.15．古希腊时期，51-（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”5 2.236≈，则黄金分割比例约为______________．（精确到0.01）16．已知AB=2,点C 是线段AB 的黄金分割点（AC>BC ），则AC= . 17．把长度为4cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm ．18．已知线段4AB =，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么线段AP =______.（结果保留根号）19．已知线段AB 长为2cm ，P 是AB 的黄金分割点，则较长线段PA ＝ ___；PB ＝______． 20510.61803398-=…，将这个分割比保留4个有效数字的近似数是 ．21．若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC ＜BC ，若AB ＝10，则BC ＝_____． 22．若点P 是线段AB 的黄金分割点，AB=10cm ，则较长线段AP 的长是_____cm ．三、解答题23．已知C 、D 是线段AB 上的点，CD ＝(√5﹣2)AB ，AC ＝BD ，则C 、D 是黄金分割点吗？为什么？24．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN =，求证：点A 是MN 的黄金分割点.25．（1）对于实数a 、b ，定义运算“⊕”如下：2a b a b ⊕=-．若(1)(2)8x x +⊕-=，求: 2(2)(23)x x x -⊕-的值；（2）已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），若AB ＝4，求AC 的长．26．（1）我们知道，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，使AP ＞PB ，点P 把线段AB 分成两条线段AP 和BP ，且=AP BP AB AP ，点P 就是线段AB 的黄金分割点，此时PAAB的值为 （填一个实数）：（2）如图，Rt△ABC 中，△B=90°，AB=2BC ，现以C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于D ，再以A 为圆心、AD 长为半径画弧交边AB 于E ． 求证：点E 是线段AB 的黄金分割点．27．某校要设计一座2m 高的雕像(如图)，使雕像的点C (肚脐)为线段AB (全身)的黄金分割点，上部AC (肚脐以上)与下部BC (肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为______(结果精确到0.001)米． 5 2. 236=，结果精确到0.001)．28．在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．(1)证明：ΔABE△ΔCAD．(2)若CE=CP，求证△CPD=△PBD．(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.参考答案1．A【分析】根据黄金分割的定义得到AP 51-AB ，然后把AP 的长度代入可求出AB 的长． 【详解】解：△P 为AB 的黄金分割点（AP ＞PB ）， △AP 51-AB ， △AB 的长度为8cm ， △AP 51-×8=454（cm ）， △BP =AB -AP =8-（454）=125- 故选：A ．【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC =AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC 51-AB ． 2．C 【分析】利用黄金分割比的定义即可求解. 【详解】由黄金分割比的定义可知 5151251BC AB --=== △2(51)35AC AB BC =-=-= 故选C【点拨】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比是解题的关键. 3．A 【分析】根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解. 【详解】解: 较短的线段长=2⨯ (15-1=255 故选A.【点拨】本题考查了黄金分割的概念, 熟记黄金分割的比值5-1是解题的关键.4．A 【分析】根据黄金分割点的定义和AP BP>得出51AP AB-=，代入数据即可得出AP的长度．【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP BP>，则5151251ABAP--===．故选：A．352，51-．5．B【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可．【详解】A．每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC．故选B．【点拨】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．6．D【分析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.【详解】解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；故选D．【点拨】此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键． 7．B 【分析】根据相似多边形的概念、黄金分割点及位似可直接进行排除选项． 【详解】解：A 、任意两个等腰三角形的底角或顶角相等，则这两个等腰三角形相似，故原命题错误； B 、任意两个正方形一定相似，故原命题正确；C 、如果C 点是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），那么51AC AB -=D 、相似图形不一定是位似图形，故原命题错误； 故选B ．【点拨】本题主要考查相似多边形的概念、黄金分割点及位似，熟练掌握相似多边形的概念、黄金分割点及位似是解题的关键． 8．C 【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线51-叫做黄金比进行解答即可． 【详解】解：根据黄金比的比值，151BP -= 则151351AP --==23233535,,AP AP --==⎝⎭⎝⎭…依此类推，则线段2020202035AP -=⎝⎭，故选C ．【点拨】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 9．C 【解析】【分析】根据黄金分割的定义判断即可.【详解】根据黄金分割的定义可知A、B、D正确;C.如果线段AB被点C黄金分割（AC>BC）,那么AC与AB的比叫做黄金比,所以C错误.所以C选项是正确的.【点拨】本题考查了黄金分割的概念:把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB 的黄金分割点.注意线段AB的黄金分割点有两个.10．D【详解】△AB=AC，△△ABC=△C=12（180°-△A）=12（180°-36°）=72°，△AD=BD，△△DBA=△A=36°，△△BDC=2△A=72°，△△BDC=△C，△△BCD为等腰三角形，所以△正确；△△DBC=△ABC-△ABD=36°，△△ABD=△DBC，△BD平分△ABC，所以△正确；△△DBC=△A，△BCD=△ACB，△△BCD△△ABC，所以△正确；△BD：AC=CD：BD，而AD=BD，△AD：AC=CD：AD，△点D是线段AC的黄金分割点，所以△正确．故选D.11．D【解析】试题分析：在△ABC，AB=AC，△A=36°，BD平分△ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD 为等腰三角形，可得AD=BD=BC，利用三角形相似解题．解：如图，△AB=AC，△A=36°，△△ABC=△C=72°，△BD平分△ABC交AC于点D，△△ABD=△CBD=△ABC=36°=△A，△AD=BD，△BDC=△ABD+△A=72°=△C ， △BC=BD ，△△ABD ，△BCD 都是等腰三角形，故△正确； △BC=BD=AD ，故△正确； △△A=△CBD ，△C=△C ， △△BCD△△ACB ， △，即BC 2=CD•AC ，故△正确； △AD=BD=BC ，△AD 2=AC•CD=（AD+CD ）•CD ， △AD=CD ，△D 是AC 的黄金分割点．故△正确， 故选D ．考点：相似三角形的判定与性质；黄金分割． 1251- 【分析】根据若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），则PM MN 51-计算即可． 【详解】当PM ＞PN 时，51-51-， 51-． 51-是解题的关键． 13．6.2 【分析】黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割．【详解】由题意知AC :AB =BC :AC ，△AC :AB ≈0.618，△AC =0.618×10cm ≈6.2(结果精确到0.1cm )故答案为6.2.【点拨】本题考查黄金分割，解题关键是掌握黄金分割定理.14．51-米 【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分51-叫做黄金比． 【详解】解：△将长度为2米的线段进行黄金分割，△较长的线段=2⨯51-51- 51-米.51-是解的关键． 15．0.62【分析】把黄金分割比例按要求进行计算即可．【详解】解：51-5 2.236≈， 51-≈2.23612-≈0.62， 故答案为：0.62． 【点拨】本题考查了求一个数的近似值，有理数的除法，正确计算是解题的关键． 1651 【解析】51251AC -==17．()252cm ．【解析】根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可． 解：较长线段的长=×4=（2）cm ．故答案为（2）cm ． 18．52 【分析】51-计算即可. 【详解】 解：△点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ） △51AP 252AB -== 故答案为：252.【点拨】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.19．)51cm (35cm 【分析】根据黄金分割的概念得到较长线段51-AB ，则PB=AB -352AB ，然后把AB=2cm 代入计算即可．【详解】解：△P 是AB 的黄金分割点， △较长线段51-AB ， △PB=AB -352AB ， 而AB=2cm ， △PA=)51cm ，PB=(35cm ． 故答案为：)51cm ；(35cm ．【点拨】本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分51-倍． 20．0.6180【解析】根据有效数字的定义，运用四舍五入法保留4个有效数字，需观察第五位有效数字，由于第五位有效数字是，不需往前面进一位．所以0.61803398…≈0.618021．555【分析】根据黄金分割点的定义，知BC 为较长线段；则BC 51-AB ，代入数据即可得出AC 的值．【详解】解：由于C 为线段AB ＝10的黄金分割点，且AC ＜BC ，BC 为较长线段；则BC ＝51-＝55． 故答案为：555．【点拨】本题考查黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中51-AB≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个． 22．555【解析】△P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞BP ，51-AB ， △AB=10cm ， △AP=5110555-=. 故答案为555．点睛：若点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，则AP 2=BP·AB ，即51-AB. 23．C 、D 是黄金分割点.【解析】【分析】 根据题意求出AC 与AB 的关系，计算出AD 与AB 的关系，根据黄金比值进行判断即可．【详解】解：C 、D 是黄金分割点，△AC+CD+BD ＝AB ，CD ＝(√5﹣2)AB ，AC ＝BD ，△AC ＝3−√52AB ， AD ＝AC+CD ＝3−√52AB+(√5﹣2)AB ＝√5−12AB ， △D 是AB 的黄金分割点，同理C 也是AB 的黄金分割点．【点拨】本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的概念和黄金比.24．见解析 【解析】试题分析：先求得AM=√5−12，即可得到AM MN =AN AM =√5−12，结论得证。
2020年中考数学复习难题训练：黄金分割专题训练(有答案)
2020中考复习--黄金分割专题训练（一）一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割1第2页，共15页 C. 如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比 D. 0.618是黄金比的近似值8. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =108°，AD 、AE 将∠BAC 三等分交边BC 于点D ，点E ，则下列结论中错误的是( )A. 点D 是线段BC 的黄金分割点B. 点E 是线段BC 的黄金分割点C. 点E 是线段CD 的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9. 据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10. 如果线段AB =10cm ，P 是线段AB 的黄金分割点，那么线段BP =________cm ． 11. 如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割(BC <AC).已知AB =4 cm ，则BC 的长约为________cm.(结果精确到0.1)12. 在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62 cm ，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm ，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20 cm ，则宽约为 ________ (精确到1 cm)．15. 已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，若P 点为线段AB 上的任意一点，则P 点出现在线段AC 上的概率为________． 三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。
苏科版九年级数学下册 6.2 黄金分割 同步测试题(有答案)
6.2 黄金分割同步测试题一、选择题（本题共计8 小题，每题3 分，共计24分，）1. 已知P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，则（）A.AP2＝AB⋅PBB.AB2＝AP⋅PBC.PB2＝AP⋅ABD.AP2+BP2＝AB22. △ABC中，AC=BC，在边AB上截取AD=AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是（）A.22.5∘B.30∘C.36∘D.45∘3. 已知，点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB)，若线段AB=2cm，则线段AP的长是（）cm B.(√5−1)cm C.(3−√5)cm D.(2−√5)cmA.√5−124. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，CD平分∠ACB交AB于点D，若CA=4，则CB的长是（）A.2√5+2B.√5+1C.√5−1D.2√5−25. 爱美之心人皆有之，特别是很多女士，穿上高跟鞋后往往会有很好的效果，事实上，当人体的下半身长度与身高的比值接近0.618时，会给人以美感，某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm6. 如图，P是线段AB的黄金分割点(PB>PA)，四边形ABCD、四边形PBEF都是正方形，且面积分别为S1、S2，四边形APMD、四边形APFN都是矩形，且面积分别为S3、S4，下列说法正确的是（）A.s2=√5−12s1 B.s2=s3 C.s3=√5−12s4 D.s4=√5−127. 美术专家认为：如果人的下身长与自己的身高之比是黄金分割数(√5−12≈0.618)，那么就非常美丽，已知一个女孩身高为155cm，下半身为94cm，请你们替她选一个高度最理想的高跟鞋，则高度应为（）A.2∼3cmB.3∼4cmC.4∼5cmD.5∼6cm8. 如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36∘，BD平分∠ABC，则BC的长为（）A.1 2B.−1+√52C.1−√52D.−1+√52二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）9. 已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP>PB，AB=4厘米，则线段AP=________厘米．10. 我们知道，下身长与身高的比等于黄金数的人身材比较协调．某女士身高1.50米，其下身长90厘米，则她应该穿________厘米高的高跟鞋比较合适（精确到1厘米）．11. 点C是线段AB上的一个黄金分割点，且AC>BC，若AB=5cm，则AC=________cm，BC=________cm．12. 已知线段AB的长度为2，点C为线段AB上的黄金分割点(AC>BC)，则AC的长度为________．13. 为了美观起见，通常把一本书的宽与长之比设计成黄金比．已知这本书的宽为15cm，则它的长为________cm（精确到0.1cm）．14. 已知线段AB＝4厘米，点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP)，那么线段AP＝________厘米．（结果保留根号）15. 如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，已知AB=4，则AP=________（结果保留根号）．16. 已知线段AB=4dm，点C是线段AB上一点，AC>BC，若C点是线段AB的黄金分割点，则AC=________dm．（保留根号）17. 科学研究表明，当人的下肢长与身高之比成0.618时，看起来最美，某成年女士身高为160cm，下肢长96cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度应约为________cm（精确到0.1cm）18. 在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士的身高为1.60米，身体躯干（脚底到肚脐的高度）与身高的比为0.60，那么她应选择约________厘米的高跟鞋看起来更美．（精确到十分位）三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）19. 已知M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM．（1）写出AB、AM、BM之间的比例式；（2）若AB=12cm，求AM与BM的长．20. 已知线段AB=a，点C为AB的黄金分割点，求AC的长．21. 中国民间乐器二胡的“千斤钩”钩在弦长的黄金分割点处音质最好，一把二胡的弦长为68cm，求“千金钩”上、下两部分弦长．22. 一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔活动的选手情况，那么她应该穿多高的鞋子好看？（精,√5≈2.236）确到1cm）（参考数据：黄金分割数：√5−1223. 已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．24. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到0.1米）参考答案一、选择题（本题共计8 小题，每题 3 分，共计24分）1.【答案】C【解答】∵ P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，∵ PB2＝AP⋅AB．2.【答案】C【解答】解：∵ 点D是线段AB的一个黄金分割点，∵ AD2=BD⋅AB，∵ AD=AC=BC，∵ BC2=BD⋅AB，即BC:BD=AB:BC，而∠ABC=∠CBD，∵ △BCD∽△BAC，∵ ∠A=∠BCD，设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，∵ ∠ADC=∠BCD+∠B=2x，而AC=AD，∵ ∠ACD=∠ADC=2x，∵ x+2x+x+x=180∘，解得x=36∘，即∠A=36∘．故选：C．3.【答案】B【解答】解：由于P为线段AB=8cm的黄金分割点，且AP是较长线段；=√5−1．则AP=2×√5−12故选B．4.【答案】D【解答】解：∵ △ABC中，AB=AC，∠A=36∘，∵ △ABC是黄金三角形，AC=2√5−2，∵ BC=√5−12故选：D．5.【答案】C【解答】解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，=0.618，则根据黄金分割的定义得：96+y160+y解得：y≈8cm．故选C．6.【答案】B【解答】解：根据黄金分割得出：PB=√5−12AB，设AB=x，PB=√5−12x，PA=(1−√5−12)x，∵ S1=x2，S2=√5−12x⋅√5−12x，S3=(1−√5−12)x⋅x，S4=(1−√5−12)x⋅√5−12x，∵ S1S2=3−√5，故A错误；S2S3=1，即S2=S3，故B正确；S3 S4=√525−4，故C错误；S4S1=√5−2，故D错误；故选B．7.【答案】C【解答】解：设高跟鞋的高度是xcm，则94+x155+x=0.618，解得：x≈4.69，即高跟鞋的高度应为4∼5cm．故选C．8.【答案】B【解答】解：∵ AB =AC ，∠A =36∘，∵ ∠ABC =∠ACB =12×(180∘−36∘)=72∘，∵ BD 平分∠ABC ，∵ ∠ABD =∠CBD =12×72∘=36∘，∵ ∠A =∠ABD ，∵ AD =BD ，又∵ ∠ACB =∠BCD ，∵ △ABC ∽△BCD ，∵ BC CD =AC BC ，设BC =x ，则x 1−x =1x ，整理得，x 2+x −1=0，解得x 1=−1+√52，x 2=−1−√52（舍去）， 即BC 的长为−1+√52． 故选B ． 二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 9.【答案】 2√5−2【解答】解：由于P 为线段AB =4厘米的黄金分割点，且AP 是较长线段； 则AP =4×√5−12=2√5−2（厘米）．故答案为：2√5−2．【答案】7【解答】答：设高跟鞋鞋跟的高度为x ，根据题意列方程得：(90+x)÷(150+x)≈0.618，解得x ≈7．故答案为：7．11.【答案】5√5−52,15−5√52【解答】解：∵ C 为线段AB 上的一个的黄金分割点，且AC >BC ，∵ AC =√5−12AB ，BC =AB −AC =3−√52AB ，∵ AB =5cm ，∵ AC =√5−12×5=5√5−52(cm)，BC =3−√52×5=15−5√52(cm)． 故答案为：5√5−52，15−5√52． 12.【答案】 √5−1【解答】∵ C 为线段AB 上的黄金分割点，AC >BC ，∵ AC =√5−12AB =√5−1，【答案】24.3【解答】解：根据题意得这本书的长=√5−12≈150.618≈24.3(cm)．故答案为24.3．14.【答案】2√5−2【解答】∵ 点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，∵ AP=√5−12AB＝2√5−2，15.【答案】6−2√5【解答】解：∵ 点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，AB=4，∵ AP=4×3−√52=6−2√5，故答案为：6−2√5．16.【答案】(2√5−2)解：由于C为线段AB=4dm的黄金分割点，且AC>BC，AC为较长线段；=2√5−2(dm)．则AC=4×√5−12故答案为：(2√5−2)．17.【答案】7.5【解答】解：设该女士穿的鞋跟高度约为xcm，由题意得(96+x)：(160+x)=0.618，解得x≈7.5．故答案为：7.5．18.【答案】7.5【解答】解：设应选择xcm的高跟鞋，∵ 张女士的身高为1.60米，身体躯干（脚底到肚脐的高度）与身高的比为0.60，∵ 其身高为1.60米=160厘米，身体躯干高为160×0.60=96厘米，≈0.618，则有96+x160+x解得：x≈7.5．故本题答案为：7.5．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）19.解：（1）∵ M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM，∵ AM:AB=BM:AM，∵ AM2=BM⋅AB；（2）AM=√5−12AB=√5−12×12=6√5−6，BM=AB−AM=12−6√5+6=18−6√5．【解答】解：（1）∵ M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM，∵ AM:AB=BM:AM，∵ AM2=BM⋅AB；（2）AM=√5−12AB=√5−12×12=6√5−6，BM=AB−AM=12−6√5+6=18−6√5．20.【答案】解：根据题意得当AC为较长线段时，AC=√5−12AB=√5−12a；当AC为较短线段时，AC=AB−√5−12AB=3−√52a．【解答】解：根据题意得当AC为较长线段时，AC=√5−12AB=√5−12a；当AC为较短线段时，AC=AB−√5−12AB=3−√52a．21.【答案】解：“千金钩”上部分弦长=68×√5−12=34√5−34cm，下两部分弦长=68−(34√5−34)=102−34√5cm．【解答】解：“千金钩”上部分弦长=68×√5−12=34√5−34cm，下两部分弦长=68−(34√5−34)=102−34√5cm．22.【答案】她应该穿约10cm高的鞋好看【解答】设她应该穿xcm的鞋子，依题意得：65 95+x =√5−12，解得x≈10，经检验，x≈10是原方程的解．23.【答案】解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB=√AB2+AE2=√5a，∵ AH=AF=EF−AE=EB−AE=(√5−1)a，HB=AB−AH=(3−√5)a；∵ AH2=(6−2√5)a2，AB⋅HB=2a×(3−√5)a=(6−2√5)a2，∵ AH2=AB⋅HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．【解答】解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB=√AB2+AE2=√5a，∵ AH=AF=EF−AE=EB−AE=(√5−1)a，HB=AB−AH=(3−√5)a；∵ AH2=(6−2√5)a2，AB⋅HB=2a×(3−√5)a=(6−2√5)a2，∵ AH2=AB⋅HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．24.【答案】主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体．【解答】解：根据黄金比得：20×(1−0.618)≈7.6米，∵ 黄金分割点有2个，∵ 20−7.6=12.4，由于7.6<12.4米。
6.2 黄金分割-2020-2021学年九年级数学下册同步课堂帮帮帮(苏科版)(解析版)
如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB，近似值为0.618.1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的；2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的；3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数；4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”.例：点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则线段AC的长为 ．【解答】22或6﹣2【解析】①当AC＞BC时，∵点C是线段AB的黄金分割点，∴AC＝AB＝2﹣2；②当AC＜BC时，∵点C是线段AB的黄金分割点，∴BC＝AB＝2﹣2，∴AC＝AB﹣BC＝6﹣2综上所述，线段AC的长为22或6﹣2故答案为22或6﹣2一．选择题1．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10，那么AP的长是（ ）A．5B．5C．1D【解答】A【解析】由于P为线段AB＝10的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝―5．故选A．2．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（ ）A B C D 【解答】A【解析】如图，设AB＝1，∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，∴AE＝GF∴BE＝FH＝AB﹣AE∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE）：（1故选A ．3．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MGMN =GNMG =“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（ ）A B ．―5C D 【解答】A【解析】作AH ⊥BC 于H ，如图，∵AB ＝AC ，∴BH ＝CH =12BC ＝2，在Rt △ABH 中，AH ∵D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，∴BE ＝2―1）＝―2，∴HE ＝BE ﹣BH ＝―2﹣2＝―4，∴DE ＝2HE ＝8∴S △ADE =12×（8）=故选A ．4．21）的值（ ）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【解答】B又∵2―1）＝―2，∴4＜5，∴2＜2＜3，∴21）的值在2和3之间；故选B．5．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是（ ）A B―1C．3―D【解答】C【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，BC2＝AC•AB（2﹣AC）2＝2ACAC2﹣6AC+4＝0解得AC＝3+3则AC长是3―故选C．6．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，且AD＞AB，AD＝2，点E是AD上一点，点G是CD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿直线EG折叠，使点D落在EF上的点H处，则FH的长为（ ）A1B C．3―D．4【解答】D【解析】∵矩形ABCD 是黄金矩形，且AD ＞AB ，AD ＝2，∴AB =―1，∵△ABE 沿直线BE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，∴AB ＝BF 1，∠BFE ＝∠A ＝90°，∴四边形ABFE 为正方形，∴AE ＝EF ＝AB =―1，同理可得四边形DEHG 为正方形，∴EH ＝DE ＝AD ﹣AE ―1）＝3∴HF ＝EF ﹣EH =―1﹣（34．故选D ．7．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加美感，按此比例，如果雕像的身高为3米，设雕像的上部为x 米，根据其比例关系可得其方程应为（ ）A ．x 2﹣9x +9＝0B ．x 2﹣3x +9＝0C ．x 2+9x ﹣9＝0D ．x 2﹣6x +9＝0【解答】A【解析】根据题意得x ：（3﹣x ）＝（3﹣x ）：3，整理得x 2﹣9x +9＝0．故选A ．8．已知，P 是线段AB 上的点，且AP 2＝BP •AB ，那么AP ：AB 的值是（ ）A B C D 【解答】A【解析】设AB 为1，AP 为x ，则BP 为1﹣x ，∵AP 2＝BP •AB ，∴x 2＝（1﹣x ）×1解得x 1x 2．∴AP ：AB 故选A ．9．如图，Rt △OAB 的直角边OA ＝2，AB ＝1，OA 在数轴上，在OB 上截取BC ＝BA ，以原点O 为圆心，OC 为半径画弧，交数轴于点P ，则OP 的中点D 对应的实数是（ ）A B C 1D 1【解答】A【解析】在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，AB ＝1，OA ＝2，由勾股定理得：OB =∵BC ＝AB ，AB ＝1，∴BC ＝1，∴OC ＝OB ﹣BC =―1，即OP =―1，∵OP 的中点是D ，∴OD =12OP =12×―1）即点D 故选A ．10．点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段，如果AP 是PB 和AB 的比例中项，那么下列式子成立的是（ ）A ．PBAP =B ．APPB C ．PBAB D ．APAB 【解答】D【解析】∵点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段，AP 是PB 和AB 的比例中项，∴根据线段黄金分割的定义得：APAB =故选D ．11．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及实数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c ＝a +x （b ﹣a ），这里x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得b ac a=c ab c ，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于（ ）A ．12B C D【解答】D【解析】∵c﹣a＝x（b﹣a），b﹣c＝（b﹣a）﹣x（b﹣a），b ac a =c ab c，∴[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，∴x2+x﹣1＝0，解得x∵0＜x＜1，∴x=故选D．12．下列说法：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；x＝﹣4或1；④数4和9的比例中项是6；⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝―5．其中正确的说法的个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】C【解析】①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；正确，此时△＞0；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；正确；x＝﹣4或1；错误，x＝﹣4不符合题意，不是最简二次根式；④数4和9的比例中项是6；错误，数4和9的比例中项是±6，⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5．错误，若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5或BC＝5．故选C．二．填空题130.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐27cm，则其身高大约是 cm．（结果保留整数）【解答】185．【解析】设咽喉至肚脐的长度为xcm，肚脐至足底的长度为ycm，由题意得，27x≈0.618，解得，x≈43.7，∴人体的头顶至肚脐的长度为：27+43.7＝70.7，∴70.7y≈0.618，解得，y≈114.4，其身高＝114.4+70.7≈185（cm），故答案为185．14．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1 S2（填“＞”或“＝”或“＜”）．【解答】＝【解析】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2＝BP×AB，又∵S1＝AP2，S2＝PB×AB，∴S1＝S2．故答案为＝．15．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为 ．【解答】2+【解析】∵线段AB＝x，点C是AB黄金分割点，∴较小线段AD＝BC=，则CD＝AB﹣AD﹣BC＝x﹣2×=1，解得：x＝2+故答案为2+16．点P在线段AB上，且BPAP =APAB．设AB＝4cm，则BP＝ cm．【解答】【解析】∵BPAP =APAB．∴P点为AB的黄金分割点，∴AP4＝2，∴BP＝4﹣（2cm．．17．已知点P是线段AB上的一点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝10cm，那么BP＝ cm．【解答】（5）【解析】∵点P是线段AB上的一点∴AP＝AB﹣BP＝10﹣BP，∵BP2＝AP•AB，AB＝10cm，BP2＝（10﹣BP）×10，解得BP＝―5．故答案为（5）．18．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 cm．【解答】（5）【解析】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP10＝―5（cm），故答案为（5）19．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到0.1米） ．【解答】7.6米【解析】根据黄金比得：20×（1﹣0.618）≈7.6米，∵黄金分割点有2个，∴20﹣7.6＝12.4，由于7.6＜12.4米∴主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体．故答案为7.6米．20．如图，以边长为4的等边三角形AOB的顶点O为坐标原点，边OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点B在第一象限，在边OB上有一点P为OB的黄金分割点（PO＞PB），那么点P的坐标是 ．【解答】（4，【解析】如图，作BD⊥OA，PE⊥OA于点D、E，∵△ABC为边长为+4的等边三角形，∴∠OBD＝∠ODE＝30°，设OE＝x，则OP＝2x，PE，则PB＝+4﹣2x，∵点P为OB的黄金分割点（PO＞PB），根据黄金分割定义，得OP2＝OB•PB4x2＝（4）（4﹣2x）解得x＝4，＝所以P点坐标为（4，．故答案为（4，．21．把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是 cm．【解答】5（3―【解析】由题意知，则较短线段＝10×（15（3―．故本题答案为：5（3―．三．解答题22．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长．【解答】（1）∠B的度数为36°；（2）①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形；②3―【解析】（1）设∠B＝x，∵BD＝DC，∴∠DCB＝∠B＝x，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2x，∵AC＝DC，∴∠A＝∠ADC＝2x，∵∠ACE＝∠B+∠A，∴x+2x＝108°，解得x＝36°，即∠B的度数为36°；（2）①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形．理由如下：∵DB＝DC，∠B＝36°，∴△DBC为黄金三角形；∵∠BCA＝180°﹣∠ACE＝72°，而∠A＝2×36°＝72°，∴∠A＝∠ACB，而∠B＝36°，∴△ABC为黄金三角形；∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝72°﹣36°＝36°，而CA＝CD，∴△CAD为黄金三角形；②∵△BAC为黄金三角形，=∴ACBC而BC＝2，∴AC=―1，∴CD＝CA1，∴BD＝CD1，∴AD＝AB﹣BD1）＝3―23ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．【解答】见解析【解析】原矩形ABCD是为黄金矩形．理由如下：设矩形BCFE的长BC为x，∵四边形BCFE为黄金矩形，∴宽FC，∵四边形AEFD是正方形，∴AB＝x，则BCAB∴原矩形ABCD是为黄金矩形．24．（1）已知ab =35，求（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，求PA、PB的长．【解答】（1）85；（2）PA―1，PB=3―【解析】（1）∵ab =35，∴可设a＝3k，则b＝5k，∴a bb =3k5k5k=85；（2）∵点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，∴PA=―1，PB＝3―25．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB．类似的，在AB上折出点M使AM＝AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．【解答】见解析【解答】证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE＝1∴AE=∵EF＝BE＝1，∴AF＝AE﹣EF=―1，∴AM＝AF1，∴AM：AB1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．26．如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC•AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．（1）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；（2）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A+3，0），B（x，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．【解答】（1）6；（2）见解析【解析】（1）∵黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，=2，∴―b2a∴b＝﹣4a，又b2＝ac∴16a2＝ac．且与y轴交于点（0，8），∴c＝8．∴a =12，b ＝﹣2．∴y =12x 2﹣2x +8=12（x ﹣2）2+6，∵12＞0，∴y 有最小值为6．答：y 的最小值为6．（2）原点是线段AB 的黄金分割点．理由如下：∵黄金抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的顶点P 为（1，3），把它向下平移后与x 轴交于A 3，0），B （x 0，0），∴x 0＝﹣1∴OA ＝3OB ＝1+AB ＝OA 2＝（32＝OB •AB ＝（1+）（∴OA 2＝OB •AB ．答：原点是线段AB 的黄金分割点．27．如图，要设计一座高为2米的人体雕像AB ，使雕像的上部AC （腰点C 以上）与下部（腰点C 以下）的高度之比等于下部BC 与全部AB （身高）的高度之比，雕像的下部BC 的长应设计为多少米？【解答】（﹣1+【解析】设下部应设计为x 米，则上部的长度为（2﹣x ）米，根据题意得，2x x =x 2，整理得，x 2+2x ﹣4＝0，解得，x 1＝﹣1+x 2＝﹣1―，所以，雕像的下部应设计为（﹣1+28．如图1，点B 在线段AC 上的黄金分割点，且AB ＞BC ．（1）设AC ＝2，①求AB 的长；填空：设AB ＝x ，则BC ＝2﹣x∵点B 在线段AC 上的黄金分割点，且AB ＞BC ，∴ ，可列方程为 ，解得方程的根为 ，于是，AB 的长为 ．②在线段AC （如图1）上利用三角板和圆规画出点B 的位置（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若m 、n 为正实数，t 是关于x 的方程x 2+2mx ＝n 2的一正实数根，①求证：（t +m ）2＝m 2+n 2；②若两条线段的长分别为m 、n （如图2），请画出一条长为t 的线段（保留作图痕迹，不写作法）．【解答】（1）①AB AC =BC AB ，x 2=2x x ，x 1＝﹣1x 2＝﹣1+（2）①见解析，②见解析【解析】（1）①设AB ＝x ，则BC ＝2﹣x∵点B 在线段AC 上的黄金分割点，且AB ＞BC ，∴AB AC =BC AB ，可列方程为：x 2=2x x ，解得：x 1＝﹣1+x 2＝﹣1―∴AB 的长为：﹣1故答案为AB AC =BC AB ，x 2=2x x ，x 1＝﹣1x 2＝﹣1②作图见下图1：（2）①证明：解关于x的方程x2+2mx＝n2：x2+2mx+m2＝m2+n2（x+m）2═m2+n2，∵t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一正实数根，∴（t+m）2＝m2+n2；②作图见下图。
初中数学相似三角形之黄金分割专项练习题(附答案详解)
解：由于D为线段AB=2的黄金分割点，
且AD>BD，
则AD= ×2=( )cm
∴BD=AB−AD=2−( )=
故选D．
【点睛】
本题考查了黄金分割.应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 ,较长的线段=原线段的 ．
2．B
【解析】
【分析】
由AP＞BP知PA是较长线段，根据黄金分割点的定义，则AP2=BP•AB．
5．已知线段AB的长为4，点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，则PA的长为()
A．2 ﹣2B．6﹣2√5C． D．4﹣2
6．已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BC•AB，则下列式子成立的是（）
A． B． C． D．
7．已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（）
【详解】
解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，
∴AP2=BP•AB．
故选：B．
【点睛】
本题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段即可．
3．D
【解析】
【分析】
分AC＜BC、AC＞BC两种情况，根据黄金比值计算即可．
【详解】
解：当AC＜BC时，BC= AB= ，
当AC＞BC时，BC= = ，
(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；
(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.
21．把宽与长之比为 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，如图，四边形 是黄金矩形，如果在这个黄金矩形里画一个正方形，那么剩下的矩形（矩形： ）还是黄金矩形吗？请证明你的结论．
(1502)黄金分割专项练习30题(有答案)
黄金分割专项练习30题（有答案）1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比．5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．6．如图，线段AB的长度为1．（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB，求线段AC的长度；（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC，求线段AD的长度；（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD，求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求的值．13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD 的长．15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF 是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．黄金分割专项练习30题参考答案:1．（1）证明：∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD?AC，∴AD2=CD?AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，∵AD2=CD?AC，∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，即AD的长为2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=99，整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不能．理由如下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，整理得x2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得20﹣x=x，解得x=10（﹣1），则20﹣x=10（3﹣），所以矩形的面积=10（﹣1）?10（3﹣）=（400﹣800）cm2．3．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴=，即=，∴AD2=AC?CD．∴点D是线段AC的黄金分割点．（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD=AC，∵AC=2，∴AD=﹣14．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，（2）作法：①画线段AB作为三角形底边；②取AB的一半作AB的垂线AC，连接BC，在BC上取CD=CA．③分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为E；④分别连接EA、EB，则△ABE即是所求的三角形．（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC﹣CD=﹣1，=．5．解：（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×=﹣1，或AP=2﹣（﹣1）=3﹣；（2）如图，点P是线段AB的一个黄金分割点．6．解：（1）设AC=x，则BC=AB﹣AC=1﹣x，∵AC2=BC?AB，∴x2=1×（1﹣x），整理得x2+x﹣1=0，解得x1=，x2=（舍去），所以线段AC的长度为；（2）设线段AD的长度为x，AC=l，∵AD2=CD?AC，∴x2=l×（l﹣x），∴x1=，x2=（舍去），∴线段AD的长度AC；（3）同理得到线段AE的长度AD；上面各题的结果反映：若线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），则C点为AB的黄金分割点7．解：D是AC的黄金分割点．理由如下：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°．∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，∴∠C=∠BDC，∴BC=BD．∵∠A=∠1，∴AD=BC．∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，AD=BC=BD，∴，∴AD2=AC?CD，即D是AC的黄金分割点8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，交于AC于D，∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，∴∠A=∠DBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC，∴∵AB=AC，∴=，∵AB=AC=2，BC=﹣1，∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），解得AD=，AD：AC=（）：2．∴点D是线段AC的黄金分割点．9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵AE=BC，DF=BC，∴AE=DF=BC=AD，又∵∠ADF=90°，∴四边形AEFD是正方形．BE=，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB===，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，HB=AB﹣AH=3﹣；∴AH2=（）2=6﹣2，AB?HB=2×（3﹣）=6﹣2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠ADB=108°，∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC?DC，∵BC=AD，∴AD2=AC?DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．12．解：∵D在AB上，且AD2=BD?AB，∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，∴==或==．13．解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD=BC，DE=AB，∴==﹣1==．∴矩形ABFE是黄金矩形．14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），∴AD=AB=10﹣10，∵EC+CD=AC+CD=AD，∴EC+CD=（10﹣10）cm．15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x：1.70=0.618，即x=1.70×0.618≈1.1（m）．答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，DM=AD﹣AM=3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于=，∴点M是AD的黄金分割点．17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2=BP×AB，又∵S1=AP2，S2=PB×AB，∴S1=S2．18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，∴△BCF∽△EAB，∴，即，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2．故答案为：2．19．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．20．解：（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，由得，BP2=AP×AB，即k2=（1﹣k）×1，解得k=，∵k＞0，∴k=≈0.618；（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则，∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线．（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：x≈7.5cm．故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．22．解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB==a，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，HB=AB﹣AH=（3﹣）a；∴AH2=（6﹣2）a2，AB?HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．23．证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点．24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，∵EF=BE=1，∴AF=AE﹣EF=﹣1，∴AM=AF=﹣1，∴AM：AB=（﹣1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．25．解：（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=﹣1．∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴NC=BC=a．在Rt△DNC中，．又∵NE=ND，∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．27．解：（1）（2）CM=AB（4分）28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．在Rt△BCF中，BF==，则A′F=BF﹣BA′=﹣1．设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，即，解得x=，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．29．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠ABD=∠DBC=36°．又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC=x，AC=y，由（2）知，AD=BD=BC=x．∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2=0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=72°，∴∠ACE=180°﹣72°=108°，∴∠ACE=∠B1A1C1．∵A1B1=AB，∴AC=CE=A1B1=A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE=B1C1．由（3）知，∴，，∴．30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC的边AB上的高为h．则，，，∴，．又∵点D为边AB的黄金分割点，∴，∴．故直线CD是△ABC的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴，即，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，∴S△DFC=S△DFE，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．又∵，∴．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．（9分）仅供个人参考仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
数学：4.2 黄金分割 同步练习集(北师大版八年级下)
4．2黄金分割一、目标导航1．黄金分割定义:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC:AB=BC:AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．2．618.0215≈-=AB AC ． 二、基础过关1．若点P 是AB 的黄金分割点，则线段AP 、PB 、AB 满足关系式 ．2．黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0．001）．3．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 长为20m ，试计算主持人应走到离A 点至少m 处？，如果他向B 点再走 m ，也处在比较得体的位置．（结果精确到0．1m ）三、能力提升4．有以下命题：①如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有dc b a =；②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项；③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项；④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC ，且AB=2，则AC=5－1．其中正确的判断有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM)，则下列各式中不正确的是( )A ．AM ∶BM=AB ∶AM B ．AM=215-AB C ．BM=215-AB D ．AM ≈0．618AB 6．已知C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞BC ）， 则AC∶BC = ( )A ． (5－1)∶2 B． （5 +1）∶2 C．（3－5）∶2 D．（3+5）∶27．在长度为１的线段上找到两个黄金分割点Ｐ，Ｑ．则ＰＱ＝（ ）A ．215-B ．53-C ．25-D ．253- 8．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN =253-．求证：点A 是MN 的黄金分割点．四、聚沙成塔9．如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求AM 、DM 的长．（2）求证：AM 2=AD ·DM ．（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？10．如果一个矩形ABCD(AB ＜BC)中，215-=BC AB ≈0．618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE(如图)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．4．2黄金分割1．AP 2=BP·AB 或PB 2=AP·AB；2．0.618；3．7.6，4.8；4．C ；5．C ；6．B ；7．C ；8证得AM 2=AN·MN 即可；9．⑴AM=5－1；DM=3－5；⑵略；⑶点M 是线段AD 的黄金分割点；10．通过计算可得215-=AB AE ，所以矩形ABFE 是黄金矩形．。
2020年中考复习--黄金分割专题训练(一)(有答案)
2020中考复习--黄金分割专题训练（一）一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，则下列结论中错误的是()A. 点D是线段BC的黄金分割点B. 点E是线段BC的黄金分割点C. 点E是线段CD的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9.据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10.如果线段AB=10cm，P是线段AB的黄金分割点，那么线段BP=________cm．11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(BC<AC).已知AB=4cm，则BC的长约为________cm.(结果精确到0.1)12.在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62cm，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则宽约为________(精确到1cm)．15.已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。
专题07-黄金分割-同步学与练-(含解析)数学苏科版九年级下册
专题07黄金分割（2个知识点2种题型1个中考考点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.黄金分割（重点）知识点2.黄金矩形（拓展）【方法二】实例探索法题型1.与黄金分割有关的计算题型2.黄金分割的实际应用【方法三】仿真实战法考法：利用黄金分割的概念计算【方法四】成果评定法【学习目标】1.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割、黄金比、黄金分割点、黄金矩形的定义．2.会一条线段的黄金分割点．3.了解黄金分割在生活中的应用，会运用黄金比解决实际问题．【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.黄金分割（重点）黄金分割：一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （如图AC BC >），如果AC BC AB AC=，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中0.618AC AB =≈，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）注意！！！一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P 是线段AB 的黄金分割点时，需加注 AP PB >或AP ＜ BP ，否则在已知AB 的长度求AP （或BP ）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论．【例1】1．已知线段AB 的长度为l ，点P 在线段上，PB AP AP AB=，求线段AP 的长．【变式1】2．（1）点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，6AB =厘米，求BP 的长；（2）已知点P 是线段AB 的黄金分割点，1AB =，求AP 的值．【变式2】3．如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ．在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =．以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．(1)求线段AM 、DM 的长；(2)求证：2AM AD DM =⋅；(3)请指出图中的黄金分割点．知识点2.黄金矩形（拓展）【例2】4的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．【变式】．（绵阳）5．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD 的底边BC 取中点E ，以E 为圆心，线段DE 为半径作圆，其与底边BC 的延长线交于点F ，这样就把正方形ABCD 延伸为矩形ABFG ，称其为黄金矩形．若4CF a =，则AB =（ ）．A ．)1a -B ．()2aC ．)1aD ．()2a 【方法二】实例探索法题型1.与黄金分割有关的计算（芦溪县期中）6．已知线段AB 的长度为2，点C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为（ ）A B C 1或3D 2（瑞安市期末）7．已知P 为线段AB 的黄金分割点，4AB =，AP BP >，则AP 的长为（ ）A ．2B ．4C ．1D ．6-题型2.黄金分割的实际应用（安庆期中）8．大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P 为AB 的黄金分割点（AP PB >），如果AP 的长度为10cm ，那么AB 的长度是（ ）A ．5B ．15-C ．5D ．15+（沈河区期末）9．如图，冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，它泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高6cm ，则玩偶嘴巴到脚的距离是（ ）A ．3)cmB C D ．(9-（天长市期中）10．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点B 为AC 的黄金分割点（AB BC >），若100AC =cm ，则BC 约为（ ）A ．42cmB ．38cmC ．62cmD ．70cm（酒泉期中）11．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（ ）米．A ．4.14B ．2.56C ．6.70D ．3.82【方法三】 仿真实战法考法：利用黄金分割的概念计算（黄石）12．关于x 的一元二次方程210x mx +-=，当1m =时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．(1)求黄金分割数；(2)已知实数a ，b 满足：221,24a ma b mb +=-=，且2b a ≠-，求ab 的值；(3)已知两个不相等的实数p ，q 满足：2211p np q q nq p +-=+-=,，求pq n -的值．【方法四】 成果评定法一．选择题（共8小题）（杨浦区期末）13．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，那么下列比例式能成立的是( )A ．AB AP AP BP =B ．AB BP AP AB =C ．BP AB AP BP =D ．AB AP =（开化县模拟）14．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高 165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm（会同县期末）15．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是（ ）cm ．A ．4-B ．4C ．4+D ．4-（八步区期中）16．若线段MN 的长为1cm ，点P 是线段MN 的黄金分割点，MP NP >，则较长的线段MP 的长为（ ）A ．1)cmB ．(3CD （鄞州区期中）17．点P ，点Q 是线段AB 的黄金分割点，若2AB =，则PQ 长度是（ ）A ．1B ．C ．4-D （福鼎市期中）18．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段AB 为边作正方形ABCD ，取AD 的中点E ，连接BE ，延长DA 至F ，使得EF BE =，以AF 为边作正方形AFGH ，则点H 即是线段AB 的黄金分割点．若记正方形AFGH 的面积为1S ，矩形BCIH 的面积为2S ，则1S 与2S 的比值是（ ）A B C D ．1（盐湖区校级期中）19．如图，正五边形ABCDE 的几条对角线的交点分别为,,,,M N P Q R ，它们分别是所在对角线的黄金分割点．若2AB =，则MN 的长为（ ）A ．3B ．3C 1D 1（和平区期末）20．如果一个等腰三角形的顶角为36︒，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在ABC 中，1AB AC ==，36A ∠=︒，ABC 看作第一个黄金三角形；作ABC ∠的平分线BD ，交AC 于点D ，BCD △看作第二个黄金三角形；作BCD ∠的平分线CE ，交BD 于点E ，CDE 看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（ ）A ．2023B ．2024C ．2023D ．2024二．填空题（共8小题）（沈北新区校级月考）21．如果点C 是线段AB 的黄金分割点，2cm =AC ，AC BC >，那么AB 的长为 ．（平川区校级期末）22．若点P 为线段AB 的黄金分割点，且AP BP <，10BP =，则AP = ．（吉安期中）23．如图，线段10cm AB =，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，设以AC 为边的正方形的面积为1S ，以BC 为一边，AB 长为另一边的矩形BCFG 的面积为21S S ， 2S （填：“>”、“=”或“<”）．（高港区期中）24．我们把宽与长的比是1):2的矩形叫做黄金矩形，从外形看它最具美感．小明想制作一张“黄金矩形”的贺卡，已知贺卡长为20cm ，那么贺卡的宽为 cm ．（结果保留根号）．（朝阳一模）25．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB 的长为20米，主持人站在点C 处自然得体，已知点C 是线段AB 上靠近点B 的黄金分割点，则此时主持人与点A 的距离为 米．（徐汇区期末）26．已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，如果2AB =，那么BP 的长是 ．（达州）27．如图，乐器上的一根弦80cm AB =，两个端点,A B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，,C D 之间的距离为 ．（天府新区期中）28．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD 的底边BC 取中点E ，以E 为圆心，线段DE 为半径作圆，其与底边BC 的延长线交于点F ，这样就把正方形ABCD 延伸为矩形ABFG ，称其为黄金矩形．若4CF a =，则AB = ．三．解答题（共5小题）（市南区校级期中）29．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >，计算线段AB 的黄金比AC AB 的值．（瑞安市期中）30．（1）已知 4.5a =，2b =，c 是a ，b 的比例中项，求c ；（2）如图，C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >，4AB =，求AC 的长．（金安区校级期中）31．已知顶角为36︒的等腰三角形称为黄金三角形（底边与腰的比值为黄金分割比），如图，ABC ，BDC ，DEC 都是黄金三角形，已知36A ∠=︒，1AB =，求DE 的长度．（上城区校级期中）32．如图所示，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．(1)求,AM DM 的长；(2)点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？（兰山区期中）33．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计多高？参考答案：1．AP=【分析】由题意得点P是线段AB的黄金分割点，再列式计算即可．=，【详解】解： 点P在线段AB上，PB APAP AB∴点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP>，PB AP∴==AP AB线段AB的长度为l，AP∴．【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，解题的关键是掌握黄金分割的几何含义并熟记其比值．2．（1）(9BP=-厘米；（2）2AP=或1AP=-．【分析】（1）根据条件建立等式AP AB=，求解即可；（2然后建立等式求解．【详解】解：（1）根据黄金分割点定义，且AP BP>，可知AP AB=，此时(BP AB69===-厘米；（2故2AP ABAP=．==或1【点睛】本题考查了黄金分割点，解题的关键是注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个．3．(1)1DM=AM=-，3(2)见解析(3)见解析【分析】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF PF AP =-，PF PD =，则1,3AM AF DM AD AM ===-=（2）根据（1）所求分别求出2AM AD DM ⋅，的值即可证明结论；（3）根据（1）中的数据得：AM AD M 是AD 的黄金分割点．【详解】（1）解：在Rt APD 中，1,2AP AD ==，由勾股定理知：PD∴1AM AF PF AP PD AP ==-=-=，∴3DM AD AM =-=（2）证明：由（1）得)(2216236AM AD DM ==-⋅=⨯=-∴2AM AD DM =⋅；（3）解：∵AM AD =∴点M 是AD 的黄金分割点．4．是；见解析【分析】本题主要考查了黄金分解的定义，根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可得出答案．【详解】解：是，证明如下：∵四边形ABEF 是正方形，∴AB AF =，∵四边形ABCD 是矩形 ，∴AB CD =，∴AF CD =，又∵AB AD =∴AF AD =， 即点F 是AD 的黄金分割点，∴AF AD =，∴DF AD AF AD =-=，∴DF AF =，即DFDC=∴矩形CDEF 是黄金矩形．5．D【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握A BB F =计算即可．【详解】解：设AB x =，四边形ABCD 是正方形，AB BC x ∴==，矩形ABFG 是黄金矩形，A B B F \=4x x a \=+解得：(2x a =+，经检验：(2x a =+是原方程的根，(2A B a \=+，故选：D ．6．C【分析】分AC ＜BC 、AC ＞BC 两种情况，根据黄金比值计算即可．【详解】解：当AC ＜BC 时，∵点C 是线段AB 的黄金分割点，∴1BC AB ==，同理当AC ＞BC 时，1AC AB ==，∴)213BC AB AC =-=-=故选C ．【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线）叫做黄金比．7．A【分析】本题考查了黄金分割的概念．黄金分割的定义，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值【详解】解： 点P 是线段AB 上的一个黄金分割点，且4AB =，AP BP >，42AP ∴==．故选：A ．8．A【分析】本题考查黄金分割的应用；由黄金分割知：AP AB =，由此可求得AB 的长．【详解】解：∵P 为AB 的黄金分割点，∴AP AB =，即105)cm AB ==+，故选：A ．9．A【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行列式计算即可解答．【详解】解：由题意得玩偶嘴巴到脚的距离为：()63cm =故选：A ．10．B【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可．熟练掌握黄金分割中的比例关系，是解题的关键．【详解】解：由题意，得：0.618ABAC≈，100AC =cm ，∴61.8cm AB ≈，∴38cm BC AC AB =-≈；故选B ．11．A【分析】设整个车身长为AB ，点C 表示倒车镜位置，根据题意，确定BC 的长，继而确定车身长，对照选项判断即可．【详解】如图，设整个车身长为AB ，点C 表示倒车镜位置，根据题意，AC =1.58米,∴BC =1.58÷0.618=2.56米，故车长为1.58+2.56=4.14米，故选:A ．【点睛】本题考查了线段的黄金分割点，准确理解黄金分割点的意义并灵活计算是解题的关键．12．(2)2(3)0【分析】（1）依据题意，将1m =代入然后解一元二次方程210x x +-=即可得解；（2）依据题意，将224b m b -=变形为21022b b m ⎛⎫⎛⎫-+⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可以看作a ，2b -是一元二次方程210x mx +-=的两个根，进而可以得解；（3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得pq ，进而可以得解．【详解】（1）依据题意，将1m =代入210x mx +-=得210x x +-=，解得x =，∵黄金分割数大于0，∴（2）∵224b m b -=，∴2240b m b --=，则21022b b m ⎛⎫⎛⎫-+⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又∵2b a ≠-，∴a ，2b-是一元二次方程210x mx +-=的两个根，则12b a ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，∴2ab =．（3）∵21p np q +-=，21q nq p +-=；∴()()2211p np q nq q p +-++-=+；即()()222p q n p q p q +++-=+；∴()()222p q pq n p q p q +-++-=+．又∵()()2211p np q nq q p +--+-=-；∴()()()22p q n p q p q -+-=--；即()()10p q p q n -+++=．∵p ，q 为两个不相等的实数，∴0p q -≠，则10p q n +++=，∴1p q n +=--．又∵()()222p q pq n p q p q +-++-=+，∴()()212121n pq n n n ---+---=--，即0pq n -=．【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．13．A【分析】由于点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，故有AP 2=BP×AB ，那么AB APAP BP=.【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，∴AP2=BP×AB，即AB APAP BP=，故A正确，B、C错误；BP APAP AB==D错误；故答案为A.【点睛】本题考查了黄金分割的知识，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．14．C【分析】本题考查了黄金分割的应用．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解即可．【详解】根据已知条件得下半身长是1650.6099⨯=，设需要穿的高跟鞋是y，根据黄金分割的定义得：990.618 165yy+=+，解得：8y≈．故选：C．15．B【分析】根据黄金分割的定义得到AP AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长．【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP AB，∵AB的长度为8cm，∴AP×8=4（cm）．故选：A．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC 是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC AB．16．C【分析】本题考查了黄金分割．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答．【详解】解： 点P 是线段MN 的黄金分割点，MP NP >，1cm MN =，)cm MP ∴==，故选：C ．17．C【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答本题的关键．根据黄金分割的定义，得到AQ BP AB AB ==【详解】如图，点P ，点Q 是线段AB 的黄金分割点，若2AB =，∴AQ BP AB AB ==∴1AQ BP ==，∴1124PQ AQ BP AB =+-=---=，故选：C ．18．D【分析】根据H 是AB 的黄金分割点求出2AH BH AB =⋅，求出21S AH =，2S BH BC BH AB =⋅=⋅，再得出答案即可．【详解】解：H 是AB 的黄金分割点，2AH BH AB ∴=⋅，21S AH = ，2S BH BC BH AB =⋅=⋅，12S S ∴=，即121S S =，故选：D ．【点睛】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的性质是解此题的关键．19．A【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，平行四边形的性质及判定，首先根据正五边形的相关性质判定四边形ABME 为平行四边形，进而求出BM 的长度，再根据黄金分割点进行计算即可得到MN 的长.黄金分割点等相关内容，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键.【详解】解：∵五边形ABCDE 为正五边形∴2AE AB ==，()180521085EAB ABC ︒⨯-∠=∠==︒,∴36AEB ABE ∠=∠=︒同理可得36CBD ∠=︒∴1083672ABD ∠=︒-︒=︒∵10872180EAB ABD ∠+∠=︒+︒=︒∴AE BD同理可证明EC AB ∥∴四边形ABME 为平行四边形∴2EM AB ==,2BM AE ==，同理：2DN =，∵M 、N 为BD 的黄金分割点∴BD =21=+，∴DM BD BM =-=1，∴21)3MN DN DM =-=-＝故选：A ．20．A【分析】本题考查了黄金三角形，规律型等知识；由黄金三角形的定义得BC AB =，同理求出2CD =，3DE =，可得第1个黄金三角形的腰长为1AB AC ==，第2，第3个黄金三角形的腰长是2，第4个黄金三角形的腰长是3，得出规律第n 个黄金三角形的腰长是1n -，即可得出答案．【详解】解：∵ABC 是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为1AB AC ==，∴BC AB =，BC AB ∴==，∵BCD △是第2个黄金三角形，∴CD BC =第2，2CD ∴==，∵CDE 是第3个黄金三角形，∴DE CD 第3个黄金三角形的腰长是2，3DE ∴==，∴第4个黄金三角形的腰长是3，…∴第n 个黄金三角形的腰长是1n -，∴第2024个黄金三角形的腰长是202412023-=，故选：A ．21．(1cm【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割比“将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，”结合题意AC BC >，且2cm =AC ，即可列出关于线段AC 长的等式，解出AC 即可．【详解】解：∵点C 是线段AB 的一个黄金分割点，且AC BC >，∴AC AB =，∴2AB∴)1cm AC =+．故答案为：(1cm ．22．5-+5【分析】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值．设AP x =，则10AB x =+，根据黄金分割的定义得到AP BP BP AB =即101010x x =+，解方程即可得到答案．【详解】解：设AP x =，则10AB AP BP x =+=+，∵点P 为线段AB 的黄金分割点，∴AP BP BP AB =，即101010x x =+，∴2101000x x +-=，解得5x =-+或5x =--（舍去），经检验，5x =-+∴5AP =-+故答案为：5-+23．=【分析】根据黄金分割的定义，即可得到答案．【详解】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，∴AC BC AB AC=，∴2AC AB BC =⋅，∵212,S AC S AB BC ==×，∴12S S =，故答案为：=．【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，记住公式即可．24．)101【分析】本题主要考查的是黄金分割的概念和性质，根据黄金比值求解即可．【详解】解∶ 宽与长的比是1):2-，∵贺卡长为20cm∴贺卡宽为)20101=，故答案为：)101.25．()10##(10-+【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．由黄金分割点的定义得AC AB =，再代入AB 的长计算即可．【详解】解： 点C 是线段AB 上靠近点B 的黄金分割点，20AB =米，2010)AC ∴===（米)，故答案为：10)．26．3##3+【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程组．由题意知，2BP AB AP AP =-=-，由点P 是线段AB 的黄金分割点，可得=AP BP AB AP ，即22AP AP AP -=，整理得2240AP AP -+=，计算求出满足要求的解即可．【详解】解：由题意知，2BP AB AP AP =-=-，∵点P 是线段 AB 的黄金分割点，∴=AP BP AB AP ，即22AP AP AP-=，整理得2240AP AP -+=，解得：1AP =-1AP =-，∴(2213BP AP =-=--=故答案为：327．160)cm-【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分，由此即可求解．【详解】解：弦80cm AB =，点C 是靠近点B 的黄金分割点，设BC x =，则80AC x =-，∴8080x -=120x =-点D 是靠近点A 的黄金分割点，设AD y =，则80BD y =-，∴8080y -=120y =-，∴,C D 之间的距离为8080120120160x y --=-++=，故答案为：160)cm ．【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．28．()2a【分析】结合题意可得，DE 和EF 是扇形DEF 的边，则DE EF CE CF ==+，根据正方形性质可得BC CD AB ==，90ECD ∠=︒，因为E 是BC 的中点，则12CE BE BC ==；根据勾股定理可得，直角CDE 中，222CD CE DE +=，即DE =CE CF +=AB 的值．【详解】解：依题得：DE EF =，设2AB x =，则正方形ABCD 中，2BC CD AB x ===，90ECD ∠=︒，E 是BC 的中点，12CE BE BC x ∴===，又4CF a = ，4EF CE CF x a DE ∴=+=+=，在直角CDE 中，222CD CE DE +=，即()()22224x x x a +=+2225816x x ax a =++2224x ax a -=()225x a a -=)11x a ∴=，()21x a =，40CF a => ，即0a >，()210x a ∴=<，2x ∴舍去，)()2212AB x a a ∴===+．故答案为：()2a ．【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、圆的性质、勾股定理、一元二次方程的解，解题关键是找到DE EF CE CF ==+和222DE CE CD =+两个等量关系式列一元二次方程．29即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．【详解】解： 点C 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >，∴AC AB =，∴线段AB 的黄金比AC AB ．30．（1）c 为3或3-；（2）2AC =【分析】本题主要考查了黄金分割点以及比例中项，正确理解比例中项和黄金分割点的定义是解题的关键．（1）由c 是a ，b 的比例中项，可得29c ab ==，由此求解即可；（2）根据黄金分割点的定义进行求解即可．【详解】解：（1）∵c 是,a b 的比例中项，∴2 4.529c ab ==⨯=∴13c =，23c =-∴c 为3或3-；（2）∵C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >，4AB =，∴4 2.AC AB ===31【分析】证明ABC BDC ∽△△，可得2BC AB CD =⨯，从而得到221CD BC AD CD AD AC ==+==①，②，进而得到CD =【详解】解：∵ABC ，BDC ，DEC 都是黄金三角形，∴,,AB AC BD BC AD DE CD ====，36A CBD CDE ∠=∠=∠=︒，∵C C ∠=∠，∴ABC BDC ∽△△，∴AC BC BC CD=，∴2BC AB CD =⨯，∵1AB =，∴221CD BC AD CD AD AC ==+==①，②，∴1AD CD =-③，代入①整理得，()21CD CD =-，解得：CD =∵1CD <，∴CD =，∵DE CD =，∴DE =【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，黄金三角形的定义，解题的关键是理解黄金三角形的定义．32．(1)AM 1，DM 的长为3(2)点M 是AD 的黄金分割点，理由见解析【分析】（1）要求AM 的长，只需求得AF 的长，又AF PF AP =-，PF PD ===，则1,3AM AF DM AD AM ==-=-=（2）根据（1）中的数据得：AM AD M 是AD 的黄金分割点．【详解】（1）在Rt APD 中，1,2AP AD ==，由勾股定理知∶PD∴1AM AF PF AP PD AP ==-=-=，3DM AD AM =-=故AM 1，DM 的长为3（2）点M 是AD 的黄金分割点．∵AM AD =∴点M 是AD 的黄金分割点．【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段,AM DM 的长，然后求得线段AM 和AD 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．33．1)m【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是设雕像的下部高为x m ，则上部长为(2)m x -，然后根据题意列出方程求解即可．【详解】解：设雕像的下部高为x m ，则题意得：22x x x -=，整理得：2240x x +-=，解得11x =，21x =-（舍去），答：雕像的下部高为1)m -．。
2020九下6.2黄金分割课后练习(有答案)
2020九下6.2黄金分割课后练习班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为()A. 1.24米B. 1.38米C. 1.42米D. 1.62米2.若线段MN的长为2 cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较短的线段MP的长为A. (√5−1)cmB. √5−12cm C. (3−√5)cm D. 3−√52cm3.大自然巧夺天工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP的长度为8cm，那么AB的长度是()A. 4√5−4B. 12−4√5C. 12+4√5D. 4√5+44.线段AB=8，P是AB的黄金分割点，且AP<BP，则BP的长度为()A. 8√5−8B. 8√5+8C. 4√5−4D. 4√5+45.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值6.点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，下列命题：(1)AB2=AP⋅PB(2)AP2=PB⋅AB(3)BP2=AP⋅AB(4)AP：AB=PB：AP，中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题7.如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，且AP<BP，那么报幕员应走______米报幕．8.点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，若AB=2cm，则AC=______ cm．9.点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，AB=8，那么AP=______．10.C是靠近点B的黄金分割点，若AB=10cm，则AC=____ cm.(结果保留根号)11.已知线段AB=2cm，点C在线段AB上，且AC2=BC⋅AB，则AC的长为______cm．12.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体.如图，若舞台AB的长为20m，则主持人应走到离点A至少m处最合适(精确到0.1m)．三、解答题13.如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．(1)求AM，DM的长．(2)求证：AM2=AD·DM．(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？AB，在DA上截取DE=DB.14.已知：如图，线段AB=2，BD⊥AB于点B，且BD=12在AB上截取AC=AE．求证：点C是线段AB的黄金分割点．15.如图，点R是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AR>RB，S1表示AR为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BR为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，求S3：S2的值．答案和解析1.A【解析】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴ab=0.618，∵b为2米，∴a约为1.24米．2.C3.D解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，∴APAB =√5−12，又∵AP的长度为8cm，∴8AB =√5−12，解得：．4.C解：∵点P是线段AB的黄金分割点(AP<BP)，∴BP=√5−12AB=√5−12×8=4√5−4．5.C解：根据黄金分割的定义可知A、B、D正确；C、如果线段AB被点C黄金分割(AC>BC)，那么AC与AB的比叫做黄金比，所以C 错误．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，∴根据线段黄金分割的定义得：AP2=PB⋅AB，AP：AB=PB：AP，∴只有②④正确．7.(15−5√5)解：∵点P为AB的黄金分割点，AP<BP，∴PB=√5−12AB=√5−12×10=5√5−5(米)，∴AP=AB−PB=10−(5√5−5)=15−5√5(米)，8.√5−1解：∵点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，∴AC=√5− 12AB，而AB=2cm，∴AC=√5−12×2=√5−1cm．9.4√5−4解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，∴AP=√5−12AB=8×√5−12=4√5−4．10.5√5−5解：由于点C是线段AB的黄金分割点，则AC=10×√5−12=(5√5−5)cm．11.√5−1解：方法一：∵AC 2=BC ⋅AB ，∴点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，∴AC =√5−12AB =√5−12×2=√5−1，故答案为：√5−1．方法二：设AC =x ，则BC =2−x ，则由AC 2=BC ⋅AB ，得x 2=2(2−x)，化简得x 2+2x −4=0，解得x =−2±√4+4×42=−1±√5，∵x 表示线段AC 的长度，x >0，∴x =√5−1，12.7.6解：根据黄金比得：20×(1−√5−12)≈7.6米或20×√5−12≈12.4米(舍去)，则主持人应走到离A 点至少7.6米处．13.(1)解：在Rt △APD 中，PA =12AB =1，AD =2， ∴PD =√AD 2+AP 2=√5，∴AM =AF =PF −PA =PD −PA =√5−1，DM =AD −AM =2−(√5−1)=3−√5;(2)证明：∵AM 2=(√5−1)2=6−2√5，AD ⋅DM =2(3−√5)=6−2√5，∴AM 2=AD ⋅DM;(3)点M 是AD 的黄金分割点.理由如下：∵AM 2=AD ⋅DM ，∴AM AD =DM AM =√5−12， ∴点M 是AD 的黄金分割点．14.证明：∵AB=2，BD=12AB，∴BD=1．∵BD⊥AB于点B，∴AD=√AB2+BD2=√5，∴AE=AD−DE=√5−1，∴AC=AE=√5−1，∴AC=√5−12AB，∴点C是线段AB的黄金分割点．15.解：如图，设AB=1，∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE>EB，∴AE=GF=√5−12，∴BE=FH=AB−AE=3−√52，∴S3：S2=(GF⋅FH)：(BC⋅BE)=(√5−12×3−√52)：(1×3−√52)=√5−12．故答案为：√5−12．。
2020年中考复习—黄金分割专题训练(二)
2020中考复习——黄金分割专题训练（二）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.已知矩形ABCD中，，在BC上取一点E，使，过点E作，F是垂足．若点E是线段BC的黄金分割点，则矩形ABCD的面积精确到为A. B. C. D.2.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为，则它的宽约为A. B. C. D.3.已知线段，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为A. B.C. 或D. 以上都不对4.已知点C是线段AB的黄金分割点，且，则下列等式中成立的是A. B.C. D.5.我们把宽与长的比值等于黄金比例的矩形称为黄金矩形如图，在黄金矩形ABCD的边AB上取一点E，使得，连接DE，则等于A. B. C. D.6.矩形的两边长分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是A. ，B. ，C. ，D. ，7.如图所示，在中，，，以点B为圆心，BC长为半径做弧，交AB于点D，再以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，下列结论错误的是A. B. C. D.8.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感．如图，某女士身高，下半身长x与身高l的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为A.B.C.D.二、填空题9.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点，如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为______cm．10.已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足，那么AP长为______厘米．11.已知，则的值为已知点P是线段AB的黄金分割点，若，则12.相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫作黄金矩形，从外形看，它最具美感现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于____厘米．13.一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB长为16米，一个主持人现在站在A处，则它应至少再走______米才最理想．结果精确到米14.如图，乐器上一根弦固定在乐器面板上A、B两点，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若，则_____结果精确到15.如图示，在五角星形中，，C、D两点都是AB的黄金分割点，且，则________．三、解答题16.已知，求的值；已知点P是线段AB的黄金分割点，，，求PA、PB的长．17.取长为2的定线段AB为边，作正方形ABCD，P为AB的中点，在BA的延长线上取点F，使，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上，如图所示。
6.2 黄金分割-2020-2021学年九年级数学下册同步课堂帮帮帮(苏科版)(原卷版)
如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB，近似值为0.618.1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的；2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的；3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数；4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”.例：点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则线段AC的长为 ．【解答】22或6﹣2【解析】①当AC＞BC时，∵点C是线段AB的黄金分割点，∴AC＝AB＝2﹣2；②当AC＜BC时，∵点C是线段AB的黄金分割点，∴BC＝AB＝2﹣2，∴AC＝AB﹣BC＝6﹣2综上所述，线段AC的长为22或6﹣2故答案为22或6﹣2一．选择题1．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10，那么AP的长是（ ）A．5B．5C．1D2．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（ ）A B C D3．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN =GNMG=“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（ ）A B．―5C D4．21）的值（ ）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间5．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是（ ）A B―1C．3―D6．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，且＞，＝2，点是上一点，点是上一点，将△沿直线折叠，使点落在边上的点F 处，再将△DEG 沿直线EG 折叠，使点D 落在EF 上的点H 处，则FH 的长为（ ）A 1BC ．3―D ．47．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加美感，按此比例，如果雕像的身高为3米，设雕像的上部为x 米，根据其比例关系可得其方程应为（ ）A ．x 2﹣9x +9＝0B ．x 2﹣3x +9＝0C ．x 2+9x ﹣9＝0D ．x 2﹣6x +9＝08．已知，P 是线段AB 上的点，且AP 2＝BP •AB ，那么AP ：AB 的值是（ ）A B C D 9．如图，Rt △OAB 的直角边OA ＝2，AB ＝1，OA 在数轴上，在OB 上截取BC ＝BA ，以原点O 为圆心，OC 为半径画弧，交数轴于点P ，则OP 的中点D 对应的实数是（ ）A B C 1D 110．点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段，如果AP 是PB 和AB 的比例中项，那么下列式子成立的是（ ）A ．PBAP =B ．APPB C ．PBAB D ．APAB 11．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及实数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c ＝a +x （b ﹣a ），这里x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得b ac a=c ab c ，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于（ ）A ．12B C D 12．下列说法：①关于的一元二次方程2++＝0，当、异号时，方程一定有实数根；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；x＝﹣4或1；④数4和9的比例中项是6；⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝―5．其中正确的说法的个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题130.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐27cm，则其身高大约是 cm．（结果保留整数）14．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1 S2（填“＞”或“＝”或“＜”）．15．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为 ．16．点P在线段AB上，且BPAP =APAB．设AB＝4cm，则BP＝ cm．17．已知点P是线段AB上的一点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝10cm，那么BP＝ cm．18．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 cm．19．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到0.1米） ．20．如图，以边长为4的等边三角形AOB的顶点O为坐标原点，边OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点B在第一象限，在边OB上有一点P为OB的黄金分割点（PO＞PB），那么点P的坐标是 ．21．把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是 cm．三．解答题22．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长．23ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．24．（1）已知ab =35，求（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，求PA、PB的长．25．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB．类似的，在AB上折出点M使AM＝AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．26．如图，点将线段分成两部分，若2＝•（＞），则称点为线段的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．（1）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；（2）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A+3，0），B（x，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．27．如图，要设计一座高为2米的人体雕像AB，使雕像的上部AC（腰点C以上）与下部（腰点C以下）的高度之比等于下部BC与全部AB（身高）的高度之比，雕像的下部BC的长应设计为多少米？28．如图1，点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC．（1）设AC＝2，①求AB的长；填空：设AB＝x，则BC＝2﹣x∵点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC，∴ ，可列方程为 ，解得方程的根为 ，于是，AB的长为 ．②在线段（如图1）上利用三角板和圆规画出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若m、n为正实数，t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一正实数根，①求证：（t+m）2＝m2+n2；②若两条线段的长分别为m、n（如图2），请画出一条长为t的线段（保留作图痕迹，不写作法）．。
九年级数学上册18.2黄金分割同步练习新版北京课改版
18.2黄金分割一、夯实基础1．若点P 是AB 的黄金分割点，则线段AP 、PB 、AB 满足关系式 ．2．黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0．001）．3．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 长为20m ，试计算主持人应走到离A 点至少 m 处？，如果他向B 点再走 m ，也处在比较得体的位置．（结果精确到0．1m ）4．已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP<PB ，则 ( )A ．AP 2＝AB·PB B．AB 2＝AP·PBC ．PB 2＝AP·AB D．AP 2＋BP 2＝AB 25．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为 ( )A ．12.36 cmB ．13.6 cmC ．32.36 cmD ．7.64 cm二、能力提升6．有以下命题：①如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有d c b a =；②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、B C 的比例中项；③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项；④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC ，且AB=2，则AC=5－1．其中正确的判断有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM)，则下列各式中不正确的是( )A ．AM ∶BM=AB ∶AM B ．AM=215-ABC ．BM=215-AB D ．AM ≈0．618AB 8．已知C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞BC ）， 则AC ∶BC = ( )A ． (5－1)∶2B ． （5 +1）∶2C ．（3－5）∶2D ．（3+5）∶29．在长度为１的线段上找到两个黄金分割点Ｐ，Ｑ．则ＰＱ＝（ ）A ．215-B ．53-C ．25-D ．253- 三、课外拓展10.如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求AM 、DM 的长．（2）求证：AM 2=AD ·DM ．（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？四、中考链接11．（2014 昆明）如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是 cm12．（2014怀化）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S△ABC= ．参考答案一、夯实基础1．AP2=BP·AB或PB2=AP·AB；2．0.618；3．7.6，4.8；4．C5．A二、提升能力6．C；7．C；8．B；9．C；三、课外扩展10. ⑴AM=5－1；DM=3－5；⑵略；⑶点M是线段AD的黄金分割点；四、中考链接11．1212．1：4。
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2020中考复习——黄金分割专题训练（二）班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题1. 已知矩形ABCD 中，AB =1，在BC 上取一点E ，使BE =1，过点E 作EF ⊥AD ，F 是垂足．若点E 是线段BC 的黄金分割点(BE >EC)，则矩形ABCD 的面积(精确到0.1)为( )A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.82. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( )A. 12.36 cmB. 13.6 cmC. 32.36 cmD. 7.64 cm3. 已知线段AB =1，C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为( )A. √5−12B. 3−√52C. √5−12或3−√52D. 以上都不对4. 已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则下列等式中成立的是( )A. BC 2=AC ⋅ABB. AC 2=2AB ⋅BCC. AB 2=AC ⋅BCD. AC 2=BC ⋅AB5. 我们把宽与长的比值等于黄金比例√5−12的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形ABCD (AB >BC)的边AB 上取一点E ，使得BE =BC ，连接DE ，则AEAD等于( )A. √22B. √5−12C. 3−√52D. √5+126.矩形的两边长分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是()A. a=4，b=√5+2B. a=4，b=√5−2C. a=2，b=√5+1D. a=2，b=√5−17.如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，BC=12AC，以点B为圆心，BC长为半径做弧，交AB于点D，再以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，下列结论错误的是()A. BCAB =√55B. AEAC=√5−12C. ECAC=3+√52D. ACAB=2√558.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为()A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm二、填空题9.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为______cm．10.已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB·BP，那么AP长为______厘米．11.已知a−ba =13，则ab的值为;已知点P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，若AB=2，则PB=.12.相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫作黄金矩形，从外形看，它最具美感.现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于____厘米．13.一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB长为16米，一个主持人现在站在A处，则它应至少再走______米才最理想．(结果精确到0.1米)14.如图，乐器上一根弦固定在乐器面板上A、B两点，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若AB=10cm，则AC≈_____cm.(结果精确到0.1)15.如图示，在五角星形中，AD=BC，C、D两点都是AB的黄金分割点，且AB=3，则CD=________．三、解答题16.(1)已知ab =35，求a+bb的值；(2)已知点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2，求PA、PB的长．17.取长为2的定线段AB为边，作正方形ABCD，P为AB的中点，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上，如图所示。
(1)求AM，DM的长(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由。
18. 我们已经学过：点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB =BCAC ，那么称点C 为线段AB的黄金分割点．类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S =S2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．如图2，在ΔABC 中，∠A =36∘，AB =AC ，∠C 的平分线交AB于点D ．(1)证明点D 是AB 边上的黄金分割点； (2)证明直线CD 是ΔABC 的黄金分割线．19. 宽与长的比是√5−12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H.请在图中找出所有黄金矩形并说明理由．20.定义：底与腰的比是√5−1的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，2AC=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．(1)证明：AB2=AA1⋅AC；(2)探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；(提示：此处不妨设AC=1)(3)应用：已知AC=，作A1B1//AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2//AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3//AB交BC于B3，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n−1A n.(n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由)21.阅读下列材料，并完成相应任务．古希腊数学家，天文学家欧多克索斯(Eudoxus，约前400−前347)曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，这个相=0.618033988749⋯，黄金分割在我们生活中有广泛运用，黄金分割点等的比就是√5−12也可以用折纸的方式得到．第一步：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，然后展平，再折出线段AE，再展平；第二步：将纸片沿EM折叠，使EB落到线段EA上，B的对应点为B′，展平；第三步：沿AN折叠，使AB落在AE上，B′的对应点为B′′，展平，这时B′′就是AB的黄金分割点．任务：(1)试根据以上操作步骤证明B′′就是AB 的黄金分割点； (2)请写出一个生活中应用黄金分割的实际例子．22. 如图1，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC =√5−12AB ，则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫作线段AB 的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段AB 上另有一点D 把线段AB 分成两条线段AD 和BD ，若BD =√5−12AB ，则称点D是线段AB 的黄金“左割”点． 请根据以上材科，回答下列问题(1)如图2，若AB =8，点C 和点D 分别是线段AB 的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则BC =________，DC =________；(2)若数轴上有M ，P ，Q ，N 四个点，它们分别对应的实数为m ，p ，q ，n ，且0<m <p <q <n ，n =3m ，点Q 和点P 分别是线段MN 的黄金“右割”点、黄金“左割”点，求pq 的值．答案和解析1.B解：∵点E是线段BC的黄金分割点(BE>EC)，BE=1，∴BEBC =√5−12，BC=1.6，又∵AB=BE=1，∴矩形ABCD的面积为1.6×1=1.6．2.A解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，∴书的宽约为20×0.618=12.36cm．3.C解：∵线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，当AC>BC，∴AC=√5−12AB=√5−12；当AC<BC，∴BC=√5−12AB=√5−12，∴AC=AB−BC=1−√5−12=3−√52．4.D解：∵点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，∴ACAB =BCAC，∴AC2=AB⋅BC；5.B解：设AB=a，∵矩形ABCD为黄金矩形，∴AE=a−√5−12a=3−√52a，∴AE AD =3−√52a√5−12a=√5−12，6.D解：∵宽与长的比是√5−12的矩形叫做黄金矩形，∴ba =√5−12，∴a=2，b=√5−1，7.C解：设BC=a，则AC=2a，由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√5a，由题意得，AE=(√5−1)a，∴EC=(3−√5)a，∴BCAB =√5a=√55，A正确，不符合题意；AE AC =√5−12，B正确，不符合题意；EC AC =3−√52，C错误，符合题意；AC AC =2√52，D正确，不符合题意；8.C解：根据已知条件得下半身长是165×0.6=99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：99+y165+y=0.618，解得：y≈8cm．9.5√5−5解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，∵AB=10cm，∴AP=√5−12×10=(5√5−5)cm．10.(√5−1)解：∵P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB⋅BP，∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，∴AP=√5−12AB=2×√5−12=(√5−1)厘米．11.32；3−√5解：(1)已知a−ba =13，可得1−ba=13，∴ba =23，则ab =32；(2)∵点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2，∴PA=√5−12AB=√5−1，PB=AB−PA=2−(√5−1)=3−√5．12.(10√5−10)解：设所求边长为x，由题意，得x20=√5−12，解得x=(10√5−10)cm．13.6.1解：如图所示：AP<BP，∵BP=√5−12AB=16×√5−12=8√5−8(m)，∴AP=AB−BP=16−(8√5−8)=24−8√5≈6.1(m)．14.6.2解：由于点C是线段AB的黄金分割点，支撑点C是靠近点B的黄金分割点．则AC=10×√5−12=5√5−5≈6.2cm.15.3√5−6解：∵AD=BC，∴AC=BD，∵C、D两点都是AB的黄金分割点，∴AC=BD=√5−12AB，∴CD=(AC+BD)−AB，=2AC−AB，=2×√5−12AB−AB，=(√5−2)AB，=(√5−2)×3，=3√5−6，16.解：(1)∵ab =35，∴可设a=3k，则b=5k，∴a+bb =3k+5k5k=85；(2)∵点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2，∴PA=√5−12AB=√5−1，PB=AB−PA=2−(√5−1)=3−√5．17.解：(1)在Rt△APD中，AP=1cm，AD=2cm，由勾股定理知PD=√AD2+AP2=√4+1=√5cm，∴AM=AF=PF−AP=PD−AP=(√5−1)cm，DM=AD−AM=(3−√5)cm．(2)∵AM2=(√5−1)2=6−2√5，AD⋅DM=2×(3−√5)=6−2√5，∴AM2=AD⋅DM，∴点M是线段AD的黄金分割点．18.解：(1)点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=72°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=36°，∴∠BDC=∠B=72°，∠ACD=∠A=36°，∴BC=DC=AD．∵∠A=∠BCD，∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC，∴BCAB =BDBC．∴ADAB =BDAD．∴D是AB边上的黄金分割点；(2)直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：设△ABC的边AB上的高为h，则S△ADC=12AD⋅ℎ，S△DBC=12DB⋅ℎ，S△ABC=12AB⋅ℎ，∴S△ADCS△ABC =ADAB，S△DBCS△ADC=BDAD．∵D是AB的黄金分割点，∴ADAB =BDAD，∴S△ADCS△ABC =S△DBCS△ADC．∴CD是△ABC的黄金分割线．19.解：设正方形的边长为2，由题意得BF=CF=1，CD=2，∴DF=FG=√5，在矩形ABGH中，ABBG =√5+1=√5−12，在矩形CGHD中，CGCD =√5−12，∴矩形ABGH和矩形CGHD均为黄金矩形．20. (1)证明：∵AC =BC ，∠C =36°，∴∠A =∠ABC =72°，∵BA 1平分∠ABC ，∴∠ABA 1=12∠ABC =36°， ∴∠C =∠ABA 1， 又∵∠A =∠A ，∴△ABC∽，△AA 1B∴AB AA 1=ACAB ， 即AB 2=AC ·AA 1;(2)解：△ABC 是黄金等腰三角形，理由：由(1)知，AB 2=AC ·AA 1，设AC =1，∴AB 2=AA 1，又由(1)可得：AB =A 1B ，∵∠A 1BC =∠C =36°，∴A 1B =A 1C ，∴AB =A 1C ，∴AA 1=AC −A 1C =AC −AB =1−AB ，∴AB 2=1−AB ，设AB =x ，即x 2=1−x ，∴x 2+x −1=0，解得：x 1=−1+√52，x 2=−1−√52(不合题意舍去)， ∴AB =√5−12， 又∵AC =1，∴AB AC =√5−12， ∴△ABC 是黄金等腰三角形；(3)解：由(2)得；当AC =a ，则AA 1=AC −A 1C =AC −AB =a −AB=a −−1+√52a =(√5−12)2a ， 同理可得：A 1A 2=A 1C −A 1B 1=AC −AA 1−A 1B 1=a −(√5−12)2a −√5−12A 1C=a −(√5−12)2a −√5−12[a −(√5−12)2a] =(√5−12)3a.故A n−1A n =(√5−12)n+1a.21. (1)证明：设正方形ABCD 的边长为2a ，∵E 为BC 的中点，∴BE =a ，∴AE =√AB 2+BE 2=√5a ．又∵由折叠可得BE =B′E =a ，∴AB′=AE −B′E =(√5−1)a ，又∵AB′=AB′′，∴AB′′AB =(√5−1)a2a =√5−12， ∴点B′′是线段AB 的黄金分割点．(2)答案不唯一．如：节目主持人报幕，总是站在舞台上侧近于0.618的位置才是最佳的位置；时装模特、舞蹈演员腿长和身高的比例也近似于0.618比值．22. 解：(1)12−4√5；8√5−16；(2)由(1)和题意可知：PN =√5−12MN ，MQ =√5−12MN ， 在数轴上，∵0<m <p <q <n ，n =3m ，∴PN =n −P ，MQ =q −m ，MN =n −m ．又n =3m ，∴3m −p =√5−12(3m −m)=(√5−1)m ．∴p =3m −(√5−1)m =4m −√5m ．同理可求q =√5m ．∴p q =√5m√5m =√5√5=4√5−55．解：(1)∵点C 和点D 分别是线段AB 的黄金“右割”点、黄金“左割”点， ∴AC =BD =√5−12AB =√5−12×8=4√5−4，∴BC=8−(4√5−4)=12−4√5；∴DC=BD−BC=(4√5−4)−(12−4√5)=8√5−16；故答案为12−4√5；8√5−16；。