2016最新北师大版九年级下册数学第三章《圆》单元导学案

3.1车轮为什么做成圆形学习目标、重点、难点【学习目标】1.经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程.2.理解圆的概念，理解点与圆的位置关系.【重点难点】1.圆及其有关概念，点与圆的位置关系.2.用集合的观念描述圆.新课导引【生活链接】 在现实生活中，通过观察你会发现，像车轮、齿轮等都做成圆形，家用餐具中，锅、碗、盆等多数也是圆形．【问题探究】 在现实生活中，还有许多物品都是做成圆形的．那么，你能描述出什么样的图形叫做圆吗?【点拨】 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆． 教材精华知识点1 圆的定义平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．其中，定点称为圆心，定长称为半径的长(通常也称为半径)．如图3－1所示，OA 为半径，以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”．拓展 确定一个圆需要两个要素：一是圆心；二是半径．圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽然圆的位置固定，但大小不确定，因而圆不确定；只有半径没有圆心，虽然圆的大小固定，但圆心的位置不确定，因而圆也不确定．只有圆心和半径都固定了，圆才被唯一确定．探究交流 (1)以已知点O 为圆心，可以画 个圆；(2)以已知线段AB 的长为半径，可以画 个圆．点拨 由于确定一个圆要有两个条件，即圆心和半径，而两个问题中都只有一个条件，这样的圆不能确定．故都应填“无数”．同时要注意到(1)中的圆都有相同的圆心，称为同心圆；(2)中的圆都有相同的半径，称为等圆．知识点2 点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内，如图3－2所示．点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径(OA ＞r )；点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径(OB ＝r )；点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径(OC ＜r )．拓展 点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关圆 圆的定义 点与圆的位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．即：如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么：(1)点在圆外⇔d＞r；(2)点在圆上⇔d ＝r；(3)点在圆内⇔d＜r．探究交流设AB＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形．(1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形；(2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形．点拨(1)到点A的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙A，到点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形是⊙B，同时满足这两个条件的点为既在⊙A上，又在⊙B上的点，即为点P、点Q(如图3－3所示)．(2)满足条件的点为既在⊙A内，又在⊙B内的点，即如图3－4所示的阴影部分，但要注意不包括阴影的边界．规律方法小结1．本节运用的思想方法有分类讨论思想和转化思想．如：在分析点与圆的位置关系时，运用了分类讨论思想，而在判断点与圆的位置关系时，把问题转化为用点到圆心的距离与半径之间的数量关系来判断，运用了转化思想．2．(1)确定一个圆需要圆心和半径两个要素．(2)点与圆的位置关系可由点到圆心的距离与半径之间的数量关系来确定．课堂检测基本概念题1、求证：矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．基础知识应用题2、两个圆的圆心都是O，半径分别为r和R(R＞r)，点A满足r＜OM＜R，那么点A在 ( )A．小圆内 B．大圆内 C．小圆外大圆内 D．小圆内大圆外综合应用题3、如图3－6所示，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm．(1)以点A为圆心，4 cm长为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系如何?(2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么?4、如图3－7所示，⊙O′过坐标原点O，点O′的坐标为(1，1)，判断点P(－1，1)，Q(1，0)，R(2，2)和⊙O′的位置关系．探索与创新题5、爆破时，导火索燃烧时的速度是每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域．如果这根导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全?6、已知线段AB＝4 cm，试用阴影表示到点A的距离不小于3 cm，而到点B 的距离小于2 cm的点的集合．体验中考1、在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心O的距离为3 cm．则点P与⊙O的位置关系是．2、如图3－11所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB的度数为 ．学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、已知：如图3－5所示，四边形ABCD 为矩形，O 是对角线AC 和BD 的交点．求证：A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上．分析 欲证A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上，需证明OA ＝OB ＝OC ＝OD ．证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以AC ＝BD ，OA ＝OC ＝21AC ，OB ＝OD ＝21BD ， 所以OA ＝OB ＝OC ＝OD ．所以A ，B ，C ，D 各点在以O 为圆心的同一个圆上．【解题策略】 解此类题要把文字语言转化为数学语言，根据题意画出图形，写出已知、求证，再进行证明，这是解此类问题的一般步骤．2、分析 由于r ＜OA ，所以点A 在小圆外，而OA ＜R ，所以点A 在大圆内．故选C ．【解题策略】 要判断平面上一点与圆的位置关系，只需比较该点到圆心的距离与半径的大小即可．3、分析 要判断B ，C ，D 与⊙A 的位置关系，只需比较AB ，AC ，AD 的长与半径4 cm 的大小．解：(1)连接AC ．∵AB ＝3 cm ＜4 cm ，∴点B 在⊙A 内．∵AD ＝4 cm ，∴点D 在⊙A 上．在Rt △ABC 中，∵AC ＝222243+=+BC AB ＝5 cm ＞4 cm ，∴点C 在⊙A 外．(2)∵AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，AC ＝5 cm ，∴点B 到圆心A 的距离3 cm 是最短的距离，点C 到圆心A 的距离5 cm 是最长的距离．要使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是3 cm ＜r ＜5 cm ．【解题策略】 要确定⊙A 的半径r 的取值范围，需要知道B ，C ，D 三点到点A 的距离，即确定出最短距离和最长距离，才能确定半径r 的取值范围．4、分析 解此题的关键是先求出⊙O ′的半径，即OO ′的长，其次要分别求出点P 、点Q 、点R 到圆心O ′的距离PO ′，QO ′和RO ′的长，再用OO ′的长与PO ′，QO ′和RO ′的长比较，即可得结论．解：⊙O ′的半径r ＝OO ′＝21122=+，2)11()11(22=-+--='O P ，22(11)(01)1QO '=-+-=，2)12()12(22=-+-='O R .∵PO ′＞r ．∴点P 在⊙O ′外；∵QO ′＜r ．∴点Q 在⊙O ′内；∵RO ′＝r ．∴点R 在⊙O ′上．【解题策略】 本题在解题中应用了平面内任意两点间的距离公式．设平面内任意两点的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221221)()(y y x x AB -+-=．5、分析 爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，120米为半径的圆的圆外部分．解：导火索燃烧的时间为9.018＝20(秒)，人跑的路程为20×6．5＝130(米)． ∵130米＞120米，∴点导火索的人是安全的．【解题策略】 解此题的关键是求人跑的路程，再与120米相比较．6、分析 到点A 的距离不小于3 cm ．即所求点应在以A 为圆心、3 cm 长为半径的⊙A 的圆上及其外部；而到点B 的距离小于2cm 的点应在以B 为圆心、2 cm 长为半径的⊙B 的内部．解：根据题意画出图形如图3－8所示，其中阴影部分即为所求．体验中考1、分析 因为点P 到圆心O 的距离为3 cm ＜5 cm ，所以点P 在⊙O 内．故填点P 在⊙O 内．2、分析 本题比较容易，考查圆的相关性质，根据∠ACO ＝32°可知∠CAO ＝32°，从而∠COB ＝∠ACO ＋∠CAO ＝32°＋32°＝64°．故填3.2圆的对称性学习目标、重点、难点【学习目标】1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程．2．理解圆的对称性及相关知识．3．理解并掌握垂径定理及其逆定理．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．【重点难点】1.垂径定理及其逆定理．2.垂径定理及其逆定理的证明.新课导引【生活链接】 对于现实生活中的各种圆形物体，我们可以发现它们的对称美．教材精华知识点1 圆的轴对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．拓展 圆的对称轴有无数条．不能说每条直径都是圆的对称轴，因为图形的对称轴是一条直线，应该说每条直径所在的直线都是圆的对称轴．知识点2 与圆有关的概念(1)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示，如图3－13所示，以A ，B 为端点的弧记作“AB ”．读作“圆弧AB ”或“弧AB ”．(2)圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧叫做优弧(用三个字母表示，如图3－14所示的BAC )；小于半圆的弧叫做劣弧(如图3－14所示的BDC )．(3)连接圆上任意两点的线段叫做弦(如图3－14所示的线段CD )．(4)经过圆心的弦叫做直径(如图3－14所示的AB)．直径等于半径的2倍．拓展 (1)直径是弦，但弦不一定是直径．(2)半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．知识点3 垂径定理及其逆定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．如图3－15所示，垂径定理的题设和结论可用符号语言表示为：,,,,.AE BE CD O AD BD CD AB AC BC =⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩经过圆心垂足为E 拓展 (1)这里的“垂径”可以是直径、半径、过圆心的直线或线段．(2)条件中的“弦”可以是直径，结论中的“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧，也意味着平分弦所对的优弧． 圆的有关概念：弧、弦、直径 垂径定理及其逆定理 圆的旋转不变性圆心角、弦心距等概念圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆的对称性垂径定理的逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．如图3－15所示，垂径定理的逆定理的题设和结论可用符号语言表示为：,,(,()(.CD AB CD O CD ACB AC BC CD AB AB CD ADB AD BD ⎧⎪⎫⎪⇒=⎬⎨⎭⎪=⎪⎩垂直于弦经过圆心平分即平分弦不是直径平分即 拓展 一定不能忽略“弦不是直径”这个条件，因为圆中任意两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直．由垂径定理及其逆定理可得的其他结论．对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么就可推出其他三个：①垂直于弦；②平分弦；③平分弦所对的优弧；④平分弦所对的劣弧；⑤过圆心． 知识点4 圆的旋转不变性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．实际上，一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这种性质是圆的旋转不变性．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．如图3－16所示，⊙O 绕圆心O 旋转任意一个角度α，⊙O上的任意点A 与A ′重合，即⊙O 上的所有点旋转α角后，都与⊙O 上的点重合．知识点5 圆心角、弦心距的概念顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．如图3－17所示，∠AOB 是⊙O 的一个圆心角，垂线段OC 的长为弦AB 的弦心距．知识点6 圆心角、弧、弦之间的关系圆的一个特性：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－18所示，若下列三个等式：①∠AOB ＝∠COD ，②AB ＝CD ，③AB CD =中有一个等式成立，则其他两个等式也成立．拓展 (1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若丢掉这个前提条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(2)要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义，否则易错用此关系．(3)上述关系中的“弧”一般指劣弧．(4)在具体运用上述关系解决问题时，可根据需要选择其有关部分．如：在同圆中，相等的弦所对的弧相等；在等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．(5)上面的定理可以扩充为“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系的定理”——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．如图3－19所示，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，若下列四个等式：①∠AOB ＝∠COD ，②AB ＝CD ，③AB CD =，④OE ＝OF 中有一个等式成立，则其他三个等式也成立．探究交流 长度相等的弧是等弧．点拨 因为在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧，所以等弧必须是在同圆或等圆中的弧，也只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合．因此长度相等的弧不一定是等弧．规律方法小结 1．本节解决问题的主要思想方法是数形结合思想，通过图形把垂径定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系展现出来，将几何问题代数化．如垂径定理的应用，解题过程中使用列方程的方法，用代数方法解决几何问题． 2．(1)与圆有关的一些概念的比较． 概念 区别与联系直径和弦直径是弦，但弦不一定是直径半圆和弧半圆是弧，但弧不一定是半圆同心圆、等圆同心圆是指圆心相同、半径不等的圆；等圆是指半径相等、圆心不同的圆(2)垂径定理及其逆定理和几个相关的结论是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据．在理解定理的前提下，要把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径、弦心距、弦长及弓形的高之间的关系式．如图3－20所示，对于一个圆中的弦长a 、弦心距d 、半径r及弓形的高h ，我们利用垂径定理和勾股定理，由a ，d ，r ，h 中的任意两个可求其他两个．①若已知r ，d ，则a ＝2 22r d -；h =r －d ．②若已知r ，h ，则a ＝2 (2)h r h -；d ＝r －h ．③若已知r ，a ，则222a d r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；222a h r r ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． ④若已知d ，h ，则r ＝h ＋d ；a =2(2)h h d +．⑤若已知a ，d ，则222a r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；222a h d d ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．⑥若已知a，h，则2222ahdh⎛⎫-⎪⎝⎭=；2222ahrh⎛⎫+⎪⎝⎭=．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．如图3－21所示，弦AB与AB及ACB组成两个不同的弓形．弧的中点到弦的距离叫做弓形的高．如图3－22所示，C为ACB的中点，CD ⊥AB于D，则CD为弓形ACB的高．(3)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦和两条弦的弦心距四组量之间的相等关系可以概括为：圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等．课堂检测基本概念题1、下列语句中，不正确的有 ( )①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一定点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧．A．①③④B．②③ C．② D．②④基础知识应用题2、如图3－23所示，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，直径MN⊥AB于E，MN交CD于F，根据垂径定理，请你至少写出五个结论．3、如图3－25所示，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则⊙O的半径长为 cm．4、如图3－26所示，在⊙O中，过圆周上一点A作弦AB和AC，且AB＝AC，M和N分别为弦AB及AC的中点，连接MN并向两方延长，交圆于P和Q两点，求证PM＝NQ．综合应用题5、如图3－27所示⊙O1和⊙O2相交于A和B两点，过点A作O1O2的平行线交两圆于C，D两点，已知O1O2＝20 cm，求CD的长．6、如图3－28所示，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径画圆，分别交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证GE EF．探索与创新题7、如图3－29所示，在半圆O中，半径OF⊥AB于O，OF交CD于点E，CD ∥AB，则弦AC与BD是否相等?8、如图3－30所示，∠APC＝∠BPC，PC过圆心O，请判断PA与PB之间的大小关系．。