电动力学-第二章讲义
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电动力学-第二章-2.6 电多极矩
如何用于电势
(x)
( x)dV V 4 0r
？
以上泰勒级数展开式用于f (x)=1/r，r x x
r是 x, x的函数,场点 x 固定不变, 而源点 x变化
把 x在原点O附近展开，有 注意负号！
1 1 x (1) y (1) z (1)
r r x0
x r x0
y r x0
2 a cos 450
3
a
2
cos2
450
r1 4 r 2 r
4 r
r 1- 1 a 2 2 a cos - 450 3 a 2 cos2 - 450
r2 4 r 2 r
4 r
r
1-
1
a
2
2 a cos 450
3
a
2
cos2
450
r3 4 r 2 r
1 6
ij
5
1
2
2a2 2 sin2 cos2 b2 2 sin2 sin2 c2 2 cos2
abc 3 sin d d d
00 0
Dyy
1Q 5
2b2 a2 c2
, Dzz
1Q 5
2c2 a2 b2
可以验证Dxx+Dyy+Dzz=0
1
4 0
Q r
pr
1 r
对于三元函数f (x1,x2,x3),在原点 x1=0, x2=0,x3=0邻域
的泰勒级数是：
f (x1, x2 , x3 )
f
(0,
0,
0)
x1
x1
f (0, 0, 0) x2
x2
f
(0,
0,
0)
电动力学第二章第4节
1 40
[
Q x y ( z a)
2 2 2
Q
) 2 x y (z a
2 2
]
由边界条件确定 Q 、a 和 Q Q z 0 0 x2 y2 a2 x 2 y 2 a 2
唯一解是 Q Q, a a
因为象电荷在左半空 间，所以舍去正号 解
适用情况：
a) 所求区域有少许几个点电荷， 它产生的感应电荷一般可以 用假想点电荷代替。 b)导体边界面形状比较规则，具 有一定对称性。 c) 给定边界条件
注意：
a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由 点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。 b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置）。 c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。 d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。
Q
Q
2. 以唯一性定理为依据
在唯 一性 定 理 保证 下 ， 采 用试探解，只要保证解满足泊 松方程及边界条件即是正确解。 特别 是对 于 只 有几 个 自 由 点电荷时，可以将导体面上感 应电荷分布等效地看作一个或 几个点电荷来给出尝试解。
3. 镜象法概念、适用情况
镜象法：
用假想点电荷来等效地 代替导体边界面上的面 电荷分布，然后用空间 点电荷和等效点电荷迭 加给出空间电势分布。
O
x
-Q（a, -b, 0）
（-a, -b, 0） Q
（2）电势分布 Q 1 1 [ 4 0 ( x a) 2 ( y b) 2 z 2 ( x a ) 2 ( y b) 2 z 2
x 0 ] 2 2 2 2 2 2 y 0 ( x a ) ( y b) z ( x a ) ( y b) z （3）若两平面夹角 S2 2 Q 放在 0 ( ) 处 Q 1 1
电动力学 第2章 2-4
q ⎡1 1 1 1⎤ ϕ= − + ⎥ ⎢ − 4πε 0 ⎣ R R1 R2 R3 ⎦
3、线电荷对无限大导体平面的镜像
位于无限大接地导体平面附近的无限长直线电荷问题也可由镜像 法求解。设线电荷距导体平面为h，单位长度带电荷ρl ，则其像 电荷仍是无限长线电荷，其中像电荷的线密度为 ρl ’=- ρl ，像 电荷的位置为z’=-h 在z>0的上电Q，则还需要在球心放置一个点电荷Q。
3、球内点电荷的镜像
在半径为a的接地导体球壳内，有一点电荷q，它与球心相距为d (d<a),如图所示。求球内的电位分布和球面上总感应电荷。 解：与点电荷位于导体球外的情况做类似的 处理。这里像电荷q’应位于导体球壳 外 且在球心与点电荷q的连线的延长线上， 如图所示。设像电荷距球心为d，同样 有 球壳内任一点的电位则为
§2.4
镜像法(电象法)
在许多静电场问题中，电荷位于导体表面附近、或位于电介质 分界面附近。对这类问题，直接求解泊松方程（或拉普拉斯方 程）会遇到很大困难，这时可采用镜像法间接求解。 镜像法是一种间接求解方法，它是在所求解的场区域以外的空 间中某些适当的位置上设置适当的等效电荷（称为像电荷）， 在保持场域边界面上所给定的边界条件下，用像电荷替代导体 面上或介质面上的复杂电荷分布，把求解边值问题转换为求解 无界空间的问题。 根据唯一性定理，只要由源电荷与像电荷共同产生的位函数既 满足场域内的泊松方程（或拉普拉斯方程），又满足边界上所 给定的边界条件，则这个位函数就是唯一正确的解。
在介质分界面z＝0处，电位满足边界条件
总
结：
（１）点电荷对导体平面的镜象 一个点电荷Q，若距无限大的电位为零的导体平面为d， 则其镜象电荷为在平面另一侧，距平面为d处的点电荷-Q。 （２）点电荷对导体球的镜象 一个点电荷Q，若离半径为a的接地导体球球心为d，则其 镜象电荷Q’位于球心及Q所在点的联线上，距球心为b， a 并且 a2 Q Q ' = − b= d d （３）点电荷对电介质平面的镜像 其中：q’位于点电荷的异侧， q’’位于点电荷的同侧。
3、线电荷对无限大导体平面的镜像
位于无限大接地导体平面附近的无限长直线电荷问题也可由镜像 法求解。设线电荷距导体平面为h，单位长度带电荷ρl ，则其像 电荷仍是无限长线电荷，其中像电荷的线密度为 ρl ’=- ρl ，像 电荷的位置为z’=-h 在z>0的上电Q，则还需要在球心放置一个点电荷Q。
3、球内点电荷的镜像
在半径为a的接地导体球壳内，有一点电荷q，它与球心相距为d (d<a),如图所示。求球内的电位分布和球面上总感应电荷。 解：与点电荷位于导体球外的情况做类似的 处理。这里像电荷q’应位于导体球壳 外 且在球心与点电荷q的连线的延长线上， 如图所示。设像电荷距球心为d，同样 有 球壳内任一点的电位则为
§2.4
镜像法(电象法)
在许多静电场问题中，电荷位于导体表面附近、或位于电介质 分界面附近。对这类问题，直接求解泊松方程（或拉普拉斯方 程）会遇到很大困难，这时可采用镜像法间接求解。 镜像法是一种间接求解方法，它是在所求解的场区域以外的空 间中某些适当的位置上设置适当的等效电荷（称为像电荷）， 在保持场域边界面上所给定的边界条件下，用像电荷替代导体 面上或介质面上的复杂电荷分布，把求解边值问题转换为求解 无界空间的问题。 根据唯一性定理，只要由源电荷与像电荷共同产生的位函数既 满足场域内的泊松方程（或拉普拉斯方程），又满足边界上所 给定的边界条件，则这个位函数就是唯一正确的解。
在介质分界面z＝0处，电位满足边界条件
总
结：
（１）点电荷对导体平面的镜象 一个点电荷Q，若距无限大的电位为零的导体平面为d， 则其镜象电荷为在平面另一侧，距平面为d处的点电荷-Q。 （２）点电荷对导体球的镜象 一个点电荷Q，若离半径为a的接地导体球球心为d，则其 镜象电荷Q’位于球心及Q所在点的联线上，距球心为b， a 并且 a2 Q Q ' = − b= d d （３）点电荷对电介质平面的镜像 其中：q’位于点电荷的异侧， q’’位于点电荷的同侧。
电动力学 第2章 2-6
v 当电荷分布区域的线度远小于R时，可以把 x′ 各分量
r r f (x − x')
看 作小参量。设 2 则在 3 3 1 ∂ ∂ r r r r r f ( x − x ' ) = f ( x ) − ∑ xi ' f ( x ) + ∑ xi ' x j ' f (x) + L 附近的泰勒展开式为 i =1 ∂x 2! i , j =1 ∂x ∂x
1 ∇ =0 R
2
由于
，此时φ(2)形式不变，仍为
2 i, j ij
1 1 ∂ 1 ϕ = ∑D ∂x ∂x R 4πε 6
(2) 0 i j
但是电四极矩满足 D11 + D22 + D33 = 0 ，对 只有5个独立分量。以后我们也将沿用此定义形式。 可以验证：球对称电荷分布没有电四极矩；反过来， 电荷分布偏离球对称性，电四极矩不为零。 因此电四极矩反映了电荷分布是否具有球对称性。
二、 电多极矩的概念
下面讨论展开式中各项的物理意义： （1） ϕ
(0)
=
Q 4πε 0 R
代表原点处点电荷Q激发的电势，即整个体系在远 点产生的势相当于把整个体系的电荷都集中于原点 处的贡献。
(1) ϕ （2）
v v v 1 1 P⋅R =− P ⋅∇ = 4πε 0 R 4πε 0 R 3
代表放于原点处的电偶极矩P在远处产生的电势，即 体系产生的电偶极矩P放在原点处时产生的势。
l 0
当l为偶数 当l为奇数
同理可以得到
§2.6 矩 一、电势的多极展开
v ϕ (x) =
电 多 极
v
' ρ ( x ) 真空中给定电荷分布
电动力学第2章郭硕鸿版ppt
第二章静电场本章我们把电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况本章研究的主要问题是：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场本章内容：1.静电场的标势及其微分方程2. 唯一性定理3. 分离变量法4. 镜像法5. 格林函数法6. 电多级矩⎩⎨⎧=⋅∇=×∇ρD E 0麦克斯韦方程组的电场部分为：（1.1）（1.2）这两个方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础●静电场的无旋性是它的一个重要特性●由于无旋性，电场强度E 可以用一个标量场的梯度来表示，和力学中用势函数描述保守力场的方法一样讨论：(a) 只有两点的电势差才有物理意义(b) 在实际计算中，常常选取某个点为参考点，规定其上的电势为零，这样全空间的电势就完全确定了(d) 一个具体问题中只能选一个零势点∫∞⋅=PP l E d )(ϕ(c) 零势点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选取无穷远的电势为零0)(=∞ϕ（2）给定电荷分布所激发的电势根据电势和电场强度的关系:●当已知电场强度时,可以由积分公式求出电势●已知电势时，通过求梯度就可以求出电场强度由以上讨论可知:①若空间中所有电荷分布都给定，则电场强度和电势均可求出②但实际情况往往并不是所有电荷都能预先给定，因此，必须找出电荷与电场相互作用的微分方程P 2，由于电场强度时，将电荷从P 1 移到P 2，电场σ−§2.2 唯一性定理一、静电问题的唯一性定理下面研究可以均匀分区的区域V :iV iε电容率2314L)(x ρ自由电荷分布2 1342 134二、有导体存在时的唯一性定理当有导体存在时，为了确定电场，所需条件有两种类型：①一类是给定每个导体上的电势ϕi②另一类是给定每个导体上的总电荷Qi给定时，即给出了V’所有值，因而由唯一性定理可设区域V 内有一些导体，给定导体之外的电荷分布，给定各导体上的总电荷Q i 以及V 的边界S 上的ϕ或∂ϕ/∂n 值，则V 内的电场唯一地确定.对于第二种类型的问题，唯一性定理表述如下：)∫′∇+V V V d d 2ϕϕ例：两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为ε1，右半部电容率为ε2，设内球壳带总电荷Q ，外球壳接地，求电场和球壳上的电荷分布.解：设两介质内的电势、电场强度和电位移矢量分别为由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解，，，，，，222111D E D E ϕϕ§2.3 拉普拉斯方程分离变量法静电学的基本问题是求满足给定边界条件的泊松方程只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法一、拉普拉斯方程在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的例如：①电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的②电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的这些问题的特点是：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布二、分离变量法①将场量的函数表达式中不同坐标相互分离，即将场量分解为单一坐标函数的乘积的形式，求出通解不同坐标系中拉普拉斯方程的通解不同分离变量法就是:②然后再根据给定的边界条件求出实际问题的解)()()(y x y x,υψu =。
电动力学课件.
0
电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如 均匀场中，E E0ez , E0 R cos
导体的边界面上
|s 常数
n s Q dS
S
n
（2）边值关系：介质分界面上
1 S 2
S
1 2 1 2 n S n
bd Q 4 0
（ 4）
联立（2）、（3）和（4）得
Q Q1 Q1 Q1 b , c , d 4 0 4 0 R1 4 0
1 QR3 其中 Q1 1 1 R2 R11 R3
（ 5）
所以
Q Q1 Q1 1 1 1 , 2 4 0 R 4 0 R R1
R 0, 2 有限，可以得到
a1 E0 , an 0 n 1 , dn 0
由边值关系： 1 R R 2 R R 0 0 介质球面上
1 2 0 R R R0 R
R R0
可以解出： b 0 E R 3 , b 0 n 1 1 0 0 n 2 0
导体球上的感应电荷为
2 0 dS Q1 R R1 R
例2. 电容率为的介质球置于均匀外电场E0中，求电 势. E0 解：讨论区域：球外 （I）和球内（II）. R0 选择球坐标系，原点 在球心，z轴沿E0方向。 考虑电荷分布在无限 区域，选择坐标原点 为电势零点。
II I
但注意，边值关系还要用 S 而不能用 S
二、拉普拉斯方程在球坐标系中解的形式
1. 一般情况
bnm ( R, , ) (anm R n 1 ) Pnm (cos ) cos m R nm d nm n (cnm R n 1 ) Pnm (cos ) sin m R nm
电动力学课件 第2章 静电场
●等势面：电势处处相等的曲面
E 与等势面垂直。
均匀场电场线与等势面
+
电偶极子的电场线与等势面
点电荷电场 线与等势面
z 参考点 （1）电荷分布在有限区域， 通常选无穷远为电势 参考点 φ∞ = 0
ϕP =
∫
∞
P
E ⋅ dl
P点电势为将单位正 电荷从P移到∞电场 力所做的功。
（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考 点，否则积分将无穷大。
R02 τ τ R = ln 2 = − ln 4πε 0 R 2πε 0 R0
若选P0点为参考点，规定（ ϕ R 0）=0，则
τ R ϕ （R） =− ln 2πε 0 R0
4．带电Q的导体球（半径为a）产生的电势。 电荷分布在有限区，参 考点选在无穷远。根据 对称性，导体产生的场 具有球对称性，电势也 应具有球对称性。当考 虑较远处场时，导体球 可视为点电荷。
3、电荷分布在有限区几种情况的电势
（1）点电荷
∞ Qdr ′ Qr ′ Q ϕ ( P) = ∫ ⋅ dl = ∫ = 3 2 P 4πε r ′ P 4πε r ′ 4πε 0 r 0 0 ∞
（2）电荷组
ϕ (P ) =
∑
n
Q 4 πε
i 0
i =1
ri
（3）无限大均匀线性介质中点电荷
ϕ =
Q 4 πε r
∫
∫
三．静电场的能量 1. 一般方程： 能量密度
仅讨论均匀介质
1 w = E⋅D 2
1 总能量 W = ∫ E ⋅ D dV 2 ∞ 2. 若已知 ρ , ϕ 总能量为 1 W = ρϕ dV 2 V
∫
1 ρϕ 不是能量密度 2
电动力学-清华大学讲义(王青)
思考题:
i. 迭加原理对麦克斯韦方程组起什么影响? ii. 积分形式与微分形式的麦克斯韦方程组,哪个更普遍,为什么?
4. 介质中电磁相互作用的场方程. (书第一章第4节) 物质的电磁性质,极化电荷与磁化电流,物质中的电磁场方程与电磁性质方程 作业:书1.7, 1.8, 1.9, 1.11 思考题:介质中的麦克斯韦方程组中哪些方程依赖于物质的具体电磁性质,哪些不依赖, 为什么?
{Jii1···in
[
∂
xi1
∂n ···
∂
xin
Bi
(r)]
−
Jiii1···in [ ∂xi1
∂n ···
∂
xin
B
(r)]
L0 = m × B
第三章
电磁波的传播
1. 理想绝缘介质中的波动方程及平面电磁波解. (书第四章第1节) 波动方程,平面波解 作业:
(a) 书4.4
(b) 试证,对ρ = 0, j = 0 的麦克斯韦方程组,四个方程中只有两个是独立的.
ii. 问:这时高斯定理 E · dS = Q/ 0是否还成立?
(d)
假定实验上发现比萨定律对平方反比有一微小偏离δ,
d2F21
=
k2J2dl2×来自( ) J1dl1×R
R3+δ
i. 求证,关系B = ∇ × A仍成立,并请对给定的电流密度分布, 给出A的计算公式.
ii. 问:这时安培环路定理 B · dl = µ0J是否还成立?
2. 电磁相互作用的场与真空中的基本实验定律. (书第一章1,2,3节) 电荷守恒定律,叠加原理,库仑定律,比萨定律,场,法拉第电磁感应定律 作业: 书1.5,1.10
3. 真空中电磁相互作用的场方程. (书第一章第3节) 麦克斯韦方程组的积分形式与微分形式 作业:
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其另一部分规 律则由高斯定理的微分形式来决定：
D D E
得到
2 /
泊松方程，静电势满足的偏微分方程；区域内无电 荷，泊松方程变成拉普拉斯方程；解静电场问题变 成求解静电势的偏微分方程问题
介质不均匀，化成分区均匀的小区域，静电势都满 足泊松方程，在分界面上应满足边值关系。
2 0
n (D2 D1)
得到用电势表示的边值关系
2
(
n
)2
1(
n
)1
2 1
n由介质1指向介质2
特别注意：导体构成静电场的边界条件为
|边界 0
n
|边界
e
Q dS n
9
静电边值问题
由泊松方程、边值关系、边界条件构成静电边值问题
2 /
|
j
(
n
)
j
i
(
n
)i
S ji
ji
j
i ji分界面
|边界面S
静电场之所以能够用电荷分布来表示电场能量，在于电荷决定电场，同时场 区内没有独立的运动，场的能量仅有电荷分布来决定。
6
例题1、求均匀电场的电势，见教材P.55
注意参考电势的选取
例题2、均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为，求电势
(r') (r) E(r)
场点P、距导线的距离为R， 电荷元dz到场点的距离为
概念：
标势（电势）、势的叠加原理 泊松方程和边值关系 静电场的能量 唯一性定理 拉普拉斯方程 分离变量法 镜像法 静电问题的格林函数方法 *电多极矩
2
静电场的标势——电势
电势的定义、叠加性、电势参考点
首先在静电情况下，电场不随时间变化，也无电流分布产生，由麦克斯韦方程组可
知，电 场仅是静电荷产生的场。此时，描述电磁场的方程组仅为
电势参考点，其上的电势为零，从而整个空间的电势被单值地确定或描述。参 考点的选择是任意的，对有限区域内电荷分布的场，常选取无限远为参考点。 在直流电路、数字电路实验中，常取大地（接地）为参考点
可以令
() 0
(P ) P E dl
用电场强度和静电势来描述静电场是等效的。静电势是标量函数，对求解静电 场问题更加方便。
(r')
(r )
E(r)
5
静电场的能量
静电场的总能量、静电能的两种表示方法
线性介质中静电场情况下，没有磁场，电磁场的总能量为
W 1 E DdV 1 H BdV
2
2
W
1
2
V
dV
1 2
V
(D)dV
E D D (D) D (D)
V (D)dV D dS
(P2) (P1)
P2 P1
E dl
电势差有物理意义
写成微分的形式
d E dl
3
再改写成全微分的形式 电场强度E是电势的负梯度
d dx dy dz dl
x y z
E
注：由于静电场是无旋场，也叫保守场，同时梯度的旋度恒等于零， 因此实际上可以直接将电场用标量场的梯度来表示。
E 0
D D E
P2 (P2 )
这三个关系式是解决静电问题的基础
静电场的无旋性
E dl 0
E dl E dl
C1
C2
电荷从P1点移到P2点，电场对它做的功与路 径无关，仅与两端点有关。功的大小为
C1 dl
P1
(P1)
C2 E
P2 E dl P1
称为两点之间的电势差
电场对电荷作正功，电荷的电势下降
电动力学
北京大学信息科学技术学院 区域光纤通信网与新型光通信系统国家重点实验室
李正斌
理科楼2424＃ Tel：62754815 Email：lizhengbin@
2010年9~10月
第二章 静电场
问题：在给定自由电荷分布以及周围空间的介质状况、导体分布状况的前 提下，如何用麦克斯韦方程组或前述的电磁理论来描述静电场
z2 R2
z dz
(P)
40
dz
z2
R2
ln(z
z2 R2 )
R
40
电荷沿无线长导线分布，不是有限区域。 可以考虑场内任意两点的电势差
(P)
(P0 )
lim
M
4
0
ln(
z z
M
z2 R2 )
z 2 R02 M
lim
1 ln(
1 (R / M )2 1
1 (R0 / M )2 )
0
称为第一类静电边值问题，Dirichlet边界条件，Dirichlet问题。
三类边值问题，方程和边值关系都相同，边界条件不同
第一类边界条件——给定边界上的电势值
| 边界面S
0
第二类边界条件——给定边界上的电势的法向微商即电场值
n
|边界面S
E n0
又叫Neuman边界条件，Neuman问题
M
R 0
M
P
R0 P0
例题3、求半径为a 、带电量Q的导电球的静电场总能量，见教材P.56
思考： 利用叠加原理求电偶极子在远处产生的电势和偶极子轴线上的电场
8
静电势的微分方程和边值关系
泊松方程、拉普拉斯方程；静电边值问题；静电场的能量密度
静电场用静电势——标量函数的梯度描述的仅是它的一部分规律或者特征，
S
~ 1/ r, D ~ 1/ r2 , dS ~ r2
r
1 r2
r
dr 0
W
1 2
dV
被积函数并不表示电荷体系的能量密度，因为能量分布在电场内，不仅仅在电荷 分布的区域内，因此该式表达的应是静电场的总能量大小
当全空间为均匀介质时，由连续分布电荷分布产生的场的总能量为
W
1 8
dV
(r)(r') dV ' r r'
M 4 0
1 1 (R0 / M )2 1 1 (R / M )2
R2
ln 0
ln R
4 R 2
2 R
0
0
0
M
R 0
M
P
P R0
P0
7
选P0为电势参考点，即 该电势的梯度为
(P0 ) R0 0
(P ) R ln R
2 R
0
0
ER
R
R
20 R
E Ez 0
还可以用高斯定理得出结果
标势表达式：真空中r’处的电荷Q。在空间r处激发的电场强度为
E(r)
Q(r r')
4
0
r
r'
3
Q
4 0
1 r r的电势
(r )
Q
1
4 0 r r '
由电场的叠加性，可以推出电势也具有叠加性。注意：电场的叠加是矢量叠加，而 电势的叠加是标量叠加。这正是引入电势概念最大的好处。
点电荷系、电荷连续分布的电势表示式
(r)
Qi 1 (r' )dV ' 1
i 4 0 r ri ' V ' 4 0 r ri '
即用标势表示的库仑定律的普遍表达式，与矢量的表示形式包含的物理意义是等 价的，但是更加简便。
静电学的核心问题：给定电荷空间分布，由库仑定律确定空
间任意一点的电势。