画法几何与工程制图7线面与立体相交

2.7 平面、直线与立体相交2.7.1 平面与平面立体相交2.7.2 直线与平面立体相交2.7.3 平面与曲面立体相交2.7.4 直线与曲面立体相交2.7.1 平面与平面立体相交如图所示：平面P称为截平面；棱线与截平面的交点称为截交点；截平面与三棱柱表面的交线称为截交线；截交线围成的平面图形，称为断面。

图2.159 平面与平面立体相交的概念1.平面与棱柱相交图2.160 作正三棱柱的截交线及断面真形(a)已知条件(b)作图过程和作图结果如图2.160a 所示，棱线为侧垂线的正三棱柱被正垂面P 截去左端，作截交线和完成截断体的水平投影，并求作断面的真形。

［解］如图2.161a 所示，求作一般位置的平行四边形ABCD 与正四棱柱的截交线。

图2.161 作一般位置平面与正四棱柱的截交线［解］(b)作图过程和作图结果(a)已知条件(a)已知条件如图2.162a 所示，求作斜三棱柱AA 1BB 1CC 1的法断面(也就是垂直于棱线的截平面所截得的断面)的水平投影和正面投影，并作出法断面的真形。

图2.162 作斜三棱柱的法断面的两面投影及其真形［解］(b)作图过程和作图结果①将斜三棱柱的棱线变换为V 1面平行线②在H 、V 1新投影面体系中作出法断面的投影③在H 、V 原投影面体系中作出法断面的投影④作法断面的真形2.平面与棱锥、棱台相交图2.163 作三棱锥的侧面投影和截交线的投影及断面真形如图2.163a 所示，求作三棱锥SABC 的侧面投影，以及被正垂面P 截得的截交线的三面投影，并作出断面的真形。

(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①作三棱锥的侧面投影②作截交线的三面投影③作断面的真形如图2.164a 所示，正三棱锥被一个正垂面和一个水平面切割成一个具有切口的三棱锥，补全这个具有切口的三棱锥的水平投影，并作出它的侧面投影。

图2.164 补全正三棱锥的水平投影，并作出它的侧面投影(b)切口和截交线的分析(a)已知条件(c)作图过程和作图结果［解］①作三棱锥的侧面投影②作截交线的三面投影如图2.165a 所示，补全具有正四棱柱孔的正四棱台被正垂面切割后的截断体的水平投影，作出它的侧面投影，并作断面的真形。

图2.165 补全水平投影，作出侧面投影和断面真形(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①作出尚未切割时的具有正四棱柱孔的正四棱台的侧面投影②补全截断体的水平投影和侧面投影③作断面的真形直线与平面立体相交，当直线或平面立体表面的投影有积聚性时，利用投影的积聚性可以很方便地作出贯穿点。

如图2.166a 所示，求作直线AB 与正四棱柱的贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。

2.7.2 直线与平面立体相交图2.166 作AB 与正四棱柱的贯穿点，表明可见性1.直线或平面立体表面的投影有积聚性时相交(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①由水平投影的积聚性作贯穿点1②由正面投影的积聚性作贯穿点2③判别可见性，将可见部分画成粗实线如图2.167a 所示，求作直线AB 与正四棱锥的侧面投影，作出贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。

图2.167 作AB 与正四棱锥的贯穿点，表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①作直线AB 和正四棱锥的侧面投影②作贯穿点的投影③表明直线AB 的投影及其可见性2.直线和平面立体表面的投影都无积聚性时相交图2.168 作AB 与三棱锥的贯穿点，表明可见性如图2.168a 所示，求作直线AB 与三棱锥的贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。

［解］方法一:方法二:(a)已知条件(b)方法一（c ）方法二2.7.3 平面与曲面立体相交截平面与曲面立体表面相交所形成的截交线，可能是一条封闭的平面曲线，也可能是由曲线和直线围成的平面图形，在特殊情况下还可能是多边形。

截交线的形状与曲面立体的几何性质及其与截平面的相对位置有关。

曲面立体的截交线是截平面和曲面立体表面的共有线，截交线上的点也都是截平面和曲面立体表面的共有点，当截交线是曲线时，通常都是先作出这些共有点，然后连成截交线。

当截交线是曲线时，截交线上有一些能控制截交线的形状和范围的点，包括曲面投影转向轮廓线上的点；极限位置点，即最左、最右、最前、最后、最高、最低的点；对称的截交线在对称轴上的顶点；以及截交线的曲线段的端点等，称为特殊点。

其它的点则称为一般点或中间点。

1.平面与圆柱相交表2.7 圆柱面上的截交线如图2.169a 所示，求作圆柱被正垂面P 截切的截交线，并作出断面真形。

图2.169 作圆柱的截交线，并求断面真形(a)已知条件［解］①作截交线椭圆的特殊点。

②作截交线上的一般点。

(b)作图过程和作图结果③判别可见性，顺次连接各点成截交线的侧面投影。

④作断面真形。

如图2.170a 所示，求作一般位置的平行四边形PQRT 截切圆柱所得的截交线的正面投影，并表明可见性。

图2.170 作一般位置的平行四边形与圆柱的截交线(a)已知条件［解］①作截交线椭圆上的特殊点和一般点。

②将已作出的截交点连成截交线，并表明截交线的可见性。

(b)作图过程和作图结果如图2.171a 所示，求作轴线为侧垂线的圆柱被两个水平面和一个正垂面截切后，取去了上面被切割部分的截余体的水平投影和侧面的投影。

图2.171 作圆柱被切割后的水平投影和侧面投影(a)已知条件［解］①作中间的正垂截平面与圆柱面的截交线。

②作两端的水平截平面与圆柱面的截交线。

(b)作图过程和作图结果③完成截余体的水平投影和侧面投影。

2.平面与圆锥相交表2.8 圆锥面上的截交线正垂面P 与圆锥的截交线的水平投影，截断体的侧面投影，并作出断面的真形。

图2.172 作圆锥的截交线和截断体的侧面投影，断面真形［解］①用双点画线画出圆锥未截切时的侧面投影。

②作截交线椭圆的水平投影和侧面投影。

③完成截断体的侧面投影。

④作断面真形。

(a)已知条件(b)作图过程和作图结果由两个铅垂面和一个侧平面截切掉圆锥前面一部分后的截余体的正面投影和侧面投影。

图2.173 作圆锥的截余体的水平投影和侧面投影［解］①在水平投影中标绘出诸截交线和相邻断面的交线的投影符号。

②作截交线和相邻断面的交线的正面投影和侧面投影。

③完成截余体的正面投影和侧面投影(a)已知条件(b)作图过程和作图结果783.平面与球相交图2.174 作铅垂面P 与球的截交线和截断体的正面投影如图2.174a 所示，求作铅垂面P 与球的截交线和截断体的正面投影。

［解］②完成截断体的正面投影。

(a)已知条件(b)作图过程和作图结果①作截交线的正面投影。

Wang chenggang 第2章画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2017/1/721如图2.175a 所示，半球被左右对称的两个侧平面和一个水平面在顶部截切成一个前后贯通的槽，补全这个带槽的半球的水平投影和侧面投影。

图2.175 补全带槽半球的水平投影和侧面投影［解］①作水平截面的投影。

②作侧平截面的投影。

③整理、补充，完成作图。

(a)已知条件(b)作图过程和作图结果4.平面与其它曲面立体相交示例图2.176 作铅垂面与斜椭圆柱的截交线如图2.176a 所示，求作铅垂面P 与斜椭圆柱的截交线。

［解］②用在柱面上作点的方法作出截交线上的一些一般点。

(a)已知条件(b)作图过程和作图结果①用较方便的作图方法作出截交线上的一部分特殊点。

(1)平面与斜椭圆柱相交③连成截交线椭圆的正面投影，并表明可见性。

(2)平面与斜圆锥相交图2.177 作正垂面与斜圆锥的截交线如图2.177a 所示，求作正垂面P 与斜圆锥的截交线。

［解］②作截交线上的一般点。

①作截交线上的特殊点。

③连成截交线椭圆的水平投影，并表明可见性。

(a)已知条件(b)作图过程和作图结果(3)平面与具有内环面表面的回转体相交图2.178 作截交线，并求断面真形如图2.178a 所示，求作正垂面P与具有内环面表面的回转体的截交线，作出截断体的水平投影，并求断面真形。

［解］②完成截断体的水平投影。

①作截交线的水平投影。

③作断面真形。

(a)已知条件(b)作图过程和作图结果2.7.4 直线与曲面立体相交1.直线或曲面立体表面的投影有积聚性时相交如图2.179a 所示，求作直线AB 与轴线垂直于侧面的圆柱的贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。

［解］②表明直线的投影及其可见性。

①作贯穿点。

图2.179 作AB 与圆柱的贯穿点，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果如图2.180a 所示，求作直线AB 与圆锥的贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。

图2.180 作AB 与圆锥的贯穿点，并表明可见性［解］(1)作贯穿点。

①用纬圆法解题(2)表明直线的投影及其可见性(a)已知条件(b)用纬圆法解题②用素线法解题(c)用素线法解题2.直线和曲面立体表面的投影都无积聚性时相交(1)过直线作特殊位置辅助截平面，能与曲面立体截切到直线或平行于投影面的圆时，求作贯穿点如图2.181a所示，求作正平线AB与球的贯穿点，并表明直线AB的投影及其可见性。

［解］①过AB作正平面P为辅助截平面。

②作出了贯穿点的投影。

③表明可见性。

(a)已知条件(b)作图过程和作图结果图2.181 作AB与球的贯穿点，并表明可见性(2)用投影变换求作贯穿点图2.182 作直线与球的贯穿点，并表明可见性如图2.182a 所示，求作一般位置直线AB 与球的贯穿点，并表明直线AB的投影及其可见性。

［解］②作贯穿点。

①过AB 作铅垂的辅助截平面P ，将它变换成V 1面平行面，在H 、V 1新投影面体系中求作截交线。

③表明直线AB 的投影及其可见性。

(a)已知条件(b)作图过程和作图结果(3)用一般位置的辅助截平面求作贯穿点图2.183 作一般位置直线与斜圆柱的贯穿点，并表明可见性如图2.183a 所示，求作一般位置直线AB 与斜圆柱的贯穿点，并表明直线AB 的投影及其可见性。

［解］②作贯穿点C 、D 的两面投影。

①向两侧延长底面的正面投影，作为OX 轴。

③表明直线AB 的投影及其可见性。

(a)已知条件(b)解题分析(c)作图过程和结果如图2.184a 所示，求作一般位置直线与圆锥的贯穿点，并表明直线AB的投影及其可见性。

图2.184 作一般位置直线与圆锥的贯穿点，并表明可见性［解］①向两侧延长底面的正面投影，作为OX 轴。

(a)已知条件②作贯穿点C 、D 的两面投影。

(b)解题分析(c)作图过程和结果③表明了直线AB 的投影及其可见性。

本节学习结束！。