2019-2020学年人教必第二高一物理新教材讲学05 圆周运动中的动力学(精讲原卷版)

专题05 圆周运动中的动力学
知识精讲
一知识结构图
二学法指导
1能通过分析物体的运动，确定轨迹所在平面、圆心位置、轨迹半径。

2. 会按照给定外力、重力、弹力、摩擦力的顺序正确进行受力分析，确定向心力来源
3.能利用向心力、向心加速度通过牛顿第二定律列出动力学方程.
4.能结合条件列出胡克定律。

摩擦力公式等辅助方程。

三.知识点贯通
知识点1 匀速圆周运动中动力学问题的一般方法
１.画出运动轨迹示意图，确定圆心位置，由图中几何关系确定物体做圆周运动的轨迹半径
２.在匀速圆周运动中，合外力提供向心力，二个力作用下的匀速圆周运动，可用合成法求解；二个以上的力作用下的匀速圆周运动，可用正交分解法：一般可沿半径与垂直于半径方向建立平面直角坐标系；也可沿其它两个相互垂直的方向建立坐标系，以尽量不分解待求量、尽量少分解物理量为原则。

３.有弹簧时涉及胡克定律的应用；接触面不光滑时涉及到摩擦力，需区分静摩擦力与滑动摩擦力及最大静摩擦力之临界值。

４.水平面内匀速圆周运动的几种典型组成元素情景(如图1所示)
(I)图乙中包括套在水平杆上的球,将甲乙情景相结合的情景最常见 (II)丙图中还有由两根绳控制的圆锥摆情形
(III)丁图中所示是接触面光滑或是一种无摩擦的临界状态 丁图中包括汽车(或火车)转弯、物体在球形槽内的匀速圆周运动等 (IV)己图中也有用平行于锥面的绳约束物体的情形.
例题1．质量为m 的无人机以恒定速率v 在空中某一水平面内盘旋，其做匀速圆周运动的半径为R ，重力加速度为g ，则空气对无人机的作用力大小为
A ．2mv R
B ．mg
C ．
D ．例题２．劲度系数为k=100N/m 的一根轻质弹簧,原长为10cm ,一端栓一质量为0．6kg 的小球,以弹簧的另一端为圆心,使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动,其角速度为10rad/s ,那么小球运动时受到的向心力大小为( )
A ．15N
B ．10N
C ．6N
D ．以上答案都不
知识点二 圆周运动的动态问题分析
１.圆周运动的动态问题是指物体在圆周运动中运动状态发生变化时如角速度的渐变、线速度的渐变、半径的突变等情况下某些力变化情况的分析之类的问题
２.通过受力分析、力的合成与分解，建立平衡方程、牛顿第二定律方程及必需的辅助方程，从方程上分析动态变化过程中外力的变化情况
例题３：如图所示，将完全相同的两小球A 、B 用长L ＝0.8 m 的细绳悬于以速度v ＝4 m/s 向右匀速运动的
小车顶部，两球与小车的前、后壁接触，由于某种原因，小车突然停止，则此时悬线的拉力之比F A：F B为( )．(g取10 m/s2)
A.1：1
B.1:3
C.3:1
D.2:3
例题４：质量为m的木块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使得木块速率不变，则（）
A．因为速率不变，所以木块的加速度为零
B．因为速率不变，所以木块的加速度不变
C．因为速率不变，所以木块下滑过程中的摩擦力不变
D．木块下滑过程中的加速度大小不变，方向时刻指向球心
知识点三圆周运动中的连接体问题
１.由两个或两个以上的物体构成的系统中，有部分物体或全部物体处于圆周运动的状态中，各部分物体运动的轨迹半径、线速度等可相同可不同，这类问题称之为圆周运动中的连接体。

２.解决连接体问题的基本思路是整体与隔离，关键在于研究对象的选取：在已知量与待求量中不涉及系统内部相互作用时，可采用整体法，否则需隔离；系统内物体加速度不同时，整体所受合力等于系统内各物体质量与加速度乘积的矢量和。

例题５.在长为Ｌ的轻杆中点和末端各固定一个质量均为m的小球，杆可在竖直面内转动，如图所示，将杆拉至某位置释放，当其末端刚好摆到最低点时，下半段受力恰好等于球重的2倍，则杆上半段受到的拉力大小（ D ）
例题４图
A.
mg 21 B. mg 23 C. 2mg D. mg 2
7 例题６ 如图所示，一根细线下端栓一个金属小球P ，细线的上端固定在金属块Q 上，Q 放在带小孔的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）。

现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图上未画出），两次金属块Q 都保持在桌面上静止。

则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
A ．Q 受到桌面的支持力变大
B ．Q 受到桌面的静摩擦力变大
C ．小球P 运动的角速度变大
D ．小球P 运动的周期变大
知识点四 变速圆周运动问题
１.圆周运动中的速度
在向心加速度的表达式R
v a 2
中,v 是物体相对圆心的瞬时速度,在圆心静止时才等于物体的对地速度
２.变速圆周运动中的向心力
在变速圆周运动中,向心力不是物体所受合外力,是物体在半径方向上的合力. ３.竖直平面内圆周运动的类型
竖直平面内的圆周运动分为匀速圆周运动和变速圆周运动两种．
常见的竖直平面内的圆周运动是物体在轨道弹力（或绳、杆的弹力）与重力共同作用下运动，多数情况下弹力（特别是绳的拉力或轨道的弹力）方向与运动方向垂直对物体不改变物体速率，而重力与物体速度方向的夹角不断变化从而使物体的速率不断变化，因而物体做变速圆周运动．若物体运动过程中，还受其他力与重力平衡，则物体可做匀速圆周运动．
４.变速圆周运动中的正交分解
应用牛顿运动定律解答圆周运动问题时，常采用正交分解法.
以物体所在的位置为坐标原点，建立相互垂直的两个坐标轴：一个沿半径（法线）方向，此方向上的
合力即向心力改变物体速度的方向；另一个沿切线方向，此方向的合力改变物体速度的大小．
５.处理竖直平面内圆周运动的方法
在物体从一点运动至另点的过程中速度之间的联系由能量观点（动能定理、机械能守恒定律）列方程,在物体经过圆周上某一点时速度与外力之间的联系由牛顿运动定律列方程,两类方程相结合是解决此类问题的有效方法．
例7.如图所示，质量为m 的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径.某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R 的匀速圆周运动,已知重力加速度为g,空气阻力不计,要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力,则
A.该盒子做匀速圆周运动的周期一定小于R 2
g π
B.该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于R 2g
π
C.盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能小于2mg
D.盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能小于2mg
例8.一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。

如图（a ）所示，曲线上A 点的曲率圆定义为：通过A 点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A 点的曲率圆，其半径叫做A 点的曲率半径。

现将一物体沿与水平面成角的方向以速度v 0抛出，如图（b ）所示。

则在其轨迹最高点P 处得曲率半径是
ρα
A ．
B ．
C ．
D ．
知识点五 圆周运动中的临界与极值问题
１.绳形成的临界状态有两种:张力最小时(等于零)的即将松弛状态Ｔ＝0与张力最大T=T max 时即将断裂的状态.
２.接触面形成的临界状态也有两种:一是即将分离时的弹力为零状态N=0;二是即将发生相对滑动时的摩擦力达到最大静摩擦力的状态f=f max 或是静摩擦力方向即将改变即恰好为零的状态f=0. 3.杆形成的临界：杆的推力与拉力转变形成的临界状态：杆的弹力恰好为零。

４.竖直平面内的圆周运动的临界与极值 (I)轻绳模型
如图1所示,此模型包括沿圆形轨道内侧运动的小球,其共同特征是在最高点时均无支撑.
○
a 小球能通过最高点的条件，如图2所示,在最高点A: R
mv mg T A
2
1=+、01≥T g
v 20g v α220sin g
v α220cos α
αsin cos 220g v
即gR v A ≥
○
b 小球能过最高点A 的临界条件01=T 、gR v A =
○
c 小球能做完整圆周运动时在最低点B 满足的条件gR v B 5≥
○
d 小球不脱离轨道在最低点B 满足的条件gR v B 5≥或gR v B 2≤
○
e 小球沿圆周运动过程中绳中张力变化情况 在最低点绳中张力最大,在最高点时绳中张力最小,此两点处绳中张力大小差值恒定,即mg T T 612=-.小球从圆周的最低点运动至最高点的过程中,绳中张力单调减小. ○
f 变速圆周上的最高点与最低点 小球位于最高点处时:
动能最小、势能最大、绳中张力最小,小球在此处最易脱轨,小球在此处不脱轨是保证小球做完整圆周运动的充要条件.
小球位于最高点处时:
动能最大、势能最小、绳中张力最大,绳在此处最易断裂. ○
g 圆周运动中的能量 小球沿圆周运动过程中只受到重力与绳的拉力,运动中机械守恒.但满足能量守恒的过程不一定能够发生,需注意小球脱离轨道后做斜上抛运动,动能不能全部转化为重力势能 (II)轻杆模型
如图3所示,此模型包括沿圆形管轨道内运动的小球、套在光滑环上的小球,其共同特征是在最高点时均有支撑.
○
a 小球能通过最高点的条件
如图4所示,在最高点C:0≥C v
○
b 小球能过最高点C 的临界条件mg N =、0=C v ○
c 小球能做完整圆周运动时在最低点D 满足的条件gR v D 4≥
○
d 小球沿圆周运动过程中杆中弹力变化情况 在最低点杆中弹力最大
,在最高点时杆中弹力不一定最小: 若0=c v ,杆中弹力方向向上,大小为mg N =1
若gR v c <<0,杆中弹力方向向上,大小小于重力,R
mv mg N 2
11-=,大小随此点速度的增大而减小.
若gR v c =
,杆中无弹力
若gR v c >,杆中弹力方向向下,大小可小于、等于或大于小球重力,mg R
mv N -=2
11,大小 随此点速度
的增大而增大
此两点处当杆中弹力都是拉力时,其大小差值恒定,即mg N N 612=-;若在最高点C 处杆中弹力为推力时,此两点处弹力大小之和恒定,即mg N N 612=+.
小球从圆周的最低点运动至最高点的过程中,杆中弹力不一定是单调减小的. (III)半球面模型
如图5所示,小球从光滑半球面顶端E 开始运动.
○
a 小球只在重力和球面弹力作用下运动时,不可能沿球面从顶端运动底端. ○
b 小球从顶端由静止开始下滑,离开球面时的位置H 满足3
2
cos =θ. ○c 小球在顶端E 时的速度V 越大,离球面时的位置H 越靠近顶端,θ角越小即小球能沿球下滑的距离越短.
○
d 当小球在球面顶端的速度gR v E ≥时,小球直接从E 点离开球面做平抛运动.
例９.如图所示，长0.5m 的轻质细杆，一端固定有一个质量为3kg 的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O 在竖直平面内作匀速圆周运动，小球的速率为2m/s 。

取g=10m/s 2，下列说法正确的是
A. 小球通过最高点时，对杆的拉力大小是6N
B. 小球通过最高点时，对杆的压力大小是6N
C. 小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24N
D. 小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54N
例10.如图所示，小木块a 、b 和c （可视为质点）放在水平圆盘上，a 、b 质量均为m ，c 的质量为
2
m
，a 与转轴OO’的距离为L ，b 、c 与转轴OO’的距离为2L 且均处于水平圆盘的边缘。

木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度的大小为g ，若圆盘从静止开始绕转轴地绕轴加速转动，下列说法正确的是（ ）
A.b 、c 所受的摩擦力始终相等，故同时从圆盘上滑落
B.当a 、b 和c 均未相对圆盘滑动时，a 、c 所受摩擦力的大小相等
C.b 和c 均未相对圆盘滑动时，它们的线速度相同
D.b 开始相对圆盘滑动时的转速是
L
kg 221π
例11.如图所示，置于竖直面内的光滑金属圆环半径为r ，质量为m 的带孔小球穿于环上，同时有一长为r 的细绳一端系于圆环最高点，当圆环以角速度ω（ω≠0）绕竖直直径匀速转动时，
A. 细绳对小球的拉力可能为零
B. 细绳和金属圆环对小球的作用力大小可能相等
C. 细绳对小球拉力与小球的重力大小不可能相等
D. 当ω=
r
g
2时，金属圆环对小球的作用力为零 例12.如图所示，转动轴垂直与光滑水平面，交点O 的上方h 处固定细绳的一端，细绳的另一端栓接一质量为m 的小球B ，绳长l ＞h ，转动轴带动小球在光滑水平面上做圆周运动，当转动的角速度ω逐渐增大时，下列说法正确的是（ ）
A 小球始终受三个力的作用
B 细绳上的拉力始终保持不变
C 要使球离开水平面角速度 A 至少为
h
g D 若小球飞离了水平面则线速度为
gl
五 易错点分析
易错一 不能正确判定轨迹所在平面而错解
例题12.在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如下图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看做是做半径为R 的圆周运动．设内外路面高度差为h ，路基的水平宽度为d ，路面的宽度为L .已知重力加速度为g .要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
A. gRh L
B. gRh d
C. gRL h
D. gRd h
【答案】B
【解析】如图所示，汽车转弯时轨迹平面在水平面内，当车轮与路面间横向摩擦力为零时，汽车所需向心力由重力与支持力的合力提供，由图中几何关系结合牛顿第二定律、向心加速度公式有：
R v m d h mg 2
=⨯，解得d
gRh v =，Ｂ正确。

误区警示
汽车在水平面内做圆周运动，向心力水平．有很多学生误认为汽车的轨迹平面平行于斜面、所受合力沿斜面向下而错选Ａ。

易错二 不考虑临界状态造成的错解
例题13.一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，其顶角为60
，如图所示，一条长为L 的轻绳，一端固定在锥顶O 点，另一端拴一质量为m 的小球，小球以速率v gL =
32
绕圆锥的轴线做水平面内的匀速圆周运动，求绳上的拉力多大？
【答案】2mg
【解析】当小球刚好对圆锥没有压力时
m g m v L t a n s i n 30300
2
= 求得小球的线速度
v gL 036
= 当v gL v =3>2
0，小球做圆锥摆运动，且θ>30 ，设此时绳与竖直方向的夹角为ϕ，则有 m g m v L ta n s in ϕϕ
=2
解得ϕ=60 因此F m g m g T =
=c o s 60
2
错误区警示
本模型中绳中张力、与锥面间弹力的大小与小球运动的速度有关，当小球的速度足够大时，小球与锥面分离，所以本题中需先判定小球在给定速度下是否与锥面接触。

本题中易因为很多学生想当然的认为球与锥面间接触有弹力而错解。

易错三 混淆绳与杆的临界条件而出错
例题14.如图所示，用长为L 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是
( )
A ．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B ．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C ．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为gL
D ．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
【答案】CD
【解析】在最高点当小球的重力完全充当向心力时，即绳子的拉力为零，有，解得，该情况为细绳拴着小球在竖直面内做圆周运动的临界条件，即小球通过最高点的速度不能小于，若在最高点的速度大于，则小球在最高点的向心力由重力和绳子的拉力共同充当，A错误BC正确；在最低点，靠重力和绳子拉力的合力提供向心力，合力方向向上，所以拉力一定大于小球的重力，D正确．
错误警示
本题容易漏选Ｃ选项，很多同学混淆了绳与杆的特性，注意绳只能提供拉力，在最高点合力至少等于重力，故在最高点的速度不少于gR。