悬链线方程复习过程
悬链线方程
之阳早格格创做常常所有资料包罗导线正在内，皆具备一定的刚刚性，但是由于悬挂正在杆塔上的一档导线相对付较少，果此导线资料的刚刚性对付其几许形状的效率很小，故正在估计中假定：（1）导线为理念的柔索.果此，导线只启受轴背弛力（或者推力），任性一面的直矩为整.那样导线力教估计可应用表里力教中的柔索表里举止估计.（2）效率正在导线上的荷载均指共一目标，且沿导线匀称分散.一、悬链线圆程及直线弧少为了分解便当，咱们先从悬挂面等下，即相邻杆塔导线悬挂面无下好的情况计划导线的应力及几许闭系.本量上，导线悬正在空中的直线形态，从数教角度用什么圆程去形貌是举止导线力教分解的前题.由于假定视导线为柔索，则可依照表里力教中的悬链线闭系去举止分解，将要导线架设正在空中的几许形态视为悬链形态，而由此导出的圆程式为悬链线圆程.如图2－5所示，给出了悬挂于A、B二面间的一档导线，假定为悬挂面等下的孤坐档，设以导线的最矮面O面为本面修坐直角坐标系.图2-5导线悬链线及坐标系共时假定导线牢固正在导线地圆的仄里，可随导线所有晃动，隐然那是一个仄里力系.根据那个坐标举止导线的受力分解，可修坐导线的悬链线圆程.咱们先从局部受力分解启初，再找出其普遍顺序.最先正在导线上任与一面D（x,y），而后分解OD段导线的受力闭系，由图2－5所示，此OD段导线受三个力而脆持仄稳，其中D面启受推力为T x=σx S，它与导线直线相切，与x轴夹角为α； O面启受推力为T0=σ0S，T0为导线O面的切线目标，恰与x轴仄止，故又称火仄弛力；别的另有OD 段导线自己的荷载为G=gSL x，其中L x为OD段导线的弧少.将OD段导线的受力闭系绘为一个三角形表示，如图2－6所示，图2-6导线受力情况由静力教仄稳条件可知，正在仄里坐标系中，其火仄分力，笔直分力的代数战分别等于整.或者沿x轴或者y轴上分力代数战分别等于整.笔直目标分力G=T x sinα=gSL x;火仄目标分为T0=T x cosα=σ0S.其中σ0、T0为导线最矮面的应力战弛力，σx、T x为导线任一面的应力战弛力，S、g为导线截里战比载.将上述二式相比，则可供得导线任性一面D的斜率为：(2-10)由微分教知识可知，直线上任一面的导数即为切线的斜率.式（2－10）是悬链直线的微分圆程.咱们要用坐标闭系表示出导线受力的普遍顺序，还需要将没有定量L x消去，果此，将式对付x微分得：（微分教中弧少微分公式为dS2=(dx)2+(dy)2）将上式移项整治后，二端举止积分那是个隐函数，果此，再举止分散变量积分，查积分公式有：（2－11）再举止分散变量积分，有于是，导线任一面D的纵坐标为：（2－12）式（2－12）是悬链圆程的一般形式，其中C1战C2为积分常数，其值可根据与坐标本面的位子及初初条件而定.如果将坐标本面于导线最矮面处，则有下述初初条件：x=0, dy/dx=tgα=0代进式（2－11）则C1＝0，将x=0,y=0,C1＝ 0 代进式（2－12），，如许，供得坐标本面最矮面O处的悬链圆程为：（2－13）式中σ0—火仄应力(即导线最矮面应力)，MPa;2.当坐标本面选正在其余面（比圆选正在悬挂面处）时，悬链线圆程的常数项将有所分歧，不妨得到分歧的公式.若式（2－13）中x代表档距的时间，则y即为导线的弧垂，果此悬链线圆程形貌了导线弧垂与应力、比载及档距之间的基础闭系，此式称为透彻式.本量上导线的悬链线圆程还不妨从另一种办法举止推导,底下介绍如下：由式,对付其供导得：变更为,为找本函数举止积分,由积分式二边积分，则有：形成指数形式为那是个隐函数，为解出，对付应有式：将二式相减则有：果为单直正弦函数为：单直余弦函数为：又果为：末尾积分有：定积分常数,果正在坐标本面则，其截止是一般的，即正在线路安排中，为了估计上的便当，普遍没有使用透彻式圆程，而是将其展启为泰勒级数形式.将悬链线圆程式（2－13）展启成无贫级数（正在x=0面），可得：（2－14）2．直线弧少（或者弧少圆程）导线最矮面O至任一面的直线少度喊干弧少，用Lx表示.将式（2－11）代进式（2－10）中，且积分常数C1＝0，得导线的弧少圆程为（2－15）根据式（2－15）不妨估计一个档距内导线的直线少度（也喊一档线少）将弧少圆程式（2－15）展启成无贫级数可得：（2－16）一品量匀称分散的绳二端悬挂时绳子所表示的直线为悬链线.闭于悬链线剖析圆程的供解，尔很早便知讲其圆程为单直余弦函数.然而当时数教火仄尚已谦脚央供.厥后教会闭于单直函数的相闭真量后，又由于脆疑绳中弛力到处相等而推出悖论，本钻研便此停顿.直到7月初，尔又念起了该直线的圆程供解问题.需要证明的一面是，绳中弛力到处相等央供绳子无品量、绷紧，对付于悬链隐然没有适用.但是受力目标沿着绳是透彻的，所以必须分散力的目标去供解.假设一个无限少的品量匀称分散的绳子正在沉力效率下自然下垂.设绳底端受到推力为T0，线稀度为ρ，沉力加速度g.如图所示修坐直角坐标系，设绳对付应的函数为y=f(x)对付于横坐标从0至x那一段的绳，设品量为m，少度L，受沉力为G，受顶端推力大小为T，该力倾斜角为θ该段绳受三力仄稳：T、G、T0，绘出受力示企图，有G/T0=tanθ由导数的几许意思，tanθ=dy/dx，而G=mg=ρgL，故ρgL/T0=dy/dx，ρgL=T0*dy/dx对付上式与微分，得ρg*dL=T0*d2y/dx，而dL=(dx2+dy2)1/2=[1+(dy/dx)2]1/2*dx，代进得ρg[1+(dy/dx)2]1/2=T0*d2y/dx2=T0*d(dy/dx)/dx，令dy/dx=P，则ρg(1+P2)1/2=T0*dP/dx，ρg/T0*dx=dP/(1+P2)1/2对付二侧与积分得∫ρg/T0*dx=∫dP/(1+P2)1/2ρgx/T0=sinh-1P+C1，P=sinh(ρgx/T0-C1)，dy/dx=sinh(ρgx/T0-C1)当x=0时，dy/dx=0，代进得sinh(-C1)=0,C1=0，故dy=sinh(ρgx/T0)*dx再次积分，得y=T0/ρg*cosh(ρgx/T0)+C2当x=0时，y=0，故0=T0/ρg*cosh0+C2,C2=-T0/ρg设k=T0/ρg，则y=kcosh(x/k)-k，若只思量其形状可忽略常数项，故悬链线圆程为y=kcosh(x/k)-k，其中k=T0/ρg闭于单直函数的一些证明：单直正弦函数sinhx=(e x-e-x)/2，单直余弦函数coshx=(e x+e-x)/2由其定义可得d(sinhx)/dx=coshx，d(coshx)/dx=sinhx，cosh2x-sinh2x=1其反函数分别为反单直正弦函数sinh-1x=ln[x+(x2+1)1/2]，反单直余弦函数cosh-1x=ln[x+(x2-1)1/2]波及的一步积分：正在∫dP/(1+P2)1/2中，令P=sinht∫dP/(1+P2)1/2=∫d(sinht)/(1+sinh2t)1/2=∫cosht*dt/cosht=∫dt=t+C=si nh-1P+C。
1悬链线方程的推导
1 悬链线方程的推导 锚链一端受到水平预张力()0T KN ，并在其均匀分布的自重力作用下产生下垂。
设锚链水中 单位重力为()/W KN m ，建立如图1所示的直角坐标系，并设锚链曲线对应的函数为()y f x =。
对于横坐标上0至x 这段锚链，长度为L ，则G wL =，顶端拉力为T ，该力倾角为θ，水平张力0T ,根据力学原理可知，T ，G 和0T 三力平衡。
可知0tan /G T θ=(图2). 图1图2假定该水平张力在锚链上处处相等，对于任意一段锚链L ，该平衡均成立，0tan wL T θ=，而tan dy dxθ=，对该式取微分，则有()()00tan x w d d L T θ===（1） 弧长微分ds=1）分离变量后并积分： 0tan d w dx T θ=⎰（2） 对式（2）积分后得到：10tan w sh x c T θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）对式（3）再次分离变量后，得10w dy sh x c dx T ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（4）并积分，10w y sh x c dx T ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰（5）查积分公式可得：0120T w y ch x c c w T ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（6） 式（6）即为锚链悬链线的一般方程。
假设锚链末端拖地，并设拖地点为原点，则对于拖地点有，0,0,tan 0x y θ===，代入式（3）和（6），联立方程后，可解得：10c =，2T c w=,代入式（6）得: 001T w y ch x w T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（7） 式（5）即为拖地点为原点的悬链线一般方程。
而对于悬挂点为原点的悬链线方程，仅系数有所变化，如下式表示，推导过程不再叙述。
该方程对于有悬锤的悬链线更适用。
0,0,tan wL x y Tθ===，代入式（3）,（6）可解得： 002cosh sinh wL T a T c w⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=（8） 式（8）即是以悬挂点为原点的悬链线一般方程。
悬链线方程的推导过程
悬链线方程的推导过程悬链线 (Catenary) 是一种曲线，它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名。
适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其公式为：y = a*cosh(x/a)其中 a 是一个常数。
最低点处受水平向左的拉力H ，右悬挂点处受一个斜向上的拉力T ，设T 和水平方向夹角为θ，绳子一半的质量为m,受力分析有：Tsin Tcos θθ=mg,=H并且对于绳上任意一点有tan θ=dy/dx=mg/H ，ρmg=s其中s 是右半段绳子的长度, ρ是绳子密度,认为绳子截面积是1,带入得微分方程 ρdy/dx=s/H 利用弧长公式ds=(1+dy^2/dx^2)dx所以有，实际上就是弧长积分公式：⎰s=1+dy^2/dx^2dx所以把s 带入微分方程得ρ⎰dy/dx=1+dy^2/dx^2dx/H （1）对于(1)设p =dy/dx 并做微分处理可得：ρ=dp p'=/H 1+p^2dx（2） 对（2）分离常量求积分 dp ρ=⎰⎰1/Hdx 1+p^2 （3）得：ln()p x ρ+=1+p^2/H+C边界条件：x=0，dy/dx=0，代入后可得C 0=，整理后为：ln()p x ρ+=1+p^2/H （4）由))p p xρ==-=/H （5） 即得x x ρρ⎡⎤⎣⎦p=e^(/H)-e^(-/H)/2=dy/dx （6）x x ρρρ⎡⎤⎣⎦y=p=H/2e^(/H)+e^(-/H) （7）如果令ρa=H/的话，则有/(2)cosh(/)x a x a a a x a =⎡⎤⎣⎦y=p=e^(/)+e^(-/) （8） 即为双曲函数。
悬链线方程的推导过程
悬链线方程的推导过程嘿，朋友们！今天咱就来聊聊悬链线方程的推导过程，这可有意思啦！咱先来说说啥是悬链线。
你看那悬挂起来的链条，它自然下垂形成的那个曲线，就是悬链线啦。
就好像咱平时看到的晾衣绳，或者那种古老的吊桥的铁链，它们垂下来的样子。
那为啥要研究它的方程推导呢？这可重要啦！它在好多地方都有用武之地呢，比如建筑设计呀，桥梁工程呀。
要是咱能搞清楚它，那不是能让好多东西建得更漂亮更稳固嘛！那怎么推导呢？咱先从最基本的开始。
想象一下，把这个悬链分成一小段一小段的。
每一小段都受到重力的作用，对吧？然后呢，再考虑这些小段之间的相互关系。
这就好像拼图一样，一块一块地拼起来，慢慢地就能看出整个图案啦。
咱再深入一点。
这些小段之间的力呀，得平衡才行。
这就好比拔河比赛，两边的力量得差不多，不然不就被拉跑啦。
通过研究这些力的平衡，就能找到一些规律。
然后呢，咱就可以用一些数学知识啦。
什么微积分呀，函数呀，都可以派上用场。
就好像是给这个悬链线穿上了一件数学的外衣，让它变得更加清晰明了。
你说这是不是很神奇？从一个看起来普普通通的链条，通过一点点的分析和推导，就能得出一个那么复杂又那么有用的方程。
这就好比是从一粒小小的种子，最后长成了一棵参天大树。
而且啊，这个推导过程可不是一帆风顺的哟！有时候会遇到难题，就好像爬山的时候遇到了陡峭的山坡。
但咱可不能退缩呀，得鼓起勇气往上爬。
当我们终于推导出来的时候，那种成就感呀，简直无与伦比！就好像是解开了一道超级难的谜题，心里那叫一个痛快！所以说呀，悬链线方程的推导过程虽然有点复杂，但真的很值得我们去研究。
它让我们看到了数学和现实世界的紧密联系，也让我们感受到了探索的乐趣和成就感。
大家不妨也去试试，说不定你也能发现其中的奥秘呢！。
悬链线方程的推导
悬链线方程的推导 一根无比柔软的绳子，两固定，自然静止状态下，它的形状是悬链线。
其实曲线是以绳子命名的。
如何根据绳子的受力来推导出悬链线方程呢？用高等数学所学的知识就够了。
第一步：背景知识 ㈠我们熟悉如何将)2sin(πα⋅+n 转化成余弦的形式，口诀是奇变偶不变，符号看象限。
现在扩展一下，研究正切、余切，正割、余割的转化口诀。
tanx cotx 转换：奇变号变偶不变。
也就是说，n 为奇数时，要转化成相反形式，且要补一个负号，n 为偶数时就不用变了。
secx cscx 转换：奇变偶不变，符号看象限。
我正弦、余弦非常相似。
㈡不定积分C x x C x x x x d x dx xdx C x x C x x x d x x d x x x dx x dx xdx ++=++-+=++==+-=+=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰tan sec ln )2cot()2csc(ln )2sin()2(cos sec cot csc ln 2tan ln 2tan 2tan 2tan 22sec 2cos 2sin 2sin csc 2ππππ求⎰+22ax dx，令t a x tan =，22ππ<<-t aC C C a x x C ax a a x C t t tdt a t a tdt a ln )ln(ln tan sec ln sec tan sec 1122222222-=+++=+++=++==+=⎰⎰㈢双曲余弦 chx e e y x x =+=-2 双曲正弦 shx e e y xx =-=-2反双曲余弦 x>0时，archy y y x =-+=)1ln(2； 反双曲正弦 arshy y y x =++=)1ln(2； 求导：shxchx chx shx ='=')()( 第二步：微分方程平衡方程：,0cos ,0sin =-⋅=-⋅H T gs T θρθ 解得：gH a dx y a y a s H gsx ρρθ='+='===⎰,11tan 02 边界条件：x=0 y=a ； x=0 y'=0。
悬链线的实际解法 -回复
悬链线的实际解法-回复悬链线，也被称为悬臂悬链线，是指在一个绳子或链条的一端固定，另一端悬挂物体的情况下，求解该绳子或链条的形状和张力分布。
悬链线的实际解法，以悬链线的特性、方程的建立和解方程的方法为主题。
本文将一步一步回答有关悬链线的实际解法，并对解法进行详细的解释。
第一步：了解悬链线的特性悬链线的特点是其形状和张力分布在重力作用下达到平衡状态。
这意味着在整个线的长度上，每一点的受力都满足力的平衡方程。
在任何一段绳子或链条上，张力的大小和方向都是连续变化的。
第二步：建立悬链线的方程悬链线的形状可以通过建立方程来描述。
首先，我们假设悬链线的形状为一个函数y(x)，其中x表示线的长度，y表示线的高度。
我们可以使用一些基本的物理原理，如受力平衡和力的投影等，来推导出悬链线的方程。
考虑悬链线上一小段dx的任意一点P，其坐标为(x,y)。
根据受力平衡，我们可以得到以下方程：1. 排除重力的作用下，绳子在x方向上的受力为零，即-T * sinα+ T * sin α+ T * dy/dx * cosα= 0。
2. 在y方向上，绳子的受力等于该点的重力，即-T * cosα+ T * cosα+ T * dy/dx * sinα= -dmg。
α表示绳子在该点的倾角，m表示单位长度的绳子或链条质量，g表示重力加速度。
根据三角函数的定义，我们有sinα= dy/ds，cosα= dx/ds，其中ds 表示线元的长度。
结合上面的方程，我们可以得到以下方程：-T * dy/ds * dx/ds + T * dy/ds * dx/ds + T * dy/ds * dy/dx = -dmg。
第三步：解方程现在我们可以解上述的方程，以得到悬链线的形状和张力分布。
为简化计算，我们可以将方程重新组织如下：-T * dx = -dy/ds * T * dx * sinα- dy/ds * T * dx * sinα- dy/dx * T * dy/ds * dx * sinα+ mg * ds。
悬链线的切线切点弦总结归纳(转换坐标系法)
悬链线的切线切点弦总结归纳(转换坐标系法)悬链线是一种重力均匀分布的链条所形成的曲线，运动学和动力学问题中经常用到该曲线。
在研究悬链线的过程中，切线切点弦是一个重要的概念。
在本文中，我们将通过转换坐标系的方法总结归纳悬链线的切线切点弦的相关知识。
悬链线的方程可以表示为：$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{T}{w\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}}$其中T和w分别为张力和重力，y是悬链线在x处的高度。
在某一点(x,y)处，悬链线的切线斜率可以表示为：$k=\frac{dy}{dx}=\frac{dw}{d\alpha}\frac{d\alpha}{ds}$其中，$\alpha$是链条与x轴的夹角，s是弧长。
通过对式子进行求导，可以得到：$\frac{dk}{ds}=\frac{dy}{dx}\frac{T}{w^2}\sqrt{1+(\frac{dy}{d x})^2}$当悬链线在某一点的切线斜率为k时，其切线方程可以表示为：$y-kx+\frac{Tw^2}{2}\ln|k+\sqrt{1+k^2}|=C$其中，C为常数。
切线与x轴的交点即为切点。
通过求解切点坐标，可以得到：$x=\frac{2w^2}{T}(e^{\frac{2(k-C)}{w^2}}-1)$$y=\frac{2w^2}{T}(ke^{\frac{2(k-C)}{w^2}}-k-\sqrt{1+k^2}+1)$关于悬链线的弦，如果已知其起点坐标为(x1,y1)，终点坐标为(x2,y2)，则弦的方程可以表示为：$\frac{y-y1}{y2-y1}=\frac{x-x1}{x2-x1}$如果以悬链线的最低点为起点，则该点处的切线与y轴平行，切点坐标为(0,h)，弦的方程可以表示为：$y-h=\frac{2h}{L}x-\frac{h}{L^2}x^2$其中，h为悬链线的最低点处的高度，L为悬链线的长度。
悬链线方程的推导
1 悬链线方程的推导 锚链一端受到水平预张力()0T KN ，并在其均匀分布的自重力作用下产生下垂。
设锚链水中 单位重力为()/W KN m ，建立如图1所示的直角坐标系，并设锚链曲线对应的函数为()y f x =。
对于横坐标上0至x 这段锚链，长度为L ，则G wL =，顶端拉力为T ，该力倾角为θ，水平张力0T ,根据力学原理可知，T ，G 和0T 三力平衡。
可知0tan /G T θ=(图2). 图1图2假定该水平张力在锚链上处处相等，对于任意一段锚链L ，该平衡均成立，0tan wL T θ=，而tan dy dxθ=，对该式取微分，则有()()00tan x w d d L T θ===（1） 弧长微分ds=1）分离变量后并积分： 0tan d w dx T =⎰（2） 对式（2）积分后得到：10tan w sh x c T θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）对式（3）再次分离变量后，得10w dy sh x c dx T ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（4）并积分，10w y sh x c dx T ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰（5）查积分公式可得：0120T w y ch x c c w T ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（6） 式（6）即为锚链悬链线的一般方程。
假设锚链末端拖地，并设拖地点为原点，则对于拖地点有，0,0,tan 0x y θ===，代入式（3）和（6），联立方程后，可解得：10c =，2T c w=,代入式（6）得: 001T w y ch x w T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（7） 式（5）即为拖地点为原点的悬链线一般方程。
而对于悬挂点为原点的悬链线方程，仅系数有所变化，如下式表示，推导过程不再叙述。
该方程对于有悬锤的悬链线更适用。
0,0,tan wL x y Tθ===，代入式（3）,（6）可解得： 002cosh sinh wL T a T c w⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=（8） 式（8）即是以悬挂点为原点的悬链线一般方程。
悬链线方程课件ppt
【属于4-1】对于实腹拱
g 调整前拱轴系数: m
j
g
d
调整后拱轴系数:
g'
m g '
j '
d
gx –假载,一层均布荷载
'
g g g
m g g g '
j '
j
x
d
d
x
gx得符号当m’>m时为负;m’<m时为正
【属于4-1】对空腹拱
◎调整拱轴系数,使拱跨1/4点得拱轴线坐标y 1/4改变; ◎假载gx可用下式求:
4-5 主拱施工验算
保证施工中主拱得强度满足要求、稳定性可靠,防止倾 覆;合理确定施工加载程序,拱圈吊运过程构件内力, 各种临时措施,如吊点得位置,拱圈分段位置、辅助索 内力。
◎无支架施工得大、中跨径拱桥,需验算拱得纵、横向稳定 性;
3-2-1、 纵向稳定性
◎将拱圈换算为相当长度得压杆,按平均轴向力计算; 验算公式:
◎当主拱得长细比大于规范规定得数值时,按临界力控
制稳定;
临界平均轴向力
K1
NL Nj
4
~
5
N R A
b
/
荷载效应计算的平均轴向力
j
am
3-2-2、横向稳定性
2)整体浇筑,一般地区相当于降 低20℃,干燥地区30℃;分段 浇筑10~15℃;装配结构5～ 10℃;
3)考虑混凝土徐变影响,计算收 缩内力可采用0、45得 折减 系数;
2-6 拱脚变位引起得附加内力
1)拱脚相对水平位移 2)拱脚相对垂直位移 3)拱脚相对转角
三、主拱得强度及稳定性验算
*根据最不利情况得荷载内力组合,验算控制截面得强度及 拱得稳定性;
悬链线方程的推导过程
悬链线方程的推导过程悬链线是一种曲线，其形状类似于悬链。
悬链线最早由德国数学家焦若贝利在1725年所提出，也被称为Catenary（猫enary）曲线。
这条曲线具有许多独特的性质和应用领域，因此悬链线的推导过程也非常有趣。
悬链线的推导涉及到一些微积分和几何的知识。
在这里，我将尽量简明扼要地介绍悬链线方程的推导过程。
第一步：设定问题和坐标系我们假设有一根不可伸长、重力平均作用于其上的悬链线。
我们希望找到这条悬链线的方程。
为此，我们首先将悬链线放在一个笛卡尔坐标系中。
设悬链线的轴线为x轴，y轴垂直于轴线。
第二步：表示悬链线的参数方程为了表示悬链线，我们引入参数t，表示悬链线上任意一点的位置。
我们假设悬链线的最低点为原点O(0, 0)，则悬链线的参数方程可以表示为：x = at， y = bch(a)，其中a和b是任意的正数，c是一个常数，表示悬链线的形状。
第三步：应用欧拉－积分方程为了求解悬链线的参数方程，我们需要应用欧拉－积分方程。
欧拉－积分方程是描述弹性形体的自平衡状态的一个重要方程。
我们令L表示悬链线的弧长，则有：L = ∫√(1 + (dy/dx)²)dx将悬链线的参数方程带入上式，可以得到：L = ∫√(1 + (a² + b²ch²(a)²)dt第四步：求解悬链线弧长的积分通过对上式中的积分进行变量替换和一些微积分的技巧可以求得L的积分形式。
最终我们得到：L = ∫csch(a)da，其中csch(a)是双曲正弦函数的倒数，定义为csch(a) = 1/sinh(a) = (2e^a)/(e^2a - 1)第五步：应用数值积分方法由于上述积分无法通过标准的解析方法求解，我们可以应用数值积分方法来计算L。
一种常用的数值积分方法是龙格－库塔法则，它可以在较高精度下计算复杂的积分。
第六步：求解悬链线方程通过数值积分得到L后，我们可以尝试通过方程L=c来求解a。
悬链线一般方程
悬链线一般方程悬链线是一种特殊的曲线，它的形状像一条被吊起的链子。
如果你在两个固定的点之间悬挂一根均质无弹力的链子，那么它所形成的曲线就是悬链线。
为了方便研究，我们通常把链子的质量看成无限小，而且只考虑在两个挂点处的张力作用。
下面我将为你介绍悬链线的方程和一些应用。
一、悬链线的方程悬链线的方程有多种推导方法，其中最常见的方法是利用牛顿-莱布尼茨公式和能量守恒定律。
经过推导，我们可以得到悬链线的一般方程如下：y = a * cosh(x/a)其中，y代表链子所在的位置的高度，x代表链子的长度，a则是一个常数，它与链子的张力、重力和挂点的距离有关。
二、悬链线的性质悬链线有一些特殊的性质：1. 它是对称的：悬链线在对称轴处呈现出对称性，即左右两侧的曲线完全相同。
2. 它是单峰的：悬链线的几何形状是单峰的，即它在中心位置最高，在两端位置最低。
3. 它是无穷光滑的：悬链线是无穷光滑的曲线，它不断变化，凸度不断改变。
三、悬链线的应用悬链线不仅仅是一个美妙的几何曲线，它还有一些重要的应用：1. 悬链桥的设计：悬链线的特殊性质使得它成为设计悬链桥的理想曲线。
悬链桥的主要结构是悬链线和桥塔，它可以承载大量的荷载和扭矩。
2. 物理学问题的解决：悬链线被广泛应用于物理学的许多问题中，如质点沿着悬链线的运动问题、悬链线的频率问题等等。
3. 工程结构的应用：悬链线的应用不仅限于桥梁和物理学问题，它还可以应用于建筑结构、电力电线杆、运动设备等领域中。
总之，悬链线是一条美妙的曲线，具有独特的性质和广泛的应用价值。
通过对悬链线的深入研究，我们可以更好地理解物理学问题，设计出更加牢固、高效的工程结构，创造出更加美好的未来。
拱轴线的选择与确定(悬链线方程的建立)
1、实腹拱桥合理拱轴方程的建立
如下图所示，设拱轴线为恒载压力线，则拱顶截面的 内力为：
弯矩 Md=0 剪力Qd=0 恒载推力为Hg
对拱脚截面取矩，有:
Hg
M
f
M 半拱恒载对拱脚的弯矩。
（1－2－12）
对任意截面取矩，有：
y1
Mx Hg
(1－2－13）
y1以拱顶为原点，拱轴线上任意点的坐标； M 任意截面以右的全部恒载对该截面的弯矩值。
y1
f (chk
m 1
1)
上式为悬链线方程。
（1－2－22）
其中ch k为双曲余弦函数：
chk ek ek
2
可得： 令
x l1 则： dx l1d
d 2 y1
d 2
l12 Hg gd
1 (m 1)
y1 f
k 2 l12 gd (m 1) Hg f
（1－2－20）
则
d 2 y1
d 2
l12 gd Hg
k 2 y1
（1－2－21）
上式为二阶非齐次微分方程。解此方程，得到的拱轴线（压力 线）方程为：
对式（1－2－13）两边对M dx2
gx Hg
（1－1－14）
由上式可知，为了计算拱轴线（压力线）的一般方程，需首 先知道恒载的分布规律，对于实腹式拱，其任意截面的恒载 可以用下式表示：
gx gd y1
g d 拱顶处恒载强度；
拱上材料的容重。
（1－2－15）
由上式，取y1=f，可得拱脚处恒载强度 g j 为：
g j gd f mg d
（1－2－16）
其中：
m gj gd
称为拱轴系数。
这样gx可变换为：
拟悬链线轨迹计算
拟悬链线轨迹计算悬链线是一种特殊的曲线，它在重力影响下形成的曲线轨迹。
它经常应用于建筑设计、桥梁工程以及其他工程领域。
悬链线轨迹的计算是一个复杂的过程，需要使用微积分的知识和数值计算方法。
本文将详细介绍悬链线轨迹的计算过程。
首先，我们需要了解悬链线的定义和性质。
悬链线是指一条杆或绳在两端受到重力作用时的形态。
悬链线的形状取决于杆或绳的质量、长度和受力情况。
悬链线的性质包括：对称性、唯一性、可微性和平滑性。
悬链线的轨迹计算可以通过以下步骤进行：1.悬链线的微分方程悬链线可以通过一个微分方程来描述。
考虑杆或绳的长度为L，其一端坐标为(x,y)，可以得到微分方程：ds = sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx其中，s表示曲线弧长。
2.边界条件悬链线的边界条件包括两端点坐标和斜率。
假设杆或绳的一端坐标为(x1,y1)，斜率为m1，另一端坐标为(x2,y2)，斜率为m2、则有以下边界条件：y(x1)=y1y'(x1)=m1y(x2)=y2y'(x2)=m23.轨迹计算方法根据边界条件和微分方程，我们可以采用数值计算方法求解悬链线的轨迹。
一种常用的方法是欧拉法，可以简单地理解为将微分方程离散化，然后沿着曲线逐步计算得到轨迹。
具体步骤如下：a) 将悬链线划分为若干小段，将弧长s离散化为ds。
b)选择一个合适的初始点，根据边界条件计算初始斜率值。
c)逐步计算离散点的坐标和斜率值，直到计算到终点。
4.数值计算方法欧拉法只是一种简单的数值计算方法，对于悬链线的轨迹计算有一定的误差。
为了提高计算的准确性和稳定性，可以采用更高阶的数值计算方法，如四阶龙格-库塔法。
此外，还可以使用数值计算软件来进行计算，如Matlab、Python等。
5.曲线参数化悬链线的轨迹计算得到的是一系列坐标点，为了便于进一步的分析和应用，可以对曲线进行参数化。
将弧长s作为参数，以x和y作为变量，可以得到参数方程：x=f(s)y=g(s)其中，f和g是参数方程的具体形式。
悬链线方程
15
【属于1-1-2】
【模块编号】MU-06-03
y h
f
1
(chk 1) 1
0
2
s
2 k d
s m 1
h 1 1
2
s
2 k d
0
f
1
弹性中心坐标系数，与拱轴系数m有关 1
～可根据拱轴系数，查设计手册； ～对变截面悬链线，还与拱厚系数n有关；
【模块编号】MU-06-03
◎确定m的原则
恒载压力线不是一条平滑的曲线，拱轴线采用悬链 线，应尽可能使拱轴线与恒载压力线偏离较小， 采用“五点重合法”使悬链线拱轴与恒载压力线 重合。
10
【属于1-1-2】 空腹拱－确定 m的方法
1）根据拱轴线上“重合五点” 与其三铰拱恒载压力线重 合（五点弯矩为零）的条 件确定m值；根据拱脚、拱 跨1/4截面得：
3）当m=1,曲线即为二次抛物线；
7
【属于1-1】
• 任意截面的拱轴线水平倾角：
【模块编号】MU-06-03
tg
d
y 1
2k
f
shk
dx l(m 1)
8
1-2 拱轴系数m的确定 1-2-1、实腹拱拱轴系数m的确定
【模块编号】MU-06-03
g h
d
d
1d
2
g
j
【模块编号】MU-06-03
◎将拱圈换算为相当长度的压杆，按平均轴向力计算； 验算公式：
◎当主拱的长细比大于规范规定的数值时，按临界力
控制稳定；
临界平均轴向力
K1
NL Nj
4
(完整版)悬链线知识点归纳总结
(完整版)悬链线知识点归纳总结1. 什么是悬链线？悬链线（catenary）是指理想情况下由均匀质地、可弯曲且自由悬挂的弦线形成的曲线形状。
在重力的作用下，悬链线形成一个平衡状态，其拉力在各点上的方向总是指向曲线的切线方向。
2. 悬链线的特性- 爱德蒙·哈利·觉斯（Edmond Halley）首先对悬链线进行了研究，并发现悬链线的特性可以由双曲余弦（hyperbolic cosine）函数表示。
- 悬链线是对称的，其左右两侧的曲线形状相同。
- 悬链线的曲率半径是变化的，最大曲率半径位于中央点处，逐渐减小，直至趋于无穷大。
- 悬链线是稳定的，任何一点受力后都会回到平衡状态。
3. 悬链线的应用领域悬链线主要应用于以下领域：- 建筑物和桥梁设计：悬链线可以用于确定建筑物和桥梁的最佳弧线形状，以承受安全荷载。
- 电线和电缆布置：悬链线形状可确保电线和电缆在自身重量下保持合适的张力。
- 自然科学研究：悬链线可以模拟自然界中的曲线形状，例如植物的枝干、动物的身体等。
4. 悬链线的计算方法计算悬链线的形状和参数可以使用以下方法：- 数值方法：通过计算机程序使用数值方法求解悬链线的方程。
- 解析方法：通过使用微积分和复杂方程推导出悬链线方程的解析解。
- 近似方法：对于特定情况，可以使用近似公式或经验公式估算悬链线的形状和参数。
5. 悬链线的例子以下是一些悬链线的实际例子：- 自由悬链线：没有外力作用，只受到重力拉力影响的悬链线。
例如，悬挂在两个支点上的灯泡线。
- 悬链桥：采用悬链线形状的桥梁。
例如，布鲁克林大桥。
- 高压电缆：电力输送中使用的悬链线形状的电缆。
6. 结论悬链线作为一种特殊的曲线形状，在建筑和电力等领域有着重要的应用。
了解悬链线的特性、计算方法和实际例子有助于我们更好地理解和运用它的优点。
悬链线长度计算公式
悬链线长度计算公式悬链线，这名字听起来是不是有点高大上？感觉很神秘，让人摸不着头脑。
其实啊，悬链线在咱们的生活中还挺常见的呢！比如说，咱们常见的那种老式的晾衣绳，当它两端固定，中间自然下垂的时候，它的形状就接近悬链线。
还有那种大型桥梁的钢索，也常常呈现出悬链线的形态。
那悬链线的长度要怎么计算呢？这就得提到悬链线长度的计算公式啦。
悬链线的长度计算公式为：$L = s + \frac{a}{2}( \sinh\frac{2s}{a} - \sinh\frac{2s_1}{a} )$ ，其中 $L$ 表示悬链线的长度，$s$ 表示两个端点的水平距离，$a$ 是一个与悬链线的物理性质有关的常数，$s_1$ 表示起始点到计算点的水平距离。
这个公式看起来是不是有点复杂？别担心，咱们一点点来理解。
先来说说这个 $s$ ，它就是两端点的水平距离，比如说晾衣绳两端固定点之间的水平距离。
$a$ 这个常数呢，它跟绳子的材料、粗细等有关系。
假设咱们有一根晾衣绳，两端固定在相距 5 米的两个点上，这 5 米就是 $s$ 。
然后通过对绳子材料的测量和分析，咱们知道了 $a$ 的值是2 。
接下来，咱们要计算从一端开始 2 米处到另一端的这段悬链线的长度。
那这里的 $s_1$ 就是 2 米。
把这些值代入公式里：$L = 5 + \frac{2}{2}( \sinh\frac{2×5}{2} -\sinh\frac{2×2}{2} )$ 。
这时候就得算一下这个 sinh 函数的值啦。
sinh 函数是双曲正弦函数，它的计算可能有点复杂，不过现在咱们有计算器或者数学软件，很容易就能得出结果。
经过计算，就能得出这段悬链线的长度。
再举个例子，假如有一座大桥，钢索的两端相距 100 米，通过对钢索的测量和分析，$a$ 的值是 10 。
咱们要计算从一端开始 30 米处到另一端的这段钢索的长度，也就是悬链线的长度。
同样把相应的值代入公式：$L = 100 +\frac{10}{2}( \sinh\frac{2×100}{10} - \sinh\frac{2×30}{10} )$ 。
悬链线方程——数学史上的难题之一，伽利略没能求出，难在哪里？
悬链线方程——数学史上的难题之一，伽利略没能求出，难在哪里？一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，并只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线。
1690年，荷兰物理学家、数学家、天文学家、发明家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在给德国著名博学家戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz）的一封信中创造了这个名字。
悬链线与抛物线相似。
意大利伟大的天文学家、物理学家和工程师伽利略是第一个研究悬链线的人，并错误地将其形状认定为抛物线。
1691年，莱布尼茨、惠根斯和瑞士数学家约翰·伯努利分别得出了正确的形状。
他们都是为了响应瑞士数学家雅各布·伯努利（约翰的哥哥）提出的一项挑战，即得到“悬链线”方程。
•图1：从左到右分别是雅各布·伯努利，戈特弗里德·莱布尼茨，克里斯蒂安·惠更斯和约翰·伯努利莱布尼茨和惠更斯发给雅各布·伯努利的图如下所示。
他们发表在《博学学报》上，这是欧洲德语国家的第一份科学期刊。
•图1：莱布尼茨和惠更斯提交给雅各布·伯努利的答案。
约翰·伯努利很高兴，他成功地解决了他哥哥雅各布没能解决的问题。
27年后，他在一封信中写道：我哥哥的努力没有成功。
就我而言，我更幸运，因为我发现了这个问题的答案。
对于我当时的年龄和经验来说，这是一个巨大的成就。
……我满心欢喜地跑到哥哥那里，他一直在苦苦地与这个难题作斗争，却没有任何进展，总是像伽利略一样认为这个链线是一个抛物线。
我对他说，不要再折磨自己了，不要再试图用抛物线来寻求悬链的方程了，因为那是完全错误的。
——约翰·伯努利求悬链线方程为求悬链线方程，作以下假设：•悬链悬挂在两点之间，靠自身重量悬挂。
•悬链是灵活的，有一个统一的线性重量密度（等于w_0）。
为了简化代数上的繁琐，我们让y轴通过曲线的最小值。
悬链线方程
通常任何材料包括导线在内,都具有一定得刚性,但由于悬挂在杆塔上得一档导线相对较长,因此导线材料得刚性对其几何形状得影响很小,故在计算中假定:ﻫ(１)导线为理想得柔索。
因此,导线只承受轴向张力(或拉力),任意一点得弯矩为ﻫ零。
这样导线力学计算可应用理论力学中得柔索理论进行计算。
ﻫ(2)作用在导线上得荷载均指同一方向,且沿导线均匀分布。
一、悬链线方程及曲线弧长1。
悬链线方程为了分析方便,我们先从悬挂点等高,即相邻杆塔导线悬挂点无高差得情况讨论导线得应力及几何关系。
实际上,导线悬在空中得曲线形态,从数学角度用什么方程来描述就是进行导线力学分析得前题、由于假定视导线为柔索,则可按照理论力学中得悬链线关系来进行分析,即将导线架设在空中得几何形态视为悬链形态,而由此导出得方程式为悬链线方程。
如图2－5所示,给出了悬挂于A、B两点间得一档导线,假定为悬挂点等高得孤立档,设以导线得最低点Ｏ点为原点建立直角坐标系。
ﻫ图２—5导线悬链线及坐标系同时假定导线固定在导线所在得平面,可随导线一起摆动,显然这就是一个平面力系。
根据这个坐标进行导线得受力分析,可建立导线得悬链线方程、ﻫ我们先从局部受力分析开始,再找出其一般规律、首先在导线上任取一点D(x,y),然后分析ＯD段导线得受力关系,由图2—5所示,此OD段导线受三个力而保持平衡,其中D点承受拉力为T x=σｘS,它与导线曲线相切,与x轴夹角为α; O点承受拉力为Ｔ０=σ0Ｓ,T0为导线O点得切线方向,恰与x轴平行,故又称水平张力;此外还有OD段导线自身得荷载为G＝gSL x, 其中L x为OＤ段导线得弧长。
ﻫ将OD段导线得受力关系画为一个三角形表示,如图2－6所示,ﻫﻫ图2-６导线受力情况ﻫ由静力学平衡条件可知,在平面坐标系中,其水平分力,垂直分力得代数与分别等于零。
或沿x 轴或y轴上分力代数与分别等于零。
垂直方向分力G＝T x siｎα=gSLｘ;水平方向分为Ｔ0=T xｃosα=σ0Ｓ、其中σ0、T0为导线最低点得应力与张力,σx、T x为导线任一点得应力与张力,S、g为导线截面与比载。
悬链线方程复习过程
悬链线方程通常任何材料包括导线在内，都具有一定的刚性，但由于悬挂在杆塔上的一档导线相对较长，因此导线材料的刚性对其几何形状的影响很小，故在计算中假定：（1）导线为理想的柔索。
因此，导线只承受轴向张力（或拉力），任意一点的弯矩为零。
这样导线力学计算可应用理论力学中的柔索理论进行计算。
（2）作用在导线上的荷载均指同一方向，且沿导线均匀分布。
一、悬链线方程及曲线弧长1.悬链线方程为了分析方便，我们先从悬挂点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。
实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题。
由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。
如图2－5所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立档，设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。
图2-5导线悬链线及坐标系同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面力系。
根据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程。
我们先从局部受力分析开始，再找出其一般规律。
首先在导线上任取一点D（x,y），然后分析OD段导线的受力关系，由图2－5所示，此OD段导线受三个力而保持平衡，其中D点承受拉力为T x=σx S，它与导线曲线相切，与x轴夹角为α； O点承受拉力为T0=σ0S，T0为导线O点的切线方向，恰与x轴平行，故又称水平张力；此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSL x，其中L x为OD段导线的弧长。
将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示，如图2－6所示，图2-6导线受力情况由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，垂直分力的代数和分别等于零。
或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。
垂直方向分力G=T x sinα=gSL x;水平方向分为T0=T x cosα=σ0S。
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悬链线方程
通常任何材料包括导线在内，都具有一定的刚性，但由于悬挂在杆塔上的一档导线相
对较长，因此导线材料的刚性对其几何形状的影响很小，故在计算中假定：
（1）导线为理想的柔索。
因此，导线只承受轴向张力（或拉力），任意一点的弯矩为
零。
这样导线力学计算可应用理论力学中的柔索理论进行计算。
（2）作用在导线上的荷载均指同一方向，且沿导线均匀分布。
一、悬链线方程及曲线弧长
1.悬链线方程
为了分析方便，我们先从悬挂点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。
实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题。
由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。
如图2－5所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立档，设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。
图2-5导线悬链线及坐标系
同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面力系。
根据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程。
我们先从局部受力分析开始，再找出其一般规律。
首先在导线上任取一点D（x,y），然后分析OD段导线的受力关系，由图2－5所示，此OD段导线受三个力而保持平衡，其中D点承受拉力为T x=σx S，它
与导线曲线相切，与x轴夹角为α； O点承受拉力为T0=σ0S，T0为导线O点的切线方向，恰与x轴平行，故又称水平张力；此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSL x，其中L x为OD段导线的弧长。
将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示，如图2－6所示，
图2-6导线受力情况
由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，垂直分力的代数和分别等于零。
或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。
垂直方向分力G=T x sinα=gSL x;水平方向分为T0=T x cosα=σ0S。
其中σ0、T0为导线最低点的应力和张力，σx、T x为导线任一点的应力和张力，S、g为导线截面和比载。
将上述二式相比，则可求得导线任意一点D的斜率为：
(2-10)
由微分学知识可知，曲线上任一点的导数即为切线的斜率。
式（2－10）是悬链曲线的微分方程。
我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律，还需要将不定量L x消去，因此，将式对x微分得：
（微分学中弧长微分公式为dS2=(dx)2+(dy)2）将上式移项整理后，两端进行积分
这是个隐函数，因此，再进行分离变量积分，查积分公式有：
（2－11）
再进行分离变量积分，有
于是，导线任一点D的纵坐标为：
（2－12）
式（2－12）是悬链方程的普通形式，其中C1和C2为积分常数，其值可根据取坐标原点的位置及初始条件而定。
如果将坐标原点于导线最低点处，则有下述初始条件：
x=0, dy/dx=tgα=0
代入式（2－11）则C1＝0，将x=0,y=0,C1＝ 0 代入式（2－12），，如此，求得坐标原点最低点O处的悬链方程为：
（2－13）
式中σ0—水平应力(即导线最低点应力)，MPa;
g—导线的比载，N/m.mm2。
当坐标原点选在其它点（例如选在悬挂点处）时，悬链线方程的常数项将有所不同，可以得到不同的公式。
若式（2－13）中x代表档距的时候，则y即为导线的弧垂，因此悬链线方程描述了导线弧垂与应力、比载及档距之间的基本关系，此式称为精确式。
实际上导线的悬链线方程还可以从另一种方式进行推导,下面介绍如下：
由式,对其求导得：
变换为,为找原函数进行积分,
由积分式两边积分，
则有：变为指数形式为
这是个隐函数，为解出，对应有式：
将两式相减则有：
因为双曲正弦函数为：
双曲余弦函数为：
又因为：
最后积分有：
定积分常数,因在坐标原点则，其结果是一样的，即
在线路设计中，为了计算上的方便，一般不使用精确式方程，而是将其展开为泰勒级数形式。
将悬链线方程式（2－13）展开成无穷级数（在x=0点），可得：
（2－14）
2．曲线弧长（或弧长方程）
导线最低点O至任一点的曲线长度叫做弧长，用Lx表示。
将式（2－11）代入式（2－10）中，且积分常数C1＝0，得导线的弧长方程为
（2－15）
根据式（2－15）可以计算一个档距内导线的曲线长度（也叫一档线长）将弧长方程式（2－15）展开成无穷级数可得：
（2－16）
一质量均匀分布的绳两端悬挂时绳子所表示的曲线为悬链线。
关于悬链线解析方程的求解，我很早就知道其方程为双曲余弦函数。
然而当时数学水平尚未满足要求。
后来学会关于双曲函数的相关内容后，又由于坚信绳中张力处处相等而推出悖论，本研究就此搁浅。
直到7月初，我又想起了该曲线的方程求解问题。
需要说明的一点是，绳中张力处处相等要求绳子无质量、绷紧，对于悬链显然不适用。
但受力方向沿着绳是正确的，所以必须结合力的方向来求解。
假设一个无限长的质量均匀分布的绳子在重力作用下自然下垂。
设绳底端受到拉力为T0，线密度为ρ，重力加速度g。
如图所示建立直角坐标系，设绳对应的函数为y=f(x)
对于横坐标从0至x这一段的绳，设质量为m，长度L，受重力为G，受顶端拉力大小为T，该力倾斜角为θ
该段绳受三力平衡：T、G、T0，画出受力示意图，有G/T0=tanθ
由导数的几何意义，tanθ=dy/dx，而G=mg=ρgL，故ρgL/T0=dy/dx，ρgL=T0*dy/dx
对上式取微分，得ρg*dL=T0*d2y/dx，而dL=(dx2+dy2)1/2=[1+(dy/dx)2]1/2*dx，代入得
ρg[1+(dy/dx)2]1/2=T0*d2y/dx2=T0*d(dy/dx)/dx，令dy/dx=P，则
ρg(1+P2)1/2=T0*dP/dx，ρg/T0*dx=dP/(1+P2)1/2
对两侧取积分得∫ρg/T0*dx=∫dP/(1+P2)1/2
ρgx/T0=sinh-1P+C1，P=sinh(ρgx/T0-C1)，dy/dx=sinh(ρgx/T0-C1)
当x=0时，dy/dx=0，代入得sinh(-C1)=0,C1=0，故dy=sinh(ρgx/T0)*dx
再次积分，得y=T0/ρg*cosh(ρgx/T0)+C2
当x=0时，y=0，故0=T0/ρg*cosh0+C2,C2=-T0/ρg
设k=T0/ρg，则y=kcosh(x/k)-k，若只考虑其形状可忽略常数项，故悬链线方程为
y=kcosh(x/k)-k，其中k=T0/ρg
关于双曲函数的一些说明：双曲正弦函数sinhx=(e x-e-x)/2，双曲余弦函数coshx=(e x+e-x)/2 由其定义可得d(sinhx)/dx=coshx，d(coshx)/dx=sinhx，cosh2x-sinh2x=1
其反函数分别为反双曲正弦函数sinh-1x=ln[x+(x2+1)1/2]，反双曲余弦函数cosh-1x=ln[x+(x2-1)1/2]
涉及的一步积分：在∫dP/(1+P2)1/2中，令P=sinht
∫dP/(1+P2)1/2=∫d(sinht)/(1+sinh2t)1/2=∫cosht*dt/cosht=∫dt=t+C=sinh-1P+C。