曲线的参数方程

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第二讲：曲线的参数方程

1．第二讲：曲线的参数方程参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。

曲线的参数方程(教案)

曲线的参数方程教学目标：1. 了解参数方程的定义和特点；2. 学会将直角坐标系下的曲线转换为参数方程；3. 能够利用参数方程分析和解决实际问题。

教学内容：第一章：参数方程的基本概念1.1 参数方程的定义1.2 参数方程的特点1.3 参数方程与直角坐标方程的关系第二章：曲线的参数方程转换2.1 圆的参数方程2.2 椭圆的参数方程2.3 双曲线的参数方程2.4 抛物线的参数方程第三章：参数方程的应用3.1 直线运动的参数方程3.2 曲线运动的参数方程3.3 几何图形的参数方程第四章：参数方程的解法4.1 参数方程的求解方法4.2 参数方程的图像分析4.3 参数方程的优化问题第五章：参数方程的实际应用5.1 参数方程在工程中的应用5.2 参数方程在物理中的应用5.3 参数方程在其他领域的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解参数方程的基本概念和转换方法；2. 利用数形结合法，分析参数方程的图像特点；3. 结合实例，讲解参数方程在实际中的应用；4. 引导学生进行练习和思考，巩固所学知识。

教学评价：1. 课堂问答：检查学生对参数方程基本概念的理解；2. 课堂练习：考察学生对参数方程转换方法的掌握；3. 课后作业：评估学生对参数方程应用的熟练程度；4. 小组讨论：评价学生在团队合作中解决问题的能力。

教学资源：1. 教材或教学参考书；2. 投影仪或白板；3. 数学软件或图形计算器；4. 实例素材和练习题。

教学步骤：第一章：参数方程的基本概念1.1 引入参数方程的概念，解释参数方程的定义；1.2 分析参数方程的特点，与直角坐标方程进行对比；1.3 引导学生思考参数方程的应用场景。

第二章：曲线的参数方程转换2.1 讲解圆的参数方程，展示圆的图像；2.2 引导学生推导椭圆的参数方程，展示椭圆的图像；2.3 讲解双曲线的参数方程，展示双曲线的图像；2.4 讲解抛物线的参数方程，展示抛物线的图像。

第三章：参数方程的应用3.1 分析直线运动的参数方程，举例说明；3.2 分析曲线运动的参数方程，举例说明；3.3 引导学生思考几何图形的参数方程应用。

曲线的参数方程和与普通方程的互化

例1 如图,已知点P是圆O:x2+y2=4上的一个动点 ,点A(6,0).
当点P在圆上运动时,求线段PA中点M的轨迹方程，并说明点M的轨迹图形是什么？
解：取xOP , 则圆的参数方程为：
x 2 cos , (为参数） y 2 sin . 设点M的坐标为（x, y),则点P的坐标
的实质是三角代换.
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 , (t为参数，t R
1 其中参数t= ( 0),当 =0时，t=0. tan 几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程y=2x-4 （x≥0）。
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.
例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？
x= t 1 (1) (t为参数) y 1 2 t
步骤：（1）消参；（2）注意取值范围。
(3)
y=t2+1/t2
（1）（x-2）2+y2=9 （2）y=1- 2x2（- 1≤x≤1）（3）x2- y=2（X≥2或x≤- 2）
（2）普通方程化为参数方程需要引入参数。
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程
x t, （t为参数） y 2t 2.

为（2 cos ,2 sin ） ,由中点公式可得：
x 2 cos 6 2 sin cos 3, y sin 2 2
所以，点M的轨迹的参数方程是

曲线的参数方程

�� = �� - 1 sin��,
如果t 是常数,θ 是参数,那么可以利用公式
��
sin2θ+cos2θ=1 消参;如果 θ 是常数,t 是参数,那么适当变形后可以利
用
�� + 1
2
−
��
��-
1 ��
2
= 4 消参.
-13-
【做一做3-2】已知圆的方程为x2+y2-6y=0,将它化为参数方程.
解:由x2+y2-6y=0,
得x2+(y-3)2=9.
令x=3cos θ,y-3=3sin θ,
所以圆的参数方程为
��
= =
3cos��, 3 + 3sin��
(��为参数).
-9-
∗
, 并且对于��的每一个允许值, 由方程组
∗ 所确定的点�� , �� 都在这条曲线上, 那么方程 ∗ 就叫做这条曲
线的参数方程, 联系变数��, ��的变数��叫做参变数, 简称参数. 相对于
参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
(2)参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个有物理意义或几何意
义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数.
-4-
一曲线的参数方程
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典例透析
IANLITOUXI
【做一做 1】
若点 P(2,4)在参数方程

第二讲：曲线的参数方程

可以使其准确落在指定位置.
1、参数方程的概念：
一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的
坐标x, y都是某个变数t的函数
x f (t),

y

g (t ).
（2）
那么方程(2) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x,y 的变数t叫做参数.
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
x 1 cos
∴
参数方程为

y

3

sin
(θ为参数)
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点， Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
y
P M

o
Qx
解：设点M的坐标是(x, y)，xOP ,则点
P的坐标是(2 cos ,2sin ),由中点坐标公式得：
x 3
1 t 2 (t为参数)和x 3
1t2
y 2t
y 2t
小结：
（1）圆：（x－x0）2+（y－y0）2= r2
x x0 r cos

y

y0
r sin
（为参数）
（2）椭圆：x
a
2 2

y2 b2
1,(a

b
0)
（3）双曲线：ax22
由参数的任意性，可取y 2sin ,
所以椭圆 x2 y2 1的参数方程是 94
x

y

3 c os (为参数) 2sin
（2）把y 2t代入椭圆方程，得x2 4t 2 1 94

常见曲线的参数方程

2.2 常见曲线的参数方程第一节圆锥曲线的参数方程一椭圆的参数方程1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22221(0)x y a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22221(0)y x a b a b+=>>的椭圆的参数方程为cos (sin x b y a ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）2、椭圆参数方程的推导如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。

设以Ox 为始边，OA 为终边的角为ϕ，点M 的坐标是(,)x y 。

那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。

由于点,A B 都在角ϕ的终边上，由三角函数的定义有cos cos ,sin sin x OA a y OB b ϕϕϕϕ==== 3当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。

3、椭圆的参数方程中参数ϕ的意义圆的参数方程cos (sin x r y r θθθ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）中的参数ϕ不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2ϕπ∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。

①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x ya b ϕϕ==，可以利用平方关系将参数方程中的参数ϕ化去得到普通方程22221(0)x y a b a b+=>>②在椭圆的普通方程22221(0)x y a b a b +=>>中，令cos ,sin x ya bϕϕ==，从而将普通方程化为参数方程cos (sin x a y b ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，0)a b >>注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2ϕπ∈②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。

一、曲线的参数方程

参数方程与解析几何的关系
参数方程是解析几何的基本工具之一
在解析几何中，参数方程被广泛应用于描述几何图形，它提供了比直角坐标方程更加灵活和方便的描述方式。
参数方程与极坐标方程的转换
在某些情况下，可以将参数方程转换为极坐标方程，以便利用极坐标的性质来研究曲线的性质。
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参数方程导数的计算方法
通过对方程中的参数求导，并利用链式法则和乘积法则进行计算。
参数方程的积分
参数方程的积分定义
参数方程的积分是表示曲线与坐标轴围成的面积的数学工具。
参数方程积分的几何意义
参数方程的积分表示曲线与坐标轴围成的面积，即曲线在某一区间上的长度。
参数方程积分的计算方法
通过对方程中的参数进行不定积分，并利用微积分基本定理进行求解。
通过参数t将曲线上的点与实数轴上的点一一对应起来。
参数方程的表示形式
显式参数方程
x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)的形式，其中 x、y、z是参数t的函数。
隐式参数方程
通过方程F(x,y,z)=0表示，其中F是参数t的函数。
参数方程与直角坐标方程的转换
直角坐标方程
01
通过x、y、z来表示曲线上点的坐标。
一、曲线的参数方程
目录
• 参数方程的基本概念 • 参数方程在曲线表示中的应用 • 参数方程的物理意义 • 参数方程的微积分性质 • 参数方程的几何意义
01 参数方程的基本概念
参数方程的定义
参数方程
由参数t表示的方程组，其中x、y是参数t的函数。
参数方程的一般形式
x=x(t)，y=y(t)。
参数方程的特点
详细描述

常见曲线的参数方程

双曲线参数方程
04
双曲线标准形式及性质
标准形式
$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a, b > 0$）
性质
双曲线有两个焦点，位于x轴上，距离原点的距离为$c$，其中$c^2 = a^2 + b^2$。双曲线上的任意一点到两焦点的距离之差为定值$2a$。
椭圆性质
椭圆有两个焦点，任意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长度；椭圆关于中心对称，也关于两焦点所在的直线对称。
椭圆参数方程推导
参数方程形式
$x = acostheta, y = bsintheta$，其中$theta$为参数，表示与$x$轴的夹角。
推导过程
由椭圆的标准形式，设$x = acostheta$，代入椭圆方程可得 $y = pm bsqrt{1 - frac{x^2}{a^2}} = pm bsqrt{1 cos^2theta} = pm bsintheta$。由于椭圆关于$x$轴对称，故取正号，得到椭圆的参数方程。
常见曲线的参数方程
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contents
目录
• 曲线基本概念与分类 • 直线与圆参数方程 • 椭圆参数方程 • 双曲线参数方程 • 抛物线参数方程 • 空间曲线参数方程简介
曲线基本概念与分
01
类
曲线定义及性质
曲线定义
曲线是动点运动时，其位置随时间连续变化所形成的轨迹。
曲线性质
曲线具有连续性、光滑性、可微性等性质，这些性质决定了曲线的形态和特性。
参数方程定义
参数方程是一种通过引入参数来表示变量间关系的方程形式。在参数方程中，曲线的坐标被表示为参数的函数。

空间曲线与曲面的参数方程与性质

空间曲线与曲面的参数方程与性质空间曲线和曲面是数学中重要的概念，它们在几何学和物理学等领域中有广泛的应用。

本文将介绍空间曲线和曲面的参数方程以及它们的性质。

一、空间曲线的参数方程与性质空间曲线是指在三维空间中由一组点构成的连续曲线。

为了描述和研究曲线的性质，可以使用参数方程来表示曲线上的点的坐标。

设曲线上的点的坐标为(x, y, z)，曲线的参数为t，则曲线的参数方程可以表示为：x=f(t)y=g(t)z=h(t)其中f(t)，g(t)，h(t)是t的函数，且在t的定义域上连续可导。

空间曲线的参数方程可以灵活地描述曲线的形状，在计算和分析上也更具优势。

根据具体的问题和曲线的特点，可以选择不同的参数方程来表达。

根据参数方程，可以计算曲线上各个点的切向量、曲率、弧长等性质。

切向量表示曲线在该点的切线方向，曲率描述曲线在该点的弯曲程度，而弧长则是曲线上两个点之间的距离。

二、空间曲面的参数方程与性质空间曲面是指在三维空间中由一组点构成的连续曲面。

为了描述和研究曲面的性质，同样可以使用参数方程来表示曲面上的点的坐标。

设曲面上的点的坐标为(x, y, z)，曲面的参数为u和v，则曲面的参数方程可以表示为：x=f(u, v)y=g(u, v)z=h(u, v)其中f(u, v)，g(u, v)，h(u, v)是u和v的函数，且在参数域上连续可导。

空间曲面的参数方程可以将曲面分解成u和v两个变量的函数，对于复杂的曲面，参数方程的使用相对简单和便捷。

通过参数方程可以计算曲面上各个点的法向量、曲率、面积等性质。

法向量表示曲面在该点的法线方向，曲率描述曲面在该点的弯曲程度，而面积则是曲面上某一区域的大小。

三、空间曲线与曲面的参数方程的关系与应用空间曲线和曲面的参数方程之间存在密切的联系。

实际上，曲线可以被看作是曲面上的一条特殊轨迹。

通过曲线的参数方程，可以确定曲线在曲面上的位置和方向。

而通过曲面的参数方程，可以描述曲线所在的曲面的形状和性质。

空间曲线的参数方程和切向量

空间曲线的参数方程和切向量空间曲线的参数方程是描述曲线上各点坐标与某个参数之间的关系的方程，而切向量是指曲线上某一点处的切线方向的向量。

通过参数方程，我们可以方便地求解曲线上各点的坐标，而利用切向量则可以研究曲线的切线方向、曲率等性质。

本文将介绍空间曲线的参数方程和切向量的基本概念及计算方法。

一、参数方程的定义与应用空间曲线的参数方程可以通过将曲线上各点的坐标表示为某个参数的函数形式来定义。

例如，对于一条平面曲线，我们可以将其参数方程表示为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中t为参数，f(t)，g(t)，h(t)分别表示x，y和z方向上的坐标函数。

通过给定参数t的取值范围，我们可以得到曲线上的点。

在实际应用中，参数方程可以方便地描述各种复杂的空间曲线。

例如，对于圆柱曲线，我们可以通过参数方程描述其螺旋形状，其中参数可以表示曲线的弯曲程度和半径等信息。

参数方程还可以用于描述三维图形的生成，如在计算机图形学中，通过变化参数值可以生成各种有趣的曲线和曲面。

二、参数方程的计算方法确定参数方程的关键是确定坐标函数f(t)，g(t)，h(t)以及参数t的取值范围。

通常情况下，可以通过以下步骤来计算参数方程：1. 首先，通过给定的条件或曲线方程得到曲线上某点的坐标表示形式；2. 然后，将坐标表示形式改写成参数的函数形式，即将坐标表示形式中的x，y，z替换成f(t)，g(t)，h(t)；3. 最后，确定参数t的取值范围，使得t的取值能够覆盖曲线上的所有点。

需要注意的是，参数方程的确定并不唯一，不同的参数方程可能描述同一个曲线。

因此，在确定参数方程时，需要考虑方便计算和使用的因素。

三、切向量的定义与计算方法切向量是指曲线上某一点处的切线方向的向量，用于表示曲线在该点的局部特征。

切向量的计算可以通过对参数方程求导来实现。

具体而言，我们可以通过以下步骤来计算切向量：1. 首先，确定参数t的取值，选取一个具体的点P(t)在曲线上；2. 然后，计算参数方程中各坐标函数f(t)，g(t)，h(t)对t的导数，即f'(t)，g'(t)，h'(t)；3. 最后，将导数值组成的向量作为切向量。

13.2 参数方程

1 (2)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐 2
3 标压缩为原来的倍得到曲线 C2,设点 P 是曲线 C2 上的一 2
个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 思维导引:(1)先把直线和圆的参数方程化为普通方程,然后利用直线被圆所截弦长公式求解;(2)先根据伸缩变换写出曲线 C2 的参数方程,从而写出点 P 的坐标,然后根据点到直线的距离公式求出目标函数,最后求最值.
考点二参数方程及其应用
【例 2】 (2013 内蒙古包头市模拟)已知直线
1 x 1 t, x cos , 2 l: (t 为参数),曲线 C1: y sin y 3t 2
(θ 为参数). (1)设 l 与 C1 相交于 A、B 两点,求|AB|;
3 d 取得最小值,最小值为 (- 2 +2)= 4
反思归纳
一般地 ,如果题目中涉及圆、椭圆
上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程,设曲线上点的坐标,将问题转化为三角恒等变换问题解决,使解题过程简单明了.
即时突破 2 已知点 P(x,y)是圆 x +y =2y 上的动点 .
(1)求 2x+y 的取值范围; (2)若 x+y+a ≥0 恒成立,求实数 a 的范围.
π ρ cos =t,若两曲线有公共点,则 t 的取值范 3
围是 .
解析:将曲线 C1 的参数方程化为普通方程得 (x-2)2+y2=4, 即曲线 C1 是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆, 将曲线 C2 的极坐标方程化成直角坐标方程得 x- 3 y-2t=0.
∵两曲线有公共点, ∴圆心(2,0)到直线 x- 3 y-2t=0 的距离

常见曲线的参数方程总结

主目录（1–10 ）
x
a
曲线,是一条极其迷人的曲线，在生活中应用广泛。
1. 旋轮线
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的
x
来看动点的慢动作
2a
2a
0
y
x
a
x = a (t – sint) y = a (1– cost)
t 的几何意义如图示
t
a
当 t 从 0 2，x从 0 2a
即曲线走了一拱
a
.
参数方程
o
a
C
A
x
y
这就是旋轮线的参数方程。
将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板
2. 旋轮线也叫摆线（单摆）
两个旋轮线形状的挡板, 使摆动周期与摆幅完全无关。在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。
B
A
答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。
最速降线问题: 质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？
4.
0
x
y
x+y+a = 0
曲线关于 y= x 对称
曲线有渐近线 x+y+a=0
.
0
x
y
P
r
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 =
.
.
.
.
.
距离之积为a2的点的轨迹
直角系方程
8.双纽线
0
x
y
.
所围面积
.
.
.
由对称性
.
例1 求双纽线

曲线参数方程

曲线参数方程
曲线参数方程是数学中的一种表示曲线的方法，它是由参数方程得到的。

参数方程是指将一条曲线的x和y坐标都表示为一个值t的函数，这个t值称为参数。

曲线参数方程可以用于描述各种复杂的图形，它常用于物理、工程和计算机图形学等领域。

曲线参数方程的一般形式是：
x=f(t)
y=g(t)
其中，函数f(t)和g(t)都是关于参数t的函数。

通过不同的参数值t，我们可以得到曲线上的不同点坐标(x,y)。

例如，对于一个圆形，它的参数方程可以表示为：
x=r*cos(t)
y=r*sin(t)
其中，r为圆的半径，参数t在0～2π之间取值，表示圆上的点的位置。

类似地，对于其他的曲线形状，可以通过不同的f(t)和g(t)函数来表示。

使用曲线参数方程可以使得我们更加方便地进行坐标运算和图像变换。

同时，在一些数学问题中，例如求曲线长度、曲线与坐标轴围成面积等，使用参数方程可以更加方便地进行计算。

需要注意的是，在使用曲线参数方程时，我们需要根据实际问题确定参数t的取值范围，以确保我们得到的曲线上的点都是符合要求的。

总之，曲线参数方程是一种非常有用的数学工具，它为我们的数学和工程问题提供了方便、快捷的解决方案。

无论是从理论上还是实际应用中来看，曲线参数方程都是一种非常值得探究和研究的数学工具。

空间曲线的参数方程

空间曲线的参数方程空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以用参数方程来描述。

参数方程是一种通过引入参数来表示曲线上的点的方法，其能够提供曲线上点的位置和方向的信息。

本文将介绍空间曲线的参数方程，并探讨其应用。

一、什么是参数方程参数方程是一种用参数表示曲线上各点的位置坐标的方法。

在平面坐标系中，一般用 x 和 y 来表示点的位置，而在三维空间中，可以引入第三个参数 z 来表示点的高度坐标。

因此，空间曲线的参数方程通常可以写成以下形式：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z 分别表示曲线上点的横坐标、纵坐标和高度坐标，f(t)、g(t) 和 h(t) 则是参数 t 的函数。

通过给定不同的参数值 t，可以得到曲线上对应的点的位置。

二、参数方程的应用参数方程在几何学中有广泛的应用，尤其在描述曲线和曲面时非常方便。

下面以几个具体的例子来说明参数方程的应用。

1. 直线的参数方程考虑一条直线 L，过点 A 和 B 的两个不同位置。

可以使用参数方程来表示直线上的点。

假设 A 的坐标为 (x₁, y₁, z₁)，B 的坐标为 (x₂, y₂, z₂)。

则直线L 的参数方程可以表示为：x = x₁ + t(x₂ - x₁)y = y₁ + t(y₂ - y₁)z = z₁ + t(z₂ - z₁)其中，t 是参数，可以取任意实数。

当 t 取不同的值时，可以得到直线上不同位置的点。

2. 圆柱面的参数方程圆柱面是一种常见的曲面，在三维空间中可以使用参数方程来表示。

假设圆柱面的中心点为 (a, b, c)，半径为 r，高度为 h，则圆柱面的参数方程可以表示为：x = a + r*cosθy = b + r*sinθz = c + t*h其中，θ 是参数，表示圆柱面上的点绕着圆心的角度，t 是参数，表示圆柱面上的点在高度方向上的位置。

3. 螺旋线的参数方程螺旋线是一种特殊的曲线，其可以通过参数方程来描述。

参数方程的曲率公式推导

参数方程的曲率公式推导曲线的参数方程表示为：$$\begin{cases}x = f(t) \\y = g(t)\end{cases}$$其中，$f(t)$和$g(t)$是关于参数$t$的函数。

我们先求曲线的切矢量$\vec{T}$：$$\vec{T} = \frac {d\vec{r}}{ds}$$其中，$\vec{r}$表示曲线上的任意一点$(x, y)$，$s$表示曲线上的弧长。

我们有：$$d\vec{r} = \frac {dx}{dt} dt \vec{i} + \frac {dy}{dt} dt \vec{j} = \left(\frac {dx}{dt} \vec{i} + \frac {dy}{dt} \vec{j}\right) dt =\vec{v} dt$$其中，$\vec{v}$表示曲线上的速度向量。

因此，切矢量$\vec{T}$可以表示为：$$\vec{T} = \frac {\vec{v}}{v} = \frac {\left(\frac {dx}{dt} \vec{i} + \frac {dy}{dt} \vec{j}\right)}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)^2}} = \frac {\frac {dx}{dt} \vec{i} + \frac {dy}{dt} \vec{j}}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 +\left(\frac {dy}{dt}\right)^2}}$$接下来，我们求曲线的曲率$K$，曲率的定义为：$$K = \left|\frac {d\vec{T}}{ds}\right|$$其中，$|\cdot|$表示向量的模。

我们有：$$\frac {d\vec{T}}{ds} = \frac {d}{ds}\left(\frac {\vec{v}}{v}\right) = \frac {\frac {d}{dt}\left(\frac {\vec{v}}{v}\right)}{\frac{ds}{dt}} = \frac {\frac {d}{dt}\left(\frac {\frac{d\vec{r}}{dt}}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)^2}}\right)}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 +\left(\frac {dy}{dt}\right)^2}} = \frac {\frac {d}{dt}\left(\frac{\vec{v}}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}}\right)}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 +\left(\frac {dy}{dt}\right)^2}}$$将曲线的速度向量$\vec{v} = \frac {dx}{dt} \vec{i} + \frac {dy}{dt} \vec{j}$代入，得到：$$\frac {d\vec{T}}{ds} = \frac {\frac {d}{dt}\left(\frac {\frac {dx}{dt} \vec{i} + \frac {dy}{dt} \vec{j}}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}}\right)}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 +\left(\frac {dy}{dt}\right)^2}}$$对$\frac {\frac {dx}{dt}}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 +\left(\frac {dy}{dt}\right)^2}}$和$\frac {\frac{dy}{dt}}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}}$进行求导，利用链式法则，得到：$$\frac {d}{dt}\left(\frac {\frac {dx}{dt}}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)^2}}\right) = \frac {\frac {d^2x}{dt^2}}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 +\left(\frac {dy}{dt}\right)^2}} - \frac {\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 \frac {d}{dt}\left(\frac {\frac {dx}{dt}}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}}\right)}{\left(\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)^2}\right)^2}$$将上式中的$\frac {\frac {dx}{dt}}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)^2}}$替换为切矢量$\vec{T}$，可得：$$\frac {d}{dt}\left(\frac {\vec{T_x}}{\sqrt{\vec{T_x^2} +\vec{T_y^2}}}\right) = \frac {\frac{d^2x}{dt^2}}{\sqrt{\vec{T_x^2} + \vec{T_y^2}}} - \frac{\vec{T_x^2} \frac {d}{dt}\left(\frac{\vec{T_x}}{\sqrt{\vec{T_x^2} +\vec{T_y^2}}}\right)}{\left(\sqrt{\vec{T_x^2} +\vec{T_y^2}}\right)^2}$$同理，$\frac {\frac {dy}{dt}}{\sqrt{\left(\frac {dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac {dy}{dt}\right)^2}}$对$t$求导得：$$\frac {d}{dt}\left(\frac {\vec{T_y}}{\sqrt{\vec{T_x^2} +\vec{T_y^2}}}\right) = \frac {\frac{d^2y}{dt^2}}{\sqrt{\vec{T_x^2} + \vec{T_y^2}}} - \frac{\vec{T_y^2} \frac {d}{dt}\left(\frac{\vec{T_y}}{\sqrt{\vec{T_x^2} +\vec{T_y^2}}}\right)}{\left(\sqrt{\vec{T_x^2} +\vec{T_y^2}}\right)^2}$$由于$\vec{T_x} = \frac {dx}{dt}$，$\vec{T_y} = \frac{dy}{dt}$，代入上面的两个式子，并利用$\frac {d^2x}{dt^2} = \frac {d}{dt}\left(\frac {dx}{dt}\right)$和$\frac {d^2y}{dt^2} = \frac {d}{dt}\left(\frac {dy}{dt}\right)$，可得：$$\frac {d\vec{T}}{ds} = \frac {\frac{d^2x}{dt^2}}{\sqrt{\vec{T_x^2} + \vec{T_y^2}}} - \frac{\vec{T_x^2} \frac{d^2\vec{T_x}}{ds^2}}{\left(\sqrt{\vec{T_x^2} +\vec{T_y^2}}\right)^2} + \frac {\frac{d^2y}{dt^2}}{\sqrt{\vec{T_x^2} + \vec{T_y^2}}} - \frac{\vec{T_y^2} \frac{d^2\vec{T_y}}{ds^2}}{\left(\sqrt{\vec{T_x^2} +\vec{T_y^2}}\right)^2}$$将$\vec{T_x}^2 + \vec{T_y}^2 = 1$代入，并整理，可得：$$\frac {d\vec{T}}{ds} = \frac {d^2x}{dt^2} \vec{T_x} + \frac {d^2y}{dt^2} \vec{T_y} - \left(\frac {d^2x}{dt^2} \vec{T_x}^2 +\frac {d^2y}{dt^2} \vec{T_y}^2\right) \vec{T}$$进一步整理，可得曲率$K$的表达式为：$$K = \left|\frac {d\vec{T}}{ds}\right| = \sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 + \left(\frac {d^2y}{dt^2}\right)^2} $$上述表达式即为参数方程的曲率公式。

直角坐标系中曲线的参数方程

参数方程的参数范围和周期性
参数t有一个特定的取值范围，表示曲线上点的运动轨迹。当参数t超出其取值范围时，曲线上的点会重复出现。
对于具有周期性的曲线，其参数方程可能具有周期性，即当参数t增加一个特定的值时，曲线上的点会重复出现。这种周期性可以通过观察曲线的形状和参数t的变化规律来识别。
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参数方程的求解方法
参数方程用于描述曲线的形状和变化规律，通过设定参数的变化范围，可以绘制出完整的曲线图形。
参数方程简化了曲线绘制的计算过程，使得绘制复杂的曲线变得相对简单。
参数方程在解决物理问题中的应用
在物理问题中，很多物理量是随时间变化的，参数方程可以描述这种变化过程，帮助我们理解物理现象和规律。
例如，振动和波动的问题可以用参数方程来描述，通过求解参数方程，可以得到物理量的变化规律。
利用三角函数求解参数方程
总结词
利用三角函数求解参数方程是一种常见的方法，适用于参数方程中含有三角函数的情况。
详细描述
当参数方程中含有三角函数时，可以利用三角函数的性质和恒等式来求解。例如，如果参数方程中包含正弦函数和余弦函数，可以利用三角恒等式将它们转换为单一的三角函数形式，从而简化求解过程。此外，还可以利用三角函数的周期性和对称性等性质来简
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参数方程的应用实例
地球的运动轨迹描述
要点一
总结词
参数方程在描述地球的运动轨迹时，可以精确地表示地球绕太阳的椭圆轨道。
要点二
详细描述
参数方程通过引入两个参数（通常是时间和角度）来表示地球在直角坐标系中的位置，能够精确地描述地球绕太阳的椭圆轨道，包括地球的近日点和远日点。
摆线的参数方程表示
参数方程与直角坐标方程的转换

曲线的一般方程化为参数方程

曲线的一般方程化为参数方程曲线是数学中的重要概念之一，我们可以通过数学公式来表达曲线的形式。

一般来说，曲线的方程可分为两种形式：一种是直角坐标系下的方程，另一种则是参数方程。

本文将为大家介绍如何将曲线的一般方程化为参数方程。

一、什么是参数方程参数方程又叫向量函数，是用向量的方式来描述直线、曲线或曲面的方程。

参数方程通常表示为：x = f(t)y = g(t)其中，x、y表示坐标，t表示参数。

通过不断改变参数t的值，我们可以得到一些点的坐标值，进而组成曲线或者图形。

二、曲线的一般方程假设我们有一条曲线，它的一般方程形式为：f(x, y) = 0其中，f表示一个函数，x、y则是曲线上的点的坐标。

一般方程最常见的例子便是圆的一般方程：x^2 + y^2 = r^2其中，r为圆的半径。

如果想将这个方程式化为参数方程，我们需要进行以下步骤：1. 通过任意曲线上的一个点P(x,y)，假设P在纵坐标上，即y≠0。

现在我们将P点移动到原点O，即平移(-x, -y)。

2. 在新的坐标系下，求出曲线上一点(x1, y1)和原点O的连线与x轴正方向的夹角θ。

这里我们可以通过三角函数求出：θ = arctan(y1 / x1)3. 我们可以将曲线分为若干小部分，每一部分的长为ds，曲线上的点距离P点的距离为s。

4. 我们假设P点到曲线上的每一个点的距离为t，即t = s = ∫ds5. 最后，我们得到的参数方程为：x = tcos(θ) + xy = tsin(θ) + y至此，我们已经将曲线的一般方程化为了参数方程。

在实际的应用中，参数方程可以更加灵活地展现出曲线的形态，为我们的研究提供更多的参考。

总结：本文介绍了如何将曲线的一般方程化为参数方程，主要包括寻找曲线上的一点，求出曲线上任意一点和原点的夹角以及计算曲线长度的几个步骤。

通过这些步骤，我们可以将曲线更加方便地描述出来，并展现出更加精美的形式。

2.1.曲线的参数方程PPT课件

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一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。
这就是圆心在原点O，
o
M0 x
半径为r的圆的参数方程。
其中参数t有明确的物理意义
(质点作匀速圆周运动的 2时 021 刻)
16
考虑到＝ t ，也可以取为参数，
y
于是有{xy rrcso ins(为参数 )
M(x,y)
这也是圆心在原点O，
r
半径为r的圆的参数方程
o
其中参数的几何意义是 :
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数
如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参
数方程
x
y
t, 2t
（t为参数）
2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x tan ,
y
cot .
（为参数）
2021
27
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为
普通方程
投放点
提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？
？救援点
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？设飞机在点A将物资投出机舱，
如：①参数方程

参数方程

17 参数方程知识梳理1．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）.并且对于t 的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫做这条曲线的参数方程，其中变数t 称为参数．2．一些常见曲线的参数方程(1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt(t 为参数)．要点整合1．极坐标方程与参数方程互化时，以普通方程(直角坐标方程)为联系达到相互转化． 2．在利用参数方程求解具体问题时，注意参数的几何意义和范围． 3．数形结合思想是求有关参数方程的最值问题的高效方法．题型一．参数方程化为普通方程(或极坐标方程)例1.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．[解] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.消去参数的三种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．变式：在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，得ρ1＝1，θ1＝π3，设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎨⎧2ρ2sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π3＝33，θ2＝π3，得ρ2＝3，θ2＝π3，由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝2.题型二．直线的参数方程中参数几何意义的应用例2.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎨⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t(t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．[解] (1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2＝2ax (a >0)，由⎩⎨⎧x ＝－2＋22ty ＝－4＋22t (t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y 2＝2ax (a >0)，x －y －2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t(t 为参数)代入y 2＝2ax ，整理得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0. 设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )， ∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2， ∴8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )， ∴a ＝1.根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长|M 1M 2|＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2； ②弦M 1M 2的中点⇔t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|； ④1|M 0M 1|＋1|M 0M 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|. 其中：|t 1|＋|t 2|＝（|t 1|＋|t 2|）2 ＝（t 1＋t 2）2－2t 1t 2＋2|t 1t 2|.变式：已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值与|AB |.解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②，得t 2＋53t ＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－53，t 1t 2＝18.所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18， |AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝（－53）2－4×18＝3，所以|MA |·|MB |＝18，|AB |＝ 3.题型三．极坐标方程与参数方程的综合应用例3.(2016·高考全国卷丙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时点P 的直角坐标． [解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为()3cos α，sin α.因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝||3cos α＋sin α－42＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12.求参数方程中最值问题的三个策略(1)曲线方程上的点用参数方程表示；直线用普通方程表示；利用相关距离公式将目标转化为求以参数为变量的函数的最值；(2)当曲线是圆时，数形结合更快捷方便；(3)利用直线参数方程中参数的几何意义时，需特别注意方向性．变式：以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝12，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，椭圆C ：x 216＋y 24＝1.(1)求点M 的直角坐标与曲线C 的参数方程；(2)过点M 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且M 为线段AB 的中点，P 是C 上的一个动点，求△P AB 面积的最大值．解：(1)由tan θ＝12，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2得cos θ＝255，sin θ＝55，又ρ＝5，∴x ＝ρcos θ＝2，y ＝ρsin θ＝1，∴点M 的直角坐标为(2，1)．将a ＝4，b ＝2代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos βy ＝b sin β可得椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos βy ＝2sin β(β为参数)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2116＋y 214＝1x 2216＋y 224＝1，相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0.∵M (2，1)为AB 中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，代入上式可得y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即直线l 的斜率k ＝－12.∴直线l 的普通方程为y ＝－12x ＋2.由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋2x 216＋y 24＝1，解得A (0，2)，B (4，0)，∴|AB |＝25，过椭圆C 上的动点P 作直线l 1∥l ，则当l 1与椭圆C 相切时可求点P 到直线l 的最大值．设l 1的方程为：y ＝－12x ＋m ，代入x 216＋y 24＝1整理得2x 2－4mx ＋4m 2－16＝0，由Δ＝16m 2－8(4m 2－16)＝0，解得m ＝±2 2.显然当m ＝－22，P (－22，－2)时，点P 到直线l 距离最大为d ＝4（2＋1）5，从而(S △P AB )最大＝12|AB |·d ＝12×25×4（2＋1）5＝4(2＋1)．【真题演练】1.在直角坐标系x O y 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ty ta x 14（t 为参数）．（1）若a =-1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a ．解：（1）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），化为标准方程是：1922=+y x ； a =-1时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x +4y -3=0；联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+0341922y x y x ，解得⎩⎨⎧==03y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=25242521y x ，所以椭圆C 和直线l 的交点为（3，0）和)2524,2521(-．（2）l 的参数方程⎩⎨⎧-=+=ty ta x 14（t 为参数）化为一般方程是：x +4y -a -4=0，椭圆C 上的任一点P 可以表示成P （3cos θ，sin θ），θ∈[0，2π），所以点P 到直线l 的距离d 为： d =17=17，φ满足tan φ=43，又d 的最大值d max =17，所以|5sin （θ+φ）-a -4|的最大值为17，得：5-a -4=17或-5-a -4=-17，即a =-16或a =8．2.在直角坐标系x O y 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ=4．（1）M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为），（32π，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值答案：解：（1）曲线C 1的直角坐标方程为：x =4，设P （x ，y ），M （4，y 0），则x 4=y y 0，∴y 0=4yx ，∵|OM||OP|=16，∴ x 2+y 2 02=16，即（x 2+y 2）（1+y 2x ）=16，∴x 4+2x 2y 2+y 4=16x 2，即（x 2+y 2）2=16x 2，两边开方得：x 2+y 2=4x ，整理得：（x -2）2+y 2=4（x ≠0），∴点P 的轨迹C 2的直角坐标方程：（x -2）2+y 2=4（x ≠0）．（2）点A 的直角坐标为A （1，，显然点A 在曲线C 2上，|OA|=2， ∴曲线C 2的圆心（2，0）到弦OA 的距离d = 4−1= 3， ∴△AOB 的最大面积S=12|OA|•（2+ 3）=2+ 3．3.在直角坐标系x O y 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧=+=kty tx 2，（t 为参数），直线l 2的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k m y m x 2，（m 为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：02)sin (cos =-+θθρ，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．答案：解：（1）∵直线l 1的参数方程为 y =kt x =2+t，（t 为参数）， ∴消掉参数t 得：直线l 1的普通方程为：y =k （x -2）①；又直线l 2的参数方程为 y =m kx =−2+m，（m 为参数），同理可得，直线l 2的普通方程为：x =-2+ky ②；联立①②，消去k 得：x 2-y 2=4，即C 的普通方程为x 2-y 2=4；（2）∵l 3的极坐标方程为ρ（cos θ+sin θ）- 2=0， ∴其普通方程为：x +y - ，联立 x 2−y 2=4x +y = 2得： y =− 22x =3 2，∴ρ2=x 2+y 2=184+24=5．∴l 3与C 的交点M 的极径为ρ= 5．。