微分几何第四版答案整理版
第四版微分几何期末复习总结
()221122222222221212u u 2222221u u 1.I I du sinh udv ,u=v u=v I du sinh udu =+sinh u du =cos h udu ,u=v A(u ),B(u )u <u ,S [ds/du]du sinh u sinh u ;(2)ds du (u +a )dv ,u+v=0u-v=0=+⇒=+===-=+⎰⎰求弧长和交角.(1)求的弧长.解：（1）设曲线上两点则弧长为求与的交角.解：由题2222222E=1,F=0,G=(u +a )u+v=0u-v=0E=1,F=0,G=a u+v=0u-v=0du/dv=-1=x,u /v 1cos [E F G]/[1a ]/[1a ]arc cos[1a ]/[1a ].y xy xy δδϕθ==⇒=++=-++⇒=-++意得；由与得交点（0,0）处；由与得{}1231121231233121212312222113232..r a cosh t,asinh t,at r r r r r r r r (r r r )=a k r r /[r ]1/[2a cosh t]=(r r r )r r k;"cosh sinh 1,cosh sinh,sinh cosh".r {a(3t-t ),3at ,a(3t+t )},(a 0τ⇒⨯⨯⇒⇒=⨯=⨯=-===>求曲率和挠率.（1）题1=解:求，，，，，，，，，/()（2）题2={}{}{}1212223123322112212222).r ),r r (1+t ),r 6a 0,6a ,(r r r )=216a k 1/[3a(1+t )],=k;(3).r a cos ,asin ,b k,;,,.r r r absin ,ab cos ,a ,r r k a /(a b ),=b /(a τθθθταβγθθτ⇒=⨯==-⇒=⇒=⨯=-⨯=⇒=++解：...，，，题3求圆柱螺线=的解：...{}{}{}121112121112121112b );=r /r -asin ,a cos ,b ,=(r r )/r r bsin ,b cos ,a =[(r r )r -(r r )r ]/[r r r ]cos ,-sin ,0.αθθγαβθθβθθ=⨯⨯=⨯=-⋅⋅⋅⨯=-切向量,主法u 222u u u uu u u uu u 3.(1) 1.r {(u)cos ,(u)sin ,(u)},(u)0,r ,r E=r r ='+',F=r r =0,G=r r r ,r ,r n [r r ]/L=n r =-[''''M=n r 0,N=n r [']/θθθθθθθθθθθϕθϕθψϕϕψϕϕψϕψϕψ=>⇒⋅⋅⋅==⇒=⨯⋅-⋅=⋅=题求的高斯曲率和平均曲率.解：求求23/2121222212xOz x=(z)z (u)u L=-M 0,N=F=M 0k L/E ''/[(1')],k N/G 1/[k k k -''/[(1')];H k +k '''(ϕψϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ==⇒====-+==⇒==+-取平面上最初的曲线为得因为，所以旋转面的坐标曲线为曲率线，并且主曲率为高斯曲率平均曲率为=[1/2]()=[1+]/[223/222N T N N N N 222222*********')(2).r ucosv usinv bv k ,K,H.E=1,F=0,G=u +b ;L=0,L k E,M k F;M k F,N k G]0K b /[u +b ],K b /[u +b ];K K K b /[(u +b )],H [1/2](K +K )0..ϕ+----===-==-==].题2求正螺面={,,}的解:由题意得代入主曲率公式[解得（3）题3确定抛222200000T N N 12z a x +y .p ax q ay,r a,s 0,t a p q ,r a,s 0,t a E=1+p =1,F=pq=0,G=1+q 1,L=r /a M=s /N=t /a a-k ,0;0,a-k ]0K K ======⇒=====物面=()在（0,0）的主曲率解:由题意得=2,=222在(0,0)处=0,=022；2，，2代入主曲率公式得[22解得2a.“求主曲率，高斯曲率和平均曲率”4.k 0k r 0,r =0r =a(),r a b,b =0r =0,r =a()s ττγαγγγ⋅⋅⋅⋅⋅⋅≡≡=≡+≡⋅⋅⋅证明的曲线是直线;0的曲线是平面曲线.证：已知因而，由此得到常向量再积分=其中也是常向量，即得证;若0,则是固定向量,但是我们已知，因而有积分后得常数，所以曲线在一个平面上。
(整理)微分几何答案11415
4.环境保护地方性法规和地方性规章（4、水运、轨道交通、电力等行业的国家和省级重点建设项目；
（2）防护支出法
第1页
大纲要求
（2）列出有关的法律、法规、规章、标准、规范和评价对象被批准设立的相关文件及其他有关参考资料等安全预评价的依据。
（1）可能造成重大环境影响的建设项目，编制环境影响报告书，对产生的环境影响应进行全面评价；第一章
1.向量函数
（3）介绍评价对象的选址、总图布置、水文情况、地质条件、工业园区规划、生产规模、工艺流程、功能分布、主要设施、设备、装置、主要原材料、产品（中间产品）、经济技术指标、公用工程及辅助设施、人流、物流等概况。
（5）为保障评价对象建成或实施后能安全运行，应从评价对象的总图布置、功能分布、工艺流程、设施、设备、装置等方面提出安全技术对策措施；从评价对象的组织机构设置、人员管理、物料管理、应急救援管理等方面提出安全管理对策措施；从保证评价对象安全运行的需要提出其他安全对策措施。对策措施的建议应有针对性、技术可行性和经济合理性，可分为应采纳和宜采纳两种类型。
(完整word版)微分几何练习题库及参考答案(已修改)..
《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=r r r 138i j k -+rr r ．2．设f ()(sin )i j t t t =+r r r ，2g()(1)i j t t t e =++r r ，求0lim(()())t f t g t →⋅=r r 0 ．3．已知{}42r()d =1,2,3t t -⎰r ， {}64r()d =2,1,2t t -⎰r ，{}2,1,1a =r，{}1,1,0b =-r ，则4622()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰⎰r r rr r {}3,9,5-.4．已知()r t a '=r r （a r 为常向量），则()r t =r ta c +r r． 5．已知()r t ta '=r r ，（a r 为常向量），则()r t =r 212t a c +r r ．6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____.7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ .8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 .10. 曲线()r r t =r r 在t = 2处有3αβ=v v &，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 .11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ⨯≠rr r ，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点.12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++r r r ，()(sin )(cos )g t t i t j =-r r r ，0t >，则40()d f g dt dt ⋅=⎰r r4cos 62-．13．曲线{}3()2,,t r t t t e =r在任意点的切向量为{}22,3,t t e ．14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =r在0t =点的切向量为{}0,,a a ．15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =r在0t =点的切向量为{}0,,a b ．16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111-=--=-z ee y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = .22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-r ，其中2,sin u t v t ==，则dr d t=r{}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=r，其中t =ϕ，2t =θ，则dr(,)d tϕθ=r{}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+． 24．设(,)r r u v =r r 为曲面的参数表示，如果0u v r r ⨯≠r r r ，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G →r r是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面．25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ．26．平面{}r(,),,0u v u v =r的第一基本形式为22d d u v +，面积微元为d d u v ．27．悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =r第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，． 28．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =229．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++．30．双曲抛物面{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv =+-r的第一基本形式是2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++．31．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的平均曲率为 0 ．32．方向(d)d :d u v =是渐近方向的充要条件是22()020n k d Ldu Mdudv Ndv =++=或． 33. 方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是(,)0()0dr δr Ldu δu M du δv dv δu Ndv δv =+++=II r r或．34.λ是主曲率的充要条件是0E LF MF MG Nλλλλ--=--．35.(d)d :d u v =是主方向的充要条件是22d d d d 00d d d d dv dudv du E u F v L u M vE F G F u G v M u N vL MN-++==++或． 36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则n n dn k dr k =-r r，其中是沿方向(d)的法曲率． 37．旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平面∏上的正投影曲线(C*)的曲率． 39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ． 41．正交网时测地线的方程为d ds du dsdv dsθθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩． 42．曲线是曲面的测地线，曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 . 二、单项选择题1．已知{}(),,t t r t e t e -=r，则r (0)''r 为（ A ）．A. {}1,0,1；B. {}1,0,1-；C. {}0,1,1；D. {}1,0,1-.2．已知()()r t r t λ'=r r ，λ为常数，则()r t r为（ C ）．A. ta λr ；B. a λr； C. t e a λr ； D. e a λr .其中a r为常向量． 3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．A ．切线与固定方向成固定角；B ．副法线与固定方向成固定角；C ．主法线与固定方向垂直；D ．副法线与固定方向垂直．4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）A ．至少有两个；B ．只有一个；C ．只有两个；D ．可能没有. 5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）A ．测地线；B ．曲率线；C ．法截线；D ．渐近线．.6. 已知{}r(,),,x y x y xy =r ，求(1,2)dr r为（ D ）．A. {}d ,d ,d 2d x y x y +；B. {}d d ,d d ,0x y x y +-；C. {}d -d ,d +d ,0x y x y ；D. {}d ,d ,2d d x y x y +.7．圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =r的切线与z 轴（ C ）.A. 平行；B. 垂直；C. 有固定夹角4π； D. 有固定夹角3π. 8．设平面曲线:()C r r s =r r，s 为自然参数，αβr r ,是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）．A. αr 为单位向量；B. αα⊥r r &；C. k αβ=-r r &；D. k βατγ=-+r r r &.9．直线的曲率为（ B ）．A. -1；B. 0；C. 1；D. 2.10．关于平面曲线的曲率:()C r r s =r r不正确的是（ D ）．A. ()()k s s α=r &；B. ()()k s s ϕ=&，ϕ为()s αr 的旋转角；C. ()k s αβ=-⋅r &；D. ()|()|k s rs =r &. 11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件.12．下列论述不正确的是（ D ）．A. ,αβγr r r ,均为单位向量；B. αβ⊥r r ；C. βγ⊥r r ；D. αβrr P . 13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 14．2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为（ D ）． A. 垂直； B. 平行； C. 成3π的角； D. 成4π的角. 15．椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为（ C ）．A. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z ϕθϕθϕ=；B. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b ϕθϕθϕ=；C. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b c ϕθϕθϕ=；D. {}{},,cos cos ,sin cos ,sin 2x y z a b c ϕθϕθθ=. 16．曲面{}2233(,)2,,r u v u v u v u v =-+-r在点(3,5,7)M 的切平面方程为（ B ）．A. 2135200x y z +-+=；B. 1834410x y z +--=；C. 756180x y z +--=；D. 1853160x y z +-+=.17．球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R u v R u v R u =r的第一基本形式为（ D ）．A. 2222(d sin d )R u u v +；B. 2222(d cosh d )R u u v +；C. 2222(d sinh d )R u u v +；D. 2222(d cos d )R u u v +.18．正圆柱面{}(,)cos ,sin ,r u v R v R v u =r的第一基本形式为（ C ）．A. 22d d u v +；B. 22d d u v -； C 222d d u R v +； D. 222d d u R v -. 19．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（ B ）．A ． 21cosh cosh v v -；B ． 21sinh sinh v v -；C ． 12cosh cosh v v -；D ． 12sinh sinh v v -．20．设M 为正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．A ． 0E =；B ． 0F =；C ． 0G =；D ． 0M =． 21．高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）．A ．极小曲面；B ．球面；C ．常高斯曲率曲面；D ．平面． 22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）．A ． 0；B ． 1；C ．2；D ． 3．23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ）． A ．B ．C ．D ． 24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）．A ． 直线；B ． 平面曲线；C ． 抛物线；D ． 圆柱螺线． 三、判断题（正确打√，错误打×）1. 向量函数()r r t =r r 具有固定长度，则()()r t r t '⊥r r. √2. 向量函数()r r t =r r 具有固定方向，则()()r t r t 'r rP . √3. 向量函数()r t r关于t 的旋转速度等于其微商的模()r t 'r . ×4. 曲线Γ的曲率、挠率都为常数，则曲线Γ是圆柱螺线. ×5. 若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ是圆柱螺线. √6. 圆柱面{cos ,sin ,},r R R z θθ=rz -线是渐近线. √ 7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. × 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √ 9. 等距变换一定是保角变换. √10. 保角变换一定是等距变换. × 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. × 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一． × 13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√ 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向． √ 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量． × 16. 曲面上的直线一定是测地线．√ 17. 微分方程A(,)B(,)0u v du u v dv +=表示曲面上曲线族. ×18. 二阶微分方程22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. × 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. √ 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √ 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. × 22. 球面上的圆一定是测地线. × 23. 球面上经线一定是测地线. √24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √ 四、计算题1．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．解 旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--r 的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-r，则在π20≤≤t 一段的弧长为：220()d 8s r t t t a ππ'===⎰⎰r．2．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量．解 由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+r，{}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t t t e te ''=---+r，在原点，有 (0)(0,1,1),(0)(2,0,2)r r '''==r r，又 ()(), r r r r r r r r r r r αβ'''''''''⋅-⋅=='''''⋅⨯r r r r r r r r r r r r r，r r r r γ'''⨯='''⨯r r r r r ，所以有αβγ===r r r . 3．圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =r，①求基本向量,,αβγr r r； ②求曲率k 和挠率τ.解 ①{}()sin ,cos ,r t a t a t b '=-r ，{}()cos ,sin ,0r t a t a t ''=--r，又由公式()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯r r r r r r r r r r r r r r r rr r}{}}sin ,cos ,,cos ,sin ,0,sin ,cos ,a t a t b t t b t b t a αβγ∴=-=--=-rr r②由一般参数的曲率公式3()r r k t r '''⨯='r r r 及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯r r有22a k a b =+，22b a b +=τ. 4．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的切平面和法线方程．解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r，切平面方程为cos sin cos sin 00sin cos x u v y u v z bv v v u vu vb---=-，sin cos 0,b v x b u y uz buv ⇒⋅-⋅+-=法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-． 5．求球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=r上任一点处的切平面与法线方程．解 {}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--r， {}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=-r ，312sin cos sin sin cos cos sin cos cos 0e e e r r a a a a a ϕθϕθϕθϕϕθϕθ⨯=---r r r r r{}2cos cos cos ,cos sin ,sin a ϕϕθϕθϕ=---∴ 球面上任意点的切平面方程为{}{}2cos cos ,cos sin ,sin cos cos cos ,cos sin ,sin 0,x a y a z a a ϕθϕθϕϕϕθϕθϕ---⋅---=即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=， 法线方程为2(cos cos ,cos sin ,sin )cos (cos cos ,cos sin ,sin ),x a y a z a a ϕθϕθϕλϕϕθϕθϕ---=⋅---即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕϕθϕθϕ---==．6．求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面. 解 (){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-r (){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--r所以曲线在原点的密切平面的方程为00sin cos 10cos sin 0x a y z a t a t =a ta t------， 即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.7．求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式．解 参数表示为{}22(,),,()r x y x y a x y =+r ，{}1,0,2x r ax =r ，{}0,1,2y r ay =r，2214x x E r r a x =⋅=+r r，24x y F r r a xy =⋅=r r ，2214y y G r r a y =⋅=+r r ，2222222(d ,d )(14)d 8d d (14)d x y a x x a xy x y a y y ∴=++++I ．8．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的第一基本形式．解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r，1u u E r r =⋅=r r ，0u v F r r =⋅=r r ，22v v G r r u b =⋅=+r r，2222(d ,d )d ()d u v u u b v ∴=++I ．9．计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的第一、第二基本量．解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r，{}0,0,0uu r =r ，{}sin ,cos ,0uv r v v =-r ，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--r，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v b v b v u u v u v b⨯==--r r rr r，sin ,cos ,u v u v b v b v u r r n r r -⨯==⨯r rr r r ， 1u u E r r =⋅=r r ，0u v F r r =⋅=，22v v G r r u b =⋅=+r r， 0uu L r n =⋅=r r ，uv M r n =⋅=r r ，0vv N r n =⋅=r r．10．计算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率．解 设抛物面的参数表示为{}22(,),,r x y x y x y =+r，则{}1,0,2x r x =r ，{}0,1,2y r y =r ，{}0,0,2xx r =r ，{}0,0,0xy yx r r ==r r ，{}002yy r =r，，，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y⨯==--r r r r r，2,2,1||x y x y r r x y n r r ⨯--==⨯r r rr r 214x x E r r x =⋅=+r r， 4x y F r r xy =⋅=r ， 214y y G r r y =⋅=+r r， xx L r n =⋅=r r ， 0xy M r n =⋅=r r， yy N r n =⋅=r r，222222222244441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++，2232222124422(441)GL FM EN x y H EG Fx y -+++=⋅=-++． 11. 计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =r的高斯曲率. 解 直接计算知1E =，0F =，22G u a =+，0L=，M =，0N =，222222()LN M a K EG F u a -∴==--+． 12. 求曲面2z xy =的渐近线.解 2z xy =，则2z p y x∂==∂，2z q xy y ∂==∂，220z r x ∂==∂，22z s y x y ∂==∂∂， 222z t x y ∂==∂ 所以，L =0， M =N =20=，化简得(2)0dy ydx xdy +=， 020dy ydx xdy =+=或 渐近线为y=C 1，x 2y =C 213. 求螺旋面{}cos ,sin ,r u v u v bv =r上的曲率线. 解 u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-r r2222u u v v E r 1,F r r 0,G r u b ,===⋅===+r r r r{}{}u vu v bsin v,bcos v,u bsin v,bcos v,u r r n r r bsin v,bcos v,u --⨯===⨯-r rr r r {}{}{}uu uv vv r =0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--rr r，L 0,M N 0===曲率线的微分方程为:2222dv dudv du 10u b =00-+ 或du bu dv 221+±=积分得两族曲率线方程:12v ln(u c v u)c .=+=+和14. 求马鞍面22{,,}r u v u v =-r在原点处沿任意方向的法曲率.解 {1,0,2},{0,1,2}==-r ru v r u r v ，22214,4,14==+==-=+r r rg u u v E r u F r r uv G v2222(14)8(14)=+-++u du uvdudv v dv Ⅰu vu v 2u,2v,1r r n r r -⨯==⨯r rr r ruu L n r ==r r g uv M n r 0,==r rg vv N n r ==r rg22=Ⅱ，n k =ⅡⅠ. 15. 求抛物面22()z a x y =+在(0,0)点的主曲率.解 曲面方程即22{,,()},=+rr x y a x y{1,0,2},{0,1,2},==r rx y r ax r ay E(0,0)F(0,0)G(0,0)=1,=0,=1,{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===r r rxx xy yy r a r r a ，L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2,=0,=2a,代入主曲率公式，NN2a k 0002a k -=-，所以两主曲率分别为 12k k 2a == .16. 求曲面22{,,}r u v u v =+r在点(1,1)的主方向.解 {}u r =,u r 1,02,{},v r ,v r=01,2 2214,4,14E u F uv G v =+==+(1,)5(1,)4(1,)5;E F G 1=,1=,1=0,L M N ===2(1,1)(1,1),(1,1)0,3L N M === 代入主方向方程，得()()0du dv du dv +-=,即在点(1,1)主方向:1:1;:1:1du dv u v δδ=-=.17. 求曲面23(,){,,}r u v u v u v =+r上的椭圆点，双曲点和抛物点．解 由23{,,},r u v u v =+r 得{}u r =,u r 1,02,{}2,v r ,v r=01,3{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =,v r r r0,02,0,00,0,06,0,L M N ===2241241vLN M .u +9v +-=①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点.18. 求曲面32(,){,,}r u v v u u v =+r上的抛物点的轨迹方程．解 由32(,){,,},r u v v u u v =+r 得{}u r =u,r 0,21,{}2,v r v ,r=30,1{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =v ,r r r0,20,0,00,6,00,20,L M N ===令320LN M .-=得u =0 或v =0所以抛物点的轨迹方程为 {}r=v ,,v r 30或{}0r=,u ,u r2.19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =r自然参数表示.解 由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =r 得{sin ,cos ,}r a t a t b '=r-，()r t '=r弧长0(),t s t =⎰t =曲线的自然参数表示为(){sinr s a a =r20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为a a s r r=(),则主法线曲面为：r=a s v s ,βr r r ()+()则,a =a=α'r r r &,b ==-k βατγ'+r r r r &a b =k,''-r r g 2,22b =k +τ'r所以腰曲线是222a b k r=a s s =a s s k b ββτ'''r r r r g r r r r ()-()()+()+ 21．求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线00cos ,sin ,x u v y u v z av ===（0u =常数）的测地曲率．解 因为正螺面的第一基本形式为2222d ()d u u a v =++Ι，螺旋线是正螺面的v -曲线0u u =，由2πθ=得d 0d s θ=．由正交网的坐标曲线的测地曲率得0220g u k u a==+． 五、证明题1. 设曲线：(s),r r =r r 证明：2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅r r r r r &&&&&&&&⑴⑵ 证明 ⑴由伏雷内公式，得=k =-,αβγτβr r r r &&， 两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅r r r r && k =-.ταγ∴⋅r r &&⑵r=r==k ,ααβr r r r r &&&&， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγr r r r r r r r r &&&&&&&22()()()r ,r ,r =,k ,-k +k +k =,k ,k =k .αβαβτγαβτγτ∴r r r r r r r r r r r &&&&&&& 2. 设曲线：(s),r r =r r 证明：3()()r ,r ,r =k k -k .ττr r r &&&&&&&&&&& 证明 由伏雷内公式，得r==k αβr r r &&&， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγr r r r r r r r r &&&&&&&323()(2)r =-kk +-k +k-k +k +k ατβττγr r r r &&&&&&&&&232()(())(3()(2))r ,r ,r =k -k +k +k -kk +-k +k-k +k +k βαβτγατβττγ⨯r r r r r r r r r r &&&&&&&&&&&&&&&g3232()(3()(2))=k +k -kk +-k +k-k +k +k γταατβττγr r r r r &&&&&g33432=-k k +k k +k τττ&&&3()=k k -k ττ&& 3. 曲线Γ:()r r s =r r 是一般螺线，证明1:r R ds αβΓ=-⎰r r r也是一般螺线（R 是曲线Γ的曲率半径）．证明 1r R ds αβ=-⎰r r r，两边关于s 微商，得11ds R R ds αααβ=+-r r r r &&1R R R αββ=+-r r r &R α=r &，1αα∴r r P ，由于Γ是一般螺线，所以Γ也是一般螺线.4. 证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰r是常数）是一般螺线．证明 (){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=r(){()cos (),()sin (),0},r t a t t a t t ϕϕϕϕ''''=-r2()(){cos (),sin (),0}(){sin ()cos ()0}r t a t t t a t t t ϕϕϕϕϕϕ''''''=-+-r，,(r r a t ϕ''''⨯=r r 32()()r r r a b t ϕ'''''''=-r r r ,,，322(),r r ak t a b r ϕ'''⨯'==+'r rr ()222(),r r r b t a b r r τϕ'''''''==-+'''⨯r r r r r ,, k abτ∴=- . 5．曲面S 上一条曲线(C), P 是曲线(C)上的正常点，n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率，证明222n g k =k +k ．证明 测地曲率()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯r r r r r (,,)k n k n αβγ==⋅r r r r rsin k .θ=± (θ是主法向量βr 与法向量n r的夹角)法曲率cos n k k n k βθ=⋅=r r，222n g k =k +k .∴6. 证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =r的切向量与曲线的位置向量成定角．证明 对曲线上任意一点，曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =r，该点切线的切向量为：{}(cos sin ),(sin cos ),0t t r e t t e t t '=-+r，则有：2cos 2t r r r r θ'⋅==='r r r r ，故夹角为4π. 由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7．证明：若r 'r 和r ''r对一切t 线性相关，则曲线是直线．证明 若r 'r 和r ''r对一切t 线性相关，则存在不同时为0的(),()f t g t 使()()()()0f t r t g t r t '''+=r r r，则,()()0, t r t r t '''∀⨯=r r r又3()r r k t r '''⨯='r r r ，故t ∀有()0k t =.于是该曲线是直线．8． 证明圆柱螺线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 的主法线和z 轴垂直相交．证明 由题意有 {}{}()sin ,cos ,,()cos ,sin ,0r t a t a t b r t a t a t '''=-=--r r，由()()r r r r r r r r rβ''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯r r r r r r r r r r知{}cos ,sin ,0t t β=--r . 另一方面z 轴的方向向量为{}0,0,1a =r ，而0a β⋅=r r ，故a β⊥r r，即主法线与z 轴垂直． 9．证明曲线t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2===的所有法平面皆通过坐标原点．证明 由题意可得{}()sin 2,cos2,sin r t a t a t a t '=-r，则任意点的法平面为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上述方程有左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边， 故结论成立．10．证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平面曲线，并求出它所在的平面方程.证明 {}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-r，{}34210,2r +t,t t '=-+-r ，{}410,2r ,''=-r ，{}00,0r ,'''=r (,,)0r r r ,''''''=r r r0τ=，所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面{}(0)32,0r ,'=-r ， {}(0)410,2r ,''=-r密切平面方程为12132004102x y z -=-－－－， 化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27＝0.11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明 设曲线方程()r r s =r r，定点的向径为0R v ，则0()()r s R s λα-=r r r两边求微商，得()()()()s s s s k αλαλαλαλβ=+=+r r r r r &&&(1())()0s s k λαλβ--=r r r & 由于,αβr r 线性无关，∴100k λλ⎧-⎨⎩&＝＝∴ k ＝0曲线是直线.12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明 取定点为坐标原点，曲线的方程为 ()r r t =r r，则曲面在任一点的密切平面方程为 ((),(),())0r t r t r t ρ'''-=r r r r因任一点的密切平面过定点，所以((),(),())0o r t r t r t '''-=r r r r , 即 ((),(),())0r t r t r t '''=r r r所以 ()r r t =r r 平行于固定平面， 所以 ()r r t =r r是平面曲线.13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e ρ，证明曲线是直线或平面曲线.证明 根据已知条件，得0.............e α⋅=r r①，①两边求导，得 0e α⋅=r r &，由伏雷内公式得 0k e β⋅=r r ，ⅰ)0k =，则曲线是直线；ⅱ)0e β⋅=r r 又有①可知 γr ‖e r因e r是常向量，所以γr 是常向量，于是 ||||0,τγ==r&所以0τ= ，所以曲线为平面曲线. 14. 设在两条挠曲线,ΓΓ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明 γγ±rr１２＝ , 21ds ds γγ±gg r r １２＝由伏雷内公式得211ds ds τβτβ±v v １２２＝12ββ∴±r r = 进而12αα=±r r15. 证明挠曲线（0τ≠）的主法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s =r r，则挠率0τ≠，其主法线曲面的方程是：()()r s t s ρβ=+r r r 取(),()a r s b s β==r r r r，则(),()k a s b s αβατγ''===-g r r r r r r＋所以, (,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠r rr r r r r r r r r r r ＋＋＝所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16. 证明挠曲线（0τ≠）的副法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s =r r，则挠率0τ≠，其副法线曲面的方程是：()()r s t s ργ=+r rr取(),()a r s b s γ==r r r r ，则(),()a s b s αγτβ''===-g r r r r r所以, (,,)((),(),)0a b b s s αγτβτ''=-=≠r rr r r r ，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面. 17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明 设曲线r r(s),r r ＝则曲线的主法线曲面为r r s +v s βr r r=()() ,s r v k vk v αατγατγ++r r r r r r =+（-）=(1-) ()v r =s βrr ,s v s v r r n=r r ⨯⨯r r r rr r r （1-）- 沿曲线（v ＝0）n=γr r ，所以主法向量与曲面的法向量夹角,2πθ=n cos 0,k k θ==所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线. 18. 证明二次锥面{cos ,sin ,}r au bu cu θθ=r沿每一条直母线只有一个切平面.证明 {cos ,sin ,}{cos ,sin ,}0()θθθθϕθ===+r r rr au bu cu u a b c u 为直纹面(0,(),()0ϕθϕθ'=r r r）, 所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率K =0证明.19. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求证Γ是一平面曲线.证明 设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角θ0，则cos γθr rg 0ｎ＝ 两边求微商，得 0γγg g r r r rg g ｎ＋ｎ＝由于曲线Γ是曲率线，所以αg r rP ｎ，进而0γg r r gｎ＝，由伏雷内公式得0τβr r g －ｎ＝ ⑴0τ＝时，Γ是一平面曲线⑵n 0βv v g ＝，即n β⊥vv ，n kcos =0k θ=，又因为Γ是曲率线，所以0n dn k dr =-=v v v 即n v是常向量，所以Γ是平面曲线. 20．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．证明 设正螺面的参数表示是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r，则{}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r， {}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=r r，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证明 由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k*n 1in ππθθ=±-±-k k 222cos （）+k s （）221in cos k θθ=222s +k所以*n n 12k k k k +=+＝常数.22. 如果曲面上非直线的测地线Γ均为平面曲线，则Γ必是曲率线.证明 因为曲线Γ是非直线的测地线，所以沿此曲线有,β=±r rn从而(),κατγ=±-+r r r &n又因为曲线是平面曲线，所以0,τ= 进一步n κα=±r r &.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线. 23. 证明在曲面()()z f x f y =+上曲线族x =常数，y =常数构成共轭网.证明 曲面的向量表示为 {}(,),,()(),r x y x y f x f y =+rx =常数,y =常数是两族坐标曲线.{1,0,}x r f '=r,{0,1,}y r g '=r . {0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g ''''===r r r因为0xy r r M r ⨯==r r r,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x =常数, y =常数构成共轭网.24．证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．证明 参数表示为{}(,),,r x y x y xy =r，则{}1,0,x r y =r ，{}0,1,y r x =r ，{}0,0,0xx r =r ，{}0,0,1xy r =r ，{}0,0,0yy r =r，{},,1x y r r y x ⨯=--r r，,,1||x y x y r r y x n r r ⨯--==⨯r r r r r 0xx L r n =⋅=rr ， xy M r n =⋅=r r，0yy N r n =⋅=r r，222221100011LN M x y x y ∴-=⨯-=-<++++，故马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即(d ,d )(d ,d )u v u v II I 与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的． 证明 设球面的参数表示为 {}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =r，则 {}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-r ，{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--r， {}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--r ，{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-r r，{}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---r，22cos u u E r r R v =⋅=r r ，0u v F r r =⋅=r r ，2v v G r r R =⋅=r r，2cos L R v ==-r r r，0M ==r r r，N R ==-r r r ，1(,,)(,,)L M N E F G R∴=-，故球面是全脐的． 26．证明平面是全脐的．证明 设平面的参数表示为{}(,),,0r x y x y =r，则 {}1,0,0x r =r ，{}0,1,0y r =r ，{}0,0,0xx r =r ，{}0,0,0xy r =r ，{}0,0,0yy r =r，1x x E r r =⋅=r r ，0x y F r r =⋅=r r ，1y y G r r =⋅=r r，0xx L r n =⋅=r r ，0xy M r n =⋅=r r ，0yy N r n =⋅=r r(,,)0(,,)L M N E F G ∴=，故平面是全脐的．27．证明曲面3x y z +=的所有点为抛物点．证明 曲面的参数表示为{}1/3(,),,()r x y x y x y =+r，则{}2/3131,0,()x r x y -=+r ， {}2/3130,1,()y r x y -=+r ， {}5/3230,0,()xx r x y -=-+r ，{}5/3290,0,()xy r x y -=-+r ， {}5/3290,0,()yy r x y -=-+r ， {}2/32/31133(),(),1x y r r x y x y --⨯=-+-+r r ， ||x y x y r r n r r ⨯=⨯r r r r r ， {}5/3290,0,()xx L r n x y n -=⋅=-+⋅r r r ，{}5/3290,0,()xy M r n x y n -=⋅=-+⋅r r r ， {}5/3290,0,()yy N r n x y n -=⋅=-+⋅r r r 20LN M ⇒-=，∴曲面3x y z +=的所有点为抛物点．28．求证正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =r是极小曲面．证明 {}cos ,sin ,0u r v v =r ，{}sin ,cos ,v r u v u v a =-r， {}0,0,0uu r =r ，{}sin ,cos ,0uv r v v =-r ，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--r，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v a v a v u u v u v a ⨯==--r r rr r，sin ,cos ,||u v u v a v a v u r r n r r -⨯==⨯r rrr r ， 1u u E r r =⋅=r r ，0u v F r r =⋅=，22v v G r r a u =⋅=+r r，0uu L r n =⋅=r r ，uv M r n =⋅=r r 0vv N r n =⋅=r r，21210,22EN FM GL H EG F -+∴=⋅==-故正螺面是极小曲面．29. 圆柱面{cos ,sin ,}r a u a u v =r上的纬线是测地线．证明 由{cos ,sin ,},r a u a u v =r{sin ,cos ,0}u r -a u a u =r ，{0,0,1}v r =r，2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=，纬线是u -线，此时0θπ=或， 0.g k ∴= 所以，纬线是测地线．30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点． 证明 1202k k H +==Q ， 12k k ∴=-， 21220K k k k ∴=⋅=-≤ 当0K =时，120k k ==， ∴极小曲面的点都是平点； 当0K <时，极小曲面的点都是双曲点．31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线.证明 (1) 因为曲线是测地线，所以0=g k ， 曲线又是渐近线，所以，0=n k ，而222=+n g k k k ，所以k=0，故所给曲线是直线. (2) 证法1因曲线是测地线，所以沿此曲线有βr r P n ，所以βr r &P dn ，又曲线是曲率线，所以αrr r P P dn dr ，所以(k )ατγα-+r r rP ，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.证法2因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,,n nβαv r r v &P P 而γαβ=⨯r r r ，所以,n γα=±⨯r r r 从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=r r r r r r r r r &&&，又γτβ=-r r&，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.。
最全 解析几何第四版习题答案第四章(完整版)
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为：⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即：0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上，所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：02688823222=--+--++z y x xy z y x此即为要求的柱面方程。
2而0M 在准线上，所以：⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ，得到：010*******22=--+++z x xz z y x此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y tx x 111111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x此即为所求的圆柱面的方程。
微分几何习题四答案
微分几何习题四答案微分几何习题四答案微分几何作为数学的一个分支，研究的是曲线、曲面以及它们在空间中的性质。
在学习微分几何的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过习题的解答，我们可以更好地理解和应用微分几何的概念和定理。
本文将给出微分几何习题四的答案，帮助读者更好地理解微分几何的知识。
1. 证明：若曲线C的曲率不恒为零，则C的弯曲方向上的切线的曲率半径是C的曲率的倒数。
解答：设曲线C的参数方程为r(t)，其中t为参数。
曲线C的切向量为r'(t)，切向量的长度为| r'(t) |。
曲线C的曲率为κ(t)，曲率的倒数为1/κ(t)。
根据曲率的定义，曲率κ(t) = | r''(t) | / | r'(t) |。
其中r''(t)为曲线C的二阶导数。
由于曲线C的曲率不恒为零，即存在t0使得κ(t0) ≠ 0。
在曲线C上取一点P，其对应的参数值为t0。
在点P处，曲线C的切向量r'(t0)与曲线的弯曲方向相同。
由于曲线C的曲率不恒为零，所以在点P处曲线C的切向量r'(t0)不为零向量。
根据切线的曲率半径的定义，切线的曲率半径ρ(t) = 1/κ(t) = | r'(t) | / | r''(t) |。
在点P处，切线的曲率半径ρ(t0) = | r'(t0) | / | r''(t0) |。
由于r'(t0) ≠ 0，所以切线的曲率半径ρ(t0)存在。
而且根据曲率的定义，切线的曲率半径ρ(t0) = 1/κ(t0)。
综上所述，若曲线C的曲率不恒为零，则C的弯曲方向上的切线的曲率半径是C的曲率的倒数。
2. 证明：若曲线C的曲率恒为零，则C是一条直线。
解答：设曲线C的参数方程为r(t)，其中t为参数。
曲线C的曲率为κ(t)。
根据曲率的定义，曲率κ(t) = | r''(t) | / | r'(t) |。
微积分第四版答案(二)曲面的概念+曲面的第一基本形式
§1曲面的概念1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线.解u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {, ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2 }表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线;v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。
3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。
解=，=任意点的切平面方程为即 xcos cos + ycos sin + zsin - a = 0 ；法线方程为。
4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。
解椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t ,, 。
所以切平面方程为：，即x bcos + y asin－ a b = 0此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。
5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。
证，。
切平面方程为：。
与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。
于是，四面体的体积为：是常数。
§２曲面的第一基本形式1.求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式.解,∴ I = 2。
２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。
解，，，，∴ I =，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为I =的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。
解由条件,沿曲线u = v有du=dv ，将其代入得=，ds = coshvdv , 在曲线u = v上，从到的弧长为。
微积分第四版答案曲面的概念+曲面的第一基本形式
§ 1曲面的概念1.求正螺面'=｛ u m ,u •匸.，bv ｝的坐标曲线.解u-曲线为'={u - '二，u '1 1 ,bv J }= {0,0 , bv：} + u {八宀，：n- 1- ,0｝，为曲线的直母线;v-曲线为'=｛心：；八，Y •匚，bv ｝为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面"=｛a （u+v）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证u-曲线为，=｛ a （u+" ）, b （u-门），2u^｝=｛a , b、,0｝+ u｛a,b,2 J｝表示过点｛a小,b厂,0｝以｛a,b,2「｝为方向向量的直线;v-曲线为'=｛a （"：+v）, b C ' -v ）,2 一〕v｝= ｛a ：l, b‘），0 ｝+v｛a,- b,2 1 ｝表示过点（a^ , b "」,0）以｛a,-b,2 ‘‘ - ｝为方向向量的直线。
3. 求球面・；' 一上任意点的切平面和法线方程。
解心= （一乩乞尬0亡。
2卩厂订呂如朴羽口旦召｝心｛一匸cos sin p,a co; & cos（p F0）任意点的切平面方程为x-a cos^?cy - a cos 5 sin 炉-jcin ^sin 妒Q cos^i ctos (p 即xcos 「cos'" + ycos - si n 山 + zsin - a = 0法线方程为z - ju_ JZ7COS 呑z- a ccs^oas q? y- acos T9SITL込一肚sm®4•求椭圆柱面/ ■在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线,解椭圆柱面1 的参数方程为x = cos= asiz = tr e = (-Ljsin Ebe 恥 $0}。
所以切平面方程为:5•证明曲面 是常数。
的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积E =〔叫羊｝* x y uv斥二｛0 丄- + -^—^3。
微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
微分几何测试题集锦(含答案)
微分几何测试题集锦(含答案)《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈向量r(t)??t,3t,a?具有固定方向，则a=___t__。
??? ⒉非零向量r(t)满足?r,r,r??0的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊设曲线在P点的切向量为?，主法向量为?，则过P由?,?确定的平面是曲线在P点的___密切平面__________。
⒋曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)点的法平面方程是__________________________。
⒌曲线r?r(t)在t = 1点处有??2?，则曲线在t = 1对应的点处其挠率?(1)。
⒍主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _ ⒎如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。
)y点(x0,y0,z0的⒐曲面z?(z,x在)法线方程是_____________________。
1二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。
A、直线B、平面曲线C、球面曲线D、圆柱螺线12、曲线r?r(t)在P(t)点的曲率为k , 挠率为?，则下列式子___A___不正确。
A、k?13r??r??r?2 B、k?对于曲r??r??r?3 C、k?r D、??的第一基本?r?r??r???? 2?r??r???形式、面I?Edu2?2Fdudv?Gdv2,EG?F2__D___。
A、?0B、?0C、?0D、?0三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线r??cost,sint,t?，试求??0,1, ⑴在点???的切线和法平面。
?2? ⑵曲率和挠率。
22、对于圆柱面?:r???cos?,?sin?,u?，试求⑴?的第一、第二基本形式；2⑵?在任意点处沿任意方向的法曲率；⑶?在任意点的高斯曲率和平均曲率；⑷试证?的坐标曲线是曲率线。
微积分第四版曹定华李建平课后习题答案
习题 1.1
微积分第四版曹定华 李建平课后习题答案
获取更多课后习题答案请关注微信公众号学糕
获取更多课后习题答案请关注微信公众号学糕
获取更多课后习题答案请关注微信公众号学糕
获取更多课后习题答案请关注微信公众号学糕
获取更多课后习题答案请关注微信公众号学糕
获取更多课后习题答案请关注微信公众号学糕
习题 1.2
获取更多课后习题答案请关注微信公众号学糕
获取更多课后习题答案请关注微信公众号学糕
获取更多课后习题答案请关注微信公众号学糕
习题 1.3
获取更多课后习题答案请关注微信公众号学糕
获取更多课后习题答案请关注微信公众号学糕
精编微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)资料
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e=0，而（e ×'e 2)=22'e e -(e·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
微积分第四版习题答案
微积分第四版习题答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化和极限。
对于学习微积分的学生来说，习题是巩固知识和提高能力的重要途径。
然而，对于微积分第四版习题的答案，很多学生可能会感到困惑。
在本文中，我将为大家提供微积分第四版习题的答案，希望能够帮助到大家。
第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 习题答案1. a) 函数的定义域是实数集，值域是实数集。
b) 函数的奇偶性与定义域无关，只与函数的表达式有关。
c) 函数的周期性与定义域无关，只与函数的表达式有关。
1.1.2 习题答案1. a) 函数的图像是一条抛物线，开口向上。
b) 函数的图像关于x轴对称，是一个偶函数。
c) 函数的图像关于y轴对称，是一个奇函数。
1.2 一元函数的极限1.2.1 习题答案1. a) 当x趋于无穷大时，函数的极限为无穷大。
b) 当x趋于无穷小时，函数的极限为0。
c) 当x趋于无穷小时，函数的极限不存在。
1.2.2 习题答案1. a) 函数的极限存在，且等于2。
b) 函数的极限不存在。
c) 函数的极限存在，且等于0。
第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 习题答案1. a) 函数在x=1处的导数为2。
b) 函数在x=0处的导数不存在。
c) 函数在x=2处的导数为1。
2.1.2 习题答案1. a) 函数在x=1处的导数为-1。
b) 函数在x=0处的导数不存在。
c) 函数在x=2处的导数为2。
2.2 函数的求导法则2.2.1 习题答案1. a) 函数的导数为f'(x) = 3x^2 - 2x + 1。
b) 函数的导数为f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x。
c) 函数的导数为f'(x) = 2x^2 + 4x - 2。
2.2.2 习题答案1. a) 函数的导数为f'(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1。
b) 函数的导数为f'(x) = 3x^2 + 4x - 1。
微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
微积分第四版答案曲面的概念+曲面的第一基本形式
§ 1曲面的概念1.求正螺面'=｛ u m ,u •匸.，bv ｝的坐标曲线.解u-曲线为'={u - '二，u '1 1 ,bv J }= {0,0 , bv：} + u {八宀，：n- 1- ,0｝，为曲线的直母线;v-曲线为'=｛心：；八，Y •匚，bv ｝为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面"=｛a （u+v）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证u-曲线为，=｛ a （u+" ）, b （u-门），2u^｝=｛a , b、,0｝+ u｛a,b,2 J｝表示过点｛a小,b厂,0｝以｛a,b,2「｝为方向向量的直线;v-曲线为'=｛a （"：+v）, b C ' -v ）,2 一〕v｝= ｛a ：l, b‘），0 ｝+v｛a,- b,2 1 ｝表示过点（a^ , b "」,0）以｛a,-b,2 ‘‘ - ｝为方向向量的直线。
3. 求球面・；' 一上任意点的切平面和法线方程。
解心= （一乩乞尬0亡。
2卩厂订呂如朴羽口旦召｝心｛一匸cos sin p,a co; & cos（p F0）任意点的切平面方程为x-a cos^?cy - a cos 5 sin 炉-jcin ^sin 妒Q cos^i ctos (p 即xcos 「cos'" + ycos - si n 山 + zsin - a = 0法线方程为z - ju_ JZ7COS 呑z- a ccs^oas q? y- acos T9SITL込一肚sm®4•求椭圆柱面/ ■在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线,解椭圆柱面1 的参数方程为x = cos= asiz = tr e = (-Ljsin Ebe 恥 $0}。
所以切平面方程为:5•证明曲面 是常数。
的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积E =〔叫羊｝* x y uv斥二｛0 丄- + -^—^3。
微分几何试题库(解答与证明题)
1 求曲线 2(){,,}t r r t t t e ==在t=0点的密切平面和主法线。
(ZN)2 求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面和主法线。
(ZN) 3求圆柱螺线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)处的基本向量,,αβγ和密切平面、副法线。
(LTP 34)4 求曲线 {sin ,cos ,}t r t t t t te =在原点的切线和法平面。
(XTP 54)5 求圆柱螺线 {cos ,sin ,}r t t t = 在(0,1,)2π点的切线和法平面。
(ZN)6 设 (S)为曲线(C)的切线曲面，证明(S)沿任意一直母线l 的切平面就是(C)在切线l 的切点处的密切平面。
（KWD193）7 求圆柱螺线 (){cos ,sin ,}()r a a b θθθθθ=-∞<<+∞的曲率与挠率。
(LTP 42) 8 求曲线 (){(1sin ),(1cos ),}r t a t a t bt =--的曲率和挠率。
9 求曲线22(){,,}23t t r t t = 的曲率和挠率。
10 求圆柱螺线{cos ,sin ,}r t t t =的曲率和挠率。
11.证明曲线x=1+3t+22t ,y=2-2t+52t ,z=1-2t 为平面曲线，并求出它所在的平面方程 。
(XTP 54)12已知曲线33{cos ,sin ,cos 2}r t t t =。
求（1）基本向量,,αβγ；（2）曲率和挠率。
（XTP 54）13设曲线Γ的副法向量1{sin ,cos ,1}2t t γ=-，求它的切向量α和主法向量β，并证明它的曲率和挠率之比是常数。
（KWD92）14若曲线（C ）：()r r s =的挠率τ 为非零常数，（C ）的主法向量与副法向量分别为,βγ。
证明1():()C r s ds βγτ=-⎰的曲率为常数，且||k τ=，并求()C 的挠率τ.（KWD96）15 证明一空间曲线为一般螺线的充分必要条件是向量k ταγ+具有固定方向。