中期报告,数学,极限思想的产生与发展,应用

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极限思想方法及其在中学数学的应用研究

极限思想方法及其在中学数学的应用研究极限的概念首次出现于17世纪，是古典数学的重要组成部分。

它是数学家和物理学家用来衡量被测量的值的一种抽象的概念。

在研究生物和其他自然现象的概念中，极限是一种强大的理念，它可以用来描述数字和现象之间的关系。

极限思想在数学中具有重要的作用，它已经成为数学家研究和解决问题的重要工具。

今天，极限思想仍然被广泛用于学术研究中。

有许多学科使用极限思想来描述复杂的问题，如力学、热力学、电磁学和概率论等，并且极限思想正在改变科学家们对数学的看法。

在最近的发展中，极限思想已经被推广到中学的数学课程中，成为数学教学的重要组成部分。

本文将重点介绍极限思想的基本概念，并分析它在中学数学教学中的应用研究。

极限的定义和概念是数学和物理学的基础，它是用来表示数学问题的概念。

“极限是一个数字，表示运算结果无限接近，但不能达到它”[1]。

极限是一种抽象概念，因此，理解极限及其在数学中的作用，需要研究者有足够的抽象思维能力，而且对极限的计算需要相当复杂的数学算法。

极限的概念和定义不仅仅是理论上的，它也被广泛地用于实际应用中。

极限是数学中著名的难题之一，而且由于极限思想可以用来描述复杂的数学和物理问题，因此，极限思想在诸如力学、热力学、电磁学等学科中发挥着重要的作用。

极限思想在中学数学教学中的应用同样重要，可以有效地提高学生的数学能力。

在X数学课程，极限思想被广泛地用于解决一些复杂的问题，如求解一元函数的极限，求解二次函数的极限等。

此外，在学生学习初等数学的过程中，教师也需要引入极限思想来帮助学生理解一些复杂的数学概念，以及帮助他们进行抽象思维。

例如，在学习数据统计分析中，极限思想可以帮助学生看到数据的变化趋势，也可以帮助他们理解一些抽象的概念，如概率分布、期望值、抽样误差等。

总之，极限思想是数学和物理学中的重要概念，它可以帮助学习者理解复杂的数学概念，以及对抽象思维的掌握。

随着极限思想被应用到中学数学教学中，中学数学教学将在概念解释、问题解决等许多方面取得重要突破，从而帮助学生将极限思想融入到他们的数学知识体系中。

极限思想的产生与发展

极限思想的产生与发展内容摘要：极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限思想来定义的，极限思想的应用无处不在，合理应用极限思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文主要对极限思想的产生与发展进行探究。

关键词：极限思想产生发展概念目录第一章极限思想的产生与发展 (1)1.1极限思想的产生 (1)1.2极限思想的发展 (1)1.3极限思想的完善 (4)1.4 极限的概念 (4)1.5极限思想的思维功能 (5)结论 (19)参考文献 ................................................. 致谢 (21)极限思想的产生与发展1、极限思想的产生极限思想的产生，是社会发展，科学进步的客观需求。

是人在探索改造自然过程中逐渐形成的一新的思想方法。

极限的思想可以追溯到古代，在《庄子·天下篇》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是:长为一尺的木棒,第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,这样的过程无穷无尽地进行下去。

这样一直进行下去,留下来的木棒越来越短,可以再分的部分越来越小,一直到无穷小不可以再切割,但永远不会消失。

公元前5世纪，有关无穷小的概念就已经作为希腊人关于什么是世界的设想而进入了数学思潮，而希腊数学家所普遍接受的观点则是阿拿萨哥拉提出的：“在小的当中不存在最小的，但总有更小的”。

对于以严密著称的古希腊来说，古希腊学者观念上不能摆脱对无限的恐惧，而是借助于其它的方法来完成有关的证明。

刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。

”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的。

浅析极限思想及其应用

浅析极限思想及其应用作者：赵莹然来源：《中国科技纵横》2019年第03期摘要：本文首先总结了极限思想的形成与发展，然后阐述了极限的数学概念，并給出了求解极限的几种常见方法，尤其是洛必达法则，最后论述了极限思想的应用。

关键词：极限思想;极限概念;极限计算方法;极限思想应用中图分类号：O171 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2019）03-0185-02极限思想在整个数学发展史上占有重要地位。

极限思想就是通过极限概念分析和解决问题的一种数学思想。

在数学历史发展的过程中，极限思想不断被完善。

随着近代严格极限理论的确立，极限思想成为了微积分理论的基础。

随后，在各个学科领域的分析中，也开始借助于极限来定义。

极限思想使得有限和无限、连续与不连续的相互转化成为现实。

1 极限思想的形成与发展极限思想的由来可以追溯到古代。

例如战国时期庄周所著的《庄子·天下篇》中记载了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”;魏晋时期数学家刘徽在“割圆术”中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆和体而无所失矣”;古希腊数学家芝诺的“二分法”和阿基里斯悖论等[1]，这些都是早期极限思想的生动体现。

公元前4世纪，古希腊数学家欧多克斯提出了关于计算面积和体积的穷竭法，证明了“圆的面积与直径的平方成正比”等结论。

阿基米德通过严密的计算，解决了求几何图形长度、面积、体积等性质的一系列问题，并提出了无穷小量的概念，这一概念成为了17世纪牛顿创建微积分的基础。

但贝克莱指出，牛顿在微分的推导过程中先是认为无穷小量不是零，最后又让它等于零，无穷小量是“已死的幽灵”，即著名的贝克莱悖论。

这一悖论引发了数学史上的第二次危机。

后来随着严格极限理论的建立，尤其是魏尔斯特拉斯创立的ε-δ语言，用静态的方法描述了动态的极限和连续的概念，才消除了无穷小量引起的混乱，从而使得第二次数学危机得以解决。

自此之后，极限理论以充实和严密的自身体系成为微积分的理论基础，使微积分摆脱了几何上的直观和运动上的不确切描述，进入了全新的发展时期。

极限思想的产生和发展

极限思想的产生和发展摘要：极限谈的是数学中的思维问题，它的广泛使用是由数学本身的发展所决定的。

本文以数学发展史为基础，从一些典型例子中寻找极限的产生与发展，主要是以历史辩证唯物主义观来重新分析、概述有关极限思想的问题。

关键词：极限思想产生发展完善思维功能1.极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。

极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。

如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

2.极限思想的发展正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟是否等于零?如果是零，怎么能用它去作除法呢?如果不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的“无穷小悖论”。

英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。

贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。

这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。

3.极限思想的完善到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出了各自的定义。

其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量。

”它接近于极限的正确定义。

然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。

事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上的。

极限思想及其在数学中的应用

极限思想及其在数学中的应用摘要：高等数学中极限教学作为重要内容，是高等数学计算分析的基础，也是高等数学问题分析的难题，极限的基本思考都是围绕高等数学计算分析开展的，高等数学中微积分、级数等基础概念和思想都是基于极限思想提出的，以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。

许多学生在学习数列极限时感觉很困难，原因在于数列极限概念很抽象，而且计算也有一定的难度。

本文首先阐述极限的定义；接着从数列极限和函数极限两方面分析极限的求解方法；最后指出极限的应用状况，通过这些应用使我们对极限有一个更系统立体的了解。

关键词：极限；求解方法；应用状况Limit thought and its application inmathematicsAbstract：Limits in higher mathematics teaching as an important content, is the foundation of higher mathematics calculation and analysis, is also a difficult problem in higher mathematics problem analysis, limit the basic thinking about higher mathematics calculation and analysis, calculus of higher mathematics, series, and other basic concepts and ideas are put forward based on the limit state, in order to limit as a tool to solve and deal with the mathematics problem is a very important method. Many students find it difficult to learn the limit of the sequence because the concept of the limit is abstract and computationally difficult. Firstly, the definition of limit is described. Then the solution method of limit is analyzed from the limit of sequence and the limit of function. Finally, the application of the limit is pointed out. Through these applications, we have a more systematic understanding of the limit.Key words:limit; Solution method; Application status目录一、引言 (1)（一）选题背景 (1)（二）研究目的和意义 (1)二、极限的概念 (1)（一）数列极限的定义 (1)（二）函数极限的定义 (2)1 一元函数极限的定义 (2)2 多元函数极限的定义 (3)三、极限的求法 (3)（一）数列极限的求法 (3)1 极限定义求法 (3)2 极限运算法则法 (6)3 夹逼准则求法 (6)4 单调有界定理求法 (7)5 定积分定义法 (8)6 级数法 (8)（二）函数极限的求法 (9)1 一元函数极限的求解方法 (9)2 多元函数极限的求解方法 (15)四、极限的应用 (18)（一）在计算面积中的应用 (18)（二）在求方程数值解中的应用 (18)五、结论 (20)致谢 (22)一、引言（一）选题背景随着对变量间函数关系的不断深化，微积分由此产生。

极限思想在中学数学教学中的应用

极限思想在中学数学教学中的应用极限思想是一种重要的数学思想方法，在中学数学教学中运用极限思想，有助于学生对数列、定积分等复杂问题的理解，提高學生解决相关数学问题的能力。

如何引导学生掌握和应用极限思想，是中学数学教学中要认真思考的问题。

文章简单介绍了极限思想的内涵及在中学数学中的意义，并举出具体例子说明其在实际问题中的应用，以期提高学生的数学思维和解题能力。

标签：极限思想；中学数学教学；应用一、极限思想概述极限思想考察当变量按某种方式变化，譬如变量趋于无穷大或者趋于某一定值时，研究对象最终的变化趋势和趋向的唯一数值；是通过极限的概念，对研究对象从有限拓展到无限，从对常量的研究逐渐转化为对变量的研究，来分析和解决问题的一种思想方法。

二、极限思想在中学数学中的作用1.有利于提高数学思维能力新课标强调对学生数学思维能力和数学素养的培养。

教师通过极限思想教学的渗透，可让学生的思维从有限发散到无限，理解无限逼近的意义，掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的思想方法，学会将极限思想应用到其他数学问题的学习和解决当中。

2.有利于解决复杂数学问题教学中灵活渗透极限思想，能降低问题难度，理顺解题思路，提高解题的效率和质量。

例如，求曲边梯形的面积，首先插入分点分割曲边梯形，每个小曲边梯形可近似看成小矩形，这些小矩形的面积和近似等于曲边梯形的面积，分划不同，得到的矩形面积和也不同，当分划足够细时求出极限从而得到曲边梯形面积。

利用这种极限思想，还能解决众多数学问题，如平面曲线的弧长问题。

3.有利于和大学数学知识衔接高等数学的许多概念和方法与极限密切相关，中学教学中让学生掌握极限思想方法，能促进中学与大学数学知识的衔接，为高等数学学习奠定基础。

三、极限思想在中学数学教学中的应用1.极限思想在函数中的应用函数是中学数学教学中的重要内容，贯穿于中学数学的始终，是变量数学的基础。

解决函数问题，可以充分利用极限思想。

通常可以用反函数的方法进行解答，答案为D，由于是选择题，也可以采用极限思想，迅速判断出大致范围，提高解题效率。

数学毕业论文：极限思想在中学数学中的应用

数学毕业论文：极限思想在中学数学中的应用分类号O211.4编号毕业论文题目极限思想在中学数学中的应用学院数学与统计学院姓名x x x专业数学与应用数学学号291010133研究类型x x x x x x指导教师x x x提交日期2013-5-10原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。

学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。

除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。

本声明的法律责任由本人承担。

论文作者签名：年月日论文指导教师签名：目录摘要. (Ⅰ)Abstract (Ⅰ)引言 (Ⅱ)2、极限思想的发展 (2)2.1最早的极限思想 (2)2.2 极限思想的早期应用 (2)3、极限思想在中学数学中的应用 (3)3.1 在运动变化过程中把握极限位置 (3)3.2利用函数图像把握极限位置 (4)3.3极限思想在函数中的渗透 (6)3.4用极限思想解决立体几何中的有关问题 (8)总结 (9)参考文献 (10)极限思想在中学数学中的应用x x（天水师范学院数学与统计学院，甘肃，天水，741000，）摘要：极限在中学数学中有重要的地位，对中学数学学习有着重要意义.本文结合当前当前中学数学教学实际，介绍了极限的发展历史和极限思想在函数、解析几何、函数图像等方面的应用，通过对比，突出了极限思想在中学数学中的重要性，不但降低了问题难度，而且对开发学生思维、提升创造能力也有很大帮助. 关键字：极限思想中学数学教学Application of limit thought in mathematics teaching in high schoolWang Hui(School of mathematics and statistics, Tianshui NormalUniversity, Gansu, Tianshui, 741000,)Abstract: the limit is an important content in the middle school mathematics, has important significance to the middle school mathematics learning. According to the current state of the current middle school mathematics teaching practice, introduces the application of historical development and the ultimate limit thought in function, analytic geometry, function image etc, by contrast, highlight the importance of limit thought in middle school mathematics of, not only reduces the difficulty, but also on the development of students' thinking, creative ability also to have the very big help.Keywords: limit thought in mathematics teaching in middle school极限思想在中学数学中的应用引言极限是近代数学中一个重要的概念。

极限思想及其在数学中的应用

极限思想及其在数学中的应用作者：李美华来源：《科教导刊》2013年第36期摘要极限是高等数学中的重要概念，文章通过对极限思想发展历程的简述，分析了极限思想在数学尤其是微积分学中的应用，重点提到了其作为解决实际问题的方法论意义。

关键词极限思想研究方法应用中图分类号：G642 文献标识码：ALimit Idea and its Application in MathematicsLI Meihua（South China Business College， Guangdong University of Foreign Studies， Guangzhou，Guangdong 510545）Abstract Limit is an important concept in advanced mathematics. This article summarizes the development history of the limit idea， and analyzes the application of the limit idea in mathematics， especially in differential and integral calculus， finally， highlights its position as a methodological significance to solve practical problems.Key words limit idea； research methods； application1 极限思想的由来及其发展极限思想来源于生产生活实践，为求某些实际问题的精确解答而产生。

古希腊的安提芬（antiphon 480-403BC）采用“化圆为方”提出了用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的方法，数学家欧多克斯（Eudoxus of Cnidus， 408-355 BC）发展了穷竭法，认为“在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小”，即量是无限可分的，阿基米德进一步完善了“穷竭法”，并将其广泛应用于求解曲面面积和旋转体体积问题中。

极限思想的产生和发展

为基础，一些典型例子中寻找极限思想的产生与发展．从主要是以历史辩证唯物主义观来重新分析、概述有关极限思
想的问题：
关键词：限思想产生发展完善思维功能极
１极限思想的产生．与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。限的思想可以追溯到古代，徽的割圆术就是建立在极刘直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，由于希腊人 “ 无限的恐惧 ” 他们避但对．免明显地 “ 极限 ” 而是借助于间接证法 — — 归谬法来完成取，有关的证明。到了ｌ世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过６程中改进了古希腊人的穷竭法，借助几何直观．他大胆地运用极限思想思考问题．弃了归缪法的证明。如此，就在无意放他中 “ 出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向 ” 指。２极限思想的发展．极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。ｌ世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，产力得到极大的６生发展，生产和技术中大量的问题用初等数学的方法已无法解决，求数学突破只研究常量的传统范围，提供能够用以描要而述和研究运动、化过程的新工具，是促进极限发展、立变这建微积分的社会背景。起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分．・后来因遇到逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量与时间的改变量之比表示运动物体的平均速度，无限趋近于零，让对求极限得到物体的瞬时速度，由此引出导数概念和微分学理论。意识到极限并他概念的重要性，图以极限概念作为微积分的基础。说：两试他 “ 个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等．在这一时且间终止前互相靠近，得其差小于任意给定的差，最终就成使则

浅谈中学数学中的极限思想毕业论文

浅谈中学数学中极限思想的应用1 极限思想极限思想是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想，是近代数学的一种重要思想.简单地说极限思想即是用无限逼近的方式从有限中认识无限,用无限去探求有限,从近似中认识精确,用极限去逼近准确,从量变中认识质变的思想.1.1 极限思想的产生与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物.极限思想可以追溯到古代，刘徽的“割圆术”就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，他们借助间接证法——归谬法来完成了有关的证明.16世纪，荷兰数学家斯泰文改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明.如此，他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向. 1.2 极限思想的发展与完善极限思想的进一步发展和完善是与微积分紧密相联系的.16世纪欧洲的处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题只用初等数学的方法已无法解决,为了解决这些问题，科学家们开始专心研究促进技术革新.在这样的社会背景下，牛顿和莱布尼茨以无穷小量为基础建立了微积分，微积分的建立极大的促进了极限思想的发展.到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论.为了排除极限概念中的直观痕迹，德国数学家维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础.所谓n A =，就是指“如果对任何0ε>，总存在自然数N ，使得当n N >时，不等式n A ε-<恒成立”.这个定义，借助不等式，通过ε和N 之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系.因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用.1.3 中学数学中的极限思想极限思想并非只出现在高等数学中.在中学数学里也有很多方面体现了极限思想，其中最典型的就是在求圆面积时候的用到分割法.在初高中时我们只知道圆的面积公式：2S Rπ=（R为圆的半径）.其实，深入探究会发现圆面积的计算就是运用极限的思想得出的.在学圆的面积之前，我们只学过三角形和常规的四边形的面积计算，那么我们如何把圆的面积化为求三角形或者四边形的面积呢？如图1-1是一个以R为半径的圆O，我们给这个圆O作n条半径，如图1-2所示.图这样我们就可以发现，圆的面积是由n个小扇形相加得来.这时你会发现，当n不断增大()n→∞时，圆里面的每一个小扇形我们就可以近似的看成一个小三角形，此小三角形的底可以近似的看成扇形的圆弧()1n n A A+，高为圆的半径R.我们知道三角形的面积为112n nS R A A+≈⋅,则整个圆的面积为122334111112222n nS R A AR A A R A A R A A+≈⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()122334112n nS R A A A A A A A A+≈⋅+++⋅⋅⋅+由于12233412n nA A A A A A A A Rπ++++⋅⋅⋅+=带入即可得出圆面积的近似值为：2S Rπ≈，当n越大时越精确，当n→∞即得证.圆面积的探讨运用了“无限分割”的思想方法，同时也体现了“化曲为直，化整为零，积零为整，逐渐趋近近视值”的极限思想.当然这只是极限思想运用的一部分，在中学数学中还有很多的问题渗透了极限的思想.如函数、数列、球的表面积和体积推导、双曲线的渐近线、曲线的切线等等无不包含着极限思想的渗透和运用.本文我们结合一些具体的例子来探讨极限思想在初等数学中的一些运用.2 极限思想在函数中的渗透在中学数学中，很多幂函数、指数函数、正切函数、双曲线等等都存在渐近线，通过利用极限思想可以巧妙的研究这些函数的渐近线.例1 研究函数1+y x x =的图像.分析函数1+y x x=的定义域为{}|0x x ≠.且为奇函数，因此可以先做出0x >时的函数图像.（1）当0x >时，由基本不等式可得1+2y x x=≥，当且仅当1x =时min 2y =；（2）当0x +→ 时，y →+∞，所以0x =是1+y x x=的一条渐近线；（3）当+x →∞时，10x →，y x →，所以y x =也是1+y x x=的一条渐近线.由此三个条件即可作出函数1+y x =的图像.如图2-1：图2-1极限思想在函数中的应用非常广泛，不仅应用于研究一些函数的渐近线，在求一些特殊函数的最值的问题中极限思想也是很好的切入点.例2 试讨论函数y =的最值. 分析注意到函数表达式可以变形为：y=从数形结合的角度来看，函数值y可以看成做是平面直角坐标系中x轴上的动点(,0)x到两定点(32)A，、(11)B，的距离之差，即y MA MB=-（如图2-1），由平面几何的知识，易得当M移动到2(M'在线段AB的延长线上)点时y值最大maxy=下面我们探讨此函数有无最小值，分三种情况：①当M在如图2中M（线段AB的垂直平分线l与x轴的交点）右侧移动时；②当M在M'与M中间图2-1图2-2下面我们先看①时由于MB MA>，不妨记=y MB MA--，图2-2中，点1M、2M均在M的右侧（其中2M又在1M的右侧）.我们来比较111()=y M B M A--与222()=y M B M A--的大小，移项之后即比较12M B M A+与21M B M A+的大小.设1M A与2M B相交于点T,则有1212<()()M B M A M T BT M T AT++++12()()M T AT M T BT=+++21M B M A=+即12()()y y-<-所以当M在M右侧向右运动时，()y-的值越来越大，下面我们讨论()y-有无最大值.上面已知y MB MA-=-===114-=()114lim lim x x y →∞--=4211==+ 于是当x →+∞时，=y MB MA --的值越来越大的趋近于2，但是永远都不可能达到2，即y -没有最大值.但是<2y -，即2y >-.所以在第①情况下y 的取值范围为(]2,0-.同理，在第③种情况下，MB MA <当M 在M '左侧时(]1x ∈-∞-，，讨论y MA MB =-.计算可得y 的取值范围为(.在第②种情况下，当M 在M '与0M 之间且由0M 向M '移动时，y 值不断增大，所以y 的取值范围为⎡⎣0.综上所述，本题y的值域为(2-本题在高中阶段可能就只会让我们求此函数的最大值，但是如果我们进一步研究这个问题的时候，就能发现其与高等数学的衔接点.本题所涉及的函数最值问题，看似跟极限思想没多大联系，但是通过深入的研究我们才能发现其中的奥妙.3 极限思想在数列中的应用极限分析法是研究数列问题的一个有效方法.对于一个等比数列，在高中教材中给出的求和公式是11(1)(1)1(1),,.n n a q q q q S na -≠-=⎧⎪=⎨⎪⎩等比数列的求和公式是要分情况的，即1q =和1q ≠的情况.这样最简单的等比数列——常数列就被分裂出来.然而,利用极限就可以将它合二为一.对于上面1q ≠的情况，讨论1q →时，n S 的极限.111(1)lim lim 1n n q q a q S q→→-=- 2111(1)(1)lim 1n q a q q q q q-→-+++⋅⋅⋅+=-2111lim (1)n q a q q q-→=+++⋅⋅⋅+1na =这也就是说，1q =时的n S 就是1q ≠时n S 的极限.那么，等比数列求和公式就可以用一个公式来表示1(1)lim 1n n n q a q S q→-=-当然，这比高中课本上给出的公式要复杂点，但是这显然让我们重新思考了问题，使得这些分类的东西变成一个整体.对于一个无穷数列，它本身就是一个极限形式.所以在数列的有关问题中涉及到极限思想的题目很多，灵活运用极限思想能让我们解题方法更加简便，减少计算量和计算时间，优化解题过程.例3 已知数列{}n a 中，满足1=1a ，且对任意自然数n 总有12n n n a a a +-=，问是否存在实数a ，b 使得2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由.分析假设存在这样的实数a 、b ，满足2()3n n a a b =--对于任意自然数n 恒成立，则lim n x a a →∞=；再由12n n n a a a +-=两边同取极限有2aa a =-，解得0a =或3a =验证，当0a =时，数列{}n a 应该是以1为首项，以23-为公比的等比数列，显然，不可能对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以0a =不满足题意.当3a =时，将1=1a ，代入2()3n n a a b =--，求得3b =-，则233()3n n a =+⋅-，验证可得同样不满足对于任意自然数n 都满足12n n n a a a +-=恒成立.所以3a =同样不满足题意.综上所述，0a =和3a =都不满足题意，所以假设与题意矛盾，不存在这样的a 、b .在高中阶段，对于解这样的数列问题一般思路是按照 “由一般到特殊再到一般”的思维原则，再通过数学归纳法将{}n a 表达出来.但是对于这一个题目用这样的方法远没有借用极限思想简单.4 极限思想巧解立几问题在一些复杂立体几何的问题中，我们只要巧妙的利用无限逼近的思想，就可以将原本复杂难懂的问题简单化.像这样的问题在高中数学中很常见，比如像下面这道例题.例4 在四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（）.(0A.(1B ，C.(0D ，分析一般的方法，我们通过三角形三条边之间的等量关系列不等式，通过解不等式可以得出来，但是通过极限思想也可以巧妙的解决这个问题.显然，对于四根长度相等的直铁条有两种摆放方法：（1）底面为等腰三角形，两腰长度为2，底长为a （图4-1）；（2）底面为等边三角形，三条边的长都为2（图4-2）.图 4-2 由于a 是ABC ∆的边，所以04a <<.如图4-1，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于BDC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 、C 的距离为2.当A D →时，0a →；当平面ABC 与平面BDC 重合时，A 与D 距离最远即a 值最大.此时由菱形的性质可解得a =由于此图形必须要构成三棱锥，所以平面ABC 与平面BDC 不可以重合，即取不到所以(0,a ∈.如图4-2，点A 在平面α（α垂直于平面BCD ，且平面BCD α⋂于DBC ∠的角平分线）上运动，且A 到B 的距离为2.当A 在DBC ∠的角平分线上时，a 最小，可解得a =-；当A 在DBC ∠的角平分线的反向延长线上时，a 最大，可解得a =.由于此图形必须要构成三棱锥，所以A 不能在DBC ∠的角平a ∈.综上所说，a ∈，所以此题选A .这是2010年辽宁省的一道高考题，如果用一般的方法解不等式将会非常复杂，也浪费了考试时宝贵的时间.而如果使用无限逼近思想来研究就可以将原本复杂难懂的问题简单化. 从本题可以发现，极限思想在几何解题过程中的应用可以起到良好的导向作用，同时也是一种探索解题思路或切入点的有效武器.例5 正三棱锥相邻两侧面所成的角为α，则α的取值范围是 ( )o o .(0180)A ，o o .(60180)B ， o o .(600)C ，9 o o .(00)D ，6 分析如图4-3所示，正三棱锥S ABC -中，SO 是正三棱锥S ABC -的高，图4-3当0180.SO→时，S无限靠近于O，此时相邻两个侧面的夹角趋近于o 当SO→∞时，正三棱锥S ABC-无限接近一个底面为正三角形的三棱柱，这时两侧面的夹角越来越小，趋近于o60.所以α的取值范围为o o(60180)，，故本题选B.从这些例题可以感受到，极限思想不仅是一种解决问题的方法，同时它也是一种思维方式.我们可以从极限或极端状态的数学问题的研究中得到启发，从而得到数学关系的猜想，有时也会通过这种启发找到问题的解决方法.5 总结本文结合具体的例题讨论了极限思想在初等数学中的一些应用.当然，极限思想作为数学中的重要的思想在中学数学中的涉及范围远不止这几个方面.所以我觉得，在我们的中学教学中，若能通过一些例题，来向学生渗透极限思想，对学生数学思维能力的提高将会有很大帮助.参考文献[1]谢慧杰.极限思想的产生、发展与完善.数学学习与研究,2008,(09):13-15.[2]梁克强.刘徽割圆术.中学生数学,2010,(06):23-24.[3]杨君芳.例析极限思想在高中数学中的一些应用.中学数学研究,2009,11(1):27-28.[4]孙道斌.利用极限思想巧解立几问题.中学生数学,2007,(1上):17-18.[5]吕士虎，徐兆亮.从高等数学看中学数学,2005,(03):1-3.[6]华东师大数学系.数学分析第三版.北京：高等教育出版社,2001:42-48.[7]张永辉，用极限思想解题.中学生数学，2006，(9上):8-9.。

(正文)极限思想及其应用

极限思想及其应用摘要： (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言： (2)1.极限思想的形成及发展 (2)2.选题的背景及意义 (2)一、极限思想的思维本质 (2)1.极限思想揭示了无限与有限之间的相互转化 (2)2.极限思想是对近似和精确相互转化的揭示 (2)3.极限思想揭示了变量与常量之间的对立统一 (2)二、极限思想在数学分析中的应用 (3)1.在导数中极限思想的应用 (3)2.在积分中极限思想的应用 (4)3.在微分中极限思想的应用 (5)4.在开方中极限思想的应用 (7)结论 (9)参考文献 (10)在无限的变化中考察变量的变化趋势，这种思想就是极限思想。

由于极限概念就是数学分析的基础，所以极限思想在现代数学中有着非常重要的地位，对极限理论的熟练掌握，并将这种思想大量应用于实践中，将会体验到用极限思想解题的简便性。

笔者在本篇论文中，将从极限思想的形成与发展来引入极限，并通过分析极限思想在数学分析中的应用，在倒数、微分、积分与开方中，极限思想都起着极大的作用，通过对这些作用的描述，来证明我们对极限思想的掌握是很必要的。

关键词：极限思想；微积分；应用Abstract：Examine trends in the infinite variables change, this idea is to limit thought. Sincethe concept of limit is the basis of mathematical analysis, the ultimate thinking in modern mathematics has a very important position, skilled grasp the ultimate theory, and this idea widely used in practice, will experience an ultimate ideological problem-solving simplicity.In this paper, the author, will limit the formation and development of thought to the introduction of the limit, and by analyzing the limits of thought in mathematical analysis, in the countdown, differentiation, integration and evolution, the ultimate thinking plays a great action by the description of these effects, to prove that we grasp the limits of thought is necessary.Key words：Limit Thought；calculus；application作为数学思想中最重要的一项思想之一，极限思想从萌芽到完善时期，一直为人类对世界对物质的认识提供着强有力的工具。

数学中期工作总结

数学中期工作总结引言数学是一门重要的学科，它在各个领域都有广泛的应用。

在这个学期里，我在数学方面进行了大量的学习和工作。

本文将总结我在数学中期工作的成果和经验。

学习成果在这个学期里，我学习了许多数学的基础知识，包括代数、几何、概率与统计等方面。

我通过课堂学习、教材阅读和课外练习，不断提高自己的数学能力。

以下是我在学习中期成果的总结：代数在代数学习中，我掌握了如下内容： - 一元二次方程的解法及其应用； - 多项式的运算和因式分解； - 分式的运算和求值； - 指数和对数的基本概念和计算方法。

几何在几何学习中，我学到了许多基本的几何知识和解题技巧： - 直线、角度和三角形的性质； - 圆的属性和计算； - 平面图形的面积和体积计算。

概率与统计在概率与统计学习中，我了解了以下内容： - 概率的基本概念和计算方法； -统计学中的数据整理和分析方法。

工作经验除了学习数学知识外，我还积极参与了一些数学相关的工作和项目。

以下是我在工作中的经验总结：数学竞赛我参加了一些数学竞赛，比如数学建模竞赛和数学奥林匹克竞赛。

通过参加这些竞赛，我提高了自己的问题解决能力和团队协作能力。

在比赛中，我学会了如何分析问题、构建模型和寻求最优解。

导师指导在学习过程中，我得到了导师的指导和支持。

导师不仅教给我许多数学知识，还教会我如何独立思考和解决问题。

导师还指导我进行了一些小研究项目，提高了我在数学方面的研究能力。

数学论文我还撰写了一篇与数学相关的论文。

在论文撰写过程中，我深入研究了一个数学问题，并通过分析和实证的方法得出了一些结论。

撰写论文使我加深了对数学问题的理解，并提高了我的写作能力。

数学辅导我还利用自己的数学知识，帮助其他同学解决数学问题。

通过辅导他人，我不仅巩固了自己的数学知识，还培养了自己的教学能力。

结论数学是一门重要的学科，它在各个领域都有广泛的应用。

在这个学期里，我通过学习和工作，提高了自己的数学能力，并积累了一定的经验。

数学中期工作总结报告范文

一、前言本学期，我担任我校初中数学教学工作，现将中期工作总结如下，以期为后续工作提供参考和改进方向。

二、工作回顾1. 教学计划执行情况本学期，我按照学校教学工作计划，认真备课、上课、批改作业、辅导学生，确保了教学计划的顺利实施。

在教学中，我注重以下几方面：（1）注重基础知识的传授，引导学生掌握数学基本概念、原理和方法。

（2）关注学生个体差异，针对不同层次的学生进行分层教学，提高全体学生的学习成绩。

（3）加强课堂互动，激发学生的学习兴趣，培养学生的思维能力和创新能力。

2. 教学改革与创新（1）优化教学设计，提高课堂教学效率。

在教学中，我注重结合教材内容和学生实际，设计生动有趣的教学活动，激发学生的学习兴趣。

（2）运用多媒体技术，丰富课堂教学手段。

通过PPT、视频、动画等形式，使课堂教学更加生动形象，提高学生的学习效果。

（3）开展小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

在课堂上，我鼓励学生积极参与讨论，分享学习心得，提高学生的沟通能力。

3. 教学成果（1）学生的数学成绩有所提高。

通过本学期的教学，学生的数学成绩普遍有所提升，部分学生取得了显著进步。

（2）学生的综合素质得到提高。

在课堂上，学生学会了如何分析问题、解决问题，培养了良好的学习习惯和自主学习能力。

三、存在问题1. 部分学生对数学学习缺乏兴趣，课堂参与度不高。

2. 部分学生对数学基础知识掌握不牢固，导致解题能力不足。

3. 课堂时间有限，部分教学内容无法充分展开。

四、改进措施1. 加强对学生学习兴趣的培养，激发学生的学习动力。

2. 针对学生的薄弱环节，加强辅导和练习，提高学生的数学素养。

3. 优化教学设计，合理分配课堂时间，确保教学内容的完整性。

4. 加强与家长的沟通，共同关注学生的成长。

五、结语本学期，我在教学工作中取得了一定的成绩，但也存在一些不足。

在今后的工作中，我将继续努力，不断提高自己的教学水平，为学生的全面发展贡献力量。

极限思想的起源以及它的大意

§1.0 序论一、极限思想的起源以及它的大意极限是高等数学中一个起着基础作用的重要概念，整个高等数学的体系都建立在这一概念基础之上。

【例1】中国古代有句古语：一尺之槌，日截其半，永世不竭。

设原槌之长为一个单位长，用 n x 表示第 n 次截取之后所剩下的长度，则x n n =12。

显然，当n 无限地增大时，n x 趋近于零。

所谓“永世不竭”，意指它可以无限地接近于零，但总不会等于零。

对 n x 的这一变化趋势，我们一般采用记号0lim =x 来表示。

x -1，【例3】( 芝诺悖论 )龟兔相距一个单位长，设乌龟的爬行速度为1，而兔子的奔跑速度是乌龟速度的2倍，则兔子永远也追不上乌龟。

其理由是：当兔子追到乌龟的第一个出发点时，乌龟爬行了12的距离；当兔子追到乌龟的第二个起点时，乌龟又爬行了122距离，…，如此下去。

这一悖论十分地迷惑人，但如果是考虑龟兔赛跑的时间，不难发现这一悖论的错误。

最初龟兔之间的相距11=x第一段路程兔子所用时间为t 112=，龟兔之间还相距x 212= 第二段路程兔子所用时间为t 2212=，龟兔之间还相距x 3212=………第n 段路程兔子所用的时间为t n n =12，龟兔之间还相距x n n +=112前n 段路程兔子所用时间的总和为)(1211211212121212112n T n n n n 对任意的<-=--=+++=+显然，当n →∞时，1→n T ，这表明兔子追不上乌龟是指在单位时间内追不上，并非永远追不上。

在这一悖论中，正是由于存在着“龟兔之间的距离 x n n +=112无限地趋近于零，但总达不到零”这一认识上的难点，使得它容易迷惑人。

三、极限思想在数学史上所取得的成就在初等数学中，往往只研究变量的状态性质（静态的性质），而极限是研究变量变化过程中的一种变化趋势（动态的性质）。

因此，极限思想帮助我们解决了许多初等数学无法解决的问题，获得了一些令人激动不已的结果，使数学进入了一个辉煌的时期。

极限的产生、发展与应用

学号密级******本科毕业论文极限的产生、发展与应用学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：***指导教师：***二○一五年五月BACHELOR'S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITYGeneration, Development andApplication of LimitCollege :School of MathematicsSubject :Mathematics and Applied MathematicsName : ***Directed by : ***May 2015郑重声明本人呈交的学位论文,是在导师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果,所有数据、图片资料真实可靠.尽我所知,除文中已经注明引用的内容外,本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容.对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体,均已在文中以明确的方式标明.本学位论文的知识产权归属于培养单位.本人签名：日期：摘要本文通过论述极限的产生、发展、应用等方面解释了极限思想,重点介绍了极限在高等数学方面的应用.微积分是以极限为基础的,因而应用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性等概念.为今后更好的学习微积分打下坚实的基础.关键词：极限;产生;发展;应用;微积分ABSTRACTThe through discusses the limit of the emergence, development and application of explains limit thought, introduced with emphasis the application of limit in higher mathematics. Calculus is based on the limit, and the limit of the thought method is continuous function, derivative and definite integral, series convergence and divergence of concept. To lay a good foundation for the future to better learning calculus.Key words : The limit;production;development;application;calculus目录摘要 (I)ABSTRACT (II)第1章引言 (1)第2章极限的产生和发展 (3)2.1极限的产生 (3)2.1.1中国早期极限思想 (3)2.1.2外国早期极限思想 (4)2.2 极限的发展 (5)第3章极限的应用 (7)3.1极限的早期应用 (7)3.2极限思想在高等数学教学中的应用 (7)3.2.1极限思想在微积分概念中的体现. (8)3.2.2极限思想在微积分解题中的应用 (9)结论 (13)参考文献 (14)致谢 (15)第1章引言极限是整个微积分教学中的理论基础,它同时又是极限理论中的基本概念,对于极限理论的理解和掌握的熟练程度,将直接影响到后续数学课程的学习,尤其是对微积分的学习.极限理论是从初等数学到高等数学的重要转折点,极限概念描述的变量是：从有限到无限、从近似到精确、从量变到质变的哲学辩证过程,这里所描述的变量的概念与初等数学中的变量的概念有着非常大的区别,因而对学生来说掌握起会有一定的困难,但是如果能从极限发展的历史中了解极限思想和极限理论的形成过程,这对于我们弄清极限概念的描述和逻辑表述形式以及对极限理论的理解、掌握和应用会起到至关重要的作用.极限包括有：数列极限和函数极限.当把数列看成是以自然数为自变量的函数时,数列极限也就被看作是函数极限.所以现代数学对数列极限和函数极限是这样定义的:设{}n a 为实数数列,a 为定数.如果对于给定的任意数0>ε,总存在N (自然数),使得n>N 时,ε<-a a n 恒成立,称数列{}n a 的极限是a ,记作a a n z n =→lim 设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A ,对于任意给微积分的创立是世界数学史上最大的事件之一,就是十七世纪英国的牛顿和德国的莱布兹以其卓越的天才,明确地认识到求积问题和作切线问题之间的互逆关系,从而真正建立了微积分的基本定理,并且系统地总结出一套比较准确的关于无穷小的算法,这的确算的上是微积分发展史上的头等重大的事件.但作为微积分基础的极限论的起源,我们可以追溯到春秋战国时期.早在春秋战国时期也就是公元前770年到公元前前221年，我国道家学派的代表人物庄子就有了极限思想,《庄子》“天下篇”中曾记载说,把一尺长的捶,每天取下前一天所剩的一半,照这样重复的不断取下去,我们永远也不可能把整个捶取完.这个具体的例子反映了我国古人对极限的一种思考,它不但表达了我们祖先的极限思想,也为我们提供了一个“无穷小量”的实际例子.这个经典的论断,至今在微积分的教学中还经常被使用.极限理论在高等数学中占有非常重要的地位,以极限为基础理论发展起来的微积分成为了各学科的一把利剑,解决了数学、物理等各领域中初等数学无法解决的问题,同时，极限思想从上世纪开始成为经济学家的有力工具.第2章极限的产生和发展2.1极限的产生19世纪法国伟大的数学家庞加莱曾经说过,能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人.我们所学的一切数学概念都来自于社会实践,来源于我们的现实生活,这些思想的火花被数学家们捕捉到以后,经过千锤百炼,被提炼成概念.再经过使用、推敲、充实、拓展,不断完善以及实践,最终形成经典的理论.毫无疑问地说,数学中的概念、定理等都会经历这个过程.极限也是社会实践的产物.极限思想的起源，我们可以追溯到古代,比如：刘徽的割圆术、古希腊人发现的穷竭法、阿基米德的圆周率计算等等,这些都蕴含着古代朴素的、直观的极限思想.古代朴素的极限思想主要是指：先通过整体细分,然后按照某种规律或发展趋势逼近终极状态,最后通过近似获得整体值的一种思想.2.1.1中国早期极限思想在中国古代数学史上,朴素的极限思想占有非常重要的地位.许多的哲学思想中都渗透着“极限思想”的光辉.早在春秋战国时期(公元前770一前221)，我国道家学派的代表人物庄子，在他的《庄子》“天下篇”中是这样记载的,一尺长的木棍,第一天取掉它的一半,还剩下它的二分之一尺,第二天再在这剩余的二分之一尺中在取掉一半,还剩下它的四分之一尺…….按照这样的方法一直取下去,木棍的长度会越来越小,但是无论剩余的木棍多小,永远也分不完.以至于到最后木棍长度几乎接近于零,但又永远不会等于零.这就出现了我国早期极限思想.当然在道家学派思想出现以前也曾出现了一些与道家学派不同的关于极限思想的观点.如：墨家观点就与庄子的观点不同,墨家提出一个“非半”的命题.这个命题是这样得出来：将一线段按一半一半地无限分割下去,必将会出现一个不能再分割的“非半”.这个“非半”就是点.墨家由此提出了有无限分割最后会达到一个“不可分”的思想.这也是早期中国极限思想的火花.而墨家思想与名家关于极限思想的观点也有不同,名家则提出了“无限分割”的思想.名家的命题论述了有限长度“无限可分”思想,墨家的命题指出了无限分割的变化和结果.名家和墨家的讨论,对数学理论的发展具有巨大推动作用.以我们现在的想法看来,先秦诸子中的名、墨两家,对宇宙的无限性以及连续性认识已经非常深刻了,但是在那时候这些认识还是片断的、零散的,然而这些极限思想的萌芽,为极限概念的产生提供了丰厚的沃土.公元3世纪,我国魏晋著名数学家刘徽创立了有名的“割圆术”,当他在注释《九章算术》时,他将极限思想创造性的应用到了数学领域.下面就割圆术的具体方法做以下介绍：一个圆周不断地进行分割,圆周分割得越细,圆内接多边形的边数越多,它的内接正多边形的周长就越是接近该圆周.按照这种思路不断地分割下去,一直到该圆周无法再进行分割为止,当分割到了圆内接正多边形的边数无限多的时候.该圆的周长就与该圆周几乎重合了.通过这种分割方法,刘徽得到了圆内接正3027边形的面积.通过这个过程,他求出了我国最早的圆周率,该圆周率为 3.1416,这个数值也是当时世界上最早的也是最准确的圆周率数据.后来刘徽把这种思想方法推广到了更多的有关圆的计算.刘徽的“割圆术”在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明,成为人类文明史中不朽的篇章.后来我国数学家祖冲之再次用这个方法把圆周率的值计算到小数点后七位.这种对于某个值无限接近的思想,就为后来建立极限概念打好了基础.在中国数学的发展史上，庄子、墨子、惠施、刘徽等天才数学家的数学研究和成就远远比不上与他们同时期的西方数学家(如：阿基米得、欧几里德等数学家).原因在于我国古代经济的困顿使得只有很少人来学习文化知识,自然学数学的人也就更少了,数学理论研究并没有受到相应的重视.农业社会的经济特点限制了古代人们对自然的探险与对理论的求索,从而也阻止了数学向理性发展的可能.中国几千年的文化,成就了许多的思想家、军事家和文人,其中也不缺少能工巧匠,唯独缺乏用符号与算式演绎事物内在规律和关系的数学家.由于中国古代的数学家们看重实用,因而古代数学只用于计算、测量等方面,并没有上升到理论的高度,因而也没有形成系统的理论体系.中国古代很多思想止于数学大门之外,令人非常惋惜[1].2.1.2 外国早期极限思想尽管刘徽是第一个创造性地将极限思想应用到数学领域的科学家.但是他的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用.古希腊数学之神阿基米德所运用的穷竭法也蕴含了极限思想.直到16世纪时, 荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中,斯泰文改进了古希腊人的穷竭法.他借助几何直观运用极限思想的方法来思考问题, 放弃了古希腊人归谬法的证明. 也就是就这样,荷兰数学家斯泰文在无意中将极限发展成为一个实用概念.2.2 极限的发展极限的理论形成于西方,它的概念发展经历了由缓慢到快速发展的过程.古希腊时期就有了极限思想,古希腊人的穷竭法包含了极限思想.然而在十六世纪以前,关于极限的描述都是零散的、不完整的.直到十六世纪,荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中,他借助于几何直观的方法用极限思想来思考问题,放弃了古希腊数学家用归谬法对极限的证明的方法,虽然斯泰文将极限概念向前推进了一步,但是极限思想仍只停留在思想的层面,并没有形成系统的极限理论体系.数学的发展与当时的社会背景密切相关,此时的欧洲处于资本主义萌芽时期, 生产力发展和技术中存在着大量的问题, 只用初等数学的方法已没有办法解决这些问题,所以迫切地需要数学家们突破只研究常量的传统范围,希望他们能够提供用以描述和研究运动、变化过程的新方法.正是因为这样的社会背景,加快了极限的发展、完善与微积分的建立.同时,微积分也形成系统的理论体系.进入十七世纪后,由于极限的没有准确的概念,所以牛顿在建立微积分的过程中,也就无法确定无穷小的身份.在利用无穷小进行运算时,无穷小量到底是零还是非零呢？这个问题困扰着牛顿和他同时期的数学家们.数学家们用旧的概念说不清“零”与“非零”的问题,故而极限的本质也没有被触及到.然而真正意义上的极限概念是由英国数学家约翰瓦里斯提出,他认为当变量无限逼近的一个常数时,它们的差是一定是一个给定的任意小的量.在这个过程中,他把两个无限变化的过程表述了出来,揭示了极限思想的核心内容.在十九世纪,法国伟大的数学家柯西在《分析教程》中比较完整的揭示了极限概念和极限理论.他认为当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值时,最终使该变量的值和该定值之差越来越小,这个差值小到一定的程度时,这个定值就是所有其它值的极限.同时,柯西还指出零是无穷小的极限.他的这个思想已经摆脱了常量数学的束缚,走向了变量数学.柯西在此时已经用数学语言能准确的表达极限的思想,但是这种极限思想的表达还是定性的、描述性的.直到后来,经过德国数学家维尔斯特拉斯给出极限的定量的定义,极限的概念才得以完善,这也为微积分提供了严格的理论基础：“如果对任何 0>ε,总存在自然数N ,使得当N >n 时,不等式ε<-A a n 恒成立”.德国数学家维尔斯特拉斯给出的极限概念,深入的刻画了两个“无限过程”之间的联系,排除了以前极限概念中的直观痕迹,将极限思想转化为了数学的语言.他用数学的方法描述完成了从思想到数学的一个转变,使极限思想在数学理论体系中开始占有了属于它的合法地位,在我们高等数学的数学分析书籍中,这种描述一直沿用至今.[2]第3章极限的应用3.1极限的早期应用在古希腊,“穷竭法”是研究一类数学问题的一种特殊方法.在公元三世纪,古希腊诡辩学家安提丰(Antiphon,约公元前430年)在求圆面积时,提出了用成倍扩大圆内接正多边形边数的方法,并把内接正多边形的面积来表示圆面积,该方法即“穷竭法”.他认为这样圆与内接正多边形的差将被“穷竭”.然而这是一种粗糙的极限论思想,虽然这种方法获得的结果是正确的,但在逻辑上却是有问题的,我们谁也保证不了无限扩大后的正多边形的边会不会与圆周重合? 这个疑问就是古希腊数学家们的“关于无限的困惑”.这种边数加倍的过程可以无限制地进行,不会有所终结,所以说“差”被“穷竭”的说法是不合适的.但用我们用现在极限理论的观点来看这个过程,这个被构成了的“无穷小量”,它在不断趋向于零.尽管如此,“穷竭法”仍然被认为是人类最早运用极限论的观点去思考数学问题的方法.数学家家阿基米德后来用“穷竭法”求抛物线的弓形面积时,发现这种方法似乎还不够严密,因此在获得结果后又用归谬法加以证明,他在逻辑上证明了结果的正确性.他的发现如下：第n 个多边形的面积与抛物线弓形面积有一个差值ns 43⋅,随着n 的增大,这个差值会越来越小,直到这个差值不可能是一个的大于零的常数为止,但这个差值也不可能是小于零的常数,根据归谬法我们可以知道,这个差值为n s 43⋅,并且这个差值只可能等于零.在此时,古希腊数学家阿基米德提出了一个相当于现在无穷小量的概念,为近代的极限理论打下了良好的基础. 我国古代数学早期的极限思想应用历史悠久.公元三世纪,魏晋数学家刘徽的“割圆术”就运用了极限论的初步思想,解决了求圆周率的实际问题.它的“割圆术”与古希腊人的“穷竭法”思路一致,他是中国数学史上第一个将极限思想运用于数学计算的人,这与现在极限论的观点是十分相近的.3.2极限思想在高等数学教学中的应用高等数学主要的研究内容为函数的微分与积分,它的研究方法为极限,这也是高等数学相比于初等数学的显著标志.极限思想贯穿于高等数学的始终,是高等数学的一种重要思想方法,我们可以说没有极限就没有微积分,极限和极限思想在微积分中占据着核心的地位.3.2.1极限思想在微积分概念中的体现.体现一：连续函数概念的建立函数连续与否的概念源于对函数图像的直观分析.例如,函数2)(x x f y ==的图像是一条抛物线,图像上个点相互“连接”而不出现“间断”,构成了曲线“连续”的外观.而符号函数x sgn y =的图像也直观的地告诉我们,它的“连续”在0=x 处遭到破坏,也就是说在这一点出现了间断.用分析的观点来看,函数)(x f 在某点0x 处是否具有“连续”特性,就是指当x 在0x 附近做小变化时,)(x f 是否也在)(0x f 附近做微小变化.借助于已经学过的函数极限工具,就是看当自变量x 趋于0x )(0x x →时,因变量y 是否趋于)(0x f ))((0x f y →定义：设函数)(x f 在点0x 的某个领域中有定义,并且成立)()(lim 00x f x f x x =→ 则称函数)(x f 在点0x 连续,而称0x 是函数)(x f 的连续点.体现二：导数概念的建立导数是微积分中的重要基础概念,导数是函数的局部性质。

毕业论文_极限思想的产生与发展

存档编号赣南师范学院科技学院学士学位论文极限思想的产生与发展系别数学与信息科学系届别 2014 届专业数学与应用数学学号 1020151216 姓名李芳指导老师陈海莲完成日期 2014 年5月 4日目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (2)1.极限思想的产生 (2)2.极限思想的发展 (4)3.极限思想的概念 (5)极限的现代定义 (5)3.2函数极限的性质 (6)数列极限存在的条件 (7)4 极限思想的应用 (8)极限思想在割圆术中的应用 (8)极限思想在开方方面中的应用 (8)极限思想在微积分中的应用 (10)极限思想在解题中的应用 (11)结论 (15)参考文献 (17)致谢 (18)内容摘要：本文主要论述极限思想的产生与发展、极限思想的概念、辩证与剖析及其应用。

极限思想是荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法时产生的，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明，而牛顿，莱布尼兹对极限思想的建立作出了创造性的贡献。

本文最后探讨了极限思想在割圆术、开方、微积分和求解某一点方面的应用。

关键词：极限思想产生发展概念辩证剖析应用Abstract: This paper mainly discusses the origin and development of the limit idea, limit thought concept, dialectical analysis and its application. Limit thought is produced by Holland mathematician Steven improved the method of exhaustion of the ancient Greeks, while investigating the center of gravity when he, with the aid of the geometry, bold use of thinking about the limit, give up reductio ad absurdum proof, and Newton, made creative contribution to establish the Leibniz limit thought. This paper finally discusses the application of limit thought in cyclotomy, prescribing, calculus and solution of a point of.Key words: Limit thought production development concept dialectical analysis application引言数学是对现实世界数与形简洁的、高效的、优美的描述, 是有其内部抽象性和外部有效性的一门学科。

极限思想、地位和应用【开题报告】

开题报告数学与应用数学极限思想、地位和应用一、综述本课题国内外研究动态，说明选题的依据和意义极限是分析数学中最基本的概念之一, 极限思想是数学中极为重要的思想. 极限一词从词源上讲含义是表示一个不可超越的限度, 含有限制的意思. 数学中的"极限"在一定方面也有这个意思, 但不完全是, 更广地, 如有"无穷逼近"之意. 在数学领域"极限"是有严格定义的, 用以描述变量在一定的变化过程中的极限状态, 它的建立是数学发展史中的一个重要转折点, 它将初等数学扩展为变量数学, 此后抽象空间中各类收敛性, 也都是极限思想方法的运用和拓广. 而"极限"有其漫长的历史, 历史上的数学家花了两千余年的时间将其概念完善和严密化.古代朴素的, 直观的极限思想是随着无限观的产生而产生的, 古希腊的"穷竭法"、阿基米德圆周率计算、刘徽的割圆术等, 无不含有朴素的极限思想的雏形, 也揭示了极限概念的萌芽时期. 古朴的极限思想主要指通过整体细分, 按照某种规律或发展趋势逼近终极状态近似获得整体值的一种思想.希腊人的"穷竭法", 从外推思想直观猜测出"两个圆的面积之比等于它们的直径（或半径）的平方之比", 因为通过作两个圆的内接正多边形的面积之比, 总是等于两个圆的半径的平方之比, 所以外推"在终极的情况下"也应如此, 即对于两个圆的面积, 同样的结论也是成立的, 这其中就蕴含有极限逼近思想. 希腊人在穷竭思想下发展的证明方法是严格的, 并不是大致近似或是严格极限概念的某一步, 它根本不含明确的极限思想, 仅依赖于间接证法——双归谬法, 这样就避免了用到极限. 实际上欧几里得在面积和体积方面的工作比牛顿和莱布尼茨在这方面的工作严密可靠, 因后者试图建立代数方法和数系并且想用极限概念. 但我们也能看到, 双归谬法的确遏制了穷竭思想向极限思想的发展, 远离了向严格极限发展的方向, 将难处理的涉及无限的东西通过反证归谬给化解了.刘徽的"割圆术"是一种典型的朴素极限思想或观念的运用. 按照刘徽割圆术的思想, 圆的周长就是圆内接正边形的周长在不断增大的变化过程中所无限接近的数值. 刘126-⨯n n 徽的割圆术只是建立在直观基础上的一种原始极限观念的应用,是将圆看成是正多边形的极限状态的思想, 只是没有将这一过程数量化, 离极限方法尚有一段距离.古代数学中的极限思想仅止于思想, 而没有发展到方法层面, 希腊学者为了克服无穷带来的麻烦, 走了一个弯路——发明了穷竭法, 避开了"取极限". 穷竭法是逻辑方法, 偏离了极限思想向可操作的极限方法发展的轨道.16世纪, 荷兰数学家斯蒂文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法, 他借助几何直观, 放弃归谬法证明步骤, 大胆地运用极限思考问题. 从此, 他指出了把极限方法发展成为一个实用的概念的方向. 随着微积分的发展, 极限逐步受到重视. 因为牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立的微积分遇到了逻辑困难, 人们发现极限能化解这一困难, 所以就求助于极限思想, 试图以极限概念作为微积分的基础.第一个明确阐述极限概念的数学家是法国的达朗贝尔. 他指出, "当第一个量以比人们能想出的任何细微给定量都更密切地逼近第二个量时, 第二个量就是第一个量的极限." 尽管这个概念是描述性的, 但已初步摆脱了几何、力学的直观原型. 因此, 达朗贝尔的极限概念被看作是现代严格极限理论的先导.法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯进一步将极限概念严格化. 1821年, 柯西在《分析教程》中给出了变量极限定义: "当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值, 最终使变量的值和该定值之差要多小有多小, 这个定值叫做所有其他值的极限. "魏尔斯特拉斯以此定义为基础, 他提出了极限理论的方法, 给出了导数、连续、积分的定义, 特别是-ε他首先给出了定积分作为和式极限的定义, 也给出了无穷小、无穷大的定义: "当一个变量的数值这样地无限减小, 使之收敛到极限零, 那么这个变量叫做无穷小; 当变量的数值这样无限地增大, 使该变量收敛到极限, 那么该变量就成为无穷大. "这个定义澄清了对无穷小∞"似零非零"的模糊认识.魏尔斯特拉斯为了排除柯西极限概念中的直观痕迹, 对柯西的方法进一步改造. 把-ε变量解释成字母, 该字母代表它可以取值的集合中的任何一个数, 这样运动就消除了. 一个连续变量是这样一个变量: 若是该变量的集合中的任一值而是任何正数, 则一定有变0x ε量的其他值在区间中. 他给出了相当完备的方法, 即设是函数()εε+-00,x x δε-0x x =定义域内的一点, 若对给定的任一随意小的数, 可求得另一正数, 使得与之差()x f εδ0x 小于的一切值, 满足和另一数的差小于, 则数是函数于点的极限.δx ()x f L εL ()x f 0x 极限的定义使极限概念从动态观点过渡到了静态观点, 用静态的有限量刻画动态δε-的无限量, 再也用不着借助于几何直观和想象了. 在该定义中, 涉及的仅仅是数及其大小关εδ系, 借助不等式, 通过和之间的关系, 却定量地、具体地刻画了极限概念中两个"无限过程"之间的联系, 真正实现了极限概念的"算术化". 这标志着清晰而明确的极限概念的真正建立.近代意义的极限思想是与无限逼近相联系的, 是一种通过无限细致的分割而探讨整体的思想, 最终明确化为算法化的极限方法. 极限是微积分学的重要概念, 人们用差商的极限去描述切线斜率、变速运动物体的瞬时速度、加速度等概念, 以及用"分割求和取极限"的方法去描述变速运动物体的路程与速度的关系、曲边梯形的面积与曲边的关系, 都是这种思想的体现. 微积分中的几乎所有的重要概念都是由极限来定义的, 从连续概念到导数概念, 从定积分到级数的收敛发散等, 极限思想方法可以说贯穿了微积分的全部内容.极限概念是现代分析数学乃至整个数学领域中最重要的概念之一, 它的计算方法和论题也在迅速扩大, 到今天已成为一个非常活跃又富有吸引力的研究领域. 本文主要内容分为三部分. 首先, 本文陈述了极限思想的产生、发展及完善过程; 其次, 介绍了极限思想在数学分析乃至整个数学领域中的重要地位及贡献; 最后, 介绍了极限思想及极限方法的广泛应用. 极限的问题,集探讨性、深入性、逻辑性、分析性于一体.考查极限的思想、地位和作用, 不仅可使学生将基本知识融汇贯通, 提高学生的发散思维和解决生活实际问题的能力, 还可以在教学, 社会经济等方面起到节能作用. 因此它成为教学研究中的重要内容之一.二、研究的基本内容，解决的主要问题：研究的基本内容: 极限的思想、地位和应用解决的主要问题: 1. 极限思想的产生, 发展过程2. 极限在数学分析乃至整个数学领域中的重要地位及贡献3. 极限思想及极限方法在实际生活中的广泛应用三、研究步骤、方法及措施：研究步骤: 1. 查阅相关资料, 做好笔记;2. 仔细阅读研究文献资料;3. 翻译英文资料;4. 在老师指导下, 确定整个论文的思路, 撰写开题报告;5. 撰写文献综述;6. 撰写论文初稿;7. 上交并反复修改论文;8. 论文定稿.方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 上万方数据库查找文章, 参考相关内容.在老师指导下, 通过研究讨论, 用推理论证的方法来解决问题.四、参考文献[1] 邵光华. 作为教育任务的数学思想与方法[M]. 上海: 教育出版社, 2009.[2] M. 克莱因著. 张理京, 张锦炎译. 古今数学思想[M]. 上海: 科学技术出版社, 1979.[3] 李文林. 数学史概论[M]. 北京: 高等教育出版社, 1993.[4] D. E. Smith. History of mathematics[M]. Canada: General Publishing Company, 1923.[5] H. G. Grattan. Companion encyclopedia of the history and philosophy of the mathematics sciences[M]. England: Taylor & Francis, 1994.[6] C. H. 爱德华. 微积分发展史[M]. 北京: 北京出版社, 1989.[7] 华东师范大学数学系编. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001．[8] 徐利治. 论无限——无限的数学与哲学[M]. 大连: 大连理工大学出版社, 1999.[9] 秦凤雯. 极限的方法及哲学思想[J]. 教育教学论坛, 2011, 3: 132~133.[10] 徐利治. 数学分析的方法及例题选讲——分析学的思想、方法与技巧[M]. 大连: 大连理工大学出版社, 2007．[11]腾飞. 近代数学分析中的极限思想[J]. 今日财富, 2010, 4: 206~206.[12]龚群强. 论"极限思想"在教学中的重要性[J]. 数学学习与研究(教研版), 2010, 13: 16~16.。

学位论文-—极限思想的产生和发展

本科生毕业论文（设计）题目极限思想的产生和发展The Emergency and Development OfLimit专业数学与应用数学院部数学与计算机科学学院学号 xx姓名 xx指导教师 xx答辩时间二○一四年五月论文工作时间：2013 年12月至2014 年5月极限思想的产生和发展摘要：本文主要论述极限思想的产生和发展历史．在极限思想产生和发展的每个阶段，介绍一些相关的数学家代表以及他们的理论．极限思想是近代数学的一种重要思想，所谓极限思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想．极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点．通过了解极限思想的产生和发展，让人们对学习关于极限思想的数学知识更有兴趣；通过了解极限思想的产生和发展，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线认识曲线，从量变认识质变，从近似认识精确．在探求极限思想起源与发展的过程中，会发现数学这个美丽的世界，享受探求数学这个美妙的过程．关键词：极限思想；产生；发展The Emergence and Development Of LimitUndergraduate:xxSupervisor: xxAbstract:This paper mainly discuss the generation of limit and its development．I will introduce you some related mathematicians and their theories during its different period．Limit thought is an important thought of modern mathematics, namely a mathematical thought used to solve and analysis problems．The emergence and development of the limit idea is of practical need to society, it also promotes the development of math as a new power, which becomes the foundation and starting point of the modern mathematical thoughts and methods．By learning the emergence and development of the limit idea, people will be more interested in some mathematical questions on limit thought．They can know things from finite to infinite, from invariant to variant also, they can understand curve from straight line, qualitative change from quantitative change and exactness from approximation with the help of the limit thought．I hope that everyone will find what a beautiful mathematical world it is and enjoy this wonderful process when you explore the origin and development of limit thought in mathematics．Key words:limit thought ; generation; development目录绪论 (1)1极限思想的产生 (1)2极限思想发展的分期 (2)2．1极限思想的萌芽阶段 (2)2．2极限思想的发展时期 (3)2．3极限思想的完善时期 (3)3极限思想与微积分 (4)3．1微积分的孕育 (5)3．1牛顿与微积分 (6)3．3莱布尼茨与微积分 (6)3．4微积分的进一步发展 (7)结束语 (8)参考文献 (9)致谢............................................. 错误！未定义书签。

极限的理论及在新概念形成过程中的应用

极限的理论及在新概念形成过程中的应用作者：周世安来源：《教师·下》2010年第08期一、极限思想的产生与发展极限思想是社会实践的产物.它起源于古巴比伦和埃及.原因是在求不规则图形面积和体积时遇到了类似于“一尺之棰,日取其半,万世不竭”无限过程的问题.芝诺、德谟克利特、亚里士多德等人为极限思想的建立奠定了基础.在我国极限思想可以追溯到古代.刘徽创立了割圆术,用圆内接正多边形面积逼近圆面积,用圆内接正多边形周长逼近圆周长,解决了推求圆周率精确值问题,是他应用极限思想的成功事例,是对极限思想直观具体的应用;古希腊人的穷竭法也体现了具体极限思想,但由于希腊人对极限思维的局限性,他们是借助于间接证法——归谬法来完成了有关极限问题证明.极限思想的进一步演变是与微积分的发展紧密相联系的.16世纪的欧洲,生产力有了极大的发展,生产和生活中许多问题用初等数学的方法无法解决,数学的研究必然要突破只研究常量的范围,对于描述和研究运动、变化过程的新工具的出现提出了新的要求,从而促进了极限的产生和发展.尽管各个时代的数学家由于思维的局限性和对极限思想本质认识不足,均未能给出极限严格和紧密化的定义,但19世纪中叶维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义,他指出:所谓an=A,就是指“如果对任何ε>0,总存在自然数N,使得当n>N时,不等式|an-A|二、极限思想的理论内涵所谓极限思想,是指用极限概念和定义分析与解决问题的一种数学思想.它揭示了变量与常量、无限与有限的辨证关系,是唯物辩证法在数学领域中的应用.三、极限思想的具体指导和应用(1)应用极限思想,人们可以更高层次认识有限与无限、“不变”与“变”之间的辩证统一的关系,从而达到认识精确.它是用发展的观点,把考察的对象(如圆的面积、非匀速运动的瞬时速度、曲边梯形的面积等)看作是某对象(内接正多边形面积、运动的速度、小矩形面积之和)在无限变化过程中变化结果的思想,而这种过程总是与过程的有限的、暂时的结果有关联.既包括极限过程,又完成了极限过程.体现了“从有限找到无限,从暂时中发现永久”,并且使之相对确立起来.(2)极限思想的具体应用.用极限思想解决问题的一般步骤为:对于被考察的对象,构思一个与它相关的变量,这变量通过无限过程的终极目标的确立,最后取极限计算得到结果.数学分析著作中,一般先介绍函数定义和极限的思想方法,然后利用极限的方法给出连续函数、导数、积分、级数的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念.在求曲边梯形的面积的前两步即“分割”和“求和”,是初等数学方法的体现,也是初等数学方法中形式逻辑思维的体现. 只有第三步“取极限”这种蕴涵于变量数学中的逻辑思维,才使得初等数学无法解决的问题迎刃而解.定积分中的极限方法可以使有关常量与变量、近似与精确得到完美的体现,遵循了对立统一规律,体现了否定之否定法则:在求曲边梯形的面积总量I极限过程中,当n→∞时,一方面使积分和f(?孜i)?驻xi中的积分元素f(?孜i)?驻xi转化为总量I的微分dI=f(x)dx,这是对总量I的否定,这次否定的结果得到了I的微分dI,这是对总量I的无限项细分;另一方面,当n→∞时,积分和f(?孜i)?驻xi转化为对微分dI的无限项相加,这是对dI的否定,这一次否定的结果得到了总量I,这是对dI的无限积累.现考察下列极限思想具体应用题:求:(++…+)之值.分析:设Sn=(++…+)=(++…+)通过观察拟考察函数f(x)=,该题实际上也就是求曲线f(x)=与x=1及两个坐标轴正半轴围成的曲边梯形的面积.由于f(x)在[0,1]上有界, 在[0,1]中插入n个分点把区间[0,1]分割成n个长度相同的小区间[0, ], [ ],… [, ].各小区间的长度?驻xi均为,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点?孜i=(i=0,1,2,…,n)作函数值f(?孜i)与小区间长度?驻xi的乘积f(?孜i)?驻xi(i=0,1, 2,…,n), 并作和式Sn=f(?孜i)?驻xi,记λ=max(?驻x1,?驻x2,…,?驻xn)实际上不论对[0,1]怎样的分法, 也不论在小区间[xi-1,xi]上点?孜i怎样取法, 只要当λ→0时, 和Sn总趋于确定的极限I, 称这个极限I为函数f(x)在区间[0,1]上的定积分,记为ISn=(++…+)(++…+)=dx=[x-ln(1+x)]|=1-ln2.综上所述,极限理论是人类思想文化的结晶,蕴涵着丰富的辩证思想,极限的建立是数学发展史中的一个重要转折点,它把初等数学扩展到一个新阶段——变量数学.它是变量数学的基础理论.对当前高中数学已有的极限内容,必须采取有效的教学方法和手段,教好学好, 为以后建构新的数学知识体系,继续学习变量数学奠定良好的基础.(作者单位:广东省佛山市南海区桂城职业技术学校)。