总结版：中学数学教学概论

中学数学教学概论第一章中学数学教学的目的与任务1.1 确定中学数学教学目的的依据* 一、确定中学数学教学目的的依据①教育方针②普通中学的性质和任务③数学学科的特点④学生的年龄特征* 二、普通中学的性质和任务性质：普通中学进行的是基础教育而不是职业（专业）教育任务：要交给学生为继续升学或参加生产劳动所必需的、较系统的科学文化知识；必须联系生产、生活实际，注意培养学生的实践能力和生产劳动的技能技巧，培养学生进入社会后的必要的生存和发展能力。

二、数学学科的特点①数学的抽象性与严谨性②数学的广泛应用性③数学的思辨性和结论的确定性1.2 中学数学教学目的一、“标准”中规定的教学目的1.2011年《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》总目标：①获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能②初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识③体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心④具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展新课程标准的四个方面：①知识技能②数学思考③解决问题④情感态度* 2. 2003年《普通高中课程标准（实验）》总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要具体目标：①获得必要的数学基础知识和基本技能②提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力③提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力④发展数学应用意识和创新意识⑤提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成契而不舍的钻研精神和科研态度⑥具有一定的数学视野三维目标：①知识与技能②过程与方法③情感、态度与价值观二、关于基础知识和基本技能基础知识：指“大纲”或“标准”中规定的代数、几何、统计与概率、微积分初步等的概念、法则、性质、公式、定理、公理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法基本技能：指按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据（包括使用计算器、计算机等信息技术工具）、简单的推理、画图以及绘制图表等基础知识教学中要注意的问题：①要有整体观念②要过程与结论并重③要注意循序渐进、螺旋上升④要注意训练的适度性第二章中学数学教学改革2.1 20世纪中学数学教育改革综述一、克莱因——贝利运动1.克莱因（F.Klein）——主张“以函数为中心”2.贝利——主张“数学教育应该面向大众”二、新数运动20世纪50年代后期，“数学教育现代化运动”开始（“新数”——新的数学课程）1.新数运动产生的重要原因①社会发展对人的数学素养提出高要求②数学教育中存在着一些亟待解决的问题③20世纪数学的飞速发展④心理学理论的发展⑤高等学校数学教育的发展2.对“新数”的反对意见的体现①升学和就业②具体和抽象③归纳与演绎④理论与实际⑤传统与现代3.新数运动受到挫折的根本原因脱离实际，急于求成。

一场大的课程改革，必须经过充分准备，例如先要经过小范围试验，取得经验后逐步推广；搞好教师培训，做好课改的舆论宣传；在改革的指导思想上，一定要处理好改革、继承和创新的关系，要强调渐变而不是突变，否定一切另搞一套的做法必定要引起混乱，教育领域的革命是注定要失败的。

三、问题解决为核心20世纪50年代——新数运动开始20世纪70年代——提出“回到基础”（back to basis)20世纪80年代——提出“问题解决为核心”(problem solving)四、“大众数学”运动达米洛夫——提出“大众数学”2.2 教学内容和教学方法的改革一、教学内容的改革新数运动的教学内容现代化的体现：①增加新内容②改革传统内容③变革教材的体系结构二、教学方法的改革1.发现法——布鲁纳教学的一般步骤：①提出问题②提出假设③创设情境④寻求解答⑤作总结，得出结论2.程序教学法和单元教学法1)程序教学法——斯金纳主要模式：直线式程序、分支式程序2)单元教学法具体步骤：①自学探究②重点讲授③综合训练④总结巩固3)因材施教4)现场教学——杜威（“从做中学”）5)问题教学法——杜威（“做中学”）2.3 面向未来的数学教育一、《原则和标准》介绍《原则和标准》——《美国学校数学教育的原则和标准》1.原则①公平原则②课程原则③教学原则④学习原则⑤评估原则⑥科技原则2.标准①内容标准②过程标准第三章数学能力1.1 数学能力概述一、数学能力：学习数学的能力、创造性数学能力1.学习数学的能力：是指在学校里学习（学会、掌握）数学的过程中表现出的能力，这种能力具有个体意义2. 创造性数学能力：是指在数学研究中表现出的能力，这种能力产生具有社会价值的新成果或新成就二、数学概括能力是数学能力的核心①数学概括的特殊性决定了数学概括能力在学生数学能力发展中的特殊地位②数学概括能力是学生学习数学的必要前提③概括是导致迁移的实质④概括能力是思维能力的核心三、中学数学教学要培养的基本能力①逻辑思维能力（核心）②运算能力③空间想象力④数学应用能力3.2 运算能力一、对运算能力的理解运算——是在运算律指导下对具体式子进行变形的演绎过程1.运算能力的特点①综合性②层次性2.运算能力的衡量指标①正确②迅速③简捷* 二、运算能力的培养①深刻理解数学概念，适当记忆数字事实②注重数学思想方法在运算过程中的主导作用③重点培养“选择”能力④注重运算中的“全局观念”⑤强调良好计算习惯的培养3.3 空间想象力一、对空间想象力的理解空间想象力——指人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的能力* 二、空间想象力的培养①构建一个从直观理解到形式化处理的几何学习过程②强调“识图”能力的培养③重视几何思维的综合性3.4 数学应用能力一、对数学应用能力的理解数学应用能力——是指用数学解决带有实际意义的和相关学科中的数学问题，以及解决生产和日常生活中的实际问题能力* 二、数学应用能力的培养①有意识地加强数学和实际的联系②强调数学教学的理论水平3.5 中学生数学能力的培养* 一、中学生数学能力的培养①加强概括能力的培养（数学概括能力是数学能力的核心）②重视数学思想和方法的教学③加强“联系性”④正确对待练习* 二、培养概括能力的措施①明确概括的主导思路，引导学生从猜想中发现，在发现中猜想②在把抽象的数学概念具体化的过程中强化发现猜想③通过变式、反思和系统化等，积极推动同化、顺应的深入进行④大力培养形式抽象的能力三、中学生应掌握的基本数学思想方法①函数思想②分类思想③数形结合思想④化归思想⑤极限思想⑥统计思想第四章思维与数学思维4.1 思维的概念及其本质思维：是一种探索和发展新事物的心理过程思维的本质：具有意识的头脑对客观事物的本质属性、内部规律性的间接和概括的反映4.2 思维的明显特性* 数学思维的特点：①概括性②间接性③逻辑性④目的性⑤社会性4.3 数学思维品质* 数学思维品质：①深刻性②广阔性③灵活性④独创性⑤目的性⑥批判性⑦敏捷性4.4 数学思维的基本成分数学思维的基本成分①形象思维②抽象逻辑思维（核心）③直觉思维4.5 数学直觉思维的意义及其特征分析一、数学直觉思维的意义数学直觉思维：是具有意识的人脑对数学的对象、结构及规律性关系的敏锐的想象和迅速的判断二、数学直觉思维的特征1）潜逻辑性2）无意识性①自发性②不可解释性③随机性4.6 数学思维结构初探一、数学思维结构的组成因素①数学思维的目的（核心）②数学思维方式③数学思维基本成分④数学思维品质⑤数学思维自我监控⑥数学思维中的非智力因素二、对数学思维结构的综合分析①数学思维结构具有整体性和内部的协调性②数学思维结构是静态结构和动态结构的统一，但动态性是它的精髓第五章思维过程与数学思维能力数学思维过程：①观察与实验②归纳与演绎③比较与分类④分析与综合⑤抽象与概括5.1 观察与实验1.观察：对周围世界的各种客观事物和现象，在“原生态”条件下，通过考察它们自身存在的特征及其自然联系，而研究和确定它们性质和关系的方法2.实验：通常指一种研究客观事物和现象的方法，即根据事物和现象的自然状态和发展，创设一定的条件，人为地将它们分成许多部分，而且将它们同其他事物和现象联系起来以深入了解所研究的事物和现象的自然状态和发展情况5.2 归纳和演绎1.归纳：从个别或特殊的经验事实出发推出一般性原理、法则和推理形式、思维进程和思维方法特点：部分→整体，个别→一般2. 演绎：由一般性知识的前提出发，得出个别性或特殊性知识的结论的推理形式、思维进程和思维方法特点：一般→特殊5.3 比较与分类1. 比较：是一种确定事物相同点和相异点的方法，是一种判断性的思维活动①类比——特殊而重要的比较类比：是指根据两个或两类事物在某些属性或结构上的相同或相似，而推出它们在其他属性或结构上也相同或相似特点：特殊→特殊②对比——比较的常用形式2. 分类：主要是依据事物的属性5.4 分析与综合1. 分析（执果索因）：是把事物或问题分解为各个部分加以考察的方法，包括从事物的组成因素、属性、联系和关系等不同角度所进行的分解和考察2. 综合（由因导果）：是把事物或问题的各个部分联结成整体加以考察的方法5.5 抽象与概括1. 抽象：是在思想上把事物的本质属性（或特征）和非本质属性（或特征）区分开来，并抽取出本质属性（或特征）而舍弃非本质属性（或特征）2. 概括：是在思想上把从某类个别事物中抽取出来的属性，推广到该类的一切事物中去，从而形成关于这类事物的普遍性认识特点：个别→一般5.6 数学思维能力及其培养一、对逻辑思维能力的理解逻辑思维能力——数学思维能力的核心二、逻辑思维能力的衡量指标①严密性（最根本的）②准确性③明确性* 三、中学生数学思维能力的培养①关键在于变革数学课堂教学②认知要求是核心③处理好抽象与具体的关系第六章思维形式6.1 思维形式的一般概述1. 思维形式：概念、判断、推理2. 形式逻辑的基本规律：①同一律②矛盾律③排中律④充足理由律6.2 概念、定义和原名一、概念概念：是反映事物本质属性的思维形式概念的内涵：指反映在概念中的对象的本质属性概念的外延：指具有概念所反映的本质属性的对象概念间的相容关系：指两个至少有一部分外延重合的概念之间的关系概念间的不相容关系：指属于一个属概念中的两个在外延上没有任何重合部分的种概念之间的关系1.概念间的相容关系：①同一关系（如：等角三角形与等边三角形）②属种关系（如：四边形与平行四边形）③交叉关系（如：菱形与矩形）2.概念间的不相容关系：①矛盾关系（如：有理数与无理数）②反对关系（如：正有理数与负有理数）3.内涵和外延的反变关系：具有属种关系的两个概念，它们的内涵和外延具有反变关系，即设A，B是具有属种关系的两个概念，如果B的内涵比A的内涵多，那么B的外延就比A的外延小；如果B的内涵比A的内涵少，那么B 的外延就比A的外延大二、定义定义：是揭示概念内涵的逻辑方法* 1. 下定义的方法：①邻近的属加种差定义②发生定义③关系定义④外延定义⑤递归定义⑥公理定义* 2. 定义的规则：①定义项与被定义项的外延必须全同②定义不能循环③定义项不能包含模糊不清的概念④定义项一般不应包含负概念三、原名原名：不能引用别的概念来定义，而且又用来定义其他概念的概念（如：点、直线、平面、集合）四、划分划分：明确概念外延的逻辑方法* 划分的规则：①划分后各子项应互不相容②各个子项必须穷尽母项③每一次划分时应当用同一个划分标准6.3 判断判断：是对思维对象有所断定的一种思维形式一、判断的种类1）简单判断①性质判断②关系判断2）复合判断①负判断②联言判断③选言判断④假言判断二、性质判断的种类①全称肯定判断（A）：所有S都是P（SAP）②全称否定判断（E）：所有S都不是P（SEP）③特称肯定判断（I）：有的S是P（SIP）④特称否定判断（O）：有的S不是P（SOP）三、逻辑联词① 否定（非）：p ⌝② 合取（与、并且）：q p ∧③ 析取（或）：q p ∨④ 蕴含：q p →【q p q p ∨⌝≡→】⑤ 等价：q p ↔【()()p q q p q p →∧→≡↔】6.5 逻辑规律* 逻辑规律：① 同一律② 矛盾律③ 排中律④ 充足理由律6.6 推理与证明一、推理推理：是从一个或几个判断中得出一个新判断的思维形式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧类比推理不完全归纳推理完全归纳推理归纳推理合情推理模态推理假言推理选言推理联言推理关系推理三段论间接推理直接推理演绎推理推理* 三段论：① 小项（S ）：结论中的主项② 大项（P ）：结论中的谓项③ 中项（M ）：两个前提所共有的、在结论中又消失的项二、证明证明：是用某个（或一些）真实判断确定另一判断真实性的思维过程构成要素：论题 + 论据 + 论证方式⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧普通归纳法逆证法分析法（执因索果）综合法（由因导果）穷举法反证法间接证明直接证明证明第七章中学数学教学工作的基本要求* 中学教学应该遵循的四个原则：①严谨性与量力性相结合②抽象性与具体性相结合③巩固性与发展性相结合④理论与实践相结合7.2 严谨性与量力性相结合一、严谨性严谨性：就是数学的精确性。