电磁场与电磁波第四章
电磁场与电磁波 第4章 静态场的边值问题
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
电磁场与电磁波第四章
P(r, )
R q
q d
' '
a d
a2 d
q
结论：点电荷q对接地导体球面的镜像电荷为
电量：q ' a q 位置：d ' a2
d
d
球外电位：
q
[
1
4 r2 d 2 2rd cos
a
] (r a)
d r2 a4 / d 2 2r(a2 / d ) cos
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程） 的理论依据。
第二节 直角坐标系中的分离变量法
分离变量法：根据边界面的形状，选择合适的坐标 系，假定待求的位函数可表示为三个函数的乘积， 且其中每个函数分别仅是一个坐标的函数，将这个 函数代入拉普拉斯方程，通过分离变量将原来的偏 微分方程化为常微分方程。
a
] (r a)
d r2 a4 / d 2 2r(a2 / d ) cos
球壳外电位： 0 (r a)
2、点电荷对不接地球面导体边界的镜像
不接地：导体球面电位不为0，
球面上存在正、负感应电荷（感应
r
电荷总量为0）。 处理方法：电位叠加原理
q ' O
q'
d
P(r, ) R q
处理过程：
1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为q '的感应电荷，
镜像电荷可采用前面的方法确定。
2、断开接地。将电量为q ' 的电荷加到导体球面上，这些电荷必
然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。
3、均匀分布在导体球面上的电荷q ' 可以用位于球心的等量点
电荷等效。
电磁场与电磁波：第四章作业答案
由于轴对称性，两板间的磁场只有 分量，且在以 轴为中心、 为半径的圆周 上处处相等。于是由
可得
所以
（2）损耗功率瞬时值 为
平均损耗功率 为
（3）进入电容器的平均功率为
由此可见有
根据边界条件，在导线表面上电场的切向分量连续，即 。因此，在导线表面外侧的电场的切向分量为
又利用高斯定理，容易求得导线表面外侧的电场的法向分量为
故导线表面外侧的电场为
利用安培环路定理，可求得导线表面外侧的磁场为
故导线表面外侧的坡印廷矢量为
由内导体表面每单位长度进入其内部的功率
式中 是内导体单位长度的电阻。由此可见，由导线表面进入其内部的功率等于导体内的焦耳热损耗功率。
解坡印廷矢量的瞬时值为
故平均坡印廷矢量为
4.15在半径为 、电导率为 的无限长直圆柱导线中，沿轴向通以均匀分布的恒定电流 ，且导线表面上有均匀分布的电荷面密度 。
（1）导线表面外侧的坡印廷矢量 ；
（2）证明：由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。
解：（1）当导线的电导率 为有限值时，导线内部存在沿电流方向的电场
4.9自由空间中的电磁场为
式中 。求：
（1）瞬时坡印廷矢量；
（2）平均坡印廷矢量；
（3）任一时刻流入如题4.9图所示的平行六面体（长 、横截面积为 ）中的净功率。
解（1）瞬时坡印廷矢量
（2）平均坡印廷矢量
（3）任一时刻流入如题4.9图所示的平行六面体中的净功率为
4.10已知某电磁场的复矢量为
式中 ， 为真空中的光速， 是波长。求：（1） 、 、 各点处的瞬时坡印廷矢量；（2）以上各点处的平均坡印廷矢量。
4.16由半径为 的两圆形导体平板构成一平行板电容器，间距为 ，两板间充满介电常数为 、电导率为 的媒质，如题4.16题所示。设两板间外加缓变电压 ，略去边缘效应，试求：
电磁场与电磁波第四章时变电磁场
第 4 章 时变电磁场
电磁场与电磁波第四章时变电磁 场..
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
2
4.1 电磁场波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。
麦克斯韦方程组
波动方程。
无源区域中电磁场波动方程
时变电磁场唯一性定理
在以闭曲面S为边界的有界区域V 中，
V
如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度 S
的初始值，并且当t 0 时，给定边界面S
上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知，那么，在 t > 0 的
任何时刻，区域V 中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。
唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。
第 4 章 时变电磁场
17
4.5.1 简谐电磁场的复数表示
简谐场量的复数表示形式
设 A(r,t)是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，它
可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，
它与时间的变化关系可以表示为：
A ( r ,t) A 0 c o s [t ( r ) ]
实数表示法 或称瞬时表示法
只要把微分算子 用 j 代替，就可把麦克斯韦方程转换为
t
简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。
H
J D t
E
B t
B 0
D
Hm
Jm
j D m
Em
j B m
Bm 0
D m m
H J j D
E j B
D
式中A0代表振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。
电磁场与电磁波及其应用 第四章
在线性、 各向同性媒质中， 当参数不随时间变化时，
于是得到 再利用矢量恒等式
可得到 (4.3.4)
在体积V上， 对式（4.3.4）两端积分， 并应用散度定理即 可得到
(4.3.５)
由于E和H也是相互垂直的， 因此S、 E、 H三者是相互 垂直的， 且构成右旋关系， 如图4.3-1 所示。
第四章 时变电磁场
4.1 波动方程 4.2 时变场的位函数 4.3 时变电磁场的能量与能流 4.4 时谐电磁场 4.5 左手媒质 4.6 时变电磁场的应用
4.1 波 动 方 程
在无源空间中， 电流密度和电荷密度处处为零， 即 ρ=0、 J=0。 在线性、 各向同性的均匀媒质中， E和H满足 麦克斯韦方程
图4.3-1 能流密度矢量与电场及磁场的方向关系
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a、 外导体半径为b， 其 间均匀充填理想介质。 设内外导体间电压为U， 导体中流过 的电流为 I。 （1） 在导体为理想导体的情况下， 计算同轴线 中传输的功率； （2） 当导体的电导率σ为有限值时， 计算通 过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。
磁场仍为 内导体表面外侧的坡印廷矢量为
由此可见内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量， 也 有径向分量， 如图4.3-3所示。
图4.3-3 同轴线中电场、 磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
进入每单位长度内导体的功率为
式中
是单位长度内导体的电阻。 由此可见，
进入内导体中的功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
利用复数取实部表示方法， 可将式（4.5.1）写成
式中
(4.4.2)
称为复振幅， 或称为u(r, t)的复数形式。 为了区别复数形 式与实数形式， 这里用打“•”的符号表示复数形式。
电磁场与电磁波第四章静态场分析
|yb U0
U0n 1Dnsin(na x)sh(na b)
Dn
4U0
(2n 1) sh
nb
a
(x,y) n 1(2n1 4 )U s 0hnbsin(n a x)sh(n a y)
➢镜像法只使用于一些比较特殊的边界； ➢镜像法的理论依据是唯一性定理；
➢镜像电荷的选取原则： A、镜像电荷必须位于待求区域之外； B、镜像电荷不能改变原边界条件。
1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像
例：设无限大接地导体平面上方d处 r1 p 有一点电荷q，求上半空间电位。
r2
镜像电荷有多大？放在什么地方？
|x0
0
|xa 0
(x ,y)|x 0f(0 )g (y) 0
(x ,y)|x af(a )g (y) 0
g(y) 0
g(y) 0
f (0) 0
f (a) 0
A2 0
A2 0
A1sin(kxa)0
kx
n,(n1,2...)
a
注意：不能得到A1＝0
双曲函数
n
f (x)A1sin( a x)
应用对偶原理，可由一类问题的解，经过对偶 量的替换，得到另一类问题的解；或者将单一 问题按对偶原理分为两部分，这样工作量可以 减半。
应用对偶原理，不仅要求方程具有对偶性，而 且要求边界条件也具有对偶性。
在有源的情况下，对偶性依然存在，
2.叠加原理
若 和 1 分 别2 满足拉普拉斯方程，则 和 1 的线 2 性组合：
v
E
D v E vV
()V 2 V ——泊松方程
无源区域
0
2 0
——拉普拉斯方程
2. 恒定电场的拉普拉斯方程
电磁场与电磁波第四章
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
分类分析求解电磁问题
按时间变化情况
0 t 0 t
静态电磁场
第 3章
13:57
电磁波
第4、5、6、7、 8章
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
分类分析时变电磁场问题
共性问题
电磁波的 典型代表 均匀平面波
个性问题
电磁波的 传输 波导 电磁波的 辐射 天线
13:57
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
面对的问题！ 分析方法！ 关联的一般性物理问题！ 典型问题的应用： 时谐电磁场问题
13:57
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
4. 5
时谐电磁场
时谐电磁场的复数表示
复矢量的麦克斯韦方程
复电容率和复磁导率 亥姆霍兹方程
时谐场的位函数
平均能流密度矢量
13:57
D t
同理，可以推得无源区磁场波动方程为：
H 2 H 2 0 t
2
13:57
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
面对的问题 单一媒质环境！ 波动方程的求解！ 分析方法： 利用时变电磁场特性 关联的一般性物理问题？ 典型问题的应用？
13:57
电磁场与电磁波
式中：A0为振幅、
为角频率， 2 f ( r )为初始相位，与坐标有关。
时谐场量的复数表示
由复变函数，知： cos(t ) Re(e jt ) ，则：
A(r , t ) A0 cos[t (r )]
jt j (r jt ) Re[ Am (r )e e ] Re[ A(r )e ] j ( r ) 式中： A(r ) Am (r )e
电磁场与电磁波(第四章)
复数表示法 空间相位因子
时间因子
16
在直角坐标系下，电场可表示为： E ex Ex e y E y ez Ez
E x ( x , y , z , t ) E xm ( x , y , z )cos t x ( x , y , z ) E y ( x , y , z , t ) E ym ( x , y , z )cos t y ( x , y , z ) t z ( x , y , z ) E z ( x , y , z , t ) E zm ( x , y , z )cos
根据欧拉公式
e j cos j sin
j ( t i ) ji j t e j t i Re I e Re I e e Re I m m
复振幅或相量（与时间无关）
表明：可以通过数学的方法，把一个实数范围的正弦时间函数与
t无关
照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示x、y 或 z）可表示成
j [ t ( r )] j t i (r )e ] Re E e Ei (r , t ) Re[ E i im
各分量合成以后，电场强度为 复矢量
jt E (r , t ) Re[ Em ( r )e ]
例4.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式 （1） E( z, t ) e x Exm cos(t kz x ) ey Eym sin(t kz y )
5
4.2
电磁场的位函数
讨论内容
位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
电磁场与电磁波第四章
∇2ϕ
−
με
∂2ϕ ∂t 2
=
−
1 ε
ρ
矢量位和标量位满足(分离出的两个独立)的方程, 称为达朗贝尔方程
间接方法：A. 求解两个达朗贝尔方程 B. 达朗贝尔方程 + 洛仑兹条件
9
4.3 电磁能量守恒定律
讨论电磁场的能量问题，引入坡印廷矢量， 得到反映电磁能量守恒关系的坡印廷定理。
一、电磁场能量密度和能流密度
=
d dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
1 2
ε
|
v E0
|2 )dV
+
σ
V
|
v E0
|2
dV
20
根据
v E0
或
v H0
满足的边界条件，左端被积函数
v (E0
×
v H
0
)
⋅
evn
|S
=
(evn
×
v E0
)
⋅
v H
0
|S
=
v (H
0
×
evn
)
⋅
v E0
|S
=
0
即
∫ ∫ d
dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
∂2Ez ∂y 2
+
∂2Ez ∂z 2
− με
∂2Ez ∂t 2
=0
解波动方程，可求出空间中电磁场场量的分布。
(直接求解波动方程的过程很复杂)
4
4.2 电磁场的位函数
一、矢量位和标量位
∇ ⋅ Bv = 0
电磁场与电磁波(第4版)教学指导书 第4章 时变电磁场
第4章 时变电磁场4.1基本内容概述这一章主要讨论时变电磁场的普遍规律，内容包括：电磁场的波动方程，动态矢量位和标量位，坡印廷定理与坡印廷矢量，时谐电磁场。
4.1.1波动方程在无源的线性、各向同性且无损耗的均匀媒质中，由麦克斯韦方程组可推导出电场E 和磁场H 满足波动方程0t με∂∇-=∂222EE （4.1）2220tμε∂∇-=∂H H （4.2）4.1.2 动态矢量位和标量位在时变电磁场中，动态矢量位A 和动态标量位ϕ的定义为=∇⨯B A （4.3）tϕ∂=--∇∂AE （4.4） 应用洛仑兹条件0tϕμε∂∇+=∂A （4.5） 可得到A 和ϕ的微分方程为222t μεμ∂∇-=-∂AA J （4.6）2221t ϕϕμερε∂∇-=-∂ （4.7）4.1.3 坡印廷定理和坡印廷矢量1．坡印廷定理坡印廷定理表征了电磁场能量守恒关系，其微分形式为11()()22t ∂-∇⨯=++∂E H H B E D E J （4.8） 积分形式为()d S-⨯⎰E H S d 11()d d d 22V V V V t =++⎰⎰H B E D E J （4.9） 坡印廷定理的物理意义：单位时间内通过曲面S 进入体积V 的电磁能量等于单位时间内体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。
2．坡印廷矢量S坡印廷矢量是描述电磁能量传输的一个重要物理量，其定义为=⨯S E H （2W m ） （4.10） 它表示单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁能量，其方向就是电磁能量传输的方向。
4.1.4 时谐电磁场1．时谐电磁场的复数表示法以一定角频率作时谐变化的电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。
时谐电磁场可用复数形式来表示(,)Re[()]j t t e ω=E r E r （4.10）其中()()()()()()()y x z j j j x xm y ym z zm E e E eE e φφφ=++r r r E r e r e r e r （4.11）称为电场强度E 的复数形式或复矢量。
电磁场与电磁波课后习题及答案--第四章习题解答
习题解答4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为0U ，求槽内的电位函数。
解 根据题意，电位(,)x y ϕ满足的边界条件为① (0,)(,)0y a y ϕϕ== ② (,0)0x ϕ=③0(,)x b U ϕ=根据条件①和②，电位(,)x y ϕ的通解应取为1(,)sinh()sin()n n n y n xx y A a a ππϕ∞==∑由条件③，有01sinh()sin()n n n b n x U A a a ππ∞==∑两边同乘以sin()n x a π，并从0到a 对x 积分，得到002sin()d sinh()an U n xA x a n b a a ππ==⎰02(1cos )sinh()U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故得到槽内的电位分布1,3,5,41(,)s i n h ()s i n ()s i n h ()n U n yn xx y n n b a aa ππϕππ==∑4.2 两平行无限大导体平面，距离为b ，其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞x 。
上板和薄片保持电位0U ，下板保持零电位，求板间电位的解。
设在薄片平面上，从0=y 到a题4.1图d y =，电位线性变化，0(0,)y U y d ϕ=。
解 应用叠加原理，设板间的电位为(,)x y ϕ=12(,)(,)x y x y ϕϕ+其中，1(,)x y ϕ为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为0U ）的电位，即10(,)x y U y ϕ=；2(,)x y ϕ是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： ①22(,0)(,)0x x b ϕϕ==②2(,)0()x y x ϕ=→∞③002100(0)(0,)(0,)(0,)()U U y y d by y y U U y y d y b d b ϕϕϕ⎧-≤≤⎪⎪=-=⎨⎪-≤≤⎪⎩根据条件①和②，可设2(,)x y ϕ的通解为 21(,)sin()en x bn n n y x y A b ππϕ∞-==∑由条件③有00100(0)sin()()n n U U y y d n y b A U U b y yd y b d b π∞=⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩∑两边同乘以sin()n yb π，并从0到b 对y 积分，得到0002211(1)sin()d ()sin()d dbn d U U y n y n y A y y y b b b b d b b ππ=-+-=⎰⎰022sin()()U b n d n d b ππ故得到 (,)x y ϕ=0022121sin()sin()e n x bn U bU n d n y y b d n b b ππππ∞-=+∑4.3 求在上题的解中，除开0U y b 一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。
电磁场与电磁波(第四版)课后答案 第四章习题
∫Байду номын сангаас
2π / ω
0
r 2650 cos (ωt − kz )dt = ez 1325 W / m 2
2
（3）任一时刻流入长为1m横截面积为0.25平方米的 平行六面体中的净功率。 r r r r r r P = − ∫ S en dS = − S ( −ez ) |z =0 + S ez |z =1 × 0.25
试求（1）瞬时坡印廷矢量 （2）平均坡印廷矢量 （3）任一时刻流入长为1m横截面积为0.25平方米的 平行六面体中的净功率。 解：（1）瞬时坡印廷矢量 r r r r S = E × H = ez 2650 cos 2 (ωt − kz ) W / m 2 （2）平均坡印廷矢量
r r ω S av = ez 2π
式中
k0 =
2π
µ0
A/ m
λ0
试求（1）
c λ0 λ0 各点处的瞬时坡印廷矢量 z = 0, , 8 4
=
ω
C为真空的光速，λ0是波长。
（2）以上各点处的平均坡印廷矢量 解：（1）E和H的瞬时矢量为
r r r ex jE0 sin ( k0 z ) e jωt = −ex E0 sin ( k0 z ) sin (ωt ) V / m E ( z , t ) = Re r r ε0 r ε0 jωt H ( z , t ) = Re e y E0 cos ( k0 z ) e = ey E0 cos ( k0 z ) cos (ωt ) µ0 µ0 A/ m
s
= 2650 × 0.25 cos 2 (ωt ) − cos 2 (ωt − 0.42 ) = −270.2sin ( 2ωt − 0.42 )W
电磁场与电磁波 第四章
4. 2 电磁场的位函数
利用洛仑兹条件 A t 2 A 2 A 2 J 可得 t 2 1 2 2 t
这是在洛仑兹条件下，矢量位 A 和标 量位 所满足的微分方程（非齐次波 动方程），称为达朗贝尔方程。
24
4. 2 电磁场的位函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
达朗贝尔方程 (动态位的微分方程) 在有源空间，线性、各向同性、均匀、 无损耗媒质中， 将 B A 和
代入 B J E
t
A E t
有 A J A ( ) 2 t t
2018/7/25
第4章 时变电磁场
4. 1 波动方程 4. 2 (时变)电磁场的(动态)位函数 4. 3 电磁能量守恒定律 4. 4 (时变电磁场的)惟一性定理 4. 5 时谐电磁场
2018/7/25
第4章 时变电磁场
5
4. 1 波动方程
麦克斯韦方程 ( 一阶矢量偏微分方程组， 描述电场与磁场间的相互作用关系 。)
2 1 E 2 E 2 2 0, v t
2018/7/25
v 1
9
第4章 时变电磁场
4. 1 波动方程
在直角坐标系中，波动方程可以分解 为三个标量方程。 如电场的波动方 程可分解为
2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 Ex 2 0 2 2 2 x y z t 2 Ey x
第4章 时变电磁场
由麦克斯韦方程出发，讨论时变电 磁场的普遍规律 : 描述时变电磁场 在空间传播的波动方程、有助于简 化时变电磁场问题求解的动态位函 数、描述电磁能量在空间流动的坡 印廷矢量和坡印廷定理、体现电磁 波的基本特性的时谐电磁波。
《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第4章时变电磁场
《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第4章时变电磁场第4章时变电磁场在时变的情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式进行传播。
电磁场的波动方程描述了电磁场的波动性，本章首先对电磁场的波动方程进行讨论。
在时变电磁场的情况下，也可以引入辅助位函数来描述电磁场，使一些复杂问题的分析求解过程得以简化。
本章对时变电磁场的位函数及其微分方程进行了讨论。
电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理，本章将讨论电磁场的能流和表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理。
本章在最后讨论了随时间按正弦函数变化的时变电磁场，这种时变电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。
4. 1 波动方程由麦克斯韦方程可以建立电磁场的波动方程，揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。
下面建立无源空间中电磁场的波动方程。
在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为零，即0ρ=、0=J 。
在线性、各向同性的均匀媒质中，E 和H 满足的麦克斯韦方程为t ε=?EH （4.1.1） tμ=-?HE （4.1.2） 0?=H （4.1.3） 0?=E （4.1.4）对式（4.1.2）两边取旋度，有()()tμ=-E H 将式（4.1.1）代入上式，得到22()0t με+=?EE利用矢量恒等式2()()=??-?E E E 和式（4.1.4），可得到2220tμε??-=?EE （4.1.5）此式即为无源区域中电场强度矢量E 满足的波动方程。
同理可得到无源区域中磁场强度矢量H 满足的波动方程为2220tμε??-=?H H （4.1.6）无源区域中的E 或H 可以通过求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波动方程得到。
在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程，每个方程中只含有一个场分量。
例如，式（4.1.5）可以分解为222222220x x x xE E E E x y z tμε++-= （4.1.7） 222222220yyyyE E E E x y z t με++-= （4.1.8）222222220z z z zE E E E x y z t με++-= （4.1.9）在其它坐标系中分解得到的三个标量方程都具有复杂的形式。
电磁场与电磁波第四章
本章提要
静磁场的基本方程 安培环路定律的应用 导体的自感和互感 恒定磁场的边界条件 静磁场的能量
第四章 恒定电流的磁场
§4.1 静磁场的基本方程
由毕奥－萨伐定律，可知磁场强度为
B 0 J (r ' ) eR dV '
4 V R2
1 R
eR R2
（4. 1）
B 0 J (r' ) 1dV '
第四章 恒定电流的磁场
例4.4 已知磁导率为 、带气隙的环形磁芯的气隙宽度为
d，比圆形磁芯材料截面半径小得多，磁芯上密绕了N匝线 圈，如图所示。当线圈中的电流为I时，求气隙中的磁感应 强度。
解 忽略磁芯外的漏磁通，磁芯中的磁力线 也是与磁芯表面同轴的圆环。在磁芯的气 隙表面，磁场近似为界面的法向，根据边 界条件，气隙中的磁感应强度与磁芯中的 磁感应强度相等。对磁芯中半径为r的磁力 线圆环，磁场强度满足
er1 r1
当媒质 2 为理想导磁体时，其中得磁感应强度为
B2
1I
ei
er1 r1
第四章 恒定电流的磁场
§4.5 静磁场的能量
假设在电感为L的导线回路电流增加过程中的某时刻t，导线回
路的电流为i。如果在从t到t+dt时间内使电流增加到di，导线回
路的磁链就增加 d m Ldi
回路产生磁感应电动势 ε d m L di
解 假设同轴电缆中的电流为I，如果电流在导线截面上均匀分布，
则利用安培环路定律可以计算出同轴电缆中的磁场分布为
H
e
I 2 a2
,
e
I
2
,
a a
第四章 恒定电流的磁场
§4.5 静磁场的能量
4电磁场与电磁波-第四章
4.4 镜像法
镜像法是在我们所研究的区域外,用假想电荷代替 镜像法是在我们所研究的区域外 用 场问题的边界,这些电荷和原有电荷一起产生的场满足 场问题的边界 这些电荷和原有电荷一起产生的场满足 原问题的边界条件,那么它们的电位叠加就得所求解 那么它们的电位叠加就得所求解. 原问题的边界条件 那么它们的电位叠加就得所求解 最简单的是点电荷或线电荷对无限大平面的问题. 最简单的是点电荷或线电荷对无限大平面的问题 点电荷或线电荷对无限大平面的问题
` 2 2
2 1/ 2
R2 = [ x 2 + y 2 + ( z h) 2 ]1/ 2
(镜像电荷求出后就可 解决电场的问题了) 解决电场的问题了)
复习: 复习:直角坐标中的分离变量法
要求：首先,给定边界与适当的坐标系相合（至少 边界与适当的坐标系相合（ 要求：首先,给定边界与适当的坐标系相合 分段相合） 再次, 分段相合）,再次,待求偏微分方程的解可分三个坐 标函数的乘积. 标函数的乘积. 当边界为直角坐标时，电位的拉普拉斯方程表为 表为: 当边界为直角坐标时，电位的拉普拉斯方程表为:
将待求的电位用三个函数的积表为: 将待求的电位用三个函数的积表为: 表为
= f ( x ) g ( y ) h( z )
4.1.2
其中f,g,h分别是x,y,z的函数,将式4.1.2代入式4.1.1: 其中f,g,h分别是x,y,z的函数,将式4.1.2代入式4.1.1: f,g,h分别是x,y,z的函数 4.1.2代入式
3.10.5
n E1t Θ１ θ1
θ２ θ E2t
2
J 1 cosθ1 = J 2 cosθ 2 ( J 1n = J 2 n ) 由边界条件 E1 sinθ 1= E2 sinθ 2 ( E1t = E2t )
02 教学课件_电磁场与电磁波 课件4
二、电磁波
机械波的传播需要介质
电磁波靠电和磁的相互"感应"传播， 而不是靠介质的机械传递。
波速=光速的一种电磁振荡——光是一种电磁波。 方向：与电场强度E与磁感应强度B互相垂直
2.赫兹的电火花
电火花 传播
火花
赫兹
当与感应圈相连的两个金属球间产生电火花时，周围空间出现了迅速 变化的电磁场。这种变化的电磁场以电磁波的形式在空间传播。当电磁波 到达导线环时，它在导线环中激发出感应电动势，使得导线环的空隙中也 产生了火花，说明这个导线环接收到了电磁波。
3.赫兹的成果
①电磁波的反射、折射、干涉、偏振和衍射等现象。 ②测得电磁波在真空中的速度等于光速c，证明了光是一种电磁 波。 ③物质存在两种形式，一种是由原子和分子构成的实物，另一种 则是以电磁场为代表的场。
4.电磁波与机械波的区别
电磁波
机械波
在真空或介质中均可传播 有介质才能传播
不同点
传播速度与介质和频率有 关（频率越高的电磁波在 同一种介质中的传播速度 越小）
第四章 电磁振荡与电磁波
4.2 电磁场与电磁波
问题导入
电磁振荡电路中的能量有一部分要以电磁波的形式辐射到周 围空间中去，那么，这些电磁波是怎样产生的?
内能 能量消耗
电磁波
一、电磁场
1.变化的磁场产生电场
电子运动需要电场
变化的磁场→感应电流 麦克斯韦：认为电路里能产生感应电流，是因为变化的磁场产 生了电场，正是这个电场促使导体中的自由电荷做定向运动，产生 感应电流。
电磁场与电磁波第四章习题及参考答案
第四章 习题4-1、 电量为nC 500的点电荷，在磁场)(ˆ2.1T zB =中运动，经过点)5,4,3(速度为 s m y x/ˆ2000ˆ500+ 。
求电荷在该点所受的磁场力。
解：根据洛仑兹力公式B v q F⨯=N x y z y x 4491012ˆ103ˆ2.1ˆ)ˆ2000ˆ500(10500---⨯+⨯-=⨯+⨯⨯= N y x4103)ˆˆ4(-⨯-= 4-2、真空中边长为a 的正方形导线回路，电流为I ，求回路中心的磁场。
解：设垂直于纸面向下的方向为z 方向。
长为a 的线电流I 在平分线上距离为a/2的点上的磁感应强度为aIzB πμ2ˆ01= 因而，边长为a 的正方形导线回路在中心点上的磁感应强度为aIz B B πμ24ˆ401==题4-2图 题4-3图4-3、真空中边长为a 的正三角形导线回路，电流为I ，求回路中心的磁场.解：设垂直于纸面向下的方向为z 方向。
由例4-1知，长为a 的线电流I 在平分线上距离为b 的点上的磁感应强度为2201)2(ˆa b a bIz B +=πμ所以220)2(3ˆa b a bIz B +=πμ ，其中)6(2πtg a b =4-4、真空中导线绕成的回路形状如图所示，电流为I 。
求半圆中心处的磁场。
(c)题4-4 图解：设垂直于纸面向内的方向为z 方向。
由例4-2知，半径为a 的半圆中心处的磁场为aIz B 4ˆ01μ= （1）因为在载流长直导线的延长线上磁场为零，因此aIz B 4ˆ0μ= （2）由例4-1知，本题半无限长的载流长直导线在距离为a 处的磁场为aIz B πμ4ˆ02= 因此本题磁场为半圆环的磁场与两半无限长的直导线的磁场之和)2(4ˆ0+-=ππμaIz B （3）本题磁场为电流方向相反的两不同半径的半圆环的磁场之和，即)11(4ˆ0ba I zB -=μ 4-5、 在真空中将一个半径为a 的导线圆环沿直径对折，使这两半圆成一直角。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
? 关键要素 ? 差分格式 ? 解的稳定性 ? 吸收边界条件
? 特点 ? 广泛的应用性 ? 节约运算和存储空间 ? 适合并行计算 ? 计算程序的通用性 ? 简单直观，容易掌握
? 计算步骤 ? 采用一定的网格划分方式离散化场域； ? 对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式， 得到差分方程组； ? 结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。
? 概况 ? 起源于土木工程和航空工程中的弹性和结构分析问题的研究，它的发展可 以追溯到Alexander Hrennikoff(1941) 和Richard Courant(1942) 的工作。 ? 核心思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。 ? 基于MOM 的电磁场计算软件：HFSS 、ANSYS。
? 特点 ? 频域矩量法比较成熟，时域矩量法有待发展； ? 矩阵规模的大小涉及到占用内存的多少，在很大程度上影响 了计算的速度。
? 理论
? 在静电学中，在由点的电荷分布在点产生的电位分布可以表示为
V ?x, y, z??
1
4??
? ? v ?x', y', z'?dv'
v'
R
? 设 ? v ?x', y' z'?的一个解是
第四章 电磁算法及仿真
主要内容
? 电磁场数值算法 ? MOM 、FEM 、FDTD 、MRTD ? 电磁仿真软件 ? Maxwell 、CST 、HFSS
电磁场数值算法
小波基
加权余量法
边界积分法 内域积分法（伽略金法）
边界元法
矩量法
有限元法
快速算法
麦克斯韦方程组
时域多分辨分析法
时域有限差分法
有限差分法
? ?H y
? ?
?x
?
?Hx ?y
?
?
?Ez ?t
??
Ez
? ? ?Ez ? ?y
?
?Ey ?z
?
??
?Hx ?t
? ? mHx
?
? ?Ex
? ?
?z
?
?Ez ?x
?
??
?H y ?t
? ? mHy
? ?Ey ?? ?x
?
?Ex ?y
?
??
?H z ?t
??
mHz
? Yee元胞
? 计算方法
(i ? 1, j, k ? 1)
V1 ? ? 1V11 ? ? 2V12 ? ???? ? nV1n V2 ? ? 1V21 ? ? 2V22 ? ???? ? nV2n
?
? 亦即 V j ? ? 1V j1 ? ? 2V j2 ? ???? ? nV jn
?
Vn ? ? 1Vn1 ? ? 2Vn2 ? ???? ? nVnn
?V1 ? ?V11
Ex
Hz
(i, j, k ? 1)
Ey
Ey (i ? 1, j ? 1,k ? 1)
(i, j ? 1,k ? 1) Ez
Ez
Hx
z(k )
(i, j, k ) x(i)
Ey y( j)
Ez
Hy
(i ? 1, j ? 1,k)
Ex (i, j ? 1,k)
若已知t1=t0=nt时刻空间各处E的值
计算t2=t1+t/2时刻空间各处 H的值 计算t1=t2+nt/2时刻空间各处 E的值
时域积分方程法
矩量法 MOM (Method of Moment)
? 概况 ? R.F.Harrington 在20世纪60年代对矩量法求解电磁问题做了全面深入分析。 ? 核心思想：根据线性空间理论，N个线性方程的联立方程组、微分方程、 差分方程及积分方程均属于希尔伯特空间中的算子方程，它们可化作矩阵 方程予以求解，在求解过程中需计算广义矩量。 ? 基于MOM 的电磁场计算软件：ADS的momentum ，Sonnet 等
时域有限差分法 FDTD (Finite-Difference Time Domain)
? 概况 ? 1966年K.S.Yee提出的； ? 核心思想：把带时间变量的Maxwell 旋度方程转化为差分形式，模拟出电 子脉冲和理想导体作用的时域响应； ? 是目前计算电磁学界最受关注，最时髦的算法，但还在发展完善之中 ? 基于FDTD的电磁场计算软件：XFDTD 等
V1 j
V1n ??? 1 ?
? ?? ? ? ? ? ? ??? ??
?? ?
?? ?
或
???V?j ??? ?
?V j1
? ?
?
?
V jj ?
?
V?jn ????????j ???
பைடு நூலகம்
??Vn ?? ??Vn1
Vnj
Vnn ????? n ??
有限元法
FEM (Finite Element Method )
? 原理
麦克斯韦方程组
????? ? ????
H ? ?D ? J ?t
E
?
?
?B ?t
?
Jm
?D ? ?E
本构关系式
? ?
B
? ?
J
? ?H ?? E
?? J m ? ? m H
? ?Hz
? ?
?y
?
?H y ?z
?
?
?Ex ?t
?
?
Ex
? ? ?
?H ?z
x
?
?Hz ?x
?
?
?Ey ?t
??
Ey
1 ?
4??
? i ? i ?x', y' z'?dv'
i?1
v'
R
? ? ? ? Vj
?
n
?i
i ?1
1
4??
? i x', y' z' dv'i
vi
R ji
?即
n
? V j ? ? iV ji i ?1
? 其中 Vji
?
1 4??
? i ?x', y' z'?dv'i
vi
R ji
i ? 1,2,???, n
? Yee采用矩形网格进行空间离散，将每个节点进行编号，节 点的编号和其空间坐标位置按照下面的方式对应起来。
(i, j, k ) ? (i? x, j? y, k? z)
? 任意函数F(x, y, z, t)在时刻nΔt的值可以表示为
F n (i, j, k ) ? F (i? x, j? y, k? z, n? t)
? 原理 ? 将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函 数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数 及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自 由度问题变成离散的有限自由度问题。
? 特点 ? 近似性仅限于相对小的子域； ? 将函数定义在简单几何形状的单元域上，不考虑整个定 义域的复杂边界条件。
n
? v ?x', y' z'?? ? 1?1 ?x', y' z'?? ? 2 ? 2 ?x', y' z'?? ???? ? n ? n ?x', y' z'?? ? ? i ? i ?x', y' z'? i ?1
? 将解带入电位函数中可得
n
? ? ? ? V j ? V x j, y j , z j