山东省章丘绣江中学2014年推荐生考试数学模拟试题(3)及答案

2014.5章丘市推荐生考试倒计时3

1、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．

①求证：∠BDE＝∠ADP；

②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、

F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果

存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．答案

（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．

（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；

②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，

因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．

所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF

是等腰直角三角形．于是得到y=．

图2 图3 图4

（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：由△DMB∽△BNF，知

1

2

2

B N D M

==．设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得

2

3

m=．

因此

4

(0,)

3

D．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．

②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．

图5 图6

2、如图，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A

AC 向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．

（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；

（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

答案

（1）因为

2

AQ t

AB

=

，

2

AP t

AC

==，所以

AQ AP

AB AC

=．因此P Q//BC．（2）如图2，由PQ＝PH＝

1

2

PC

，得

1

)

2

t=

．解得6

t=．如图3，由PQ＝PB，得等边三角形PBQ．所以Q是A B的中点，t＝1．

如图4，由PQ＝PC

，得t=

．解得3

t=

如图5，当P、C重合时，t＝2．

因此，当6

t=或1＜t

≤3t＝2时，⊙P与边BC有1个公共点．

当6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．

图2 图3 图4 图5

3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53

sin =B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O

是边AB 上的动点．

（1） 如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系； （2） 如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；

（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．

图1 图2 图3

思路点拨

1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．

2．分三种情况探究等腰△OMP ，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单． 3．探求y 关于x 的函数关系式，作△OB N 的边OB 上的高，把△OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形．

满分解答

（1） 在Rt △ABC 中，AC ＝6，5

3

sin =

B ， 所以AB ＝10，B

C ＝8．过点M 作M

D ⊥AB ，垂足为D ．

在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM ==，所以65

MD =．因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离．

（2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况．

②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形． 在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM ==，所以85BO =．此时425

OA =．

③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ．

在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO ==，所以158BO =．此时658

OA =．

（3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为

F ．联结ON ．

当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ．

在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5

B =，

4cos 5B =，所以35NF y =，4

5

BF y =．

在Rt △ONF 中，4105

OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2．

于是得到22243()(10)()55x y x y y +=--+．整理，得2505040

x y x -=+．定义域为0＜x ＜5．

考点伸展

第（2）题也可以这

样思考：如图8，在Rt △BMF 中，BM ＝2，

6

5

MF =，85BF =．

在Rt △OMF 中，OF ＝8421055

x x --=-，所

以222426()()55

OM x =-+．

在Rt △BPQ 中，BP ＝1，35PQ =，45

BQ =．

在Rt △OPQ 中，OF ＝4461055

x x --=-，所以222463()()55OP x =-+．

①当MO ＝MP ＝1时，方程22426()()155

x -+=没有实数根．

②当PO ＝PM ＝1时，解方程22463()()155x -+=，可得425

x OA ==

③当OM ＝OP 时，解方程22426()()55x -+22463()()55x =-+，可得658

x OA ==．