专题三动量定理和动量守恒

三、动量和能量

一、专题框架

【知识点回顾】

一、动量定理

1.定理内容：物体所受合外力的冲量等于它动量的变化, 表达式：Ft=mv′-mv.

2.动量定理是根据牛顿第二定律F=ma、运动学公式v=v0+at和力F是恒定的情况下推导出

来的.因此能用牛顿第二定律和运动学公式能解的恒力问题，凡不涉及加速度和位移的，用动量定理求解较为方便.

3.动量与参考系的选取有关，所以用动量定理必须注意参考系的选取，一般以地球为参考系.

4.动量定理和研究对象是质点，或由质点构成的系统

5.牛顿第二定律的动量表达式为F=(p′-p)/△t，要用其解释一些生活中现象.(如玻璃杯落在水泥地摔碎而落在地毯上无事)

二、动量守恒定律

1.内容:相互作用的几个物体组成的系统，如果不受外力作用，或它们受到的外力之和为0，则系统的总动量保持不变.

2.动量守恒定律的适用条件

内力不改变系统的总动量，外力才能改变系统的总动量，在下列三种情况下，可以使用动量守恒定律：

（1）系统不受外力或所受外力的矢量和为0.

（2）系统所受外力远小于内力，如碰撞或爆炸瞬间，外力可以忽略不计.

（3）系统某一方向不受外力或所受外力的矢量和为0，或外力远小于内力，则该方向动量守恒（分动量守恒）.

3.动量守恒定律的不同表达形式及含义

①p=p′（系统相互作用前总动量p等于相互作用后总动量p′）；

②ΔΡ=0(系统总动量的增量等于0)；

③ΔΡ1=- ΔΡ2（两个物体组成的系统中，各自动量增量大小相等、方向相反），

4.理解要点

1.动量守恒定律的研究对象是相互作用物体组成的系统.

2.系统“总动量不变”不仅是系统初、末两个时刻总动量相等，而且是指系统在整个过程中任意两个时刻的总动量都相等.

3.公式是矢量式，根据教学大纲，动量守恒定律应用只限于一维情况.应用时，先选定正方向，而后将矢量式化为代数式.

4.注意动量守恒定律的矢量性、相对性、同时性。

【典型例题】

1.利用动量定理时应注意重力的冲量.

例题1、某消防队员从一平台上跳下，下落2m后双脚触地，接着他用双腿弯曲的方法缓冲，使自身重心又下降了0.5m.在着地过程中，估计他双脚的平均作用力为自身所受重力的几倍？

例题2: 质量为60kg的建筑工人不慎从高空跃下，由于弹性安全带的作用，使他悬挂起来，已知弹性安全带的缓冲时间为1.2s，要使安全带对人的平均作用力不超过1000N，则安全带不能超过多长？

2.子弹打木块类问题.

子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞。作为一个典型，它的特点是：子弹以水平速度射向原来静止的木块，并留在木块中跟木块共同运动。可从动量、能量和牛顿运动定律等多个角度来分析这一过程。

面上的质量为M的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块

深度为d。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的

距离。

例题4: 两块厚度相同的木块A 和B ，紧靠着放在光滑的水平面上，其质量分别为

kg m A 5.0=，kg m B 3.0=，它们的下底面光滑，上表面粗糙；另有一质量kg m C 1.0=的

滑块C （可视为质点），以

s m v C /25=的速度恰好水平地滑到A 的上表面，如图所示，由

于摩擦，滑块最后停在木块B 上，B 和C 的共同速度为3.0m/s ，求：

（1）木块A 的最终速度A v ； （2）滑块C 离开A 时的速度

C

v '。

3．某一方向上的动量守恒

例题5:如图所示，AB 为一光滑水平横杆，杆上套一质量为M 的小圆环，环上系一长为

L 质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为m 的小球，现将绳拉直，且与AB 平行，由静止

释放小球，则当线绳与A B 成θ角时，圆环移动的距离是多少？

例题6:

质量为M 的楔型物块上有圆弧轨道，静止在水平面上。质量为m 的小球以速度v1向物块运动。不计一切摩擦，圆弧足够长。求：小球能上升到的最大高度H 和物块的最终速度v 。

例7．如图，—玩具车携带若干质量为m 1的弹丸，车和弹丸的总质量为m 2,在半径为R 的水平光滑轨道上以速率V 0做匀速圆周运动，若小车每一周便沿运动方向相对地面以恒定速度u 发射—枚弹丸．求：

(1)至少发射多少颗弹丸后小车开始反向运动?

(2)写出小车反向运动前发射相邻两枚弹丸的时间间隔的表达式．

例1解：以人为研究对象，取向上方向为正方向根据运动学△t = △h/v 平均=△h/(v/2)=2△h/v.在触地过程中，根据动量定理有：F 合△t=m △v 即：（N-mg ）△t=m △v ，即N=mg+m △v/△t=mg+mv/(2△h/v) =mg+mv2/2△h, =mg+mgh/△h=5mg.

例2解析:仅受重力作用的自由落体运动，时间为g

h t 21=

受重力和安全带的拉力作用的减速运动，时间t 2=1.2s 。 对全过程运用动量定理 mgt mg F t 120+-=()

将代入，得t h

g h F mg t m g

m 1222

22232==-=().

例3解析1：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹

性碰撞。

从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒： ()v m M mv +=0

从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为f ，设子弹、木块的位移大小分别为s 1、s 2，如图所示，显然有s 1-s 2=d

对子弹用动能定理：22012

121mv mv s f -=⋅ ……①

对木块用动能定理：222

1

Mv s f =⋅ ……② ①、②相减得：()()

2

22022121v m M Mm v m M mv d f +=+-=

⋅ ……③ 点评：这个式子的物理意义是：f d 恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见Q d f =⋅，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积（由于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟路径有关，所以这里应该用路程，而不是用位移）。

由上式不难求得平均阻力的大小：()d

m M Mm v f +=22

至于木块前进的距离s 2，可以由以上②、③相比得出：d m

M m

s +=

2

解析2：从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比：

()d m

M m s m m M v v s d v v v v v v s d s +=+==∴+=+=+2020022,,2/2/ 一般情况下m M >>，所以s 2<

可以忽略不计。这就为分阶段处理问题提供了依据。象这种运动物体与静止物体相互作用，动量守恒，最后共同运动的类型.

例4解析：这是一个由A 、B 、C 三个物体组成的系统，以这系统为研究对象，当C 在A 、

B 上滑动时，A 、B 、

C 三个物体间存在相互作用，但在水平方向不存在其他外力作用，因此

系统的动量守恒。(类似子弹穿木块模型)

（1）当C 滑上A 后，由于有摩擦力作用，将带动A 和B 一起运动，直至C 滑上B 后，A 、B 两木块分离，分离时木块A 的速度为A v 。最后C 相对静止在B 上，与B 以共同速度