专题三动量定理和动量守恒

三、动量和能量
一、专题框架
【知识点回顾】
一、动量定理
1.定理内容：物体所受合外力的冲量等于它动量的变化, 表达式：Ft=mv′-mv.
2.动量定理是根据牛顿第二定律F=ma、运动学公式v=v0+at和力F是恒定的情况下推导出
来的.因此能用牛顿第二定律和运动学公式能解的恒力问题，凡不涉及加速度和位移的，用动量定理求解较为方便.
3.动量与参考系的选取有关，所以用动量定理必须注意参考系的选取，一般以地球为参考系.
4.动量定理和研究对象是质点，或由质点构成的系统
5.牛顿第二定律的动量表达式为F=(p′-p)/△t，要用其解释一些生活中现象.(如玻璃杯落在水泥地摔碎而落在地毯上无事)
二、动量守恒定律
1.内容:相互作用的几个物体组成的系统，如果不受外力作用，或它们受到的外力之和为0，则系统的总动量保持不变.
2.动量守恒定律的适用条件
内力不改变系统的总动量，外力才能改变系统的总动量，在下列三种情况下，可以使用动量守恒定律：
（1）系统不受外力或所受外力的矢量和为0.
（2）系统所受外力远小于内力，如碰撞或爆炸瞬间，外力可以忽略不计.
（3）系统某一方向不受外力或所受外力的矢量和为0，或外力远小于内力，则该方向动量守恒（分动量守恒）.
3.动量守恒定律的不同表达形式及含义
①p=p′（系统相互作用前总动量p等于相互作用后总动量p′）；
②ΔΡ=0(系统总动量的增量等于0)；
③ΔΡ1=- ΔΡ2（两个物体组成的系统中，各自动量增量大小相等、方向相反），
4.理解要点
1.动量守恒定律的研究对象是相互作用物体组成的系统.
2.系统“总动量不变”不仅是系统初、末两个时刻总动量相等，而且是指系统在整个过程中任意两个时刻的总动量都相等.
3.公式是矢量式，根据教学大纲，动量守恒定律应用只限于一维情况.应用时，先选定正方向，而后将矢量式化为代数式.
4.注意动量守恒定律的矢量性、相对性、同时性。

【典型例题】
1.利用动量定理时应注意重力的冲量.
例题1、某消防队员从一平台上跳下，下落2m后双脚触地，接着他用双腿弯曲的方法缓冲，使自身重心又下降了0.5m.在着地过程中，估计他双脚的平均作用力为自身所受重力的几倍？
例题2: 质量为60kg的建筑工人不慎从高空跃下，由于弹性安全带的作用，使他悬挂起来，已知弹性安全带的缓冲时间为1.2s，要使安全带对人的平均作用力不超过1000N，则安全带不能超过多长？
2.子弹打木块类问题.
子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞。

作为一个典型，它的特点是：子弹以水平速度射向原来静止的木块，并留在木块中跟木块共同运动。

可从动量、能量和牛顿运动定律等多个角度来分析这一过程。

面上的质量为M的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块
深度为d。

求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的
距离。

例题4: 两块厚度相同的木块A 和B ，紧靠着放在光滑的水平面上，其质量分别为
kg m A 5.0=，kg m B 3.0=，它们的下底面光滑，上表面粗糙；另有一质量kg m C 1.0=的
滑块C （可视为质点），以
s m v C /25=的速度恰好水平地滑到A 的上表面，如图所示，由
于摩擦，滑块最后停在木块B 上，B 和C 的共同速度为3.0m/s ，求：
（1）木块A 的最终速度A v ； （2）滑块C 离开A 时的速度
C
v '。

3．某一方向上的动量守恒
例题5:如图所示，AB 为一光滑水平横杆，杆上套一质量为M 的小圆环，环上系一长为
L 质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量为m 的小球，现将绳拉直，且与AB 平行，由静止
释放小球，则当线绳与A B 成θ角时，圆环移动的距离是多少？
例题6:
质量为M 的楔型物块上有圆弧轨道，静止在水平面上。

质量为m 的小球以速度v1向物块运动。

不计一切摩擦，圆弧足够长。

求：小球能上升到的最大高度H 和物块的最终速度v 。

例7．如图，—玩具车携带若干质量为m 1的弹丸，车和弹丸的总质量为m 2,在半径为R 的水平光滑轨道上以速率V 0做匀速圆周运动，若小车每一周便沿运动方向相对地面以恒定速度u 发射—枚弹丸．求：
(1)至少发射多少颗弹丸后小车开始反向运动?
(2)写出小车反向运动前发射相邻两枚弹丸的时间间隔的表达式．
例1解：以人为研究对象，取向上方向为正方向根据运动学△t = △h/v 平均=△h/(v/2)=2△h/v.在触地过程中，根据动量定理有：F 合△t=m △v 即：（N-mg ）△t=m △v ，即N=mg+m △v/△t=mg+mv/(2△h/v) =mg+mv2/2△h, =mg+mgh/△h=5mg.
例2解析:仅受重力作用的自由落体运动，时间为g
h t 21=
受重力和安全带的拉力作用的减速运动，时间t 2=1.2s 。

对全过程运用动量定理 mgt mg F t 120+-=()
将代入，得t h
g h F mg t m g
m 1222
22232==-=().
例3解析1：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹
性碰撞。

从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒： ()v m M mv +=0
从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。

设平均阻力大小为f ，设子弹、木块的位移大小分别为s 1、s 2，如图所示，显然有s 1-s 2=d
对子弹用动能定理：22012
121mv mv s f -=⋅ ……①
对木块用动能定理：222
1
Mv s f =⋅ ……② ①、②相减得：()()
2
22022121v m M Mm v m M mv d f +=+-=
⋅ ……③ 点评：这个式子的物理意义是：f d 恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见Q d f =⋅，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积（由于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟路径有关，所以这里应该用路程，而不是用位移）。

由上式不难求得平均阻力的大小：()d
m M Mm v f +=22
至于木块前进的距离s 2，可以由以上②、③相比得出：d m
M m
s +=
2
解析2：从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。

由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比：
()d m
M m s m m M v v s d v v v v v v s d s +=+==∴+=+=+2020022,,2/2/ 一般情况下m M >>，所以s 2<<d 。

这说明，在子弹射入木块过程中，木块的位移很小，
可以忽略不计。

这就为分阶段处理问题提供了依据。

象这种运动物体与静止物体相互作用，动量守恒，最后共同运动的类型.
例4解析：这是一个由A 、B 、C 三个物体组成的系统，以这系统为研究对象，当C 在A 、
B 上滑动时，A 、B 、
C 三个物体间存在相互作用，但在水平方向不存在其他外力作用，因此
系统的动量守恒。

(类似子弹穿木块模型)
（1）当C 滑上A 后，由于有摩擦力作用，将带动A 和B 一起运动，直至C 滑上B 后，A 、B 两木块分离，分离时木块A 的速度为A v 。

最后C 相对静止在B 上，与B 以共同速度
s m v B /0.3=运动，由动量守恒定律有
B C B A A C C v m m v m v m )(++=
∴
A
B
C B C C A m v m m v m v )(+-=
s
m s m /6.2/5.00
.3)1.03.0(251.0=⨯+-⨯
（2）为计算
C
v '，我们以B 、C 为系统，C 滑上B 后与A 分离，C 、B 系统水平方向动量
守恒。

C 离开A 时的速度为
C
v '，B 与A 的速度同为A v ，由动量守恒定律有
B C B C
C B B v m m v m v m )(+='+
∴
C
A
B B
C B C
m v m v m m v -+=')(
s
m s m /2.4/1.06
.23.00.3)1.03.0(=⨯-⨯+=
例5解析：虽然小球、细绳及圆环在运动过程中合外力不为零（杆的支持力与两圆环及小球的重力之和不相等）系统动量不守恒，但是系统在水平方向不受外力，因而水平动量守恒。

设细绳与AB 成θ角时小球的水平速度为v ，圆环的水平速度为V ，则由水平动量守恒有：
MV =mv
且在任意时刻或位置V 与v 均满足这一关系，加之时间相同，公式中的V 和v 可分别用其水平位移替代，则上式可写为：
Md =m ［（L -L cos θ）-d ］
解得圆环移动的距离：
d =mL （1-cos θ）/（M +m ）
点评：以动量守恒定律等知识为依托，考查动量守恒条件的理解与灵活运用能力 学生常出现的错误：（1）对动量守恒条件理解不深刻，对系统水平方向动量守恒感到怀疑，无法列出守恒方程.（2）找不出圆环与小球位移之和（L -L cos θ）。

例6解：系统水平方向动量守恒，全过程机械能也守恒。

小球上升过程中，由水平动量守恒得：
由机械能守恒得：
解得
全过程系统水平动量守恒，机械能守恒，得
(M ＋m)v 0=M(v 0+△v)-m[u-(v 0＋△v)]
例7解.（1）由动量守恒得20121()n m v nm u m nm v -=-小车开始反向0n v =得
201/n m v m u =
（2）发射相邻两 枚弹丸的时间间隔就是发射第K （K 〈1〉颗弹丸后小车的周期，即212012()
k R m km t T m v km u π-∆==
-且201m v k m u
<
反馈练习:
1.A 、B 两车与水平面的动摩擦因数相同。

则下列那些说法正确？( ) A 、若两车动量相同，质量大的滑行时间长 B 、若两车动能相同，质量大的滑行时间长 C 、若两车质量相同，动能大的滑行时间长
D 、若两车质量相同，动量大的滑行距离长
2．质量为M 的小车在水平地面上以速度v 0匀速向右运动。

当车中的砂子从底部的漏斗中不断流下时，车子速度将（ ）
A ．减小
B ．不变
C ．增大
D ．无法确定
3．某人站在静浮于水面的船上，从某时刻开始人从船头走向船尾，设水的阻力不计，那么在这段时间内人和船的运动情况是（ ）
A ．人匀速走动，船则匀速后退，且两者的速度大小与它们的质量成反比
B ．人匀加速走动，船则匀加速后退，且两者的速度大小一定相等
C ．不管人如何走动，在任意时刻两者的速度总是方向相反，大小与它们的质量成反比
D ．人走到船尾不再走动，船则停下
4．如图所示，放在光滑水平桌面上的A、B木块中部夹一被压缩的弹簧，当弹簧被放开时，它们各自在桌面上滑行一段距离后，飞离桌面落在地上。

A的落地点与桌边水平距离0.5m，B的落地点距离桌边1m，那么（）
A．A、B离开弹簧时的速度比为1∶2
B．A、B质量比为2∶1
C．未离开弹簧时，A、B所受冲量比为1∶2
D．未离开弹簧时，A、B加速度之比1∶2
5．在光滑水平面上，两球沿球心连线以相等速率相向而行，并发生碰撞，下列现象可能的是（）
A．若两球质量相同，碰后以某一相等速率互相分开
B．若两球质量相同，碰后以某一相等速率同向而行
C．若两球质量不同，碰后以某一相等速率互相分开
D．若两球质量不同，碰后以某一相等速率同向而行
6．载人气球原静止于高h的空中，气球质量为M，人的质量为m。

若人要沿绳梯着地，则绳梯长至少是（）
A．（m+M）h/M B．mh/M C．Mh/m D．h
7．质量相同的两个小球在光滑水平面上沿连心线同向运动，球1的动量为7 kg·m/s,球2的动量为5 kg·m/s,当球1追上球2时发生碰撞，则碰撞后两球动量变化的可能值是( )
A．Δp1=-1 kg·m/s，Δp2=1 kg·m/s
B．Δp1=-1 kg·m/s，Δp2=4 kg·m/s
C．Δp1=-9 kg·m/s，Δp2=9 kg·m/s
D．Δp1=-12 kg·m/s，Δp2=10 kg·m/s
8．小车AB静置于光滑的水平面上，A端固定一个轻质弹簧，B端粘有橡皮泥，AB车质量为M，长为L，质量为m的木块C放在小车上，用细绳连结于小车
的A端并使弹簧压缩，开始时AB与C都处于静止状态，如图所示，
当突然烧断细绳，弹簧被释放，使物体C离开弹簧向B端冲去，并
跟B 端橡皮泥粘在一起，以下说法中正确的是()
A ．如果A
B 车内表面光滑，整个系统任何时刻机械能都守恒 B ．整个系统任何时刻动量都守恒
C ．当木块对地运动速度为v 时，小车对地运动速度为
M
m v D ．AB 车向左运动最大位移小于
M
m L 9一质量为m 的小球从距地面高度 为h 1处自由下落，反弹高度为h 2，与地面的作用时间为t ，则此过程中地面对小球和平均作用力为多大？
10.如图所示，在沙堆表面放置一长方形木块A ，其上面再放一个质量为m=0.10kg 的爆竹B ，木块的质量为M=6.0kg 。

当爆竹爆炸时，因反冲作用使木块陷入沙中深度h=50cm ，而木块所受的平均阻力为f=80N 。

若爆竹的火药质量以及空气阻力可忽略不计，g 取2
/10s m ，求爆竹能上升的最大高度。

11．质量为M 的小车静止在光滑的水平面上，质量为m 的小球用细绳吊在小车上O 点，将小球拉至水平位置A 点静止开始释放（如图所示），求小球落至最低点时速度多大？
12．如图所示甲、乙两人做抛球游戏，甲站在一辆平板车上，车与水平地面间摩擦不计.甲与车的总质量M =100 kg ，另有一质量m =2 kg 的球.乙站在车的对面的地上，身旁有若干质量不等的球.开始车静止，甲将球以速度v （相对地面）水平抛给乙，乙接到抛来的球后，马上将另一质量为m ′=2m 的球以相同速率v 水平抛回给甲，甲接住后，再以相同速率v 将此球水平抛给乙，这样往复进行.乙每次抛回给甲的球的质量都等于他接到的球的质量为2倍,求：
（1）甲第二次抛出球后，车的速度大小.
（2）从第一次算起，甲抛出多少个球后，再不能接到乙抛回来的球.
D 、B 、ACD 、ABD 、AD 、A 、A 、BCD 、
9、解析：以小球为研究对象，规定向上为正方向，设小球触地前瞬间速度大小为v 1，触地后速度大小为v 2，112gh v =222gh v =
小球受力分析如图所示，对触地过程应用动量定理有： F 合t = ΔP 即（F-mg ）t=m v 2 –(-m v 1)
t
gh gh m mg F )
22(21++
=
10解：爆竹爆炸瞬间，木块获得的瞬时速度v 可由牛顿第二定律和运动学公式求得
Ma Mg f =-，
2/620s m a =
，s m ah v /332==
爆竹爆炸过程中，爆竹木块系统动量守恒
00=-mv Mv
s m s m m
Mv
v /320/1.033
60=⨯
==
11、（相对地的速度）(
m
M MgL
+2)
12.（1）10
1
v ,向左 （2）5个。