复合函数的单调性

函数的值域与函数的单调性

我们将复习函数的值域与函数的单调性两部分内容．

通过本专题的学习，同学们应掌握求函数值域的常用方法；掌握函数单调性的定义，能用定义判定函数的单调性；会判断复合函数的单调性；了解利用导数研究函数单调性的一般方法．

[知识要点]

一．函数的值域

求函数值域的方法主要有：配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、图象法，利用函数的单调性、利用函数的反函数、利用已知函数的值域、利用导数求值域等．

二．函数的单调性 1．定义

如果对于给定区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1f(x 2)，那么就称f(x)在这个区间上是减函数．如果y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，就说y=f(x)在这一区间上具有严格的单调性，这一区间叫做f(x)的单调区间．

注：在定义域内的一点处，这个函数是增函数还是减函数呢？函数的单调性是就区间而言，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题．

2．函数单调性的运算规律

在共同的定义域上，设“f 型”是增函数，“g 型”是减函数，则： （1）f 1(x)+f 2(x)是增函数； （2）g 1(x)+g 2(x)是减函数； （3）f(x)-g(x)是增函数； （4）g(x)-f(x)是减函数．

[典型例题]

一．函数值域的求法 （一）配方法

例1．

的值域求函数2234x x y -+-=

解：

.

4244)1(4224)1(044)1(04)1(42222≤≤∴≤+---≤∴≤+--≤∴≤+--≤+---=y x x x x y 值域

例2 求函数 y=2x+2-3×4 x (-1≤x ≤0) 的值域 解 y=2x+2-3·4x =4·2x -3·22x 令 2x =t 12

1

1≤≤∴≤≤-t x 3

4

11,34

3

4

)32(3]949434[343min max 222≤

≤∴==∴+

--=-+--=+-=y y y t t t t t y

例3．

的值域求函数x x y -+-=

53

解：

530503≤≤⎩

⎨⎧≥-≥-x x x 得由

∴函数定义域为[3,5]

2

2042)4(122)5)(3(2222

2≤≤∴>≤≤∴--+=--+=y y y x x x y 又

]2,2[函数的值域为∴

例4．若实数x 、y 满足x 2+4y 2=4x ，求S=x 2+y 2的值域 解：∵4y 2=4x-x 2≥0

∴x 2-4x ≤0，即0≤x ≤4

3

1

)32(4343442222

2

2

-+=+=-+

=+=∴x x x x x x y x S ∴当x=4时，S max =16

当x=0时，S min =0 ∴值域0≤S ≤16

例5．已知函数y=f(x)=x 2+ax+3在区间x ∈[-1,1]时的最小值为-3，求实数a 的值． 分析：

2

)(a

x x f y -

==称轴的抛物线，由于它的对的图象是一条开口向上因为的位置取决于a ，而函数的自变量x 限定在[-1，1]内，因此，有三种可能性，应分别加以讨论．

解：

43)2()(2

2a a x x f y -++==

7

3

4)1(212

)1(min =∴-=-=-=>-<-

a a f y a a

时，，即当 )

(62343)2(22121)2(2

min 舍得，时，，即当±=-=-=-=≤≤-≤-≤-a a a f y a a

7

3

4)1(212

)3(min -=∴-=+==-<>-

a a f y a a

时，即，当 综合（1）（2）（3）可得：a=±7 （二）判别式法

例6．

的值域求函数3

221

22+-+-=x x x x y

解 由已知得 (2y-1)x 2-(2y-1)x+(3y-1)=0 (*)

2

10

12

3

(*)21012)1(≠

∴≠-==-y y y 式：，代入，则若

（2）若2y-1≠0，则∵x ∈R

∴Δ=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0 即 (2y-1)(10y-3)≤0

2

1

1032

1103<

≤∴≤≤∴

y y 值域

例7．

的值域求函数6

3

422-+++=x x x x y

解 由已知得 (y-1)x 2+(y-4)x-(6y+3)=0 (*) ① 若y=1，代入（*）式-3x-9=0

∴x=-3，此时原函数分母x 2+x-6的值为0 ∴y ≠1

② 若y ≠1，则∵x ∈R

∴Δ=(y-4)2+4(y-1)(6y+3)≥0 化简可得(5y-2)2≥0，则y ∈R

.

5

2

15

23

(*)5

2

≠≠∴≠

∴-==y y y x y 且值域式得时，代入但当

说明：

分母”的方法，化成的值域，常可利用“去求形如f

ex dx c

bx ax y ++++=22

m(y)x 2+n(y)x+p(y)=0的形式，再利用x ∈R ，由Δ≥0求出y 的取值范围，但需注意两点： （1）要分m(y)=0和m(y)≠0两种情况讨论，只有m(y)≠0时，才可利用判别式； （2）在求出y 的取值范围后，要注意“=”能否取到． （三）换元法

例8．

的值域求函数2341812322--+-=x x x x y

解：

2

044)2(44)3(3231834423418)4(3222

2

22222≤≤≤+--=-+--=-+-=∴=-=---+--=t x x x t t t y t x x t x x x x x x y ，知由，则令

∴y max =1，y min =-23

∴原函数值域 -23≤y ≤1 例9．

的值域，试求函数的值域是已知)(21)()(]9

4

,83[)(x f x f x g y x f -+==

解：