五年级数论完全平方数教师版

知识要点

完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数

合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个

热点.

一.完全平方数的主要性质

1、完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。

2、在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3、完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4、若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。

二.一些重要的推论

1、任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除

余2或3的数一定不是完全平方数。

2、一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3、自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，

09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。

4、完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5、完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6、完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7、凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数

个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自

然数不是完全平方数。

三.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+-

平方和公式: 22221+2+3++(1)(21)6n n n n ⋅⋅⋅=++÷

完全平方数

基本性质和概念

【例 1】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛) 1234567654321(1234567654321)

⨯++++++++++++是 的平方．

【解析】 212345676543211111111=，212345676543217++++++++++++=，

原式22(11111117)7777777=⨯=．

【巩固】 (华杯赛试题)下面是一个算式：112123123412345123456+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，

这个算式的得数能否是某个数的平方？

【解析】 判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是

0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．

这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位

数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．

【例 2】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．

【解析】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.

如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24

个.(包括1和它自身)

如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是

奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数

(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．

由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?

18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为

192,202,212,222,232,242,252．

即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．

【巩固】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？

【解析】 设该数为1212n a a a n p p p ⨯⨯⨯L ，那么它的平方就是1222212n a a a n p p p ⨯⨯⨯L ，

因此()()()1221212139n a a a +⨯+⨯⨯+=L ．

由于39139313=⨯=⨯，

⑴所以，1213a +=，22113a +=，可得11a =，26a =；

故该数的约数个数为()()116114+⨯+=个；

⑵或者，12139a +=，可得119a =，那么该数的约数个数为19120+=个．

所以这个数的约数个数为14个或者20个．

【例 3】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？

【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现．

而327223266=⨯=⨯⨯，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，

由于2313119222008232322048⨯⨯=<<⨯⨯=，所以221⨯、222⨯、……、2231⨯都满足题意，

即所求的满足条件的数共有31个．

【巩固】 1016与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是________．

【解析】 先将1016分解质因数：310162127=⨯，由于1016a ⨯是一个完全平方数，所以至少为422127⨯，

故a 最小为2127254⨯=．

【巩固】 已知3528a 恰是自然数b 的平方数，a 的最小值是 。

【解析】 3223528237=⨯⨯，

要使3528a 是某个自然数的平方，必须使3528a 各个不同质因数的个数为偶数，由于其中质因子3和7各有2个，质因子2有3个，所以a 为2可以使3528a 是完全平方数，故a

至少为2．

【例 4】 已知自然数n 满足：12!除以n 得到一个完全平方数，则n 的最小值是 。

【解析】 先将12!分解质因数：105212!235711=⨯⨯⨯⨯，由于12!除以n 得到一个完全平方数，那么这个完

全平方数是12!的约数，那么最大可以为1042235⨯⨯，

所以n 最小为()

104212!2353711231÷⨯⨯=⨯⨯=．

本题也可以这样想，既然12!除以n 得到一个完全平方数，12!的质因数分解式中3，7，11的幂

次是奇数，所以n 的最小值是3711231⨯⨯=．

【巩固】 考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为

一个完全平方数，划去的那个数是 ．

【解析】 设这32个数的乘积为A ．

2221!2!3!32!(1!)2(3!)4(31!)32A =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L

2216(1!3!31!)(2432)(1!3!31!)216!=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯L L L ，

所以，只要划去16!这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数．

另外，由于16!1615!=⨯，而16也是完全平方数，所以划去15!也满足题意．

【例 5】 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？

【解析】 设这个数减去63为2A ，减去100为2B ，则()()221006337371A B A B A B -=+-=-==⨯，

可知37A B +=，且1A B -=，所以19A =，18B =，这样这个数为218100424+=．

【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？

【解析】 假设能找到，设这两个完全平方数分别为2A 、2B ，那么这两个完全平方数的差为

()()54A B A B =+-，由于()A B +和()A B -的奇偶性质相同，所以()()A B A B +-不是4的倍数，

就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以54不可能等于两个平方数的差，那

么题中所说的数是找不到的．

【巩固】 三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小

的数的差为60，求这三个数．

【解析】 设这三个数从大到小分别为2A 、2B 、2C ，那么有()()80A B A B +-=，()()140A C A C +-=，

因为1402257=⨯⨯⨯，A C +、A C -同奇同偶，所以有14A C +=，10A C -=或70A C +=，

2A C -=，分别解得12A =，2C =和36A =，34C =，对于后者没有满足条件的B ，所以A 只

能等于12，2C =，继而求得8B =，所以这三个数分别为12、8、2．

【例 6】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的

最小值为 ．

【解析】 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：

一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的．

设中间数是x,则它们的和为5x , 中间三数的和为3x ．5x 是平方数，设2255x a =⨯,则25x a =，

2231535x a a ==⨯⨯是立方数，所以2a 至少含有3和5的质因数各2个, 即2a 至少是225,中间

的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123．

【巩固】 求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．

【解析】 为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子．设这个数分解质因数之后为

235a b c ⨯⨯，由于它乘以2以后是完全平方数，即1235a b c +⨯⨯是完全平方数，则(1)a +、b 、c 都

是2的倍数；