数学问题解决教学设计(含附中案例)
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问题2,5,7全班交流。
பைடு நூலகம்学过程
实施计划
求解问题1,4,6和问题3,8
教师在黑板上有选择地板书学生问题解决的过程。 问题1解：略 问题6解：略 法二，观察，心算 法三，经验判断 问题8解：略
教学过程
实施计划
求解问题2
解法一：列一元一次不等式组解 解法二：图像法（学生说明解题思路，多媒体演示图象）
不稳定性（问题性） 系统（S, R）即问题，若构成R的诸要素中至少有一个是S不知道的。
其中，S表示人，R表示集合或系统。
障碍性 不能顺利实现解决问题的过程。 问题的障碍性构成了对学生认识或思维的挑战。
问题的特征
相对性
对小学生而言，它是一个问题。 x2=2
对于一个高中生来说，它并非如此。
（二）提出要求
对这则广告，同学们肯定有很多想法和疑问，请大家积极思考,大胆发 言。如果你是顾客，你将怎样做出选择？
思考与交流
如果你是教师，在接下来的教学活动设计中，你会关 注哪些方面的问题？
教学过程
弄清问题
形成问题的总框架
问题性质：手机消费卡的最优决策问题 已知信息：三种手机卡及其收费标准，顾客根据自己的情况加以选
通过问题解决教学，既让学生体会到了三者内在的逻辑联系， 又体会到三者在解决现实问题中的作用，并建立起相关知识 与其具体的现实背景的联系。
教学设计要点
教学重点：一元一次不等式（组）、方程与函数的应用。
设计意图：让学生通过学习提出问题、解决自己提出的问题的方式来达到学 习目的。 以手机卡消费的问题为素材创设问题情境 （该问题情境的解题条件和解题目标均不明确——结构不良的问题情境）
创设情境， 提出问题
弄清问题
总结回顾
制定计划
执行计划
思考与交流
1.数学教师为什么要对教学进行设计？ 2. 请你结合以下有关“函数单调性”的教材分析，谈谈教 师在教学中精心设计问题情境的重要性。
案例：函数的单调性
教材分析1
人教旧版教材：全日制普通高级中学教科书《数学》 （必修） 第一册(上) 。
全日制普通高级中学教科书《数学》（必修） 第一册(上) 人教旧版
……
弄清问题
教学过程
进一步表征问题
• 每月通话100分钟时，使用哪种卡合算？ • 通话时间为多少分钟时，经济卡的花费最少？通话时间为多少分钟时，
亲情卡的花费最少？通话时间为多少分钟时，如意通的花费最少？ • 若每月付费200元时，使用哪种卡通话时间最长？ • 如果一天打10分钟，一个月以三十天计，那么使用哪种卡花费最少？ • 每月通话时间为多少时，三种卡的通话费用相同？ • 某人因特殊情况在一个月不需用手机通话，那么他在该月应该选择买哪
板书（展示事实、呈现过程、解释原理）
创设情境
教学过程
（一）复习
一元一次不等式（组）、一元一次方程与一次函数的概念及其联系。
（二）引入情境
为迎接5.17电信日的到来,某电信公司推出三种手机卡供用户 选择,收费标准如下:经济卡:月租费30元,通话费0.2元/分钟
亲情卡:月租费12元,通话费0.4元/分钟 如意通:没有月租费,通话费0.6元/分钟 作为一名手机消费者,你想了解哪些信息呢? 欢迎广大手机用户选择使用！
（人教新版）
教材分析
案例：
“一元一次不等式（组）、方程与函数的应用”教学设计
（本案例根据贵州师大附中袁涛老师的课堂实录改编）
重要观点
教数学就必须教相互连贯的材料，而不 是孤立的片段。
——H·弗赖登塔尔
H. 弗赖登塔尔 （1905-1991）
图 贵州师大附中袁涛老师的交流课
在这节课中，教师将学生在初中阶段所学的刻 画现实世界中有关量与量之间变化规律的重要 数学模型：一次函数、一元一次方程、一元一 次不等式联系到了一起。
对于单调区间，
学生的认识是否
特殊
有困难？
函数
归纳 概括
案例：函数的单调性
教材分析2
人教新版教材：普通高中课程标准实验教科书《数学》 （必修1 ）
普通高中课程标准实验教科书《数学》必修1 人教新版
教材分析
普通高中课程标准实验 教科书《数学》必修1
（人教新版）
教材分析
普通高中课程标准实验 教科书《数学》必修1
种手机卡？ ……
制定计划
教学过程
探索问题解法，并对问题按方法进行归类
问题1,4,6 自变量一定，比较不同函数函数值的大小
解一元一次方程
问题3,8 函数值一定，比较不同函数自变量的取值大小
问题2 问题5
根据不同函数值之间的关 不等 系，求自变量的取值范围。相等
解一元一次不等式组 解一元一次方程
问题7
全日制普通高级中学教科书《数学》（必修） 第一册(上) 人教旧版
特殊 函数
全日制普通高级中学教科书《数学》（必修） 第一册(上) 人教旧版
特殊 函数
全日制普通高级中学教科书《数学》（必修） 第一册(上) 人教旧版
特殊 函数
归纳 概括
全日制普通高级中学教科书《数学》（必修） 第一册(上) 人教旧版
要求学生根据情境信息，从已有知识、经验出发，通过独立思考与合 作交流相结合的方式提出问题，进而师生合作，提供解决问题。最后 拓展问题。
预计学生可能提出的问题： 固定通话时间，哪种卡合算/ 固定月话费，哪种卡合算？ 各种卡分别在何种情况下使用才是合算的？
教学策略与方法：对于较为复杂的问题，师生一起分析、探求解决。注重 方法多样性，寻求最佳解法。
教学重点
重点
一元一次不等式（组）、一元一次方程与一次函数的应用。
难点
体会一元一次不等式（组）、一元一次方程与一次函数三者的联系。
数学问题情境
问题情境的设计是关系本节课教学的成败的重要因素 对贵阳市的初中学生而言，手机付费问题贴近生活，能激发兴趣，调动他们
决绝问题的愿望。
习题
择。 所求问题：找出最合算的手机卡。（学生独立思考，再全班交流，
教师板书）
教学过程
弄清问题
表征情境信息
将三种卡的收费情况用数学关系表达出来，列出三种卡的通话费 用y(元)与通话时间x(分钟)的函数关系式：
经济卡:y=0.2x+30
（1）
亲情卡:y=0.4x+12
（2）
如意通:y=0.6x
数学问题解决与解题
解题：通常指解答习题。 解题的实质
解题指的是找到一种一般的数学原理（定义、公理、定理、法则、定 律、公式）或条件的推论（中间结果），通过一定的程序得到习题所要 求的答案。 问题解决与解题的相互关系
解题是一种基本的数学活动，但解题不能与问题解决划等号。
数学问题解决教学活动模式
求解问题5和7
问题5：法一 法二
问题7：略
教学过程
总结回顾
总结
解法一：列一元一次不等式组解 解法二：图像法（学生说明解题思路，多媒体演示图象）
推展问题
请作一个市场调查，调查不同手机卡的收费标准，以及顾客的消 费需求，写一份“不同手机卡收费项目”清单，和“顾客手机消费需 求”清单，利用今天我们学习的知识，制定一个手机卡购买方案。
况下，使用如意通合算？ 每月付费200元时，使用哪种卡使自己能多打几分钟电话？ 如果一天打10分钟，一个月以三十天计，那么使用哪种卡合算？ 什么情况下，三种卡收费相同？ 一个人在某月中没有通话，应选哪种卡？ 当每月通话时间大于250分钟时，使用哪种卡合算？ 每月话费150元，使用哪种卡合算？
学生情况分析：
考虑到学生的能力水平，给出的情境信息力求清晰，简明。解决问题 需考虑的因素不宜太多。
学生最初的问题表达可能不是标准的数学问题，在解决问题时要让学 生用数学语言清晰表达，并体会其意义。
教学目标
知识与技能 在具体背景中理解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的意义，并能 有选择地应用它们来解决现实生活中的问题； 提高用函数、方程、不等式（组）表示、处理实际问题中的数量关系和变化 规律的能力； 提高分析和解决复杂的现实生活问题的能力，掌握解决问题的一般思维方法。
结构不良问题 构成问题的各种成分对学生来说不都是完全确定的。
张、王、李三人分别掷5个石子，结构如下图所示，规定所投石子 “散度”（分散程度）最小者为优胜。请选出优胜者。
．．．．．
．．．．．
．． ． ．．
张
王
李
数学问题解决的含义
数学问题解决的概念
数学问题解决即数学地解决一个初次遇到的新问题的过程。
在自变量的某变化范围内比较不同函数函数值 试误法 的大小。
教学过程
制定计划
确定问题解决的顺序
按照学生对解题方法熟悉的程度，可确定如下问题解决顺序： 问题1,4,6→问题3,8→问题2→问题5→问题7
资源配置
学生非常熟悉问题1,4,6和问题3,8的解法，由学生独立完成，每人从中 选作一题，汇报解题结果。
过程与方法 经历从实际问题中抽象出数量关系、建立实际问题的数学模型。通过模型求 解来求得实际问题的解的过程； 经历将复杂问题分解、转化成简单问题、用数学语言表达现实问题的过程。
过程与方法 体会方程、不等式、函数内容的联系，以及它们在解决实际问题中的作用。 体会数学语言的精确性、数学思维的严谨性。
求“抛出去的铅球在到达 其 最高点时距离地面的高度”
对于未学过二次函数知识、或从未解决 过类似问题的学生而言，会感到困难；
有过类似解题经验，或学习了二次函数的 知识的学生，稍作分析即可解决问题。
问题的类型
按问题的结构分
结构良好的问题 构成问题的各种成分对于学生来说都是确定的。 如对一名高三学生来说，解方程 2x2+3x-7=0，是一个结构良好的问题。
作业布置
必做题 选做题
要求：必做题1明天交；必做题2一周后交；选做题两周后交。
课外作业
请你根据上述案例，设计一个合理的有关“一元一次 不等式（组）、方程与函数的应用”教学。并以小组为单 位，开展该内容的教学技能训练。
（要求：第十周提交教学设计）
课堂上，使用学生提出的问题。 课后，设计必做题和选择题。
必做题：总结当天学习内容，写一篇数学周记； 以其他生活问题为素材创设情境，问题结构与课堂类似，
选做题：对课堂问题作深化，给学有余力的同学做。
教学方法与策略
独立思考与合作交流相结合。
媒体准备
多媒体材料
PPT1：情境资料（展示信息） PPT2：拓展问题（展示信息） PPT3：家庭作业必做题 Flash课件：图像法解问题2（提供示范）
（3）
顾客情况：他每个月的通话时间、他每个月能花多少钱在手机的消
费上等等。 合算：省钱（话费少）、可多打电话（通话时间长）
弄清问题
教学过程
将要解决的问题转化为具体较易解决的问题
（学生可能用自然语言或数学语言表达他们的问题）
每月通话100分钟时，使用哪种卡合算？ 什么情况下，使用经济卡合算？什么情况下，使用亲情卡合算？什么情
数学问题解决教学设计
1
问题的含义
所谓“问题”，就意味着要去寻找适当的行动，以达到一个可见而不 立即可及的目标。 ——波利亚（美籍匈牙利著名数学家、数学教育家）
问题是对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法 的待解决问题情境。 ——第六届国际数学教育大会（ICME-6）
问题的特征
பைடு நூலகம்学过程
实施计划
求解问题1,4,6和问题3,8
教师在黑板上有选择地板书学生问题解决的过程。 问题1解：略 问题6解：略 法二，观察，心算 法三，经验判断 问题8解：略
教学过程
实施计划
求解问题2
解法一：列一元一次不等式组解 解法二：图像法（学生说明解题思路，多媒体演示图象）
不稳定性（问题性） 系统（S, R）即问题，若构成R的诸要素中至少有一个是S不知道的。
其中，S表示人，R表示集合或系统。
障碍性 不能顺利实现解决问题的过程。 问题的障碍性构成了对学生认识或思维的挑战。
问题的特征
相对性
对小学生而言，它是一个问题。 x2=2
对于一个高中生来说，它并非如此。
（二）提出要求
对这则广告，同学们肯定有很多想法和疑问，请大家积极思考,大胆发 言。如果你是顾客，你将怎样做出选择？
思考与交流
如果你是教师，在接下来的教学活动设计中，你会关 注哪些方面的问题？
教学过程
弄清问题
形成问题的总框架
问题性质：手机消费卡的最优决策问题 已知信息：三种手机卡及其收费标准，顾客根据自己的情况加以选
通过问题解决教学，既让学生体会到了三者内在的逻辑联系， 又体会到三者在解决现实问题中的作用，并建立起相关知识 与其具体的现实背景的联系。
教学设计要点
教学重点：一元一次不等式（组）、方程与函数的应用。
设计意图：让学生通过学习提出问题、解决自己提出的问题的方式来达到学 习目的。 以手机卡消费的问题为素材创设问题情境 （该问题情境的解题条件和解题目标均不明确——结构不良的问题情境）
创设情境， 提出问题
弄清问题
总结回顾
制定计划
执行计划
思考与交流
1.数学教师为什么要对教学进行设计？ 2. 请你结合以下有关“函数单调性”的教材分析，谈谈教 师在教学中精心设计问题情境的重要性。
案例：函数的单调性
教材分析1
人教旧版教材：全日制普通高级中学教科书《数学》 （必修） 第一册(上) 。
全日制普通高级中学教科书《数学》（必修） 第一册(上) 人教旧版
……
弄清问题
教学过程
进一步表征问题
• 每月通话100分钟时，使用哪种卡合算？ • 通话时间为多少分钟时，经济卡的花费最少？通话时间为多少分钟时，
亲情卡的花费最少？通话时间为多少分钟时，如意通的花费最少？ • 若每月付费200元时，使用哪种卡通话时间最长？ • 如果一天打10分钟，一个月以三十天计，那么使用哪种卡花费最少？ • 每月通话时间为多少时，三种卡的通话费用相同？ • 某人因特殊情况在一个月不需用手机通话，那么他在该月应该选择买哪
板书（展示事实、呈现过程、解释原理）
创设情境
教学过程
（一）复习
一元一次不等式（组）、一元一次方程与一次函数的概念及其联系。
（二）引入情境
为迎接5.17电信日的到来,某电信公司推出三种手机卡供用户 选择,收费标准如下:经济卡:月租费30元,通话费0.2元/分钟
亲情卡:月租费12元,通话费0.4元/分钟 如意通:没有月租费,通话费0.6元/分钟 作为一名手机消费者,你想了解哪些信息呢? 欢迎广大手机用户选择使用！
（人教新版）
教材分析
案例：
“一元一次不等式（组）、方程与函数的应用”教学设计
（本案例根据贵州师大附中袁涛老师的课堂实录改编）
重要观点
教数学就必须教相互连贯的材料，而不 是孤立的片段。
——H·弗赖登塔尔
H. 弗赖登塔尔 （1905-1991）
图 贵州师大附中袁涛老师的交流课
在这节课中，教师将学生在初中阶段所学的刻 画现实世界中有关量与量之间变化规律的重要 数学模型：一次函数、一元一次方程、一元一 次不等式联系到了一起。
对于单调区间，
学生的认识是否
特殊
有困难？
函数
归纳 概括
案例：函数的单调性
教材分析2
人教新版教材：普通高中课程标准实验教科书《数学》 （必修1 ）
普通高中课程标准实验教科书《数学》必修1 人教新版
教材分析
普通高中课程标准实验 教科书《数学》必修1
（人教新版）
教材分析
普通高中课程标准实验 教科书《数学》必修1
种手机卡？ ……
制定计划
教学过程
探索问题解法，并对问题按方法进行归类
问题1,4,6 自变量一定，比较不同函数函数值的大小
解一元一次方程
问题3,8 函数值一定，比较不同函数自变量的取值大小
问题2 问题5
根据不同函数值之间的关 不等 系，求自变量的取值范围。相等
解一元一次不等式组 解一元一次方程
问题7
全日制普通高级中学教科书《数学》（必修） 第一册(上) 人教旧版
特殊 函数
全日制普通高级中学教科书《数学》（必修） 第一册(上) 人教旧版
特殊 函数
全日制普通高级中学教科书《数学》（必修） 第一册(上) 人教旧版
特殊 函数
归纳 概括
全日制普通高级中学教科书《数学》（必修） 第一册(上) 人教旧版
要求学生根据情境信息，从已有知识、经验出发，通过独立思考与合 作交流相结合的方式提出问题，进而师生合作，提供解决问题。最后 拓展问题。
预计学生可能提出的问题： 固定通话时间，哪种卡合算/ 固定月话费，哪种卡合算？ 各种卡分别在何种情况下使用才是合算的？
教学策略与方法：对于较为复杂的问题，师生一起分析、探求解决。注重 方法多样性，寻求最佳解法。
教学重点
重点
一元一次不等式（组）、一元一次方程与一次函数的应用。
难点
体会一元一次不等式（组）、一元一次方程与一次函数三者的联系。
数学问题情境
问题情境的设计是关系本节课教学的成败的重要因素 对贵阳市的初中学生而言，手机付费问题贴近生活，能激发兴趣，调动他们
决绝问题的愿望。
习题
择。 所求问题：找出最合算的手机卡。（学生独立思考，再全班交流，
教师板书）
教学过程
弄清问题
表征情境信息
将三种卡的收费情况用数学关系表达出来，列出三种卡的通话费 用y(元)与通话时间x(分钟)的函数关系式：
经济卡:y=0.2x+30
（1）
亲情卡:y=0.4x+12
（2）
如意通:y=0.6x
数学问题解决与解题
解题：通常指解答习题。 解题的实质
解题指的是找到一种一般的数学原理（定义、公理、定理、法则、定 律、公式）或条件的推论（中间结果），通过一定的程序得到习题所要 求的答案。 问题解决与解题的相互关系
解题是一种基本的数学活动，但解题不能与问题解决划等号。
数学问题解决教学活动模式
求解问题5和7
问题5：法一 法二
问题7：略
教学过程
总结回顾
总结
解法一：列一元一次不等式组解 解法二：图像法（学生说明解题思路，多媒体演示图象）
推展问题
请作一个市场调查，调查不同手机卡的收费标准，以及顾客的消 费需求，写一份“不同手机卡收费项目”清单，和“顾客手机消费需 求”清单，利用今天我们学习的知识，制定一个手机卡购买方案。
况下，使用如意通合算？ 每月付费200元时，使用哪种卡使自己能多打几分钟电话？ 如果一天打10分钟，一个月以三十天计，那么使用哪种卡合算？ 什么情况下，三种卡收费相同？ 一个人在某月中没有通话，应选哪种卡？ 当每月通话时间大于250分钟时，使用哪种卡合算？ 每月话费150元，使用哪种卡合算？
学生情况分析：
考虑到学生的能力水平，给出的情境信息力求清晰，简明。解决问题 需考虑的因素不宜太多。
学生最初的问题表达可能不是标准的数学问题，在解决问题时要让学 生用数学语言清晰表达，并体会其意义。
教学目标
知识与技能 在具体背景中理解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的意义，并能 有选择地应用它们来解决现实生活中的问题； 提高用函数、方程、不等式（组）表示、处理实际问题中的数量关系和变化 规律的能力； 提高分析和解决复杂的现实生活问题的能力，掌握解决问题的一般思维方法。
结构不良问题 构成问题的各种成分对学生来说不都是完全确定的。
张、王、李三人分别掷5个石子，结构如下图所示，规定所投石子 “散度”（分散程度）最小者为优胜。请选出优胜者。
．．．．．
．．．．．
．． ． ．．
张
王
李
数学问题解决的含义
数学问题解决的概念
数学问题解决即数学地解决一个初次遇到的新问题的过程。
在自变量的某变化范围内比较不同函数函数值 试误法 的大小。
教学过程
制定计划
确定问题解决的顺序
按照学生对解题方法熟悉的程度，可确定如下问题解决顺序： 问题1,4,6→问题3,8→问题2→问题5→问题7
资源配置
学生非常熟悉问题1,4,6和问题3,8的解法，由学生独立完成，每人从中 选作一题，汇报解题结果。
过程与方法 经历从实际问题中抽象出数量关系、建立实际问题的数学模型。通过模型求 解来求得实际问题的解的过程； 经历将复杂问题分解、转化成简单问题、用数学语言表达现实问题的过程。
过程与方法 体会方程、不等式、函数内容的联系，以及它们在解决实际问题中的作用。 体会数学语言的精确性、数学思维的严谨性。
求“抛出去的铅球在到达 其 最高点时距离地面的高度”
对于未学过二次函数知识、或从未解决 过类似问题的学生而言，会感到困难；
有过类似解题经验，或学习了二次函数的 知识的学生，稍作分析即可解决问题。
问题的类型
按问题的结构分
结构良好的问题 构成问题的各种成分对于学生来说都是确定的。 如对一名高三学生来说，解方程 2x2+3x-7=0，是一个结构良好的问题。
作业布置
必做题 选做题
要求：必做题1明天交；必做题2一周后交；选做题两周后交。
课外作业
请你根据上述案例，设计一个合理的有关“一元一次 不等式（组）、方程与函数的应用”教学。并以小组为单 位，开展该内容的教学技能训练。
（要求：第十周提交教学设计）
课堂上，使用学生提出的问题。 课后，设计必做题和选择题。
必做题：总结当天学习内容，写一篇数学周记； 以其他生活问题为素材创设情境，问题结构与课堂类似，
选做题：对课堂问题作深化，给学有余力的同学做。
教学方法与策略
独立思考与合作交流相结合。
媒体准备
多媒体材料
PPT1：情境资料（展示信息） PPT2：拓展问题（展示信息） PPT3：家庭作业必做题 Flash课件：图像法解问题2（提供示范）
（3）
顾客情况：他每个月的通话时间、他每个月能花多少钱在手机的消
费上等等。 合算：省钱（话费少）、可多打电话（通话时间长）
弄清问题
教学过程
将要解决的问题转化为具体较易解决的问题
（学生可能用自然语言或数学语言表达他们的问题）
每月通话100分钟时，使用哪种卡合算？ 什么情况下，使用经济卡合算？什么情况下，使用亲情卡合算？什么情
数学问题解决教学设计
1
问题的含义
所谓“问题”，就意味着要去寻找适当的行动，以达到一个可见而不 立即可及的目标。 ——波利亚（美籍匈牙利著名数学家、数学教育家）
问题是对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法 的待解决问题情境。 ——第六届国际数学教育大会（ICME-6）
问题的特征