高数下册内容总结

证明二元函数不可微的方法
ρ = ( Δx ) 2 + ( Δy ) 2
要证明 z = f ( x , y )在( x0 , y0 ) 不可微，只需求极限：
Δx → 0 Δy → 0
lim
Δ z − f x ( x 0 , y0 ) Δ x − f y ( x 0 , y0 ) Δ y Δx 2 + Δy 2
注意：不包括 π 2 这个平面 .
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4、距离
两点间距离公式:
M1 M 2 =
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 )
2 2
2
点到平面距离公式 点 P0 ( x0 , y0 , z 0 )到平面 Ax + By + Cz + D = 0的距离为
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3、过直线的平面束
⎧ π 1：A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 过直线 L : ⎨ ⎩π 2：A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
的平面束方程为：
A1 x + B1 y + C1 z + D1 + λ ( A2 x + B2 y + C 2 z + D2 ) = 0
a ⊥b a⋅b = 0 a×b = 0
a // b
a , b , c 共面
(a , b , c ) = 0
a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0 a1 a2 a3 = = b1 b2 b3
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（二）空间解析几何
1、平面 [1] 点法式 [2] 一般式
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
求出实数解，得驻点.
第二步：对于每一个驻点( x 0 , y 0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、 B、 C .
第三步：定出 AC − B 2 的符号， 再判定是否是极值.
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4、求条件极值的一般步骤：
目标函数： u = f ( x , y , z ) ，
第二学期总复习
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向量代数与空间解析几何
（一）向量代数 （二）空间解析几何
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（一）向量代数
1、向量的概念
模： | a |= 设
a = {x , y , z} = xi + yj + zk
x2 + y2 + z2 a 0 = {cos α , cos β , cos γ } 单位向量： a = |a| 方向余弦： x cos α = x2 + y2 + z2 z cos γ = x2 + y2 + z2 cos β =
数乘： λa = {λa1 , λa2 , λa3 } 点乘： a ⋅ b =| a || b | cos a , b = a1b1 + a2b2 + a3b3 叉乘：模：| a × b |=| a || b | sin a , b 方向： 垂直于 a , b , 并且 a , b , a × b 成右手系 i j k 坐标表示： a × b = a1 a2 a3 b1 b2 b3 几何意义：
若此极限存在且等于 0，则 z = f ( x , y ) 在 ( x0 , y0 ) 可 微，否则 z = f ( x , y )在( x0 , y0 ) 不可微，其中
Δ z = f ( x 0 + Δ x , y0 + Δ y ) − f ( x 0 , y0 )
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Ax + By + Cz + D = 0
x y z [3] 平面的截距式方程 + + =1 a b c 2、空间直线 ⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 [1] 一般方程 L : ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
x − x 0 y − y0 z − z 0 [2] 对称式方程 = = m n p ⎧ x = x0 + mt [3] 参数方程 ⎪ y = y + nt ⎨ 0 ⎪ z = z + pt ⎩ 0
曲线关于 xoy 的投影柱面
空间曲线在 xoy 面上的投影曲线
⎧ H ( x, y) = 0 ⎨ ⎩z = 0
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多元函数微分学
（一）极限与连续 （二）偏导数和全微分 （三）方向导数和梯度 （四）极值 （五）几何应用
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（一）极限定义的说明
1、 lim f ( x , y ) = A 存在是指： ( x , y ) 沿任何路
两平面之间的夹角 cos Π 1 , Π 2
| v1 ⋅ v2 | 两直线之间的夹角 cos L1 , L2 = | v1 || v2 | |v ⋅n| 直线与平面之间的夹角 sin L, Π = | v || n |
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6、二次曲面
[1] 柱面
⎧F ( x, y) = 0 母线平行于 z 轴，准线为： ⎨ 的柱面方 ⎩ z=0 程为： F ( x , y ) = 0
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（二）多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 方向导数存在 偏导数连续
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1、全微分定义: 设 z = f ( x , y ) Δz = f x ( x , y )Δ x + f y ( x , y )Δ y + o ( ρ )
d z = f x ( x , y )d x + f y ( x , y )d y
2、求偏导数 1、复合函数微分法（链式法则） 2、隐函数微分法（公式） 3、利用全微分求偏导数
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3、方向导数和梯度
（1）方向导数： u = f ( x , y , z ) 在 M 0 ( x0 , y0 , z0 )沿 l = {cosα , cos β , cos γ }的方向导数为：
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（三）多元函数微分法的应用
1、在几何中的应用 求曲线的切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 空间曲线的切线与法平面
(1) Γ : x = x ( t ), y = y ( t ), z = z ( t ).
切向量
τ = ±{x′( t ), y′( t ), z′( t )}
| P1 P2 ⋅ (v1 × v2 ) | d= | v1 × v2 |
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5、夹角
两向量之间的夹角
a⋅b cos a , b = | a || b | | n1 ⋅ n2 | = | n1 || n2 | Π 1 : n1 Π 2 : n2 L1 : v1 L2 : v2 L:v Π:n
x2 y2 z2 + 2 + 2 =1 2 a b c
x2 y2 z2 + 2 − 2 =1 2 a b c x2 y2 z2 2 + 2 − 2 = −1 a b c x2 y2 2 + 2 = z a b x2 y2 2 − 2 = z a b 2 2 2 x y z 2 + 2 = 2 a b c
x → x0 y → y0
径趋于( x0 , y0 ) 时，函数的极限都存在。
2、求二元函数极限的方法： （1）利用定义及性质（夹逼准则；无穷小量 乘有界变量仍为无穷小量） ； （2）利用一元函数的两个特殊极限及等价无 穷小代换； （3）利用极坐标变换化成一元函数的极限。
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3、确定极限不存在的方法： （1） 找两条不同路径， ( x , y )沿这两条路径 使 趋向于( x0 , y0 ) 时， f ( x , y )的极限都存在，但不 相等； （2） 找一条特殊路径， ( x , y )沿此路径趋向 使 于 ( x0 , y0 ) 时， f ( x , y )的极限不存在。
i j Fy Gy
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⎧ F ( x, y, z ) = 0 ( 2) Γ : ⎨ , ⎩G ( x , y , z ) = 0
k Fz Gz
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切向量 τ = ± Fx Gx
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曲面的切平面与法线
(1) π : F ( x , y , z ) = 0.
法向量 n = ±{Fx , Fy , Fz }
2
当 A < 0 时有极大值， 当 A > 0 时有极小值； （2） AC − B < 0 时没有极值；
2
（3） AC − B 2 = 0 时可能有极值.
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3、求函数 z = f ( x , y ) 极值的一般步骤：
第一步： 解方程组 f x ( x , y ) = 0, f y ( x , y ) = 0